ANALIZA STATECZNOŚ CI STATYCZNEJ PONTONU PROSTOPADŁ O Ś CIENNEGO O WYMIARACH LxBxH

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ANALIZA STATECZNOŚ CI STATYCZNEJ PONTONU PROSTOPADŁ O Ś CIENNEGO O WYMIARACH LxBxH"

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLV NR (58) 4 Waldemar Mironiuk Adam Pawlę dzio Ryszard Wróbel ANALIZA STATECZNOŚ CI STATYCZNEJ PONTONU PROSTOPADŁ O Ś CIENNEGO O WYMIARACH LxxH STRESZCZENIE W pracy rozpatruje się zagadnienie stateczności statycznej pontonu prostopadłościennego o wymiarach LxxH. Analizy problemu dokonano za pomocą obliczeń i napisanego w Instytucie Konstrukcji i Eksploatacji Okrętów programu komputerowego. Krzywa ramion prostujących opisana została trzema zależnościami odpowiadającymi trzem zakresom. Począwszy od kąta wejścia pokładu do wody (lub wyjścia obła), poprzez kąt, przy którym obło wynurza się z wody (lub pokład wchodzi do wody), aż do wartości kątów powyżej wymienionych. Wykorzystany do obliczeń program komputerowy może posłużyć do analizy stateczności statycznej nie tylko pontonów, ale po odpowiednich modyfikacjach także do analizy stateczności okrętu w dowolnym stanie załadowania. Ponadto w pracy przeprowadzono analizę wpływu wymiarów pontonu i położenia środka masy na przebieg krzywej ramion prostujących oraz przedstawiono ich komputerową wizualizację. WSTĘP Z analizy literaturowej i doświadczeń autorów prac [,, 4, 5, 7, 8] wynika, że wysokość metacentryczna poprzeczna jest miarą stateczności statku tylko i wyłącznie dla małych kątów przechyłu (około 7 8 o ). Po wystąpieniu większych kątów przechyłu statku miarą jego stateczności jest moment prostujący M u. Natomiast wartość zewnętrznych momentów przechylających M p działających na statek powoli narasta. Prowadzi to do zachowań, w których moment prostujący i moment przechylający są sobie równe, przy coraz większych wolno narastających wartościach [8]. 8

2 Waldemar Mironiuk, Adam Pawlędzio, Ryszard Wróbel W takiej sytuacji charakterystyka momentu przechylającego jest identyczna jak krzywa ramion prostujących (krzywą Reeda). Z doświadczeń wynika również, że w celu wyraźnego zobrazowania procesów towarzyszących przechylaniu statku dobrze jest przeanalizować problemy z tym związane na przykładzie pontonu prostopadłościennego [4]. W zakresie małych kątów przechyłu do 8 wielkość momentu prostującego wyraża się znaną zależnością: M u = P GM sin. () Przy większych przechyłach wzór powyższy traci ważność ze względu na to, że krzywej środków wyporu (ewolwenty) nie można traktować jako łuku okręgu o promieniu om. Ponadto poprzeczne metacentrum zmienia swoje położenie w zależności od kąta przechyłu, przemieszczając się po tak zwanej ewolucie metacentrycznej. Wynika stąd fakt, że krzywa środków wyporu jest ewolwentą swojej ewoluty. A zatem normalna do krzywej środków wyporu jest styczna do ewoluty metacentrycznej, a punkt styczności znajduje się w metacentrum. Oprócz tego, wodnice równoobjętościowe (a tylko takie rozpatruje się w stateczności okrętu, ponieważ masa okrętu w czasie przechylania nie ulega zmianie) nie przecinają się przy większych kątach przechyłu w płaszczyźnie symetrii zarówno pontonu prostopadłościennego, jak i statku [5]. Dlatego też przy większych kątach przechyłu w celu obliczenia ramienia momentu prostującego należy brać pod uwagę rzeczywiste przemieszczenia środka wyporu i metacentrum. WSPÓŁRZĘDNE ŚRODKA WYPORU I EWOLUTY METACENTRYCZNEJ JAKO WARTOŚCI DO OKREŚLENIA RAMIENIA PROSTUJĄCEGO Określenie ramienia momentu prostującego przy kącie przechyłu pontonu przedstawia rysunek. 8 Zeszyty Naukowe AMW

3 Analiza stateczności statycznej pontonu prostopadłościennego o wymiarach LxxH z M K G d a H z M E d z o d y y M y z z o K y Rys.. Przemieszczenie środka wyporu i metacentrum po przechyle pontonu do kąta Ramię to wyraża się wzorem [5, 7]: l = GK = oh oe; () l = y cos + (z z o )sin a sin, () gdzie: y, z a współrzędne środka wyporu odpowiadające kątowi przechyłu i odniesione do układu xyz z początkiem na linii podstawowej w punkcie K; odległość środka ciężkości od środka wyporu. Widać stąd, że aby móc korzystać z wzoru na ramię prostujące, należy znać współrzędne środka wyporu y i z, które wylicza się z następujących zależności: (58) 4 8

4 Waldemar Mironiuk, Adam Pawlędzio, Ryszard Wróbel y z = = z M cos d + M sin d, (4) gdzie z o = z o. Obliczenia wyżej wymienionych współrzędnych służące do sporządzania krzywej ramion prostujących przeprowadzone zostały w trzech etapach (rys..): a) b) WO WO a WO WO Rys.. Etapy obliczeń: a) I; b) II i III I obliczenia do kąta wejścia pokładu do wody (lub wyjścia obła) ; II obliczenia do kąta wynurzenia się obła pontonu z wody (lub pokład wchodzi do wody) ; III obliczenia do kąta powyżej. Wzory wyjściowe na współrzędne wymienionych punktów we wszystkich etapach są takie same. Ich modyfikacja następuje w wyniku zmian promienia metacentrycznego. 84 Zeszyty Naukowe AMW

5 Analiza stateczności statycznej pontonu prostopadłościennego o wymiarach LxxH Współrzędne metacentrum zapisuje się wzorami: y z M M = y = z Msin + M cos, (5) gdzie: y M, z M współrzędne metacentrum; y, z współrzędne środka wyporu; z współrzędna środka wyporu przy = ; M promień metacentryczny liczony w położeniu po obrocie o dowolny kąt. Jak widać, obliczenia sprowadzają się do scałkowania dwóch równań, w których występuje wielkość M inna w każdym etapie obliczeń. Z tego powodu powyższe wzory będą miały inną postać końcową w poszczególnych etapach. W pierwszym etapie obliczeń (na którym następuje wchodzenie pokładu do wody lub wyjście obła) dla oznaczeń przyjętych jak na rysunku. można zapisać wzór: ( H T) tg =, (6) na podstawie którego możemy obliczyć szukany kąt. z M z M KG z G T H y K Rys.. Podstawowe wymiary pontonu w płaszczyźnie owręża (58) 4 85

6 Waldemar Mironiuk, Adam Pawlędzio, Ryszard Wróbel Promień metacentryczny oblicza się następującym wzorem: I M =, (7) V gdzie: I moment bezwładności przekroju wodnicowego; V objętość podwodzia; Objętość podwodzia jest stała i wynosi: V = L T. (8) Dla = poprzeczny moment bezwładności przekroju wodnicowego jest równy: L I =, (9) gdzie: L długość pontonu[m]; szerokość pontonu[m]. Podczas przechyłu pontonu szerokość przekroju wodnicowego zmienia się w zależności od kąta przechyłu. Ujmuje to wzór: Stąd: =. () cos L M M = = = ; () L T cos T cos M y = M cos d = d = M cos tg ; () tg z = z + M sin d = z + M d = z + M tg. () cos 86 Zeszyty Naukowe AMW

7 Analiza stateczności statycznej pontonu prostopadłościennego o wymiarach LxxH Drugi etap obliczeń trwa do kąta, który można wyznaczyć, wiedząc, że pole przekroju pod wodnicą jest stałe. b P tr. P pr. Rys. 4. Położenie wodnicy w końcu II etapu P = T ; (4) P = P tr + P pr ; (5) T = ( b) H + b H = b H H + H; T.5 H T b = =. H.5 H H (6) (7) Podstawiając wielkość b do poniższego wzoru: H H tg = =, (8) b T otrzymamy kąt wyjścia obła z wody. (58) 4 87

8 Waldemar Mironiuk, Adam Pawlędzio, Ryszard Wróbel Szerokość przekroju wodnicowego można obliczyć, wykorzystując ponownie informację, że pole pod przekrojem wodnicowym jest stałe. H H a Rys. 5. Położenie wodnicy w II etapie obliczeń Stosując oznaczenia jak na rysunku 5., można sformułować zapis: a H + a(h H) + H( a) = T ; (9) a H + H = a = = sin. () cos Dokonując szeregu przekształceń, otrzymuje się: (H T) =. () sin cos 88 Zeszyty Naukowe AMW

9 Analiza stateczności statycznej pontonu prostopadłościennego o wymiarach LxxH Zależność tę wprowadza się do wzoru na promień metacentryczny: (H T) L sin cos M = = L T T. () Ponieważ więc: ( H T) tg =, () M = M tg. (4) cos tg Współrzędne środka wyporu dla drugiego etapu wynoszą: y = y ( ) + y ( ) + M M cosd = y tg ctg ( ) + M = M tg tg M ctg sin tg d = ctg ; (5) z = z ( ) + Msin d = z ( ) + M tg = z M tg + M tg tg tg cos d =. (6) W trzecim etapie obliczeń szerokość wodnicy pływania wynosi: H =. (7) sin (58) 4 89

10 Waldemar Mironiuk, Adam Pawlędzio, Ryszard Wróbel Moment bezwładności przekroju wodnicowego: L L H I = =. (8) sin Promień metacentryczny obliczamy ze znanej zależności: M I H M H = = =. (9) V Odcięta środka wyporu wynosi: T sin sin y H cos = y( ) + M cos = y( ) + M d sin. () H ctg = y( ) Wykorzystując zależności: tg y ( tg H = ) = M tg M tg ctg, () odciętą środka wyporu zapisuje się wzorem: tg H y = M tg( ) M tg( ) M ctg. () tg Rzędną środka wyporu można obliczyć z następującej zależności: H z = z( ) + Msin d = z( ) + M d sin. () tg H = z M tg + M tg M ctg tg 9 Zeszyty Naukowe AMW

11 Analiza stateczności statycznej pontonu prostopadłościennego o wymiarach LxxH Powyższe zależności umożliwiają obliczenie współrzędnych poszukiwanych punktów oraz M. Do wizualizacji położenia punktów i M pontonu po przechyle do kąta opracowano program komputerowy. Elementami programu są między innymi przebiegi zmian promienia metacentrycznego, krzywych hydrostatycznych oraz krzywej Reeda. Wykresy do prezentacji tych przebiegów mają samoskalujące się osie i w szerokim zakresie wartości obliczeniowych przedstawiają pożądane pole wyników. Program może być uruchamiany na dowolnej platformie systemu Windows. Ponieważ program w znacznej mierze bazuje na operacjach graficznych, zaleca się, aby komputer miał procesor o zegarze min. MHz i kartę graficzną z pamięcią 4 M. Program jest cały czas uaktualniany, uzupełniany o nowe funkcje. W związku z tym jego kod ciągle się powiększa. W chwili obecnej plik wykonywalny zajmuje około M pojemności. Wizualizacje przebiegu ewoluty metacentrycznej i jej ewolwenty przedstawiają rysunki 6. i 7. Rys. 6. Wizualizacja komputerowa krzywej środków wyporu i ewoluty metacentrycznej proponowanej do wdrożenia konstrukcji pływającej o parametrach: L =.6 [m], =.4 [m], H =.5 [m], m =5.4 [kg], KG =. [m], T =.7 [m] (58) 4 9

12 Waldemar Mironiuk, Adam Pawlędzio, Ryszard Wróbel Rys. 7. Krzywa środków wyporu (ewolwenta) i ewoluta metacentryczna pontonu prostopadłościennego przy zmianie parametrów początkowych na parametry: L =.6 [m], =.5 [m], H =.5 [m], m = 5 [kg], KG =. [m], T =.67 [m] Analizę przebiegów zmian promieni metacentrycznych można prowadzić dla dowolnych parametrów pontonu prostopadłościennego. OKREŚLENIE RAMION PROSTUJĄCYCH PONTONU PROSTOPADŁOŚCIENNEGO Po otrzymaniu rzeczywistych przemieszczeń środka wyporu i metacentrum ramiona prostujące w poszczególnych fazach przechylania wyraża się po odpowiednich przekształceniach wzoru () [7, ]: w pierwszym etapie l = ( GM o + M o tg ) sin ; (4) w drugim etapie l = M o tg (cos tg sin ) Mo tg cos cossin (z G z o )sin ; (5) w trzecim etapie T T H H l = 6Mo ( )(cos + sin ) M o ( ) ( + ctg ) (z G z o ) sin.(6) H 9 Zeszyty Naukowe AMW

13 Analiza stateczności statycznej pontonu prostopadłościennego o wymiarach LxxH Przykładowy wykres krzywej ramion prostujących pontonu prostopadłościennego z wykorzystaniem do obliczeń powyższych wzorów przedstawia rysunek 8. l[m],75,7,65,6,55,5,45,4,5,,5,,5,, [ ] Rys. 8. Krzywa ramion prostujących pontonu prostopadłościennego o wymiarach LxxH Dla proponowanych parametrów pontonu prostopadłościennego o wymiarach L,, H wykonano wizualizację krzywych hydrostatycznych tego pontonu. Wykres krzywych hydrostatycznych zawiera krzywe objętości podwodzia V, wysokości środka wyporu z, pola powierzchni przekroju wodnicowego oraz wysokości metacentrum poprzecznego od płaszczyzny podstawowej z M. Wartości KM dla różnych zanurzeń (możliwość zmiany zanurzenia w sposób ciągły) pontonu przedstawiają rysunki 9. i. T,,8 Krzywe hydrostatyczne Z ZM Z V T,,8 Krzywe hydrostatyczne Z ZM Z V,6,6,4,4,,,,,8,6,6,8,6,6,,8,6,4,4,,,7,54,78,8,6,,,8,8,6,6,4,4,,,,4,6,8,,,4,6,8,,,4,6,8,,,4,6,8,4,4,44,46,48,5,5,54,56,58,6,,4,6,8,,,4,6,8,,,4,6,8,,,4,6,8,4,4,44,46,48,5,5,54,56,58,6 Rys. 9. Krzywe hydrostatyczne pontonu dla zanurzenia T =.6 [m] Rys.. Krzywe hydrostatyczne pontonu dla zanurzenia T =. [m] (58) 4 9

14 Waldemar Mironiuk, Adam Pawlędzio, Ryszard Wróbel Z wykresu widać, że KM ma znaczne wartości dla małych zanurzeń i zmniejsza się gwałtownie wraz ze wzrostem zanurzenia, osiągając swoje minimum dla T =.6 [m], aby ponownie wzrastać. Zanurzenie, dla którego KM ma wartość minimalną, może być określone po różniczkowaniu KM i przyrównaniu tego równania do zera, co przedstawia zależność: KM = z + r (7) z = T/. r = ; (8) T dkm dt Minimalną wartość KM otrzymuje się dla T: = =. (9) T T =. (4) 6 Dla proponowanego rozwiązania pontonu wystąpi to przy zanurzeniu T =.6 [m]. Wartość KM wraz z dalszym wzrostem zanurzenia zmienia się nadal, bowiem pomimo zmniejszania się poprzecznego promienia metacentrycznego ze wzrostem zanurzenia T przyrost wysokości środka wyporu z jest na tyle duży, że powoduje dalszy, już nieznaczny, wzrost KM. WPŁYW WYMIARÓW PONTONU I POŁOŻENIA ŚRODKA MASY NA PRZEIEG KRZYWEJ RAMION PROSTUJĄCYCH Z analizy literaturowej wynika [,, 4, 8], że znaczny wpływ na przebieg krzywej ramion prostujących pontonu prostopadłościennego mają jego wymiary oraz położenie środka masy. W pracy rozpatruje się kolejno wpływ szerokości pontonu, wolnej burty oraz zmiany położenia środka masy na krzywą ramion prostujących, przy założeniu że pozostałe wielkości są niezmienne. 94 Zeszyty Naukowe AMW

15 Analiza stateczności statycznej pontonu prostopadłościennego o wymiarach LxxH Wpływ szerokości pontonu na krzywą ramion prostujących Szerokość pontonu ma znaczący wpływ na stateczność i wielkość ramion prostujących [4]. W pracy dokonano analizy wpływu zmiany szerokości pontonu na wielkość ramion prostujących przy niezmiennych jego pozostałych parametrach. W wyniku obliczeń otrzymano trzy przebiegi krzywej ramion prostujących dla różnych w zakresie od =.4 [m] do =.55[m], co przedstawia rysunek. l[m],5,,5,,95,9,85,8,75,7,65,6,55,5,45,4,5,,5,,5,, [ ] Rys.. Wpływ zmiany szerokości pontonu na krzywą ramion prostujących: H =.5 [m], m = 5.74 [kg], z G =. [m], H T =.4 [m], T =.7 [m] =.4 [m] krzywa () =.5 [m] krzywa () =.55 [m] krzywa () Ramię prostujące pontonu w zakresie kątów przechyłu od do 9 o jest dodatnie, wynosi l =.6 [m] przy kącie przechyłu 9 o i jest zbliżone wartością dla wszystkich rozpatrywanych przypadków. Wpływ wolnej burty na przebieg krzywej ramion Wysokość metacentryczna bezpośrednio nie stanowi o zakresie krzywej ramion ani o wartości maksymalnego ramienia prostującego. Dwa okręty o jednakowej (58) 4 95

16 Waldemar Mironiuk, Adam Pawlędzio, Ryszard Wróbel GM mogą mieć zupełnie odmienne warunki stateczności. Wolna burta ma więc wpływ na przebieg krzywej ramion prostujących. W pracy przeanalizowano wpływ zmiany wolnej burty na krzywą ramion prostujących pontonu prostopadłościennego. W wyniku przeprowadzonych obliczeń uzyskano trzy przebiegi krzywej ramion prostujących l dla różnych H przy niezmiennych pozostałych parametrach pontonu przedstawione na rysunku. l[m],85,8,75,7,65,6,55,5,45,4,5,,5,,5,, [ ] Rys.. Wpływ zmiany wolnej burty na krzywą ramion prostujących pontonu o danych: H =.5 [m], m = 5.74 [kg], z G =. [m], H T =.4 [m], T =.7 [m] krzywa () H =.7 [m], m = 5.74 [kg], z G =. [m], H T =.6 [m], T =.7 [m] krzywa () H =.85 [m], m = 5.74 [kg], z G =. [m], H T =.78 [m], T =.7 [m] krzywa () Z przebiegu krzywych widać, że wolna burta pontonu ma znaczny wpływ na przebieg krzywej ramion dla większych kątów przechyłu (co występuje w tym wypadku przy kącie około 55 o ), nie ma natomiast wpływu na ramiona prostujące w zakresie kątów od do 55 o i tym samym na stateczność początkową. Wielkości tych kątów zmienią się wraz ze zmianą parametrów pontonu, co może być dalszym etapem badań. 96 Zeszyty Naukowe AMW

17 Analiza stateczności statycznej pontonu prostopadłościennego o wymiarach LxxH Wpływ położenia środka masy na krzywą ramion prostujących Wpływ położenia środka masy na krzywą ramion prostujących jest oczywisty [, 4]. Oddziałuje on zarówno na wielkość tych ramion, jak i na kąt zakresu krzywej ramion prostujących. W pracy rozpatrzono zmiany pionowego położenia środka ciężkości pontonu przy niezmienionych pozostałych parametrach. Wyniki obliczeń przedstawiono na rysunku. Zmian z G dokonywano w zakresie wielkości z G =. [m] do z G =.8 [m], uzyskując krzywą ramion prostujących, dla której wysokość metacentryczna GM =. [m] (równowaga obojętna). l[m],75,7,65,6,55,5,45,4,5,,5,,5,,5 -, [ o ] Rys.. Wpływ położenia środka masy na krzywą ramion prostujących pontonu prostopadłościennego: H =.5 [m], m = 5.74 [kg], H T =.4 [m], T =.7 [m], z G =. [m] krzywa () z G =.5 [m] krzywa () z G =.8 [m] krzywa () WNIOSKI Na podstawie przeprowadzonych obliczeń i zastosowania odpowiednio przygotowanego w IKiEO programu komputerowego do obliczania promieni metacentrycznych i ramion prostujących pontonu prostopadłościennego można sformułować następujące wnioski: (58) 4 97

18 Waldemar Mironiuk, Adam Pawlędzio, Ryszard Wróbel. Przeprowadzona analiza wpływu wymiarów pontonu i położenia środka masy na przebieg krzywej ramion prostujących jest zbieżna z wynikami prezentowanymi w dostępnej literaturze.. Zastosowanie algorytmu obliczeń ramion prostujących pontonu może posłużyć po odpowiednich modyfikacjach programu do obliczania stateczności nie tylko pontonów prostopadłościennych.. Wyniki obliczeń przedstawione w pracy umożliwią przeprowadzenie badań stateczności dynamicznej, sporządzenie wykresów ramion dynamicznych, a także ich komputerową wizualizację. Proponowana forma komputerowej wizualizacji stateczności statycznej wraz z możliwością analizy wpływu wymiarów pontonu i położenia środka masy na przebieg krzywej ramion prostujących przyczyni się do zwiększenia efektywności procesu dydaktycznego w AMW. Jest też narzędziem do pogłębiania wiedzy z zakresu stateczności okrętu dla osób odpowiedzialnych na okręcie za bezpieczeństwo pływania. ILIOGRAIA [] ronsztejn N., Siemienidajew K. A., Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, PWN, Warszawa 995. [] Derrett D. R., Ship stability for Masters and Mates, H, Oxford. [] Dudziak J., Teoria okrętu, WM, Gdańsk 988. [4] Kabaciński J., Stateczność i niezatapialność statku, WSM, Szczecin 99. [5] Kobyliński L., Zbiór zadań z teorii okrętu, cz. I, PWN, Warszawa 96. [6] Kodeks stateczności w stanie nieuszkodzonym dla wszystkich typów statków objętych dokumentami IMO [rez. MSC.75(69)], PRS. [7] Pawłowski M., Teoria okrętu, cz. I, WSMW, Gdynia 98. [8] Staliński J., Teoria okrętu, WM, Gdańsk 969. [9] Tupper E., Introduction to Naval Architecture, utterworth-heinemann, Oxford 996. [] Więckiewicz W., Kucharski S., Geometria kadłuba i obliczenia hydrostatyczne kadłuba statku, WSM, Gdynia Zeszyty Naukowe AMW

19 Analiza stateczności statycznej pontonu prostopadłościennego o wymiarach LxxH [] Wróbel R., Pawlędzio A., Komputerowe wspomaganie wyznaczania krzywej środków wyporu i ewoluty metacentrycznej pontonu prostopadłościennego o wymiarach LxxH jako narzędzia do obliczeń promieni metacentrycznych oraz wysokości metacentrycznej, projekt racjonalizatorski Nr 7/ z dnia 8.., nr ewid [] Wróbel R., Szubartowski R., Sikorski W., Komputerowe wspomaganie obliczeń stateczności w warunkach okrętowych na przykładzie wybranego typu okrętu, XX Sympozjum Siłowni Okrętowych, AMW, Gdynia 998. [] Wróbel R., Określanie zmian stateczności wynikających z różnych stanów załadowania okrętu typu 888,57,66,4, praca statutowa pod kryptonimem STATECZNOŚĆ, AMW, Gdynia 997. ASTRACT The paper deals with the issue of static stability of a rectangular pontoon of LxxH dimensions. The analysis was carried out by means of calculations and a computer program written in the Institute of Ship Construction and Exploitation. The curve of straightening arms was described with three dependencies corresponding to three ranges. eginning with the angle at which deck enters water through the angle at which the bilge emerges from water (or deck enters water) up to the values of the angles mentioned above. The computer program used for calculations can be used to analyze ship stability at any condition of loading. In addition, the paper analyzes the effect of dimensions of the pontoon in the place of center of mass on the distribution of curves of strengthening arms, and it also presents their computer image. Recenzent prof. dr hab. inż. Lech Kobyliński (58) 4 99

ANALIZA WPŁ YWU UJEMNEJ WYSOKOŚ CI METACENTRYCZNEJ NA POŁ O Ż ENIE PONTONU PROSTOPADŁ O Ś CIENNEGO

ANALIZA WPŁ YWU UJEMNEJ WYSOKOŚ CI METACENTRYCZNEJ NA POŁ O Ż ENIE PONTONU PROSTOPADŁ O Ś CIENNEGO ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLVII NR (165) 006 Waldemar Mironiuk Adam Pawlę dzio Akademia Marynarki Wojennej ANALIZA WPŁ YWU UJEMNEJ WYSOKOŚ CI METACENTRYCZNEJ NA POŁ O Ż ENIE PONTONU

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WYDZIAŁ NAWIGACYJNY ZAKŁAD BUDOWY I STATECZNOŚCI STATKU INSTRUKCJA

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WYDZIAŁ NAWIGACYJNY ZAKŁAD BUDOWY I STATECZNOŚCI STATKU INSTRUKCJA AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WYDZIAŁ NAWIGACYJNY ZAKŁAD BUDOWY I STATECZNOŚCI STATKU INSTRUKCJA OBLICZANIE POCZĄTKOWEJ WYSOKOŚCI METACENTRYCZNEJ PODCZAS OPERACJI BALASTOWYCH Zajęcia laboratoryjne z przedmiotu:

Bardziej szczegółowo

OCENA STATECZNOŚ CI DYNAMICZNEJ OKRĘ TU NA PODSTAWIE WYMAGAŃ PRZEPISÓW POLSKIEGO REJESTRU STATKÓW

OCENA STATECZNOŚ CI DYNAMICZNEJ OKRĘ TU NA PODSTAWIE WYMAGAŃ PRZEPISÓW POLSKIEGO REJESTRU STATKÓW ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LI NR 4 (183) 2010 Adam Pawlę dzio Akademia Marynarki Wojennej OCENA STATECZNOŚ CI DYNAMICZNEJ OKRĘ TU NA PODSTAWIE WYMAGAŃ PRZEPISÓW POLSKIEGO REJESTRU

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ OCEANOTECHNIKI I OKRĘTOWNICTWA. Katedra Hydromechaniki i Hydroakustyki

WYDZIAŁ OCEANOTECHNIKI I OKRĘTOWNICTWA. Katedra Hydromechaniki i Hydroakustyki WYDZIAŁ OCEANOTECHNIKI I OKRĘTOWNICTWA Katedra Hydromechaniki i Hydroakustyki ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z HYDROMECHANIKI OKRĘTU Ćwiczenie Nr 1 Doświadczalne określanie krzywej ramion prostujących modelu.

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WYDZIAŁ NAWIGACYJNY ZAKŁAD BUDOWY I STATECZNOŚCI STATKU INSTRUKCJA. January Szafraniak; Karolina Staszewska

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WYDZIAŁ NAWIGACYJNY ZAKŁAD BUDOWY I STATECZNOŚCI STATKU INSTRUKCJA. January Szafraniak; Karolina Staszewska AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WYDZIAŁ NAWIGACYJNY ZAKŁAD BUDOWY I STATECZNOŚCI STATKU INSTRUKCJA STATECZNOŚĆ STATKU Z UJEMNĄ OCZĄTKOWĄ WYSOKOŚCIĄ METACENTRYCZNĄ Zajęcia laboratoryjne z przedmiotu: Budowa

Bardziej szczegółowo

WYZNACZENIE KĄTA PRZECHYŁU DYNAMICZNEGO OKRĘTU NA PODSTAWIE BADAŃ MODELOWYCH

WYZNACZENIE KĄTA PRZECHYŁU DYNAMICZNEGO OKRĘTU NA PODSTAWIE BADAŃ MODELOWYCH ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LII NR (185) 011 Adam Pawlę dzio Akademia Marynarki Wojennej WYZNACZENIE KĄTA PRZECHYŁU DYNAMICZNEGO OKRĘTU NA PODSTAWIE BADAŃ MODELOWYCH STRESZCZENIE W

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WPŁYWU GEOMETRII KADŁUBA KATAMARANU NA JEGO STATECZNOŚĆ METODOLOGIA

ANALIZA WPŁYWU GEOMETRII KADŁUBA KATAMARANU NA JEGO STATECZNOŚĆ METODOLOGIA PRACE WYDZIAŁU NAWIGACYJNEGO nr 17 AKADEMIA MORSKA W GDYNI 2005 PRZEMYSŁAW KRATA Katedra Eksploatacji Statku ANALIZA WPŁYWU GEOMETRII KADŁUBA KATAMARANU NA JEGO STATECZNOŚĆ METODOLOGIA WSTĘP Problem stateczności

Bardziej szczegółowo

BADANIA MODELOWE KOŁYSAŃ SWOBODNYCH OKRĘTU NA WODZIE SPOKOJNEJ

BADANIA MODELOWE KOŁYSAŃ SWOBODNYCH OKRĘTU NA WODZIE SPOKOJNEJ ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLX NR 3 (178) 2009 Adam Pawlę dzio Akademia Marynarki Wojennej BADANIA MODELOWE KOŁYSAŃ SWOBODNYCH OKRĘTU NA WODZIE SPOKOJNEJ STRESZCZENIE W artykule przedstawiono

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 5 Pływanie ciał

J. Szantyr - Wykład 5 Pływanie ciał J. Szantyr - Wykład 5 Pływanie ciał Prawo Archimedesa Na każdy element pola ds działa elementarny napór Napór całkowity P ρg S nzds Główny wektor momentu siły naporu M ρg r nzds S dp Αρχίµηδης ο Σΰρακοσιος

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA w GDYNI

AKADEMIA MORSKA w GDYNI AKADEMIA MORSKA w GDYNI WYDZIAŁ MECGANICZNY Nr 25 Przedmiot: Budowa i teoria okrętu Kierunek/Poziom kształcenia: Forma studiów: Profil kształcenia: Specjalność: MiBM/ studia pierwszego stopnia stacjonarne

Bardziej szczegółowo

PRZEPISY PUBLIKACJA NR 19/P ANALIZA STREFOWEJ WYTRZYMAŁOŚCI KADŁUBA ZBIORNIKOWCA

PRZEPISY PUBLIKACJA NR 19/P ANALIZA STREFOWEJ WYTRZYMAŁOŚCI KADŁUBA ZBIORNIKOWCA PRZEPISY PUBLIKACJA NR 19/P ANALIZA STREFOWEJ WYTRZYMAŁOŚCI KADŁUBA ZBIORNIKOWCA 2010 Publikacje P (Przepisowe) wydawane przez Polski Rejestr Statków są uzupełnieniem lub rozszerzeniem Przepisów i stanowią

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WYDZIAŁ NAWIGACYJNY ZAKŁAD BUDOWY I STATECZNOŚCI STATKU INSTRUKCJA

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WYDZIAŁ NAWIGACYJNY ZAKŁAD BUDOWY I STATECZNOŚCI STATKU INSTRUKCJA AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WYDZIAŁ NAWIGACYJNY ZAKŁAD BUDOWY I STATECZNOŚCI STATKU INSTRUKCJA EKSPLOATACYJNA PRÓBA PRZECHYŁÓW Zajęcia laboratoryjne z przedmiotu: Budowa i Stateczność Statku Opracował:

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM

Bardziej szczegółowo

PUBLIKACJA INFORMACYJNA NR 21/I WPŁYW ZBIORNIKÓW STABILIZACYJNYCH ZE SWOBODNYMI POWIERZCHNIAMI CIECZY NA AMPLITUDĘ KOŁYSANIA STATKU

PUBLIKACJA INFORMACYJNA NR 21/I WPŁYW ZBIORNIKÓW STABILIZACYJNYCH ZE SWOBODNYMI POWIERZCHNIAMI CIECZY NA AMPLITUDĘ KOŁYSANIA STATKU PUBLIKACJA INFORMACYJNA NR 21/I WPŁYW ZBIORNIKÓW STABILIZACYJNYCH ZE SWOBODNYMI POWIERZCHNIAMI CIECZY NA AMPLITUDĘ KOŁYSANIA STATKU 2003 Publikacje I (Informacyjne) wydawane przez Polski Rejestr Statków

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 3

Ć w i c z e n i e K 3 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

Jan P. Michalski. Podstawy teorii projektowania okrętów

Jan P. Michalski. Podstawy teorii projektowania okrętów Jan P. Michalski Podstawy teorii projektowania okrętów Gdańsk 2013 PRZEWODNICZĄCY KOMITETU REDAKCYJNEGO WYDAWNICTWA POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Janusz T. Cieśliński RECENZENT Maciej Pawłowski PROJEKT OKŁADKI

Bardziej szczegółowo

KLASYFIKACJI I BUDOWY STATKÓW MORSKICH

KLASYFIKACJI I BUDOWY STATKÓW MORSKICH PRZEPISY KLASYFIKACJI I BUDOWY STATKÓW MORSKICH ZMIANY NR 1/2013 do CZĘŚCI IV STATECZNOŚĆ I NIEZATAPIALNOŚĆ 2010 GDAŃSK Zmiany Nr 1/2013 do Części IV Stateczność i niezatapialność 2010, Przepisów klasyfikacji

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)). MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),

Bardziej szczegółowo

Akademia Morska w Szczecinie STUDIA NIESTACJONARNE WEBSITE LEARNING. Przedmiot: RATOWNICTWO MORSKIE. Ćwiczenia

Akademia Morska w Szczecinie STUDIA NIESTACJONARNE WEBSITE LEARNING. Przedmiot: RATOWNICTWO MORSKIE. Ćwiczenia Akademia Morska w Szczecinie STUDIA NIESTACJONARNE WEBSITE LEARNING Przedmiot: RATOWNICTWO MORSKIE Ćwiczenia Plan zajęć ćwiczeniowych z przedmiotu Ratownictwo morskie Opracował: mgr inż. kpt.ż.w. Mirosław

Bardziej szczegółowo

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE CFD MOMENTU PRZECHYLAJĄCEGO STATEK WSKUTEK DZIAŁANIA WIATRU

MODELOWANIE CFD MOMENTU PRZECHYLAJĄCEGO STATEK WSKUTEK DZIAŁANIA WIATRU Przemysław Krata Jacek Jachowski Akademia Morska w Gdyni MODELOWANIE CFD MOMENTU PRZECHYLAJĄCEGO STATEK WSKUTEK DZIAŁANIA WIATRU Artykuł traktuje o modelowaniu momentu przechylającego statek wskutek działania

Bardziej szczegółowo

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy

Bardziej szczegółowo

ZMIANY NR 1/2013 do PUBLIKACJI NR 32/P WYMAGANIA DOTYCZĄCE ROZMIESZCZENIA I MOCOWANIA ŁADUNKÓW NA STATKACH MORSKICH GDAŃSK

ZMIANY NR 1/2013 do PUBLIKACJI NR 32/P WYMAGANIA DOTYCZĄCE ROZMIESZCZENIA I MOCOWANIA ŁADUNKÓW NA STATKACH MORSKICH GDAŃSK PRZEPISY ZMIANY NR 1/2013 do PUBLIKACJI NR 32/P WYMAGANIA DOTYCZĄCE ROZMIESZCZENIA I MOCOWANIA ŁADUNKÓW NA STATKACH MORSKICH 2003 GDAŃSK Zmiany Nr 1/2013 do Publikacji Nr 32/P Wymagania dotyczące rozmieszczenia

Bardziej szczegółowo

UNIKANIE NIEBEZPIECZNYCH SYTUACJI W ZŁYCH WARUNKACH POGODOWYCH W RUCHU STATKU NA FALI NADĄŻAJĄCEJ

UNIKANIE NIEBEZPIECZNYCH SYTUACJI W ZŁYCH WARUNKACH POGODOWYCH W RUCHU STATKU NA FALI NADĄŻAJĄCEJ MIROSŁAW JURDZIŃSKI Akademia Morska w Gdyni Katedra Nawigacji UNIKANIE NIEBEZPIECZNYCH SYTUACJI W ZŁYCH WARUNKACH POGODOWYCH W RUCHU STATKU NA FALI NADĄŻAJĄCEJ Podstawową zasadą planowania nawigacji jest

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

stateczności statku w określonym stanie załadowania.

stateczności statku w określonym stanie załadowania. Instytut/Zakład: NM/ZBiSS Przedmiot: Budowa i Stateczność Statku Forma zajęć: laboratoria Rok/Semestr: 2 / 3 Temat: Opracowanie arkusza kalkulacyjnego w celu obliczania oceny stateczności statku w określonym

Bardziej szczegółowo

Analiza kinematyczna i dynamiczna mechanizmów za pomocą MSC.visualNastran

Analiza kinematyczna i dynamiczna mechanizmów za pomocą MSC.visualNastran Analiza kinematyczna i dynamiczna mechanizmów za pomocą MSC.visualNastran Spis treści Omówienie programu MSC.visualNastran Analiza mechanizmu korbowo wodzikowego Analiza mechanizmu drgającego Analiza mechanizmu

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

BADANIE STANÓW RÓWNOWAGI UKŁADU MECHANICZNEGO

BADANIE STANÓW RÓWNOWAGI UKŁADU MECHANICZNEGO Ćwiczenie 3 BADANIE STANÓW RÓWNOWAGI UKŁADU MECHANICZNEGO 3.. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest teoretyczne i doświadczalne wyznaczenie położeń równowagi i określenie stanu równowagi prostego układu mechanicznego

Bardziej szczegółowo

Wyboczenie ściskanego pręta

Wyboczenie ściskanego pręta Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7

Skrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7 Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita

Bardziej szczegółowo

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie

Bardziej szczegółowo

METODA WYZNACZANIA LINII UGIĘ CIA KADŁ UBA OKRĘ TU

METODA WYZNACZANIA LINII UGIĘ CIA KADŁ UBA OKRĘ TU ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLVII NR (65) 6 Adam Pawlę dzio Akademia Marynarki Wojennej METODA WYZNACZANIA LINII UGIĘ CIA KADŁ UBA OKRĘ TU STRESZCZENIE W niniejszym opracowaniu rozpatruje

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z PRZEDMIOTU: KONSTRUKCJE BUDOWLANE klasa III Podstawa opracowania: PROGRAM NAUCZANIA DLA ZAWODU TECHNIK BUDOWNICTWA 311204 1 DZIAŁ PROGRAMOWY V. PODSTAWY STATYKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Bardziej szczegółowo

PRZEPISY PUBLIKACJA NR 66/P ZASTOSOWANIE NA STATKACH PROGRAMÓW KOMPUTEROWYCH DO OBLICZEŃ STATECZNOŚCI

PRZEPISY PUBLIKACJA NR 66/P ZASTOSOWANIE NA STATKACH PROGRAMÓW KOMPUTEROWYCH DO OBLICZEŃ STATECZNOŚCI PRZEPISY PUBLIKACJA NR 66/P ZASTOSOWANIE NA STATKACH PROGRAMÓW KOMPUTEROWYCH DO OBLICZEŃ STATECZNOŚCI 2005 (Tekst ujednolicony zawierający Zmiany Nr 1/2006 stan na 1 stycznia 2007 r.) Publikacje P (Przepisowe)

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14 Wybrane przykłady krzywych płaskich Wybrane przykłady krzywych Cykloida Okrąg o promieniu a toczy sie bez poslizgu po prostej. Ustalony punkt tego okręgu porusza się po krzywej

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE NR 2 (74) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Propozycja obliczania minimalnej początkowej wysokości metacentrycznej dla statku na fali

ZESZYTY NAUKOWE NR 2 (74) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Propozycja obliczania minimalnej początkowej wysokości metacentrycznej dla statku na fali ISSN 0209-2069 Tadeusz Szelangiewicz ZESZYTY NAUKOWE NR 2 (74) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE EXPLO-SHIP 2004 Propozycja obliczania minimalnej początkowej wysokości metacentrycznej dla statku na fali Słowa

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

wymagania programowe z matematyki kl. III gimnazjum

wymagania programowe z matematyki kl. III gimnazjum wymagania programowe z matematyki kl. III gimnazjum 1. Liczby i wyrażenia algebraiczne Zna pojęcie notacji wykładniczej. Umie zapisać liczbę w notacji wykładniczej. Umie porównywać liczy zapisane w różny

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki

Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki Zadanie Rozwiąż nierówność: [ +log 0, ( x- )] + [ +log 0, ( x- )] + [ +log 0, ( x- )] ++ + [ + log 0, ( x- )] Zadanie Odcinek AB, gdzie A = (,

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy rozkład materiału dla klasy 3b poziom rozszerzny cz. 1 - liceum

Szczegółowy rozkład materiału dla klasy 3b poziom rozszerzny cz. 1 - liceum Szczegółowy rozkład materiału dla klasy b poziom rozszerzny cz. - liceum WYDAWNICTWO PAZDRO GODZINY Lp. Tematyka zajęć Liczba godzin I. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura

Bardziej szczegółowo

Własności fizyczne kajaka. Opracowanie: Jerzy Świtek

Własności fizyczne kajaka. Opracowanie: Jerzy Świtek Własności fizyczne kajaka. Opracowanie: Jerzy Świtek Spis treści. Część I. Kajak na stojącej, płaskiej wodzie. 1. Dlaczego kajak pływa? 2. Dlaczego dno kajaka jest na dole, a kokpit u góry? 3. Dlaczego

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

Z1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1

Z1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1 05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 1 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 Z1/1.1 Zadanie 1 Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/1.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej

Bardziej szczegółowo

METODA SIŁ KRATOWNICA

METODA SIŁ KRATOWNICA Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..

Bardziej szczegółowo

Zakład Inżynierii Komunikacyjnej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Warszawska PODSTAWY PROJEKTOWANIA LINII I WĘZŁÓW TRAMWAJOWYCH CZĘŚĆ III

Zakład Inżynierii Komunikacyjnej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Warszawska PODSTAWY PROJEKTOWANIA LINII I WĘZŁÓW TRAMWAJOWYCH CZĘŚĆ III Zakład Inżynierii Komunikacyjnej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Warszawska DROGI SZYNOWE PODSTAWY PROJEKTOWANIA LINII I WĘZŁÓW TRAMWAJOWYCH CZĘŚĆ III PROJEKTOWANIE UKŁADU TORÓW TRAMWAJOWYCH W

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać

Bardziej szczegółowo

INFLUENCE OF FLOODING BOAT DECK COMPARTMENT ON THE TRAINING WARSHIP STABILITY SAFETY

INFLUENCE OF FLOODING BOAT DECK COMPARTMENT ON THE TRAINING WARSHIP STABILITY SAFETY Journal of KONBiN 2(38)2016 ISSN 1895-8281 DOI 10.1515/jok-2016-0017 ESSN 2083-4608 INFLUENCE OF FLOODING BOAT DECK COMPARTMENT ON THE TRAINING WARSHIP STABILITY SAFETY WPŁYW ZATOPIENIA POMIESZCZENIA POKŁADU

Bardziej szczegółowo

WYBRANE ELEMENTY METODYKI I METODY PROJEKTOWANIA POJAZDÓW AMFIBIJNYCH RATOWNICTWA POWODZIOWEGO

WYBRANE ELEMENTY METODYKI I METODY PROJEKTOWANIA POJAZDÓW AMFIBIJNYCH RATOWNICTWA POWODZIOWEGO WYBRANE ELEMENTY METODYKI I METODY PROJEKTOWANIA POJAZDÓW AMFIBIJNYCH RATOWNICTWA POWODZIOWEGO ZBIGNIEW BURCIU 1, MATEUSZ GERIGK 2, MIROSŁAW KAZIMIERZ GERIGK 3 Akademia Morska w Gdyni, Context Office,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Rys. 1. Pływanie ciał - identyfikacja objętość części zanurzonej i objętości bryły parcia

Rys. 1. Pływanie ciał - identyfikacja objętość części zanurzonej i objętości bryły parcia Wypór i równowaga ciał pływających po powierzchni Reakcja cieczy na ciało w niej zanurzone nazywa się wyporem. Siła wyporu działa pionowo i skierowana jest w górę. Wypór hydrostatyczny (można też mówić

Bardziej szczegółowo

NOŚNOŚĆ GRANICZNA

NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4.. Wstęp Nośność graniczna wartość obciążenia, przy którym konstrukcja traci zdoność do jego przenoszenia i staje się układem geometrycznie zmiennym. Zastosowanie

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

WPŁYW ROZMIESZCZENIA ZAŁOGI NA STATECZNOŚĆ NA WYBRANYM JACHCIE ŻAGLOWYM NA STATECZNOŚĆ JACHTU.

WPŁYW ROZMIESZCZENIA ZAŁOGI NA STATECZNOŚĆ NA WYBRANYM JACHCIE ŻAGLOWYM NA STATECZNOŚĆ JACHTU. Patryk Richter Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa Politechnika Gdańska, Gdańsk DOI: 10.17814/mechanik.2015.10.505 WPŁYW ROZMIESZCZENIA ZAŁOGI NA STATECZNOŚĆ NA WYBRANYM JACHCIE ŻAGLOWYM NA STATECZNOŚĆ

Bardziej szczegółowo

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

NUMERYCZNA ANALIZA WYZNACZANIA PŁYWALNOŚCI POJAZDÓW GĄSIENICOWYCH

NUMERYCZNA ANALIZA WYZNACZANIA PŁYWALNOŚCI POJAZDÓW GĄSIENICOWYCH Szybkobieżne Pojazdy Gąsienicowe (33) nr 2, 2013 Jacek GNIŁKA Gabriel MURA NUMERYCZNA ANALIZA WYZNACZANIA PŁYWALNOŚCI POJAZDÓW GĄSIENICOWYCH Streszczenie. W artykule przedstawiono charakterystykę prowadzenia

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 5 LUTEGO 017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba x jest przybliżeniem

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności

Informacje ogólne. Rys. 1. Rozkłady odkształceń, które mogą powstać w stanie granicznym nośności Informacje ogólne Założenia dotyczące stanu granicznego nośności przekroju obciążonego momentem zginającym i siłą podłużną, przyjęte w PN-EN 1992-1-1, pozwalają na ujednolicenie procedur obliczeniowych,

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera.

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera. ĆWICZENIE WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Opis ćwiczenia Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem (Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy) KOD ZDAJĄCEGO MMA-R2G1P-021 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 10 minut ARKUSZ II MAJ ROK 200 Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W niniejszym schemacie oceniania zadań otwartych są prezentowane przykładowe poprawne odpowiedzi. W tego typu

Bardziej szczegółowo

PRZEPISY PUBLIKACJA NR 6/P STATECZNOŚĆ (Tekst ujednolicony zawierający Zmiany Nr 1/2011, stan na 15 grudnia 2011 r.)

PRZEPISY PUBLIKACJA NR 6/P STATECZNOŚĆ (Tekst ujednolicony zawierający Zmiany Nr 1/2011, stan na 15 grudnia 2011 r.) PRZEPISY PUBLIKACJA NR 6/P STATECZNOŚĆ 006 (Tekst ujednolicony zawierający Zmiany Nr /0, stan na 5 grudnia 0 r.) Publikacje P (Przepisowe) wydawane przez Polski Rejestr Statków są uzupełnieniem lub rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,

Bardziej szczegółowo

KOMINY MUROWANE. Przekroje trzonu wymiaruje się na stan graniczny użytkowania. Sprawdzenie należy wykonać:

KOMINY MUROWANE. Przekroje trzonu wymiaruje się na stan graniczny użytkowania. Sprawdzenie należy wykonać: KOMINY WYMIAROWANIE KOMINY MUROWANE Przekroje trzonu wymiaruje się na stan graniczny użytkowania. Sprawdzenie należy wykonać: w stadium realizacji; w stadium eksploatacji. KOMINY MUROWANE Obciążenia: Sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

PROJEKT STOPY FUNDAMENTOWEJ

PROJEKT STOPY FUNDAMENTOWEJ TOK POSTĘPOWANIA PRZY PROJEKTOWANIU STOPY FUNDAMENTOWEJ OBCIĄŻONEJ MIMOŚRODOWO WEDŁUG WYTYCZNYCH PN-EN 1997-1 Eurokod 7 Przyjęte do obliczeń dane i założenia: V, H, M wartości charakterystyczne obciążeń

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo