Paweł Kowol. Praca dyplomowa napisana pod kierunkiem dr Rafała Werona

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Paweł Kowol. Praca dyplomowa napisana pod kierunkiem dr Rafała Werona"

Transkrypt

1 Wydział Podstawowych Problemów Techniki JAKA JEST DŁUGOŚĆ WYBRZEŻA BAŁTYKU? POMIAR STRUKTUR FRAKTALNYCH Praca dyplomowa inżynierska Paweł Kowol Praca dyplomowa napisana pod kierunkiem dr Rafała Werona Wrocław 2008

2 Dziękuję przede wszystkim Rodzicom za umożliwienie mi zdobycia wykształcenia a także osobie, która wierzyła we mnie nawet wtedy, kiedy sam wątpiłem. 2

3 SPIS TREŚCI: 1. Wstęp Fraktale Definicja Samopodobieństwo Prawo potęgowe Wymiar Wymiar samopodobieństwa Wymiar cyrklowy Wymiar pudełkowy Pomiary struktur Okrąg Krzywa Kocha Definicja Wymiar Krzywa 3/ Definicja Wymiar Dziwna struktura Krzywa z samoprzecięciami Linia wybrzeża Bałtyku Inne linie wybrzeży Opis programu Java Okno główne Pasek menu Panele 1 i Panel 3 dla wymiaru pudełkowego Panel 3 dla wymiaru cyrklowego Panel

4 5. Spis ilustracji Spis tabel Literatura

5 1 Wstęp Zdaniem Mandelbrota natura spłatała matematykom figla. Być może XIXwiecznym matematykom zbywało na wyobraźni, ale naturze nie. Te same patologiczne struktury stworzone po to, by móc się wyrwać z ciasnego XIX-wiecznego naturalizmu jak się okazało tkwią głęboko w dobrze nam znanych obiektach występujących w świecie natury. Freeman Dyson Nieświadome odkrycie fraktali wiąże się z badaniem długości brzegu wyspy Wielkiej Brytanii. Pierwsza próba obliczenia długości dała wynik mniejszy od ponownej próby, w której zastosowano dokładniejszą mapę. Trzecia próba, podczas której posłużono się już kilkuczęściową mapą, dała jeszcze większy wynik. Co ciekawe, nie wyglądało na to, aby wzrost ten hamowany był przez jakąś asymptotę. Okazało się, że brzeg wyspy jest nieskończenie bogaty w szczegóły, a jego długość jest nieskończona. Mimo tego ograniczał skończony obszar lądu [8]. Człowiek od zawsze próbował poznać i opisać otaczający go świat. Wszystkie nauki matematyczno przyrodnicze powstały w głównej mierze z racji usilnego dążenia ludzkości do zrozumienia jak działa to, co nas otacza. Ta wiedza jest tak kusząca, ponieważ pomogłaby nam zrozumieć procesy zachodzące wokół nas a dalej możliwość kierowania nimi. Pewne zjawiska zachodzące w przyrodzie były niezrozumiałe i chaotyczne, ale prawdopodobnym jest, że to właśnie fraktale są kluczem do ich zrozumienia. Niniejsza praca jest próbą przybliżenia tematu fraktali ze szczególnym uwzględnieniem pojęcia wymiaru fraktalnego. Pracę można podzielić na trzy zasadnicze części. Pierwsza zawiera teoretyczny opis zagadnień wraz z podanymi definicjami podstawowych pojęć. Druga to pomiar struktur fraktalnych przy pomocy napisanego przeze mnie programu. Natomiast trzecia opisuje możliwości programu oraz sposób jego obsługi. 5

6 2 Fraktale Definicja Fraktal (łac. fractus złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samopodobny albo nieskończenie subtelny, czyli ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu. Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który: ma nietrywialną strukturę w każdej skali, struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej, jest samopodobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym, jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny, ma względnie prostą definicję rekurencyjną. Dokładniej, fraktalem nazwiemy zbiór, który posiada wszystkie te charakterystyki albo przynajmniej ich większość. 2.2 Samopodobieństwo Samopodobieństwo jest jedną z najważniejszych cech fraktali. Pojęcie samopodobieństwa wydaje się intuicyjnie zrozumiałe i nie wymaga wielu wyjaśnień. Jednakże podanie formalnej definicji samopodobieństwa jest trudniejszym zadaniem. Praktycznie w każdym obiekcie fizycznym samopodobieństwo możemy zaobserwować jedynie na kilku poziomach, ponieważ poniżej pewnej skali materia rozpada się na zbiór cząsteczek, atomów i wreszcie cząstek elementarnych. Gdy osiągniemy taki poziom, nie możemy oczywiście mówić o pomniejszonych kopiach całości. Poza tym w otaczającym nas świecie nie dochodzi do sytuacji, kiedy część jest dokładną kopią całości. W związku z tym musimy dopuścić pewne odchylenia od ideału wtedy mówimy o samopodobieństwie statystycznym. Innym przypadkiem są różne zniekształcenia pomniejszonych kopii, na przykład lekkie ich pochylenie mowa o samopodobieństwie afinicznym. W końcu dochodzimy do samopodobieństwa 1 Rozdział opracowany na podstawie [4] i [5]. 6

7 w najczystszej matematycznej postaci, czyli takiego z którym mamy do czynienia we fraktalach, kiedy część jest kopią całości. 2.3 Prawo potęgowe Prawo potęgowe opiszemy na przykładzie swobodnego spadku ciał. Związek między wysokością, z której spada ciało a czasem spadku nie jest liniowy. Natomiast wykres logarytmów danych eksperymentalnych wskazuje na istnienie prawa, które rządzi zależnością miedzy tymi wielkościami. Relacja ta wyraża się prawem potęgowym następującej postaci: d t = ch (1) gdzie: t h czas spadania, wysokość, c, d stałe. Nazywane jest prawem potęgowym, ponieważ t zmienia się tak, jak gdyby było potęgą h. Chcąc wyznaczyć wartości stałych c i d logarytmujemy obie strony otrzymując: log t = d logh + logc (2) Czyli jeśli będziemy zaznaczać na wykresie wartości log t i log h zamiast t i h to powinniśmy otrzymać linię prosta o nachyleniu d, przecinającą oś pionową w punkcie o rzędnej b = logc. A zatem jeżeli pomiary na wykresie logarytmicznym leżą w przybliżeniu na linii prostej, to ma sens poszukiwanie prawa potęgowego, rządzącego związkiem pomiędzy zmiennymi. Dodatkowo z wykresu logarytmicznego możemy odczytać potęgę d nachylenie otrzymanej prostej. 2.4 Wymiar Wymiar nie jest pojęciem łatwym do zrozumienia. Na przełomie wieków jednym z głównych problemów matematyki było stwierdzenie co to jest wymiar i jakie 7

8 są jego własności. Pojawiło się wiele różnych definicji wymiaru: wymiar topologiczny, wymiar Hausdorffa, wymiar fraktalny, wymiar samopodobieństwa, wymiar pudełkowy, wymiar pojemnościowy, wymiar informacyjny, wymiar euklidesowy i wiele innych. Czasami wszystkie mają sens i się pokrywają, ale innym razem mimo tego że kilka z nich ma sens mogą prowadzić do zupełnie innych wyników. Krzywe, powierzchnie, czy bryły mogą mieć tak złożoną budowę, że wykonanie pomiaru w tradycyjny sposób może nie mieć sensu. Istnieje jednakże sposób pomiaru stopnia złożoności przez ocenę tego, jak szybko wzrastają długość, powierzchnia, czy objętość, jeśli pomiar dokonywany jest z coraz większą dokładnością. W niniejszej pracy skupimy się na trzech wybranych rodzajach wymiaru: wymiar samopodobieństwa (self similar dimension), wymiar cyrklowy (ruler dimension), wymiar pudełkowy (box dimension). Wszystkie one stanowią szczególne przypadki wymiaru fraktalnego Mandelbrota, wywodzącego się z podstawowej pracy Hausdorffa z 1919 roku Wymiar samopodobieństwa Ten sposób określania wymiaru stosujemy do obiektów ściśle samopodobnych, czyli takich, które mogą być podzielone na dowolnie małe części, z których każda jest wiernym pomniejszeniem całości. Najważniejszą cechą umożliwiającą określenie wymiaru w omawiany sposób jest istnienie relacji pomiędzy współczynnikiem redukcji a liczbą pomniejszonych fragmentów, na które rozpada się obiekt. Zależność tą przedstawia wzór: 1 a = D (3) s lub równoważny: log a D = 1 log s gdzie: a liczba części s współczynnik redukcji D wymiar samopodobieństwa (4) 8

9 Dla prostej, kwadratu, czy sześcianu otrzymujemy, zgodnie z przewidywaniami, wymiary samopodobieństwa równe odpowiednio 1, 2 i 3 są one zgodne z wymiarami topologicznymi. Współczynnik redukcji dla tych obiektów możemy wybrać dowolnie i na tym polega różnica między tymi obiektami a strukturami fraktalnymi, dla których współczynnik, jeżeli istnieje, to jest ściśle określony Wymiar cyrklowy Wymiar cyrklowy jest stosowany do określania wymiaru krzywej. Istnieje związek pomiędzy prawem potęgowym rządzącym wartością mierzonej długości w zależności od ustawienia cyrkla, a wymiarem samopodobieństwa krzywej fraktalnej. Związek ten wygląda następująco: D C = 1 + d (5) gdzie d odpowiada nachyleniu wykresu logarytmów mierzonej długości u w zależności od dokładności pomiaru 1 / s. Ten sam wynik można uzyskać wyznaczając nachylenie wykresu logarytmów liczby kroków potrzebnych na przejście wzdłuż mierzonej krzywej w stosunku do ustawienia cyrkla. Omawiana metoda pozwala na liczenie wymiaru nie tylko krzywych, które są ściśle samopodobne, ale także tak nieregularnych obiektów jak linie brzegowe Wymiar pudełkowy Wymiar pudełkowy ma, z racji uniwersalności, najwięcej zastosowań. W pewnych sytuacjach daje on takie same wartości liczbowe jak wymiar samopodobieństwa, a w innych odmienne. Uniwersalność polega na tym, że dzięki tej metodzie możliwe jest dokonanie pomiaru obiektów, które nie są ściśle podobne ani nie stanowią linii, którą można by zmierzyć na przykład za pomocą cyrkla. Pomiar polega na umieszczeniu badanej struktury na regularnej siatce o wielkości oczek s i zliczeniu pudełek siatki, które zawierają fragmenty struktury. Otrzymamy w ten sposób liczbę N (s). Następnie zmniejszamy stopniowo s i znajdujemy odpowiadające im liczby N (s). Tak otrzymane pary liczb umieszczamy na wykresie logarytmicznym i dopasowujemy prostą przechodzącą przez te punkty. 9

10 Liczba określająca nachylenie wyznaczonej prostej jest wymiarem pudełkowym badanego obiektu. Wymiar pudełkowy jest jednym z najczęściej stosowanych w różnych dziedzinach nauki, ponieważ obliczenia nie są skomplikowane i bardzo prosto można je zautomatyzować. Poza tym algorytm można stosować zarówno do obiektów samopodobnych, jak i struktur nie posiadających tej cechy. 10

11 3 Pomiary struktur W rozdziale przeprowadzone zostaną pomiary różnych struktur, zarówno tych matematycznych jak i naturalnych, które możemy znaleźć wokół nas. Postaramy się pokazać na przykładzie wybrzeża Bałtyku, dlaczego trudno jednoznacznie określić długość takiej krzywej występującej w naturze. W podrozdziale 3.5 dotyczącym krzywej z samoprzecięciami wytłumaczymy dlaczego metoda obliczania wymiaru pudełkowego, mimo iż jest uniwersalna, wcale nie musi dawać dobrych wyników. 3.1 Okrąg Aby wykazać, że obie metody pomiaru pudełkowa jak i cyrklowa, dają oczekiwane wyniki, zmierzono wymiar okręgu. Wymiar fraktalny okręgu pokrywa się z wymiarem topologicznym czyli powinien wynosić 1. Tab. 1 Wyniki pomiaru pudełkowego dla okręgu Wielkość oczka Liczba Wymiar pudełkowy , Tab. 2 Wyniki pomiaru cyrklowego dla okręgu Wielkość kroku Liczba Wymiar cyrklowy , Jak widać obie metody dały bardzo dobre wyniki a w przypadku wymiaru cyrklowego odpowiednio dobrane wielkości kroku spowodowały że obliczony wymiar jest dokładnie równy 1. Analizując wyniki z tab. 2 zauważamy, że mimo zwiększania dokładności dokonywanych pomiarów długość okręgu nie rośnie, co jest typowe dla struktur fraktalnych, ale jest stała. 11

12 Rys. 1 Okrąg pokryty siatką 118 kwadratów o boku 8 pikseli 3.2 Krzywa Kocha Definicja Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można zdefiniować jako pewien atraktor IFS 2 lub jako granicę ciągu krzywych opisanych poniżej. Krzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność dla każdego fragmentu odcinka [7]. Rys. 2 Krzywa Kocha po 5 iteracjach Wymiar Ze sposobu jej konstrukcji wynika, że jest to obiekt ściśle samopodobny, czyli możliwe jest określenie wymiaru samopodobieństwa. Poszczególne części struktury są pomniejszonymi kopiami całej krzywej. Każdy krok prowadzi do powstania czterech 2 IFS (z ang. iterated function system) zwany też systemem funcji iterowanych, to rodzina funkcji za pomocą której konstruuje się fraktale samopodobne. W matematyce terminu tego używa się także na określenie samej metody konstrukcji. 12

13 kopii trzykrotnie mniejszych od obiektu wejściowego. Korzystając ze wzoru (4) obliczamy wymiar samopodobieństwa: log a log 4 D = = 1,26 (6) log(1/ s) log3 Taki sam wynik można otrzymać licząc wymiar cyrklowy. Warunkiem jest jednak odpowiednie dobranie długości odcinków, którymi mierzymy długość krzywej. Ważne jest aby trzy razy mniejszy odcinek został odłożony wzdłuż krzywej czterokrotnie. Dokonując losowych pomiarów otrzymamy wynik mniej lub bardziej odbiegający od żądanej wartości. Dokonując co najmniej dwóch takich pomiarów możemy wyznaczyć wymiar cyrklowy. Tab. 3 Wyniki pomiaru cyrklowego dla krzywej Kocha Wielkość oczka Liczba Wymiar cyrklowy , Wymiar pudełkowy dla Krzywej Kocha może dawać wyniki znacznie różniące się od wymiaru samopodobieństwa. Jest to związane oczywiście z uniwersalnością tej metody. Skala błędu będzie silnie zależna od doboru grubości siatki jaką zmierzymy omawianą krzywą. Poza tym nie bez znaczenia jest także wybór miejsca, w którym rozpoczniemy wypełnianie płaszczyzny pudełkami rys. 3 pokazuje, że decyzja ta może mieć istotny wpływ na wynik. Program opisany w rozdziale 4 zawsze rozpoczyna analizowanie struktury od lewego górnego narożnika, co prowadzi do uzyskania jednakowych wyników dla określonych parametrów pomiar jest procesem powtarzalnym. Tab. 4 Wyniki pomiaru pudełkowego dla krzywej Kocha Wielkość oczka Liczba Wymiar cyrklowy ,

14 Rys. 3 Pomiar pudełkowy dla grubości siatki 214 z różnych punktów startowych 3.3 Krzywa 3/ Definicja Krzywa 3/2 stanowi przykład krzywej samopodobnej. Jej konstrukcja rozpoczyna się od odcinka o długości 1. Na początku zastępujemy ten odcinek krzywą złożoną z 8 odcinków o długości 1/4 każdy. W następnym kroku pomniejszamy tę krzywą czterokrotnie i zastępujemy każdy odcinek długości 1/4, występujący w pierwszym kroku konstrukcji, tą pomniejszoną krzywą [5]. Rys. 4 Krzywa 3/2 po pierwszym kroku 14

15 Rys. 5 Krzywa 3/2 po drugim kroku Wymiar Obliczony ze wzoru (4) wymiar samopodobieństwa wynosi 1,5 (3/2) i stąd wzięła się nazwa rozpatrywanej krzywej. Rysunek 6 przedstawia pomiary uzyskane podczas badania wymiaru cyrklowego krzywej 3/2 po czwartym kroku konstrukcji czyli wyglądającej jak na rys. 6: Rys. 6 Badana krzywa 3/2 (4 krok konstrukcji) 15

16 log [N(s)] log [s] Rys. 7 Wyniki pomiaru cyrklowego dla krzywej 3/2 Jak widać na powyższym wykresie, zgodnie z oczekiwaniami, punkty układają się z grubsza wzdłuż linii prostej. Aby wyznaczyć prostą najlepiej dopasowaną do otrzymanych wyników posłużymy się metodą najmniejszych kwadratów. Podstawiając do wzoru (7) wyniki pomiarów otrzymujemy wartość współczynnika kierunkowego wyznaczonej prostej, który jest wymiarem cyrklowym badanej krzywej. n n x y i i i i i= 1 i= 1 i= 1 D C = 2 (7) n n 2 n xi xi i= 1 i= 1 n x n y gdzie: n liczba pomiarów x i, y i współrzędne punktów Wymiar cyrklowy rozpatrywanej struktury obliczony na podstawie zebranych pomiarów wynosi 1,53. Obliczenia dokonane przy pomocy pomiarów praktycznie zawsze obarczone są błędem. Sytuacja ta zachodzi ponieważ struktura, którą mierzymy, jest tylko, mniej lub bardziej dokładnym, przybliżeniem tego co naprawdę chcielibyśmy zmierzyć. Silny wpływ ma także wybór precyzji (wielkość kroku) z jaką dokonujemy pomiarów. 16

17 3.4 Dziwna struktura Jeżeli struktura ma pewne specjalne własności, takie jak samopodobieństwo, to możemy wyliczyć jej wymiar posługując się wzorem. Jeśli obiekt stanowi krzywą to możliwe jest wykorzystanie pomiaru cyrklowego. Ale co w momencie kiedy chcemy zbadać strukturę, która nie spełnia tych kryteriów i wygląda na przykład tak jak na rys. 8? W takim przypadku nie istnieje krzywa, którą moglibyśmy zmierzyć przy pomocy cyrkla, nie występuje też ścisłe samopodobieństwo, które dałoby nam możliwość skorzystania ze wzoru. W takiej sytuacji należy wykorzystać pomiar pudełkowy. Rys. 8 Dziwna struktura Obiekt przedstawiony na rys. 8 został poddany pomiarom, których wyniki umieszczono w tab. 5. Po naniesieniu otrzymanych par liczb na wykres logarytmiczny (Rys. 9) i wyznaczeniu prostej najlepiej dopasowanej do punktów otrzymujemy wymiar pudełkowy, który w tym przypadku jest równy 1,51. Tab. 5 Wyniki pomiaru pudełkowego dla dziwnej struktury Wielkość oczka Liczba Wymiar pudełkowy ,

18 10000 log [N(s)] log [s] Rys. 9 Wyniki pomiaru pudełkowego dla dziwnej struktury 3.5 Krzywa z samoprzecięciami 3 Wymiar pudełkowy Niemniej jednak wymiar samopodobieństwa D P na płaszczyźnie nigdy nie przekroczy wartości 2. D S krzywej płaskiej może z łatwością być od niej większy. By się o tym przekonać wystarczy skonstruować przykład w którym współczynnik redukcji s wynosi 1/3, a liczba pomniejszonych fragmentów a będzie większa od 9. Otrzymamy wtedy log a D S = > 2 (8) log(1/ s) Powodem tej niezgodności jest to, że dla krzywej, której części zachodzą na siebie, są uwzględniane w metodzie pomiaru pudełkowego tylko raz, ale z odpowiednią krotnością podczas znajdowania wymiaru samopodobieństwa. Rys. 10 Krzywa z samoprzecięciami po pierwszym kroku 3 Podrozdział opracowany na podstawie [4]. 18

19 Rys. 11 Krzywa z samoprzecięciami po trzecim kroku Aby to pokazać zmierzymy krzywą pokazaną na rys. 11. Kierując się sposobem konstrukcji obliczamy wymiar samopodobieństwa: log13 D S = 2,33 (9) log3 Następnie strukturę umieszczamy na siatce o różnej wielkości oczek i zliczamy pudełka, które zawierają mierzony obiekt. Następnie nanosimy wyniki na wykres (Rys. 12) i odczytujemy wymiar. Obliczone nachylenie prostej wynosi 1,53. Istotnie wymiar pudełkowy różni się w znaczny sposób od wymiaru samopodobieństwa log [N(s)] log [s] Rys. 12 Wyniki wymiaru pudełkowego dla krzywej z samoprzecięciami 3.6 Linia wybrzeża Bałtyku Wyznaczanie długości różnego rodzaju spiral czy krzywych matematycznych może opierać się na obliczeniach analitycznych ale co jeśli chcemy obliczyć długość 19

20 wybrzeża wyspy lub innych obiektów występujących w przyrodzie? Nie istnieje przecież określony proces konstrukcji wybrzeża. Kształt takiej krzywej jest rezultatem aktywności tektonicznej Ziemi, wciąż postępującej erozji oraz powstawania osadów. Jedynym sposobem poznania długości wybrzeża jest jej pomiar [5]. W 1961 roku Lewis Fry Richardson zamierzał zbadać, ile wynosi długość brzegu Wysp Brytyjskich. Różne encyklopedie podawały znacznie różniące się liczby. Przyjął on, że długość linii brzegowej jest długością najkrótszej linii łamanej złożonej z odcinków o długości λ i takiej, że punkty załamania leżą zawsze na brzegu wyspy. Długość brzegu wynosi wtedy L( λ) = λ N( λ), gdzie N (λ) jest liczbą odcinków linii łamanej [4]. Rysunek 13 przedstawia Morze Bałtyckie z zaznaczoną na czerwono linią wybrzeża, którą chcielibyśmy zmierzyć. Tabela 6 zawiera wyniki pomiaru cyrklowego dla badanego obiektu. Można zauważyć, że dla mniejszego rozstawienia cyrkla długość brzegu wynikająca z pomiaru jest większa. Jest to spowodowane tym, że dla określonego rozstawienia cyrkla pewne zatoki są brane pod uwagę a inne mniejsze pomijane. Kiedy zmniejszymy rozstawienie cyrkla to ostatnio pominięte są już uwzględniane, ale mniejsze od nich niekoniecznie, itd. Zmniejszenie kroku pomiaru powoduje lepsze dopasowanie krzywej łamanej do wybrzeża na mapie. Sytuacja ta jest zobrazowana na rys

21 Rys. 13 Mapa Morza Bałtyckiego z zaznaczonym wybrzeżem Tab. 6 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Bałtyku Rozstaw cyrkla [km] Liczba kroków Długość wybrzeża [km] Wymiar cyrklowy 1,15 21

22 1000 log [N(s)] log [s] Rys. 14 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Bałtyku Rys. 15 Przybliżenie wybrzeża Bałtyku wielokątem dla rozstawu cyrkla 100 km (po lewej) i 25 km (po prawej) 3.7 Inne linie wybrzeży 4 Okazuje się, że dla rozmaitych wysp, wybrzeży, ale również rzek czy ścieżek na górskiej grani obliczony wymiar fraktalny, a w szczególności cyrklowy jest większy od jedności. Obserwuje się pewną korelację między wymiarem brzegu i budową geologiczną lądu [4]. Obliczymy teraz wymiar kilku wybranych linii brzegowych aby pokazać, że długość wybrzeży zachowuje się zgodnie z prawem potęgowym w pewnym zakresie skal pomiarowych i że określony wymiar jest charakterystyczny dla danej linii brzegowej. Przez słowo charakterystyczny rozumiemy, że dla różnych struktur 4 W programie zostały wykorzystane obrazki wybrzeży zaczerpnięte z aplikacji: Coastline Ver

23 wymiar fraktalny i związane z nim prawo potęgowe, rządzące długością wybrzeża w zależności od dokładności pomiaru, jest odmienne [5]. Tab. 7 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Grecji i Turcji Wielkość kroku Liczba Wymiar cyrklowy , log [N(s)] log [s] Rys. 16 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Grecji i Turcji Rys. 17 Przybliżenie wybrzeża Grecji i Turcji dla rozstawu cyrkla 20 pikseli 23

24 Tab. 8 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Irlandii Wielkość kroku Liczba Wymiar cyrklowy , log [N(s)] log [s] Rys. 18 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Irlandii Rys. 19 Przybliżenie wybrzeża Irlandii dla rozstawu cyrkla 30 pikseli 24

25 Tab. 9 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Skandynawii Wielkość kroku Liczba Wymiar cyrklowy , log [N(s)] log [s] Rys. 20 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Skandynawii Rys. 21 Przybliżenie wybrzeża Skandynawii dla rozstawu cyrkla 15 pikseli 25

26 Tab. 10 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Szkocji Wielkość kroku Liczba Wymiar cyrklowy , log [N(s)] log [s] Rys. 22 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Szkocji Rys. 23 Przybliżenie wybrzeża Szkocji dla rozstawu cyrkla 40 pikseli 26

27 4 Opis programu Program napisany został w języku Java. Wszystkie klasy i inne potrzebne pliki spakowane zostały do pliku JAR (Java Archive). Dzięki umieszczeniu w archiwum także pliku manifest z odpowiednią zawartością program może zostać uruchomiony w środowisku Windows poleceniem java -jar nazwa.jar lub, dla odpowiednio skonfigurowanego systemu, poprzez dwukrotne klikniecie. Konieczne jest uprzednie zainstalowanie w systemie wirtualnej maszyny Javy. Program umożliwia obliczenie wymiaru pudełkowego obiektu wczytanego z plików graficznych o rozszerzeniach: bmp, jpg, jpeg, png i gif. Dla struktur zdefiniowanych w programie dostępnych z poziomu menu, możliwe jest także obliczenie wymiaru cyrklowego. Aplikacja nie pozwala na liczenie wymiaru cyrklowego każdego wczytanego obiektu, ponieważ taka struktura musi posiadać określone własności, które trudno sprawdzić automatycznie. Wczytywane pliki graficzne są przekształcane na obrazki z paletą odcieni szarości, co pozwoliło na wprowadzenie opcji tolerancja koloru (opcja opisana w podrozdziale 4.4.1) w procesie pomiaru pudełkowego. 4.1 Java 5 Java jest obiektowym językiem programowania stworzonym przez grupę roboczą pod kierunkiem Jamesa Goslinga z firmy Sun Microsystems. Kompilator generuje neutralny pod względem architektury format plików obiektowych skompilowany kod może być wykonywany przez wszystkie procesory, jakie znane są danemu środowisku Javy. Kompilator Javy potrafi to uczynić, ponieważ generuje zestaw instrukcji, który nie ma nic wspólnego z konkretną architekturą komputera. Instrukcje są natomiast zaprojektowane tak, by były łatwe do zinterpretowania na każdej maszynie i aby można było przełożyć je na język maszynowy w czasie rzeczywistym. 5 Podrozdział opracowany na podstawie [3] i [7]. 27

28 4.2 Okno główne Główne okno programu (Rys. 24) można podzielić na cztery części: pasek menu, panel 1 umożliwiający wybór metody obliczenia wymiaru, panel 2 w którym wyświetlany jest obiekt, którego wymiar liczymy, panel 3 zawierający opcje dotyczące wybranej metody obliczania wymiaru. Rys. 24 Główne okno programu z podziałem na panele 4.3 Pasek menu Pasek menu zawiera trzy pozycje: Program, Pomoc oraz Dane. Po rozwinięciu menu Program dostępna jest tylko jedna opcja Zakończ, która zamyka program. Menu Pomoc również posiada tylko jeden element Autor, w którym znajdziemy informacje o autorze programu. Najbardziej rozwinięte menu to Dane. Znajdziemy tam polecenie Wczytaj obraz umożliwiające wczytanie pliku graficznego z dysku twardego lub innego nośnika dostępnego z poziomu systemu. Dalej znajduje się polecenie Zapisz obraz, za pomocą którego można zapisać aktualny widok z panelu podglądu (Panel 2), podmenu Inne struktury oraz podmenu Mapy. Po rozwinięciu obu podmenu mamy do wyboru listę obiektów zdefiniowanych w aplikacji, dla których można obliczyć zarówno wymiar pudełkowy jak i cyrklowy. 28

29 4.4 Panele 1 i 3 Panel 1 daje możliwość wyboru metody obliczania wymiaru fraktalnego (opcja Wymiar cyrklowy dostępna tylko dla obiektów zdefiniowanych w aplikacji) oraz zawiera pola, w których wyświetlany jest wynik działania programu dla poszczególnych wymiarów. Od wyboru sposobu pomiaru zależy wygląd panelu 3, który udostępnia odpowiednie opcje Panel 3 dla wymiaru pudełkowego Rys. 25 Panel 3 dla wymiaru pudełkowego Panel zawiera między innymi dwa suwaki. Pierwszy określa grubość siatki tzn. ustawia długość boku kwadratów, którymi będziemy pokrywali obiekt w celu wyznaczenia liczby pudełek zawierających mierzoną strukturę, a na podstawie kilku takich pomiarów wymiar pudełkowy. Drugi suwak jest odpowiedzialny za odcień szarości (najjaśniejszy), jaki muszą mięć punkty, aby były liczone jako część struktury, której wymiar chcemy wyliczyć. Wartość parametru może być z przedziału od 0 do 254 (gdzie: 0 czarny, 255 biały). Dla ułatwienia wyboru odpowiedniej wartości pole po 29

30 prawej stronie suwaka reaguje na modyfikacje parametru zmieniając kolor. Następnym ważnym elementem jest Tabela wyników. Jest ona podzielona na dwie kolumny: Grubość i Liczba. Kolejne wiersze zawierają grubość siatki, z jaką dokonywany jest pomiar oraz liczba pudełek zawierających obiekt dla tego pomiaru. Wyniki pomiarów są nanoszone na wykres logarytmiczny. Kiedy istnieją co najmniej dwa punkty wyznaczana jest, metodą najmniejszych kwadratów, prosta najlepiej dopasowana do punktów na wykresie. W tym momencie można już wyliczyć nachylenie prostej, czyli szukany wynik wymiar pudełkowy. Panel zawiera też dwa przyciski: Zlicz oraz Reset. Pierwszy uruchamia proces analizy obiektu zliczania pudełek a drugi kasuje wszystkie dotychczas wykonane pomiary pozwalając na przeprowadzenie nowych na przykład z innym parametrem tolerancji koloru Panel 3 dla wymiaru cyrklowego Rys. 26 Panel 3 dla wymiaru cyrklowego Panel 3 jest bardzo podobny dla swojego odpowiednika wymiaru pudełkowego. Zawiera suwak ustawiania grubości, który w tym przypadku jest długością odcinków jakimi będziemy tworzyli krzywą przybliżającą mierzony obiekt. Tablica wyników 30

31 zawiera wiersze z kolejnymi pomiarami a wykres przedstawia je w wersji graficznej z najlepiej dopasowaną prostą. Przyciski mają te same funkcje co dla wymiaru pudełkowego. Najważniejsze różnice to brak suwaka tolerancji koloru i obecność trzech pól wyboru: Rysuj okręgi, Rysuj linie i Rysuj punkty oraz przycisku Odśwież widok. Pierwsze pole wyboru daje możliwość naniesienia na badany obraz okręgów, które wyznaczają punkty przecięcia z linią wybrzeża (lub inną krzywą), drugie poszczególne odcinki tworzące krzywą łamaną przybliżającą mierzoną strukturę a trzecie wyłącznie punkty przecięć. Po zaznaczeniu żądanych opcji i użyciu przycisku Odśwież widok uzyskujemy podgląd wynikowego obrazu w panelu Panel 2 Ten panel służy do wyświetlania obrazów z którymi pracujemy podczas korzystania z aplikacji. Użyteczną opcją jest możliwość zmiany rozmiaru widocznego obrazu. Każdy wczytany plik jest przeskalowany tak, aby był widoczny w całości. Jeśli chcemy go zobaczyć w rzeczywistym rozmiarze wystarczy użyć lewego klawisza myszy w obszarze panelu. Ponowne kliknięcie spowoduje optymalne dopasowanie do rozmiaru okna na powrót będzie widoczny cały obrazek. 31

32 5 Spis ilustracji: Rys. 1 Okrąg pokryty siatką 118 kwadratów o boku 8 pikseli Rys. 2 Krzywa Kocha po 5 iteracjach Rys. 3 Pomiar pudełkowy dla grubości siatki 214 z różnych punktów startowych Rys. 4 Krzywa 3/2 po pierwszym kroku Rys. 5 Krzywa 3/2 po drugim kroku Rys. 6 Badana krzywa 3/2 (4 krok konstrukcji) Rys. 7 Wyniki pomiaru cyrklowego dla krzywej 3/ Rys. 8 Dziwna struktura Rys. 9 Wyniki pomiaru pudełkowego dla dziwnej struktury Rys. 10 Krzywa z samoprzecięciami po pierwszym kroku Rys. 11 Krzywa z samoprzecięciami po trzecim kroku Rys. 12 Wyniki wymiaru pudełkowego dla krzywej z samoprzecięciami Rys. 13 Mapa Morza Bałtyckiego z zaznaczonym wybrzeżem Rys. 14 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Bałtyku Rys. 15 Przybliżenie wybrzeża Bałtyku wielokątem dla rozstawu cyrkla 100 km (po lewej) i 25 km (po prawej) Rys. 16 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Grecji i Turcji Rys. 17 Przybliżenie wybrzeża Grecji i Turcji dla rozstawu cyrkla 20 pikseli Rys. 18 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Irlandii Rys. 19 Przybliżenie wybrzeża Irlandii dla rozstawu cyrkla 30 pikseli Rys. 20 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Skandynawii Rys. 21 Przybliżenie wybrzeża Skandynawii dla rozstawu cyrkla 15 pikseli Rys. 22 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Szkocji Rys. 23 Przybliżenie wybrzeża Szkocji dla rozstawu cyrkla 40 pikseli Rys. 24 Główne okno programu z podziałem na panele Rys. 25 Panel 3 dla wymiaru pudełkowego Rys. 26 Panel 3 dla wymiaru cyrklowego

33 6 Spis tabel: Tab. 1 Wyniki pomiaru pudełkowego dla okręgu Tab. 2 Wyniki pomiaru cyrklowego dla okręgu Tab. 3 Wyniki pomiaru cyrklowego dla krzywej Kocha Tab. 4 Wyniki pomiaru pudełkowego dla krzywej Kocha Tab. 5 Wyniki pomiaru pudełkowego dla dziwnej struktury Tab. 6 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Bałtyku Tab. 7 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Grecji i Turcji Tab. 8 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Irlandii Tab. 9 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Skandynawii Tab. 10 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Szkocji

34 7 Literatura: [1] K. Falconer (2003) Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications, Wiley, Chichester [2] F. Hausdorff (1914) Grundzüge der Mengenlehre, Verlag von Veit & Co. [3] C. S. Horstmann, G. Cornell (2003) Core Java 2. Podstawy, Helion, Gliwice [4] J. Kudrewicz (2007) Fraktale i chaos, WNT, Warszawa [5] H.-O. Peitgen, H. Jurgens, D. Saupe (1997) Granice chaosu. Fraktale, PWN, Warszawa [6] D. Stauffer, H. Eugene Stanley (1996) Od Newtona do Mandelbrota, WNT, Warszawa [7] Wikipedia, wolna encyklopedia [8] 34

FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO

FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO Mariusz Gromada marzec 2003 mariusz.gromada@wp.pl http://multifraktal.net 1 Wstęp Fraktalem nazywamy każdy zbiór, dla którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha (tzw. wymiar fraktalny)

Bardziej szczegółowo

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego Wstęp Rekurencja jest to wywołanie podprogramu (procedury) samej przez siebie. W logo zapis rekurencji będzie wyglądał następująco: oto nazwa_funkcji czynności_wykonywane_przez_procedurę nazwa_funkcji

Bardziej szczegółowo

FRAKTALE. nie tworzą się z przypadku. Są tworzone naturalnie przez otaczającą nas przyrodę, bądź za pomocą

FRAKTALE. nie tworzą się z przypadku. Są tworzone naturalnie przez otaczającą nas przyrodę, bądź za pomocą Małgorzata Mielniczuk FRAKTALE Poniższy referat będzie traktować o fraktalach, majestatycznych wzorach, których kręte linie nie tworzą się z przypadku. Są tworzone naturalnie przez otaczającą nas przyrodę,

Bardziej szczegółowo

Zbiór Cantora. Diabelskie schody.

Zbiór Cantora. Diabelskie schody. Zbiór Cantora. Diabelskie schody. Autor: Norbert Miękina Zespół Szkół nr 3 im. ks. prof. Józefa Tischnera ul. Krakowska 20 32-700 Bochnia tel. 14 612-27-79 Opiekun: mgr Barbara Góra 1 W matematyce sztuka

Bardziej szczegółowo

PROPOZYCJA ZASTOSOWANIA WYMIARU PUDEŁKOWEGO DO OCENY ODKSZTAŁCEŃ PRZEBIEGÓW ELEKTROENERGETYCZNYCH

PROPOZYCJA ZASTOSOWANIA WYMIARU PUDEŁKOWEGO DO OCENY ODKSZTAŁCEŃ PRZEBIEGÓW ELEKTROENERGETYCZNYCH Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 56 Politechniki Wrocławskiej Nr 56 Studia i Materiały Nr 24 2004 Krzysztof PODLEJSKI *, Sławomir KUPRAS wymiar fraktalny, jakość energii

Bardziej szczegółowo

Fraktale deterministyczne i stochastyczne. Katarzyna Weron Katedra Fizyki Teoretycznej

Fraktale deterministyczne i stochastyczne. Katarzyna Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Fraktale deterministyczne i stochastyczne Katarzyna Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Szare i Zielone Scena z Fausta Goethego (1749-1832), Mefistofeles do doktora (2038-2039): Wszelka, mój bracie, teoria

Bardziej szczegółowo

samopodobnym nieskończenie subtelny

samopodobnym nieskończenie subtelny Fraktale Co to jest fraktal? Według definicji potocznej fraktal jest obiektem samopodobnym tzn. takim, którego części są podobne do całości lub nieskończenie subtelny czyli taki, który ukazuje subtelne

Bardziej szczegółowo

Zadania domowe. Ćwiczenie 2. Rysowanie obiektów 2-D przy pomocy tworów pierwotnych biblioteki graficznej OpenGL

Zadania domowe. Ćwiczenie 2. Rysowanie obiektów 2-D przy pomocy tworów pierwotnych biblioteki graficznej OpenGL Zadania domowe Ćwiczenie 2 Rysowanie obiektów 2-D przy pomocy tworów pierwotnych biblioteki graficznej OpenGL Zadanie 2.1 Fraktal plazmowy (Plasma fractal) Kwadrat należy pokryć prostokątną siatką 2 n

Bardziej szczegółowo

Usługi Informatyczne "SZANSA" - Gabriela Ciszyńska-Matuszek ul. Świerkowa 25, Bielsko-Biała

Usługi Informatyczne SZANSA - Gabriela Ciszyńska-Matuszek ul. Świerkowa 25, Bielsko-Biała Usługi Informatyczne "SZANSA" - Gabriela Ciszyńska-Matuszek ul. Świerkowa 25, 43-305 Bielsko-Biała NIP 937-22-97-52 tel. +48 33 488 89 39 zwcad@zwcad.pl www.zwcad.pl Aplikacja do rysowania wykresów i oznaczania

Bardziej szczegółowo

Graficzne opracowanie wyników pomiarów 1

Graficzne opracowanie wyników pomiarów 1 GRAFICZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW Celem pomiarów jest bardzo często potwierdzenie związku lub znalezienie zależności między wielkościami fizycznymi. Pomiar polega na wyznaczaniu wartości y wielkości

Bardziej szczegółowo

1. Opis okna podstawowego programu TPrezenter.

1. Opis okna podstawowego programu TPrezenter. OPIS PROGRAMU TPREZENTER. Program TPrezenter przeznaczony jest do pełnej graficznej prezentacji danych bieżących lub archiwalnych dla systemów serii AL154. Umożliwia wygodną i dokładną analizę na monitorze

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Następnie zdefiniujemy utworzony szkic jako blok, wybieramy zatem jak poniżej

Następnie zdefiniujemy utworzony szkic jako blok, wybieramy zatem jak poniżej Zadanie 1 Wykorzystanie opcji Blok, Podziel oraz Zmierz Funkcja Blok umożliwia zdefiniowanie dowolnego złożonego elementu rysunkowego jako nowy blok a następnie wykorzystanie go wielokrotnie w tworzonym

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 4

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 4 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 4 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

znajdowały się różne instrukcje) to tak naprawdę definicja funkcji main.

znajdowały się różne instrukcje) to tak naprawdę definicja funkcji main. Część XVI C++ Funkcje Jeśli nasz program rozrósł się już do kilkudziesięciu linijek, warto pomyśleć o jego podziale na mniejsze części. Poznajmy więc funkcje. Szybko się przekonamy, że funkcja to bardzo

Bardziej szczegółowo

Tworzenie prezentacji w MS PowerPoint

Tworzenie prezentacji w MS PowerPoint Tworzenie prezentacji w MS PowerPoint Program PowerPoint dostarczany jest w pakiecie Office i daje nam możliwość stworzenia prezentacji oraz uatrakcyjnienia materiału, który chcemy przedstawić. Prezentacje

Bardziej szczegółowo

Wymiarowanie i teksty. Polecenie:

Wymiarowanie i teksty. Polecenie: 11 Wymiarowanie i teksty Polecenie: a) Utwórz nowy rysunek z pięcioma warstwami, dla każdej warstwy przyjmij inny, dowolny kolor oraz grubość linii. Następnie narysuj pokazaną na rysunku łamaną warstwie

Bardziej szczegółowo

b) Dorysuj na warstwie pierwszej (1) ramkę oraz tabelkę (bez wymiarów) na warstwie piątej (5) według podanego poniżej wzoru:

b) Dorysuj na warstwie pierwszej (1) ramkę oraz tabelkę (bez wymiarów) na warstwie piątej (5) według podanego poniżej wzoru: Wymiarowanie i teksty 11 Polecenie: a) Utwórz nowy rysunek z pięcioma warstwami, dla każdej warstwy przyjmij inny, dowolny kolor oraz grubość linii. Następnie narysuj pokazaną na rysunku łamaną na warstwie

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Fraktale. i Rachunek Prawdopodobieństwa

Fraktale. i Rachunek Prawdopodobieństwa Fraktale i Rachunek Prawdopodobieństwa Przyjrzyjmy się poniższemu rysunkowi, przedstawiającemu coś,, co kształtem tem przypomina drzewo o bardzo regularnej strukturze W jaki sposób b najłatwiej atwiej

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Projektowanie graficzne. Wykład 2. Open Office Draw

Projektowanie graficzne. Wykład 2. Open Office Draw Projektowanie graficzne Wykład 2 Open Office Draw Opis programu OpenOffice Draw OpenOffice Draw umożliwia tworzenie prostych oraz złożonych rysunków. Posiada możliwość eksportowania rysunków do wielu różnych

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inspirowane Naturą

Obliczenia inspirowane Naturą Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 06 Geometria fraktalna Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 20/10/2016 1 / 43 1 Określenie nieformalne 2 Zbiór Mandelbrota 3 Określenie nieformalne pudełkowy Inne definicje

Bardziej szczegółowo

WIZUALIZER 3D APLIKACJA DOBORU KOSTKI BRUKOWEJ. Instrukcja obsługi aplikacji

WIZUALIZER 3D APLIKACJA DOBORU KOSTKI BRUKOWEJ. Instrukcja obsługi aplikacji /30 WIZUALIZER 3D APLIKACJA DOBORU KOSTKI BRUKOWEJ Instrukcja obsługi aplikacji Aby rozpocząć pracę z aplikacją, należy zarejestrować się w celu założenia konta. Wystarczy wpisać imię, nazwisko, adres

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Regresja linearyzowalna

Regresja linearyzowalna 1 z 5 2007-05-09 23:22 Medycyna Praktyczna - portal dla lekarzy Regresja linearyzowalna mgr Andrzej Stanisz z Zakładu Biostatystyki i Informatyki Medycznej Collegium Medicum UJ w Krakowie Data utworzenia:

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

WIZUALIZER 3D APLIKACJA DOBORU KOSTKI BRUKOWEJ. Instrukcja obsługi aplikacji

WIZUALIZER 3D APLIKACJA DOBORU KOSTKI BRUKOWEJ. Instrukcja obsługi aplikacji /30 WIZUALIZER 3D APLIKACJA DOBORU KOSTKI BRUKOWEJ Instrukcja obsługi aplikacji Aby rozpocząć pracę z aplikacją, należy zarejestrować się w celu założenia konta. Wystarczy wpisać imię, nazwisko, adres

Bardziej szczegółowo

Modele i symulacje - Scratch i Excel

Modele i symulacje - Scratch i Excel Instytut Matematyki Uniwersytet Gdański Literatura P. Szlagowski, Programowanie wizualne scratch 2.0 SCRATCH jest językiem programowania, w którym możesz stworzyć własne interaktywne historyjki, animacje,

Bardziej szczegółowo

Obsługa mapy przy użyciu narzędzi nawigacji

Obsługa mapy przy użyciu narzędzi nawigacji Obsługa mapy przy użyciu narzędzi nawigacji Narzędzia do nawigacji znajdują się w lewym górnym rogu okna mapy. Przesuń w górę, dół, w lewo, w prawo- strzałki kierunkowe pozwalają przesuwać mapę w wybranym

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu

Bardziej szczegółowo

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 1 z 6 Zespół Dydaktyki Fizyki ITiE Politechniki Koszalińskiej Ćw. nr 3 Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 Cel ćwiczenia Pomiar okresu wahań wahadła z wykorzystaniem bramki optycznej

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Podręcznik. Przykład 1: Wyborcy

Podręcznik. Przykład 1: Wyborcy MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Iwo Białynicki-Birula Iwona Białynicka-Birula

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

Obrazy rekurencyjne. Zastosowanie rekurencji w algorytmice. AUTOR: Martin Śniegoń

Obrazy rekurencyjne. Zastosowanie rekurencji w algorytmice. AUTOR: Martin Śniegoń Obrazy rekurencyjne Zastosowanie rekurencji w algorytmice AUTOR: Martin Śniegoń Zdolność procedury/funkcji do wywoływania samej siebie Podstawowa i jedna z najważniejszych technik programistycznych Umożliwia

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADY ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STANDARDY DLA WYBRANYCH TREŚCI PROGRAMOWYCH Z POZIOMU PODSTAWOWEGO I ROZSZERZONEGO

PRZYKŁADY ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STANDARDY DLA WYBRANYCH TREŚCI PROGRAMOWYCH Z POZIOMU PODSTAWOWEGO I ROZSZERZONEGO PRZYKŁADY ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STANDARDY DLA WYBRANYCH TREŚCI PROGRAMOWYCH Z POZIOMU PODSTAWOWEGO I ROZSZERZONEGO ZADANIA OPRACOWANE PRZEZ Agnieszkę Sumicką Katarzynę Hejmanowską

Bardziej szczegółowo

Animacje z zastosowaniem suwaka i przycisku

Animacje z zastosowaniem suwaka i przycisku Animacje z zastosowaniem suwaka i przycisku Animacja Pole równoległoboku Naukę tworzenia animacji uruchamianych na przycisk zaczynamy od przygotowania stosunkowo prostej animacji, za pomocą, której można

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Zaznaczanie komórek. Zaznaczenie pojedynczej komórki polega na kliknięciu na niej LPM

Zaznaczanie komórek. Zaznaczenie pojedynczej komórki polega na kliknięciu na niej LPM Zaznaczanie komórek Zaznaczenie pojedynczej komórki polega na kliknięciu na niej LPM Aby zaznaczyć blok komórek które leżą obok siebie należy trzymając wciśnięty LPM przesunąć kursor rozpoczynając od komórki

Bardziej szczegółowo

W tym celu korzystam z programu do grafiki wektorowej Inkscape 0.46.

W tym celu korzystam z programu do grafiki wektorowej Inkscape 0.46. 1. Wprowadzenie Priorytetem projektu jest zbadanie zależności pomiędzy wartościami średnich szybkości przemieszczeń terenu, a głębokością eksploatacji węgla kamiennego. Podstawowe dane potrzebne do wykonania

Bardziej szczegółowo

Pracę wykonali: -Bryjak Mateusz -Chudziak Paweł -Palacz Angelika -Skorwider Dariusz

Pracę wykonali: -Bryjak Mateusz -Chudziak Paweł -Palacz Angelika -Skorwider Dariusz Pracę wykonali: -Bryjak Mateusz -Chudziak Paweł -Palacz Angelika -Skorwider Dariusz Symetria osiowa- przekształcenie płaszczyzny względem pewnej prostej, jest ona osią symetrii. Każdemu punktowi A przyporządkowujemy

Bardziej szczegółowo

Obsługa programu Paint. mgr Katarzyna Paliwoda

Obsługa programu Paint. mgr Katarzyna Paliwoda Obsługa programu Paint. mgr Katarzyna Paliwoda Podstawowo program mieści się w Systemie a dojście do niego odbywa się przez polecenia: Start- Wszystkie programy - Akcesoria - Paint. Program otwiera się

Bardziej szczegółowo

Praktyczne przykłady wykorzystania GeoGebry podczas lekcji na II etapie edukacyjnym.

Praktyczne przykłady wykorzystania GeoGebry podczas lekcji na II etapie edukacyjnym. Praktyczne przykłady wykorzystania GeoGebry podczas lekcji na II etapie edukacyjnym. Po uruchomieniu Geogebry (wersja 5.0) Pasek narzędzi Cofnij/przywróć Problem 1: Sprawdź co się stanie, jeśli połączysz

Bardziej szczegółowo

Baltie 3. Podręcznik do nauki programowania dla klas I III gimnazjum. Tadeusz Sołtys, Bohumír Soukup

Baltie 3. Podręcznik do nauki programowania dla klas I III gimnazjum. Tadeusz Sołtys, Bohumír Soukup Baltie 3 Podręcznik do nauki programowania dla klas I III gimnazjum Tadeusz Sołtys, Bohumír Soukup Czytanie klawisza lub przycisku myszy Czytaj klawisz lub przycisk myszy - czekaj na naciśnięcie Polecenie

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

1.1 Zakładka Mapa. Kliknięcie zakładki "Mapa" spowoduje wyświetlenie panelu mapy:

1.1 Zakładka Mapa. Kliknięcie zakładki Mapa spowoduje wyświetlenie panelu mapy: 1.1 Zakładka Mapa Kliknięcie zakładki "Mapa" spowoduje wyświetlenie panelu mapy: Rys. 1 Zakładka Mapa Zakładka "Mapa" podzielona została na sześć części: 1. Legenda, 2. Pasek narzędzi, 3. Panel widoku

Bardziej szczegółowo

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarów

Niepewności pomiarów Niepewności pomiarów Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) w roku 1995 opublikowała normy dotyczące terminologii i sposobu określania niepewności pomiarów [1]. W roku 1999 normy zostały opublikowane

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 4. Arkusz kalkulacyjny i programy do obliczeń statystycznych

Ćwiczenia nr 4. Arkusz kalkulacyjny i programy do obliczeń statystycznych Ćwiczenia nr 4 Arkusz kalkulacyjny i programy do obliczeń statystycznych Arkusz kalkulacyjny składa się z komórek powstałych z przecięcia wierszy, oznaczających zwykle przypadki, z kolumnami, oznaczającymi

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

Temat: Organizacja skoroszytów i arkuszy

Temat: Organizacja skoroszytów i arkuszy Temat: Organizacja skoroszytów i arkuszy Podstawowe informacje o skoroszycie Excel jest najczęściej wykorzystywany do tworzenia skoroszytów. Skoroszyt jest zbiorem informacji, które są przechowywane w

Bardziej szczegółowo

Komputery I (2) Panel sterowania:

Komputery I (2) Panel sterowania: Komputery I (2) Paweł Jamer Panel sterowania: Podstawowym miejscem z którego zarządzamy ustawieniami systemu Windows jest panel sterowania. Znaleźć tam możemy wszelkiego rodzaju narzędzia umożliwiające

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA UŻYTKOWNIKA PORTALU SIDGG

INSTRUKCJA UŻYTKOWNIKA PORTALU SIDGG INSTRUKCJA UŻYTKOWNIKA PORTALU SIDGG dla Państwowy Instytut Geologiczny Państwowy Instytut Badawczy 1. Uruchomienie aplikacji. a. Wprowadź nazwę użytkownika w miejsce Nazwa użytkownika b. Wprowadź hasło

Bardziej szczegółowo

Diagnostyka obrazowa

Diagnostyka obrazowa Diagnostyka obrazowa Ćwiczenie drugie Podstawowe przekształcenia obrazu 1 Cel ćwiczenia Ćwiczenie ma na celu zapoznanie uczestników kursu Diagnostyka obrazowa z podstawowymi przekształceniami obrazu wykonywanymi

Bardziej szczegółowo

GEOPLAN Z SIATKĄ TRÓJKĄTNĄ

GEOPLAN Z SIATKĄ TRÓJKĄTNĄ TEMAT NUMERU 9 GEOPLAN Z SIATKĄ TRÓJKĄTNĄ Marzenna Grochowalska W Matematyce w Szkole wiele miejsca poświęcono geoplanom z siatką kwadratową oraz ich zaletom 1. Równie ciekawą pomocą dydaktyczną jest geoplan

Bardziej szczegółowo

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w

Bardziej szczegółowo

Formatowanie komórek

Formatowanie komórek Formatowanie komórek Korzystając z włączonego paska narzędziowego Formatowanie możemy, bez szukania dodatkowych opcji sformatować wartości i tekst wpisany do komórek Zmiana stylu czcionki (pogrubienie,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę

Bardziej szczegółowo

6. Notacja wykładnicza stosuje notację wykładniczą do przedstawiania bardzo dużych liczb

6. Notacja wykładnicza stosuje notację wykładniczą do przedstawiania bardzo dużych liczb LICZBY I DZIAŁANIA PROCENTY str. 1 Przedmiot: matematyka Klasa: 2 ROK SZKOLNY 2015/2016 temat Wymagania podstawowe P 2. Wartość bezwzględna oblicza wartość bezwzględną liczby wymiernej 3. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

narzędzie Linia. 2. W polu koloru kliknij kolor, którego chcesz użyć. 3. Aby coś narysować, przeciągnij wskaźnikiem w obszarze rysowania.

narzędzie Linia. 2. W polu koloru kliknij kolor, którego chcesz użyć. 3. Aby coś narysować, przeciągnij wskaźnikiem w obszarze rysowania. Elementy programu Paint Aby otworzyć program Paint, należy kliknąć przycisk Start i Paint., Wszystkie programy, Akcesoria Po uruchomieniu programu Paint jest wyświetlane okno, które jest w większej części

Bardziej szczegółowo

Analiza składowych głównych. Wprowadzenie

Analiza składowych głównych. Wprowadzenie Wprowadzenie jest techniką redukcji wymiaru. Składowe główne zostały po raz pierwszy zaproponowane przez Pearsona(1901), a następnie rozwinięte przez Hotellinga (1933). jest zaliczana do systemów uczących

Bardziej szczegółowo

Zakładka Mapa. Kliknięcie zakładki "Mapa" spowoduje wyświetlenie panelu mapy:

Zakładka Mapa. Kliknięcie zakładki Mapa spowoduje wyświetlenie panelu mapy: Zakładka Mapa Kliknięcie zakładki "Mapa" spowoduje wyświetlenie panelu mapy: Rys. 1 Zakładka Mapa Zakładka "Mapa" podzielona została na sześć części: 1. Legenda, 2. Pasek narzędzi, 3. Panel widoku mapy,

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki

Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki Ćwiczenie laboratoryjne 2 Temat: Modelowanie powierzchni swobodnych 3D przy użyciu programu Autodesk Inventor Spis treści 1.

Bardziej szczegółowo

KGGiBM GRAFIKA INŻYNIERSKA Rok III, sem. VI, sem IV SN WILiŚ Rok akademicki 2011/2012

KGGiBM GRAFIKA INŻYNIERSKA Rok III, sem. VI, sem IV SN WILiŚ Rok akademicki 2011/2012 Rysowanie precyzyjne 7 W ćwiczeniu tym pokazane zostaną wybrane techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2012, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Narysować

Bardziej szczegółowo

Rysowanie precyzyjne. Polecenie:

Rysowanie precyzyjne. Polecenie: 7 Rysowanie precyzyjne W ćwiczeniu tym pokazane zostaną różne techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2010, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Z uwagi na

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny EXCEL

Arkusz kalkulacyjny EXCEL ARKUSZ KALKULACYJNY EXCEL 1 Arkusz kalkulacyjny EXCEL Aby obrysować tabelę krawędziami należy: 1. Zaznaczyć komórki, które chcemy obrysować. 2. Kursor myszy ustawić na menu FORMAT i raz kliknąć lewym klawiszem

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach. Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej

Bardziej szczegółowo

TWORZENIE SZEŚCIANU. Sześcian to trójwymiarowa bryła, w której każdy z sześciu boków jest kwadratem. Sześcian

TWORZENIE SZEŚCIANU. Sześcian to trójwymiarowa bryła, w której każdy z sześciu boków jest kwadratem. Sześcian TWORZENIE SZEŚCIANU Sześcian to trójwymiarowa bryła, w której każdy z sześciu boków jest kwadratem. Sześcian ZADANIE Twoim zadaniem jest zaprojektowanie a następnie wydrukowanie (za pomocą drukarki 3D)

Bardziej szczegółowo

Podręczna pomoc Microsoft Power Point 2007

Podręczna pomoc Microsoft Power Point 2007 Podręczna pomoc Microsoft Power Point 2007 Animacja (przejście) slajdu... 2 Wybór przejścia slajdu... 2 Ustawienie dźwięku dla przejścia... 3 Ustawienie szybkości przejścia slajdu... 4 Sposób przełączenia

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Walec na równi pochyłej

Walec na równi pochyłej Walec na równi pochyłej Program: Coach 6 Projekt: komputer H : C:\Program Files (x86)\cma\coach6\full.en\cma Coach Projects\PTSN Coach 6\Wideopomiary\Walec na rowni.cma Cel ćwiczenia Obserwacja ruchu postępowego

Bardziej szczegółowo

Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN

Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN Program GEOPLAN umożliwia zmianę układu współrzędnych geodezyjnych mapy. Można tego dokonać przy udziale oprogramowania przeliczającego

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:

Bardziej szczegółowo

PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI DLA KLAS DRUGICH POZIOM PODSTAWOWY

PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI DLA KLAS DRUGICH POZIOM PODSTAWOWY 5 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI DLA KLAS DRUGICH POZIOM PODSTAWOWY DATA: 30 MAJA 2017 R. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:000 CZAS PRACY: 170 MINUT LICZBA PUNKTÓW

Bardziej szczegółowo

Fraktale wokół nas. Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski. informatyka +

Fraktale wokół nas. Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski. informatyka + Fraktale wokół nas Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski informatyka + 1 Podobieństwo figur informatyka + 2 Figury podobne Figury są podobne gdy proporcjonalnie zwiększając lub zmniejszając jedną z nich

Bardziej szczegółowo

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH ul. Konarskiego 2, 30-049 Kraków tel. 12 633 13 83 lub 12 633 02 47 W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH Arkadiusz Biel Kraków 2011 Wielokąty gwiaździste są ciekawym przypadkiem wielokątów, gdyż posiadają

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy

Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom podstawowy Potęgi Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; zna prawa działań na potęgach i potrafi

Bardziej szczegółowo

w jednym kwadrat ziemia powietrze równoboczny pięciobok

w jednym kwadrat ziemia powietrze równoboczny pięciobok Wielościany Definicja 1: Wielościanem nazywamy zbiór skończonej ilości wielokątów płaskich spełniających następujące warunki: 1. każde dwa wielokąty mają bok lub wierzchołek wspólny albo nie mają żadnego

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do rysowania w 3D. Praca w środowisku 3D

Wprowadzenie do rysowania w 3D. Praca w środowisku 3D Wprowadzenie do rysowania w 3D 13 Praca w środowisku 3D Pierwszym krokiem niezbędnym do rozpoczęcia pracy w środowisku 3D programu AutoCad 2010 jest wybór odpowiedniego obszaru roboczego. Można tego dokonać

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ POZIOM PODSTAWOWY Klasa 1 Klasa 1

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ POZIOM PODSTAWOWY Klasa 1 Klasa 1 Klasa 1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 18 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym. 3. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

Laboratorium - Monitorowanie i zarządzanie zasobami systemu Windows 7

Laboratorium - Monitorowanie i zarządzanie zasobami systemu Windows 7 5.0 5.3.3.5 Laboratorium - Monitorowanie i zarządzanie zasobami systemu Windows 7 Wprowadzenie Wydrukuj i uzupełnij to laboratorium. W tym laboratorium, będziesz korzystać z narzędzi administracyjnych

Bardziej szczegółowo

Zadanie Wstaw wykres i dokonaj jego edycji dla poniższych danych. 8a 3,54 8b 5,25 8c 4,21 8d 4,85

Zadanie Wstaw wykres i dokonaj jego edycji dla poniższych danych. 8a 3,54 8b 5,25 8c 4,21 8d 4,85 Zadanie Wstaw wykres i dokonaj jego edycji dla poniższych danych Klasa Średnia 8a 3,54 8b 5,25 8c 4,21 8d 4,85 Do wstawienia wykresu w edytorze tekstu nie potrzebujemy mieć wykonanej tabeli jest ona tylko

Bardziej szczegółowo

Obszar pierwszy to pasek narzędzi (rys. 1) zawierający skróty do najczęściej uŝywanych funkcji. Rys. 1 Pasek Narzędzi

Obszar pierwszy to pasek narzędzi (rys. 1) zawierający skróty do najczęściej uŝywanych funkcji. Rys. 1 Pasek Narzędzi Do najwaŝniejszych zmian w CERTO v4.0 naleŝy: MoŜliwość wczytywania do programu plików graficznych zawierających rzuty lub przekroje budynku i zaznaczania na nich elementów wprowadzanych do programu CERTO.

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony

Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony Kryteria oceniania z matematyki Klasa III poziom rozszerzony Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja potęgowa - zna i stosuje tw. o potęgach - zna wykresy funkcji potęgowej o dowolnym

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

C-geo definicja/edycja obiektów, zapis danych w formacie shape

C-geo definicja/edycja obiektów, zapis danych w formacie shape C-geo definicja/edycja obiektów, zapis danych w formacie shape 1. ZałoŜenie projektu i tabeli. Aby rozpocząć pracę przy aktualizacji mapy zasadniczej, naleŝy załoŝyć nowy projekt, w nim nową tabelę roboczą,

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności

Bardziej szczegółowo

Dodawanie grafiki i obiektów

Dodawanie grafiki i obiektów Dodawanie grafiki i obiektów Word nie jest edytorem obiektów graficznych, ale oferuje kilka opcji, dzięki którym można dokonywać niewielkich zmian w rysunku. W Wordzie możesz zmieniać rozmiar obiektu graficznego,

Bardziej szczegółowo