TEZA CHURCHA JAKO HIPOTEZA EMPIRYCZNA

Transkrypt

1 TEZA CHURCHA JAKO HIPOTEZA EMPIRYCZNA Badania nad Tez Churcha (dalej TC) nabieraj powoli rozpdu. Pojawiaj si róne jej sformułowania. Dlatego zawsze naley poda sposób jej rozumienia. Oto sformułowanie, które jest, według mnie, najblisze temu, jakie podał Church: [TC] Pojcie funkcji efektywnie obliczalnej 1 jest identyczne z pojciem funkcji rekurencyjnej. Przekonanie o tym, e tak naley rozumie TC opieram na nastpujcym tekcie samego Churcha: Teraz zdefiniujemy pojcie (notion) [...] efektywnie obliczalnej funkcji liczb całkowitych dodatnich przez identyfikacj go z pojciem funkcji rekurencyjnej liczb całkowitych dodatnich (lub z -definiowaln funkcj liczb całkowitych dodatnich). 2 Frege uwaał, e przyblieniem identycznoci poj jest ich materialna równowano. Dla dowolnych poj F, G: Pojcie F jest identyczne z pojciem G wtedy i tylko wtedy, gdy x (Fx Gx) 3. Symbol Fx czytamy obiekt x podpada pod pojecie F. Dzisiejsze rozumienie prawej strony powyszej równowanoci zostało zdominowane przez logik pierwszego rzdu i teori mnogoci. Prowadzi to do uznania za równowane zdania wyraajcego materialn równowano poj (i tym samym, za Fregem, ich identycznoci) ze zdaniem o równoci ich ekstensji (zbiorów). 4 W niniejszej pracy termin hipoteza rozumiany jest jako zdanie, które w sensie absolutnym posiada warto prawdy lub fałszu, ale na obecnym etapie rozwoju nauka nie jest w stanie tej wartoci okreli. Od czasu Poppera cech wyznaczajc naukowo jakiej teorii czy hipotezy jest jej falsyfikowalno. Z tym, ze tutaj bdziemy falsyfikowalno rozumie szerzej, jako moliwo wykazania fałszywoci zda. Jest to cecha konieczna empirycznoci, ale nie jest ona wystarczajca, gdy pod tak pojt cech podpadaj hipotezy matematyczne (np. hipoteza kontinuum). Hipotez naukow nazwiemy empiryczn wtedy i tylko wtedy, gdy posiada ona zawarto empiryczn. Zawarto empiryczna hipotezy (teorii) - to zbiór zda bazowych (obserwacyjnych), które mona wyprowadzi (za pomoc metod logicznych) z hipotezy. Zdanie obserwacyjne - to takie, którego warto logiczna moe by okrelona na podstawie spostrzee zmysłowych (konfrontacji z rzeczywistoci). Takie zdania zawieraj terminy obserwacyjne. Prawdziwo tych zda wyznaczona jest poprzez kontyngentne 1 W niniejszej pracy, o ile nie zostanie jasno stwierdzone inaczej, gdy pojawi si termin funkcja znaczy on bdzie funkcja okrelona w liczbach całkowitych nieujemnych, czyli w liczbach naturalnych (z zerem). 2 Ten fragment pochodzi z paragrafu siódmego pracy An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory. W paragrafie pierwszym jest podobnie - w przypisie trzecim pojawia si sformułowanie tej definicji:... funkcja liczb całkowitych dodatnich bdzie si nazywa efektywnie obliczaln, jeli jest -definiowaln w sensie paragrafu 2 poniej [...]. 3 Frege miał nie rozróni znaków i = (identycznoci i równowanoci). W pracy z 1879 roku uywał znaku, za w pismach z 1893 i 1903 roku uywał znaku =. Por. Jan H. Alnes, Sense and Basic Law V in Frege s Logicism, Nordic Journal of Philosophical Logic, 4(1999), ss. 1-30, szczególnie s W systemie Fregego przejcie od identycznoci ekstensji poj do identycznoci poj było moliwe dziki tzw. Basic Law V. Jak wiadomo to prawo dawało sprzeczno w obrbie systemu Fregego logiki drugiego rzdu. Por. uwagi na ten temat w: S. Shapiro, Foundations without Foundationalism, Oxford 2002, ss

2 własnoci Uniwersum wiata w którym yjemy. Mona powiedzie take (ujmujc rzecz od strony epistemologii), e s to zdania aposterioryczne. 1. Próbka pogldów o empirycznym charakterze TC. Sporód ojców obliczalnoci zwolennikiem pojmowania TC jako hipotezy empirycznej był Emil Post. W swym trzystronicowym artykule Finite Combinatory Processes. Formulation I podaje sw analiz procesu obliczania, która - cho niezalena - co do istoty jest identyczna z analiz Turinga. Do redakcji Journal of Symbolic Logic praca Posta dotarła dnia 7 padziernika 1936 roku i jest póniejsza od słynnej pracy angielskiego logika, cho została wczeniej opublikowana. W ostatnim akapicie Post pisze: Autor spodziewa si, e obecne sformułowanie okae si by logicznie równowanym z rekurencyjnoci w sensie rozwinitym przez Gödla-Churcha.[...] Jego zadaniem nie jest jedynie zaprezentowanie systemu o pewnej logicznej potencji, ale równie, w tej wskiej dziedzinie, psychologicznej odpowiednioci (psychological fidelity). W tym drugim sensie s rozwaane coraz to szersze i szersze sformułowania. Z drugiej strony naszym celem bdzie wykazanie, ze wszystkie one s równowane logicznie sformułowaniu I. W tym momencie proponujemy t konkluzj jako hipotez robocz. I dla nas (to our mind) tak równie jest identyfikacja efektywnej obliczalnoci z rekurencyjnocia dokonana przez Churcha. Tutaj pojawia si przypis numer osiem: [...] W rzeczywistoci praca dokonana przez Churcha i innych przenosi (carries) t identyfikacj znaczco poza (considerably beyond) stadium (stage) hipotezy roboczej. Jednak maskowanie tej identyfikacji za pomoc definicji ukrywa ten fakt, e zostało odkryte fundamentalne ograniczenie na moc matematyczn (mathematicizing power) Homo Sapiens i przysłania nam konieczno jej cigłej weryfikacji. I dalej, w tekcie głównym: Z tej hipotezy [...] wyrasta dzieło Gödla-Churcha. Sukces tego programu mógłby, według nas, zmieni t hipotez raczej w prawo natury, a nie w definicj czy te aksjomat. Przytoczone teksty wskazuj na to, e Post uznawał: TC nie jest ani definicj ani aksjomatem. 5 TC jest hipotez robocz wymagajcej nieustannej weryfikacji. TC została przez Churcha i innych podniesiona do rangi obowizujcego prawa natury. TC nakłada ograniczenia na (psychologiczne) matematyczne moliwoci Człowieka. To pojmowanie TC było niezgodne z rozumieniem jej przez Churcha, dla którego TC była definicj. Dlatego Church, w swej recenzji cytowanej pracy Posta, odnosi si krytycznie do pojmowania TC jako hipotezy roboczej wymagajcej cigłej weryfikacji. Uwaa, e pojcie efektywnej obliczalnoci nie posiada precyzyjnego sensu i dlatego ujcie TC jako hipotezy roboczej nie posiada równie dokładnego znaczenia. Obliczalno, na któr nałoono 5 Sposób, w jaki rozumiał Post definicje, nie jest jasny. Wydaje si jednak, e rozumiał je jako to, co czasami nazywa si definicj syntetyczn. Doktorant Posta Martin Davis uwaał podobnie jak jego nauczyciel: Jak moemy wykluczy moliwo stanicia którego dnia (by moe za spraw pozaziemskich przybyszów) wobec (by moe ekstremalnie złoonego) urzdzenia (device) lub wyroczni, która bdzie oblicza jak nieobliczaln (w sensie Turinga AO) funkcj?, M. Davis, Computability and unsolvability, Dover, New York 1982, s

3 warunek skoczonoci (obliczalno maszynowa), miałaby by adekwatn reprezentacj intuicyjnego pojcia obliczalnoci. Wtedy, wedle Churcha, znika potrzeba przyjcia takiej hipotezy roboczej. Nie odniósł si natomiast wcale do pogldu Posta wyraonego w cytowanym przypisie. Ta wypowied Churcha na temat TC, nie liczc artykułu w którym została sformułowana, jest jedn z nielicznych. Wydaje si, e póniej zmodyfikował on nieco swoje pogldy na ten temat. W roku 1940 pisał tak: Formalna definicja efektywnej obliczalnoci [...], i adekwatno tej definicji dla reprezentowania empirycznego (podkrelenie moje AO.) pojcia efektywnej obliczalnoci znajduje mocne wsparcie w ostatnich rezultatach Turinga 6. Nie jest natomiast całkiem jasne, jakiego rodzaju definicj miałaby by dla niego sama TC. W przypisie 168 swego Introduction to Mathematical Logic Church rozrónia cztery typy definicji funkcjonujcych w obrbie logiki: definicje bdce skrótami (rodzaj definicji syntetycznych?) 7, definicje eksplikujce notacj jzyka (podobne do definicji realnych), reguły semantyczne (metajzykowe) ustalajce interpretacj jzyka systemu 8, definicje rozszerzajce jzyk jakie systemu formalnego (s czci jzyka przedmiotowego i musz spełnia warunki poprawnoci sformułowane przez Leniewskiego). Wydaje si, e TC podpada moe tylko pod drugi typ definicji, a to z tego powodu, e Church próbował poda usprawiedliwienie dla swej tezy. Jeli to przyj, to dziwi sprzeciw Churcha wobec ujcia TC przez Posta, bowiem dałoby si uzgodni takie dwa stanowiska w kwestii charakteru TC. Inny logik, o mocnym zaciciu filozoficznym, Hao Wang zwrócił uwag na empiryczny charakter TC. W ksice A Survey of Mathematical Logic pisał: Wydaje si, e w pojciu efektywnoci sedno sprawy tkwi w terminach mechanicznych i równoczenie mieci si idealizacja, która prowadzi do nieskoczonoci (there is a core in mechanical terms, and at the same time, there is an idealization which brings in infinity). To czego jaki fizyczny obiekt moe dokona niezawodnie (reliably) i systematycznie, mogłoby wyda si efektywne, bez wzgldu na to czy rozumiemy sam ten proces, czy te nie. Z tego powodu wydaje si by empirycznym pytanie o to, czy wszystkie efektywne funkcje s rekurencyjne 9. W prywatnej rozmowie z Thomasem Wang miał powiedzie, e w powyszym fragmencie chciał uczyni wiarygodn empiryczn interpretacj TC, i nie był przekonany co do jej poprawnoci. 10 Wedle Wanga, jeli si usunie empiryczny element (z pojcia efektywnej obliczalnoci), to istnieje moliwo dowodu TC. Biorc TC z jej empirycznym komponentem moe by tak, e zaobserwujemy rzeczywist maszyn, która bdzie oblicza nierekurencyjn funkcj. Thomas rozwaa tak hipotetyczn maszyn M, która miałaby oblicza nierekurencyjn funkcj. Zwraca uwag na to, e maszyna M musiałaby mie nieskoczony czas pracy, gdy kada funkcja o skoczonej dziedzinie w zbiorze liczb naturalnych jest rekurencyjna, a dodatek musielibymy mie moliwo j tak długo 6 Por. Alonzo Church, The Concept of Random Sequence, Bulletin of the American Mathematical Society, 46(1940), s W tym kontekcie Church nie mówi o definicjach syntetycznych. Przy drugim rodzaju definicji wspomina definicje realne, jednak nie uywa tej nazwy i zaznacza, e chce przez to unikn skojarze i presupozycji zwizanych z tym terminem. 8 Church uwaał, e mamy do czynienia z jzykiem sformalizowanym o ile podana jest jego interpretacja. Jest to pogld atrakcyjny filozoficznie, cho obecnie rzadko uznawany. 9 Hao Wang, op. cit. s Por. William J. Thomas, Church s Thesis and Philosophy, nieopublikowana praca doktorska, Case Western Reserve University, 1972, s

4 obserwowa. Nawet jeli wemiemy pod uwag tzw. maszyn Zenona 11, to matematyk - dla wykazania, e oblicza ona funkcj nierekurencyjn - musiałby mie moliwo przeledzenia nieskoczenie długiego dowodu. Te argumenty wydaj si by celne w odniesieniu do maszyny M, która miałaby realnie istnie. Wang podaje przykład takiej funkcji, zasugerowanej mu przez Speckera: f(n) = 0, gdy n-tego dnia (liczc np. od dzisiaj) wystpiło gdzie na wiecie trzsienie ziemi; f(n) = 1, w przeciwnym razie. Nie bardzo wiadomo jak mona by wykaza rekurencyjno czy te nierekurencyjno funkcji f. Problematyczne jest take to, i - cile rzecz biorc - nie mamy do czynienia z funkcj okrelon na całym zbiorze liczb naturalnych, zatem naleałoby przyj istnienie takiej funkcji przez załoenie istnienia platoskich obiektów. Funkcje obliczalne przez systemy fizyczne nazywa bdziemy f-obliczalnymi 12. Wersja TC idca po linii uwagi Wanga to tzw. fizyczna wersja TC 13 : [FTC] Dowolna funkcja okrelona w liczbach naturalnych, która jest f- obliczalna, jest obliczalna T-obliczalna 14. Wymieniony fizyczny system (rzeczywisty lub moliwy) - to taki, którego: a) stany zajmuj skoczon przestrze, b) jego okres funkcjonowania jest skoczony w czasie, c) system funkcjonuje zgodnie z prawami fizyki. Obliczalno w takim systemie polega na tym, e: [...] jego funkcjonowanie przeprowadza go od jednego zbioru stanów wejciowych do innego zbioru stanów wyjciowych.[...] Stany s oznaczone w pewien [sposób] sposób, system jest przygotowany w stanie wejciowym i potem, po wykonaniu ruchu, stan wyjciowy zostaje zmierzony 15. W przyblieniu mona to tak opisa: bierzemy pod uwag jaki system fizyczny o którym moemy powiedzie, e w sensie podanym przez Deutscha oblicza jak funkcj. Zakładamy, e zachowanie systemów fizycznych ma charakter przyczynowy. Rosen 16 uwaa, e koniecznym załoeniem uprawiania teoretycznej nauki jest symulacja przyczynowych zwizków zachodzcych w systemach fizycznych (materialnych), za pomoc implikacji zachodzcych pomidzy zdaniami opisujcymi te systemy. Jeli zachowanie takiego systemu jest powtarzalne i zachowanie systemu potrafimy mierzy (obserwowa), to moemy poszukiwa formalizmu (przeliczalnie rekurencyjnego), który modelowałby ów system. Jeli taki system znajdziemy i da si przechodzi od systemu fizycznego do systemu formalnego i z powrotem, to moemy mówi o owym systemie jako o realizacji systemu formalnego (za o 11 W nawizaniu do paradoksów Zenona z Elei. Takie maszyny wykonuj n+1-krok w czasie o połow krótszym ni n-ty krok. 12 Podobne rozwaania prowadziłem w pracy: A. Olszewski, Teza Churcha a platonizm, Zagadnienia Filozoficzne w Nauce, 34(1999), ss Wersja Kreisla [FTC] jest taka: The behavior of any discrete physical system evolving according to local mechanical laws is recursive. G. Kreisel, Mathematical Logic, [w:] Lectures on Modern Mathematics, Saaty (ed.), Wiley 1965, ss Por. odcinek Jak wida, z TC znika pojcie funkcji rekurencyjnej, na korzy maszyn Turinga. Ma to zwizek tym, e maszyny Turinga zwizane s z klas funkcji czciowo rekurencyjnych. Ciekaw prac na temat TC jest: A Speculative Church-Turing Theorem, U. Boker, N. Dersowitz. Znajdujemy tam interesujce sformułowanie TC: Modele obliczeniowe s równowane, lub słabsze, ni maszyny Turinga (które nawizuje do sformułowania Churcha z abstraktu opublikowanego w 1935 roku). Tam te, jak postuluj autorzy, znajduje si dowód TC. 15 D. Deutsch, Quantum theory, Church-Turing principle and the universal quantum computer, Proceedings of the Royal Society, Series A, 400(1985), ss Por. R. Rosen, Effective Processes and Natural Law, [w:] The Universal Turing Machine. A Half-Century Survey, R. Herken (ed.), Springer, Wien, New York 1994, ss

5 systemie formalnym jako o symulacji (reprezentacji) systemu fizycznego). Mona to przedstawi w postaci rysunku: 17 Przyczynowo Dekodowanie - α Implikacja (Algorytm) δ System fizyczny System formalny β Kodowanie - γ Jeli strzałki powyszego schematu rozumie jako zalenoci funkcyjne α, β, γ, δ, to zachodzi relacja modelowania pomidzy danym systemem fizycznym i systemem formalnym o ile spełniony jest warunek przemiennoci diagramu: δ = α β γ 18. [FTC] nie jest, jak uwaa Fitz, rozszerzeniem TC, lecz jej szczególnym przypadkiem. W pojciu funkcji efektywnie obliczalnej jest przecie miejsce dla systemów fizycznych. Teza odwrotna do [FTC] ma take empiryczny charakter, gdy by moe która z funkcji rekurencyjnych (czciowo rekurencyjnych) nie jest obliczalna przez aden system fizyczny. [FTC] doprowadziła fizyków do rozwaenia systemów fizycznych przekraczajcych moliwoci maszyn Turinga. Naley tutaj zaliczy: tzw. maszyny Zenona (przyspieszajce) 19, obliczanie analogowe, obliczanie kwantowe (quantum computation), kwantowe procesy (quantum processes), maszyny wykorzystujce efekty relatywistyczne, biologiczne obliczanie i inne 20. Jako kolejnego zwolennika empirycznoci TC naley wymieni Robina Gandy. Swoj koncepcj prezentuje w pracy Church s Thesis and Principles for Mechanisms 21. Jego rozwaania dotycz obliczalnoci przez maszyn rozumian, jak sam pisze, w sensie dziewitnastowiecznym. Przykładowo podaje Analityczny Silnik Babbage a. Ograniczenia na zakres terminu maszyna s takie: a) finityzm - wyłcza z rozwaa maszyny analogowe. Jedynym fizycznym ograniczeniem jest ograniczenie dolne - na liniowe wymiary atomowych czci maszyny oraz ograniczenie górne - na prdko rozchodzenia si zmian (prdko wiatła), b) dyskretno - proces obliczania mona opisa za pomoc terminów dyskretnych, c) determinizm zachowanie maszyny jest jednoznacznie zdeterminowane przez jej stan pocztkowy. Gandy chce, eby jego opis maszyny stosował si do dowolnych urzdze: mechanicznych, elektrycznych i pojciowych. Formułuje cztery zasady, które maj definiowa maszyny: (I) dysponujemy zbiorem S opisów stanów maszyny. Zbiór ten jest podzbiorem dziedzicznie skoczonych zbiorów (hereditarily 17 Rosen, op. cit., s Por. Hartmut Fitz, Church s Thesis. A Philosophical Critique of the Foundations of Modern Computability Theory, praca magisterska, Berlin, 2001, s Moliwo istnienia systemu fizycznego, który wykonuje nieskoczon liczb kroków (w jego czasie wewntrznym) w skoczonym czasie (zewntrznym wzgldem systemu) miał rozwaa ju Hermann Weyl. Por. P. H. Potgieter, Zeno Machines and Hypercomputations, złoone do Elsevier Science. 20 Por. na przykład Potgieter, op. cit.; J. Mycka, Empiryczne aspekty teorii obliczalnoci ; Fitz, op. cit.; R. Penrose, Nowy umysł cesarza, PWN, Warszawa Robin Gandy, Church s Thesis and Principles for Mechanisms, [w:] J. Barwise, H. J. Keisler, K. Kunen (eds.), The Kleene Symposium, North-Holland, 1980, ss

6 finite sets - HF), nadbudowanym nad nieskoczonym zbiorem etykiet (labels), wraz z okrelon na nim funkcj przejcia; nastpne trzy zasady nakładaj ograniczenia na S i funkcj przejcia F:S S: (II) teoriomnogociowy poziom budowy maszyny jest ograniczony tzn. k (S HF k ); (III) dla kadego opisu istnieje ograniczenie na liczb elementów, z których zbudowana jest maszyna; (IV) zasada lokalnej przyczynowoci kady stan zaley od ograniczonego (lokalnego) stanu poprzedniego. Gandy wykazuje, e kada funkcja obliczana przez maszyn spełniajc te zasady (za Kreislem nazywane m-obliczalne) jest obliczalna przez maszyn Turinga. Jeli za osłabi si któr z zasad, to maszyna oblicza bdzie dowoln funkcj bdzie dopuszcza woln wol. [MTC] Dowolna funkcja okrelona w liczbach naturalnych, która jest obliczalna przez skoczon, dyskretn i deterministyczn maszyn (m-obliczalna), jest obliczalna przez maszyn Turinga (T-obliczalna). MTC posiada cisły dowód, jest twierdzeniem matematycznym. Jej empiryczny charakter polega na załoenia, e kada maszyna musi spełnia warunki wyraone przez zasady (I-IV). Jest to jednak kolejna teza 22. Swój argument Gandy tak formułuje: [G1] Teza Gandy ego: Dowolne dyskretne, deterministyczne i mechaniczne urzdzenie (device) spełnia zasady (I) (IV). [G2] Twierdzenie Gandy ego: Kada funkcja obliczalna za pomoc urzdzenia spełniajcego zasady (I) (IV) jest równie T-obliczalna. [G3] Wniosek: [MTC]. 23 Ogólnie mona powiedzie, e jeli jakie sformułowanie TC posiada cisły dowód, to istnieje jaka wczeniejsza teza, któr przyjto na podstawie intuicji bez cisłego dowodu. W literaturze anglosaskiej te włanie załoenia nazywane s czasami Centralnymi Tezami argumentacji za TC. Kleene sformułował dwa dodatkowe heurystyczne argumenty za prawdziwoci TC. Pierwszy z nich (nazwiemy go argumentem z braku kontrprzykładu) mówi, e TC jest prawdziwa poniewa kada funkcja efektywnie obliczalna i kada operacja, pozwalajca efektywnie definiowa funkcj z innych funkcji, okazała si by ogólnie rekurencyjna. Zbadane zostały rónorodne funkcje i ich klasy. Załoeniem tych bada było wyczerpanie wszystkich znanych typów funkcji. Metody bada właciwie wykluczaj to, e mona znale funkcj, która bdzie efektywnie obliczalna i nie bdzie mona (za pomoc tych metod) przekształci jej w funkcj rekurencyjn. Kreisel 24 podał przykład takiej funkcji: niech bdzie dany system formalny arytmetyki konstruktywnie poprawny, dla którego konstruktywnie wyliczymy jego dowody. Definiujemy funkcj f tak, e f(n) = 0, gdy konkluzja n-tego dowodu albo nie ma postaci egzystencjalnej albo ma, ale dowód nie podaje wiadka (witness) dla tej kwantyfikacji; f(n) = (m+1), gdy konkluzja dowodu ma posta egzystencjaln i dowód podaje m jako wiadka. Okazało si, e funkcja f jest mechanicznie obliczalna. Ten przykład jest interesujcy, gdy (jak zauwaa Odifreddi) nastpuje w nim przejcie od formalnej derywacji do mentalnego aktu dowodzenia. Odifreddi uwaa, e ta definicja nie jest nawet 22 Fenomen tez jest w obrbie nauki do powszechny. Shagrir sygnalizuje, e istnieje problem z interpretacj maszyny Gandy ego. Por. Oron Shagrir, Effective Computation by Humans and Machines, Minds and Machines, 12(2002), ss Por. Gandy, op. cit., ss. 126 i Kreisel, op. cit., nr

7 sensowna, z teoriomnogociowego punktu widzenia 25, Polski logik Józef Pepis, który zajmował si TC i korespondował w tej sprawie z Churchem, odnonie argumentu z kontrprzykładu pisze tak: Co si za tyczy tej hypotezy (zachowuj oryginaln pisowni autora A.O.), to autorowie wyej wspomniani (Church i Turing A.O.) nie daj adnych przekonywujcych argumentów na jej poparcie, lecz opieraj si li tylko na empirycznym (podkrelenie moje A.O.) fakcie, e nie znane s dotychczas prócz funkcji rekursywnych adne inne funkcje obliczalne. [...] Wobec takiego stanu rzeczy kwestia całkowitej rozwizywalnoci zagadnienia rozstrzygalnoci dla systemu wszego rachunku funkcyjnego pozostaje kwesti otwart (podkrelenie A.O.). 26 Drugi z argumentów Kleenego (nazywa si go argumentem ze zbienoci sformułowa) powołuje si na pewien rodzaj stabilnoci pojcia funkcji efektywnie obliczalnej. Rónorodne sformułowania formalne tego pojcia okazały si by równowanymi. Kreisel podkrela, e pomimo równowanoci sformułowa nie mona wykluczy systematycznego błdu w tych ujciach oraz tego, e pojcie - o które nam naprawd chodzi (efektywnej obliczalnoci) - nie wystpuje poród poj równowanych 27. Podsumowujc powysze rozwaania mona chyba stwierdzi, e trzy przytoczone wersje TC [TC], [FTC] oraz [MTC] posiadaj konsekwencje zawierajce terminy obserwacyjne. S to odpowiednio: pojcia, systemy fizyczne i maszyny. Ten drugi i czciowo trzeci termin maj desygnaty wyranie nalece do Uniwersum. Desygnatami pierwszego terminu s pojcia - tajemnicze obiekty funkcjonujce w umyle. Dla funkcji h-obliczalnych zdania obserwacyjne maj przez to nieco innych charakter. Obserwacja bdzie introspekcj i analiz poj. Jej zmysłowy (spostrzeeniowy) charakter polega na koniecznym pojawieniu si opisu obliczania funkcji w tym co Kant nazywał zmysłowymi formami naocznoci, w szczególnoci w formie przestrzeni. Ogólnie, jeli wemiemy dowolny obiekt (algorytm, system fizyczny, maszyn skoczon) i wykaemy, e funkcja obliczana przez taki obiekt okae si by rekurencyjna, to bdzie to czstkowe potwierdzenie dla odpowiedniej wersji TC. Za znalezienie kontrprzykładu (w dowolnej z trzech dziedzin) sfalsyfikuje odpowiedni wersj TC. Znaczy to, e aden człowiek (system fizyczny, maszyna) nie powinien umie efektywnie oblicza wartoci funkcji (dla dowolnego argumentu), która nie jest rekurencyjna 28. 2) Argumenty Churcha i Turinga za TC. Przyjrzyjmy si dokładnie, podanemu przez samego Churcha, uzasadnieniu dla TC. Pojawia si ono w paragrafie siódmym An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory 29, i jest to jego drugi argument za TC. [C1] Definicja: Funkcja f jest efektywnie obliczalna wtw istnieje system formalny F w którym jest ona słabo reprezentowalna tzn. jednoargumentowa funkcja f jest obliczalna w 25 Por. P. Odifreddi, Kreisel s Church, [w:] Kreiseliana, P.Odiferddi (ed.). AK Peters 1996, ss ; szczególnie Józef Pepis, O zagadnieniu rozstrzygalnoci w zakresie wszego rachunku funkcyjnego, Lwów 1937, ss Por. Kreisel, op. cit., nr Bardzo intereujc prac o empirycznym charakterze TC jest: S. Hansson, Church s Thesis as an Empirical Hypothesis, International Logic Review, 16(1985), ss American Journal of Mathematics, 58(1936), ss Przedrukowane w antologii Davisa ss

8 pewnym systemie F wtw istnieje formuła A w jzyku systemu F taka, e dla kadego n N: F A(n)=m wtw f(n) = m 30. [C2] Centralna Teza Churcha 31 : Relacja Prov(x,y) x jest dowodem y w F jest (nawet pierwotnie) rekurencyjna. Znaczy to, e zbiór aksjomatów i reguł inferencji s rekurencyjnie przeliczalne oraz dla kadej reguły istnieje funkcja rekurencyjna g taka, e g(n, x) = y; gdzie y jest numerem gödlowskim formuły, któr uzyskuje si w F przez zastosowanie n-tej reguły systemu F do formuł o numerze gödlowskim x. [C3] Wniosek (TC): Kada funkcja efektywnie obliczalna jest rekurencyjna. Argument ten ma charakter dedukcyjny. TC wynika logicznie z przyjtych przesłanek. Church nie podaje jednak adnego uzasadnienia dla [C2] 32. Załómy, e istnieje efektywnie obliczalna i nierekurencyjna funkcja f. Dołczmy do aksjomatów jakiej odpowiednio bogatej arytmetyki AR, jako aksjomaty, wszystkie zdania o postaci P(n,m) w taki sposób, e: AR P(n,m) wtw f(n)=m, gdzie P jest dwuargumentowym, nowym predykatem. Aksjomatyka systemu pozostanie efektywna i sam system - równie. Poniewa nie dołczamy adnej nowej reguły, zbiór reguł jest efektywnie enumerowalny i kada reguła pozostaje efektywna. Funkcja f byłaby w tej hipotetycznej arytmetyce AR słabo reprezentowalna. TC jest wtedy oczywicie fałszywa. Nie mona zatem w [C2] zamieni słowa rekurencyjny na słowo efektywny. Jest to mało prawdopodobne, ale jednak moliwe, e efektywna, lecz nierekurencyjna funkcja istnieje. Dlatego Post, który interpretował TC w kategoriach psychologii kognitywistycznej uwaał, e dla weryfikacji TC naleałoby zbada wszystkie moliwe sposoby, w jakich umysł ludzki mógłby sformułowa skoczony proces. 33 Chodzi o wyczerpujc analiz czasowo-przestrzennych moliwoci symbolizacji i symbolicznej manipulacji przez człowieka. 34 Analiza ta dotyczy człowieka jako kogo obecnego w rzeczywistoci Uniwersum. W podobnym duchu wypowiadał si Kreisel gdy przypuszczał, e dopiero zbudowanie systemu formalnego obejmujcego cał matematyk mogłoby rozstrzygn TC w odniesieniu do funkcji obliczalnych przez człowieka (h-obliczalnych). 35 Post postulował stworzenie teorii poj (Theory of Conception or Concepts). Ta nauka, jak si zdaje, miałby mie charakter empiryczny i zdawa spraw z faktycznych własnoci ludzkiego umysłu. W podobnym duchu wypowiada si Gandy, gdy pisze o Gödlu: Obiekcja GÖDLA moe zosta odpowiednio usprawiedliwiona poprzez teori inteligencji. Jak on przyjmuje, nasze obecne rozumienie ludzkiego umysłu jest dalekie od bycia wystarczajco wnikliwym (penetrating) dla skonstruowania takiej teorii. Dla tego celu wiedza dostarczana przez introspekcj, histori idei, eksperymentaln psychologi, neurofiziologi i sztuczn inteligencj wydaje si by za skromna (seems meagre indeed). Naley zachowa otwarty umysł Oron Shagrir, op.cit., Minds and Machines, 12(2002) wymaga by funkcja była reprezentowalna. Ten warunek nie jest jednak dobry, poniewa w systemie sprzecznym kada funkcja jest reprezentowalna i TC przez to byłaby fałszywa. 31 Nazwa pochodzi od W. Sieg, Step by Recursive Step: Church s Analysis of Effective Calculability, The Bulletin of Symbolic Logic, 3(1997), ss Por. W. Sieg, op. cit., s Por. Fitz, op. cit., ss Por. E. Post, Appendix do pracy Absolutely Unsolvable Problems and Relatively Undecidable Propositions, przedruk [w:] antologii Davisa, ss W przypisach o numerach 1 i 9 Post podkrela konieczno zbadania wszystkich sposobów symbolizacji przez człowieka. 34 Por. Post, Appendix, s Por. G. Kreisel, Which number theoretic problems can be solved in recursive progressions on Π 1 1 paths through Ο?, The Journal of Symbolic Logic, 37(1972), ss , szczególnie s Istnienie takiego systemu nie jest, według Kreisela, sprzeczne z twierdzeniem Gödla o niezupełnoci. 36 Gandy, op. cit., s

9 Wspomniana obiekcja GÖDLA dotyczyła TC w tym sensie mianowicie, i sprzeciwiał si jej psychologicznej interpretacji. Uwaał, e rezultaty uzyskane przy załoeniu TC naley interpretowa jako ograniczajce moliwoci czystego formalizmu w matematyce. 37 Analiza Turinga była dla niego wystarczajcym wsparciem dla TC, ale zastrzegajc interpretacj TC w nastpujcej postaci: [GTC] Kada funkcja (okrelona w liczbach naturalnych) obliczalna za pomoc mechanicznej procedury jest obliczalna przez maszyn Turinga. 38 Gödel uwaał jednak, e moliwa jest efektywna komunikacja pomidzy ludmi odwołujca si do treci (sensu) wypowiedzi, a nie tylko do kombinatorycznych (czasowoprzestrzennych) relacji pomidzy kombinacjami znaków. 39 Powysze rozwaania miały za zadania wykaza, e Church arbitralnie załoył [C2] podczas gdy w miejsce tej przesłanki naleałoby wstawi [C2 ]: Relacja dowodliwoci dowolnego systemu spełniajcego [C1] jest rekurencyjna. Taka przesłanka ma ju charakter empiryczny, gdy jej prawdziwo jest uzaleniona od faktycznych własnoci dowolnych, moliwych i odpowiednich systemów formalnych. Przyjrzymy si obecnie argumentowi Turinga z pracy On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem : 40 [T1] Centralna Teza Turinga: Ludzki komputer (komputor) spełnia trzy warunki ograniczajce. [T2] Twierdzenie Turinga: Dowolna funkcja, która moe zosta obliczona przez komputor spełniajcy trzy ograniczenia, jest obliczalna przez maszyn Turinga. [T3] Wniosek (TC): Kada funkcja obliczalna przez komputor, jest obliczalna przez maszyn Turinga. 41 Wspomniane trzy warunki to: determinizm (kada konfiguracja procesu obliczania okrela jednoznacznie nastpny krok oblicze), ograniczono (na liczb bezporednio rozpoznawalnych symbolicznych konfiguracji i na liczb stanów wewntrznych maszyny), lokalno (zmianie podlegaj tylko bezporednio obserwowane konfiguracje, a odległo nowo obserwowanych konfiguracji od obserwowanych bezporednio jest ograniczona). W analizie Turinga obliczalnoci przez człowieka (która okazała si by tak przekonywajca dla Gödla), a któr przyjł jako [T1] w swej argumentacji, mieci si pewien wtek empiryczny. Ograniczenia nałoone na komputor maj odpowiada rzeczywistym ograniczeniom na obliczajcego człowieka nałoonym przez natur. Czy tak rzeczywicie jest? Gödel włanie wysunł krytyk analizy Turinga odnoszcej si do skoczonej liczby stanów wewntrznych komputora. Gödel zwracał uwag na to, e cho tych stanów jest skoczenie wiele, lecz ich liczba zmierza do nieskoczonoci, bo umysł jest w swej istocie 37 Por. Postscriptum w antologii Davisa, ss Por. Hao Wang, From Mathematics to Philosophy, Routledge & Keagan, New York, 1974, s Por. K. Gödel, Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes, Dialectica, 12(1958), ss W rozmowie z Wangiem Gödel zauwaył, e dla poprawnoci do argumentu Turinga naley doda dwie przesłanki: 1. Nie istnieje umysł niezaleny od materii; 2. Mózg funkcjonuje jak komputer cyfrowy. Por. Wang, op. cit., s Proceedings of the London Mathematical Society, (2)42 (1936), ss Przedruk [w:] Davis, ss Shagrir, op. cit. ss

10 dynamiczny (constantly developing), a nie statyczny 42. Ten zarzut Gödla ma wyranie empiryczn proweniencj, odwołuje si do faktycznych własnoci umysłu. Obecnie zwraca si uwag na to, e analiza Turinga presuponuje mechanistyczne załoenie. 43 3) Teza Churcha a teza o niesprzeczno arytmetyki liczb naturalnych (TN). Pomidzy TC a jednym z głównych i nierozwizanych problemów teorii arytmetyki liczb naturalnych problemem jej niesprzecznoci - istnieje podobiestwo, które postaram si wskaza. Przez arytmetyk liczb naturalnych rozumiem wszystkie teorie liczb naturalnych, które s rozszerzeniami arytmetyki R, badanej przez Tarskiego, Mostowskiego i Robinsona, w której reprezentowalne s wszystkie funkcje rekurencyjne (o ile R jest niesprzeczna). Zarówno TC jak i TN nie posiadaj (absolutnych) dowodów. 44 Ich dostpne dowody (akceptowalne matematycznie) zakładaj to czego dowodz. Inne dowody odwołuj si do intuicji. W obu przypadkach działa, właciwie jako jedyny, empiryczny argument z braku kontrprzykładu. Church, w licie do Gödla z r. pisze: W rzeczywistoci jedynym dowodem na niesprzeczno systemu Principia Mathematica jest empiryczne wiadectwo (podkrelenie moje A.O.) pochodzce std, e system ten tak długo jest w uyciu, tak wiele twierdze zostało w nim wyprowadzonych i nikt nie znalazł sprzecznoci. Due działy matematyki (arytmetyka liczb naturalnych i teoria obliczalnoci) uprawia si przy załoeniu tych tez. Ich fałszywo miałaby daleko idce konsekwencje. Gdyby si okazało, e TN jest fałszywa, to wtedy badania nad arytmetyk okazałyby si całkowicie trywialne, cho twierdzenia udowodnione pozostałyby prawdziwe. W przypadku TC wymienia si nastpujce konsekwencje jej prawdziwoci: dla Computer Science moc obliczeniowa maszyn jest ograniczona raz na zawsze przez TC; dla fizyki TC ogranicza do rekurencyjnych relacje pomidzy obserwablami 45 ; dla filozofii umysł matematyczny jest ograniczony przez rekursywno (Post); dla kognitywistyki preferuje obliczeniowy model umysłu. Fałszywo TC miałaby np. takie skutki, e Entscheidungsproblem byłby nadal otwarty i dziesity problem Hilberta równie. Społeczno matematyków i logików jest raczej przekonana co do prawdziwoci zarówno TC jak i TN. 42 Por. Davis, op. cit., s Por. Fitz, op. cit., s Tarski, pytany, czy dowód niesprzecznoci arytmetyki podany przez Gentzena (uywajcy pozaskoczonej indukcji do ε 0 ) wzmocnił jego przekonanie o niesprzecznoci tej teorii, miał odpowiedzie: By about an epsilon. Por. Neil Tennant, Deflationism and the Gödel Phenomena: Reply to Ketland, Mind, 114(453) (2005), s Dokładniej znaczy to, e [PTC] ogranicza do funkcji rekurencyjnych klas funkcji obliczalnych przez systemy fizyczne. Zobacz fragment niniejszej pracy, gdzie referowano [PTC]. 10

11 Wiedza o niesprzecznoci arytmetyki (czyli prawdziwo TN) ma charakter intuicyjny, równie uzasadnienie dla TC odwołuje si do intuicji. Obie tezy s jakby zagadnieniami brzegowymi matematycznych teorii. Kurt Gödel wprowadził rozrónienie na matematyk obiektywn i matematyk subiektywn. Ta pierwsza - jest klas (zbiorem?) zda opisujcych obiektywn rzeczywisto matematyczn, za druga - dotyczy zbioru zda dowodliwych w ramach pewnego systemu formalnego. Korzystajc z tej dystynkcji zdefiniujmy zbiór zda nalecych do matematyki obiektywnej Z: Z := {T: T TC}, gdzie T jest twierdzeniem lub hipotez matematyki obiektywnej, za jest relacj wyprowadzalnoci za pomoc logiki klasycznej 46. Zbiór Z jest niepusty, gdy TC oczywicie naley do Z. Kleene 47 wykazał, e pierwsze twierdzenie Gödla o niezupełnoci równie naley do Z. Wydaje si, e twierdzenie Tarskiego o niedefiniowalnoci prawdy naley do zbioru Z 48. Intuicyjnie rzecz ujmujc, elementami zbioru Z s te twierdzenia matematyki obiektywnej, które zale od TC. Do zbioru Z nale równie wszystkie twierdzenia o (absolutnej) nierozstrzygalnoci, w tym twierdzenie o nierozstrzygalnoci logiki pierwszego rzdu 49. Problemem otwartym jest to, czy TN naley do zbioru twierdze Z. TN jest twierdzeniem matematyki obiektywnej. 50 4) Zarys koncepcji empirycznego badania poj, w szczególnoci TC. W niniejszej pracy przyjto za podstawowe do szczególne sformułowanie TC, oparte na identycznoci dwóch poj. Przypuszczam, e sformułowania TC w postaci [MTC] oraz [FTC] wywodz si z potrzeby uczynienia [TC] bardziej podatn na intersubiektywny wgld. Pojcia s niezbyt wdzicznym przedmiotem bada, gdy niewiele o nich wiadomo. Ich istnienie wydaje si by bezsporne. Jeli przyj, e TC ma mie charakter empiryczny, to naley wskaza jak intersubiektywn drog docierania do poj. Analiza poj czsto obarczona jest pewn doz subiektywizmu, a uzewntrznienie poj w postaci, na przykład, systemu formalnego zwizane jest z pytaniem o adekwatno ujcia. Jest to niejako droga z umysłu do form naocznoci, uywajc terminologii Kanta. Moliwa wydaje si take droga odwrotna, polegajca na indukowaniu poj. Wemy dla przykładu pojcie implikacji materialnej. Przecitny uytkownik jzyka polskiego ma jakie pojcie tego spójnika. Spróbujmy pokaza w jaki sposób mona bdzie indukowa w umyle pojcie implikacji materialnej. Ustalmy jaki system formalny (w jzyku z jednym funktorem dwuargumentowym) charakteryzujcy spójnik implikacji. Wemy nastpnie jaki program pozwalajcy na generowanie tez tego systemu wraz z dowodami. Program ten dodatkowo ma liczy wszystkie uycia formuł pojawiajce si w dowodach. Podobnie postpił Frege (dla logiki pierwszego rzdu) w zakoczeniu swojego Begriffschrift. Dowodzi tam 133 tez logiki i 46 Jednake, o ile mi wiadomo, nie istnieje ogólna definicja relacji wynikania pomidzy zdaniami matematyki obiektywnej. 47 S. C. Kleene, Reflection on Church s Thesis, Notre Dame Journal of Formal Logic, 28(1987), s Por. Adam Olszewski, Teza Churcha a definicja prawdy Tarskiego, Analecta Cracoviensia, 33(2001), ss Jest tutaj pewna subtelno. Jeli wemiemy pod uwag twierdzenia o nierozstrzygalnoci w sensie nierekurencyjnoci, to rozwaane twierdzenia nie nale do zbioru Z. 11

12 podaje liczb uycia poszczególnych formuł w dowodach tez. I tak dla przykładu, jego teza o numerze 5 (stosuj współczesn notacj): ((q r) ((p q) (p r))); pojawia si w dowodach pitnastu tez. Natomiast teza o numerze 3: ((p q) ((r (p q)) ((r p) (r q)))); pojawia si tylko w dowodzie jednej tezy. Dla zbudowania pojcia implikacji intuicyjnie wida rónic w istotnoci tych dwóch przytoczonych tez. Pierwsza z tez jest skomutowanym sylogizmem hipotetycznym, a zatem nawizuje do bardzo wanej własnoci implikacji, polegajcej na przechodnioci tego funktora, podczas gdy druga teza jest zaledwie poprzedzonym sylogizmem Fregego. Sam sylogizm Fregego jest wan tez wyraajc intuicyjnie rozdzielno implikacji wzgldem siebie samej, i pojawia si w wyliczeniu Fregego piciokrotnie. Indukcja pojcia implikacji materialnej miałaby polega na informowaniu jakiego osobnika (który takiego pojcia nie posiada) o tych własnociach implikacji, które najczciej wystpuj w dowodach tez. Przypuszczenie (empirycznie weryfikowalne) jest takie, e istnieje taka skoczona liczba tez implikacyjnych, pozwalajca zbudowa pojcie implikacji. Liczba ta jest graniczna w tym sensie, e zapoznanie si z innymi tezami nie zmienia ju samego pojcia implikacji jest ono ju gotowe (ustalone). Empiryczna weryfikowalno mogłaby polega na tym, e uytkownik (majcy tak zbudowane pojcie implikacji) umiałby bezbłdnie rozpoznawa to, czy inne formuły jzyka systemu, które mu nie zostały wczeniej przestawione s, czy te nie s własnociami implikacji. Stosujc ten pomysł do pojcia funkcji rekurencyjnej naleałoby policzy uycie pewnych funkcji uytych do zdefiniowania innych. Idc tym tropem mona by indukowa ogólne pojcie funkcji rekurencyjnej. Tak samo mona by potraktowa funkcje efektywnie obliczalne. Indukowanie moe mie t zalet, e nie potrzeba znajomoci wszystkich funkcji dla zbudowania ogólnego pojcia takiej funkcji. Wystarcz funkcje najbardziej charakterystyczne. 12