Algorytmy i Struktury Danych.

Transkrypt

1 Algorytmy i Struktury Danych. Rekurencja dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 1 / 61

2 Rekurencja I Rekurencja polega na rozwiazywaniu problemu w oparciu o rozwiazania tego samego problemu dla danych o mniejszych rozmiarach. W informatyce rekurencja jest technika programistyczna, polegajac a na wywoływaniu funkcji wewnatrz niej samej. Rekurencja jest jedna z najbardziej interesujacych technik programistycznych i to w dodatku technika zaskakujaco efektywna. Rekurencyjny opis obliczeń jest na ogół bardziej zwarty niż opis tych samych obliczeń bez użycia rekurencji. Taki opis jest stosowany np. przy opisie fraktali. Niektóre rozwiazania rekurencyjne moga być nieefektywne. W takich przypadkach można je zastapić rozwiazaniami wykorzystujacymi zwyczajna petle lub stos. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 2 / 61

3 Rekurencja II Funkcja rekurencyjna cyklicznie wywołuje sama siebie, za każdym razem przekazujac w wywołaniu inne argumenty. Przekazanie argumentu o pewnej wartości powoduje, że funkcja kończy działanie bez kolejnego wywołania samej siebie. Sytuacja ta jest nazywana przypadkiem bazowym. Gdy najbardziej wewnętrzne wywołanie funkcji zostaje zakończone, rozpoczyna się proces zakańczania kolejnych wywołań, który w końcu doprowadza do zakonczenia poczatkowego wywołania. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 3 / 61

4 Indukcja matematyczna Programowanie rekurencyjne jest bezpośrednio zwiazana z indukcja matematyczna - technika dowodzenia własności funkcji dyskretnych. Udowodnienie, że pewne twierdzenie odwołujace się do liczby całkowitej N jest prawdziwe dla nieskończenie wielu wartości N przy pomocy indukcji matematycznej składa się z dwóch etapów: Przypadek bazowy - udowadniamy, że twierdzenie jest prawdziwa dla jakiejś określonej wartości (zwykle 0 lub 1). Krok indukcyjny - główna częścia dowodu. Zazwyczaj zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich mniejszych niż N, a następnie wykorzystujac ten fakt, udowodniamy, że jest prawdziwe dla N. Taki dowód jest wystarczajacy, aby wykazać, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich N. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 4 / 61

5 Rozważane problemy rekurencyjne Funkcja silnia - Hello word dla rekurencji :) Algorytm Euklidesa Liczba trójkatna Potęgi liczby naturalnej a Ciag Fibonacciego Wieże Hanoi Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 5 / 61

6 Funkcja silnia n! = n Algorytm iteracyjny: Require: Liczba n 1: i = 1; 2: silnia = 1; 3: while i <= n do 4: silnia = silnia * i; 5: i= i+1; 6: end while 7: return silnia; Złożoność czasowa: Θ(n). long long factorial(int n) { if (n==0) return 1; int i = 1; long long s = 1; while (i <= n) s *= i++; return s; } Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 6 / 61

7 Funkcja silnia - wersja rekurencyjna silnia(n) = { 1 dla n = 0 Przypadek bazowy n silnia(n 1) dla n > 0 Krok redukcji Kod C++: long long silnia(int n) { if (n==0) return 1; return n*silnia(n-1); } Ślad obliczeń: silnia(4) silnia(3) silnia(2) silnia(1) silnia(0) return 1 return 1*1 = 1 return 2*1 = 2 return 3*2 = 6 return 4*6 = 24 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 7 / 61

8 Czasowa złożoność obliczeniowa T (n) - czas potrzebny do wykonania funkcji silnia (n) dla dowolnego wejścia o rozmiarze n. Przypadek bazowy: T (0) = 1 (jednostkowy czas pracy, gdy algorytm działa na wejściu wielkości 1); Krok indukcyjny: Dla wejścia o rozmiarze n, algorytm wykonuje pracę jednostkowa realizujac operacje porównania, mnożenia (tj. n silnia(n 1)) oraz zwrotu wartości, a następnie wywołuje sam siebie dla wejścia o rozmiarze n 1. Zatem otrzymujemy następujace równanie: T (n) = T (n 1) + 1 dla n > 0. Jeśli rozwiniemy rekurencję otrzymujemy: T (0) = 1, T (1) = T (0) + 1 = = 2 T (2) = T (1) + 1 = = 3, T (3) = T (2) + 1 = = 4 T (4) = T (3) + 1 = = 5,..., T (n) = n + 1 Zatem T (n) = Θ(n). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 8 / 61

9 Największy Wspólny Dzielnik - Algorytm Euklidesa Wejście: dwie liczby naturalne a, b. Wyjście: największy wspólny dzielnik liczb a i b. Rozwiazanie rekurencyjne: { NWD(a, b) = a dla b = 0 NWD(b, a mod b) dla b > 0 Euklides z Aleksandrii ok p.n.e. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 9 / 61

10 Największy Wspólny Dzielnik - kod C++ //wersja rekurencyjna long long NWD(int a, int b) { if (b==0) return a; else return NWD(b,a%b); } //wersja iteracyjna long long NWD2(int a, int b) { while (b!= 0) { int temp = b; b = a % b; a = temp; } return a; } Ślad obliczeń nwd(1440, 408) nwd(408, 216) nwd(216, 192) nwd(192, 24) nwd(24, 0) return 24 return 24 return 24 return 24 return 24 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 10 / 61

11 Złożoność czasowa NWD Twerdzenie: Gabriel Lamé, 1844 Dla n 1, niech u i v będa liczbami całkowitymi takimi, że u > v > 0 oraz algorytm euklidesa zastosowany do u i v wymaga dokładnie n dzieleń oraz u jest najmniejsza możliwa wartościa spełniajacych te warunki. Wówczas u = F(n + 2) oraz v = F(n + 1), gdzie F(k) jest liczba Fibonacciego a. Ponadto, liczba kroków algorytmu Euklidesa nie przekracza wartości 5 razy ilość cyfr w mniejszej liczbie. a (D. Knuth. The Art of Computer Programming, Tom. 2, Addison-Wesley, 1998., str. 343) Ograniczenie 5 może być dalej zmniejszone do ln(10)/lnφ, gdzie (φ = = ) jest złotym podziałem. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 11 / 61

12 Złożoność czasowa NWD Przykład: Niech a = 3 a b = 2. Algorytm NWD wykonał 2 obroty, aby obliczyć NWD z a i b: NWD(3, 2) = NWD(2, 1) = NWD(1, 0) = 1 Ograniczenie zgodne z Tw. Gabriel Lamé: 5 1 = 5 Ulepszone ograniczenie: 1 ln(10)/ln(1.62) = 4, 77 Przykład: Niech a = 8 a b = 5. Algorytm NWD wykonał 4 obroty, aby obliczyć NWD z a i b: NWD(8, 5) = NWD(5, 3) = NWD(3, 2) = NWD(2, 1) = NWD(1, 0) = 1 Ograniczenie zgodne z Tw. Gabriel Lamé: 5 1 = 5 Ulepszone ograniczenie: 1 ln(10)/ln(1.62) = 4, 77 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 12 / 61

13 Złożoność czasowa NWD Przykład: Niech a = 55 a b = 34. Algorytm NWD wykonał 8 obrotów, aby obliczyć NWD z a i b: NWD(55, 34) = NWD(34, 21) = NWD(21, 13) = NWD(13, 8) = NWD(8, 5) = NWD(5, 3) = NWD(3, 2) = NWD(2, 1) = NWD(1, 0) = 1 Ograniczenie zgodne z Tw. Gabriel Lamé: 5 2 = 10 Ulepszone ograniczenie: 2 ln(10)/ln(1.62) = 2 4, 77 = 9, 54 Niech a = 89 a b = 55. Algorytm NWD wykonał 9 obrotów, aby obliczyć NWD z a i b: NWD(89, 55) = NWD(55, 34) = NWD(34, 21) = NWD(21, 13) = NWD(13, 8) = NWD(8, 5) = NWD(5, 3) = NWD(3, 2) = NWD(2, 1) = NWD(1, 0) = 1. Ograniczenie zgodne z Tw. Gabriel Lamé: 5 2 = 10 Ulepszone ograniczenie: 2 ln(10)/ln(1.62) = 2 4, 77 = 9, 54 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 13 / 61

14 Złożoność czasowa NWD Przykład: Niech a = 144 a b = 55. Algorytm NWD wykonał 9 obrotów, aby obliczyć NWD z a i b: NWD(144, 55) = NWD(55, 34) = NWD(34, 21) = NWD(21, 13) = NWD(13, 8) = NWD(8, 5) = NWD(5, 3) = NWD(3, 2) = NWD(2, 1) = NWD(1, 0) = 1 Ograniczenie zgodne z Tw. Gabriel Lamé: 5 2 = 10 Ulepszone ograniczenie: 2 ln(10)/ln(1.62) = 2 4, 77 = 9, 54 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 14 / 61

15 Liczby trójkatne Liczby trójkatne: 1, 3, 6, 10, 15, 21, itd.. n-ty element ciagu otrzymujemy poprzez dodanie liczby n do poprzedniego elementu ciagu, tj.: drugi element ciagu to 2 plus wartość pierwszego elementu (czyli 1), co daje 3. trzeci element ciagu to 3 plus 3 (wartość drugiego elementu), co daje 6; itd. Liczby trójkatne można przedstawić za pomoca odpowiedniej ilości obiektów (kulek, pudełek, itp.) rozmieszczonych w formie trójkata: Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 15 / 61

16 Algorytm obliczajacy n-ta liczbę trójkatn a Algorytm: triangle (n) 1: if n< 1 then 2: return 0; 3: end if 4: if n==1 then 5: return 1; 6: else 7: return n+ triangle(n - 1); 8: end if //wersja rekurencyjna int triangle (int n) { if (n<1) return 0; if (n==1) return 1; else return n+triangle(n-1); } //wersja iteracyjna int triangle2 (int n) { int total = 0; while (n>0) { total += n--; } return total; } Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 16 / 61

17 Algorytm obliczajacy n-ta liczbę trójkatn a Algorytm: triangle (n) 1: if n< 1 then 2: return 0; 3: end if 4: if n==1 then 5: return 1; 6: else 7: return n+ triangle(n - 1); 8: end if Ślad obliczeń triangle(4) triangle(3) triangle(2) triangle(1) return 1 return 2+1=3 return 3+3=6 return 4+6=10 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 17 / 61

18 Czasowa złożoność obliczeniowa T (n) - czas potrzebny do wykonania funkcji triangle (n) dla dowolnego wejścia o rozmiarze n. Przypadek bazowy: T (1) = 1 (jednostkowy czas pracy, gdy algorytm działa na wejściu wielkości 1); Krok indukcyjny: Dla wejścia o rozmiarze n, algorytm wykonuje pracę jednostkowa realizujac operacje porównania, dodawania (tj. n + triangle(n 1)) oraz zwrotu wartości, a następnie wywołuje sam siebie dla wejścia o rozmiarze n 1. Zatem otrzymujemy następujace równanie: T (n) = T (n 1) + 1 dla n > 0. Jeśli rozwiniemy rekurencję otrzymujemy: T (0) = 1, T (1) = T (0) + 1 = = 2 T (2) = T (1) + 1 = = 3, T (3) = T (2) + 1 = = 4 T (4) = T (3) + 1 = = 5,..., T (n) = n + 1 Zatem T (n) = Θ(n). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 18 / 61

19 Rekurencja - obliczanie a n a n = pow(a, n) = { 1 dla n = 0 a pow(a, n 1) dla n > 0 long long pow(int a, int n) { if (n==0) return 1; else return a*pow(a,n-1); } Ślad obliczeń pow(2,3) pow(2,2) pow(2,1) pow(2,0) return 1. return 2*1 = 2 return 2*2 = 4 return 2*4 =8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 19 / 61

20 Czasowa złożoność obliczeniowa T (n) - czas potrzebny do wykonania funkcji pow(a,n) dla dowolnego wejścia o rozmiarze n. Przypadek bazowy: T (0) = 1 (jednostkowy czas pracy, gdy algorytm działa na wejściu wielkości 1); Krok indukcyjny: Dla wejścia o rozmiarze n, algorytm wykonuje pracę jednostkowa realizujac operacje porównania, mnożenia (tj. a pow(a, n 1)) oraz zwrotu wartości, a następnie wywołuje sam siebie dla wejścia o rozmiarze n 1. Zatem otrzymujemy następujace równanie: T (n) = T (n 1) + 1 dla n > 0. Jeśli rozwiniemy rekurencję otrzymujemy: T (0) = 1, T (1) = T (0) + 1 = = 2 T (2) = T (1) + 1 = = 3, T (3) = T (2) + 1 = = 4 T (4) = T (3) + 1 = = 5,..., T (n) = n + 1 Zatem T (n) = Θ(n). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 20 / 61

21 Ciag Fibonacciego Liczby naturalne tworzace ciag o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjatkiem dwóch pierwszych) jest suma dwóch poprzednich nazywa się liczbami Fibonacciego. Poczatkowe wartości tego ciagu to: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... Ciag Fibonacciego zawdzięcza swoja nazwę włoskiemu matematykowi z Pizy, Leonardowi, który pod nazwiskiem Fibonacci wydał w 1202 roku słynna księgę Liber Abaci zawierajac a opis tego ciagu jako rozwiazanie zadania o rozmnażaniu się królików. Ojciec Leonarda nosił przydomek Bonacci, stad syn został Fibonaccim (filius Bonacci - syn dobrotliwego). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 21 / 61

22 Ciag Fibonacciego - rozmnażanie królików Zadanie Fibonacciego: Ile par królików może spłodzić jedna para w ciagu roku, jeśli: każda para rodzi nowa parę w ciagu miesiaca, para staje się płodna po miesiacu, króliki nie umieraja. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 22 / 61

23 Ciag Fibonacciego - rozmnażanie królików Na poczatku 1 para: Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 23 / 61

24 Ciag Fibonacciego - rozmnażanie królików Na poczatku 1 para: W pierwszym miesiacu ta sama 1 para (po 1 miesiacu króliki sa zdolne do rozrodu): Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 23 / 61

25 Ciag Fibonacciego - rozmnażanie królików Drugi miesiac - para wydała na świat nowa parę królików. Sa więc - 2 pary królików Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 24 / 61

26 Ciag Fibonacciego - rozmnażanie królików Trzeci miesiac - stara para (w pionie) wydała na świat kolejna parę królików. Para młoda (po prawej) nie jest jeszcze płodna. Sa teraz 3 pary królików Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 25 / 61

27 Ciag Fibonacciego - rozmnażanie królików Czwarty miesiac - para środkowa wydała na świat kolejna parę królików. Para po prawej wydała na świat 1 parę, a para po lewej jeszcze nie jest gotowa do rozrodu. Zatem mamy - 5 par królików. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 26 / 61

28 Ciag Fibonacciego - Złoty podział W wyniku podzielenia każdej z liczb ciagu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujacy wokół 1, liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się liczb zmniejszaja się odchylenia od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest złota liczba: Φ = = 1, Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 27 / 61

29 Ciag Fibonacciego - Złoty podział W wyniku podzielenia każdej z liczb ciagu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujacy wokół 1, liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się liczb zmniejszaja się odchylenia od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest złota liczba: Φ = = 1, /144 = /89 = /55 = /34 = /21 = /13 = Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 27 / 61

30 Ciag Fibonacciego - Złoty podział W wyniku podzielenia każdej z liczb ciagu przez jej następnik otrzymuje się iloraz oscylujacy wokół 0, liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się liczb zmniejszaja się odchylenia od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest złota liczba: 5 1 Φ = = 0, Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 28 / 61

31 Ciag Fibonacciego - Złoty podział W wyniku podzielenia każdej z liczb ciagu przez jej następnik otrzymuje się iloraz oscylujacy wokół 0, liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się liczb zmniejszaja się odchylenia od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest złota liczba: 5 1 Φ = = 0, /233 = /144 = /89 = /55 = /34 = /21 = Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 28 / 61

32 Ciag Fibonacciego - Złoty podział Złoty podział (łac. sectio aurea), podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja (łac. divina proportio) - podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Φ = a + b a = a b Złotymi proporcjami wyznaczonymi na podstawie ciagu Fibonacciego posługiwał się w swoim malarstwie Leonardo da Vinci i Botticelli. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 29 / 61

33 Ciag Fibonacciego - gdzie go można znaleźć? Ciag Fibonacciego można odnaleźć w wielu aspektach przyrody, ciag taki opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastajacej w latach. W słoneczniku możemy zaobserwować dwa układy linii spiralnych, wychodzacych ze środka. Liczba linii rozwijajacych się zgodnie z ruchem wskazówek zegara wynosi 55 i tylko 34 skręconych w przeciwna stronę. Takie same spirale można zaobserwować na wielu innych roślinach (np. kalafior, ananas). Liczby spiral występujacych w tych roślinach sa kolejnymi liczbami Fibonacciego. Źródło: Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 30 / 61

34 Ciag Fibonacciego - spirala 0 if n = 0 F(n) = 1 if n = 1 f (n 1) + f (n 2) if n 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 31 / 61

35 Ciag Fibonacciego - algorytm rekurencyjny Definicja rekurencyjna: F(0) = 0, F(1) = 1 F(n) = F(n 1) + F(n 2), dla n 2 Algorytm: FIB (n) 1: if n == 0 or n == 1 then 2: return n; 3: end if 4: return FIB(n 2) + FIB(n 1); Złożoność obliczeniowa: Równanie opisujace zachowanie algorytmu: T (n) = T (n 1) + T (n 2) + Θ(1) dla n > 1 oraz T (0) = T (1) = 1. Rozwiazanie T (n) = Θ(φ n ), gdzie φ = , 6 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 32 / 61

36 Ciag Fibonacciego - drzewo wywołań F(5) F(4) F(3) F(2) F(3) F(2) F(1) F(1) F(0) F(2) F(1) F (1) F(0) F(1) F(0) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 33 / 61

37 Efektywność rekurencyjnego wykonania funkcji Fibonacciego n Liczba dodawań Liczba wywołań Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 34 / 61

38 Ciag Fibonacciego - algorytm iteracyjny Require: Liczba n {F 0,..., F n 1, F n } Algorytm: FIB (n) 1: if n < 2 then 2: return n; 3: else 4: f 0 = 0; 5: f 1 = 1; 6: for i = 2 n do 7: m = f 0 + f 1; 8: f 0 = f 1; 9: f 1 = m; 10: end for 11: end if 12: return m; Złożoność obliczeniowa: Θ(n) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 35 / 61

39 Efektywność iteracyjnego wykonania funkcji Fibonacciego Liczba przypisań Liczba wywołań n algorytm iteracyjny algorytm rekurencyjny Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 36 / 61

40 Wieże Hanoi Definicja problemu Dane: trzy pale A, B i C oraz N krażków o różnych średnicach. Warunki poczatkowe: Na jeden z pali, np. na A, nałożono krażki tak, że krażek mniejszy nie leży pod wiekszym. Pale B i C sa puste. Problem: Przenieść wszystkie krażki z pala A na C przy założeniu, że: można używać B jako pomocnicze miejsce przechowywania. nie można kłaść krażków wiekszych na mniejsze. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 37 / 61

41 Wieże Hanoi - rozwiazanie rekurencyjne /* Przenosi n dyskow na lewo ( gdy left = true) lub prawo (gdy left = false) Wywolanie: moves(n, true); */ void moves(int n, bool left){ if (n == 0) return; moves(n-1,!left); if (left) cout<<n<< " left" << endl; else cout<<n<< " right"<<endl; moves(n-1,!left); } Ślad wykonania moves(2, true) moves(1, false) moves(0, false) return; 1 right moves(0, true) return; 2 left moves(1, false) moves(0, true) return; 1 right moves (0,false) return; Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 38 / 61

42 Wieże Hanoi - wykonanie dla n = 2, 3, right 2. 2 left 3. 1 right 1. 1 left 2. 2 right 3. 1 left 4. 3 left 5. 1 left 6. 2 right 7. 1 left 1. 1 right 2. 2 left 3. 1 right 4. 3 right 5. 1 right 6. 2 left 7. 1 right 8. 4 left 9. 1 right left right right right left right Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 39 / 61

43 Złożoność obliczeniowa Wież Hanoi T(n) - czas potrzebny do wykonania funkcji Hanoi(n) dla dowolnego wejścia o rozmiarze n. Algorytm rekurencyjny realizujacy problem Wież Hanoi (czyli przeniesienie n krażków z jednego palika na drugi z zachowaniem pewnych zasad) implikuje, że T (n) musi spełniać następujace równanie: T (n) = 2 T (n 1) + 1 dla n > 1 oraz T (1) = 1 Przykładowo: T (1) = 1, T (2) = 3, T (3) = 7, T (4) = 15. W ogólności: T (n) = 2 n 1 = Θ(2 n ) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 40 / 61

44 Wieże Hanoi - algorytm iteracyjny Niech A oznacza pal źródłowy, B pal pomocniczy, C pal docelowy oraz n będzie liczba dysków. 1 numofmoves= pow(2,n) if (n%2 == 0) then zamień miejscami pale $B$ i $C$. 3 for i = 1 to numofmoves do if (i%3 == 1) then przenieś górny dysk z A na C if i%3 == 2 then przenieś górny dysk z A na B if i%3 == 0 then przenieś górny dysk z B na C endfor Złóżoność obliczeniowa: Θ(2 n ) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 41 / 61

45 Pułapki rekursji - brakujacy przypadek bazowy double H(int n) { return H(n-1) + 1.0/n; } Ślad wykonania H(4), H(3), H(2), H(1), H(0), (-1),... Funkcja raz wywołana będzie wywoływać siebie w nieskończoność. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 42 / 61

46 Pułapki rekursji - brak gwarancji konwergencji double H(int n) { if (n == 1) return 1.0; return H(n) + 1.0/n; } Ślad wykonania H(4), H(4), H(4), H(4),... H(1) return 1.0 Funkcja wywołana dla n = 1 zwróci wartość 1 i zakończy sie, w każdym innym przypadku będzie wywoływać siebie w nieskończoność. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 43 / 61

47 Pułapki rekursji - wadliwy warunek bazowy long H (int n){ if (n == 1) return 1; else if (n % 2 == 0) return H(n-2)*n; else return H(n-1)*n; } Ślad wykonania H(1) return 1 H(5), H(4), H(2), H(0),... H(6), H(4), H(2), H(0),... Funkcja wywołana dla n = 1 zwróci wartość 1 i zakończy sie, w każdym innym przypadku będzie wywoływać siebie w nieskończoność. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 44 / 61

48 Pułapki rekursji - nadmierne wymagania pamięciowe double H(int n) { if (n == 0) return 0.0; return H(n-1) + 1.0/n; } Funkcja rekurencyjna H poprawnie oblicza n-ta liczbę harmoniczna. Jednakże, nie można jej używać dla dużych n, gdyż głębokość rekurencji jest proporcjonalna do n, a to powoduje przepełnienie stosu programu już przy n = double H1(int n) { double suma = 0.0; while (n!=0){ suma+= 1.0/n; n--; } return suma; } Funkcja nierekurencyjna H1 również poprawnie oblicza n-ta liczbę harmoniczna imożna ja stosować dla dużych n. Przykładowo, dla n = Uzyskaliśmy wartość w czasie 1 sek. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 45 / 61

49 Fraktale Fraktale, czyli jak piękna może być matematyka i rekurencja! Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 46 / 61

50 Zbiory Julii - Gaston Julia F(0) = p; F(n + 1) = F(n) 2 + c; gdzie: p - punkt płaszczyzny c - liczba zespolona będaca parametrem zbioru. Dla różnych c otrzymujemy różne zbiory. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 47 / 61

51 Zbiory Mandelbrota (fraktalne żółwie) F(0) = (0, 0); F(n + 1) = F(n) 2 + c; gdzie: c - liczba zespolona będaca parametrem zbioru. Dla różnych c otrzymujemy różne zbiory. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 48 / 61

52 Fraktale Najstarsze fraktale wymyślili matematycy na poczatku XX-wieku, w wyniku zmagań z definicja wymiaru i krzywej. Najwybitniejszym twórca fraktali jest amerykański matematyk i informatyk polskiego pochodzenia - Benoit Mandelbrot. Na międzynarodowym kongresie matematyków w Warszawie w roku 1983 stwierdził, że jest jeszcze za wcześnie na formułowanie ścisłej definicji fraktala ponieważ nie znamy dostatecznie głęboko istoty tego pojęcia. Źródło: wikipedia.org/wiki/ Benoit_Mandelbrot Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 49 / 61

53 Czym jest fraktal? Fraktalem jest wszystko... Benoit Mandelbrot Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 50 / 61

54 Czym jest fraktal? Fraktalem jest wszystko... Benoit Mandelbrot Fraktal jest figura geometryczna o złożonej strukturze, nie będaca krzywa, powierzchnia ani bryła w rozumieniu klasycznej matematyki; charakteryzuje ja ułamkowy wymiar (stad nazwa fraktal -ang. fraction ułamek, łac. fractus złamany). Fraktale sa bardzo skomplikowane. Dopiero komputery umożliwiły ich głębsze poznanie. Wielu badaczy twierdzi, że geometria fraktali jest geometria przyrody. Fraktale dały poczatek nowej geometrii zwanej geometria fraktalna, która pozwala modelować wiele obiektów i zjawisk występujacych w przyrodzie i nie tylko... Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 50 / 61

55 Cechy fraktali Fraktale maja cechę samopodobieństwa. Nie sa określone wzorem matematycznym, tylko zależnościa rekurencyjna. Sa obiektami których wymiar nie jest liczba całkowita. Każdy fraktal można w nieskończoność przybliżać. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 51 / 61

56 Cechy fraktali Fraktale maja cechę samopodobieństwa. Nie sa określone wzorem matematycznym, tylko zależnościa rekurencyjna. Sa obiektami których wymiar nie jest liczba całkowita. Każdy fraktal można w nieskończoność przybliżać. Kalafior Brokuł Drzewo Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 51 / 61

57 Zbiór Georga Cantora ( ) Pierwsze fraktale powstały na przełomie XIX i XX wieku. Ich twórcami byli matematycy: Georg Cantor, David Hilbert, Helge von Koch oraz Wacław Sierpiński. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 52 / 61

58 Zbiór Georga Cantora ( ) Pierwsze fraktale powstały na przełomie XIX i XX wieku. Ich twórcami byli matematycy: Georg Cantor, David Hilbert, Helge von Koch oraz Wacław Sierpiński. W roku 1883 Georg Cantor zaproponował prosta konstrukcję, w wyniku której otrzymuje się zbiór nazwany jego imieniem. Konstrukacja: Odcinek [0, 1] dzielimy na trzy równe części i usuwamy środkowa. Z pozostałymi dwoma odcinkami postępujemy analogicznie. W konsekwencji takiego postępowania w granicy nieskończonej ilości kroków powstaje zbiór punktów Cantora. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 52 / 61

59 Krzywa Kocha - Helge von Koch ( ) W 1904 roku szwedzki matematyk Helge von Koch zaproponował konstrukcję nazywana potocznie płatkiem śniegu. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 53 / 61

60 Krzywa Kocha 1 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 54 / 61

61 Krzywa Kocha 1 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 54 / 61

62 Krzywa Kocha 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 55 / 61

63 Krzywa Kocha 3 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 55 / 61

64 Krzywa Kocha 0) 1) 2) 3) 4) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 56 / 61

65 Dywan Sierpińskiego W 1916 roku Wacław Sierpiński ( ) rozszerzył zbiór Cantora na dwa wymiary. Kwadrat jednostkowy dzielimy na dziewięć i wyrzucamy środkowy. Postępujemy tak z każdym nowo powstałym kwadratem. Powstały fraktal nazywany dywanem Sierpińskiego. Analogicznie można postapić z trójkatem, którego boki dzielimy na dwie części i powstałe punkty łaczymy co doprowadzi do powstania kolejnego trójkata, który usuwamy. Z pozostałymi trzema postępujemy podobnie, itd. Źródło:http: // org/~history/ Biographies/ Sierpinski.html Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 57 / 61

66 Dywan Sierpińskiego Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 58 / 61

67 Trójkat Sierpińskiego Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 59 / 61

68 Trójkat Sierpińskiego Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 60 / 61

69 Krzywa Hilberta Krzywa Hilberta - to przykład krzywej, która wypełnia całkowicie płaszczyznę, tzn. przechodzi przez wszystkie punkty płaszczyzny. Konstrukcja tej krzywej została podana przez Davida Hilberta w 1891 jako wariant krzywej Peano. n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 61 / 61