Fraktale w Cinderelli Iteracje przekształceń afinicznych i inwersyjnych
|
|
- Krystyna Wojciechowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Fraktale w Cinderelli Iteracje przekształceń afinicznych i inwersyjnych Andrzej Sendlewski 1. Wstęp W tej miniaturze kontynuujemy prezentację metody generowania fraktali w schemacie IFS rozpoczętą w[14]. Znajomość miniatury[14] nie jest konieczna dla zrozumienia przedstawianych tutaj treści, ale może w znacznym stopniu to ułatwić. Przypomnijmy w zarysie metodę IFS. Definicja 1. Funkcję f : Π Π nazywamy przekształceniem zwężającym(kontrakcją) płaszczyzny Π, jeśli istnieje pewna liczba rzeczywistac,0 c<1taka,żedladowolnychpunktówa,b Π zachodzi nierówność f(a)f(b) c AB. Liczbę c nazywamy współczynnikiem zwężenia. Można udowodnić następujące twierdzenie. Twierdzenie2.Dladowolnegoskończonegoukładu{f 1,f 2,...,f k } przekształceń zwężających płaszczyzny Π istnieje jedyna niepusta, ograniczona i domknięta(zawierająca swoje punkty brzegowe) figura F taka, że F=f 1 (F) f 2 (F)... f k (F). 1
2 2 Figurę F nazywamy atraktorem, albo fraktalem wyznaczonym przez ten układ. Aby wyznaczyć fraktal F dla danego układu definiujemy funkcję F(operator) działającą na figurach kładąc F(A)=f 1 (A) f 2 (A)... f k (A), dla dowolnej figury płaskiej A. Teraz, ustalając na płaszczyźnie figurę ograniczoną i domkniętą B wyznaczmy kolejno figury: F(B),F(F(B)),F(F(F(B))),... Figury te będą coraz bardziej przypominać atraktor F, niezależnie od tegojakąfigurąbyłafigura B.Wpraktyceza Bbierzemyfiguręjednopunktową,tj.punktP 0 ipostępujemywedługnastępującegoalgorytmu: (1) Losujemy jedno przekształcenie f spośród przekształceń układu(f=f i dlapewnegoi {1,2,...,k}). (2)WyznaczamypunktP 1 =f(p 0 ). (3) Ponownie losujemy jedno przekształcenie g spośród przekształceńukładu(g=f j dlapewnegoj {1,2,...,k}). (4)WyznaczamypunktP 2 =g(p 1 ). (5) Losujemy jedno przekształcenie h spośród przekształceń układu(h=f s dlapewnegos {1,2,...,k}). (6)WyznaczamypunktP 3 =f(p 2 )..... W wyniku tego postępowania otrzymamy nieskończony ciąg punktów P 0,P 1,P 3,...Zbiórtychpunktówtworzyfigurębędącąprzybliżeniem poszukiwanego atraktora F układu przekształceń, a sposób w jaki on powstaje nazywamy metodą IFS. Dodajmy, że prawdopodobieństwa z jakimi losujemy przekształcenia nie muszą być równe. Można niektóre przekształcenia uprzywilejować ustalając inny rozkład prawdopodobieństwa. Fraktale będziemy tutaj generowali za pomocą metody IFS zaimplementowanej w programie Cinderella 2.0, tak jak w miniaturze[14], ale teraz układy funkcji iteracyjnych będą tworzyły przekształcenia afiniczne(fraktale samoafiniczne) albo inwersje względem okręgów(fraktale samoinwersyjne).
3 2. Przekształcenia afiniczne W szkolnym programie matematyki nie ma nic na temat przekształceń afinicznych, które będziemy tutaj stosować, Dlatego postaramy się przybliżyć najważniejsze pojęcia i fakty niezbędne do zrozumienia przedstawianych treści. Czytelnika zainteresowanego poszerzeniem wiadomości z tego zakresu odsyłamy do książki J. Bednarczuka[1], gdzie zagadnienie przedstawiono bardzo elementarnie i elegancko. Definicja3.Funkcjęf:Π Π,gdzieΠjestzbiorempunktów płaszczyzny, nazywamy przekształceniem afinicznym jeśli: a) f jest funkcją odwracalną, a więc różnowartościową i na, b) obrazem dowolnej prostej w przekształceniu f jest prosta. Bezpośrednio z definicji, za pomocą elementarnych rozumowań, można wyprowadzić wiele własności przekształceń afinicznych. Niektóre z nich zebrano w poniższym wniosku(spróbuj samodzielnie to wywnioskować). Wniosek 4. Dla dowolnego przekształcenia afinicznego f, punktów A,B,C,Dorazprostychaibzachodzą: a)jeżeliprosteaibprzecinająsięwjednympunkciep,toichobrazy f(a)if(b)przecinająsięwpunkcief(p), b)jeżelia b,tof(a) f(b), c) jeżeli punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku,topunktyf(a),f(b),f(c),f(d)sątakżekolejnymiwierzchołkami równoległoboku, d)obrazemśrodkaodcinkaokońcachaibjestśrodekodcinkaokońcachf(a)if(b). Własność z punktu c) powyższego wniosku jest jedną z podstawowych cech charakterystycznych przekształceń afinicznych. Okazuje się, że określenie wartości przekształcenia afinicznego na wierzchołkach równoległoboku(w istocie na trzech jego wierzchołkach bo czwarty jest jednoznacznie konstruowalny za pomocą prostych równoległych) jednoznacznie wyznacza to przekształcenie. Twierdzenie 5. Każde dwa trójkąty są afinicznie przystające, tzn. dla dowolnych dwóch trójek niewspółliniowych punktów A, B, C oraz 3
4 4 A,B,C istniejedokładniejednoprzekształcenieafiniczneftakie,że f(a)=a,f(b)=b if(c)=c. Fakt ten zaimplementowano w programie Cinderella i w taki właśnie sposób będziemy zadawać przekształcenia afiniczne. Tutaj jedna uwaga, nasza wyobraźnia lepiej pracuje, gdy widzimy równoległoboki, a więc jeśli będziemy chcieli określić interesujące nas przekształcenie, to powinniśmy widzieć dwa równoległoboki, początkowy i ten który ma być jego obrazem. Wtedy wystarczy wybrać sobie jakiekolwiek 3 wierzchołki wyjściowego równoległoboku i każdemu z nich przyporządkować jako ich wartości po jednym z 3 dowolnie wybranych wierzchołków równoległoboku, który ma być obrazem. Jeśli zależy nam na tym, aby definiowane przekształcenie zachowywało orientację płaszczyzny, to trójka uporządkowana wybranych wierzchołków i odpowiadająca jej trójka punktów będących ich obrazami powinny być trójkami jednakowo zorientowanymi. Oczywiście każde podobieństwo(a więc i każda izometria) jest przekształceniem afinicznym. Jak znajdować najprostsze przykłady przekształceń afinicznych, które nie są podobieństwami? Otóż, wybieramy sobie dwa punkty A, B i deklarujemy je jako punkty stałe przekształcenia,anastępniedwapunktyc,dpozaprostąabideklarujemyjedenz nich jako obraz drugiego. W takim przekształceniu każdy punkt prostej AB jest punktem stałym. Przekształcenia te nazywamy powinowactwamiosiowymioosiab.rolapowinowactwjestbardzoważnacowynika z następującego twierdzenia. Twierdzenie 6. Każde przekształcenie afiniczne płaszczyzny Π jest złożeniem pewnego podobieństwa i pewnego powinowactwa osiowego. Narysunku1przedstawionoobraztrójkątaPQRiokręgunanim opisanego w powinowactwie f o osi AB. Z rysunku widzimy, że przekształcenia afiniczne nie zachowują kątów pomiędzy prostymi, a obrazami okręgów są elipsy(okrąg to też elipsa, ale bardzo szczególna). Pozostaje jeszcze jedna ważna dla nas kwestia, jak stwierdzić, czy nasze przekształcenie afiniczne jest przekształceniem zwężającym, czy nie? Otóż sprawa jest równie prosta jak w przypadku podobieństw. Wystarczy tym razem zadbać o to, aby każdy z boków trójkąta, który ma być obrazem, był krótszy od odpowiedniego boku trójkąta wyjściowego użytego do definicji tego przekształcenia.
5 5 Rysunek 1. Obrazy figur w powinowactwie osiowym Wtedy nasze przekształcenie będzie przekształceniem zwężającym, zaś jeśli ten warunek nie będzie spełniony, to przekształcenie nie będzie przekształceniem zwężającym. 3. Przykłady fraktali samoafinicznych Skupimy naszą uwagę na dwóch fraktalach samoafinicznych, smoku Heigweya i paproci Barnsleya, zaliczanych obecnie do klasyki geometrii fraktalnej(zobacz[5]) Smok Heighwaya. Rozważmy dwa kwadraty ABCD, ANBM i równoległobok AMQP(AP = AB) położone względem siebie tak jak na rysunku 2. Zdefiniujmy dwa przekształcenia afiniczne: f, przekształcające kwadrat ABCD na równoległobok AMQP, podobieństwo g, przekształcające kwadrat ABCD na kwadrat ANBM. Atraktor takiego układu przekształceń, zwany smokiem Heighwaya, wygenerowany metodą IFS przedstawia rysunek 3. Zauważmy, że jeśli czterokrotnie obrócimy układ dwóch kwadratów irównoległobokuzrysunku2wokółpunktuaokątprosty,tootrzymamy konfigurację z rysunku 4(wielkości figur i oznaczenia punktów
6 6 Rysunek 2. Konfiguracja Heighwaya Rysunek 3. Smok Heighwaya zostały zmienione!). Mogłoby sie wydawać, że aby narysować te cztery figury jako fraktale będziemy potrzebowali ośmiu przekształceń, ale wystarczy tylko sześć widocznych na rysunku 4, bo niektóre z nich definiowane z uwzględnieniem obrotu pokryją się. Oznacza to, że cztery
7 7 Rysunek 4. Konfiguracja dla czterech smoków Rysunek 5. Cztery smoki smoki Heigwaya dla tych czterech układów będą do siebie pasowały. Przedstawia to rysunek 5, gdzie każdy ze smoków jest rysowany inną parą zbliżonych do siebie kolorów(smoki: zielony, czerwony, niebieski,
8 8 czarny). Z tego, że całą płaszczyznę można przykryć kwadratami wnioskujemy, że można ją także przykryć smokami Heigwaya tak, aby na siebie nie nachodziły(mają tylko wspólne brzegi) Paproć Barnsleya. Rozważmy prostokąt ABDC i cztery inne prostokąty, będące obrazami tego wyjściowego prostokąta: najmniejszy prostokąt HGEF, definiuje pierwsze przekształcenie na liście, duży prostokąt LKNM, definiuje drugie przekształcenie na liście, dwaśredniejwielkościprostokątyprqoiustv definiują odpowiednio trzecie i czwarte przekształcenie na liście. Rysunek 6. Konfiguracja Barnsleya Fraktal tego układu czterech przekształceń afinicznych przypomina swoim kształtem liść paproci i nazywany jest od nazwiska jego odkrywcy- paprocią Barnsleya(patrz rysunek 7). Generowanie tego fraktala wymaga nierównomiernego doboru prawdopodobieństw losowania przekształceń. Aby otrzymać taki efekt jak na rysunkach trzeba losować drugie z przekształceń z największym prawdopodobieństwem
9 9 Rysunek 7. Paproć Barnsleya Rysunek 8. Paproć Barnsleya bliskim 0,8. Aby ostatecznie upodobnić ten fraktal do rzeczywistej paproci wystarczy jeszcze odpowiednio dobrać kolory rysowania obrazów względem odpowiednich przekształceń (rysunki 8 i 9).
10 10 Rysunek 9. Paproć Barnsleya na sferze 4. Trzy powinowactwa osiowe Podobnie jak to uczyniliśmy w miniaturze[14], spróbujmy wygenerować swoje własne fraktale. Weźmy trójkąt równoboczny ABC i trzy swobodne punkty D, E, F leżące na dwusiecznych kątów wewnętrznych odpowiednio o wierzchołkach C, A, B(patrz rysunek 10). Rozważmy układ trzech prostokątnych powinowactw p, q i r: p, oosi AB i p(i)=d, q, oosi BC i q(i)=e, r, oosi CA i r(i)=f. Manipulując trzema swobodnymi punktami D, E i F możemy zmieniać układ przekształceń i obserwować generowane fraktale. Rysunki od 11 do 14 przedstawiają przykłady fraktali otrzymanych tym sposobem. Efekty z pewnością nie są oszałamiające, ale mogą budzić naszą ciekawość.
11 11 Rysunek 10 Rysunek 11
12 12 Rysunek 12 Rysunek 13
13 13 Rysunek Inwersje względem okręgu Pojęcie przekształcenia płaszczyzny zwanego inwersją, albo symetrią względem okręgu, należy do działu klasycznej geometrii zwanego geometrią okręgów. Inwersję można zdefiniować na wiele rozmaitych sposobów. Tutaj zrobimy to w sposób możliwie najbardziej elementarny(zobacz[10]). Rozwiążmy następujące zadanie konstrukcyjne dotyczące okręgu. Zadanie1.DladanegookręguośrodkuOipromieniurorazpunktuP,P O,skonstruujtakipunktP napółprostejowierzchołkuo przechodzącej przez P, aby OP OP =r 2. PrzedstawmydwieróżnekonstrukcjepunktuP,pozostawiającuzasadnienie ich poprawności czytelnikowi. Konstrukcja za pomocą siecznych(rysunek 15). (1) Prowadzimy przez punkt P sieczną okręgu przecinającą go w punktachaib.
14 14 (2) Odbijamy symetrycznie względem prostej OP jeden z punktów B(albo A) otrzymując punkt okręgu C. (3)ZnajdujemypunktP jakoprzecięcieprostejopzsiecznąac (albobc). Rysunek 15. Konstrukcja za pomocą siecznych Konstrukcja za pomocą cyrkla(rysunek 16). (1) Znajdujemy punkty A i B przecięcia okręgu danego z okręgiem ośrodkuwpipromieniudługościop. (2)RysujemydwaokręgiośrodkachwAiBipromieniachr, które oczywiście przecinają się w punkcie O. (3)ZnajdujemypunktP jakodrugi(różnyodo)punktprzecięcia tych dwóch okręgów. Rysunek 16. Konstrukcja za pomocą cyrkla Definicja7.InwersjąpłaszczyznyobiegunieOiwykładnikur 2 nazywamyfunkcjęf:π\{o} Π\{O}taką,żedladowolnego
15 punktupróżnegoodo f(p)=p, gdziep jestjedynympunktempółprostejowierzchołkuoprzechodzącejprzezpunktptakim,żeop OP =r 2. OkrągośrodkuOipromieniurnazywamyokręgieminwersjif. Z definicji wynika, że inwersja jest przekształceniem odwracalnym, a przekształceniem do niej odwrotnym jest ta sama inwersja. Zauważmy jeszcze, że każdy punkt okręgu inwersji jest jej punktem stałym, obrazy punktów leżących w kole wyznaczonym przez okrąg inwersji leżą poza tym kołem i odwrotnie(stąd nazwa symetria względem okręgu). 15 Rysunek 17. Obrazy okręgów i prostych w inwersji Rysunek 17 przedstawia obraz okręgu o środku A i dwóch prostopadłych prostych(figury koloru pomarańczowego) w inwersji względem zielonego okręgu. Są nimi odpowiednio okrąg nie przechodzący przez biegun i dwa prostopadłe okręgi bez punktu O(figury koloru fioletowego). Wtedy obrazami figur koloru fioletowego w tej inwersji są odpowiednie figury koloru pomarańczowego, bo przekształceniem odwrotnym do inwersji jest ta sama inwersja. Z tego eksperymentu wynika, że
16 16 z dokładnością do bieguna, obrazami okręgów mogą być okręgi bądź proste, a obrazami prostych proste bądź okręgi. Jak zmienia sie odległość pomiędzy obrazami punktów w inwersji w zależności od odległości pomiędzy tymi punktami? Odpowiedzi na to pytanie udziela następujące twierdzenie. Twierdzenie 8. Niech f będzie inwersją o biegunie O i wykładnikur 2.DladowolnychpunktówAiBpłaszczyznyzachodzirówność r 2 f(a)f(b)= OA OB AB. Z twierdzenia tego wynika, że przekształcenia inwersyjne nie są odwzorowaniami zwężającymi płaszczyzny. Tym niemniej sposób zmiany odległości w tych przekształceniach daje nadzieję na generowanie ciekawych fraktali metodą IFS, chociażby lokalnie w pewnych fragmentach płaszczyzny(wszystko zależy od wzajemnego położenia okręgów inwersji danego układu). 6. Przykłady fraktali samoinwersyjnych Rozważmy pięciokąt foremny gwiaździsty jak na rysunku 18. Rysunek 18. Konfiguracja okręgów pięciokąta gwiaździstego
17 Weźmy pięć okręgów o środkach w wierzchołkach ramion gwiazdy, które przechodzą przez punkty na ramionach dzielących każde z tych ramion wzłotymstosunku żółteokręgi,orazokrągośrodkuwśrodkugwiazdy i swobodnym promieniu zielony okrąg. Zdefiniujmy układ funkcji iteracyjnych jako układ inwersji względem każdego z tych okręgów Możemy teraz wygenerować metodą IFS fraktal dla tego układu. 17 Rysunek 19 Manipulując wielkością zielonego okręgu możemy zmieniać warunki początkowe układu zmieniając jedno z przekształceń tego układu (inwersję względem zielonego okręgu) i obserwować otrzymywane fraktale. Celowo na wszystkich rysunkach nie ukrywamy ani gwiazdy, ani okręgów inwersji, abyśmy mogli obserwować rezultaty w zależności od wzajemnego położenia tych okręgów. Przykładowe rezultaty tego eksperymentu, które uznaliśmy za warte uwagi, przedstawiają rysunki 19, 20i21. Jak sprawdzić czy na rysunku jest cały fraktal, czy jedynie jego część? Może nam w tym pomóc odwzorowanie płaszczyzny na sferę, gdyż wtedy będziemy widzieli całą płaszczyznę, a nie tylko jej fragment. Rysunki 22, 23 i 24 przedstawiają widoki sferyczne fraktali odpowiednio
18 18 Rysunek 20 Rysunek 21
19 19 Rysunek 22 Rysunek 23 z rysunków 19, 20 i 21. Wynika z nich niezbicie, że na rysunku 19 widzimy tylko część fraktala, a na dwóch pozostałych rysunkach znajdują się całe fraktale.
20 20 Rysunek Podsumowanie Drogi Czytelniku, wszystkie ilustracje z tej miniatury i wcześniejszej miniatury [14] zostały wyeksportowane do apletów Javy i opublikowane na pod adresem internetowym: Zapraszam wszystkich do eksperymentowania tymi ilustracjami w trakcie czytania tej miniatury, co ułatwi zrozumienie przedstawionych treści. Co więcej, zachęcam wszystkich do samodzielnego generowania swoich nowych fraktali. Program geometryczny Cinderella w wersji 2.0 można pobrać z witryny [20]. Wersja demo programu wymaga jednakże sporej sprawności, gdyż działa tylko przez kwadrans, a zapis pracy nie jest kompletny (autorzy programu udostępniają pełną darmową, ale uboższą wersję 1.4, w której niestety nie zaimplementowano metody IFS). W trakcie pracy z programem proponujemy oglądnie fraktali w różnych geometriach. Dodajmy jeszcze, że program Cinderella 2.0 nie tylko zawiera wiele narzędzi do eksperymentowania z obiektami geometrycznymi w różnych geometriach (euklidesowa, sferyczna, itp.) ale
21 jest prawdziwym laboratorium fizycznym do symulacji zjawisk fizycznych(układy punktów materialnych, układy ładunków elektrycznych, układy planetarne, odbicia sprężyste, itp.). Co więcej, zainteresuje to czytelników lubiących programować, jest także środowiskiem programistycznym, które pozwala na pisanie własnych skryptów zarządzających zachowaniem się badanych obiektów. Obszerny spis literatury zawiera także pozycje, które nie są cytowane w tekście. Ma on ułatwić wszystkim zainteresowanym tematyką miniatury znajdowanie materiałów w języku polskim. Literatura [1] J. Bednarczuk, Urok przekształceń afinicznych, WSP, Warszawa [2] J. Ciesielski, Z. Pogoda Złamany wymiar, Wiedza i Zycie, nr 11-12(1989). [3]A.Fuliński,Ochaosieiprzypadku,FizykawSzkole,nr2(1994). [4] L. Jabłoński, Istota chaosu, Fizyka w Szkole nr 1(1992). [5] J. Kudrewicz, Fraktale i chaos, WNT, Warszawa [6]T.KwastChaosjestwszędzie,Delta,nr10(1993). [7] H. O. Peitgen, H Jürgens, D. Saupe, Granice chaosu: fraktale, PWN, Warszawa [8] H. O. Peitgen, H Jürgens, D. Saupe, C. Zahlten, Fraktale. Animacje, eksperymenty i wywiady z E. Lorenzem i B. Mandelbrotem, PWN, Warszawa [9] P. Pierański, Fraktale. Od geometrii do sztuki, Ośrodek Wydawnictw Naukowych, Poznań [10] W. W. Prasołow, Zadaczi po płanimetrii tom 2, Nauka, Moskwa 1991(po rosyjsku). [11] P. Przytycki, ZOO na płaszczyźnie Delta, nr 2(1985). [12] P. Raczka, Turbulencje i fraktale, Delta, nr 2(1985). [13] J. Ryll, Ułamkowy wymiar, Delta, nr 2(1985). [14] A. Sendlewski, Fraktale w Cinderelli. Iteracje podobieństw, Miniatury Matematyczne 28, Aksjomat, Toruń [15] H. G. Schuster, Chaos deterministyczny, PWN, Warszawa [16] D. Smith, Jak wygenerować chaos domowym sposobem, Świat Nauki, nr 3 (1992). [17] I. Stewart, Czy Bóg gra w kości? Nowa matematyka chaosu, PWN, Warszawa [18] J. Stoer, Wstep do analizy numerycznej, PWN, Warszawa [19]J.Turnau,Chaos,Wiedzaiżycie,nr2(1992). [20] Witryna internetowa programu The Interactive Geometry Software Cinderella, 21
22
Fraktale w Cinderelli Iteracje podobieństw
Fraktale w Cinderelli Iteracje podobieństw Andrzej Sendlewski 1. Wstęp Geometria euklidesowa, której elementy poznajemy w trakcie nauki szkolnej, zajmuje się figurami o idealnych kształtach. Uczymy się
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3
DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy
Bardziej szczegółowoKolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Bardziej szczegółowoRysunek 1. Udowodnij, że AB CD = BC DA. Rysunek 2. Po inwersji o środku w punkcie E. Rysunek 3. Po inwersji o środku w punkcie A
g H e D c H' E g' h e' O d A C' d' C A' F' f' I' G' B' G I F f INWERSJA Inwersją o środku O i promieniu r nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny (bez punktu O), które każdemu punktowi X O przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoJednokładność i podobieństwo
Jednokładność i podobieństwo Adrian Łydka Bernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Iloczynem niezerowego wektora u przez liczbę rzeczywistą s 0 nazywamy wektor v spełniający następujące dwa warunki: 1) v =
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Bardziej szczegółowoNotatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013
Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia geometryczne
PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych
Bardziej szczegółowoPytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)
Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoKONSTRUKCJE ZA POMOCĄ CYRKLA. Ćwiczenia Czas: 90
KONSTRUKCJE ZA POMOCĄ CYRKLA Ćwiczenia Czas: 90 TWIERDZENIE MOHRA-MASCHERONIEGO jeżeli dana konstrukcja geometryczna jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest wykonalna za pomocą samego cyrkla,
Bardziej szczegółowoGeometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:
Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni
Bardziej szczegółowoSkrypt 30. Przygotowanie do egzaminu Okrąg wpisany i opisany na wielokącie
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Przygotowanie do egzaminu Okrąg wpisany
Bardziej szczegółowoInwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania
Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania Rozważmy sferę S o środku O i promieniu R. Inwersją względem sfery S nazywamy przekształcenie, które przekształca punkt A na punkt A leżący na półprostej
Bardziej szczegółowoPraktyczne przykłady wykorzystania GeoGebry podczas lekcji na II etapie edukacyjnym.
Praktyczne przykłady wykorzystania GeoGebry podczas lekcji na II etapie edukacyjnym. Po uruchomieniu Geogebry (wersja 5.0) Pasek narzędzi Cofnij/przywróć Problem 1: Sprawdź co się stanie, jeśli połączysz
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE
PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE Dane będę rysował na czarno. Różne etapy konstrukcji kolorami: (w kolejności) niebieskim, zielonym, czerwonym i ewentualnie pomarańczowym i jasnozielonym. 1. Prosta
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowoMini tablice matematyczne. Figury geometryczne
Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku
Bardziej szczegółowoMETODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45
METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA WYKŁAD 1 Czas: 45 TWIERDZENIE PONCELETA-STEINERA W roku 1833, Szwajcarski matematyk Jakob Steiner udowodnił, że wszystkie klasyczne konstrukcje (za pomocą cyrkla i linijki)
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W KLASIE VI
SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI W KLASIE VI Temat: Oś symetrii figury. Cele operacyjne: Uczeń: - zna rodzaje trójkątów i ich własności, - zna rodzaje czworokątów ich własności, - odkrywa i formułuje definicję
Bardziej szczegółowoOdkrywanie twierdzeń geometrycznych przy pomocy komputera
Odkrywanie twierdzeń geometrycznych przy pomocy komputera Andrzej Sendlewski WMiI UMK Koło Matematyczne 15 maja 2010 DGS programy komputerowe CINDERELLA ver. 1.4, ver. 2.0 (komercyjna) Circle & Ruler (R.
Bardziej szczegółowoZbiór Cantora. Diabelskie schody.
Zbiór Cantora. Diabelskie schody. Autor: Norbert Miękina Zespół Szkół nr 3 im. ks. prof. Józefa Tischnera ul. Krakowska 20 32-700 Bochnia tel. 14 612-27-79 Opiekun: mgr Barbara Góra 1 W matematyce sztuka
Bardziej szczegółowoTrójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180. +
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2015 rok SZCZYRK 2015 Treści zadań Pierwsze zawody indywidualne
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Bardziej szczegółowoMETODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45
METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA WYKŁAD 1 Czas: 45 O KONSTRUKCJACH GEOMETRYCZNYCH 1. Starożytni matematycy posługiwali się konstrukcjami geometrycznymi. 2. Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoSymetryczne eksperymenty
Maciej Frączek Dominik Trąbka uczniowie klasy 2b Gimnazjum nr 37 z Oddziałami Integracyjnymi Im. Maksymiliana Marii Kolbe w Krakowie Os. Złotego Wieku 36 Symetryczne eksperymenty Opiekun mgr Teresa Sklepek
Bardziej szczegółowo9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 7
Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 7 Lang: Pole powierzchni kuli Nierówność dla objętości skorupki: (pow. małej kuli) h objętość skorupki
Bardziej szczegółowoSkrypt 24. Geometria analityczna: Opracowanie L5
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 24 Geometria analityczna:
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI
FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o
Bardziej szczegółowoFRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO
FRAKTALE I SAMOPODOBIEŃSTWO Mariusz Gromada marzec 2003 mariusz.gromada@wp.pl http://multifraktal.net 1 Wstęp Fraktalem nazywamy każdy zbiór, dla którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha (tzw. wymiar fraktalny)
Bardziej szczegółowoProjekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt dla ucznia Planimetria: 5.
Bardziej szczegółowow jednym kwadrat ziemia powietrze równoboczny pięciobok
Wielościany Definicja 1: Wielościanem nazywamy zbiór skończonej ilości wielokątów płaskich spełniających następujące warunki: 1. każde dwa wielokąty mają bok lub wierzchołek wspólny albo nie mają żadnego
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria
Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona
Bardziej szczegółowoSkrypt dla ucznia. Geometria analityczna część 3: Opracowanie L3
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt dla ucznia Geometria analityczna
Bardziej szczegółowoGEOPLAN Z SIATKĄ TRÓJKĄTNĄ
TEMAT NUMERU 9 GEOPLAN Z SIATKĄ TRÓJKĄTNĄ Marzenna Grochowalska W Matematyce w Szkole wiele miejsca poświęcono geoplanom z siatką kwadratową oraz ich zaletom 1. Równie ciekawą pomocą dydaktyczną jest geoplan
Bardziej szczegółowoProjekt Zobaczę-dotknę-wiem i umiem, dofinansowany przez Fundację mbanku w partnerstwie z Fundacją Dobra Sieć
Kartka papieru i własności trójkątów. Ćwiczenie 1 Uczniowie ustalają ile znają rodzajów trójkątów. Podział ze względu na miary kątów Podział ostrokątny prostokątny rozwartokątny ze względu na długości
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa VII Planimetria Teoria
Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma
Bardziej szczegółowoRozkład figury symetrycznej na dwie przystające
Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule
Bardziej szczegółowoNawi zanie do gimnazjum Planimetria Trójk Rysujemy Rysujemy Rysujemy Zapisujemy t zewn trzny trójk ta, Trójk ty ze wzgl du na miary k tów Trójk
PLANIMETRIA Lekcja 102-103. Miary kątów w trójkącie str. 222-224 Nawiązanie do gimnazjum Planimetria to., czy planimetria zajmuje się. (Dział geometrii, który zajmuje się badaniem płaskich figur geometrycznych)
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 16 (27.02.2010) Twierdzenia evy i Menelaosa 1.
Bardziej szczegółowo1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej Rozwiązania - klasy drugie 1. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniające nierówności x + 1 + y 4 x + y 4 5 x 4 + y 1 > 4. Ważne jest zauważenie,
Bardziej szczegółowoIX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Bardziej szczegółowoGeometria. Planimetria. Podstawowe figury geometryczne
Geometria Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Aksjomaty
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoXIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada atematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2017 r. 16 października 2017 r.) 1. iczby a, b, c spełniają zależności Wykaż, że a 2 +b 2 = c 2. Szkice
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoSkrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2016 rok SZCZYRK 2016 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoSkrypt 14. Figury płaskie Okrąg wpisany i opisany na wielokącie. 7. Wielokąty foremne. Miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 14 Figury płaskie Okrąg wpisany i opisany
Bardziej szczegółowoSkrypt 12. Figury płaskie Podstawowe figury geometryczne. 7. Rozwiązywanie zadao tekstowych związanych z obliczeniem pól i obwodów czworokątów
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 12 Figury płaskie Podstawowe figury geometryczne
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania
Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi
Bardziej szczegółowoTWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI
TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 15 (20.02.2010) Zbiory wypukłe Definicja. Zbiór
Bardziej szczegółowoSkrypt 15. Figury płaskie Symetrie
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 15 Figury płaskie Symetrie 1. Symetria względem
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMJ
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria
Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Mówimy, że odcinki i CD są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli CD = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.
Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami
Bardziej szczegółowoCiekawe własności pól figur geometrycznych
Ciekawe własności pól figur geometrycznych W mojej pracy zajęłam się wykazywaniem faktów, że pola pewnych figur spełniają określone warunki. Większość z tych dowodów można było przeprowadzić metodami prawie
Bardziej szczegółowoRozkład materiału nauczania
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2017/2018 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 60 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY
Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.
Bardziej szczegółowoZad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013
Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)
Bardziej szczegółowoO geometrii nieeuklidesowej. Andrzej Kotański
O geometrii nieeuklidesowej Andrzej Kotański Plan 1. Rys historyczny 2. Zaprzeczenie piątego pewnika Euklidesa 3. Modele geometrii eliptycznej i hiperbolicznej 4. Modele Beltramiego i Poincarego 5. Kąt
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:
Bardziej szczegółowoXXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I
XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowoStereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne
Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni
Bardziej szczegółowoPlanimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
Bardziej szczegółowoWielokąty i Okręgi- zagadnienia
Wielokąty i Okręgi- zagadnienia 1. Okrąg opisany na trójkącie. na każdym trójkącie można opisać okrąg, środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta, jeżeli
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I
MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I Z trójkątem, jako figurą geometryczną, uczeń spotyka się już na etapie nauczania początkowego. W czasie dalszego procesu kształcenia
Bardziej szczegółowoPODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:
PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
Bardziej szczegółowoPlanimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie
Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu
Bardziej szczegółowoMłodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. dr Michał Lorens
Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego ODLEGŁOŚĆ NA POWIERZCHNI WIELOŚCIANU dr Michał Lorens 28.04.2012 Projekt
Bardziej szczegółowoGeometria wykreślna. 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury
Geometria wykreślna 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I 1 5. Obroty i
Bardziej szczegółowoTrójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
Bardziej szczegółowoW ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH
ul. Konarskiego 2, 30-049 Kraków tel. 12 633 13 83 lub 12 633 02 47 W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH Arkadiusz Biel Kraków 2011 Wielokąty gwiaździste są ciekawym przypadkiem wielokątów, gdyż posiadają
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH
MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część II Na rysunku przedstawiony jest obszar pewnego miasta wraz z zaznaczonymi szkołami podstawowymi. Wyobraźmy sobie, że mamy przydzielić
Bardziej szczegółowoSkrypt 19. Trygonometria: Opracowanie L3
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 19 Trygonometria: 9. Proste
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoProjekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał Ludzki Priorytet 9 Działanie 9.1 Poddziałanie
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 19, grupa zaawansowana (20.03.2010) Zastosowania
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy
GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej
Bardziej szczegółowo8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.
WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ ZAJĘĆ KOŁA NAUKOWEGO z MATEMATYKI prowadzonego w ramach projektu Uczeń OnLine
SCENARIUSZ ZAJĘĆ KOŁA NAUKOWEGO z MATEMATYKI prowadzonego w ramach projektu Uczeń OnLine 1. Autor: Anna Wołoszyn 2. Grupa docelowa: klasa 1 Gimnazjum 3. Liczba godzin: 2 4. Temat zajęć: Symetria względem
Bardziej szczegółowoGeometrie Wszechświata. 3. Punkty w nieskończoności 4. Czy Wszechświat jest nieskończony? materiały do ćwiczeń
Geometrie Wszechświata. 3. Punkty w nieskończoności 4. Czy Wszechświat jest nieskończony? materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 16 marzec 2017 Prezentacja multimedialna
Bardziej szczegółowoGeometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
Geometria Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 W tym przypadku możemy wykonać szkic pięciokąta i policzyć przekątne: Zadanie. Promień okręgu opisanego na kwadracie
Bardziej szczegółowo