ZASTOSOWANIE GEOMETRII FRAKTALNEJ DO OCENY KLASYFIKACJI GRAFITU W ŻELIWIE

Transkrypt

1 2/42 Solidification o f Metais and Alloys, Year 2000, Volume 2, Book No 42 Krzepnięcie Metali i Stopów, Rok 2000, Rocznik 2, Nr 42 PAN-Katowice, PL ISSN ZASTOSOWANIE GEOMETRII FRAKTALNEJ DO OCENY KLASYFIKACJI GRAFITU W ŻELIWIE Edward FRAŚ, Marcin GÓRNY Katedra Odlewnictwa Żeliwa, Akademia Górniczo-Hutnicza ul.reymonta 23, Kraków l. WPROW ADZENIE Żeliwo jest typowym przykładem stopu, w którym proces krystalizacji wytwarza szerokie spektrum morfologiczne grafitu. Standardowe metody określania mikrostruktury że li wa podają normy, np. PN-75/H lub ASTM A Metody te mają charakter jakościowy i bazują na porównaniu mikrostruktury że li wa z kilkoma wzorcami reprezentującymi kształt grafitu (Gfl + Gf9, wg PN), jego rozmieszczenie (Grl + Gr7, wg PN) oraz wymiary (Gwl5 + GwlOOO, wg PN). Charakterystyka grafitu w odlewie uzyskana przez jego porównanie z wzorcami jest subiektywna i zależy od doświadczenia operatora, zaś wyniki podaje się w postaci symboli, które nie są liczbami. Zastosowanie standardowych metod metalografii ilościowej pozwala okreś li ć takie cechy mikrostruktury jak ilość wydzielei'i n, obwód P, powierzchnię A lub objętość V danej fazy. Do obliczenia obwodu i powierzchni danej fazy wykorzystuje się następujące równania:

2 26 (l) (2) gdzie: Nr,NA- liczba pikseli, 6- długość piksela. Pomiar obwodu lub powierzchni polega na zliczeniu Nr i NA pikseli, które pokrywają obwód lub powierzchnię badanego obiektu geometrycznego. Równania te są słuszne dla ciał euklidesowskich, np. koła, trójkąty, prostokąty itp. W przypadku ciał o kształcie nieregularnym (rys.l) uzyskany wynik w znacznym stopniu zależy od wymiaru piksela i wówczas równania (l) nie dają zadawalających wyników. Rys. l. Ilustracja do pomiaru obwodu i powierzchni obiektu nieregularnego z wykorzystaniem pikseli o wymiarze 8 Dla obiektów nieregularnych można wykorzystać geometrię fraktalną [l], zgodnie z którą obwód i powierzchnię obiektu określają równania: (l< D < 2 ; ; 11 < 8 < 8max) (3) (2 < D < 3 ; 8min < 8 < 8max) (4) gdzie: D- wymiar fraktalny dla obwodu i powierzchni.

3 27 Obiekt euklidesowy (D=l) nieeuklidesowy ( l < D < 2) Log(8) Rys.2. Zmiany obwodu P obiektu geometrycznego w zależności od wielkości piksela 8 Rysunek 2 pokazuje zależność (l) i (3) w układzie logarytmicznym. Prawdziwą długość obwodu otrzymuje się, gdy 8 ~ O. W praktyce pomiarowej istnieją dwie wielkości graniczne 8min i 8max wymiaru piksela. Gdy 8 < 8min,pomiary obwodu są w niewielkim stopniu zależne od wielkości piksela. Przy 8 > 8max wymiar piksela jest zbyt duży aby otrzymać sensowne wyniki. Dla obiektów euklidesawskich współczynnik kształtu k zdefiniowany jako stosunek P/A 112 nie zależy od wymiaru obiektu i dla koła lub kwadratu wynosi odpowiednio 2n 112 i 4. Natomiast w przypadku obiektów nieregularnych współczynnik kształtu opisuje następujące równanie [2,3] : l po k= l (l <D <2; 8min < 8 < 8max) (5) Równanie to można przekształcić do następującej postaci: p A2 log-g= D log-g-+ Dlogk l (6) Pomiary obwodu i powierzchni obiektu geometrycznego wykonane przy roznej długości piksela można pogrupować jako bezwymiarowe wielkości P/8 i A 112 /8. Na wykresie logarytmicznym otrzymuje się wówczas linię prostą, którą można aproksymować za pomocą równania y = ax + b, gdzie: y =log P/8, x =log A 112 /8. Wymiar fraktajny jest określony przez współczynnik kierunkowy tej prostej, zatem D = a, za ś współczynnik kształtu obiektu jest dany przez k = l Ob/a

4 28 2. METODYKA BADAŃ Do badall wykorzystano mikroskop optyczny Leica MEF4M współpracujący z systemem analizy obrazu typu Leica QWin. Pomiary wykonywano w zakresie powiększell od l OOx do 500x dla zbioru wydzielell grafitu oraz w zakresie od l OOx do l OOOx w przypadku pojedynczych wydzieler1 grafitu. Ilościowe pomiary pól powierzchni oraz obwodów wydzielell grafitu polegały na zliczaniu ilości pikseli pokrywających odpowiednio pole lub obwód grafitu, przy czym wielkość 8 pikseli zmieniała się od O, m do 1,26 11m. Przy analizie uwzględniano wszystkie cząstki grafitu znajdujące się wewnątrz ramki pomiarowej o stałej powierzchni ,5 11m 2. I tak, np. aby wyznaczyć wymiar fraktalny D oraz współczynnik k sz tałtu przy powiększeniu 500x ( to jest 8 = 0,251 11m) należało wykonać 25 pomiarów. Badaniami objęto próbki żeliwa z grafitem typu: A- wg ASTM A-247; Gfl, Grl- wg PN 75/H-04661, B- wg ASTM A-247; Gf2, Gr4- wg PN 75/H-04661, E- wg ASTM A-247; Gfl, Gr5- wg PN 75/H-04661, D- wg ASTM A-247; Gfl, Gr6- wg PN 75/H WYNIKI BADAŃ W tablicy l zestawiono przykładowe wyniki pomiarów dlajednej z próbek żeliwa z grafitem typu A, wg ASTM (Gf1, Gr! -wg PN), służące do wykreślenia funkcji log(p/8) = f(log(a 112 /P)). Wykres tej funkcji pokazano na rysunku 3. Przykładowe zestawienie wyników pomiarów dla grafitu typu A Tablica l L p Pow. Wymiar 8 Pole A Obwód P log( A w/p) Log(P/8)!lm!11TI2!lm l 100 1, ,291 4, l ,375 4, , ,549 4, , ,935 5,211

5 t.--".. R 2 = *' ~ y = 11692x log( A 112 /o) Rys.3. Wykres bezwymiarowych wielko śc i P/o i A 112 /o Linię prostą na tym wykresie można przedstawić za pomocą równania y = 1, 169 x + 1,786 co pozwala okreś li ć wymiar fraktalny D = 1, 169 oraz współczynnik kształtu k= =33,60. Wyniki obliczel'l dla pozostałych próbek zestawiono w tablicy 2. Ich analiza wykazuje, że poszczególnym typom struktury można przypisać charakterystyczne grupy wielkości wymiaru fraktalnego i współczynnika kształtu. Na rysunku 4 pokazano kilka przykładowych struktur żeliwa. Zgodnie z normami wszystkie te struktury zalicza się do jednej grupy (D, wg. ASTM lub Gfl,Gr6 wg PN). W rzeczywistości jednak struktury te nie są identyczne i dlatego różnią wymiarem fraktalnym i współczynnik i em kształtu. Tabli ca2 Wymiar fraktalny i współczynnik kształtu grafitu L p Typ grafitu Wymiar fraktajny Współczynnik kształtu D k l A 1,15 35,03 2 A 1,15 35,52 3 A 1,16 33,60 4 B 1,24 23,76 4 B 1,25 20,46 6 B 1,24 17,91 7 E 1,27 15,63 8 E 1,29 14,46 9 D 1,39 9,82 lo D 1,46 7,05 11 D 1,44 7,04 12 D 1,48 6,12

6 30 D~1.44 ; k~7.04 D~1.39; k~9.82 D~1.46; k~7. 05 Rys.4. Struktura że li wa z grafitem typu D wg ASTM lub Gfl,Gr6 wg PN Rysunek 5 pokazuj e wyniki z tablicy 2. Jego analiza wykazuje, że przejściu od grafitu typu A a następnie kolejno do B, E i D wg ASTM zw i ększa się wymiar fraktajny i pomniejsza współczy nnik kształtu oraz, że zmiany te mają charakter ciągły Q L-e rl--l1 A x B ~ od '-Ox OE <x - lo 100 k Rys.S. Wymiar frakta Jny D i ws p ółczynnik kształtu k dla żeliwa z grafitem typu A,B,E i D, wg ASTM A-247 ( Gfl, Grl; Gf2, Gr4; Gfl, Gr5; Gfl, Gr6, wg PN75/H-04661) przy

7 31 Na rysunku 6 pokazano wygląd kształtów grafitu otrzymanego w żel iwie sferoidalnym. Interesującym wydaje się podanie charakterystyk tego grafitu wynikających z geometrii fraktajnej. Zmiany wymiary fraktalnego, D w przypadku pojedynczych wydzielell grafitu n1ożemy zaobserwować na rysunku 7 który przedstawia jego z1niany w funkcji współczynnika kształtu k wyznaczonego z równani 6. D= l.oo ;k=3.74 D= 1.0 l; k=3.75 D= 1.03 ; k=3.44 D=!.OS ; k=3.53 D=!.OS; k=3 53 D= 1.07; k=3. 11 D= 1.09; k=2.8 1 D= 1.09; k=3.3 1 D= 1.12: a=3.46 D= 1.12; k=3.08 D= 1.14; k=3.04 D= 1.20; k=2.88 Rys. 6. Zmiany kształtu grafitu i odpowiadające im zmiany wymiaru fraktalnego, D i współczynnika kształtu k Dla pojedynczej euklidesowej kulki współczynnik k osiąga wartość minimalną, równą 2n 112, zaś wymiar fraktajny D=!. W miarę zwiększania się nieregularności grafitu powiększa się wymiar fraktajny D zaś zmniejsza współczynnik kształtu k. l. 2 5 l 2 l. l 5 Cl 1. 1 l. D Rys. 7. Zmiana wymiaru fraktalnego, D dla pojedynczych wydzielellgrafitu sferoidalnego w funkcji współczynnika kształtu, k k

8 32 4. WNIOSKI W pracy wykazano, że takie pojęcia geometrii fraktall1ej jak wymiar fraktalny i współczynnik kształtu można zastosować do ilościowej oceny struktury żeliwa. W przypadku grafitu płatkowego, poszczególnym wzorcom rozmieszczenia grafitu można przypisać charakterystyczne grupy wartości liczbowe wymiaru fraktajnego i współczynnika kształtu. Przy przejściu od grafitu typu A a następnie kolejno do B, E i D ( wg ASTM) zwiększa się w sposób ciągły wymiar fraktalny i pomniejsza współczynnik kształtu grafitu. Podobne zmiany obserwuje się także w miarę zwiększania się nieregularności kształtu grafitu w żeliwie sferoidalnym. LITERATURA l. Peitgen H.O., Jurgens H., Saupe D.: Fraktale, PWN, Warszawa, Mandelbrot B.B.: The Practal Geometry of Nature, Freeman, New York, Feder J.: Fractals, Plenum Press, New York