ANALIZA KONSTRUKCJI USZTYWNIAJĄCYCH BUDYNKI WYSOKIE PRZY WYKORZYSTANIU MODELI DYSKRETNYCH I MODELI CIĄGŁYCH

Transkrypt

1 V Konferencja Naukowo-Techniczna Programy MES w komputerowym wspomaganiu analizy, projektowania i wytwarzania ANALIZA KONSTRUKCJI USZTYWNIAJĄCYCH BUDYNKI WYSOKIE PRZY WYKORZYSTANIU MODELI DYSKRETNYCH I MODELI CIĄGŁYCH Jacek Wdowicki, Elżbieta Wdowicka Instytut Konstrukcji Budowlanych, Politechnika Poznańska jacek.wdowicki@put.poznan.pl 1. Wstęp W pracy analizuje się przestrzenne układy ścianowe z nadprożami, usztywniające budynki wysokie (rys.1). Konstrukcje takie są złożone z dowolnie rozmieszczonych w planie, wspornikowo zamocowanych u podstawy pionowych ścian. Ściany połączone są poziomymi tarczami stropowymi. Niektóre lub wszystkie ściany mogą być połączone pionowymi złączami niepodatnymi oraz odkształcalnymi, pionowymi pasmami łączącymi. Pasmami łączącymi mogą być na przykład pionowe rzędy nadproży, równomiernie rozłożonych wzdłuż wysokości i utwierdzonych w ścianach, lub pionowe podatne złącza. Rys.1. Schemat przestrzennego układu ścianowego z nadprożami usztywniającego budynek wysoki: 1 element usztywniający, 2 pasmo nadproży, 3 ślad tarczy stropowej 223

2 Jacek Wdowicki, Elżbieta Wdowicka Szczegółową klasyfikację oraz porównanie modeli obliczeniowych i metod analizy układów usztywniających budynki wysokie znaleźć można w pracach o charakterze przeglądowym [Cou67, Cou73, Cou83, Lis68, ACI71, Sta72, Sta91d]. Fragmenty obejmujące przegląd metod analizy zawierają również prace [Paw75, Sie76, Win77, Win77b, Lis74, Ros75]. W pracach tych metody analizy ścianowych konstrukcji konstrukcji usztywniających dzieli się na wykorzystujące dyskretne lub ciągłe modele konstrukcji. Do pierwszej grupy należy metoda analogii ram o szerokich słupach oraz metoda elementów skończonych. Reprezentantami drugiej grupy są metoda ciągłych połączeń i metoda pasm skończonych. Podsumowanie wiedzy o projektowaniu budynków wysokich było celem przygotowania przez Council on Tall Buildings and Urban Habitat pięciotomowej monografii [CTBUH]. Ten sam Instytut wydaje co kilka lat opracowania będące uzupełnieniem monografii [CTB83, CTB86, CTB86b, CTB88, CTB90, CTB95, CTB96]. Ostatnio pod patronatem Council rozpoczęto wydawanie nowej serii wydawniczej [CTB92], której poszczególne pozycje odpowiadają znacznie rozbudowanym rozdziałom monografii, i która ma w przyszłości zastąpić monografię. 2. Opis konstrukcji Układ usztywniający stanowi zespół pionowych ścian usztywniających, utwierdzonych we fundamencie i swobodnych na szczycie budynku. Ściany usztywniające mogą być dowolnie rozmieszczone w planie i połączone między sobą pionowymi złączami niepodatnymi. W układzie mogą występować pionowe pasma nadproży utwierdzonych w ścianach usztywniających oraz pionowe pasma złączy podatnych. Zwykle stropy oraz nadproża są dostatecznie gęsto i równomiernie rozmieszczone wzdłuż wysokości, co pozwala ich oddziaływanie na ściany usztywniające zastąpić obciążeniem rozłożonym w sposób ciągły. Najczęściej można założyć, że ściany usztywniające posadowione są na tym samym poziomie, mają jednakową wysokość i stały przekrój oraz stałe cechy materiałowe wzdłuż wysokości. Rozpatruje się pracę konstrukcji usztywniającej budynku w zakresie odkształceń liniowo-sprężystych i małych przemieszczeń. Układ może być poddany działaniu: obciążeń poziomych skupionych, działających na szczycie budynku, obciążeń poziomych, dowolnie rozłożonych wzdłuż wysokości budynku, obciążeń pionowych, dowolnie rozłożonych w planie i wzdłuż wysokości budynku oraz pionowych osiadań fundamentów. 3. Obliczenia przy wykorzystaniu modeli dyskretnych Niewiadomymi w metodach wykorzystujących modele dyskretne układów usztywniających są wartości sił poprzecznych w poszczególnych nadprożach oraz przemieszczenia wybranych punktów konstrukcji. Wadami modeli dyskretnych są wielkie i rosnące wraz z liczbą kondygnacji rozmiary układów algebraicznych równań liniowych oraz pogarszanie się uwarunkowania macierzy sztywności przy wzroście smukłości konstrukcji. W metodzie ram o szerokich słupach (ang. wide-column frame method) [Mac77b, Mac90, Cha96] każda ściana jest zastępowana przez usytuowany wzdłuż osi ciężkości pionowy element o równoważnej sztywności na zginanie i ścinanie. Szerokość ściany jest uwzględniana przez wprowadzenie sztywnych na zginanie odcinków poziomych o długości równej szerokości ściany, sztywno połączonych ze słupami na poziomie każdego stropu. Sztywne odcinki przyległych ścian są połączone przegubowo, w celu przeniesienia pionowego ścinania i zachowania zgodności przemieszczeń ścian. Należy zauważyć, że metoda ta może nie odzwierciedlać dokładnie zachowania się trzonów cienkościennych [Cou83c]. Ponadto przy analizie konstrukcji jako ramy przestrzennej zadanie staje się zwykle bardzo duże i rozwiązanie jest często zbyt kosztowne [Che83, Vij95]. W metodzie elementów skończonych konstrukcja jest modelowana przy pomocy dużej liczby małych elementów, tarczowych dla ścian, ramowych dla nadproży i płytowych dla stropów. Pomimo, że metoda elementów skończonych jest najbardziej uniwersalnym dostępnym narzędziem analizy konstrukcji, inżynierowie projektujący budynki wysokie uważają jej standardowe zastosowanie za kłopotliwe. Jednym z powodów jest to, że układ usztywniający budynku musi być modelowany przy wykorzystaniu elementów tarczowych dla ścian i elementów ramowych dla łączących je belek. W celu zmniejszenia związanych z tym trudności opracowano specjalne elementy płaskie, przeznaczone do modelowania ścian usztywniających połączonych nadprożami [Ha89, Kwa94b]. Metoda elementów skończonych generalnie wymaga znacznie większego nakładu pracy obliczeniowej niż pozostałe metody. Wielkość zadań obliczeniowych powstających podczas obliczania budynków wysokich obliczanych metodą elementów skończonych, charakteryzują parametry opisujące obliczenia budynku dwudziestokondygnacyjnego zrealizowane w Paryżu przez firmę Computas przy wykorzystaniu systemu SESAM-69 [Ses78]: 224

3 Analiza konstrukcji usztywniających budynki wysokie przy wykorzystaniu modeli dyskretnych i modeli ciągłych - liczba punktów węzłowych: , - liczba stopni swobody: ~ , - liczba elementów bazowych: , - liczba superelementów pierwszego poziomu: 48, - liczba poziomów superelementów: 8, - liczba superelementów wyższych poziomów: 12, - liczba wierszy danych: 3400, - czas przeprowadzenia analizy: 14 dni. Uwzględniając, że rozpatrywany budynek nie należy do najwyższych, przytoczone liczby wskazują na trudności na jakie napotyka projektant chcący przeprowadzić np. wariantowe obliczenia projektowanej konstrukcji. Zagadnienie złego uwarunkowania zadań rozważane było m. in. w pracy [Sha66], a w odniesieniu do budynków wysokich np. w pracach [Pab78, Bau80]. 4. Obliczenia przy wykorzystaniu modeli ciągłych W dalszej części pracy analiza przestrzennych układów ścianowych z nadprożami, usztywniających budynki wysokie, prowadzona będzie przy wykorzystaniu ciągłego modelu konstrukcji. Niewiadomymi w metodach budowanych na podstawie tego modelu są ciągłe funkcje rozłożonych wzdłuż wysokości budynku sił ścinających w pionowych pasmach łączących oraz ciągłe funkcje przemieszczeń poziomych i pionowych ścian usztywniających. Przyjęcie tego modelu zmniejsza istotnie wymiar zadania obliczeniowego oraz pozwala uniknąć w prosty sposób złego uwarunkowania zadania wynikającego z dużej smukłości konstrukcji, występującego przy analizie budynków wysokich na podstawie modeli dyskretnych. Stosowanie metod wykorzystujących ciągły model układu usztywniającego wymaga rozwiązywania układów równań różniczkowych zwyczajnych. Spośród wielu prac, w których wyprowadzano równania opisujące zachowanie się ścianowych konstrukcji usztywniających budynki wysokie przy wykorzystaniu modelu ciągłego, na szczególną uwagę zasługują publikacje Biswasa i Tso [Bis74], Rosmana [Ros70, Ros71], Glücka i Gellerta [Glü72], Glücka i Kraussa [Glü73], Danay'a, Gellerta i Glücka [Dan74], Laredo [Lar73], Peterssona [Pet74], Jendele i Šejnohy [Jen76], Lewickiego z zespołem [Lew79], Lisa [Lis76] oraz Rappa i Wrześniowskiego [Rap73]. Przykładowo w sformułowaniu, przyjętym za podstawę do budowy systemu BW [Wdo93d], grupy ścian usztywniających połączonych złączami niepodatnymi modeluje się prętami cienkościennymi o przekroju otwartym, z pominięciem odkształceń postaciowych od sił poprzecznych i sztywności na skręcanie swobodne. W tym celu wykorzystuje się teorię Własowa. Według R. Rosmana (patrz np. dyskusja na temat pracy [Tso73] - [Ros73]) pomijanie sztywności na skręcanie swobodne jest szczególnie uzasadnione w konstrukcjach żelbetowych, dla których przy powstaniu rys stosunek sztywności na skręcanie do sztywności na zginanie znacznie się obniża. Podobne stanowisko wyraził A.W. Irwin [Irw75] podczas dyskusji na temat artykułu J.K. Biswasa i W.K. Tso [Bis74]. Dla układów usztywniających, złożonych z większej liczby elementów, wpływ pominięcia sztywności na skręcanie swobodne jest praktycznie nieistotny. Potwierdza to między innymi porównanie wyników, uzyskanych przy uwzględnieniu [Dan74] i pominięciu tego czynnika, przedstawione dla przykładu pierwszego w pracy [Wdo80]. Stropy budynku traktuje się jako nieskończenie sztywne w swej płaszczyźnie, a całkowicie wiotkie z płaszczyzny. Gdy wymagane jest uwzględnienie w analizie sztywności stropów z ich płaszczyzny, modeluje się je dodatkowymi pasmami nadproży. Metody oparte na modelu ciągłym charakteryzują się małą liczbą niewiadomych. Wadą metod jest to, że te niewiadome są funkcjami. W celu rozwiązania zadania niezbędnym jest więc rozwiązanie układu równań różniczkowych, a nie, jak w metodach dyskretnych, rozwiązanie układu równań algebraicznych. Pomimo konieczności oprogramowania rozwiązywania równań różniczkowych zalety metody przeważają nad jej niedogodnościami. Wariantem metod bazujących na modelu ciągłym jest metoda pasm skończonych (ang. finite strip method) [Lis76, Che78]. Jest to metoda dyskretno-ciągła, przy wykorzystaniu której ściana usztywniająca modelowana jest jako zespół elementów pasmowych, przy czym każdy element ma rozpiętość od podstawy do szczytu budynku. 5. Przydatność poszczególnych metod w obliczeniach budynków wysokich Przydatność poszczególnych metod do obliczania budynków wysokich dobrze charakteryzują proporcje jakie poświęcono tym metodom w opublikowanej przez wydawnictwo Wiley książce "Tall Building Structures: Analysis and Design" [Sta91d]. Autorami tej monografii są wybitni specjaliści, zajmujący się twórczo 225

4 Jacek Wdowicki, Elżbieta Wdowicka obliczaniem budynków wysokich w ciągu 25 lat przed wydaniem pracy: Bryan Stafford Smith i Alex Coull. Liczby stron, jakie poświęcono poszczególnym metodom są w niej następujące: - metoda ciągłego połączenia strony od 216 do 246, tj. 30 stron, - komputerowa analiza metodą analogii ramowej strony 246 do 252, tj. 6 stron, - komputerowa analiza przy użyciu membranowych elementów skończonych strony od 252 do 253, tj. 1 strona. 6. Przykład oprogramowania modelu ciągłego Przygotowano system programów komputerowych BW przeznaczony do realizacji obliczeń budynków wysokich usztywnionych konstrukcjami ścianowymi z nadprożami. Przy użyciu programu możliwe jest analizowanie konstrukcji, których rzut zawiera dowolnie rozmieszczone ściany i nadproża (rys. 1). Rozpatrywane konstrukcje mogą być poddane obciążeniom poziomym (dowolnie rozłożonym wzdłuż wysokości budynku lub skupionym na jego szczycie), pionowym (dowolnie rozmieszczonym w rzucie i dowolnie zmiennym wzdłuż wysokości) i nierównomiernym osiadaniom fundamentów. Dane wejściowe do systemu obejmują informacje dotyczące układu ścian i nadproży, geometrii i cech wytrzymałościowych konstrukcji, możliwe do bezpośredniego odczytania z rysunków budynku oraz dane opisujące obciążenia, przy czym wymagane jest przeprowadzenie przez projektującego tylko prostego zebrania obciążeń. W metodach budowanych na podstawie ciągłego modelu konstrukcji, w wariancie odpowiadającym metodzie sił, niewiadomymi są funkcje rozłożonych wzdłuż wysokości budynku sił ścinających w pionowych pasmach łączących, zastępujących rzędy nadproży i złącza pionowe [Ros71, Bis74, Dan74, Wdo93a]. Przy budowie przedstawionego systemu wykorzystano model ciągły, wymagający dla zastosowanego wariantu metody sił [Wdo93b] rozwiązania układu równań różniczkowych: v G = VTt K VNn N VRn R, (1) Bn = An + f (2) gdzie v G - wektor nieznanych przemieszczeń poziomych układu usztywniającego, n N - wektor nieznanych sił ścinających w nadprożach, t K - znany wektor obciążeń poziomych układu usztywniającego, n R - znany wektor obciążeń pionowych ścian, B - macierz podatności pasm nadproży, V = ( L K L) V V T 1 T Z, T N = VT L CN, T R = VT L CR, T T = E S E N N A S K S C LV f = FR nr + FT tk., Macierze C, C, K, K, L, S, V, V N R S Z E N T i wytrzymałościowych konstrukcji w sposób sprecyzowany w [Wdo93a, Wdo93b]. Warunki brzegowe dla równania (1) mają postać: N N zależą od cech geometrycznych v (0) = 0, v (0) = 0, v (h ) = 0, (3) G G G przy czym h b - wysokość układu usztywniającego budynek. Odpowiadające równaniu (2) warunki brzegowe są następujące: b gdzie n (0) = w, n (h ) = 0, (4) N N N b 226

5 Analiza konstrukcji usztywniających budynki wysokie przy wykorzystaniu modeli dyskretnych i modeli ciągłych w N - stała macierz kolumnowa, zależna od założonych osiadań. Analizowaną konstrukcję, po jej opisaniu przy wykorzystaniu przestrzennego modelu ciągłego, oblicza się bez wprowadzania dodatkowych założeń upraszczających. Na podstawie opisanych powyżej danych system automatycznie generuje układy równań różniczkowych opisujące pracę konstrukcji. Dokonuje się konsekwentnego rozdzielenia tych układów, dzięki czemu możliwe jest analizowanie konstrukcji przy wykorzystaniu niewielkiego pola pamięci operacyjnej komputera. Dzięki zastąpieniu całkowania numerycznego całkowaniem według wyprowadzonych analitycznie wzorów i zoptymalizowanym wykorzystaniu pamięci na dyskach magnetycznych uzyskano krótkie czasy obliczeń. Opracowanie makrokomendy systemu operacyjnego, której jedynym parametrem jest numer danych sprawia, że obsługa operatorska systemu jest szczególnie prosta. Wynikami obliczeń systemu są siły poprzeczne i momenty zginające w nadprożach, przemieszczenia wybranych punktów budynku oraz wartości naprężeń normalnych, stycznych i głównych w charakterystycznych punktach konstrukcji. Opcjonalnie mogą być drukowane siły przekrojowe w zespołach ścian usztywniających. Wszystkie te grupy wyników obliczane są dla poszczególnych schematów obciążeń i dla opisanych zestawów ekstremów. Wartości wyników drukowane są dla dowolnych, określonych w danych, rzędnych konstrukcji. 7. Przykład obliczeń Jako przykład obliczeń systemem wykorzystującym metodę ciągłych połączeń podajemy budynek zrealizowany w Koninie w systemie WK-70, którego rzut pokazany jest na rysunku 2 zawierającym kopię ekranu preprocesora wbudowanego do systemu BW. Obliczenia wykonano na zlecenie biura projektów Inwestprojekt. Głównym projektantem konstrukcji był Andrzej Schmidt, który przygotował dane przy współpracy Jacka Wdowickiego. Dane sprawdziła Elżbieta Wdowicka. Na poziomie jednej kondygnacji występowały: 44 ściany, 27 połączeń niepodatnych oraz 14 nadproży. Przyjęto dla betonu konstrukcji moduły sprężystości o następujących wartościach: G = GPa oraz E = 27 GPa. Budynek był 11-kondygnacyjny i miał wysokość 30.8 m. Obliczenia wykonano dla 13 zestawów obciążeń, które obejmowały: - 4 zestawy obciążeń poziomych, - 5 zestawów obciążeń pionowych, - 4 zestawy założonych pionowych osiadań. Dla potrzeb projektowania wyznaczono wartości ekstremalne przemieszczeń, naprężeń w ścianach oraz sił w nadprożach dla dwóch stanów tj. dla fazy użytkowania wykończonego obiektu i dla fazy montażu. Zgodnie z życzeniem projektanta wyprowadzono ze systemu wymagane wyniki co kondygnację. Najważniejsze wyniki zawierają kolejne rysunki, będące kopiami ekranów wbudowanych do systemu postprocesorów: - przemieszczenia budynku od parcia wiatru w kierunku osi Y (rys. 3), - rozkład naprężeń w poziomie utwierdzenia w całym budynku oraz najbardziej wytężonej ścianie i zawierającym ją elemencie od parcia wiatru w kierunku osi Y (rys. 4), - rozkłady wzdłuż wysokości budynku: przemieszczeń liniowych i kątów skręcenia oraz zastępczych sił rozłożonych w najbardziej wytężonym paśmie nadproży od parcia wiatru w kierunku osi Y (rys. 5). Wykresy wykonywane przez postprocesory systemu wskazują projektantowi najbardziej krytyczne punkty konstrukcji. Komplet wyników systemu w postaci tablic był zbiorem informacji wystarczającym do zwymiarowania budynku. 8. Podsumowanie Pomimo rozwoju narzędzi informatyki (sprzętu i oprogramowania), obliczenia budynków wysokich usztywnianych trzonami lub konstrukcjami ścianowymi z nadprożami wykonywane są nadal, pomijając nietypowe przypadki, przy wykorzystaniu metod ciągłych. Na taki stan rzeczy składają się przede wszystkim wielkie wymiary zadań koniecznych do rozwiązywania w przypadku obliczania tych konstrukcji przy wykorzystaniu modeli dyskretnych oraz chęć ominięcia problemu złego uwarunkowania zadania, często trudnego do oszacowania bez dodatkowych, kosztownych obliczeń. Nie bez znaczenia jest również fakt przyzwyczajeń projektantów oraz trudności w wyszukiwaniu istotnych dla projektanta wartości liczbowych w dużej liczbie wyników generowanych przez systemy ogólnego przeznaczenia. 227

6 Jacek Wdowicki, Elżbieta Wdowicka Rys. 2. Ekran wbudowanego preprocesora, zawierający rzuty całego budynku, elementu 11 i ściany 36 Rys. 3. Przemieszczenia budynku od parcia wiatru w kierunku osi Y 228

7 Analiza konstrukcji usztywniających budynki wysokie przy wykorzystaniu modeli dyskretnych i modeli ciągłych Rys. 4. Rozkład naprężeń w poziomie utwierdzenia oraz najbardziej wytężonej ścianie i zawierającym ją elemencie od parcia wiatru w kierunku osi Y Rys. 5. Rozkłady wzdłuż wysokości budynku: przemieszczeń liniowych i kątów skręcenia oraz zastępczych sił rozłożonych w najbardziej wytężonym paśmie nadproży od parcia wiatru w kierunku osi Y 229

8 Jacek Wdowicki, Elżbieta Wdowicka Literatura ACI71. Response of Buildings to Lateral Forces (Reported by ACI Committee 442), J. of the American Concrete Institute, 68 (1971) Bau80. Bauer J., Kotowski R., Lenart J.: Metoda modelowania cyfrowego w analizie statycznej wysokich budynków płytowo-tarczowych, Mech. i Komp., 2 (1980) Bis74. Biswas J. K., Tso W. K.: Three-dimensional analysis of shear wall buildings to lateral load, Journal of the Struct. Div., Proc. ASCE, 100 (1974) Cha96. Chaallal O., Ghlamallah N.: Seismic response of flexibility supported coupled shear walls, JSE, 122, 10 (1996) Che78. Cheung Y.K., Swaddiwudhipong S.: Analysis of frame shear wall structures using finite strip elements, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Part 2, 65, Sept. (1978) Che83. Cheung Y.K.: Tall buildings 2, in: Handbook of Structural Concrete, pp , Pitman, London Cou67. Coull A., Stafford Smith B.: Analysis of shear wall structures (a review of previous research), in: Tall Buildings, , Pergamon Press Cou73. Coull A., Puri R.D., Tottenham H.: Numerical elastic analysis of coupled shear walls, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Part 2, 55 (1973) Cou83. Coull A., Stafford Smith B.: Tall buildings 1, in: Handbook of Structural Concrete, Pitman, London 1983, Cou83c. Coull A., Stafford Smith B.: Recent Developments in Elastic Analysis of Tall Concrete Buildings, in: [CTB83], 'l'n'w K p. refs! p.579 nonlinear analysis CTBUH. Council on Tall Buildings and Urban Habitat: Planning and Design of Tall Buildings, a Monograph in 5 volumes, ASCE, New York CTB83. Council on Tall Buildings and Urban Habitat: Developments in Tall Buildings, Van Nostrand Reinhold Company, New York CTB86. Council on Tall Buildings and Urban Habitat: Advances in Tall Buildings, Van Nostrand Reinhold Company, New York CTB86b. Council on Tall Buildings and Urban Habitat: High-Rise Buildings: Recent Progress, Council on Tall Buildings, CTB88. Council on Tall Buildings and Urban Habitat: Second Century of the Skyscraper, Van Nostrand Reinhold Company, New York CTB90. Council on Tall Buildings and Urban Habitat: Tall Buildings: 2000 and Beyond, Council on Tall Buildings, CTB92. Council on Tall Buildings and Urban Habitat: Tall Buildings and Urban Environment Series, McGraw-Hill Inc., 8 volumes to May 1995, CTB95. Council on Tall Buildings and Urban Habitat: Habitat and High-Rise: Tradition and Innovation, Proc. of the Fifth World Congress, Council on Tall Buildings and Urban Habitat, May 14-19, 1995, Amsterdam. CTB96. Council on Tall Buildings and Urban Habitat: Collected Papers of Habitat and High-Rise: Tradition and Innovation, CTBUH, Dan74. Danay A., Gellert M., Glück J.: The axial strain effects on load distribution in nonsymmetric tier buildings, Building Science, 9 (1974) Glü72. Glü73. Glück J., Gellert M.: Three dimensional lateral load analysis of multistorey structures, Publications IABSE, (Mémoires Abhandlungen Publications) 32-I (1972) Glück J. Krauss M.: Stress analysis of group of interconnected thin-walled cantilevers, Journal of the Structural Division, Proc. ASCE, 99, ST10 (1973) Ha89. Ha K.H., Desbois M.: Finite elements for tall building analysis, CS, 33, 1 (1989) Irw75. Irwin A.W.: Discussion to [Bis74], Journal of the Struct. Div., Proc. ASCE, 101, 1 (1975) Jen76. Jendele M., Šejnoha J.: Vyškové stavby s tuhymi jádry a vyztuznymi stenami, SNTL, Praha Kwa94b.Kwan A.K.H., Cheung Y.K.: Analysis of coupled shear/core walls using a beam-type finite element, Engng Struct., 16, 2 (1994) Lar73. Laredo M.: Théorie générale des noyaux de contreventement des grandes tours, Annales de l'institut Technique du Batiment et des Travaux Publics, No.303, Mars 1973, Lew79. Lewicki B. z zespołem: Budynki wznoszone metodami uprzemysłowionymi. Projektowanie konstrukcji Lis68. i obliczenia, Arkady, Warszawa Lis Z.: Przegląd nowszych badań nad pracą przepon usztywniających w budynkach 230

9 Analiza konstrukcji usztywniających budynki wysokie przy wykorzystaniu modeli dyskretnych i modeli ciągłych wielokondygnacyjnych, Zesz. Nauk. Polit. Pozn., Bud. Ląd., 12 (1968) Lis74. Lis Z.: Analiza statyczna przestrzennych układów tarcz usztywniających w budynkach wielokondygnacyjnych, Rozpr. dokt., Pol. Pozn., Poznań Lis76. Lis Z.: Obliczanie przestrzennych układów usztywniających w budynkach wysokich metodą pasm skończonych, Archiwum Inżynierii Lądowej, XXII, 3 (1976) Mac77b.MacLeod I.A.: Structural analysis of wall systems, The Structural Engineer, 55, 11 (1977) Mac90. MacLeod I.A.: Analytical Modelling of Structural Systems, Ellis Horwood, New York Pab78. Pabjanek-Sławianowska A., Bauer J., Kotowski R.: Digital Modelling Method for Tall Buildings, Z. angew. Math. Mech., 58 (1978) T T 120. Paw75. Pawłowski A.Z.: Kształtowanie i konstruowanie wysokich budynków trzonowych, Centr. Ośr. Pet74. Bad.-Proj. Bud. Ogól., Warszawa Petersson H.: Analysis of Loadbearing Walls in Multistorey Buildings - Stresses and displacements calculated by a continuum method, Chalmers University of Technology, Göteborg Rap73. Rapp P., Wrześniowski K.: Analiza statyczna przestrzennych układów usztywniających w budynkach wysokich, część I, Archiwum Inżynierii Lądowej, XIX, (1973) Ros70. Rosman R.: Analysis of spatial concrete shear wall systems, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, 46-47, supplement 6 (1970) Ros71. Rosman R.: Static of non-symmetric shear wall structures, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, 48-49, supplement 12 (1971) Ros73. Rosman R.: Discussion to [Tso73], J Struct. Div., Proc ASCE, 99, 12 (1973) 2505 Ros75. Rosman R.: Berechnung gekoppelter Stützensysteme im Hochbau, Wilhelm Ernst & Sohn, Berlin Ses78. SESAM News, No. 2, May 1978, Computas - The Data Division of Det norske Veritas Sha66. Shah J.M.: Ill-conditioned stiffness matrices, JSD, 92, 6 (1966) Sie76. Sieczkowski J.: Projektowanie budynków wysokich z betonu, Arkady, Warszawa Sta72. Stamato M.C.: Three dimensional analysis of tall buildings, Proc. of the Int. Conf. on Planning and Design Tall Buildings held at Lehigh University, vol.iii, ASCE IABSE (1972) Sta91d. Stafford-Smith B., Coull A.: Tall Building Structures: Analysis and Design, Wiley, New York Tso73. Vij95. Tso W.K., Biswas J.K.: General analysis of nonplanar coupled shear walls, J. of Struct. Div., Proc. ASCE, 99 (1973) Vijayan P., Singh Y., Nagpal A.K.: A reduction procedure for load distribution in asymmetric tall buildings, CS, 56,4 (1995) Wdo80. Wdowicka E., Wrześniowski K.: Realizacja algorytmu rozwiązywania układów równań różniczkowych w systemie BW06, Mech. i Komp., 2 (1980) Wdo93a. Wdowicki J.: Analiza statyczna przestrzennych układów ścianowych z nadprożami. Część I. Równania problemu, Met. Komp. w Inż. Ląd., 3, 1 (1993) Wdo93b. Wdowicki J.: Analiza statyczna przestrzennych układów ścianowych z nadprożami. Część II. Rozwiązania równań problemu, Met. Komp. w Inż. Ląd., 3, 1 (1993) Wdo93d. Wdowicki J., Wdowicka E.: Analiza statyczna przestrzennych układów ścianowych z nadprożami. Część IV. System programów komputerowych, Met. Komp. w Inż. Ląd., 3, 2 (1993) Win77. Winiarski M.: Teoretyczne i praktyczne możliwości analizy komputerowej budynków wysokich, Przegl. Bud.,, 3 (1977) Win77b.Winiarski M.: Optymalizacja wybranych układów usztywniających w budynkach wysokich, Pr. dokt., Pol. Warsz., Warszawa

10 232