Mechanika Kwantowa. Ewa Słomińska Ryszard Paweł Kostecki. Notatki z wykładów dr hab. Ernesta Aleksego Bartnika. 4 października stycznia 2003
|
|
- Błażej Czyż
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Ewa Słomińska Ryszard Paweł Kostecki Mechanika Kwantowa Notatki z wykładów dr hab. Ernesta Aleksego Bartnika 4 października 00 7 stycznia 003 wersja notatek: 0.77 data ostatniej rewizji: 5 września 004 najnowsza wersja dostępna jest na stronie: komentarze do notatek prosimy przesyłać pod adres: rpkost@fuw.edu.pl
2 Słowo wyjaśnienia Niniejszy tekst jest kompletnym zbiorem notatek z wykładów Mechaniki Kwantowej I prowadzonych przez E.A. Bartnika w semestrze zimowym roku akademickiego 00/003 na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego. Inicjatywę przepisywania na bieżąco do TEX-a i publikowania w sieci kolejnych wykładów powzięła na początku semestru E. Słomińska, do której niemalże natychmiast dołączył R.P. Kostecki. W tym dwuosobowym zespole przepisywaliśmy kolejne wykłady na zmianę z robieniem korekty. Było to przedsięwzięcie choć społecznie bardzo pożyteczne dość ryzykowne. Przepisywanie nie zawsze w pełni zrozumianego materiału, a tym bardziej robienie korekty merytorycznej, musiało nieco ucierpieć na tym, że osoby tworzące te notatki z notowanymi pojęciami i materiałem stykały się po raz pierwszy! Niepomijalna jest też kwestia obciążenia czasowego równoległymi kolokwiami, opisami z pracowni, etc. W sumie sprowadzało się to do niemalże notorycznego TEXowania tych notatek do drugiej czy trzeciej godziny w nocy, połączone z równoczesnym sprawdzaniem właściwych wzorów w Schiffie i w Feynmanie... Dlatego też niniejsze wyjaśnienia, zupełnie zbędne w każdym porządnym skrypcie, są w tym miejscu zupełnie koniecznie dla usprawiedliwienia (zapewne? wielu (? niedociągnięć i niedoskonałości na następnych stronach tych wspaniałych skądinąd notatek! Po prostu nie starczyło nam sił i czasu by usiąść nad tym wielkim materiałem i go porządnie poprawić, również pod względem takich drobiazgów jak jakość rysunków, ciągłość narracji, sensowność wynikania z siebie kolejnych wzorów, czy też proporcji pomiędzy matematyką a słownymi objaśnieniami. 3 Wraz z E.A. Bartnikiem planowaliśmy prace nad przekształceniem tych notatek w projekt książki, lecz owe prace już dawno temu zawisły gdzieś w niebycie, zaś krytyczne przyjrzenie się strukturze zamieszczonego materiału prowadzi do wniosku, iż nawet otrzymanie z tych notatek skryptu wymagałoby dość dużego wkładu pracy. Dlatego też notatki te w dziewięćdziesięciukilku procentach odpowiadające dokładnej zawartości kolejnych zapisanych w trakcie półrocznego wykladu tablic należy traktować jako ekwiwalent projekcji live wykładu, ewentualnie jako skrypt na własną odpowiedzialność, lub też samouczek dla hobbystów. Niechaj jednak nie przerażają Ciebie, o Drogi Czytelniku, te słowa wyjaśnienia! Jest to mimo wszystko solidna porcja materiału z mechaniki kwantowej, a błądzić... cóż... jest rzeczą ludzką! 4 R.P. Kostecki, 5 września 004 AD Najbardziej kanoniczny podręcznik do mechaniki kwantowej Najbardziej fizyczny podręcznik do mechaniki kwantowej 3 Pomijam kwestię wątpliwej jakości i wątpliwego dowcipu przypisów ;- 4 Dopóki błądzi, dąży człowiek (Wolfgang Goethe, Faust
3 Spis treści Wstęp 8. Równania mechaniki klasycznej Możliwość numerycznej analizy problemów mechanicznych Procedura kwantowania układu Wstęp filozoficzny Praktyczne kwantowanie Interpretacja Ruch cząstki swobodnej Równanie Schrödingera dla cząstki swobodnej Równanie Schrödingera. Unormowanie funkcji falowej Wartości średnie Techniki rozwiązywania zagadnień w mechanice kwantowej Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna 4 3. Wstęp (przepięknej urody Dygresja Równania Ehrenfesta Studnia potencjału Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrzeń Hilberta Krótkie powtórzenie wiedzy dotychczas nabytej Kwantowe rozwiązania problemów klasycznych Oscylator harmoniczny Kwantowomechaniczny jednowymiarowy oscylator harmoniczny Układ dwóch cząstek Kwantowomechaniczny trójwymiarowy oscylator harmoniczny Przestrzeń Hilberta
4 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki Dwuwymiarowa przestrzeń Hilberta Baza w przestrzeni Hilberta Twierdzenie spektralne Operator pędu Operator położenia Równoczesność pomiaru Uogólniona zasada Heisenberga Oscylator harmoniczny 7 6. Jak wytwarzać funkcje falowe? Problem oscylatora harmonicznego - jawne rozwiązanie zagadnienia Rozwiązanie równania własnego z wykorzystaniem operatorów (bez konieczności całkowania Tworzenie funkcji falowej Notacja bra i ket Funkcja falowa w przestrzeni trójwymiarowej Degeneracja stanów Atom wodoru 3 7. Zapis w układzie sferycznym Wielomiany Legendre a, harmoniki sferyczne i moment pędu Krótkie powtórzenie, tytułem wstępu Wielomiany Legendre a Harmoniki sferyczne i ich własności Operator momentu pędu Wektor momentu pędu we współrzędnych sferycznych Atom wodoru - ciag dalszy Radialne równanie Schrödingera Poziomy energetyczne
5 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki Atom wodoru: funkcja falowa i poziomy energetyczne Macierzowe sformułowanie mechaniki kwantowej Macierze Przypomnienie Macierze hermitowskie Funkcja od macierzy Macierze i bra-kety Mechanika kwantowa w sformułowaniu Heisenberga Uwagi rozmaite w obrazie Heisenberga Wypisy z Schiffa Operatorowe rozwiązanie równania Schrödingera Symetrie 45. Tradycyjne jak gdyby przypomnienie Najgłębsze twierdzenie fizyki: Twierdzenie Noether Grupa obrotów Spin Rachunek zaburzeń 49. Trochę z tego, co już było Metody rachunków przybliżonych Metoda wariacyjna Ritza Problem atomu helu - szukanie stanu podstawowego Rachunek zaburzeń niezależny od czasu Rachunek zaburzeń ciag dalszy 5 3. Ciąg dalszy z poprzedniego wykładu Znoszenie degeneracji przez zaburzenie Przykład Przybliżenie półklasyczne 54
6 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 6 4. Przybliżenie WKB Warunek na kwantyzację półklasyczną Interpretacja graficzna przybliżenia WKB dla cząstki w potencjale Rozpad promieniotwórczy Rachunek zaburzeń zależny od czasu Rachunek zaburzeń Przypomnienie wraz z kontynuacją materiału z wykładu poprzedniego Zaburzenie harmoniczne Przybliżenie adiabatyczne Przybliżenie nagłej zmiany, fermiony i bozony Rachunek zaburzeń - dalszy ciąg Przybliżenie adiabatyczne i oscylator harmoniczny Nieciągła zmiana wartości H Przybliżenie nagłej zmiany Problem dwóch ciał Bozony i fermiony 6 7. Symetryczność i antysymetryczność Izospin Bozony, fermiony i układ okresowy Przypomnienie postulatów mechaniki kwantowej Problem cząstek symetrycznych jeszcze raz Jak antysymetryzować funkcje? Hamiltonian dla układu n elektronów Układ okresowy pierwiastków Z czego wynika okresowość pierwiastków? Model atomu Thomasa-Fermiego Metoda Hartreego-Focka 68
7 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 7 0 Obraz Heisenberga, Diraca i Schrödingera 7 0. Przypomnienie Obrazy Przykład pierwszy: cząstka swobodna Przykład drugi: oscylator jednowymiarowy Przykład trzeci: oscylator jednowymiarowy z siłą wymuszającą Jeszcze raz problem oscylatora 73 Stany mieszane 75 3 Rozpraszanie Wstęp Rozpraszanie: ściślejsze rozważania Funkcje Greena Rozpraszania ciag dalszy Postulaty, na dobry początek Rozpraszanie Rozpraszanie na sferycznym potencjale Całkowity przekrój czynny Kwantyzacja układu złożonego z N oscylatorów 8 5. Wstęp Skończona transformata Fouriera Podsumowanie wykładu Mechanika kwantowa Jako rzecze Feynman Od kronikarzy Appendix
8 Wstęp Mechanika kwantowa 5 przynajmniej na dzień dzisiejszy jest fundamentalną teorią zjawisk zachodzących w skali atomowej. Jest ona częstokroć nieintuicyjna, niezgodna z tak zwanym zdrowym rozsądkiem, czasem wręcz absurdalna, jednakże jedynym kryterium poprawności teorii jest jej zgodność z doświadczeniem, a mechanika kwantowa jest jedną z dwóch najlepiej zgodnych z doświadczeniem teorii fizycznych (drugą jest ogólna teoria względności. Natomiast jeśli chodzi o zdroworozsądkowość, to trzeba pamiętać, że rozsądek nasz (oraz intuicje ukształtowany jest w doświadczeniach i obserwacjach zjawisk skali mezoskopowej, nie zaś skali mikro, ani makro. 6. Równania mechaniki klasycznej Mechanikę klasyczną można ująć w języku opisu lagranżowskiego (w którym centralną rolę pełni funkcja zwana lagranżjanem 7, bądź też w języku opisu hamiltonowskiego (w którym centralną rolę pełni hamiltonian. Podanie lagranżjanu lub hamiltonianu (oraz ewentualnie określenie więzów nałożonych na dany układ w pełni i jednoznacznie określa dynamikę układu. Lagranżjan jest to funkcjonał L(x, ẋ, t, natomiast hamiltonian jest funkcjonałem innych zmiennych: H(x, p, t, gdzie oczywiście ẋ oznacza pochodną położenia po czasie. Są atoli zjawiska dla których zapisanie lagranżjanu jest niemożliwe, bądź trudne (np. gdy występuje tarcie. Jeżeli jednak dla układu klasycznego da się zapisać lagranżjan (a zatem i hamiltonian, to dane zagadnienie daje się skwantować, czyli przetłumaczyć na język mechaniki kwantowej. Pęd kanoniczny to (z definicji lagranżjan zróżniczkowany po prędkości (uogólnionej: p i := L q i. Odpowiednikiem newtonowskiej zasady dynamiki ( d dtp = F w języku lagranżjanu jest równanie Eulera-Lagrange a: ( d L = L. ( dt q i q i Energię układu można wyrazić za pomocą pędów i położeń - otrzymuje się hamiltonian: H = i (p i q i L. ( Dla każdego hamiltonianu spełnione są równania Hamiltona: q i = H p i, (3 ṗ i = H q i. (4.. Możliwość numerycznej analizy problemów mechanicznych Dla jednego wymiaru równania te mają postać: { ẋ = H(p,x,t p ṗ = H(p,x,t x. 5 Właściwszą nazwą dla tej mechaniki byłoby określenie jej jako mechaniki operatorowej := mechaniki falowej + mechaniki kwantowej, bowiem jak się okaże podstawowym pojęciem mechaniki kwantowej nie jest ani kwant, ani funkcja falowa, lecz operator. 6 Choć oczywiście można z przekąsem stwierdzić, że istnienie innych skal niż nasza ludzka skala mezo jest tylko naukową koncepcja - zatem nie stanowi, przynajmniej filozoficznie, ważkiego uzasadnienia. przyp. RPK 7 W środowisku fizyków polskich jak mi się zdaje istnieją silne kontrowersje wobec pisania lagranżjan zamiast lagrangian. Przeciwko takiemu spolszczaniu nie przemawia jednak żadna norma językowa. przyp. RPK
9 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 9 Wykorzystując definicję różniczkowania: x t wzory: { = x(t+ t x(t t x(t+ t = x(t+ t H(x,p,t p p(t+ t = p(t+ t H(x,p,t x, co umożliwia numeryczne wyznaczanie ewolucji układu dla dowolnych czasów. oraz wzory (3 i (4, otrzymuje się następujące. Procedura kwantowania układu.. Wstęp filozoficzny Przejście od mechaniki klasycznej do mechaniki kwantowej można realizować na kilka różnych (równoważnych sobie sposobów. Niezależnie od tego, który sposób uzna się za stosowny, ważne jest podkreślenie podstawowej idei, która za takim przejściem się kryje. Otóż w mechanice klasycznej ciche założenie brzmiało: używane w formalizmie matematycznym obiekty reprezentują stan rzeczywistości jedno-jednoznacznie. Czyli wszędzie w równaniach gdzie występowały zmienne (r, p, t znaczyło to w określonej chwili czasu t, układ ma dokładnie określony pęd p i położenie r. Idea możliwości dowolnie dokładnego określenia parametrów układu leżała u podstaw newtonowskiej mechaniki. Tymczasem mechanika kwantowa opiera się na idei niemożliwości dokładnego określenia wszystkich parametrów układu. Ta idea znajduje swoje odzwierciedlenie w aparacie matematycznym teorii. 8.. Praktyczne kwantowanie. Hamiltonian we współrzędnych kartezjańskich przekształca sie w operator kwantowy: H(r, p, t Ĥ(r, iħ, t. (5 Poszukajmy jednostek stałej ħ 9, tak, by we wzorze (5 zgadzały się jednostki (czyli: dokonajmy analizy wymiarowej: [p] = kg m s = J s m = [ħ] m, [p] = J s m, [ x ] = m [m][x]. Zatem: [ħ] = [t] = [p][x] = [E][t]. Analiza wymiarowa nie jest w stanie podać nam wartości zmiennej, którą to wartość trzeba wyznaczyć eksperymentalnie. Dziś wiemy, iż ħ = J s ev s.. Energii i składowym pędu przypisane są następujące operatory, działające na funkcję falową ψ(r, t: E iħ t, (6 p x iħ x, (7 p y iħ y, (8 p z iħ z. (9.3 Interpretacja Funkcja falowa ψ(r, t określa w mechanice kwantowej stan fizyczny układu. Podanie tej funkcji dla pewnej chwili czasu opisuje wszystkie własności układu, nie tylko w danym momencie, ale również w przyszłości, oraz w przeszłości. Funkcja falowa ψ koduje cała informację o układzie. Nie czyni tego jednak w postaci dyskretnej 8 Ten paragaf pozwoliłem sobie dopisać ku lepszemu wyjaśnieniu tematyki. przyp. RPK 9 ħ to taki kwantometr
10 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 0 zbioru sześciu liczb (x, y, z, p x, p y, p z, tak jak to było w mechanice klasycznej, lecz w bardziej wyrafinowanej postaci funkcyjnej. Mechanika kwantowa jest teoria deterministyczna i probabilistyczna. Działanie hamiltonianu Ĥ na funkcję falową: przesuwa on naszą wiedzę o układzie w czasie: Ĥ(r, iħ, tψ(r, t = iħ ψ(r, t. (0 t Interpretacja funkcji falowej ψ: iloczyn funkcji falowej ψ i funkcji do niej sprzężonej ψ jest gęstością prawdopodobieństwa położenia: ϱ(r, t = ψ(r, t. ( Oznacza to, że ϱ(r, tdxdydz jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w elemencie objętości dxdydz wokół punktu r w chwili t. Funkcja ψ musi być unormowana zgodnie z warunkiem normalizacji: = d 3 rϱ(r, t = d 3 r ψ(r, t. (.4 Ruch czastki swobodnej klasycznie: energia kinetyczna: L = mẋ, pęd: p x = L ẋ = mẋ, hamiltonian H = pẋ mẋ = p m m p m = p m = m (p x + p y + p z. kwantowo: Ĥ = ħ m ( x + y + z = ħ m (..5 Równanie Schrödingera dla czastki swobodnej Postulując rozwiązania w postaci fali płaskiej: otrzymuje się: iħ ψ ( t = ħ ψ m x + ψ y + ψ z. (3 ψ(x, y, z, t = exp( iωt + ik x + ik y + ik 3 z, Po wstawieniu do równania (3 mamy: ψ x = ( kψ ψ y = ( kψ ψ z = ( k3ψ ψ t = iω exp( iωt = ( iωψ. (iħ( iωψ = ħ m (k ψ ħωψ = ħ (k m ψ. Z powyższych równań wynika zależność na częstość rozchodzenia się paczki falowej (związek dyspersyjny: ω = ħ(k m. (4
11 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki Równanie Schrödingera. Unormowanie funkcji falowej iħ ψ t = Ĥψ. (5 Rozwiązaniem tego równania jest funkcja falowa ψ(r, t, która dostarcza pełnego opisu zachowania cząstki. Ponieważ prawdopodobieństwo znalezienia cząstki gdziekolwiek wynosi, to mamy warunek normalizacji: d 3 rψ ψ =. (6 Współczynnik przy funkcji ψ - norma - jest niezależny od czasu. Potwierdzają to obliczenia: P (t = d 3 rψ ψ =. dp dt = d 3 r d dt (ψ ψ = d 3 r( ψ ψ + ψ ψ. Wstawiamy ψ = iħ (Ĥψ oraz ψ = iħ (Ĥψ : dp dt = d 3 r ( ψ(ĥψ + ψ iħ (Ĥψ. Przyjmując, że H = H 0 + V (r, natomiast Ĥ = ħ m ( + V (r: dp dt = iħ [ ] d 3 r ψ ( ħ m ψ + V (rψ + ψ ( ħ m ψ + V (rψ. Ostatecznie mamy: dp dt = ħ mi d 3 r [ ( ψ ψ + ψ ψ ]. (7 Problem można rozwiązać dwoma sposobami:. Skorzystać z definicji laplasjanu ( = x + y + z i przekształcić równanie (7 do postaci: ħ mi + Z tego równania wynika dp dt = 0. dz + + dy dx [ ψ ψ ] x + ψ ψ x = 0. (8 }{{} + ψ ψ dx[ x x + ψ ψ x x ]=0
12 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki. Zmiana w czasie prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w pewnym obszarze (nie w całej objętości: d dt P (t = d 3 r d Ω dt (ψ ψ = ħ d 3 r[ ( ψ ψ + ψ ( ψ]. mi Ω Na mocy twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego całka powierzchniowa zamienia się w całkę po konturze obszaru: d dt P (t = ħ d σ[ ψ( ψ + ψ ( ψ]. mi dω Na podstawie otrzymanego wyniku można zdefiniować prąd prawdopodobieństwa (gęstość prądu prawdopodobieństwa S: Obowiązuje wówczas równanie ciągłości: S := ħ mi [ψ ( ψ ( ψ ψ]. (9 Strumień prawdopodobieństwa wypływa, gdy funkcje falowe są zespolone: ϱ + S = 0. (0 t ψ(r, t = N exp( iω(pt + irp ħ, ω(p = p mħ. (. Wartości średnie Ogólny wzór na wartość średnią funkcji f(x: f(x = dxϱ(xf(x, ( gdzie ϱ(x jest gęstością prawdopodobieństwa. Dla cząstek danych pewnym rozkładem prawdopodobieństwa istotne są dwie wartości: σ-odchylenie standardowe, µ-średnia rozkładu. Znając gęstość prawdopodobieństwa ϱ można obliczyć średnie położenie cząstki x : µ = dxϱ(xx = x dla ϱ(x 0 i dxϱ(x =, σ = dxϱ(x[x µ] = (x µ = x x. Każdej wielkości fizycznej można przypisać operator: np. kwantowy operator momentu pędu: ˆL = ˆr ˆp. Wzór na średnią wartość dowolnego operatora:
13 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 3 ˆΘ = d 3 rψ ˆΘψ. (3 Operatory mechaniki kwantowej - operatory hermitowskie - w działaniu na dowolną funkcję falową dają wynik rzeczywisty. Przykładowe obliczenia: Średnie położenie cząstki x : x = d 3 rψ (rxψ(r = d 3 rψ ψx = d 3 rϱ(r, tx, ˆx : ψ(x, t xψ(x, t. Średnia x-owej składowej pędu p x : p x = d 3 rψ ( iħ ψ x = iħ dz dy dxψ ψ x = iħ dydz dx ψ sprzężenie średniej wartości x-owej składowej pędu p x : p x = d 3 rψ( iħ ψ x = iħ dz dy dxψ dψ dx = p x, zatem, gdy funkcja falowa jest rzeczywista (ψ = ψ, wtedy p x = 0. x ψ,.3 Techniki rozwiazywania zagadnień w mechanice kwantowej Istnieje tylko jedna analityczna metoda rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych: przez separację zmiennych. Potrafimy rozwiązywać w ten sposób tylko zagadnienia o dużej symetrii. Dany jest hamiltonian: Ĥ = ħ m + V (r, (4 gdzie V (r nie zależy od czasu. Rozwiązując równanie Schrödingera można je rozseparować na część zależną i niezależną od czasu, a funkcję falową zapisać następująco: ψ(r, t = α(tψ E (r. Rachunki: iħ ψ t = Ĥψ iħ dα dt ψ E(r = α(tĥψ(r : α(tψ E(r iħ dα dt α(t = Ĥψ(r ψ E (r = E. E jest stałą separacji oraz, jak się później okaże, energią. Separacja równania udaje się tylko dla potencjałów niezależnych od czasu. Końcowym efektem separacji są dwa równania: Proste równanie różniczkowe zależne od czasu: Równanie Schrödingera niezależne od czasu: iħ dα dt α(t = E. (5 ħ m ψ E + V (rψ E = Eψ E. (6
14 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 4 Szukana postać rozwiązania równania (5: e γt = α(t. iħ dα dt = Eα(t iħγα(t = Eα(t α(t = e iet ħ. Zatem: ψ(r, t = exp( iet ħ ψ E(r; ψ (r, t = exp(+ iet ħ ψ E (r. Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki nie zależy od czasu: 0 ϱ = ψ ψ = ψ E (r. 3 Mechanika kwantowa vs. mechanika klasyczna 3. Wstęp (przepięknej urody Każdej wielkości fizycznej przypisujemy operator kwantowy: Θ(r, p ˆΘ(r, iħ. Przepis ten czasami nie sprawdza się. Dla przykładu zbadajmy kwantowy odpowiednik klasycznej równości xp x = p x x: ˆx pˆ x ψ = x( ħ i ψ x, (7 pˆ xˆxψ = ( ħ i [ψ + x ψ ]. (8 x Oczywiście (7 (8. Okazuje się, że w mechanice kwantowej dopuszczone są jedynie takie operatory, które są hermitowskie. Ani (7 ani (8 hermitowskie nie są. Natomiast (ˆx pˆ x + pˆ xˆx w pełni poprawnym hermitowskim operatorem już jest. Mechanika kwantowa jest statystyczna. W jej warstwie interpretacyjnej myślimy w terminach funkcji falowej, wartości oczekiwanych, prawdopodobieństwa. Jest ona deterministyczna, bo potrafi przesuwać naszą wiedzę w czasie: iħ ψ t = Ĥψ to nic innego, jak równanie liniowe ewolucji. Była ona sprawdzana w warunkach ekstremalnych i nigdy nie zostało zaobserwowane żadne odstępstwo od liniowości. Funkcję falową często separujemy na część zależną tylko od czasu oraz część zależną tylko od położenia: ψ(r, t = A(tϕ E (r = e iet ħ ϕe (r, (9 gdzie ϕ E (r spełnia równanie Schrödingera niezależne od czasu: Ĥϕ E = Eϕ E. (30 0 Z dokładnością do fazy funkcji falowej, która to zmienia się w czasie, jednak gęstość prawdopodobieństwa - ψ - skutecznie wpływu ewolucji nie zauważa.
15 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 5 Udowodnimy teraz, że stała separacji E rzeczywiście jest energią: Ĥ = d 3 rψ Ĥψ = d 3 re iet iet ħ ϕ E (rĥe ħ ϕe (r = (3 = d 3 rϕ EĤϕ E = d 3 rϕ EEϕ E = E d 3 rϕ Eϕ E = E. Zatem ϕ E to funkcje własne, zaś E to wartości własne operatora Ĥ. 3. Dygresja Miarą rozrzutu rozkładu prawdopodobieństwa jest wariancja: σ ϑ = (ϑ ϑ. (3 Zatem: σe = (Ĥ E = d 3 rϕ E(r (Ĥ E ϕ E (r }{{} (Ĥ E (Ĥ Eϕ E }{{} =0 = 0. (33 Okazuje się, że w specyficznych sytuacjach specyficzne wielkości mają w mechanice kwantowej dokładnie określone wartości. 3.3 Równania Ehrenfesta W jakim znaczeniu mechanika kwantowa odtwarza mechanikę klasyczną? ψ = iħ (Ĥψ = ħ [ iħ m ( ψ + V ψ], ψ = ħ mi ( ψ + iħ V ψ, ψ = ħ mi ( ψ iħ V ψ. d dt x = d dt d 3 rψ xψ = d 3 rx[ ψ ψ + ψ ψ] = Znikanie wariancji energii jest faktem oczywistym, gdy zauważy się, że stosując równanie Schrödingera zakładamy, że mamy do czynienia z dokładnymi pomiarami energii (por. Haken. Dokładnymi, czyli o wariancji równej zero. (przyp. R.K.
16 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 6 = d 3 rx[ψ ( ħ mi ( ψ + ψ V iħ ψ + ħ mi ( ψ ψ V iħ ψ ] = Człony zależne od potencjału skróciły się! = ħ mi d 3 rx[ψ( ψ ψ ( ψ] = ħ mi d 3 r[ψ ( ψ x + x ψ x ψ x ψ x ]. Rachunek pomocniczy: dx(xψ ψ x = dx d ψ dx (xψ x = dx[ d dx (xψ]ψ. Zatem: d 3 r ħ mi x ψ = d 3 rψ pˆ x m ψ = p x m. Uzyskaliśmy równanie: d dt x = p x. (34 m Analogicznie liczy się: Zestaw równań (34 i (35 nazywa się równaniami Ehrenfesta. d dt p x = V. (35 x Niech x = x 0. W przypadku, gdy paczka falowa jest bardzo wąska w porównaniu z potencjałem, mamy: V x = d 3 rψ ψ( V V ( x x 0 d 3 rψ ψ = V x 0. Nie jest tak jednak wówczas, gdy paczka falowa jest rozmyta. 3.4 Studnia potencjału Rozważmy hamiltonian H = ħ m energii E. Klasycznie mamy: d dx + V (x, oraz weźmy cząstkę związaną w studni potencjału o pewnej E = p + V (x, (36 m czyli: p(x = ± (E V (xm. (37
17 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 7 V(X OBSZAR KLASYCZNIE ZABRONIONY OSCYLACJE E < > V(X p p Vmin OBSZAR KLASYCZNIE DOSTEPNY OBSZAR KLASYCZNIE ZABRONIONY w tym oszarze pedy, brane sa ze znakiem "+" i "-" Natomiast kwantowo: Spróbujmy rozwiązać uproszczone równanie (V = const: ħ d ϕ E m dx + V (xϕ E(x = Eϕ E (x. (38 Podstawiając ϕ E = e λx mamy: ħ d ϕ E m dx + V ϕ E(x = Eϕ E (x. (39 Przypadki: λ = m (V E. (40 ħ V > E λ = ± ħ m(v E jest to rozwiązanie klasycznie zabronione! V < E λ = ± i ħ m(e V = ± i ħ p jest to rozwiązanie oscylacyjne. V>E - obszar klasycznie zabroniony V < E - obszar oscylacji
18 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 8 Okazuje się, że ψ (dla różnych energii E ucieka do + lub do. Rozwiązania fizyczne istnieją tylko dla wybranych energii. Zatem energia jest skwantowana. Trzy głowne fakty różniące mechanikę kwantową od klasycznej: to funkcja falowa, a nie cząstka, ma własności falowe, energia może przyjmować jedynie skwantowane wartości, cząstkę kwantową można znaleźć w obszarze klasycznie niedostępnym. 4 Kwantowy oscylator harmoniczny. Przestrzeń Hilberta. 4. Krótkie powtórzenie wiedzy dotychczas nabytej. Mechanika kwantowa jest mechaniką operatorów: Θ(r, p ˆΘ(r, iħ. (4. Operatory działają na zespoloną funkcję falową: ψ(r, t. (4 3. Gęstość prawdopodobieństwa wyraża się następująco: ϱ(r, t = ψ = ψ ψ. (43 4. Wartość średnią wielkości fizycznej liczy się ze wzoru: ˆΘ = d 3 rψ ˆΘψ. (44 5. Hamiltonian dla pojedynczej cząstki w potencjale niezależnym od czasu: Ĥ = ħ m + V (r. (45 6. Równaniem opisującym ewolucję czasowo-przestrzenną funkcji falowej w przypadku nierelatywistycznym jest równanie Schrödingera: iħ ψ ħ = ( t m + V ψ. (46 7. Dla potencjału niezależnego od czasu wiele problemów ulega uproszczeniu. Wówczas możliwy jest zapis funkcji falowej w postaci: ψ(r, t = e iet ħ ψe (r. (47 8. Otrzymujemy wówczas równanie Schrödingera niezależne od czasu: gdzie E jest wartością własną operatora energi, czyli hamiltonianu. Ĥψ E = Eψ E, (48
19 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 9 Anatomia funkcji falowej V(x Stany zwiazane: symetryczne antysymetryczny x 4. Kwantowe rozwiazania problemów klasycznych Istnieją tylko dwa klasyczne przykłady, które można skwantować otrzymując pełne rozwiązanie w sposób jawny. Jest to oscylator harmoniczny i potencjał kulombowski (atom wodoru. 4.. Oscylator harmoniczny Hamiltonian dla oscylatora harmonicznego (jednowymiarowego: H = p m + kx. (49 Szukane rozwiązanie ma postać: x(t = e iωt. Zatem: ẋ = iωe iωt, ẍ = ω x. Częstość drgań nie zależy od amplitudy i w klasycznym podejściu wynosi: ω kl = k m. ( Kwantowomechaniczny jednowymiarowy oscylator harmoniczny Hamiltonian dla oscylatora kwantowego: d Ĥ = ħ m dx + k x. (5 Z działania hamiltonianu na funkcję (Ĥψ E = E n ψ E otrzymujemy następujące równanie: ħ m ψ (x + k x ψ(x = Eψ(x. (5
20 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 0 Chcemy znaleźć rozwiązanie wskazujące na stan o najniższej energii. Postulujemy rozwiązanie postaci: ψ = e αx. Stąd: ψ = e αx ( αx, ψ = e αx (α x α. Po wstawieniu ψ, ψ i ψ do równania (5 otrzymujemy równanie: Z tego równania otrzymujemy wyrażenie na najniższą energię: ħ m (α x α + k x = E. (53 gdzie czynnik α wyraża się następująco: E = ħ α m, (54 ħ α m = k km ħ α = km α = ħ. Szukając związku między oscylatorem kwantowym i klasycznym wykonujemy następujące przekształcenia: E = ħ km = ħ km m ħ m = ħ km m = ħ ω kl. Czyli energia oscylatora kwantowego wyrażona za pomocą częstości drgań oscylatora klasycznego wynosi: E = ħ ω kl. (55 Cała klasa rozwiązań równania (5 wyrażona jest następująco: ψ n (x = W n (xe α x (56 Wówczas dla: n=0: ψ 0 (x = N 0 e α x - mamy stan podstawowy, n=: ψ (x = N xe α x - mamy pierwszy stan wzbudzony. Klasyczne prawdopodobieństwo P (x znalezienia cząstki w punkcie x jest proporcjonalne do odwrotności jej prędkości: P (x v(x = m p(x = m m(e V (x. Kwantowomechaniczne prawdopodobieństwo, jak widać na poniższym rysunku, uśrednia się do klasycznego rozkładu prawdopodobieństwa.
21 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki V(x - funkcja falowa wyzszego. stanu (nieznormalizowana Obszar klasyczny x Obszar klasyczny 4..3 Układ dwóch czastek Dla układu dwóch cząstek dana jest funkcja falowa ψ(r, r, t. Zastanawiamy się nad tym, jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia pierwszej cząstki w r, a drugiej cząstki w r. Funkcję falową zapisujemy jako iloczyn dwóch funkcji, z których każda związana jest z pojedynczą cząstką: ψ(r, r, t = ψ (r, tψ (r, t. Odpowiada to separacji gęstości prawdopodobieństwa: ϱ(r, r = ϱ (r ϱ (r. Hamiltonian dla układu dwóch cząstek: Ĥ = Ĥ(r, iħ + Ĥ(r, iħ. (57 Można teraz równanie (48 zapisać tak, by było spełnione dla układu dwóch cząstek: (Ĥ + Ĥψ (r ψ (r = Eψ (r ψ (r, (58 (Ĥψ ψ + ψ (Ĥψ = Eψ (r ψ (r. (Ĥψ ψ + (Ĥψ ψ = E. Z powyższej równości wynikają zależności na energię każdej z cząstek: E = E (Ĥψ ψ, (59
22 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki E = E (Ĥψ ψ. ( Kwantowomechaniczny trójwymiarowy oscylator harmoniczny Hamiltonian dla układu trójwymiarowego: ( Ĥ = ħ m + kr = ħ m x + y + z + k ( x + y + z. (6 Funkcja własna dla układu trójwymiarowego wygląda następująco: ψ E (x, y, z = ψ E (xψ E (yψ E3 (z. (6 Energia układu wynosi zatem: E = E + E + E 3, (63 wobec czego drgania w każdym kierunku są od siebie niezależne. 4.3 Przestrzeń Hilberta Abstrakcyjną geometryczną ilustracją funkcji falowej ψ α może być wektor stanu w α w nieskończenie wymiarowej przesterzeni Hilberta. Przestrzeń Hilberta stanowi matematyczną bazę mechaniki kwantowej. Jest ona nieskończoną przestrzenią wektorową, o elementach będących funkcjami. Wielkości fizyczne są reprezentowane jako operatory działające w tej przestrzeni, a stany fizyczne jako wektory (funkcje stanu. Dla przykładu weźmy jakąś dowolną funkcję ψ(x. Graficznie można ją przedstawić w następujący sposób: Widać, że na drugim rysunku funkcja ψ(x jest kombinacją liniową odpowiednich wektorów własnych, czyli elementów bazy (w tym przypadku: ciągłej bazy położeń pomnożonych przez odpowiednie współczynniki Dwuwymiarowa przestrzeń Hilberta Weźmy wektor o skladowych rzeczywistych u i wektor transponowany u T :
23 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 3 u = ( x x, u T = (x, x. Norma wektora wynosi: u = u T u = x + x. Wykonując to samo dla wektora w o składowych zespolonych otrzymujemy: w = ( z z, w T = (z, z, ( (w T w = (z, z z = z z z + zz = z + z. Oznaczenie: w := (w T definiuje sprzężenie hermitowskie. Można dowieść, iż ogólna postać macierzy hermitowskiej M jest następująca: ( M = a c id c + id b. (64 Wynik działania macierzy M na wektor u: Mu = λu. (65 Dane są następujące macierze M i M : ( a + ib c + id M = f + ig r + is (, M = a c id c + id b. Szukamy rozwiązania zagadnienia własnego: ( a c id c + id b ( ( z 0 = z 0. (66 Chcemy, żeby szukane rozwiązania były niezerowe, więc: det(m λ = 0 : ( a λ c + id c id b λ ( ( z 0 = z 0 (67 det(m λ = 0 (a λ(b λ (c + d = 0 (68 λ λ(a + b c d = 0.
24 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 4 Ponieważ chcemy, by rozwiązania na λ były rzeczywiste, to wyróżnik musi być większy od zera: = λ(a + b + 4ab + 4c + 4a = (a b + 4(c + d 0 ( Baza w przestrzeni Hilberta W przestrzeni Hilberta istnieje zbior funkcji c n (x spełniających następującą zależność: dx c n(xc m (x = { m = n 0 n m (70 Funkcje c n (x są baza przestrzeni Hilberta: ψ(x = e n (xc n. (7 n=0 ψ = dx ψ (xψ(x = dx ( ( n e n(xc n( m e m(xc m = = c nc m dxe n(xe m(x = } {{ } m=n n=0 m=0 c nc n = c n. Zatem funkcję ψ(x = n=0 e n(xc n N n=0 e n(xc n stanowią szeregi ortogonalne. n=0 n=0 5 Twierdzenie spektralne Równanie własne pokazuje jak funkcja falowa koduje informację: ˆΘϕ λ = λϕ λ. (7 Jedyne możliwe wyniki pomiaru to wartości λ. Operatory hermitowskie spełniają (7 tak, że λ R. Spektrum to zbiór wszystkich λ. Przypadki:. Spektrum dyskretne: λ, λ,... (np. dla cząstki w studni potencjału. Wówczas ϕ λ jest normalizowalna: d 3 rϕ λ n ϕ λm = δ nm.. Spektrum ciągłe: stanowi ono pewien kłopot. Funkcje własne istnieją, ale nie należą do przestrzeni Hilberta, nie są normalizowalne. Są normowalne dopiero do delty Diraca (będącej nie funkcją, lecz dystrybucją: Uwaga: Delta Diraca posiada następujące podstawowe własności: dxf(xδ(x x 0 =: f(x 0, + dxeikx = πδ(k = {0 : k 0, : k = 0}.
25 { ˆΘ ϕ λλ = λ ϕ λλ { ˆΘ ˆΘ ϕ λλ = ˆΘ λ ϕ λλ = λ λ ϕ λλ MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 5 d 3 rϕ(rϕ(r = δ(r r. 3. Spektrum mieszane - np. dla dodatnich energii w studni potencjału występuje spektrum ciągłe (fale płaskie, zaburzone nieco przez istnienie studni, zaś dla energii ujemnych mamy dyskretną kwantyzację poziomów energetycznych Operator pędu Rozwiązanie: pˆ x := iħ x, pˆ x ϕ λ (x = λϕ λ (x, ϕ p0 = e ip 0 x ħ, λ = p0, iħ( ip 0 ħ ϕ p 0 = λϕ p0 = p 0 ϕ p0. Fala płaska jest idealizacją - mówimy o niej jako o dobrej funkcji falowej, mimo że nią nie jest. ϕ p0 funkcją z przestrzeni Hilberta, a jednak: ϕ p0 =. nie jest Operator położenia Rozwiązanie: ˆx := x, xϕ λ (x = λϕ(x. xδ(x x 0 = x 0 δ(x x 0, dxϕ x0 (xϕ x (x = dxδ(x x 0 δ(x x = δ(x x 0. Funkcje własne są ortogonalne, tworzą bazę w przestrzeni Hilberta: f(x = n c n ϕ λn (x. 5. Równoczesność pomiaru Rozważmy operatory ˆΘ, ˆΘ, oraz funkcję charakteryzującą układ: ϕ λλ. Mamy: ˆΘ ϕ λλ = λ ϕ λλ Zatem: ( ˆΘ ˆΘ ˆΘ ˆΘ ϕ λλ = 0. ˆΘ ˆΘ ϕ λλ =... = λ λ ϕ λλ
26 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 6 Jeśli operatory nie są przemienne, to nie można zbudować funkcji falowej, która koduje dokładną informację o obydwu wartościach wielkości fizycznych, które te operatory reprezentują. Operatory są przemienne =: komutuja: [A, B] = AB BA [ˆx, pˆ x ] = ˆx pˆ x pˆ xˆx =? [ˆx, pˆ x ]ϕ = x( iħ ϕ x ( iħ [ˆx, pˆ x ] = iħ x ϕ ϕ (xϕ = iħx x + iħ(ϕ + x x = iħϕ Cała mechanika kwantowa została stworzona po to, by mieć relację komutacji. Fakt: [α + βa, B] = [α, B] + β[a, B] = β[a, B]. Fakt: [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B, oraz analogicznie: [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C. Przykład: czy da się zmierzyć jednocześnie położenie i energię kinetyczną cząstki? [x, pˆ x m ] = m [x, pˆ xpˆ x ] = m ( pˆ x[x, pˆ x ] + [x, pˆ x ] pˆ x = m ( pˆ x(iħ + (iħ pˆ x, [x, pˆ x m ] = iħ m pˆ x 0, zatem nie da się dokonać jednoczesnego pomiaru tych wielkości. 5. Uogólniona zasada Heisenberga Niech: Wówczas: analogicznie: Stąd: [A, B] = ic, à := A A, B := B B. à = B = 0, σa = (A A = Ã, σb = B. [Ã, B] = ic. Fakt: Dla każdego operatora hermitowskiego zachodzi: d 3 rψ ( ˆΘψ = d 3 r( ˆΘψ ψ. (73 Korzystając z (73 i z powyższych definicji à oraz B, mamy: d 3 rψ (zã i B(zà + i Bψ 0 (ponieważ: z à + B + z(ãi B i Bà = z à + iz[ã, B] + B = z à zc + B, z d 3 rψ à ψ z d 3 rψ Cψ + d 3 rψ B ψ 0. Otrzymujemy równanie kwadratowe i obliczamy jego wyróżnik :
27 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 7 z à z C + B 0, = C 4 A B 0, Powyższe równanie jest właśnie uogólniona zasada Heisenberga. Przykład: A = x, B = pˆ x, C = ħ = σxσ p x gaussowskiej. A B C 4. (74 ħ 4. Dolną granicę tej nierówności daje się osiągnąć dla paczki 6 Oscylator harmoniczny 6. Jak wytwarzać funkcje falowe? Załóżmy, iż dany jest hamiltonian dla którego rozwiązania przyjmują wartości: E, E,..., E i tworzą spektrum dyskretne. Wtedy wiemy, że dowolną funkcję można zapisać jako: Ψ(x = n=0 a nψ En (x. Wówczas: dla t = 0 : Ψ(x, t = 0 = Ψ 0 (x = a n ψ En (x, natomiast ogólna postać funkcji falowej zależnej od czasu wygląda następująco: Ψ(x, t = n=0 n=0 Żeby znaleźć współczynnik a n należy wykonać następujące całkowanie: ψe m ψ(x = dxψe m (x a n ψ En (x = a n n=0 a n exp( ie nt ψ En (x. (75 ħ n=0 dx ψe m (xψ En (x = a m. }{{} =0: n m 6. Problem oscylatora harmonicznego - jawne rozwiazanie zagadnienia Większość układów dynamicznych można rozpatrywać jako układy wykonujące małe drgania - oscylatory harmoniczne. Hamiltonian dla klasycznego oscylatora harmonicznego wyraża się wzorem: H = p m + k x. (76 Pomocne obliczenia: ẋ = p m ; ṗ = kx; ẍ = ṗ m = k m x; x = eiωt ; ẍ = ω e iωt. Częstość drgań układu klasycznego: ω cl = k m. (77
28 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 8 Hamiltonian dla kwantowego oscylatora harmonicznego: d Ĥ = ħ m dx + k x. (78 Rozważamy równanie własne: Ĥψ E (x = Eψ E (x, ħ d ψ E (x m dx + k x ψ E (x = Eψ E (x. (79 Żeby uprościć równanie (79 wprowadzamy nowe zmienne: x = ax. Stąd: d dx = d a dx, czyli: Ĥ = ħ d ma dx + ka X. Chcemy żeby podkreślone człony były sobie równe: ħ ma = ka a 4 = ħ km a = ħ mk, Zatem, ostatecznie: ka = kħ mk = ħ ħ m = ħ ω cl. d Ĥ = ħω cl ( dx + X. (80 Żeby rozwiązać równanie (80 trzeba je najpierw uprościć. Najlepiej jest doprowadzić je do postaci iloczynu: (a + b = (a ib(a + ib. Pierwszym krokiem będzie zdefiniowanie następujących operatorów: P := i d dx (jest to operator hermitowski, A := (X + ip (zaś operator A nie jest operatorem hermitowskim, A := (X ip (co nie przeszkadza sprząc go hermitowsko. A A = (X ip(x + ip = (X + ix P ipx +P }{{}, i[x,p]=i(i= A A = (X + P. (8 Po wstawieniu tego zestawu zmiennych do hamiltonianu, jego postać jest następująca: Istotne obliczenia komutatorów: Ĥ = ħω cl (A A +. (8
29 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 9. [A, A ] = [ (X + ip, (X ip] = ([X }{{, X } ] + [X, ip] + [ip, X ] + [ip, ip] = }{{}}{{}}{{} =0 i[x,p] i[p,x ] =0 = i ( [X, P] + [P, X ] = i ( i i =. }{{}}{{} =i = i. 3. [A, Ĥ] = ħω cl[ A, A A }{{} A [A,A]+[A, A ] }{{} A [A, H] = ħω cl A. + ] = Aħω cl. Pomiary w mechanice kwantowej opierają się głównie na wyliczeniach wartości średnich i określeniu odstępstw od tych wartości dla poszczególnych pomiarów. Wartość średnia operatora energii (hamiltonianu jest zawsze dodatnia, co można sparawdzić na podstawie obliczeń: E pot = k x = k dx Ψ(x 0. E kin = ħ m d Ψ(x dx = ħ m = ħ m dxψ (xψ (x = ħ dx(ψ (x (Ψ (x = m dx Ψ 0. E pot + E kin = H 0. ( Rozwiazanie równania własnego z wykorzystaniem operatorów (bez konieczności całkowania Wybieramy funkcję własną i działamy na nią operatorem: ψ = A ψ Ĥψ = E ψ ĤA ψ = EA ψ A H HA = A ħω cl HA = A H + A ħω cl A Hψ + ħω cl A ψ = E A ψ (E + ħω cl A ψ = (E + ħω cl ψ Operator A nazywa się operatorem kreacji, 3 ponieważ w działaniu na funkcję tworzy stan o energii wyższej. Wstawiając do równania własnego funkcję ψ = Aψ otrzymamy: Ĥψ = ĤAψ = (AH Aħω clψ = A Hψ Aħω }{{} cl ψ = (E ħω cl Aψ = (E ħω cl ψ. Eψ Prawdopodobnie istnieje stan ψ 0 o najniższej energii, wtedy: Aψ 0 = 0. (84 3 W terminologii wprowadzonej przez Grzesia Pełkę operator ten nazywa się operatorem kremacji. (przyp. R.K. Chodziłam z Grześkiem do klasy w podstawówce (przyp. E.S.
30 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki Tworzenie funkcji falowej Bierzemy operator A = (X + ip = (X + d dx i wstawiamy do równania (84: (X + d dx ψ 0 = 0, Rozwiązujemy równanie różniczkowe: X ψ 0 + dψ 0 dx = 0. dψ 0 = xdx, ψ 0 dψ0 ψ 0 = xdx, ψ 0 = Ne x Z działania hamiltonianu na funkcję ψ 0 otrzymamy wyrażenie na energię stanu podstawowego: Hψ 0 = ħω cl (A A + ψ 0 = ħω cl ψ 0 + ħω cl A Aψ 0, E 0 = ħω cl. (85 Spektrum energii oscylatora harmonicznego - spektrum stanów równoodległych - przedstawia poniższy rysunek: Spektrum energii oscylatora harmonicznego E n = ħω cl (n + / ħω cl Widać, że stan podstawowy jest zaznaczony na poziomie E 0 = ħω cl, a kolejne stany różnią się od siebie o czynnik ħω cl, czyli n-ty poziom energetyczny określony jest wzorem: E n = ħω cl (n +, gdzie n = 0,,,... ( Notacja bra i ket Dla znacznego uproszczenia zapisu można wprowadzić notację bra i ket. Funkcję stanu ψ α można zapisać w następującej konwencji: α ket - funkcja stanu (wektor stanu,
31 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 3 α bra - stan hermitowsko sprzężony (wektor z przestrzeni dualnej. Funkcję stanu podstawowego oscylatora harmonicznego zapisuje się następujająco: ψ 0 = 0, natomiast funkcja stanu ψ n = n. Zachodzi fakt: n = C n (A n 0. (87 Teraz należy obliczyć n n : 0 (A n (A n 0 = 0 A }. {{.. A } A }. {{.. A } 0 = n 0 A }. {{.. A } A }. {{.. A } 0 = n n n = n n n n operacje wykonujemy aż do uzyskania 0 0 =, wtedy: = n! Postać funkcji falowej oscylatora harmonicznego w jednym wymiarze: n = n! (A n 0. ( Funkcja falowa w przestrzeni trójwymiarowej Zapisujemy trójwymiarowy hamiltonian: Ĥ = ħω cl (A A + + ħω cl (A A + + ħω cl 3 (A 3 A 3 +. Za pomocą trzech liczb kwantowych opisać można dowolny stan trójwymiarowego oscylatora harmonicznego: n n n 3 = C(A n (A n (A 3 n3 000, (89 E = ħω cl (n + + ħω cl (n + + ħω cl 3 (n 3 +. (90 Przedstawione na poniższym rysunku spektrum energii pokazuje, że nie jest to już prosty rozkład, a poszczególne poziomy energetyczne różnią się od siebie i od stanu podstawowego o czynnik ω cl,,3. Pewnego uproszczenia można się dopiero spodziewać, gdy rozpatrywany układ będzie oscylatorem symetrycznym. Spektrum energii trójwymiarowego oscylatora harmonicznego ħ ω 3 ħ ω ħ ω ħ (ω + ω + ω Degeneracja stanów Rozpisanie trzech pierwszych stanów energetycznych w przestrzeni trójwymiarowej:
32 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 3. stan podstawowy: I stan wzbudzony: Cała podprzestrzeń stanów zdegenerowanych opisanych w tej bazie: α β γ 0 0. Jest to stan trzykrotnie zdegenerowany. 3. II stan wzbudzony: Jest to stan sześciokrotnie zdegenerowany. 7 Atom wodoru Koronnym argumentem za poprawnością mechaniki kwantowej jest istnienie 4 atomu wodoru. Rozważmy kwantowo oddziaływanie dwóch cząstek o różnych masach w polu wzajemnego potecjału: zatem kwantowo mamy: Rozwiązanie równania Schrödingera (iħ ψ t = Ĥψ(r, r ; t: H = p m + p m + V (r r, (9 Ĥ = ħ ħ + V (r r. (9 m m Potencjał kulombowski dwóch oddziałujących elektrostatycznie cząstek: Podstawiając to do równania (9 mamy: Ĥ = ħ ( m x + y + z ħ ( m x + y + z ψ(r, r ; t = e ie pot t ħ ψ Epot (r, r. (93 V (r r = 4πɛ 0 e r r =: α r r. (94 α (x x + (y y + (z z. (95 Teraz wprowadzimy nowe zmienne, tak, aby umożliwić dokonanie separacji zmiennych: r := r r, R := ar + br = m r + m r m + m. Zatem w nowych zmiennych: V c = α r = α r. Chcemy mieć równość: exp ( ir p ( ħ + irp ħ = exp irp ħ 4 i funkcjonowanie (przyp. R.K. + irp ħ, czyli: RP + rp = r p + r p,
33 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 33 stąd: P( m r + m r m P m P + p(r r = r ( + p + r ( p m + m m + m m + m p = m P + p, p = m P p, m + m m + m Czyli: oraz: p = Niech M := m + m, wtedy: p + p = m + m m + m P = P, P = p + p, m P p = m (p + p m + m p = m p m p. m + m m + m m + m m + m p m + p m = m ( m P M + p + m ( m P M p = P M + p µ, gdzie masa zredukowana: µ := m + m. Ostatecznie, nowy hamiltonian wyraża się wzorem: Ĥ = ħ M ( X + Y + Z ħ }{{} µ ( x + y + z α. (96 r }{{} ruch środka masy ruch względny Zatem: ϕ Epot = exp{i PR ħ }ϕ E(r, E pot = E + P M. 7. Zapis w układzie sferycznym Przechodząc do sferycznego układu współrzędnych 5 i do układu odniesienia środka masy, mamy: H = ħ µ [ r r (r r + r sin θ θ (sin θ θ r sin θ ( ϕ ] α r. (97 Postulujemy separację zmiennych: ϕ E (r, θ, ϕ = f(ry (θ, ϕ. Zatem: ħ µ [ f r (r r r Y (θ, ϕ + r f(r( ħ µ d df dr (r dr ħ [ sin θ f µ ħ µ θ (sin θ θ r sin θ ( ]Y (θ, ϕ+ ϕ sin θ ( + α f(ry (θ, ϕ = Ef(rY (θ, ϕ, (98 r d df dr r dr f Z separacji otrzymujemy dwa równania: θ (sin θ θ + sin θ ( ϕ ]Y (θ, ϕ αr = r E, Y αr r E = ħ µ [...]Y Y =: λ ħ µ. (99. 5 x = r sin θ sin ϕ y = r sin θ cos ϕ z = r cos θ ħ µ r d df (r dr, gdzie: r [0, ], θ [0, π], ϕ [0, π]. dr α r f + λħ f = Ef, (00 µr
34 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 34. sin θ θ (sin θ θ Y + sin θ Y + λy = 0. (0 ϕ Z rownania (0 mamy: postulując Y = A(ϕB(θ: sin θ θ (sin θ θ Y Y + λ sin θ = Y ϕ, Y sin θ d db(θ dθ (sin θ dθ B(θ + λ sin θ = d A dϕ A =: m. (0 Separacja tego równania ze względu na ϕ daje: d A dϕ = m A e imϕ = A, a ponieważ A(ϕ = 0 = A(ϕ = π, to m musi być całkowite. Ostatecznie mamy: Y (θ, ϕ = eimϕ m B(θ. (03 Natomiast równanie (0 rozseparowane ze względu na θ daje: Podstawiając w := cos θ, d dθ = ( dw dθ d dw = sin θ d dw : d db (sin θ sin θ dθ dθ + (λ m sin B = 0. θ d [( sin θ (sin θ( sin θdb ] + (λ m sin θ dw dw sin B = 0, θ d db (( w dw dw + (λ m B = 0. (04 w Rozwiązaniem powyższego równania różniczkowego są stowarzyszone wielomiany Legendre a (harmoniki kuliste: przy czym: l = 0,,, 3,..., zaś m = l, l +,..., l. Natomiast: gdzie P l (w to już normalne wielomiany Legendre a. Y lm (θ, ϕ P m l (cos θe imϕ, (05 Pl m (w = ( w m d m dw P l(w, (06 m 8 Wielomiany Legendre a, harmoniki sferyczne i moment pędu 8. Krótkie powtórzenie, tytułem wstępu. W mechanice kwantowej obserwable ( wielkości fizyczne 6 wyrażamy za pomocą pędów i położeń, a następnie przekształcamy je w operatory: Θ(r, p ˆΘ(r, iħ. (07. Jedyne możliwe do uzyskania wartości (λ pomiarów wielkości fizycznych opisywanych operatorem ˆΘ otrzymuje się z rozwiązania równania własnego: ˆΘϕ λ = λϕ λ. (08 6 te, które daje się zmierzyć :
35 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki Funkcja falowa dostarcza informacji o stanie układu. Gdy podziałamy na nią hamiltonianem, będziemy wiedzieli jak funkcja zachowuje się w dowolnej chwili. Hamiltonian przesuwa funkcję w czasie: iħ ψ t = Ĥψ. Rozwiązaniem tego równania jest funkcja ψ(r, t = e iet ħ ψ E (r, gdzie ψ E (r otrzymuje się z równania własnego. 4. W przypadku gdy rozważamy problem w potencjale sferycznie symetrycznym, hamiltonian przyjmuje postać: Ĥ = ħ µ [ r r (r r + r sinθ Θ (sinθ Θ + r sin ]. (09 Θ ϕ Z rozwiązania równania własnego otrzymujemy funkcję postaci: ψ E (r = f(ry lm (Θ, ϕ, gdzie: Y lm (Θ, ϕ = N lm P m l (cosθe imϕ. (0 8. Wielomiany Legendre a Na wykładzie (7 wyprowadzono następujące równanie różniczkowe: d dp (( w dw dw + (λ m P = 0. ( w Fizyczne rozwiązania równania ( dostajemy dla niezerowego m, gdy λ = l(l +, m l. Otrzymane rozwiązania zwane są stowarzyszonymi funkcjami Legendre a i wyrażają się przez wielomiany Legendre a P l (w: Można określić funkcję tworzącą: Pl m (w = ( w m d m dw P l(w. ( m T (w, s = = P l (ws l. (3 sw s Zbadamy teraz własności wielomianów Legendre a przy użyciu funkcji tworzącej (3: l=0 dt + ds s=0 = P l (w d ds sl s=0 = P (w, (4 l=0 d n T + ds n s=0 = P l ( dn ds n sl s=0 = n!p n (w. (5 l=n }{{} =n!s l n Wielomiany te są do siebie ortogonalne, na odcinku [, ] stanowią one bazę w przestrzeni funkcyjnej, czyli każdą funkcję opisaną na sferze da się przedstawić w postaci nieskończonego szeregu wielomianów f(w = + l=0 c lp l (w: { (l+ m! [ dwp l (wp l (w = l+ ][ (l m!] dla l = l 0 dla l l (6 8.3 Harmoniki sferyczne i ich własności Dowód ortogonalności harmonik sferycznych: gdy powyższą całkę zastąpimy całką po kątach, to otrzymamy: d cos Θ π 0 dϕy lm(θ, ϕy l m (Θ, ϕ = δ l lδ m m. (7
36 MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 36 Część kątowa Y lm (Θ, ϕ pełnej funkcji falowej, będąca rozwiązaniem równania kątowego dla λ = l(l + : sinθ Θ (sinθ Y Θ + Y sin Θ + λy = 0, (8 ϕ nazywa się harmonika sferyczna. Harmoniki sferyczne tworzy się według następującego wzoru: gdzie ε = { ( m dla m > 0 dla m 0. Y lm (Θ, ϕ = ε[ Przykłady podstawowych funkcyj 7 kulistych: (l + (l m! ] Plm (cos Θe imϕ, (9 4π(l + m! Y 00 = 4π, Y 0 = ( 3 4π cos Θ, Y ± = ( 3 8π sin Θe ±iϕ, Y 0 = ( 5 6π (3 cos Θ, Y ± = ( 5 8π sin Θ cos Θe ±iϕ, Y ± = ( 5 3π sin Θe ±iϕ. 8.4 Operator momentu pędu Klasycznie wektor momentu pędu L jest zdefiniowany następująco: e x e y e z L = r p = x y z = e x (yp z zp y e y (xp z zp x + e z (xp y yp x = p x p y p z Teraz, analogicznie, konstruujemy kwantowy operator momentu pędu: ˆL = iħ z y y z x z z x y x x y yp z zp y xp z + zp x xp y yp x.. (0 x, y, z można zmierzyć jednocześnie, bo te wielkości ze sobą komutują, natomiast nie komutuje ze sobą x i p x, y i p y, z i p z [x, p x ] = [y, p y ] = [z, p z ] = iħ. Obliczenie niektórych komutatorów: [L x, L y ] = [y ˆp z z ˆp y, zpˆ x x ˆp z ] = [y ˆp z, zpˆ x ] [y ˆp z, x ˆp z ] [z ˆp y, zpˆ x ] + [z ˆp y, x ˆp z ] }{{}}{{}}{{}}{{} ( ( (3 (4 ( [y ˆp z, zpˆ x ] = (y ˆp z (zpˆ x (zpˆ x (y ˆp z = iħ(yp x ( [y ˆp z, x ˆp z ] = 0 (3 [z ˆp y, zpˆ x ] = 0 (4 [z ˆp y, x ˆp z ] = (z ˆp y (x ˆp z (x ˆp z (z ˆp y = iħ(x ˆp y [L x, L y ] = iħ(yp x + iħ(x ˆp y = iħl z, ( 7 ta dawna i wspaniała forma językowa, używana przez Sierpińskiego, Kaca, Ulama, Leję i innych wielkich bojowników matematyki, nie może zostać przecież potępiona i skazana na wieczne zapomnienie, nieprawdaż? (przyp. R.K.
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
Bardziej szczegółowoII. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Bardziej szczegółowo15 Potencjały sferycznie symetryczne
z ϕ θ r y x Rysunek : Definicje zmiennych we współrzędnych sferycznych r, θ, ϕ) 5 Potencjały sferycznie symetryczne 5. Separacja zmiennych Do tej pory omawialiśmy problemy jednowymiarowe, które służyły
Bardziej szczegółowo5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa
5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5.1 Reprezentacja położeniowa W poprzednim rozdziale znaleźliśmy jawną postać operatora Ĥ w przedstawieniu położeniowym. Co to znaczy? W przedstawieniu położeniwym
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoPostulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl 19 września 2014 Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki
Bardziej szczegółowoV. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ
V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ 1 1 Postulaty mechaniki kwantowej Istota teorii kwantowej może być sformułowana za pomocą postulatów, których spełnienie postulujemy i których nie można wyprowadzić z żadnych
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoZad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji.
Zad. 1.1. Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji. Zad. 1.1.a. Funkcja: ϕ = sin2x Zad. 1.1.b. Funkcja: ϕ = e x 2 2 Operator: f = d2 dx
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg
Mechanika kwantowa Erwin Schrödinger (1887-1961) Werner Heisenberg 1901-1976 Falowe równanie ruchu (uproszczenie: przypadek jednowymiarowy) Dla fotonów Dla cząstek Równanie Schrödingera y x = 1 c y t y(
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoPostulaty mechaniki kwantowej
3.10.2004 11. Postulaty mechaniki kwantowej 120 Rozdział 11 Postulaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa, jak zresztą każda teoria fizyczna, bazuje na kilku postulatach, które przyjmujemy "na wiarę".
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan Wstęp do QFT (tym razem trochę równań ) Funkcje falowe a pola Lagranżjan revisited Kilka przykładów Podsumowanie Tomasz Szumlak AGH-UST Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej
Bardziej szczegółowoWykład I.2 1 Kłopoty z mechaniką klasyczną. 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1. Stan układu funkcja falowa ψ(x), ψ(x) 2 interpretacja
Wykład I.2 1 Kłopoty z mechaniką klasyczną 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1. Stan układu funkcja falowa ψ(x), ψ(x) 2 interpretacja probabilistyczna 2. Wielkości fizyczne operatory hermitowskie (obserwable)
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera
lementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowoJak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, Funkcja falowa
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoRównanie falowe Schrödingera ( ) ( ) Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości. i 2 =-1 jednostka urojona. Ψ t. V x.
Równanie falowe Schrödingera h Ψ( x, t) + V( x, t) Ψ( x, t) W jednym wymiarze ( ) ( ) gdy V x, t = V x x Ψ = ih t Gdy V(x,t)=V =const cząstka swobodna, na którą nie działa siła Fala biegnąca Ψ s ( x, t)
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoWYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.
1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań
Bardziej szczegółowo1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga
. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowo1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia
1 Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia Piotr Szańkowski Ćwiczenia nr 3 : Podstawowy aparatu matematycznego mechaniki kwantowej I OPERATORY Operator to odwzorowanie  : V V, które działa na stan,
Bardziej szczegółowoEfekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach
Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów
Bardziej szczegółowoNieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoMichał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max.
Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. 10 stron na jeden z listy tematów + rozmowa USOS! 1 Model
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowoWykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 4 Najpiękniejszą rzeczą, jakiej możemy doświadczyć jest oczarowanie tajemnicą.
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowow jednowymiarowym pudle potencja lu
Do wyk ladu II czastka w pudle potencja lu oscylator harmoniczny rotator sztywny Ścis le rozwiazania równania Schrödingera: atom wodoru i jon wodoropodobny) Czastka w jednowymiarowym pudle potencja lu
Bardziej szczegółowoJak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, t ) Tutaj upraszczamy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoCiało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.
1 Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. natężenie natężenie teoria klasyczna wynik eksperymentu
Bardziej szczegółowoFALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że
FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej
Bardziej szczegółowoWielomiany Legendre a, itp.
3.0.2004 Dod. mat. D. Wieomiany Legendre a, itp. 25 Dodatek D Wieomiany Legendre a, itp. Wieomiany Legendre a i stowarzyszone z nimi funkcje są szeroko omawiane w wieu podręcznikach fizyki matematycznej.
Bardziej szczegółowoWykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16
Optyka Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Fale 1 Uniwersytet Rzeszowski, 4 października 2017 Wykład I Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 16 Uwagi wstępne 30 h wykładu wykład przy pomocy transparencji lub
Bardziej szczegółowoReprezentacje położeniowa i pędowa
3.10.2004 9. Reprezentacje położeniowa i pędowa 103 Rozdział 9 Reprezentacje położeniowa i pędowa 9.1 Reprezentacja położeniowa Reprezentacja położeniowa jest szczególnie uprzywilejowana i najczęściej
Bardziej szczegółowo3 Ewolucja układu w czasie, trajektorie kwantowe
3 Ewolucja układu w czasie, trajektorie kwantowe Pytanie: jak ewoluuje funkcja falowa stanu kwantowego ψ? W tym rozdzoale zajmiemy się ruchem cząstki w jednym wymiarze. 3.1 Trajektorie klasyczne Klasyczne
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II
1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązania równania Schrödingera
Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania
Bardziej szczegółowoTadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii
Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoREZONANSY : IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI PRZEZ ANALIZĘ FAL PARCJALNYCH, WYKRESY ARGANDA
REZONANSY : IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI PRZEZ ANALIZĘ FAL PARCJALNYCH, WYKRESY ARGANDA Opis układu cząsteczek w mechanice kwantowej: 1. Funkcja falowa, 2. Wektora stanu ψ. TRANSFORMACJE UKŁADU CZĄSTEK: 1.
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 3 Specjalne metody elektrostatyki 3 3.1 Równanie Laplace
Bardziej szczegółowoMechanika klasyczna zasada zachowania energii. W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, Cząstka przechodzi z obszaru I do II.
Próg potencjału Mecanika klasyczna zasada zacowania energii mvi mv E + V W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, E > V w obszarze cząstka biegnie z prędkością v Cząstka przecodzi z obszaru I do.
Bardziej szczegółowo21 Symetrie Grupy symetrii Grupa translacji
21 Symetrie 21.1 Grupy symetrii Spróbujmy odpowiedzieć sobie na pytanie, jak zmienia się stan układu kwantowego pod wpływem transformacji układu współrzędnych. Najprostszą taką transformacją jest np. przesunięcie
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne......................
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału
Fizyka 2 Wykład 4 1 Jednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału Niezależne od czasu równanie Schödingera ma postać: 2 d ( x)
Bardziej szczegółowoTeorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały
WYKŁAD 1 Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały sformułowanie praw fizyki kwantowej: promieniowanie katodowe
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne....................
Bardziej szczegółowoFizyka 3.3 WYKŁAD II
Fizyka 3.3 WYKŁAD II Promieniowanie elektromagnetyczne Dualizm korpuskularno-falowy światła Fala elektromagnetyczna Strumień fotonów o energii E F : E F = hc λ c = 3 10 8 m/s h = 6. 63 10 34 J s Światło
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ
PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowogęstością prawdopodobieństwa
Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego
WYKŁAD 15 Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego 1 Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bosony
Bardziej szczegółowoStatystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego
Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bozony: fotony (kwanty pola elektromagnetycznego, których liczba nie jest zachowana mogą być pojedynczo pochłaniane lub tworzone. W konsekwencji,
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,
Bardziej szczegółowoNormalizacja funkcji falowej
Normalizacja funkcji falowej Postulaty mechaniki kwantowej Zadanie. Wyznacz stałą normalizacyjną i podaj postać funkcji unormowanej: Ψ = Ncosαx) dla x [, a] Opis sposobu rozwiązania zadania krok po kroku:.
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 6 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Anna Grochola, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2014/15
Bardziej szczegółowoFaculty of Applied Physics and Mathematics -> Department of Solid State Physics. dydaktycznych, objętych planem studiów
Nazwa i kod przedmiotu Kierunek studiów Mechanika kwantowa, NAN1B0051 Nanotechnologia Poziom studiów I stopnia - inżynierskie Typ przedmiotu obowiąkowy Forma studiów stacjonarne Sposób realizacji na uczelni
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 3 1 Równanie Schrödingera Chcemy znaleźć dopuszczalne wartości energii układu fizycznego, dla którego znamy energię potencjalną. Z zasady odpowiedniości znamy postać hamiltonianu. Wybieramy
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoWykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 3 Fakty nie są najważniejsze. Zresztą, aby je poznać, nie trzeba studiować na
Bardziej szczegółowoBudowa atomów. Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków
Budowa atomów Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków Model atomu Bohra atom zjonizowany (ciągłe wartości energii) stany wzbudzone jądro Energia (ev) elektron orbita stan podstawowy Poziomy
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowo