Zadania do konkurs grudniowego

Transkrypt

1 Zadanie 1 Oblicz : Zadanie Po dwukrotnej obniżce ceny towaru, za każdym razem o ten sam procent, jego cena końcowa stanowi 6% ceny pierwotnej O ile procent dokonano każdorazowo obniżki ceny towaru? Zadanie 3 Student musi zdać 31 egzaminów w ciągu 5 lat studiów W każdym kolejnym roku liczba egzaminów jest większa niż w roku poprzednim W piątym roku studiów liczba egzaminów jest 3 razy większa niż w pierwszym roku studiów Ile egzaminów musi student zdać w czwartym roku studiów Zadanie Suma dwóch ułamków wynosi Stosunek liczników tych ułamków wynosi : 3, a mianowników 3 : Wyznacz te ułamki Zadanie 5 W koło wpisano kwadrat i na tym kole opisano trójkąt równoboczny Suma długości boku trójkąta i boku kwadratu jest równa 1 cm Oblicz promień koła Zadanie 6 Suma kwadratów długości trzech boków trójkąta prostokątnego wynosi 7 Jaka jest długość przeciwprostokątnej? Zadanie 7 Wyznacz liczbę dzielników liczby 000 Zadanie 8 Wykaż, że jeżeli ostatnią cyfrą liczby naturalnej jest 7, to ostatnią cyfrą jej kwadratu jest 9 Czy zachodzi twierdzenie odwrotne? Zadanie 9 Błąd bezwzględny przybliżenia 5, liczby a nie przekracza 0,1, natomiast błąd bezwzględny przybliżenia 3,1 liczby b nie przekracza 0, Korzystając z tych informacji oszacuj wartość wyrażenia: a(a +b)

2 Zadanie 10 Rozwiąż równanie z niewiadomą x: x 9 15 * 5 Zadanie 11 Odsetki od dwóch kredytów o łącznej wartości zł wynoszą rocznie 3150zł, przy czym stopa procentowa w skali jednego roku jednego z kredytów jest równa 3%, a drugiego 3,5% Oblicz kwotę każdego z tych kredytów Zadanie 1 Suma cyfr liczby dwucyfrowej a jest równa 11 Liczba otrzymana po przestawieniu cyfr w liczbie a jest mniejsza od połowy liczby a Wyznacz liczbę a Zadanie 13 Znajdź takie trzy liczby pierwsze, których iloczyn jest pięć razy większy od ich sumy Zadanie 1 Do trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne mają długości AC 5 i BC 5 3, Dorysowano trójkąt równoboczny ADB Wykaż, że trójkąt BCD jest prostokątny Zadanie 15 Wykaż, że iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych zwiększony o 1 jest kwadratem liczby naturalnej Zadanie 16 Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych x, y, które spełniają równanie: x y 1 x y 1 7 Zadanie 17 Jakie są ostatnie cztery cyfry sumy: razy Zadanie 18 Z miejscowości odległych od siebie o km wychodzą jednocześnie na spotkanie osoby Pierwsza idzie z prędkością 90 m/min, a druga 60 m/min Równocześnie z pierwszą osobą wyrusza pies biegnący z prędkością 300 m/min Pies po dobiegnięciu do drugiej osoby zawraca i biegnie do osoby pierwszej, następnie znowu zawraca i biega tak do chwili, gdy osoby spotkają się Ile kilometrów przebiegnie pies? Zadanie 19 Znajdź tę wartość parametru k, dla której zbiorem rozwiązań nierówności: kx + 9 > (x + k) jest przedział,3

3 Zadanie 0 Pająk rozpina nitki pajęczyny we wnętrzu szklanego sześcianu Początek i koniec każdej nitki znajduje się bądź w wierzchołku, bądź na środku krawędzi, bądź na środku ściany, nigdy jednak na tej samej ścianie sześcianu Ile nitek może w ten sposób rozpiąć? Zadanie 1 W okręgu poprowadzono trzy cięciwy nie przecinające się, jak na rysunku Punkty K, L, M są środkami tych cięciw Uzasadnij, że kąty CKL i LMB są równe Zadanie Uzasadnij, że reszta z dzielenia kwadratu dowolnej liczby naturalnej przez 8 należy do zbioru 0, 1, Zadanie 3 Jeżeli prędkość pociągu zostanie zwiększona o 10km/h zyskuje się 0 minut na trasie Jeżeli prędkość zostanie zmniejszona o 10km/h traci się 1 godzinę Jaka jest długość trasy? Zadanie Podstawą trójkąta równobocznego jest średnica koła Oblicz stosunek pola części trójkąta leżącej na zewnątrz koła do pola części trójkąta leżącej wewnątrz koła Zadanie 5 Rozwiąż układ nierówności: x x 1 x 5 x Zadanie 6 Oblicz x i y wiedząc, że: 5 x3 1 y 5 oraz 5 y3x yx 5 Zadanie 7 Właściciel domu chcąc oszczędzić energię elektryczną, dokonał trzech usprawnień, które obniżyły wydatki na ogrzewanie domu kolejno o 0%, o 5% i o 55% O ile procent łącznie zmniejszyły się jego wydatki na ogrzewanie? Zadanie 8 Mydło mające kształt kuli zużyło się tak, że powstała kula o promieniu trzykrotnie mniejszym od początkowego Jaka część mydła została już zużyta? Podaj ile procent mydła zostało

4 Zadanie 9 Cztery osoby tworzą grupę podróżujących samochodem Prowadzą zmieniając się od czasu do czasu i każdy pokonuje odległość km Sylwia jedzie spokojnie i rozważnie Potrzebuje zawsze jednakowego czasu Christine potrzebuje 6 min mniej niż Sylwia Michał jedzie szybciej i potrzebuje 6 min mniej niż Christine Antoni jedzie całkowicie nieodpowiedzialnie Potrzebuje 6 min mniej niż Michał i jest dwa razy szybszy niż Christine Oblicz dla każdej osoby średnią prędkość Zadanie 30 Hektor ma teraz 50 lat Dowiaduje się, że średnia wieku w jego kraju wynosi 78 lat i co rok powiększa się o miesiące W którym roku jego wiek będzie równy średniej krajowej, jeżeli średnia wieku będzie wzrastać tak jak do tej pory? Zadanie 31 Odcinek łączący środki ramion trapezu rozcina ten trapez na dwie figury o polach m i 3m Oblicz pola figur, na które rozcina ten trapez jego przekątna Zadanie 3 Narysuj linię określoną równaniem: x y Oblicz jej długość Zadanie 33 Niech P = (a, b) będzie dowolnym punktem wykresu funkcji f(x) = -x+ a) Wyraź sumę odległości punktu P od osi układu współrzędnych jako funkcję zmiennej a i naszkicuj wykres tej funkcji b) Znajdź współrzędne takiego punktu należącego do wykresu funkcji f, którego suma odległości od osi układu współrzędnych jest równa 16 Zadanie 3 Połączono ramiona trapezu odcinkiem równoległym do podstaw w stosunku :3 od górnej podstawy Oblicz długość tego odcinka, jeśli podstawy maja długości a, b i a > b Zadanie 35 Udowodnij, że jeśli dwie środkowe trójkąta przecinają się pod kątem prostym, to suma kwadratów długości tych boków trójkąta, do których poprowadzono te środkowe jest 5 razy większa niż kwadrat długości trzeciego boku

5 Zadanie 36 Podczas turnieju piłkarskiego rozegrano łącznie 30 spotkań Drużyny zostały podzielone na dwie równoliczne grupy W jednej z grup każda z drużyn rozegrała z każdą inną po dwa mecze, a w drugiej po trzy mecze Ile drużyn brało udział w całym turnieju? Zadanie 37 Naszkicuj wykres funkcji x x g ( x) x, x x dla x R Zadanie 38 Uzasadnij, że liczba n n 1 1 jest nieparzysta dla dowolnej liczby nn Zadanie 39 Do roztworu wodnego soli kuchennej o stężeniu p% dodano 0,5 kg soli i otrzymano roztwór o stężeniu 1,5 p% Ile jest w tym roztworze (do którego dodawano sól) soli, a ile wody? Zadanie Podaj elementy zbioru A, jeśli x x N 3 x 5 3x 5 Zadanie 1 Narysuj wykres funkcji: max 5 x, f ( x) 0 jeśli max a, b 199 A : 9 5 dla x, dla x,, a dla a b b dla a b Zadanie Pola powierzchni trzech ścian prostopadłościanu wynoszą odpowiednio 80 3, 360, 00 6 Oblicz długości boków tego prostopadłościanu oraz jego objętość Zadanie 3 Wiedząc, że punkty A i B dzielą półokrąg na trzy równe części oblicz pole zacieniowanej figury

6 Zadanie Sporządź wykres funkcji, która liczbie a przyporządkowuje liczbę pierwiastków równania x 6 x x 6 a Zadanie 5 Znajdź trzy liczby, z których druga jest większa od pierwszej o tyle, o ile trzecia jest większa od drugiej i o których wiadomo, że iloczyn dwóch mniejszych liczb jest równy 85, iloczyn zaś dwóch większych 115 Zadanie 5 Udowodnij, że jeśli a b a b c, to a b a c a c b c b c, dla b c Zadanie 6 Dane są dwa okręgi O 1 i O o wspólnym środku Cięciwa większego okręgu styczna do mniejszego ma długość 10 cm Oblicz pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te okręgi Zadanie 7 Pani Jola podjęła nową pracę Dyrektor zaproponował jej dwa warianty otrzymywania wynagrodzenia: I wariant: 100 zł od razu i co rok podwyżka o 100 zł II wariant; 900 zł i co kwartał podwyżka o 10% Który wariant będzie korzystniejszy dla pani Joli i o ile, zakładając, że pragnie ona pracować w tej firmie tylko dwa lata? Zadanie 8 Różnica dwóch liczb całkowitych nieparzystych jest podzielna przez 5 Jaką cyfrę jedności ma różnica sześcianów tych liczb? Odpowiedź uzasadnij Zadanie 9 Udowodnij, że jeżeli funkcja f: R R jest nieparzysta i ma okres s, to liczby ms, gdzie m є C są miejscami zerowymi funkcji f Zadanie 50 Rozwiąż nierówność x x 8 Zadanie 51 Punkt X jest dowolnym punktem leżącym wewnątrz równoległoboku ABCD Wykorzystując nierówność trójkąta uzasadnij, że AX < BX + CX + DX

7 Zadanie 5 Ile jest liczb całkowitych, dla których wyrażenie: liczbowy? x x ma sens Zadanie 53 Wyznacz wszystkie liczby całkowite x spełniające jednocześnie warunki: -x 0 i (3 x ) x 11 O ile procent największa z tych liczb jest większa od najmniejszej z nich? Zadanie 5 Oblicz: : : : : Zadanie 55 Poruszamy się robiąc kroki tej samej długości i po każdym kroku obracamy się o 1 o w lewo Jaki jest tor naszego ruchu? Zadanie 56 Oblicz pole obszaru ograniczonego prostymi o równaniach: y=3x-9 oraz dodatnimi półosiami układu współrzędnych i y=x+6 Zadanie 57 Karawana o długości 1 km idzie przez pustynię z prędkością km/h Co jakiś czas od czoła karawany do jej końca i z powrotem biega pies z prędkością 6 km/h Jaką drogę przebywa pies i w jakim czasie? Zadanie 58 Narysuj wykres, wyznacz zbiór wartości i miejsca zerowe funkcji określonej wzorem: 1x 3 y 16x 8x 1 Zadanie 59 x 1 Rozwiąż równanie: 5, gdzie x oznacza część całkowitą liczby x Zadanie 60 Udowodnij, że liczba jest podzielna przez 10 Zadanie 61 Dwie kolejne obniżki ceny towaru o p% i q% można zastąpić jednorazową obniżką ceny o x% Oblicz x

8 Zadanie 6 Oblicz kąty rombu, w którym stosunek obwodu do sumy długości przekątnych wynosi Zadanie 63 Znajdź wszystkie liczby pierwsze p i q takie, że p jest dzielnikiem q+1 i q jest dzielnikiem p+1 Zadanie 6 x x a) Narysuj wykres funkcji f x 1 x ; x b) Określ liczbę rozwiązań równania f(x) = m, (mr) w zależności od parametru m Zadanie 65 Rozwiąż równanie 3 Zadanie 66 x Jaś wypił 6 1 filiżanki kawy i uzupełnił ją mlekiem Następnie wypił 3 1 tej filiżanki i znowu dolał mleka do pełna Potem wypił połowę tej filiżanki i uzupełnił ponownie mlekiem, po czym wypił całą jej zawartość Czego Jaś wypił więcej: kawy czy mleka? Zadanie 67 Uzasadnij, że suma jest liczbą podzielną przez Zadanie 68 W równoległoboku ABCD bok AB jest dwa razy większy od BC Punkt M dzielący bok AB na połowy połączono z punktami C i D Uzasadnij, że kąt CMD jest prosty Wykonaj rysunek pomocniczy Zadanie 69 Oznaczmy przez - największą liczbę pierwszą, nie większą od x, a przez - najmniejszą liczbę pierwszą, nie mniejszą od x Ile to jest Zadanie 70 Podaj elementy zbioru A, jeśli x 3 A x : x N i x i x 6 3 Zadanie 71 Wykaż, że liczba jest liczbą podzielną przez 6

9 Zadanie 7 Naszkicuj wykres funkcji podanej wzorem f ( n) NWD(0, n) n Zadanie 73 W trójkącie prostokątnym okrąg o promieniu r jest styczny do obu przyprostokątnych, a jego środek leży na przeciwprostokątnej i dzieli ją w stosunku m:n Oblicz pole trójkąta Zadanie 7 Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych, których suma czwartych potęg jest razy większa od sumy ich kwadratów test wyboru Zadanie 1 3 Liczby a, b, c, d są takie, że abc i abcd 10 Liczba d jest równa : A 5 B 100 C 6 D 5 Zadanie Funkcja f(n) przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n 1 liczbę liczb pierwszych mniejszych od n Wtedy f(3) jest równe : A 6 B 7 C 8 D 9 Zadanie 3 Jeżeli, to A x = 997 B x = 779 C x = 9 D x = 99 Zadanie Równanie x- -1 = a posiada dokładnie trzy pierwiastki Jaka jest wartość parametru a? A 0 B 3 C1 D,5 Zadanie 5 Tomek i Jacek mieli dwie jednakowe prostokątne kartki Każdy z nich przeciął swoją kartkę na dwie prostokątne części Obwód każdej z kartek otrzymanych przez Tomka był równy 0 cm, a każdej z kartek otrzymanych przez Jacka był równy 50 cm Jaki był obwód każdej z kartek przed rozcięciem? A100cm B 50cm C60cm D80cm