UWAGI FILOZOFICZNO-LOGICZNE NA TEMAT KŁÓSAKOWSKICH IMPLIKACJI ONTOLOGICZNYCH TYPU REDUKCYJNEGO. Adam Olszewski, PAT, Kraków.

Transkrypt

1 UWAGI FILOZOFICZNO-LOGICZNE NA TEMAT KŁÓSAKOWSKICH IMPLIKACJI ONTOLOGICZNYCH TYPU REDUKCYJNEGO. 0. Wstp. Adam Olszewski, PAT, Kraków. Koncepcja implikacji ontologicznych typu redukcyjnego ksidza Kazimierza Kłósaka jest pretekstem do zajcia si zagadnieniem podmiotu poznania. Jest to właciwie moja pierwsza próba podejcia do tego zagadnienia z punktu widzenia filozofii logiki. Czy jest to próba udana, czy te nie, poka to ewentualne dalsze prace w tym kierunku. Wiele szczegółowych zagadnie pomijam, poniewa albo nie wiem jak je rozwiza, albo nie ma dla tego miejsca w tej skromnej pracy. Przede wszystkim tytułowe implikacje nie zostaj w tej pracy wyjanione. Praca ma, wzgldem nich, charakter wprowadzajcy. Ma ona pokaza równie to, e zagadnienie, którym zajmował si ks. Kłósak, jest nietrywialne i bardzo ciekawe. 1. Gar wspomnie W seminarium duchownym pierwsze dwa lata studiów powicone s głównie filozofii. Tam włanie po raz pierwszy spotkałem mego pierwszego Mistrza i Nauczyciela Filozofii ks. Prof. Kazimierza Kłósaka. Piszc z duej litery te słowa, pragn odda Mu naleny szacunek; był bowiem prawdziwym filozofem, czyli miłonikiem mdroci. Zapraszał do uprawiania filozofii, cho jest ona oderwana od ycia praktycznego i z niej zasadniczo nie ma chleba. 1 Kiedy rozpoczł swój pierwszy wykład, padł na nas (seminarzystów) blady strach. Nie zrozumielimy z niego niemal ani słowa. Pomylałem sobie, e nie moe tak by, eby kto mówił w jzyku polskim i był dla mnie niezrozumiały. Podobnie mylał jeden z kolegów. Zabralimy si ostro do pracy i po trzecim wykładzie ju rozumielimy wszystko (albo prawie wszystko). 2 Wyraeniem ks. Kłósaka, które wywoływało nerwowy odruch u kolegów, były tajemnicze: implikacje ontologiczne typu redukcyjnego. Dzisiaj, z perspektywy 25 lat, chciałbym wróci krytycznie do wymienionego zwrotu Sformułowanie ks. Kłósaka. Podstawow prac, zawierajc dojrzałe pogldy ks. Kłósaka z zakresu metodologii jest, wydana na dwa lata przed mierci autora, ksika pt. Z teorii i metodologii filozofii przyrody. 4 Interesujcy nas zwrot pojawia si u Kłósaka w zwizku z szeroko dyskutowanym przez niego zwizkiem (relacj) pomidzy naukami szczegółowymi o przyrodzie i o człowieku 5, a filozofi przyrody. Skłania si on ku teorii empiriologicznej, zgodnie z któr, nauki szczegółowe... nie wychodz we właciwym sobie poznaniu przyrody poza to, co jest dostpne dla ich metod badawczych a wic poza sfer zjawisk i wicych je relacji, tak 1 Odwołuj si tutaj do Wittgensteina, który nawoływał studentów do odwrócenia si od filozofii i zwrócenia si ku czemu poyteczniejszemu. 2 Ten ksidz, dzi proboszcz, to Piotr Sulek. 3 Właciwie ten włanie zwrot stał si porednio przyczyn moich zainteresowa filozoficznych. Zadałem bowiem ks. Profesorowi zwizane z tym pytanie, po którym zaprosił mnie na swoje seminarium naukowe. Ks. Kłósak pojmował krytyk konstruktywnie. Znaczyło to, e krytyka budowała. Zobacz jego prace krytyczne, w szczególnoci choby krytyk materializmu dialektycznego. 4 Ks. Kazimierz Kłusak, Ksigarnia w. Wojciecha, Pozna T prac bd oznaczał [TMFP; n], gdzie n bdzie numerem strony. Referujc pogldy Kłusaka bd uywał jego oryginalnej terminologii. 5 Piszc dalej o tych naukach bd uywał zwrotu nauki szczegółowe, lub po prostu nauki. 1

2 e pomijaj to, co mogłoby uchodzi za rozumian filozoficznie istot lub natur rzeczy, oraz przyczyny wzite w ujciu filozoficznym, choby były to przyczyny blisze. [TMFP; 14]. Zgodnie z tym stanowiskiem, ze wzgldu na afilozoficzny charakter nauk szczegółowych nie mog one prowadzi wprost do rozwizania problemów filozoficznych [TMFP; 35]. Konsekwentnie; ani twierdzenia nauk o przyrodzie nie mog wynika bezporednio (dedukcyjnie) z pewnych zasad filozoficznych, ani nauki szczegółowe nie mog bezporednio prowadzi do wniosków filozoficznych [TMFP; 35]. Jako uzasadnienie powołuje si Kłósak na zasad racji dostatecznej. Czym irracjonalnym byłyby wnioski przyrodnicze ze zda filozoficznych (i odwrotnie) [TMFP; 35-36]. Naley podkreli niejasno terminu - bezporednio, który znaczy ma tyle co - dedukcyjnie. Pyta dalej Kłósak, czy nauki nie posiadaj implikacji typu redukcyjnego z zakresu filozofii? [TMFP; 39]. Inaczej formułujc pytanie: czy badajc jzyk nauk (pod wzgldem obiektywnego sensu) nie dojdziemy do jakiej filozofii?[tmfp; 39] Na te pytania odpowiada twierdzco. Pisze, e owe implikacje (typu redukcyjnego, a zatem prowadzce od nastpstwa do racji) mogłyby by tylko funkcj wymienionych nauk i ogólnej wizji filozoficznej, do której kto doszedł [TMFP; 40]. Zatem nie maj one znowu charakteru bezporedniego, lecz poredni. I nieco dalej na tej samej stronie: [...] przy wyodrbnianiu implikacji filozoficznych typu redukcyjnego dla nauk [...] musiałaby wchodzi mediacja ze strony jakiej ogólnej wizji filozoficznej, dlatego te implikacje bd przedstawiały si, przynajmniej czciowo, inaczej dla tomisty okrelonej orientacji i dla filozofa z jakiej innej szkoły. Kłósak eksplicite formułuje przykładowo trzy implikacje tego typu (dla tomizmu i odpowiednich orientacji filozoficznych): teoria realizmu metafizycznego, realizmu gnoseologicznego oraz koncepcja nauki w ogólnoci [TMFP; 40]. Problem rozwaanych implikacji powraca przy okazji rozwaania faktów wyjciowych filozofii przyrody, w rozdziale dziesitym. Kłósak bazuje głównie na ujciu J. Maritaina. Przyjmuje za nim podział faktów na naukowe fakty przyrodnicze i filozoficzne to dane, które zostały ustalone i osdzone w wietle obiektywnym filozofii [TMFP; ]. Jako przykład tych drugich mamy: istnienie realnych, gatunkowych odrbnoci w wiecie ciał, istnienie zmiany i stawania si, istnienie cigłoci [TMFP; 127]. Maritain uwaał, e filozof przyrody ma za zadanie przemyle w kategoriach filozoficznych fakty, podane przez przyrodnika przy pomocy poj empiriologicznych [TMFP; 128]. Rónica miedzy jednym, a drugim typem faktów dotyczy przede wszystkim jzyka pojciowego [TMFP; 133], który słuy do ich wyraenia. Rónica pomidzy nimi jest jednak głbsza i dotyczy równie aspektu bytowego (typu, sposobu bytowania) [TMFP; 135]. Znaczy to ostatecznie, e s to dwie zasadniczo róne grupy faktów [TMFP; 135]. Jednak, co moe budzi zdziwienie, dotycz tych samych rzeczy jednostkowych [TMFP; 135]. Własnociami podmiotu, które umoliwiaj budowanie filozofii przyrody, s: abstrakcja fizyczna pomijanie cech indywidualnych ciał [TMFP; 149] (na któr składaj si róne czynnoci umysłowe) [TMFP; 148], pewne inne czynnoci umysłowe (tu Kłósak wymienia przykładowo podawanie uniesprzeczniajcych warunków moliwoci istnienia właciwoci gatunkowych i midzygatunkowych oraz uzasadnienie istnienia struktur gatunkowo-jednostkowych [TMFP; 149]), a nade wszystko implikacje ontologiczne typu redukcyjnego w znaczeniu szerszym i wszym. 6 Kłósak twierdził, e implikacjom ontologicznym typu redukcyjnego, dziki dodatkowym zabiegom, mona nada pewien poziom pewnoci [TMFP; ]. W rozdziale dwunastym znajdujemy nieco inne 6 W sprawie tych implikacji odwołuje si Kłusak zasadniczo do dwóch autorów: F. Renoirte i C. G. Hempel (jego implikacje testowe). 2

3 ujcie, w którym chodzi o ufundowanie filozofii przyrody, na tzw. fenomenologii empirycznej [TMFP; ]. Ta nauka ma za zadanie wyraenie w pewnym jzyku [...] tego wszystkiego, co szczegółowe nauki realne maj przy uyciu swoich metod do powiedzenia o przyrodzie na uytek refleksji filozoficznej [TMFP; 155]. Ta fenomenologia jest nauk pozbawion charakteru filozoficznego i posiada dopiero swe implikacje filozoficzne Rozwaania szczegółowe. W Kłósaka koncepcji implikacji redukcyjnych jest kilka punków, które naleałoby bardziej szczegółowo ustali, aby zagadnienie nieco rozwin. W swej argumentacji odrzuca Kłósak moliwo, eby twierdzenia nauk szczegółowych miały bezporednie implikacje filozoficzne. Dopuszcza jedynie implikacje porednie. W pierwszym przypadku twierdzenia nauk szczegółowych wynikałyby z twierdze filozoficznych, co jest absurdem. Słowo implikacje ma tutaj charakter niejasny. Implikacja jest uwaana na terenie logiki za funktor logiczny, zdaniotwórczy i dwuargumentowy. Z niektórych stwierdze Kłósaka [TMFP; 39-40] wida, e chodziło o zdania, które wynikaj w sposób redukcyjny, zatem przeciwny do dedukcyjnego. Jednak implikacja ma w ogólnoci odmienne własnoci formalne od relacji wynikania (logicznego), dlatego bd si posługiwał tym drugim terminem. 8 Powiemy, e zdanie A wynika logicznie (jest wyprowadzalne w systemie formalnym F) ze zbioru zda X 9 (symbolicznie: X A (X F A)) i bdziemy ten zwrot rozumie w nawizaniu do rozumienia logicznego tak: zdanie A wynika logicznie (jest wyprowadzalne) ze zbioru zda X wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje model, w którym równoczenie zdania zbioru X byłyby prawdziwe, za A fałszywe, (gdy A posiada dowód ze zbioru X w systemie F). Ze wzgldu na twierdzenie o pełnoci dla logiki 1. rzdu mona uywa zamiennie (w obrbie teorii 1. rzdu) semantycznej relacji wynikania i syntaktycznej relacji wyprowadzalnoci (dowiedlnoci). Przy ustalonym modelu (tzw. modelu zamierzonym), w obrbie zda, wynikanie semantyczne właciwie si trywializuje. 10 Dlatego, przy przyjtej aksjomatyce teorii formalnej F, mona przyj naturalne okrelenia wynikania (rozumowania) 11 redukcyjnego (symbolicznie: X F A i czytamy: zdanie A wynika redukcyjnie z niepustego zbioru zda X ): X F A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki niepusty zbiór Y X, e {A} F Y. Prostsza posta, gdy A i B s zdaniami oraz gdy zbiór jednoelementowy utosami z jego elementem, byłaby nastpujca: 7 Kłósak podkrela, e mówienie o fenomenologii empirycznej jest jedynie inn stylizacj rozwaanych zagadnie [TMFP; ]. 8 Implikacj z dedukowalnoci (wyprowadzalnoci) i wynikaniem semantycznym wie twierdzenie o dedukcji. Zasig jego jest ograniczony do do naturalnych teorii, ale jednak ograniczony. 9 W tym przypadku oczywicie zarówno jzyk jak i system formalny jest ustalony. 10 Ta sprawa wymaga osobnego opracowania. W poniszym okreleniu wynikania redukcyjnego, mona zastpi relacj wyprowadzalnoci przez relacj wynikania semantycznego. Dla wyszych rzdów sprawa si komplikuje, ze wzgldu na to, e nie obowizuje twierdzenie o pełnoci. Te rozwaania naley jednak odloy do osobnego opracowania. 11 Rozumowanie jest redukcyjne, wg. Łukasiewicza, gdy kierunek rozumowania i kierunek odpowiadajcego mu wynikania logicznego s sobie przeciwne. Dane jest nastpstwo, do niego dobiera si racj. 3

4 B F A wtedy i tylko wtedy, gdy A F B. 12 Okrelenia powysze pokazuj, e pewne rozumienie wynikania redukcyjnego da si sprowadzi do pojcia dedukowalnoci w zwykłym sensie. Te definicje wynikania funkcjonuj zasadniczo w obrbie jednej teorii aksjomatycznej (systemu) sformułowanej w konkretnym jzyku formalnym i dziki temu mona mówi o tym, e s bezporednie. 13 Włanie w obrbie jednej teorii formalnej nie ma zasadniczo problemu. Przy powyszym rozumieniu wynikania redukcyjnego, zbiór tez jakiego systemu formalnego mona zredukowa do zbioru aksjomatów systemu. 14 W tej stylizacji mona nastpujco sformułowa pierwsze twierdzenie Goedla o niezupełnoci: Zbioru zda prawdziwych jzyka arytmetyki Peano 15 nie da si zredukowa do rekurencyjnie przeliczalnego zbioru aksjomatów. Problem si komplikuje, kiedy redukcja zachodzi pomidzy teoriami. W tym przypadku naleałoby okreli pojcie wynikania pomidzy teoriami. To włanie byłby wariant implikacji porednich Kłósaka. Teorie i twierdzenia na potrzeby, których Kłósak formułował koncepcj implikacji ontologicznych nie maj charakteru formalnego i przez to zastosowanie powyszych definicji nie jest natychmiastowe, o ile w ogóle jest moliwe. 16 Teorie które rozwaał Kłósak miały charakter zinterpretowany (zatem jest mowa o jakim modelu ), a ich jzyki nie były precyzyjnie okrelone. Za [AR 1998; 28-29] podaj, w jaki sposób rozumie mona teori, w sensie teorii naukowej. 17 Według autorów teoria naukowa składa si z nastpujcych składników: zbiór podstawowych terminów (słownik) z ustalonym znaczeniem; zbiór podstawowych praw (rodzaj aksjomatów?); dziedzina stosowalnoci (wiat? lub model?); matematyczna struktura (w naukach fizykalnych, model?); ontologia (rzeczywisto?). 18 Aerts i Rohrlich proponuj [AR 1998; 29], by teori S nazywa redukowaln do teorii T wtedy i tylko wtedy, gdy teoria T implikuje teori S. Ich rozwaania s do zblione do tych Kłósaka z t istotn rónic, i redukuje si w tym przypadku do siebie całe teorie (w powyszym sensie) i obie teorie nale do nauk szczegółowych. Sami stwierdzaj, e słowo implikuje uyte w okreleniu powyszej redukcji nie jest jasne [AR 1998; 29]. 12 W dalszym cigu indeks przy symbolu relacji bd opuszczał o ile nie bdzie to prowadziło do nieporozumie. 13 Termin teoria jest wieloznaczny nawet w obrbie logiki. Mona go rozumie w sensie najcilejszym, jako zbiór zda jakiego jzyka formalnego domknity na operacj konsekwencji; lub jako system dedukcyjny (obiekt syntaktyczny); lub jako system dedukcyjny wraz z semantyk (zinterpretowany). Wszystkie te trzy pojcia s dobrze okrelone w obrbie logiki formalnej. Zakładamy, e system formalny musi mie rekurencyjnie przeliczalny zbiór twierdze tzn., e chodzi o standardowo sformalizowane jzyki i klasyczne (dwuwartociowe) modele. 14 Tzn. jeli symbolem Aks F oznaczymy zbiór aksjomatów systemu F, to: X F Aks F, gdy F X. 15 Oczywicie w modelu standardowym. 16 Wydaje si, e nie jest to moliwe do zrealizowania w sposób całkowicie cisły. Moliwe jest na swobodniejszej drodze filozoficznych interpretacji. 17 Aerts D., Rohrlich F., Reduction, Foundations of Science, 1(1998), ss Za poprawne kryterium pozwalajce odróni teori naukow od nienaukowej uchodzi zasada falsyfikacjonizmu Poppera. 4

5 Powrómy do zagadnienia sformułowania wynikania logicznego pomidzy teoriami. Pojawia si taka oto idea. 19 Zdanie B teorii S wynika logicznie ze zbioru zda X teorii T (teorie niesprzeczne), symbolicznie: X B wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niesprzeczna teoria R oraz transformacje, 1 takie, e (X) R 1 (B). 20 Ta relacja jest w nastpujcym sensie rozszerzeniem zwykłej relacji wynikania. Jeli teoria S = T, to wtedy T jest włanie postulowan teori, obie transformacje staj si zwykłymi identycznociami zda, i wynikanie przechodzi w zwykł wyprowadzalno - w obrbie jednej teorii. Wystarczy tutaj identyczno strukturalna. 21 Jeli za teoria S bdzie pod-teori teorii T, to oczywicie R = T oraz jest identycznoci w powyszym sensie. 22 Oczywicie podstawowym problemem staje si tutaj niejasne pojcie transformacji. Poniewa chcemy, eby zdania rozwaanych teorii posiadały znaczenia (sensy), to transformacje takie przyporzdkowywałaby jednym zdaniom pewnej teorii, zdania innej teorii o zblionym sensie. Oczywicie najlepiej byłoby, eby sens był taki sam, ale na razie nie wiadomo, co to znaczy. Ten wymóg ma zwizek z ujciem Putnama 23 oraz Smarta 24, którzy postulowali by proces redukowania jednej teorii do innej był przeprowadzony z uyciem teorii poredniej, która ma by zbliona (aproksymatywna, analogiczna, podobna) do teorii redukowanej. 4. Przykład. Zostanie teraz podany przykład, dwóch twierdze nalecych do dwóch rónych teorii matematycznych, który ma egzemplifikowa powysze rozwaania. Przykład ten ma w pewnym sensie sfalsyfikowa koncepcj redukcji teorii naukowych, według Nagela. 25 Według niego redukcja jakiej zinterpretowanej teorii S do teorii T zajdzie wtedy i tylko wtedy, gdy kade zdanie teorii S da si wyprowadzi z teorii T w koniunkcji, z równowanociami zwanymi prawami pomostowymi ( bridge laws ). Prawa pomostowe ustalaj koekstensywne odpowiedniki predykatów (ewentualnie nazw) wystpujce w teorii redukowanej S, za pomoc terminów teorii redukujcej T. 26 Poniszy przykład pokazuje dwie teorie, które spełniaj warunki wymagane przez koncepcj Nagela, lecz intuicyjnie nie mamy do czynienia z redukcj. W wypadku redukcji chcemy, bowiem, tak si przynajmniej wydaje, eby teoria, do której si redukuje była w jakim sensie ubosza od teorii redukowanej. Zinterpretowanymi teoriami wyjciowymi s: arytmetyka liczb naturalnych Peany pierwszego rzdu (AP) wraz z tzw. modelem standardowym, w szczególnoci ze schematem aksjomatu indukcji (IND) oraz zasada cigłoci (ZC), naleca do arytmetyki liczb 19 Posługuj si tutaj semantycznym pojciem teorii. Zatem zinterpretowanej w modelu zamierzonym. 20 Symbol wyprowadzalnoci został zindeksowany liter R, poniewa stał si wieloznaczny. Łatwo t relacj rozszerzy na relacj pomidzy zbiorami. 21 Znaczy to moe, i kada taka nietrywialna transformacja byłaby uogólnieniem zwykłej identycznoci. Transformacja 1, jak pokae przykład poniej, nie musi by identycznoci w przypadku gdy S jest pod-teori P. 22 Wydaje si, e majc takie okrelenie wynikania mona bez trudu sformułowa wynikanie redukcyjne. 23 Por. Putnam H., How to talk about meaning, [w:] Cohen R. S., Wartofsky M. (eds.), Boston Studies in the Philosophy of Science, New York Por. Smart J. J. C., Conflicting Views about Reduction. W tym samym tomie co praca Putnama. Zobacz poprzedni przypis. 25 Por. E. Nagel, Struktura nauki. Zagadnienia logiki wyjanie naukowych, Warszawa Sam Nagel nie wymagał, eby prawa pomostowe były równowanociami. 5

6 rzeczywistych rzdu drugiego (AR), równie z modelem standardowym. Oto podstawowe sformułowania obu zasad: (IND) A(0) x (A(x) A(sx)) x A(x); gdzie A(x) jest form zdaniow, za symbol s oznacza funkcj nastpnika. (ZC) X Y x,y (x X y Y x<y) z ( x,y (x X y Y x z z y)). 27 Lub inaczej i równowanie: (ZC ) X( x y(y X x y) x( y(y X x y) x 1 ( y(y X x 1 y) x 1 x))). 28 Zasadzie IND odpowiada równowana jej zasada minimum o postaci: (ZM) y A(y) x (A(x) y (y<x A(y))). 29 Kad z zasad mona wypowiedzie równowanie w sposób nastpujcy: (ZC); Kady zbiór liczb ograniczony z dołu ma kres dolny; za (ZM): Jeli istnieje element spełniajcy dan formuł, to istnieje element najmniejszy spełniajcy t formuł. Tłumaczenie tej zasady na zdania (AR) to: 1 (ZM): W kadym zbiorze złoonym z liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza. 30 Otó zachodz nastpujce wynikania, zgodnie z naszym okreleniem (por. str.4): {AR} (ZC) (IND), oraz {AR} (ZC) (ZM). Ow postulowan w definicji (wynikania pomidzy teoriami) teori moe by odpowiedni fragment teorii mnogoci lub arytmetyka drugiego rzdu (AR) z aksjomatami zwykłymi dla dodawania, mnoenia, relacji mniejszoci oraz aksjomatem konstrukcji zbiorów i funkcji, aksjomatem cigłoci (ZC), aksjomatami ekstensjonalnoci dla zbiorów i funkcji. 31 Jej zamierzonym modelem jest zbiór liczb rzeczywistych. Nieformalne sformułowania obu zasad s w pewnym sensie ich tłumaczeniami (szczególnie (ZM)) na zdania teorii mnogoci. Jak wspomniano, zdanie (ZM) jest równowane (IND). Tutaj pojawia si bardzo interesujcy problem teoretyczny, który mutatis mutandis zaprztał Kłósaka, a który mona teraz przy powyszym ujciu postawi bardziej precyzyjnie. Zauwamy, e zachodzi nawet wicej, z aksjomatów arytmetyki drugiego rzdu da si wyprowadzi dedukcyjnie (IND) oraz (ZM). Zachodzi równie: {Aksjomaty Peano} {ZC}. Aksjomaty Peano (wraz z IND) redukcyjnie implikuj zasad cigłoci. 27 Ta forma zasady cigłoci jest zbliona do oryginalnej zasady Dedekinda, który sformułował sw zasad w terminach przekrojów zbioru liczb. (ZC) jest zdaniem drugiego rzdu, cho mona sformułowa j jako schemat zda pierwszego rzdu. 28 Por. nieco inne sformułowanie dla kresów górnych u Benthem van J., Doets K., Higher-Order Logic, [w:] Handbook of Philosophical Logic, vol. 1, s Por. na przykład Grzegorczyk A., Zarys arytmetyki teoretycznej, PWN, Warszawa 1971, ss (ZM) jest ju transformacj zasady (ZM) i równowanej jej (IND). Ta transformacja nie jest identycznoci, gdy naley zrelatywizowa kwantyfikatory. Na przykład formuł poprzedzon kwantyfikatorem duym o postaci dla kadego x, wicym zmienn pierwszego rzdu, naley zamieni na zwrot dla kadego x nalecego do zbioru N. 31 Ta arytmetyka, jako teoria drugiego rzdu, nadbudowana jest nad logik drugiego rzdu. 6

7 (Zagadnienie podstawowe) Czy istniej jakie efektywne 32 metody, pozwalajce przej redukcyjnie od (IND) do (ZC)? Zgodnie z przyjt definicj wynikania redukcyjnego, aby taka efektywn metod(y) znale, naleałoby efektywnie skonstruowa teori wraz z modelem, na gruncie której redukujemy, oraz owe tajemnicze transformacje τ. Wydaje si, e jakakolwiek obiecujca droga rozwizania zagadnienia biegnie poprzez wprowadzenie pojcia podmiotu. Pojcie to musiałoby mie charakter pragmatyczny. 33 Istniej w literaturze przedmiotu próby formalizacji tego pojcia dokonane, w kontekcie formalizacji zjawiska poznania, przez R. Suszk 34 i J. Woleskiego 35. Owe podejcia nie spełniaj jednak, jak si wydaje, postawionego wyej wymogu, o cile pragmatycznym charakterze tego pojcia. Według tych uj zjawisko poznania, w pierwszym przyblieniu, opisa mona przez par uporzdkowan: S, M. Pierwszy element tej pary S (od łaciskiego subiectum) Suszko nazywa podmiotem (lub umysłem), za drugi element M, to przedmiot (lub wiat). Oczywicie oba obiekty maj złoon struktur, ale to ujcie na razie nie obiecuje niczego pragmatycznego ( w sensie cisłym). Zakładajc bowiem, e pojcie modelu ma charakter teoriomnogociowy, za jzyk - kombinatoryczny, nie wychodzimy tutaj praktycznie poza ramy semantyki, a moe nawet bada syntaktycznych. 36 Pojcie pary uporzdkowanej jest równie pojciem teoriomnogociowym. cile pragmatyczne pojcie, jakim jest pojcie podmiotu, nie powinno by redukowalne do poj semantycznych (syntaktycznych?). Oczywicie o ile pragmatyka jest pojmowana jako samodzielna dyscyplina naukowa, jak si w niniejszej pracy przyjmuje. 37 Z uyciem pojcia podmiotu mona podstawowe zagadnienie sformułowa nastpujco: (Zagadnienie podstawowe1) Jakimi własnociami musi dysponowa podmiot S, aby przej redukcyjnie od (IND) do (ZC)? 38 Poniewa uniwersum AP jest zbiorem dobrze uporzdkowanym, nastpuje w nim zjawisko sklejenia dwóch obiektów (i w jakim sensie dwóch poj). 39 W zbiorach dobrze uporzdkowanych, takich jak np. zbiór liczb naturalnych, kady niepusty podzbiór uniwersum ma element najmniejszy. Ze wzgldu na zwrotno relacji dobrze porzdkujcej, najwiksze ograniczenie dolne jakiego zbioru (kres dolny) jest elementem tego zbioru. Odwrotnoci operacji sklejania jest rozrywanie. Wedle intuicji potocznej sklejenie jest jednoznaczne, za rozerwanie nie. Dla przykładu: niech dwie własnoci W 1 i W 2 charakteryzuj jeden i ten sam obiekt, i s zrelatywizowane do podzbioru X zbioru liczb naturalnych. Własnoci s nastpujce: W 1 (x) wtedy i tylko wtedy, gdy x jest najmniejszym elementem zbioru X; W 2 (y) wtedy i tylko wtedy, gdy y jest kresem dolnym zbioru X, tzn. jest najwikszym ograniczeniem 32 Słowo efektywne jest tutaj naduyte. Chodziło mi o to w jaki sposób przej od jednego twierdzenia do drugiego sprowadzajc to przejcie do jakich konkretnych, sprawdzalnych kroków. 33 Postulowane tutaj pojcie, które ma swoje dobrze ugruntowane miejsce w teorii poznania, jest niezbdne do naukowego ugruntowania pragmatyki. 34 R. Suszko, Logika formalna a rozwój poznania, Studia Filozoficzne, 1(1966), ss J. Woleski, Metamatematyka a epistemologia, PWN, Warszawa 1993; szczególnie rozdział Wprawdzie Woleski zwraca uwag na to, e w skład podmiotu wchodzi zbiór zda uznanych, a to ma charakter intencjonalny. Jednak skłania si ku semantycznej analizie tego pojcia. 37 Tokarz krytykuje analiz pojcia podmiotu dokonan przez Trentowskiego. Sam jednak nie podaje niczego zadawalajcego w zamian (w tej kwestii). Por. Tokarz M., Elementy pragmatyki logicznej, PWN, Warszawa 1993, ss Problem nie jest precyzyjnie sformułowany. Odnosi si on oczywicie do tego przykładu. Podobnie sformułowanie drugie zagadnienia. Wymaga to dalszych bada. 39 Przez pojcia rozumiem co zblionego do rozumie Goedla i Fregego własnoci. 7

8 dolnym zbioru X. Poniewa w zbiorze liczb naturalnych dla tak okrelonych elementów mamy x=y, zachodzi równie dla ustalonego zbioru X i dowolnego x; W 1 (x) W 2 (x) oraz W 1 (x) W 2 (x). Istnieje zatem pojcie W, które przysługuje liczbie x. Proces redukowania polega na przejciu od W(x) do W 1 (x) oraz W 2 (x). Per analogiam mona mówi o rozerwaniu własnoci W na dwie inne W 1 oraz W 2. W wyprowadzeniu wniosku o istnieniu pojcia W naley skorzysta z tzw. aksjomatu rozumienia dla poj (comprehension axiom 40 ) wyprowadzalnego w Fregego logice drugiego rzdu: 41 (CA) P x (P(x) ϕ(x)); dla dowolnej formuły ϕ(x) ze zmienn woln x i która nie zawiera wolnego wystpienia P. Jak mona opisa umysłow procedur przejcia od (ZM) do (ZC )? Mamy dwie własnoci W 1, W 2 przysługujce jednemu obiektowi. Własnoci te s, wzgldem modelu, równowane, ale nie s identyczne pod wzgldem ich intensji (sensu). O ile przejcie na mocy aksjomatu rozumienia od formuły (pojcia czy te uywajc terminologii Fregego - funkcji) złoonej do prostej P moe dokona si w jednym kroku i to jednoznacznie, o tyle procedura odwrotna jest w ogólnym przypadku niejednoznaczna oraz nieefektywna. Procedura ta moe by odtworzona na podstawie tego, co dokonało si w dziejach myli ludzkiej. Oto tak zwana genetyczna konstrukcja liczb rzeczywistych, wychodzc od zbiorów i ich podstawowych własnoci, pokazuje dobitnie jakimi drogami poruszał si podmiot w rozwaanej sprawie. Oto mamy takie istotne kroki: 1. Zbiory z relacj naleenia Liczby naturalne Liczby całkowite. 4. Liczby wymierne. 5. Liczby rzeczywiste. Konstrukcja przebiega od zbiorów do liczb rzeczywistych (które te s utosamione ze szczególnego rodzaju zbiorami). Istniej głównie dwie operacje konstruujce: operacja abstrakcji oraz tworzenia produktu. Ciekawym i inspirujcym wydaje si by nastpujce spostrzeenie: kierunek przebiegu konstrukcji jest zgodny z kierunkiem redukcji, a przeciwny do kierunku logicznego wynikania. W wyniku zastosowania operacji konstruowania uzyskano bogatsz struktur. Ma to wiele wspólnego ze zdroworozsdkowym konstruowaniem, jak np. budowaniem domu z cegieł. 44 W tej sytuacji wydaje si słusznym, ale tylko w zastosowaniu do naszego przykładu, sformułowanie nastpujcej wersji zagadnienia podstawowego : 40 W literaturze polskiej nazywany jest on czsto aksjomatem komprehensji dla formuł. Uyta przeze mnie nazwa, cho niespotykana, wydaje si (z filozoficznych pobudek) słuszniejsza. Formuła Px jest atomowa (prosta). 41 Da si go wyprowadzi z tzw. Reguły podstawiania wyraajcej co nastpuje: w dowolnym zdaniu w którym wystpuje Fx (gdzie F jest wolna), które to zdanie jest wyprowadzalne jako twierdzenie logiki, moemy podstawi dowoln formuł złoon (x) (ze zmienn woln x) za wszystkie wystpienia atomowej formuły Fx w zdaniu wyjciowym. 42 Minimalne własnoci jakie charakteryzuj zbiory, to własnoci wyraone przez aksjomaty: jednoznacznoci, zbioru pustego, sumy, zbioru potgowego, nieskoczonoci i wyróniania. 43 Por. znane powiedzenie Kroneckera, e Pan Bóg stworzył liczby naturalne. Wtedy jednak zbiór liczb naturalnych traktuje si jako dany pierwotnie. Takie rozumienie jest charakterystyczne dla niektórych uj konstruktywistycznych, w szczególnoci intuicjonizmu. 44 Cegła wystpuje w pewnej roli w Dociekaniach filozoficznych. 8

9 (Zagadnienie podstawowe 2) Jakimi operacjami musi dysponowa podmiot, aby skonstruowa (z modelu, w którym zachodzi (IND)) model, w którym zachodzi (ZC)? Przy tak postawionym problemie odpowied wydaje si by w miar jasna: s to operacje abstrakcji i produktowania. 45 Reguły te nie maj charakteru pierwotnego w tym sensie, e cho s wyodrbnione pojciowo, da si je uzyska z reguł pierwotniejszych. Skupmy teraz swoj uwag na tej drugiej operacji. 46 Pozwala ona przej od zbioru elementów do zbioru uporzdkowanych cigów tych elementów. Jeli w zbiorze liczb naturalnych mamy jedn liczb 1, to w wyniku wzicia kwadratu kartezjaskiego (produktu) tego zbioru, uzyskamy zbiór par uporzdkowanych o postaci: <1, a> gdzie l, a s elementami zbioru liczb naturalnych. Poniewa takich par w produkcie jest przeliczalnie wiele (tyle ile wszystkich liczb naturalnych) i dodatkowo s to elementy nowe, zachodzi potrzeba uporzdkowania tego zbioru. Nie wchodzc w szczegóły, znajd si owe elementy (wzgldem relacji porzdkujcej) poniej pary <1,1>, która ma odpowiada liczbie 1 ze zbioru wyjciowego. Pomidzy 1 a 0 (w nowym porzdku pomidzy <1,1>, a <0,0>) znajdzie si przeliczalnie wiele nowych elementów. Pojawiły si one w wyniku sproduktowania jedynki. Jeli wzi teraz ju zbiór liczb wymiernych o postaci p/q, gdzie p,q nale do zbioru liczb całkowitych oraz q jest róne od 0, które s w istocie klasami abstrakcji w zbiorze wszystkich par uporzdkowanych liczb całkowitych, to zbiór X = {1/1, 1/2, 1/3,...,1/n,...} jest przeliczalnie nieskoczony, i wzgldem znanego porzdku nie ma on w zbiorze liczb wymiernych elementu najmniejszego, ale posiada za to kres dolny, którym jest liczba 0. Wracajc do wczeniejszej symboliki, dla zbioru X mamy dwie własnoci W 1 oraz W 2, i istnieje jedyny element spełniajcy W 2, ale nie istnieje element zbioru liczb wymiernych spełniajcy W 1. Tym samym nastpiło rozerwanie wyjciowej własnoci W, na własno W 1 by elementem najmniejszym w zbiorze X oraz na własno W 2 by kresem dolnym zbioru X. Jednak w bardzo szczególnym sensie, takim mianowicie, e dla pewnych zbiorów i elementów jedna własno zachodzi, za druga nie zachodzi. Powstaje naturalne pytanie, czy moe by tak, eby dla jakiego ustalonego zbioru, obie własnoci nie zachodziły. Otó taka sytuacja w zbiorze dodatnich liczb wymiernych moe zaj. Niech X = {x: x jest dodatni liczb wymiern oraz x 2 > 2}. Zbiór X nie posiada elementu najmniejszego, za jego dopełnienie (w zbiorze dodatnich liczb wymiernych) elementu najwikszego. W zbiorze liczb wymiernych istnieje luka. Zasada minimum (ZM) została zanegowana ju przy konstrukcji zbioru liczb całkowitych. Cały ten zbiór nie ma elementu najmniejszego, ani kresu dolnego. W zbiorze liczb wymiernych pojawiła si moliwo innego zbioru o takich własnociach. Jeli skonstruujemy, przez wzicie nieskoczonego produktu zbioru liczb wymiernych i odpowiednie klasy abstrakcji, zbiór liczb rzeczywistych, to wtedy takie luki zostan zlikwidowane. Po stronie jzykowej temu krokowi konstrukcji odpowiada wprowadzenie aksjomatu istnienia kresów, albo zasada cigłoci (ZC). Jej tre intuicyjna sprowadza si do sformułowania: zbiór liczb rzeczywistych nie ma luk. 5. Moliwe rozwizanie problemu. 45 Oczywicie naley korzysta z, wyraonych w aksjomatach, reguł tworzenia nowych zbiorów, ze zbiorów danych, w szczególnoci z aksjomatu wyróniania. Do czsto zwraca si uwag na dwie grupy aksjomatów dla teorii mnogoci: absolutne postulaty istnienia pewnych zbiorów oraz reguły tworzenia nowych zbiorów. Ja chciałbym zwróci uwag na trzeci grup, do której naley zaliczy schemat wyróniania, pozwalajca tłumaczy formuły na zbiory. 46 Opis ten słuy ma jedynie intuicyjnej eksplikacji. 9

10 Istnieje pewna szybka moliwo rozwizania problemu implikacji ontologicznych typu redukcyjnego przez odwołanie si do znanej i do dobrze opracowanej koncepcji presupozycji. 47 Przywołajmy dla przykładu znan zasad Kartezjusza: Cogito ergo sum. Słówko wic w niej wystpujce, moe by rozumiane na dwa sposoby. Wedle pierwszego mona je zamieni w zasadzie na słowo zatem; byłby to rodzaj logicznej konsekwencji, o kierunku zgodnym z dedukcj. Po tej linii poszedł H Scholz, który nastpujc formuł, bdc tez rachunku kwantyfikatorów, nazwał uogólnionym podstawowym twierdzeniem Descartes a: A(x) y=x A(y). 48 Wedle drugiego słowo wic ma charakter przejcia redukcyjnego, od mylenia do bycia (istnienia). Idc za tym drugi tropem, dochodzimy włanie do presupozycji. Zgodnie z rozumieniem presupozycji przez Strawsona, zdanie B, wyraajce istnienie podmiotu, jest presuponowane przez zdanie A o jego myleniu, tzn. warunkuje sensowno zdania o myleniu. Argumentem za takim rozumieniem jest to, e B warunkuje równie sensowno zdania A. Logiczne wynikanie nie posiada takiej własnoci. T własno zwizku presuponowania zapisujemy: A => B (czytamy: zdanie A presuponuje zdanie B). Przykładowo niektóre formalne własnoci s nastpujce, dla dowolnych formuł jzyka rachunku zda A, B, C nie zawierajcych spójnika presupozycji => : (1) ( A => B ) ( A => B ). (2) ( A => B B => C ) ( A => C ). (3) ( A => B A => C ) ( A => ( B C )). Nie s za twierdzeniami logiki presupozycji formuły (p, q s zmiennymi zdaniowymi): (4) ( p => p ). (5) ( p => q ) ( p q ). (6) ( p q ) ( p => q ). 49 Implikacje ontologiczne typu redukcyjnego zostałyby zdemaskowane jako presupozycje twierdze nauk szczegółowych. Twierdzenia nauki byłyby osadzone w twierdzeniach systemów filozoficznych i to pod grob utraty sensownoci. Jest to czciowo zgodne z tym, co mylał Kłósak. Wysuwa si tutaj przede wszystkim na plan pierwszy ta okoliczno, e presupozycje twierdze nauki (czyli twierdzenia ontologii), nie mog by przesłankami, z których wynikaj twierdzenia nauk szczegółowych, co potwierdza formalna własno (1) wymieniona powyej. Ze zdania presuponowanego wynikałoby zdanie i jego negacja. Relacja presupozycji nie jest iterowalna. Dodatkow rónic, pomidzy wynikaniem a presupozycj, jest moliwo odwołania (uchylenia) presupozycji. Ten teoretyczny fakt mona te interpretowa jako moliwo uprawiania nauki bez ontologii, co zreszt czsto ma miejsce. W moim przekonaniu jednak takie uprawianie nauki ma charakter sztuczny. Robert Stalnaker rozwinł bardziej pragmatyczn koncepcj presupozycji 50 W skrócie (zainteresowanego Czytelnika odsyłam do ksiki Tokarza), naley powiedzie tak: zdanie A presuponuje zdanie, 47 Powołam si tutaj na specjalist M. Tokarza i jego wspomnian powyej ksik o pragmatyce. 48 Zapisana z uyciem kwantyfikatora ograniczonego. Por. Słupecki J., Borkowski L., Elementy logiki matematycznej i teorii mnogoci, PWN, Warszawa 1966, s Logika presupozycji rozrónia pomidzy presupozycj a implikacj oraz wynikaniem. Por. wspomnian prac Tokarza, ss ; szczególnie ss Por. Tokarz M., Elementy pragmatyki logicznej, PWN, Warszawa 1993, rozdz. IV i VI. 10

11 B w kontekcie k, gdy A presuponuje sd p 51 w kontekcie k. To za zachodzi, gdy dla dowolnego moliwego wiata, zgodnego ze zdaniem A ze wzgldu na kontekst k, sd p odpowiadajcy zdaniu B przyjmuje warto logiczn prawdy. Wszystkie wystpujce tutaj terminy maj cile okrelone znaczenie, w szczególnoci termin sd. Dla Stalnakera presupozycja jest równoczenie własnoci trzech obiektów: okolicznoci uycia, moliwego wiata oraz wypowiedzenia sdu. 52 Dokładniejsze opracowanie implikacji redukcyjnych poprzez presupozycje wymaga dalszych bada i wydaje si do interesujca. Narzuca si jednak tutaj taka uwaga, e presupozycje, ewentualnie, jedynie opisz fakt działania implikacji redukcyjnych, ale go nie wyjani. 6. Zarys głównego rozwizania. Według Woleskiego podmiot S ma struktur złoon. Jest dla niego uporzdkowan czwórk < J, MJ, Cn, T>, kolejno: jzyk, metajzyk, 53 operator konsekwencji (logika) oraz zbiór zda uznanych. Wydaje si, e mona spraw postawi nieco inaczej. Podmiot S nie potrzebuje jzyka, wystarcza mu zdolno tworzenia symboli, któr to zdolno opisuje aksjomat Mylenia lub Istnienia Inteligencji podany przez Hilberta:... który moe by sformułowany w przyblieniu jak nastpuje: Mam moliwo (zdolno) do mylenia rzeczy i oznaczania ich za pomoc prostych znaków (a, b;...x, Y,...;...) w tak znamienny sposób, e mog zawsze niedwuznacznie rozpozna je ponownie. Moje mylenie operuje tymi rzeczami poprzez ich oznaczenia, w sposób zgodny z okrelonymi prawami. Jestem w monoci nauczy si tych praw poprzez samo-obserwacj i opisa je zupełnie. 54 Jak zauwaył Kurt Goedel, dziki analizom dokonanym przez Turinga i pojciu maszyny Turinga, pojcie systemu formalnego jest całkowicie spenetrowane. System formalny moe by po prostu zdefiniowany jako pewna mechaniczna procedura do produkowania formuł. 55 Poniewa istnieje uniwersalna maszyna Turinga, która potrafi naladowa kad inn maszyn Turinga, dlatego wystarczy, e podmiot bdzie tak włanie uniwersaln maszyn dysponował. Dysponował to ma znaczy zarzdzał, uywał jej. Uniwersaln maszyn Turinga mona sobie wyobraa jako komputer w dzisiejszym znaczeniu tego słowa. Rónica pomidzy pierwszym a drugim obiektem zasadza si na tym, e pierwszy ma nieskoczon pami aktualnie, za drugi potencjalnie nieskoczon. 56 Podmiot musi równie mie moliwo notowania znaków, które sam czyni, dlatego powinien dysponowa jak przestrzeni. Załómy, e jest to na przykład R 3. Podmiot powinien dysponowa reguł podstawiania Sd ten, jako funkcja ze zbioru moliwych wiatów w zbiór {0,1}, jest zwizany w pewien cisły sposób ze zdaniem B. 52 Por. M. Tokarz, op. cit., ss Jzyków moe by wicej. Por. Woleski op. cit.; Cytuj za M. Hallett, Hilbert s Axiomatic Method and the Laws of Thought, [w:] Mathematics and Mind, (ed.) A. George, Oxford University Press, 1994, s Por. M. Davis, The Undecidable, Raven Press, New York 1965, s Pomijamy w takim przypadku moliwo wadliwego funkcjonowania komputera. 57 To skomplikowane zagadnienie było analizowane przez Curry ego, Churcha oraz Webba. Por. J. Webb, Mechanism, Mentalism and Metamathematics: An Essay on Finitism, D. Reidel, Dordrecht, London,

12 Najwaniejszym obiektem, który wchodzi w skład podmiotu jest rozmaito 58. Owa rozmaito jest ródłem i siedliskiem poj, sdów oraz treci, powizanych ze sob w jaki szczególny sposób. Nie wiadomo dokładnie jak si maj te trzy grupy obiektów do siebie wzajemnie. 59 Nie mona wykluczy, e który z nich jest identyczny z innym. Dla Fregego istniały tylko obiekty i funkcje, gdzie szczególnym przypadkiem tych drugich były pojcia. Znalazło to swoje odzwierciedlenie w budowie jzyka jego logiki, który zwierał dwa rodzaje zmiennych. G. Kreisel pisze tak: Jak to bywa z innymi ideałami i ogólniej, z innymi celami, s dwa, naprzemienne etapy pracy z Nieformalna cisłoci (Informal Rigour): pierwszy, to moliwo rozwijania jej (tzn. N); a drugi, to moliwo sprawdzania tego rozwoju [...] Istnieje wielka ilo literatury na ten temat, zawierajca dziwne doktryny głoszce logiczn niemoliwo tego rozwoju lub jego sprawdzania, lub nawet obu naraz; ale równie negujcych ich centraln rol dla wiedzy. (Od czego mamy naprawd rozpoczyna, jeli nie od poj potocznych? [...]). 60 Rozumiem te wypowied jako swoist redukcj trzech wspomnianych przeze mnie obiektów do poj. Pojcie rozmaitoci, ma swoje dobrze okrelone miejsce w matematyce, głównie dziki pomysłom Riemanna, który z kolei przejł je z filozofii Herbarta. 61 Herbart rozmaito rozumiał na co najmniej dwa sposoby: jako zbioru okrele jakiej zmiennej rzeczywistoci (tutaj jako przykłady naley wymieni kolory oraz dwiki), lub jako zbioru treci istniejcych w wiadomoci podmiotu. [...] treci te s wynikiem pojawienia si w polu postrzegania podmiotu pewnego przedmiotu [...] i stanowi niejako odbicie zmieniajcych si stanów przedmiotu w wiadomoci podmiotu. 62 Tak czy inaczej, słowo rozmaito naley odnosi do treci poznania i do podmiotu. Obecnie rozmaito (róniczkowalna) w sensie matematycznym jest zbiorem M, w którym okrelono atlas tj. zbiór map, czyli odwzorowa wzajemnie jednoznacznych i : W i U i ; gdzie W i M, za U i R n. 63 Dla Riemanna rozmaito była bez wtpienia zbiorem, ale niejasnym było, jak si czsto podkrela w odniesieniu do jego wykładu habilitacyjnego, który to pojcie wprowadzał, jaka jest natura jego elementów. Riemann mówił - Bestimmungsweisen (po polsku - sposoby oznaczania). 64 Niezalenie jak t spraw rozstrzygniemy (idc za koncepcj rozmaitoci Herbarta) wydaje si, e aksjomat Hilberta postuluje istnienie jakiej zdolnoci podmiotu do reprezentowania i analizy poj w postaci systemów formalnych znaków. Jeli w analizie Riemanna chodziło o uchwycenie zwizków ilociowych zachodzcych w zbiorze M poprzez ich reprezentacj w R n, tak tutaj chodzi o uchwycenie zwizków jakociowych zachodzcych w rozmaitoci (w niniejszym rozumieniu). Zasadnicza rónica polega na tym, ze nasza rozmaito nie jest zbiorem. Z tego powodu sprawa si znacznie komplikuje. Per analogiam jedynie, z matematycznym pojciem rozmaitoci, mona tutaj mówi o odwzorowaniu (funkcji) z rozmaitoci w zbiór moliwych formalnych systemów znaków. 65 Istnienie takiej rozmaitoci nie podlega raczej wtpliwoci, gdy jej istnienie jest bezporednio dowiadczalne przez kady niemal podmiot. Bez rozstrzygania tego, czy obiekty matematyczne istniej w wiecie idei czy w naszych umysłach mona powiedzie, e 58 Słowo to osobicie bardzo mi odpowiada. Mona je zastpi słowem umysł (cho tutaj naley by bardzo ostronym). 59 Tutaj jest jeszcze wiele do zbadania. Naley wytrwale czeka na wyniki bada z zakresu neuroscience i filozofii umysłu. 60 Por. G. Kreisel, Church s Thesis and the Ideal of Informal Rigour, Notre Dame Journal of Formal Logic, 28, 1987, s Filozof niemiecki, ył w latach Por. J. Dembek, Wykład habilitacyjny Bernharda Riemanna O hipotezach, które le u podstaw geometrii rozwaania historyczno-metodologiczne, PAT, Kraków 1988, s Por. W. I. Arnold, Równania róniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975, ss Nota bene Riemann ciekawie scharakteryzował prac typu filozoficznego jako t, której trudno skupia si raczej w sferze poj, ni w ich konstrukcji. Konstruowanie poj, to matematyka. 65 Chodzi tutaj głownie o pojcia matematyczne, ale problem mona rozcign na jzyk naturalny. 12

13 bezwarunkowy postulat istnienia zbioru nieskoczonego w teorii mnogoci jest, w pewnym sensie, odpowiednikiem istnienia rozmaitoci (jednego z jej obiektów) w naszym sensie. Aby te rozwaania uczyni bardziej konkretnymi, mog zgodzi si z R. Piłatem, e umysł (czytaj: rozmaito) jest osobistym, funkcjonujcym modelem wiata. 66 Przytoczony powyej aksjomat Hilberta posiada daleko idce konsekwencje dla teorii podmiotu. Wydaje si nawet, e implikuje on Tez Churcha w taki oto sposób: jeli podmiot ma moliwo czynienia znaków dla pomylanych rzeczy i ich powtórnego rozpoznawania, to ta włanie umiejtno, rozpoznawania znaków, jest podstaw do zdefiniowania równowanika relacji obliczalnoci, w postaci tzw. relacji elementarnej (ogólnej) rozrónialnoci (elementary (general) discernibility). Ta ostatnia relacja została cile zdefiniowana przez Grzegorczyka, któremu nawet udało si dowie na tej drodze twierdzenia o nierozstrzygalnoci dla logiki pierwszego rzdu. 67 Jeli tak, to na bazie tak słabej relacji da si uprawia obliczanie w sensie logicznym. To ujcie jest, jak si wydaje, równowane podejciu do obliczalnoci poprzez funkcje rekurencyjne, czy te maszyny Turinga. Owe dwa podejcia (i wiele innych równowanych) opieraj si na Tezie Turinga- Churcha. Podmiot powinien mie zdolno czynienia wolnego wyboru. Własno ta wydaje si równie implicite obecna w aksjomacie Hilberta. Konkretna posta znaku, czy systemu znaków, musi bowiem zosta wybrana. Jest jednak dowolna. Podmiot uznaje niektóre zdania za prawdziwe. Własnoci tej relacji, w nawizaniu do tzw. creative subject Brouwera, mog by wyraone przez nastpujce aksjomaty, przy czym wzór: S m A rozumie naley: mylcy podmiot S uznaje (ma dowód) dla zdania A na stopniu m: 68 (i) S m A jest rozstrzygalna, dla kadych danych S, m oraz A; (ii) A S m ( S m A ) oraz S [ m ( S m A ) A ] Drugi aksjomat wyraa powszechno matematyki polegajc na tym, e kade prawdziwe zdanie jest uznane 69 przez kady podmiot na pewnym etapie i kade uznane zdanie na pewnym etapie jest prawdziwe. Wtedy, kiedy Kreisel pisał swój artykuł, pojcie podmiotu mylcego (thinking subject) nie wchodziło w zakres cile matematycznych rozwaa. Naley tutaj zwróci uwag na ten fakt, e kiedy mówimy o własnociach podmiotu, którym jest bez wtpienia człowiek, to chcemy, aby własnoci rzeczywicie (czyli prawdziwie) mu przysługiwały. Ta prawdziwo ma inny charakter ni prawdziwo w sensie Tarskiego. Załoywszy bowiem, e istnieje jedna Rzeczywisto, własnoci podmiotu musz by z ni zgodne. Podmiot bowiem jest rzeczywistym obiektem. Zgodno dotyczy zatem dowiadczanej rzeczywistoci, a nie jakiego teoretycznego modelu Por. R. Piłat, Umysł jako model wiata, IfiS PAN, Warszawa 1999, s Por. jego prac dostpn elektronicznie Decidability without Mathematics (First Draft). Grzegorczyk zaznacza, e jego rozwaania odnosz si do znaków jako abstraktów, a nie tzw. tokens. 68 Por. na przykład G. Kreisel, Informal Rigour and Completeness Proofs, [w:] Problems in the Philosophy of Mathematics, I. Lakatos (ed.), North-Holland, Amsterdam 1967, ss Tutaj jest problem z wersj konstruktywistyczn tego aksjomatu. O tej włanie wersji mylał Kreisel. 70 Jest to uwaga do niejasna, ale odrónienie tych dwóch rozumie prawdziwoci wydaje si by istotne. 13

14 Dokładnie nie wiadomo, jakie procesy i operacje zachodz w rozmaitoci. Jedyn, w miar cisła, form ich badania, jest badanie intersubiektywnie sprawdzalnych sformułowa formalnych. Zwizki formalne pomidzy teoriami formalizujcymi róne pojcia, wskazuj na zwizki pomidzy samymi pojciami.. Problem jest tutaj bardzo trudny, gdy odpowiednio pomidzy konkretn formalizacj jakiego pojcia, a samym pojciem jest czsto bardzo słaba. W tym sensie, e jednemu pojciu moe odpowiada wiele nierównowanych formalizacji oraz jednej formalizacji odpowiada moe wiele rónych poj. W wypadku pojcia liczby naturalnej tak włanie istotnie jest, co pokazuje pierwsze twierdzenie Goedla. Owo twierdzenie mona (swobodnie), w tym kontekcie, wypowiedzie nastpujco: Nie mona za pomoc normalnego formalizmu wypowiedzie całej wiedzy o liczbach naturalnych, któr zawiera rozmaito podmiotu. Poza tym istnieje niezwykłe bogactwo poj. Jak wskazuj badanie przeprowadzone metodami bardziej cisłymi, ju na przykład klasa moliwych znacze przypisywanych implikacji (jako spójnikowi zdaniowemu) jest mocy kontinuum. 71 Równie badania z zakresu podstaw teorii mnogoci pokazuj, e istnieje wiele moliwych wzmocnie aksjomatycznych teorii ZFC, co wskazuje na wiele rónych odmian pojcia zbioru. Zadziwiajcym wyjtkiem jest tutaj Teza Churcha, która wyraa ten fakt, ze pojcie funkcji efektywnie obliczalnej (okrelonej w dziedzinie liczb naturalnych) jest całkowicie dokładnie scharakteryzowane metodami formalnymi. Włanie z tego powodu, ze pojcia mog by intersubiektywnie badane za pomoc reprezentujcych je systemów formalnych, mog by równie porzdkowane. Dział logiki zajmujcy si tymi zagadnieniami jest dzi bardzo rozwinity. Przykładem takiego porzdku, po stopniu skomplikowania poj, jest choby hierarchia arytmetyczna Zakoczenie. W pracy próbowano zarysowa ujcie podmiotu. Starałem si to zrobi w sposób redukcyjny, tzn. postulowałem jako koniecznie istniejce w podmiocie te własnoci, które wystarczaj człowiekowi (naukowcowi) do uzyskania implikacji typu redukcyjnego. Kłósak analizuje w jednej ze swoich prac 73 jako przykład, implikacj ontologiczn typu redukcyjnego zasady Einsteina: E = mc 2. Owa implikacja w obrbie teorii bytu prowadzi do przyjcia obecnoci, w kadym bycie materialnym, dwóch zasad substancji (teorii hylemorfizmu bytów fizycznych); materii pierwszej i formy substancjalnej. Oczywicie zasada Einsteina jest rozumiana nie jako formalny wzór, ale jako zdanie zinterpretowane majce własn tre. Dokładniejsze pokazanie, jak uzyska redukcyjnie ontologiczn zasad hylemorfizmu, z zasady równowanoci masy i energii (przy powyszym ujciu podmiotu), zostawiam sobie jako przedmiot dalszych bada. 71 Por. A. Olszewski, O rozumieniu implikacji w klasie logik porzdku i jego znaczeniu w deniu do pewnoci jzykowej, PAT, Kraków Stopie skomplikowania, czy te nieefektywnoci pojcia jest mierzony liczb kwantyfikatorów w jego definicji. 73 K. Kłósak, Zasada równowanoci masy bezwładnej i energii a ontyczna struktura materii, [w:] Z zagadnie filozofii przyrodoznawstwa i filozofii przyrody, t. II, (red.) K. Kłósak, Warszawa 1979, ss