ANALIZA DYNAMICZNA BUDYNKÓW WYSOKICH USZTYWNIONYCH KONSTRUKCJAMI ŚCIANOWYMI PRZY WYKORZYSTANIU MODELU DYSKRETNO-CIĄGŁEGO

Transkrypt

1 ANALIZA YNAMICZNA BUYNKÓW WYSOKICH USZTYWNIONYCH KONSTRUKCJAMI ŚCIANOWYMI PRZY WYKORZYSTANIU MOELU YSKRETNO-CIĄŁEO Jacek WOWICKI, ElŜbieta WOWICKA Instytut Konstrukcji Budowlanych, Politechnika Poznańska 1. WPROWAZENIE W pracy analizuje się budynki wysokie usztywnione przestrzennymi układami ścianowymi z nadproŝami i złączami podatnymi (rys.1). Konstrukcje usztywniające są złoŝone z dowolnie rozmieszczonych w planie, wspornikowo zamocowanych u podstawy pionowych ścian. Ściany połączone są poziomymi tarczami stropowymi. Niektóre lub wszystkie ściany mogą być połączone pionowymi złączami niepodatnymi oraz odkształcalnymi, pionowymi pasmami łączącymi. Pasmami łączącymi mogą być na przykład pionowe rzędy nadproŝy, równomiernie rozłoŝonych wzdłuŝ wysokości i utwierdzonych w ścianach, lub pionowe podatne złącza. Szczegółową klasyfikację oraz porównanie modeli obliczeniowych i metod analizy układów usztywniających budynki wysokie znaleźć moŝna w pracach o charakterze przeglądowym [Cou67, Cou73, Cou83, Lis68, ACI71, Sta72, Sta91d]. W pracach tych metody analizy ścianowych konstrukcji usztywniających dzieli się na wykorzystujące dyskretne lub ciągłe modele konstrukcji. o pierwszej grupy naleŝy metoda analogii ram o szerokich słupach oraz metoda elementów skończonych. Reprezentantami drugiej grupy są metoda ciągłych połączeń i metoda pasm skończonych. W budynkach wysokich usztywnionych konstrukcjami ścianowymi, rozkład sztywności jest ciągły, natomiast rozkład mas, ze względu na ich skupienie na poziomach stropów dyskretny. Te własności budynków wysokich wykorzystuje opisana w pracy metoda dyskretno-ciągła [Aks03, Li96b]. W metodzie tej macierz podatności, którą dla ścianowej konstrukcji usztywniającej łatwiej obliczyć niŝ macierz sztywności, wyznacza się na podstawie metody ciągłych połączeń, natomiast macierz bezwładności zgodnie z rzeczywistym rozkładem mas w budynku. 2. ALORYTM METOY Obliczenia prowadzi się w prawoskrętnym układzie współrzędnych OXYZ o początku w poziomie utwierdzenia i osi Z skierowanej do góry.

2 Rys. 1. Model dynamiczny budynku wysokiego: 1 element usztywniający, 2 pasmo nadproŝy, 3 strop Wykorzystuje się dynamiczny model dyskretny [Cie89b, Wdo84b] z masami w postaci tarcz stropowych o bezwładnościach translacyjnych i rotacyjnych. Przyjęcie modelu dyskretnego uzasadnione jest faktem, Ŝe ponad połowa masy budynku skupiona jest na poziomie stropów. Pozwala to uwzględniać nieregularny, na niektórych kondygnacjach, rozkład tarcz stropowych wzdłuŝ wysokości budynku, zgodny z rzeczywistym rozkładem stropów w budynku. Analizuje się sprzęŝone giętno-skrętne drgania obiektu, opisywane zwykle równaniem ruchu w postaci M x& + Cx& + Kx = f & (1) gdzie: M - macierz bezwładności, C - macierz tłumienia, K - macierz sztywności, x - d-elementowy wektor uogólnionych współrzędnych (d - liczba dynamicznych stopni swobody układu), f - d-elementowy wektor uogólnionych sił wymuszających, odpowiadających uogólnionym współrzędnym.

3 Ze względu na fakt, Ŝe dla rozpatrywanej konstrukcji łatwiej jest wyznaczyć macierz podatności posłuŝono się równaniem ruchu układu o wielu stopniach swobody, z wykorzystaniem tej macierzy, w postaci [Clo93] gdzie: - macierz podatności. M x& + Cx& + x = f & (2) 2.1. Macierz podatności Macierz podatności jest budowana w programie przez d-krotne rozwiązanie zadania statycznego metody ciągłych połączeń ścianowego układu usztywniającego [Wdo93b, Wdo93i]. W celu wyznaczenia macierzy przykłada się poziome siły jednostkowe na poziomach h poszczególnych stropów. Rozwiązaniu podlega następujący układ równań róŝniczkowych dla h z H B n ( z) + An ( z) = 0 v ( z) = V n ( z) (3) N i dla 0 z h B n ( z ) + An ( z) = F v ( z) = V t V n ( z) T K N T t K (4) z odpowiadającymi im warunkami brzegowymi dla sił n n (0) = 0 = n n n ( H ) = 0 = n i dla przemieszczeń v v (0) = 0 = v v v (0) = 0 = v v v ( H) = 0 = v gdzie h rzędna punktu przyłoŝenia uogólnionego obciąŝenia, A, B, V N, V T, F T macierze zaleŝne od konstrukcji (patrz [Wdo93a]), tk macierz obciąŝeń, tk = diag (1,1,1), n(z), n(z) macierze zawierające nieznane funkcje intensywności sił ścinających w ciągłych połączeniach, V (z), V (z) macierze zawierające nieznane funkcje poziomych przemieszczeń konstrukcji.

4 uŝe litery, wskazują funkcje odnoszące się odpowiednio do górnej (z > h) i do dolnej (z h) części konstrukcji Macierz bezwładności Wykorzystując własności masowe ścian usztywniających, pionowych pasm nadproŝy, pionowych złączy podatnych i płyt stropowych, budowana jest quasi-diagonalna macierz bezwładności całego budynku. Ma ona strukturę blokową w postaci M = = diag( M k ) ( k 1,..., n k ) (5) gdzie n k liczba kondygnacji. Podmacierz M k jest symetryczną macierzą rzędu trzy. efiniuje ona własności bezwładnościowe k-tej kondygnacji. Jej elementy są wyznaczane w następujący sposób: gdzie: M M ) h k = M k = M t + ( M 1,1 2, 2 u + M = M = S ( S + S ) h k k Mt Mu Mw u 3, 1 1, 3 w X X X M = M = S ( S + S ) h 3, 2 2, 3 Y Y Y Mk = Jt + ( Ju + Jw) h 3, 3 u M = M = 0 k k Mt Mu Mw u k k 1, 2 2, 1 M t masa stropu, M u masa wszystkich ścian usztywniających układu usztywniającego o wysokości jednostkowej, M w masa wszystkich pionowych pasm nadproŝy i pionowych złączy podatnych układu usztywniającego o wysokości jednostkowej, SMtx,, SMty masowe momenty statyczne stropów, S Mux, S Muy masowe momenty statyczne wszystkich ścian usztywniających układu usztywniającego o wysokości jednostkowej, S Mwx, S Mwy masowe momenty statyczne wszystkich pionowych pasm nadproŝy i pionowych złączy podatnych układu usztywniającego o wysokości jednostkowej, Jt masowy biegunowy moment bezwładności względem osi Z stropów, Ju masowy biegunowy moment bezwładności względem osi Z wszystkich ścian usztywniających układu usztywniającego o wysokości jednostkowej, J w masowy biegunowy moment bezwładności względem osi Z wszystkich pionowych pasm nadproŝy i pionowych złączy podatnych układu usztywniającego o wysokości jednostkowej, u

5 2.3. Odpowiedź dynamiczna Po wyliczeniu częstości i postaci drgań własnych wyznaczana jest odpowiedź dynamiczna układu na podstawie metody spektrum odpowiedzi, uogólnionej na przypadek przestrzenny z wykorzystaniem wskazówek podanych w [Clo93]. 3. BUOWA PRORAMU Obliczenia wykonuje się przy uŝyciu programu BW dla Windows. Program ten umoŝliwia analizowanie budynków wysokich, których konstrukcje usztywniające zawierają dowolnie rozmieszczone w rzucie ściany i/lub trzony oraz złącza podatne i nadproŝa. Program BW dla Windows składa się z dwudziestu czterech modułów pierwszego rzędu. Poszczególne moduły programu komunikują się między sobą za pomocą jednego pliku binarnego, zakładanego dynamicznie dla kolejnych obliczanych danych. Obliczenia są realizowane w dwóch zasadniczych etapach. Etap pierwszy obejmuje wczytanie i weryfikację danych, a drugi obliczenia zasadnicze i wizualizację wyników 3.1. Wczytanie i weryfikacja danych Etap pierwszy zawiera następujące kroki: moduł AT1: czytanie i sprawdzanie formalne danych oraz diagnostyka błędów dla danych opisujących konstrukcję i spektrum odpowiedzi, moduł AT2: czytanie i sprawdzanie formalne danych oraz diagnostyka błędów dla danych opisujących obciąŝenia statyczne i zestawy osiadań, moduł ECHO: wydruk danych w postaci zredagowanej. Po zakończeniu etapu pierwszego moŝna sprawdzić poprawność wczytania konstrukcji usztywniającej za pomocą oglądu wizualizacji przeprowadzanych przez preprocesor BW7S Obliczenia zasadnicze i wizualizacje wyników Etap drugi obliczeń obejmuje następujące kroki obliczeniowe: moduł CHAR: obliczenie charakterystyk geometrycznych zespołów ścian usztywniających połączonych złączami niepodatnymi, moduł COEF: obliczenie zaleŝnych od konstrukcji macierzy B i A występujących w równaniu: B n"(z) - A n(z) = f(z), moduł LOA: obliczenie wektorów obciąŝeń statycznych f(z), moduł EI1: rozwiązanie uogólnionego problemu własnego (A - λb) y = 0, odpowiadającego układowi równań róŝniczkowych opisującemu zachowanie się ciągłego modelu układu usztywniającego, moduł PSOL: obliczenie współczynników rozwiązań szczególnych i stałych całkowania, moduł SSOL: obliczenie wartości n(z) oraz v'''(z) dla kolejnych schematów obciąŝeń, moduł ISP: obliczenie wartości całek n, n i funkcji v", v', v, moduł SSTR: obliczenie sił normalnych i napręŝeń σ z, τ, σ 1, σ 2 w elementach usztywniających, moduł SFOR: obliczenie sił przekrojowych M X, M Y, B, T X, T Y, M ω, M SV w elementach usztywniających, moduł MASS: generowanie macierzy bezwładności z uwzględnieniem translacyjnych i rotacyjnych stopni swobody,

6 moduły EI2 i FLEX: generowanie macierzy podatności konstrukcji usztywniającej na podstawie ścisłych rozwiązań układu równań róŝniczkowych metody ciągłych połączeń dla konstrukcji obciąŝanej jednostkowymi siłami skupionymi i jednostkowymi momentami działającymi w poziomach tarcz stropowych. Równania róŝniczkowe są konsekwentnie rozprzęgane, moduł SOL: obliczanie sił ścinających w nadproŝach n oraz przemieszczeń poziomych v i ich pochodnych v, v", v''' dla obciąŝeń konstrukcji w postaci sił jednostkowych, moduł FREQ: wyznaczenie częstości i postaci drgań własnych przez rozwiązanie uogólnionego problemu własnego dla macierzy symetrycznych, moduł STRE: obliczenie sił normalnych i napręŝeń normalnych, stycznych i głównych (σ z, τ, σ 1, σ 2 ) w charakterystycznych punktach elementów usztywniających konstrukcji obciąŝonej siłami jednostkowymi, moduł SEIS: wyliczenie modalnych współczynników udziału i modalnych obciąŝeń konstrukcji P ki, odpowiadających zadanemu projektowemu spektrum odpowiedzi. Wyliczenie wartości n, v, σ z, τ dla zadanej liczby postaci drgań, a następnie oszacowanie wywołanej przez ruch podłoŝa odpowiedzi konstrukcji za pomocą określonej w danych metody sumowania modalnego, moduł MOI: generowanie wspólnych tablic adresów v, n, σ z, τ dla obciąŝeń statycznych i dynamicznych, moduł RES1: wydruk częstości oraz postaci drgań własnych i ich schematów, moduł ROU: modyfikacja tablic v, σ oraz sił przekrojowych: z tablic dla schematów obciąŝeń na tablice dla elementów usztywniających, moduł EXTR: obliczenie wartości ekstremalnych dla zadanych wariantów ekstremów, moduł RES2: wydruk wyników końcowych w postaci tablic. Po zakończeniu obliczeń numerycznych, moŝna przedstawiać wyniki obliczeń w postaci graficznej za pomocą postprocesorów: moduł BW7V: wizualizacje przemieszczeń, moduł BW7S: wizualizacje napręŝeń, moduł BW7F: wizualizacje rozkładów wzdłuŝ wysokości przemieszczeń budynku oraz sił w nadproŝach i złączach podatnych, ich pochodnych i całek, a takŝe funkcji obciąŝeń i funkcji sprawdzających. 4. ZASTOSOWANIE PRORAMU 4.1. Obliczenia testowe Przykłady obliczeń przy uŝyciu programu BW dla Windows w zakresie drgań własnych przedstawiono w [Wdo84b], a w zakresie drgań wymuszonych w [Wdo91, Wdo93f]. Program wykorzystywano równieŝ do przeprowadzania analiz porównawczych [Wdo05] Budynek mieszkalny o 17-tu kondygnacjach Na rys. 2 pokazano rzut analizowanego przy wykorzystaniu programu 17-to kondygnacyjnego budynku mieszkalnego, usytuowanego w odległości ok. 10 m od projektowanej linii metra w Warszawie. Okresy drgań własnych odpowiadające czterem pierwszym postaciom własnym wynosiły odpowiednio: T 1 = s (FI), T 2 = s (VY), T 3 = s (VX),

7 T 4 = s (FI), przy czym w nawiasach określono charakter dominującego przemieszczenia. Stwierdzono porównywalną odporność budynku na fale parasejsmiczne o róŝnych kierunkach. Rys. 2. Rzut budynku mieszkalnego 4.3. Budynek biurowy o 79-ciu kondygnacjach i-wang Tower (nazywany teŝ Shun Hing Square), został oddany do uŝytku w 1996 roku. Jest 79-cio kondygnacyjnym budynkiem biurowym wchodzącym w skład kompleksu trzech budynków i - Wang evelopment. Zasadnicza część budynku ma 324,8 m wysokości, co daje mu ósme miejsce wśród 100 najwyŝszych budynków świata, trzecie wśród najwyŝszych budynków Chin (rys. 3). Budynek ze względu na jego małą sztywność analizowany był w szeregu prac [Kim95, Li02, Li04c, Li04d, Li05, Li05d, Xu03c]. Rzut budynku (rys. 4) składa się z części prostokątnej o wymiarach 43,5 x 35,5 m, oraz dwóch bocznych półkoli o promieniu 12,5 m. Rozkład napręŝeń w budynku od fali sejsmicznej działającej w kierunku prostopadłym do dłuŝszego boku budynku przedstawia rys. 5, wykonany przy zastosowaniu jednego postprocesorów graficznych wbudowanych w program, przeznaczonych do wizualizacji wyników.

8 Rys. 3. Widok budynku biurowego

9 Rys. 4. Rzut budynku biurowego Rys. 5. Rozkład napręŝeń w budynku od fali sejsmicznej działającej w kierunku prostopadłym do dłuŝszego boku budynku

10 5. POSUMOWANIE Przebieg zastosowań programów BW dla Windows potwierdził zalety dyskretnociągłego modelu konstrukcji jako dogodnego narzędzia w procesie projektowania konstrukcji wielokondygnacyjnych budynków wysokich usztywnionych złoŝonymi, przestrzennymi konstrukcjami ścianowymi z nadproŝami i/lub trzonami. Tarcze stropowe mogą znajdować się na dowolnych rzędnych wzdłuŝ wysokości budynku, zgodnie z rzeczywistym rozkładem stropów w budynku. Budynki mogą być poddane obciąŝeniom statycznym i dynamicznym od wymuszeń sejsmicznych lub parasejsmicznych. Sztywność konstrukcji określana jest na podstawie ścisłego rozwiązania równań róŝniczkowych opisujących przemieszczenia modelu ciągłego konstrukcji przestrzennej. Analizuje się sprzęŝone giętno-skrętne drgania obiektu. Obliczenia są wykonywane na podstawie metody spektrum odpowiedzi. Program wyznacza wszystkie wyniki potrzebne do zaprojektowania konstrukcji usztywniającej budynku: przemieszczenia, siły w nadproŝach, napręŝenia w ścianach i oddziaływania na fundament. Preprocesory systemu umoŝliwiają "przechwytywanie" opisu konstrukcji z rysunków budynku oraz ułatwiają generowanie obciąŝeń poziomych (od parcia wiatru) i pionowych (od cięŝaru własnego obiektu i obciąŝeń uŝytkowych). zięki prostej postaci danych, których pozyskiwanie jest wspomagane preprocesorami graficznymi, i krótkim czasom obliczeń program moŝe być wykorzystany do analizy wielu wariantów projektowanej konstrukcji. Krótki czas uzyskiwania wyników analiz oraz wykorzystanie postprocesorów, umoŝliwiających graficzną prezentację wyników, pozwalają na szybką, interaktywną analizę otrzymywanych rezultatów oraz określanie fragmentów konstrukcji wymagających modyfikacji. Przejrzyste tablice wyników liczbowych umoŝliwiają łatwe i bezbłędne wymiarowanie ścian i nadproŝy budynku oraz stanowią wymaganą dokumentację obliczeń. LITERATURA ACI71. Response of Buildings to Lateral Forces (Reported by ACI Committee 442), J. of the American Concrete Institute, 68 (1971) Aks03. Aksogan, O. Arslan, H.M.; Choo, B.S.: Forced vibration analysis of stiffened coupled shear walls using continuous connection method, Engineering Structures, 25, 4 (2003) Cie89b. Ciesielski R., Maciąg E., Tatara T.: Wpływ złączy i otworów na cechy dynamiczne wysokich ścianowych budynków prefabrykowanych, w: XXXV Konf. Nauk. KILiW PAN i KN PZITB, Krynica 1989, tom 1, Clo93. Clough R.W., Penzien J.: ynamics of Structures, Mcraw-Hill, New York, Cou67. Coull A., Stafford Smith B.: Analysis of shear wall structures (a review of previous research), in: Tall Buildings, , Pergamon Press Cou73. Coull A., Puri R.., Tottenham H.: Numerical elastic analysis of coupled shear walls, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Part 2, 55 (1973) Cou83. Coull A., Stafford Smith B.: Tall buildings 1, in: Handbook of Structural Concrete, Pitman, London 1983, Kim95. Kimura I.: Management of high rise buildings in South East Asia i Wang evelopment, in: Proc. of the Fifth World Congress "Habitat and High- Rise: Tradition and Innovation", Council on Tall Buildings and Urban Habitat, May 14-19, 1995, Amsterdam,

11 Li96b. Li02. Li04c. Li04d. Li.-Q., Choo B.S.: A continuous-discrete approach to the free vibration analysis of stiffened pierced walls on flexible foundations, Int. J. Solids and Structures, 33, 2 (1996) Li, Q.S., Yang K., Zhang N., Wong C.K., Jeary A.P.: Field measurements of amplitude-dependent damping in a 79-storey tall building and its effects on the structural dynamic responses, Structural esign of Tall Buildings, 11, 2 (2002) Li Q. S.,Wu J. R.: Correlation of dynamic characteristics of a super-tall building from full-scale measurements and numerical analysis with various finite element models, Earthquake Engng & Struct. yn.; 33, (2004) Li Q.S., Xiao Y.Q., Wong C.K.,Jeary A.P.: Field measurements of typhoon effects on a super tall building, Engineering Structures, 26 (2004) Li05. Li Q.S., Xiao Y.Q., Wong C.K., Hau S.K., Jeary A.P.: Serviceability of a 79- storey tall building under typhoon conditions, Proc. Instn Civ. Engrs: Structs & Bldgs, 158, SB4 (2005) Li05b. Lis68. Sta72. Sta91d. Q.S. Li, Y.Q. Xiao, C.K. Wong: Full-scale monitoring of typhoon effects on super tall buildings, Journal of Fluids and Structures, 20 (2005) Lis Z.: Przegląd nowszych badań nad pracą przepon usztywniających w budynkach wielokondygnacyjnych, Zesz. Nauk. Polit. Pozn., Bud. Ląd., 12 (1968) Stamato M.C.: Three dimensional analysis of tall buildings, Proc. of the Int. Conf. on Planning and esign Tall Buildings held at Lehigh University, vol.iii, ASCE IABSE (1972) Stafford-Smith B., Coull A.: Tall Building Structures: Analysis and esign, Wiley, New York Wdo93a. Wdowicki J.: Analiza statyczna przestrzennych układów ścianowych z nadproŝami. Część I. Równania problemu, Met. Komp. w InŜ. Ląd., 3, 1 (1993) Wdo93b. Wdowicki J.: Analiza statyczna przestrzennych układów ścianowych z nadproŝami. Część II. Rozwiązania równań problemu, Met. Komp. w InŜ. Ląd., 3, 1 (1993) Wdo84b. Wdo91. Wdo93f. Wdo93i. Wdo05. Xu03c. Wdowicki J., Wdowicka E., Wrześniowski K.: "Free vibration of unsymmetrical multistorey shear wall buildings", in: Proc. Third Int. Symp. on "Wall Structures", CIB, Warsaw, June 1984, vol.ii, Wdowicki J., Wdowicka E.: Integrated system for analysis of three-dimensional shear wall structures, Comp. Meth. in Civil Engineering, 1, 3-4 (1991) Wdowicki J., Wdowicka E.: AMB - system programów do analizy sejsmicznej budynków wysokich usztywnionych konstrukcjami ścianowymi z nadproŝami, InŜ. i Bud., 50, 1 (1993) Wdowicki J., Wdowicka E.: System of programs for analysis of three-dimensional shear wall structures, The Structural esign of Tall Buildings, 2, 4 (1993) Wdowicka E.M., Wdowicki J.A., Błaszczyński T.Z.: Seismic analysis of the "South ate" tall building according to Eurocode 8, The Structural esign of Tall and Special Buildings, 14, 1 (2005) Xu Y. L., Chen S. W., Zhang R. C.: Modal identification of i Wang Building under Typhoon York using the Hilbert-Huang transform method, The Structural esign of Tall and Special Buildings, 12, 1 (2003)