GÖDEL A TEZA CHURCHA

Transkrypt

1 GÖDEL A TEZA CHURCHA Mona by pewnym, e jeli aktualnie istnieje Pan Bóg, to Gödel ma z nim bezporedni kontakt. Jak pisze R. Murawski[ 1 ], słowa powysze wypowiedział Andrzej Mostowski podczas wykładu roku, a zatem jeszcze za ycia Gödla.[ 2 ] Ciekawe, co miał Mostowski na myli, wypowiadajc takie słowa? Mona jedynie spekulowa, ale chyba pierwsz narzucajc si myl jest ta, e chciał w ten sposób podkreli wnikliwo i nieomylno intuicji Gödla. Wydaje si, e chciał równie wskaza nadzwyczajno austriackiego logika, sam przy tym bdc wybitnym logikiem. Wypowied ta pokazuje take, i Gödel cieszył si wielkim autorytetem w rodowisku logików. Z jego opiniami si liczono, a czsto wyznaczały one kierunki rozwoju logiki ubiegłego stulecia. W niniejszym artykule, chciałbym zapozna polskiego czytelnika z opini Gödla na temat tego, co zwiemy dzisiaj Tez Churcha (w skrócie TC).[ 3 ] 1. W tej czci artykułu przedstawimy krótko sformułowanie i histori TC. Alonzo Church ( ) od momentu, jak wspominaj jego uczniowie Kleene i Rosser, zbudowania tzw. lambda-rachunku i zbadania jego własnoci, zastanawiał si nad potrzeb zdefiniowania intuicyjnego pojcia efektywnej obliczalnoci. wiadczy to chyba o duej kulturze i wraliwoci filozoficznej tego logika i matematyka. Kiedy zostało w Princeton dowiedzione, przez Churcha, Kleenego i Rossera, e klasy funkcji lambda-definiowalnych i ogólnie rekurencyjnych s identyczne, Church sformułował sw tez w nastpujcej postaci: (TC) Jak si okae, definicja efektywnej obliczalnoci moe by podana w kadej z dwóch nastpujcych i równowanych form: (1) e dowolna funkcja liczb naturalnych bdzie nazwana efektywnie obliczaln, jeli jest lambda-definiowaln..., (2) e dowolna funkcja liczb naturalnych bdzie nazwana efektywnie obliczaln, jeli jest [ogólnie] rekurencyjn....[ 4 ] Pierwsze sformułowanie TC zostało dokonane w abstrakcie skierowanym do American Mathematical Society, noszcym dat Oficjalnie TC opublikowana została w artykule An unsolvable problem of elementary number theory[ 5 ]. W tej włanie pracy, wspomina Church (w przypisie 18) o tym, i pytanie o relacj pomidzy efektywn obliczalnoci i rekurencyjnoci zostało postawione przez Gödla w rozmowie z nim. Pytanie o relacj pomidzy efektywn obliczalnoci, a lambdadefiniowalnoci zostało postawione niezalenie przez Churcha. Gödel był zainteresowany relacj pomidzy efektywn obliczalnoci, a rekurencyjnoci z tego powodu, e to drugie pojcie pochodziło od niego. Termin rekursiv pojawia si w 1 R. Murawski, Funkcje rekurencyjne i elementy metamatematyki, UAM, Pozna 1990; motto ksiki. 2 Przypominam, e Kurt Gödel ył w latach Nazwa Teza Churcha pochodzi od S. C. Kleene ego z nastpujcych publikacji: Recursive predicates and quantifiers, Transactions of the American Mathematical Society, 53 (1943), ss ; Introduction to Metamathematics, Amsterdam 1952, rozdział XII; zobacz równie: Origins of Recursive Function Theory, Annals of the History of Computing, vol.3, nr.1 (1981), s Church ujmował sw tez raczej w terminach definicji poj. Jego teza miała by definicj pojcia efektywnej obliczalnoci. To powysze sformułowanie jest cytatem z artykułu Churcha (zob. nastpny przypis), cho wystpuje w literaturze wiele wersji równowanych. Czsto TC formułuje si jako identyczno ekstensji dwóch poj. Wszystkie tłumaczenia tekstów obcojzycznych pochodz ode mnie. 5 Opublikowane w: The American Journal of Mathematics, vol. 58 (1936), ss

2 najsłynniejszej pracy Gödla dotyczcej niezupełnoci arytmetyki liczb naturalnych.[ 6 ] W odniesieniu jednak do funkcji znaczyło to, co znaczy dzisiaj termin pierwotnie rekurencyjny. Dopiero podczas swych wykładów w Princeton, zdefiniował Gödel obszerniejsz klas funkcji, idc za pewnymi sugestiami J. Herbranda, które zwiemy dzisiaj funkcjami rekurencyjnymi.[ 7 ] Kiedy M. Davis przygotowywał swój słynny wybór najwaniejszych prac na temat rozstrzygalnoci, jako drugi w kolejnoci artykuł umiecił (spisan przez Kleenego i Rossera) wersj wykładów Gödla z Princeton (1934). Gödel dodał do pierwszego wydania wykładów przypis trzeci, który brzmi: Odwrotno tego 8 wydaje si by równie prawdziwa, jeli oprócz [pierwotnej][ 9 ] rekursji... dodana zostanie rekursja o innej postaci (np. wzgldem dwóch zmiennych równoczenie). Nie moe to zosta dowiedzione, poniewa pojcie skoczonego obliczania nie jest zdefiniowane, ale moe słuy jako zasada heurystyczna.[ 10 ] Miejsce to zostało przez Davisa zrozumiane, jako pewne sformułowanie TC. W prywatnej korespondencji Gödel odcił si zdecydowanie od takiego rozumienia:... i nie jest prawd, e przypis 3 jest sformułowaniem Tezy Churcha. Wyraone tam przyblienie odnosi si jedynie do równowanoci skoczonej procedury (obliczania) i procedury rekurencyjnej. Ja sam, w czasie tych wykładów, nie byłem wcale przekonany, e moje pojcie rekursji zawiera wszystkie moliwe rekursje;...[ 11 ] Church opisał, wspomnian powyej, dyskusj z Gödlem na temat definicji efektywnej obliczalnoci w licie do Kleenego z dnia : Jeli chodzi o Gödla, i pojcia: rekurencyjnoci i efektywnej obliczalnoci, to historia jest nastpujca. W dyskusji z nim, na temat lambda-definiowalnoci, okazało si, e nie ma dobrej definicji efektywnej obliczalnoci. Moj propozycj, e lambdadefiniowalno mogłaby słuy za tak definicj, uznał Gödel za całkowicie niesatysfakcjonujc (thoroughly unsatisfactory). [...] Jego jedyn ide w tym czasie była ta, e moliwe byłoby, przyjmujc efektywn obliczalno za pojcie pierwotne, przyj zbiór aksjomatów, które wyraałyby ogólnie przyjte własnoci tego pojcia, i zrobienie czego na takiej bazie. Póniej ewidentnie zdał sobie spraw z tego, e Herbranda definicja rekurencyjnoci [...] moe zosta zmodyfikowana w kierunku efektywnej obliczalnoci i taka propozycj podał w swoich wykładach. W tym czasie stawiał pytanie o zwizek pomidzy rekurencyjnoci, w tym nowym sensie, a efektywn obliczalnoci. Powiedział jednak, e nie uwaa, i te dwie idee mogłyby by w sposób satysfakcjonujcy zidentyfikowane - jednie heurystycznie.[ 12 ] 6 K. Gödel, Ueber formal unetscheindbare Saetze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, Monatshefte fuer Mathematik und Physik, 38 (1931), ss Definicja tej klasy funkcji nazywa si w literaturze definicj Herbranda-Gödla. Zob. na przykład: A. Kocielski, Teoria oblicze, Wydawnictwo Uniwersytetu Wrocławskiego 1997, ss Tzn., e funkcje rekurencyjne maj t wan własno, i dla dowolnego ustalonego argumentu warto funkcji moe by obliczona za pomoc skoczonej procedury. 9 Słowo pierwotnej naley doda, aby dobrze rozumie wypowied Gödla. Por. M. Davis, Why Gödel Didn t Have Church s Thesis, Information and Control, 34 (1982), ss The Undecidable, M. Davis (ed.), Raven Press, New York 1965, s. 44. Przypis ten został w antologii Davisa włczony do tekstu. W pierwszym wydaniu tej pracy przypis ten został przez Gödla dopisany w tzw. notes and errata. Ju po przygotowaniu antologii do druku Gödel zgłosił korekcj tego przypisu: {to stwierdzenie jest nieaktualne; zobacz Postscript.}; por. M. Davis, The Undecidable, s M. Davis, Why Gödel Didn t..., s M. Davis, Why Gödel Didn t..., s. 9.

3 Mona chyba stwierdzi na podstawie powyszych tekstów, e stanowisko Gödla odnonie TC było, w tym okresie, bardzo ostrone. Koresponduje to chyba do dobrze z osobowoci Gödla. Jak wspominaj niektórzy logicy, był on człowiekiem bardzo oszczdnym w słowach i w formułowaniu ostatecznych opinii. Dyskusja, o której wspomina Church, zdziwiła Davisa; nie swym przedmiotem, lecz tym, e si w ogóle odbyła.[ 13 ] 2. W pogldach Gödla na TC nastpiła zmiana, kiedy zapoznał si z analizami A. Turinga tyczcymi procesu obliczania. Turing, jak uwaał Kleene, w przeciwiestwie np. do E. Posta (czy J. Pepisa[ 14 ]), działał całkowicie niezalenie od grupy Princeton.[ 15 ] Praca Turinga z 1936 roku zatytułowana On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem[ 16 ] zawiera intuicyjn (dokładniej odwołujc si do intuicji) analiz procesu obliczania przez człowieka.[ 17 ] Była ona przekonywujca dla Gödla, który w Postscriptum do publikacji swych wykładów z Princeton, w antologii Davisa, pisze:[ 18 ] W konsekwencji póniejszych osigni, w szczególnoci wyniku, który zawdziczamy pracy A. M. Turinga, moe zosta obecnie podana precyzyjna i adekwatna definicja ogólnego pojcia systemu formalnego. Istnienie nierozstrzygalnych zda arytmetyki i niemoliwoci dowiedlnoci niesprzecznoci w tym samym systemie mog zosta cile dowiedzione, dla kadego niesprzecznego systemu formalnego zawierajcego pewien fragment skoczonej (finitary) teorii liczb. Praca Turinga daje analiz mechanicznej procedury ( alias algorytmu lub procedury obliczania lub skoczonej procedury obliczania ). To pojcie okazało si by równowane z pojciem maszyny Turinga. [...] (Naley zauway, e pytanie o to czy istniej skoczone nie-mechaniczne procedury[ 19 ] nierównowane adnemu algorytmowi, nie ma nic do adekwatnoci definicji systemu formalnego ani mechanicznej procedury ).[ 20 ] Wydaje si, e Gödel w tym fragmencie wyraa przekonanie, i analiza Turinga jest poprawna, a co za tym idzie, Gödel w tym czasie uznawał TC. To, e był przekonany co do adekwatnoci tej analizy, wyraa choby w swym licie do Kreisla z : But I was completely convinced only by Turing s paper.[ 21 ] 13 W podobnym tonie wypowiadał si S. Feferman, w czasie wykładu wygłoszonego przed kilku laty na Uniwersytecie Jagielloskim. Przedmiotem wykładu było, midzy innymi, porównanie Gödla z Tarskim. 14 Polski logik z okresu miedzywojennego, działajcy we Lwowie. Korespondował z Churchem. Praca doktorska na temat nierozstrzygalnoci wszego rachunku predykatów, opublikowana w 1937 roku we Lwowie. Promotorem był E. yliski, za referentami (recenzentami?) S. Banach i L. Chwistek. 15 Zob. Reminiscences of Logicians, (rep. by J. N. Crossley), w: Lecture Notes in Mathematics 450, Springer-Verlag, New York/Berlin 1975, ss. 6-7; równie: M. Davis, Why Gödel Didn t..., s W: Proceedings of the London Mathematical Society, ser. 2, vol. 42 (1936-7), ss ; przedruk w antologii M. Davisa, The Undecidable, ss , do tej publikacji pracy Turinga bd si odnosiły numery stron. 17 Turing, On Computable..., ss Data napisania Postscriptum to Tutaj Gödel daje przypis: I.e. takie, które wymagaj uycia abstrakcyjnych terminów (terms) w zalenoci od ich znaczenia. Zob. mój artykuł w Dialectica, 12 (1958), s M. Davis (ed.), The Undecidable, s Cytuj za: R. I. Soare, Computability and Recursion, The Bulletin of Symbolic Logic, vol. 2, nr. 3 (1996), s Po polsku: Ja zostałem całkowicie przekonany dopiero artykułem Turinga.

4 Formalizacja pojcia obliczalnoci, dokonana przez Turinga okazała si by równowana formalizacji Churcha, Herbranda-Gödla, Kleenego i Posta. Mona pyta o to, co ostatecznie przekonało Gödla w argumentacji Turinga. Davis, w cytowanym artykule o Gödlu i TC sugeruje, e Turing, odwołujc si do intuicji, zrealizował właciwie ówczesny zamiar Gödla zaksjomatyzowania pojcia obliczalnoci. Aksjomaty miały wyraa oczywiste własnoci pojcia obliczalnoci (zob. wyej). Ciekawym jest to, e ju w 1935 roku Gödel, w referacie wygłoszonym w Wiedniu, poczynił pewne spostrzeenia odnonie funkcji obliczalnych (rechenbar) w pewnym systemie formalnym.[ 22 ] Pojcie funkcje obliczalne, w taki sposób zostało scharakteryzowane w pewnym systemie formalnym S:... funkcja ϕ(x) moe by nazwana obliczaln w S, jeli kademu liczebnikowi m odpowiada liczebnik n taki, e ϕ(m) = n jest dowiedlne w S. W szczególnoci, np. wszystkie rekurencyjnie (recursively) zdefiniowane funkcje s obliczalne w klasycznej arytmetyce (i.e. w systemie S 1 cigu systemów zdefiniowanego poniej).[ 23 ] Zgodnie z koncepcj Gödla dysponujemy pozaskoczonym cigiem, coraz to silniejszych systemów formalnych S i, gdzie 1 i. Pojcie obliczalnoci funkcji jest absolutne w nastpujcym sensie: Mona pokaza, e funkcja, która jest obliczalna w którym z systemów S i lub nawet w systemie pozaskoczonego typu, jest ona ju obliczalna w S 1.[ten pierwszy system zawiera na przykład arytmetyk Peano (A.O.)] Tak wic pojcie obliczalno jest w pewnym okrelonym sensie absolutne, podczas gdy praktycznie wszystkie inne znane metamatematyczne pojcia (np. dowiedlno, definiowalno, etc.) zale istotnie od systemu, w którym zostały zdefiniowane (with respect to which they are defined).[ 24 ] Z powyszym fragmentem koresponduje ta oto znana wypowied Gödla: Tarski podkrelił w swoim wykładzie (i myl, e słusznie) wielk wag pojcia ogólnej rekurencyjnoci (lub obliczalnoci w sensie Turinga). Mnie si wydaje, e ta wano pochodzi głównie std, e po raz pierwszy udało si podanie absolutnej definicji pewnego interesujcego, epistemologicznego pojcia, i.e. niezalenej od wybranego formalizmu. We wszystkich innych dotychczasowych przypadkach, takich jak dowiedlno lub definiowalno, mona je było zdefiniowa tylko relatywnie wzgldem danego jzyka, i dla kadego konkretnego jzyka jest jasnym, e taka definicja nie jest t o jak nam chodzi. W wypadku obliczalnoci jednake, chocia jest ona zaledwie specjalnym rodzajem dowiedlnoci lub rozstrzygalnoci, sytuacja jest inna. Dziki rodzajowi cudu, nie jest koniecznym rozrónianie typów (orders), a procedura przektniowa nie wyprowadza poza definiowane pojcie.[ 25 ] 22 Ueber die Laenge der Beweise, Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums, heft 7 (1936), ss ; przedruk w: M. Davis, The Undecidable, ss M. Davis, The Undecidable, s M. Davis, The Undecidable, s K. Gödel, Remarks before the Princeton Bicentennial Conference on Problems in Mathematics, w: M. Davis, The Undecidable, s. 84.

5 W tym miejscu warto zauway, e Gödel bardzo rzadko uywał okrelenia funkcje rekurencyjne. Szczególnie od momentu zapoznania si z analiz Turinga. Oto relacja pewnego zdarzenia: Podczas dyskusji z Gödlem w Institute for Advanced Study w Princeton, kiedy w latach , Martin Davis od niechcenia (casually) uył terminu teoria funkcji rekurencyjnych jak to było wtedy uywane. Davis opowiadał; Ku mojemu zdumieniu Gödel zareagował ostro mówic, e ten termin powinien by uywany w stosunku do dzieła, które dokonała Rozsa Peter. [ 26 ] Jest jeszcze jeden wtek zwizany z Gödlem bezporednio, za porednio z TC. A. Turing w swej pracy z 1936 roku (ss ) podaje argument za tym, e procedury umysłowe nie mog doprowadzi dalej, ni procedury mechaniczne. Argumentacje sw opiera na załoeniu, które uzasadnia topologicznie, i umysł człowieka moe mie jedynie skoczon liczb tzw. stanów wewntrznych. Gödel sprzeciwiał si temu twierdzc, i procedury umysłowe s bogatsze od procedur mechanicznych. Umysł, w jego uyciu, nie jest statyczny, lecz dynamiczny[ 27 ]. Według niego, cho na kadym etapie rozwoju umysł dysponuje jedynie skoczon iloci stanów wewntrznych, to jednak moe owa ilo zmierza do nieskoczonoci. W dyskusji z H. Wangiem Gödel miał sformułowa dwa załoenia, przy których argument Turinga działa: pierwsze, e umysł człowieka nie moe istnie bez materii; drugie, e zasadniczo mózg funkcjonuje jak komputer cyfrowy.[ 28 ] Pierwsze z załoe Gödel uwaał pono za przesd naszych czasów, który zostanie naukowo odrzucony. W 25-tym Josiah Willard Gibbs Lecture wygłoszonym roku Gödel umiecił dwa twierdzenia:[ 29 ] a) Niekompletno, niewyczerpywalno (incompletability, inexhaustibility) matematyki - Umysł człowieka nie jest w stanie sformalizowa całej swej matematycznej intuicji (reguły inferencji według Gödla miały charakter konstruktywistyczny). W formie komentarza powiemy, e wobec tego, by moe TC jest takim włanie przypadkiem? b) Albo umysł człowieka przekracza moliwoci wszystkich maszyn, albo istniej teorioliczbowe zagadnienia nierozstrzygalne przez umysł. By moe wtedy TC, albo nie byłaby formalizowalna (matematyzowalna), albo jest nierozstrzygalna przez umysł. 3. W ostatniej czci artykułu chciałbym rozway pewne szczegółowe zagadnienie. Jak wida z powyszego przedstawienia, zarówno twórca TC Church (explicite), Turing, jak i Gödel (implicite), uwaali TC za definicj. Moliwe s inne rozumienia TC: jako tezy włanie, czyli stwierdzenia o na pół matematycznym, na pół filozoficznym charakterze[ 30 ]; jako twierdzenia empirycznego[ 31 ]; jako roboczej 26 R. I Soare, Computability and..., ss Por. H. Wang, From Mathematics to Philosophy, Routledge & Kegan Paul, London 1974, ss ; ten cytat dokładnie s Tekst tam przytoczony przez Wanga pochodzi prawdopodobnie z korespondencji z Gödlem. 28 Zob. H. Wang, From Mathematics to..., ss W pewien naturalny sposób nasuwa si tutaj pytanie o to, czy Gödel był człowiekiem wierzcym. Nie znam odpowiedzi na to pytanie, wiem jednak, e istnieje jego dowód na istnienie Boga, oparty na dowodzie w. Anzelma. 29 Zob. H. Wang, From Mathematics to..., ss ; K. Gödel, Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications, w: Collected Works. Vol.III. Unpublished essays and lectures, (ed.) S. Feferman, Oxford University Press 1995, ss Tak uwaał prawdopodobnie Kleene. Obecnie mona mówi o tezach, jako o zjawisku. 31 Tak uwaał na przykład J. Pepis, O zagadnieniu rozstrzygalnoci w zakresie wszego rachunku funkcyjnego, Lwów 1937, s. 169.

6 hipotezy lub prawa natury[ 32 ]. Jeli jednak przyjmiemy, e TC jest definicj, to pytamy: jakiego rodzaju definicj? Bardzo cile z tym problemem, zwizane jest zagadnienie formalizacji intuicyjnych poj. Tego włanie przykładem jest TC i jako taka, wymaga usprawiedliwienia. Jeli bowiem przyjmiemy, e TC jest prawdziwa?, (trafna?), to istnieje intuicyjne pojcie, którego formalna charakterystyka wyczerpuje tre?, (znaczenie?), jakie ono w jzyku potocznym posiada. Jeli jest to moliwe w jednym przypadku, to by moe jest te moliwe w innych przypadkach. Wprawdzie Gödel mówił o rodzaju cudu w tym przypadku, ale w swym artykule O długoci dowodów zarysował jakby program podobnych definicji dla dowiedlnoci i definiowalnoci. Naley rozway, czy co takiego jest w ogólnym przypadku moliwe. Jeli mamy na pocztku niewyrane (vague), intuicyjne pojcie, jak moemy znale ostre pojcie, które mu wiernie odpowiada? pytał Gödel.[ 33 ] Odpowied Gödla jest bardzo prosta, a nawet trywialna. Uwaał mianowicie, e pojcie to (tzn. efektywnie obliczalnej funkcji) było zawsze ostre, ale mymy go takim jedynie nie postrzegali. Gödel zauwaa daleko idce podobiestwo pomidzy postrzeganiem zmysłowym, a umysłowym. Rónica ley głównie w tym, e to pierwsze jest mniej bezporednie, ni to drugie. TC, była dla Gödla argumentem za swoistym optymizmem teoriopoznawczym i realizmem (w sensie platoskim). Zwrot: próbowa zobaczy (i.e. zrozumie) jakie pojcie jasno, jest precyzyjniejszym oddaniem zwrotu: zdaniem sprawy z tego co rozumiemy przez jakie słowo (examining what we mean by a word).[ 34 ] Gödel był zwolennikiem platonizmu w filozofii matematyki, obiektywnego istnienia obiektów matematycznych, i miał dla niego powane racje. Równoczesne przyjcie TC i platonizmu moe jednak prowadzi do pewnych trudnoci.[ 35 ] Powracamy jednak do zasadniczego wtku tej czci artykułu, mianowicie do rozwaenia jakiego rodzaju definicj miałaby by TC. Przytoczmy jeszcze jeden fragment z artykułu Churcha:[ 36 ] Zdefiniujemy teraz pojcie [...] efektywnie obliczalnej funkcji nieujemnych liczb całkowitych przez identyfikacj jej z pojciem funkcji rekurencyjnej okrelonej w zbiorze nieujemnych liczb całkowitych (lub z lambda-definiowaln funkcj [...]). Definicja ta ma by uzasadniona, przez dalsze rozwaania, w takim stopniu, w jakim mona uzasadni wybór formalnej definicji, która moe korespondowa z intuicyjnym pojciem. Jak wida Church definiował pojcie, a nie zbiór. Kiedy jednak obecnie przytacza si TC, to mówi si o identycznoci dwóch zbiorów tj. zbioru funkcji efektywnie obliczalnych i rekurencyjnych. W takiej te formie mylał o swej tezie sam Turing.[ 37 ] Naley wpierw zauway i podkreli to, e w uniwersum wszystkich funkcji 32 Zob. E. Post, Finite combinatory processes. Formulation I, The Journal of Symbolic Logic, 1 (1936), s Por. H. Wang, From Mathematics to..., s Por. H. Wang, From Mathematics to..., s Por. A. Olszewski, Teza Churcha a Platonizm, Zagadnienia Filozoficzne w Nauce, t. XXIV (1999), ss A. Church, An unsolvable..., w: M. Davis, The Undecidable, s Por. R. I. Soare, Computability and..., s TC jest równowana tzw. Tezie Turinga.

7 okrelonych w zbiorze liczb naturalnych[ 38 ] oba te pojcia maj by ekstensjonalnie równowane, nie jest tak jednak w ogólnym przypadku[ 39 ]. Teoria definicji, w przypadku logiki w szerszym sensie, nie jest obecnie opracowana w sposób zadowalajcy. Podczas wykładu kursowego z logiki, w wikszoci przypadków, informuje si studentów jedynie o tradycyjnych podziałach definicji, na przykład nastpujcych: nominalne realne, semantyczne syntaktyczne, analityczne syntetyczne, explicite implicite, ekstensjonalne intensjonalne, ostensywne werbalne, predykatywne niepredykatywne, zupełne - niezupełne.[ 40 ] Kryteria odpowiednich podziałów s słuszne i oparte na poprawnych spostrzeeniach. R. Robinson, w wymienionej ksice, przytacza osiemnacie okrele na rodzaje definicji, którymi posługiwali si róni autorzy. Jednak jakiej ogólnej teorii definicji na razie brak. Na terenie logiki w sensie wszym (formalnej) wystpuje natomiast pojcie definiowalnoci. Dokładnie chodzi o dwa róne pojcia: o definiowalno w sensie syntaktycznym i definiowalno w sensie semantycznym.[ 41 ] Gdyby próbowa umieci TC jako definicj, w tym gszczu terminologicznym, to wpierw naleałoby stwierdzi co jest definiowane (definiendum - Dfd), a co definiensem (Dfs). Wydaje si, e TC definiuje pojcie funkcji efektywnie obliczalnej, za definiensem jest pojcie funkcji rekurencyjnej. Moemy zatem zapisa schematycznie, e w wypadku TC: Dfd = pojcie funkcji efektywnie obliczalnej; Dfs = pojcie funkcji rekurencyjnej. Gdy pojcie jest ostre, to ma ostr ekstensj. W TC Dfs wyznacza ostr ekstensj, problemem jest Dfd. Gödel, jak ju wspomniano, uwaał, e Dfd ma równie ostr ekstensj, cho nie była ona od pocztku tak postrzegana. Jeli si tego nie przyjmie, tzn. e Dfd TC jest ostre, to TC byłaby tzw. definicj regulujc.[ 42 ] Gdyby tak jednak było, to pytanie o prawdziwo TC byłoby bardzo złoone. Zgodnie z własnociami poj nieostrych, ich ekstensja jest zbiorem rozmytym, dokładnie par uporzdkowan zbiorów, gdzie do pierwszego zbioru nale te elementy, które na pewno podpadaj pod dane pojcie, za do drugiego te, które na pewno pod dane pojcie nie podpadaj.[ 43 ] Dodatkowo istniej przedmioty (których zbiór zwiemy obszarem nieokrelonoci) co do których nie potrafimy rozstrzygn, czy pod dane pojcie podpadaj czy te nie podpadaj.[ 44 ] Taka sytuacja stwarzałaby moliwo spekulacji odnoszcych si do pewnych funkcji, nalecych włanie do dziedziny nieokrelonoci. Właciwie jednak takiej sytuacji a priori wykluczy nie mona. Zgodnie z zasadami metodologicznymi odnoszcymi si do poprawnoci definicji regulujcych, TC byłaby niepoprawna gdyby: albo wskazano funkcj, która jest rekurencyjna i równoczenie efektywnie nieobliczalna, albo funkcj, która jest efektywnie obliczalna i równoczenie 38 Liczba zero nie jest zaliczana do zbioru liczb naturalnych, tak zazwyczaj przyjmuj matematycy, za w teorii obliczalnoci liczba zero naley do zbioru liczb naturalnych. 39 Na przykład numeracja Gödla nie jest funkcj z tego uniwersum (zatem nie jest funkcj rekurencyjn), cho jest efektywnie obliczalna. Dlatego naley zawsze dodawa, formułujc TC, o jakim uniwersum mówimy. 40 Zobacz: R. Robinson, Definition, Oxford 1954; D. P. Gorsky, Definition (Logico - Methodological Problems), Progress Publishers, Moscow 1981, (angielskie, przejrzane wydanie rosyjskie z 1974 roku). 41 Por. A. Mostowski, Thirty Years of Foundational Studies, w: A. Mostowski, Selected Works, PWN, Warszawa 1979, t.i, s Por. M. Tokarz, Wprowadzenie do logiki, Uniwersytet lski, Katowice 1984, ss Jest to właciwie przeniesienie analogicznych ustale dla tzw. nazw nieostrych. 44 Lub te potrafimy to rozstrzygn, ale przedmioty podpadaj w jakim okrelonym stopniu.

8 nierekurencyjna. W takiej sytuacji problematyczna byłaby teza, klasycznie równowana TC: Funkcja f jest nierekurencyjna, wtedy i tylko wtedy, gdy nie naley do zbioru funkcji rekurencyjnych, wtedy i tylko wtedy, gdy f jest nieobliczalna. Ze wzgldu na ostro ekstensji (brak obszaru nieokrelonoci) pojcia funkcji rekurencyjnej, zbiór funkcji rekurencyjnych wyznacza ekstensj jednoznacznie. Gdyby pojcie funkcji efektywnie obliczalnej miało rozmyt ekstensj, to dopełnienie (w sensie teoriomnogociowym) klasy funkcji rekurencyjnych na pewno nie pokrywałoby si z klas funkcji, które s intuicyjnie nieobliczalne. Ten ostatni zbiór byłby róny od zbioru funkcji, które nie s efektywnie obliczalne, gdy nie zawierałby obszaru nieokrelonoci rozmytej ekstensji klasy funkcji efektywnie obliczalnych. Mielibymy paradoksaln sytuacj, gdzie TC pozostaje prawdziwa (poniewa postulowane zbiory s identyczne), ale pojcia s róne. Aby zaklasyfikowa TC do której ze znanych klas definicji, naley odpowiedzie na jeszcze jedno pytanie: czy obiekt definiowany istnieje uprzednio w stosunku do procedury definicyjnej, czy te pojawia si jako skutek teje? Jest to trudne pytanie, zakłada ono bowiem pewne istotne rozstrzygnicia w teorii rozwoju poznania. Nie chcemy wchodzi w te zagadnienia zbyt głboko, dlatego przyjmiemy zgodnie z potoczn intuicj, e zarówno klasa funkcji efektywnie obliczalnych w intuicyjnym sensie (równie ten termin), intuicja człowieka, jak i sam człowiek (gatunkowo) istniej uprzednio w stosunku do procesu formułowania TC.[ 45 ] W przypadku TC, definiujemy pewien obiekt, który istnieje uprzednio w rzeczywistoci i w definicji chcemy poda jego charakterystyczne własnoci.[ 46 ] Taka definicja nazywa si realn, poniewa zarówno Dfd jak i Dfs s uyte w supozycji formalnej. Kad definicj realn mona przetłumaczy na definicj nominaln tak, w której Dfd jest uyte w supozycji materialnej, za Dfs w supozycji formalnej.[ 47 ] Przez zastosowanie wspomnianego tłumaczenia uzyskujemy definicj analityczn, tzn. tak, która wyraa wprost znaczenie terminu wprowadzonego uprzednio w jaki sposób do jzyka.[ 48 ] Moemy si chyba zgodzi na to, e TC jest taki rodzajem definicji. Definicjom takim przysługuje warto prawdy lub fałszu (moliwo orzekania o nich prawdy lub fałszu).[ 49 ] Zgodnie z tym ustaleniem, TC zawiera implicite twierdzenie, e zbiory odpowiadajce Dfd i Dfs s w rzeczywistoci identyczne. Takie postawienie sprawy czyni z TC stwierdzenie empiryczne, jest ona bowiem falsyfikowalna. Po pierwsze moe si okaza, e istnieje algorytm obliczajcy funkcj nie nalec do klasy funkcji rekurencyjnych. Po drugie (o czym ju wiadomo) pewne funkcje s rekurencyjne, ale s one praktycznie nieobliczalne, tzn. czas trwania oblicze lub ich stopie skomplikowania jest tak duy, e wyniku oblicze prawdopodobnie nigdy nie poznamy. Czy takie funkcje s obliczalne w intuicyjnym sensie? W cisłym zwizku z powyszym pozostaje fakt, e definicja terminu funkcja rekurencyjna ma zupełnie inny charakter. Jest definicj nominaln, syntetyczn. W tych definicjach znaczenie terminu definiowanego jest nowo ustalane. Jeszcze jedno spostrzeenie: Dfd TC wywodzi si z jzyka nieformalnego, za termin funkcja rekurencyjna, czyli Dfs TC jest terminem formalnym. Formalny charakter Dfs 45 Nie s to zagadnienia trywialne i wymagaj osobnego opracowania; por. Gorsky, op. cit., szczególnie rozdziały 6 i 7, ss Równie termin funkcja efektywnie obliczalna istnieje uprzednio, w stosunku do procedury definiowania, w jzyku potocznym. 47 Por. Gorsky, Definition, s. 29. Główna rónica pomidzy definicj realn a nominaln polega na rónicy supozycji definiendum. 48 Por. Gorsky, Definition, s Mówi si czasem, w podobnych przypadkach, o błdach w definiowaniu.

9 jest właciwie pozorny. Dla definicji klasy funkcji rekurencyjnych potrzebne jest pojcie liczb naturalnych, za ów zbiór jest definiowany przy uyciu niektórych funkcji rekurencyjnych. Jeli pojcie funkcji wystpujce w Dfd i Dfs TC rozumie bdziemy jednakowo (np. za Fregem), to TC jest pochodna wzgldem tzw. tezy Fregego mówicej, e pojecie liczby naturalnej (intuicyjne) jest identyczne z teoriomnogociow konstrukcj liczby naturalnej (formalne).[ 50 ] Podobne rozwaanie mona poprowadzi w odniesieniu do wystpujcego w TC pojcia funkcji. Te spostrzeenia maj pokaza, e w TC zamieszane jest pojcie (funkcja rekurencyjna), którego definicja jest niepredykatywna, tzn. taka, która zawiera w sobie rodzaj błdnego koła. Myl jednak, e tego typu rozwaania mog zaprowadzi zbyt daleko. Co naley zrobi, aby uzyska jaki przytomny wynik? Naley opracowa jak ogóln teori definicji. Oto kilka intuicji, które przedstawia maj, w sposób szkicowy, pomysł na tak teori. Kluczow rol pełni w niej ma pewien oczywisty, cho zapoznany aspekt definiowania. Niektórzy logicy (formalni), z podziwu godnym uporem, nie uywaj terminu pragmatyczny. Wydaje si, e dzisiaj miało mona mówi o naukowym ugruntowaniu pragmatyki.[ 51 ] Dobrym, dla wprowadzanego pojcia, byłoby okrelenie definiowalno pragmatyczna. Zgodnie bowiem z podziałem semiotyki, pragmatyka ustala zalenoci pomidzy znakiem a uytkownikiem znaku. Interesujca nas definiowalno ustala zalenoci zachodzce pomidzy pojciami (umysłu uytkownika jzyka), a sił ekspresji jzyka. Owa definiowalno byłaby szczegółowym rodzajem ogólniejszego pojcia imitowalnoci (reprezentowalnoci) obiektów pozajzykowych w samym jzyku. Pojcie imitowalnoci nie jest precyzyjne, gdy, o ile mi wiadomo, nie zostało ono dotychczas wprowadzone. Myl, e nawet przy tak niedokładnym opisie, filozof zrozumie o co mi chodzi. W definiowalnoci pragmatycznej chodziłoby o jzykowe (matematyczne) sformułowanie istotnych własnoci definiowanego pojcia. Poprzednio wymienione pojcia definiowalnoci (syntaktycznej i semantycznej) byłyby szczególnymi przypadkami tego ogólnego pojcia. Przykładem, który negatywnie (tzn. w sensie niedefiniowalnoci) to pojcie aplikuje, jest Tarskiego twierdzenie o niedefiniowalnoci prawdy. Twierdzenie to mówi (w naszej stylizacji), e intuicyjne pojcie prawdziwoci nie jest formalizowalne (imitowalne) w pewnej klasie systemów formalnych.[ 52 ] TC jest przykładem takiej włanie pragmatycznej definiowalnoci i w jej kategoriach powinna zosta opisana.[ 53 ] Co ciekawe, teoretycznie moliwa jest taka sytuacja, e TC jest fałszywa, ale nigdy nie mona tego bdzie wykaza adnymi formalnymi rodkami. 4. Przeledmy raz jeszcze cało. W pierwszej czci przedstawiłem histori powstania TC, stanowisko Churcha i wczesne Gödla wobec niej. W czci drugiej starałem si zapozna Czytelnika z póniejszymi pogldami Gödla, ju po jego zaznajomieniu si z analiz Turinga. W czci trzeciej zakwalifikowałem TC do typu definicji realnych i analitycznych. Przedstawiłem kilka intuicji do zbudowania ogólnej teorii definicji w oparciu o tzw. imitowalno obiektów w teoriach formalnych. 50 Por. E. Mendelson, Second Thoughts about Church s Thesis and Mathematical Proofs, The Journal of Philosophy, 87(1990), ss W nawizaniu do tytułu znanej pracy Tarskiego. Za jego czasów obawiano si uywa terminu sematyczny. 52 Por. Gorsky, op. cit., s Wymaga to jednak szczegółowych bada, które nastpi w póniejszym czasie.

10 Gödel and Church s Thesis The article was divided into three sections. First section presents short history of Church s thesis and early Gödel s view of it. In the second section I discuss Gödel s later ideas concerning Church s thesis. Third section is devoted mainly to discuss methodological status of Thesis as a definition. Therein I sketch an idea of imitabillity of a concept in formal theory.