Optymalizacja wypukła: wybrane zagadnienia

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Optymalizacja wypukła: wybrane zagadnienia"

Transkrypt

1 Politechnika Warszawska Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych Instytut Informatyki Rok akademicki 2008/2009 Praca Dyplomowa Inżynierska Michał Przyłuski Optymalizacja wypukła: wybrane zagadnienia Opiekun pracy: prof. nzw. dr hab. Włodzimierz Ogryczak Ocena Podpis Przewodniczącego Komisji Egzaminu Dyplomowego

2 Specjalność: Informatyka Inżynieria Systemów Informacyjnych Data urodzenia: 4 maja 1985 r. Data rozpoczęcia studiów: 1 października 2004 r. Życiorys Nazywam się Michał Przyłuski, urodziłem się w Warszawie, 4 maja 1985 r. Szkołę Podstawową nr 15 w Warszawie ukończyłem w 2000 roku. W latach uczęszczałem do XXV Liceum Ogólnokształcącego im. Józefa Wybickiego w Warszawie. Po uzyskaniu matury rozpocząłem w październiku 2004 r. studia na Wydziale Elektroniki i Technik Informacyjnych PW oraz w Kolegium Międzywydziałowych Indywidualnych Studiów Matematyczno-Przyrodniczych UW, gdzie jestem aktualnie studentem piątego roku (kierunek podstawowy: matematyka) podpis studenta Egzamin dyplomowy Złożył egzamin dyplomowy w dn z wynikiem Ogólny wynik studiów: Dodatkowe wnioski i uwagi Komisji:

3 Streszczenie Rozpatrywane są wybrane zagadnienia optymalizacji wypukłej. Omówiono szczegółowo dwa szczególnie ważne przypadki zadań wypukłych, sprowadzalnych do,,stożkowego zadania programowania liniowego. Są to tzw. zadania programowania stożkowego drugiego stopnia (zwane SOCP) oraz zadania programowania półokreślonego (zwane SDP). Wiele interesujących zagadnień programowania wypukłego można przedstawić w postaci takich zadań. Należą do nich omówione w pracy problemy minimalizacji normy, kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe, krzepkie zadania programowania liniowego, krzepkie zadania najmniejszych kwadratów i zadania z ograniczeniami hiperbolicznymi. Przedstawiono niektóre z zastosowań metod optymalizacji wypukłej do rozwiązywania problemów dotyczących projektowania optymalnych filtrów cyfrowych, doboru siły chwytającej robota, projektowania układu anten dookólnych, do zagadnień rozpoznawania obrazów oraz do analizy pewnych zagadnień teorii portfela. Słowa kluczowe: optymalizacja, programowanie wypukłe, programowanie półokreślone Convex optimization: selected problems Selected problems of convex optimization are considered. In particular semidefinite programming (SDP) and second-order cone programming are discussed and their use for various specifi optimization problems is presented. Applications in various fields has been described as well. Key words: optimization, convex optimization, semidefinite programming

4 Spis treści 1 Wstęp 1 2 Programowanie wypukłe 5 3 Zadania sprowadzalne do postaci SOCP lub SDP Zadania programowania liniowego Minimalizacja sumy norm Kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe Krzepkie zadania programowania liniowego oraz najmniejszych kwadratów Programowanie liniowe Zadanie najmniejszych kwadratów Zadania z ograniczeniami hiperbolicznymi Maksymalizacja średniej harmonicznej Liniowo-kwadratowy problem ułamkowy Logarytmiczna aproksymacja Czebyszewa Średnia geometryczna Maksymalizacja wartości własnej i normy macierzy Zastosowania Rozpoznawanie obrazów Układy anten Siła chwytająca Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej i

5 SPIS TREŚCI ii Przypadek zespolony Symetryczne współczynniki Logarytmiczne odchylenie filtru o liniowej fazie Wybrane zagadnienia teorii portfela Model Markowitza Ograniczenie ryzyka straty Analiza postoptymalizacyjna Bibliografia 44

6 Rozdział 1 Wstęp Wiele problemów inżynierskich, ekonomicznych, itp. może być przedstawionych jako zadanie optymalizacji postaci: f 0 (x) p. o. f i (x) 0, i = 1,..., m, h i (x) = 0, i = 1,..., p; x jest tu wektorem zmiennych decyzyjnych, f 0 jest funkcją celu, a funkcje f i oraz h i są określają odpowiednio ograniczenia nierównościowe i równościowe. Wyznaczenie rozwiązań tak ogólnych zadań może okazać się bardzo trudne w praktyce. Pierwszym problemem jest znalezienie dowolnego rozwiązania dopuszczalnego lub stwierdzenie, że takie rozwiązanie może nie istnieć. Ponadto, algorytm rozwiązania takiego zadania może zatrzymać się w lokalnym minimum. Nie do pominięcia jest także wpływ błędów zaokrągleń i ich kumulowanie się. W wielu sytuacjach trudno jest też sformułować dobry warunek stopu dla takiego algorytmu. Wreszcie, zbieżność algorytmu do rozwiązania optymalnego może być bardzo powolna. Opisane powyżej trudności nie pojawiają się jednak, gdy zawęzimy odpowiednio klasę rozpatrywanych zadań optymalizacji. Dobrze znanym przykładem są tu zadania programowania liniowego, dla których już pół wieku temu istniały dobrze sprawdzające się w praktyce algorytmy wyznaczania ich rozwiązań. Ogólniejszą klasą zadań, dla których przynajmniej niektóre z opisanych powyżej trudności 1

7 1. Wstęp 2 nie występują to zadania programowania wypukłego. Są to takie zadania, dla których funkcja celu i funkcje definiujące ograniczenia nierównościowe są wypukłe, a funkcje definiujące ograniczenia równościowe są afiniczne. Lokalne minimum będzie wtedy globalnym minimum, a także możliwe jest ustalenie dobrego warunku stopu w oparciu o teorię dualności. Poważny wpływ na rozwój metod obliczeniowych rozwiązywania zadań wypukłych miało pojawienie się w połowie lat osiemdziesiątych pracy Karmarkara, w której udowodnił on, że tzw. metoda punktu wewnętrznego rozwiązywania zadań programowania liniowego ma złożoność wielomianową. Co ważne, algorytm punktu wewnętrznego okazał się również sprawny w praktyce.1 Okazało się też, że metodę punktu wewnętrznego można stosować również do rozwiązywania zadań programowania wypukłego. Istotnym elementem metody punktu wewnętrznego są funkcje barier2, które umożliwiają,,zamienienie zadania z ograniczeniami na zadanie bez ograniczeń w ten sposób, że wyznaczane w kolejnych iteracjach przybliżenia rozwiązania optymalnego leżą we wnętrzu zbioru dopuszczalnego. Nesterov oraz Nemirovskii zaproponowali taką klasę funkcji barier, dla których można udowodnić, że złożoność obliczeniowa metody punktu wewnętrznego rozwiązania zadań wypukłych jest wielomianowa względem wymiaru problemu oraz pożądanej dokładności rozwiązania. W ich rozważaniach ważną rolę odgrywa pojęcie self-concordance; jest to warunek, który dla funkcji f jednej zmiennej mówi o możliwości oszacowania jej trzeciej pochodnej przez jej drugą pochodną, a dokładniej jest wymaganiem, aby f (x) 2 f (x) 3 2. Dla funkcji wielu zmiennych warunek ten powinien być spełniony na każdej prostej. Obszerne omówienie tych zagadnień przedstawione jest w ich znanej monografii [20]. W latach dziewięćdziesiątych ukazało się szereg prac, w których analizowane 1Znana wcześniej metoda elipsoid rozwiązywania zadań programowania liniowego też ma złożoność wielomianową (co udowodnił Khachiyan w 1979 roku), ale okazała się mało przydatna w praktyce obliczeniowej. 2Funkcje barier znane już były w latach sześćdziesiątych m. in. dzięki pracom Fiacco i McCormicka. Pokrewne im funkcje kary były też już wówczas znane. Ważne prace na temat funkcji kary zawdzięczamy m. in. Wierzbickiemu oraz Wierzbickiemu i Kurcyuszowi.

8 1. Wstęp 3 są szczególne klasy zadań programowania wypukłego, ważnych dla zastosowań. Opracowano wiele dobrych algorytmów rozwiązujących takie zadania. Udostępnione zostały liczne pakiety oprogramowania (np. SeDuMi opisane w [26]). Programowanie wypukłe jest ogólną gałęzią optymalizacji obejmującą w sobie wiele technik takich jak programowanie półokreślone, programowanie wypukłe na stożkach. Znalazło ono ostatnio powszechne zastosowanie do efektywnego sformułowania i rozwiązania wielu problemów inżynierskich. Jak już wspomnieliśmy zaletami programowania wypukłego jest wielomianowa złożoność czasowa odpowiednich algorytmów, a także dostępność wysokowydajnych i godnych zaufania narzędzi do rozwiązywania nawet dużych zadań. Kontrastuje to z ogólnymi metodami optymalizacji takimi jak algorytmy ewolucyjne bądź symulowane wyżarzanie, które wymagają precyzyjnego strojenia dla konkretnego problemu, i często pozostają w lokalnym optimum. W pracy rozpatrywane są wybrane zagadnienia optymalizacji wypukłej. W rozdziale 2 omówiono szczegółowo dwa szczególnie ważne przypadki zadań wypukłych sprowadzalnych do,,stożkowego zadania programowania liniowego. Są to tzw. zadania programowania stożkowego drugiego stopnia (zwane SOCP) oraz zadania programowania półokreślonego (zwane SDP). Wiele interesujących zagadnień programowania wypukłego można przedstawić w postaci takich zadań. Należą do nich omówione w rozdziale 3 problemy minimalizacji normy, kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe (zwane QCQP), krzepkie zadania programowania liniowego, krzepkie zadania najmniejszych kwadratów i zadania z ograniczeniami hiperbolicznymi. W rozdziale 4 przedstawiono niektóre z zastosowań metod optymalizacji wypukłej do rozwiązywania konkretnych problemów. Omówiono projektowanie optymalnych filtrów cyfrowych, dobór siły chwytającej robota, projektowania układu anten dookólnych, pewien problem z teorii rozpoznawania obrazów oraz pewne zagadnienia teorii portfela. Metody optymalizacji wypukłej znalazły liczne zastosowania w różnych dziedzinach, nie tylko tych wymienionych powyżej. Zastosowania w obszarze teorii sterowania i systemów zostały zaprezentowane m in. w monografii [8], gdzie przedstawiono,,wypukłe podejście do zagadnień syntezy krzepkiego regulatora, a tak-

9 1. Wstęp 4 że w monografii [5] poświęconej wykorzystaniu liniowych nierówności macierzowych i metod programowania półokreślonego do analizy i syntezy niewrażliwych układów sterowania. W pracy zwykle zakładamy, że wszystkie rozpatrywane zadania optymalizacji mają rozwiązanie.

10 Rozdział 2 Programowanie wypukłe Rozpoczniemy od przedstawienia poniżej podstawowych pojęć matematycznych i oznaczeń, którymi posługujemy się w tej pracy. Symbolem R n oznaczamy arytmetyczną n-wymiarową przestrzeń liniową nad R, której elementy zwykle zapisujemy jako (n-wymiarowe) wektory kolumnowe. Zbiór macierzy o elementach rzeczywistych o wymiarach m n oznaczamy symbolem R m n. Transpozycję macierzy A oznaczamy przez A T. Przez S n będziemy rozumieć zbiór macierzy symetrycznych o wymiarach n n. Funkcję f R n R m nazywamy funkcją afiniczną jeśli jest postaci f (x) = Ax+ b, gdzie A i b są odpowiednio macierzą i wektorem kolumnowym odpowiednich wymiarów. Jeśli F R n R p q jest funkcją o wartościach macierzowych, to jest ona afiniczna gdy daje się zapisać w postaci F(x) = A 0 + x 1 A x n A n, gdzie A i R p q. Niepusty zbiór S R n nazywamy podprzestrzenią liniową R n, gdy zawiera on 0 oraz wraz z każdymi swoimi dwoma (różnymi) punktami zawiera prostą przez nie przechodzącą, tzn. dla dowolnych x, y S oraz λ, µ R, zachodzi λx + µy S. Obrazy i jądra macierzy są oczywiście podprzestrzeniami liniowymi. Odwrotnie, każda podprzestrzeń liniowa R n jest obrazem pewnej macierzy; można ją też przedstawić jako jądro pewnej (innej) macierzy. Zbiór nazywamy S R n podprzestrzenią afiniczną, jeśli zawiera prostą prze- 5

11 2. Programowanie wypukłe 6 chodzącą przez każde dwa jego punkty, czyli gdy x, y S, λ, µ R, λ + µ = 1 λx + µy S. Podprzestrzeń afiniczna jest translacją (o pewien wektor) pewnej, jednoznacznie określonej, podprzestrzeni liniowej. Każda podprzestrzeń afiniczna jest obrazem pewnej funkcji afinicznej S = {Az + b z R q }. Jest to także zbiór rozwiązań pewnego układu równań liniowych S = {x Bx = d}. Zbiór S nazywamy zbiorem wypukłym, gdy zawiera odcinek łączący dowolne dwa punkty należące do S, tj. x, y S, λ, µ R, λ, µ 0, λ + µ = 1 λx + µy S. Oczywiście, podprzestrzenie liniowe i podprzestrzenie afiniczne są zbiorami wypukłymi. Niech S R n będzie ustalonym, niepustym zbiorem wypukłym. Funkcję f S R nazywamy wypukłą, wtedy i tylko wtedy, gdy x, y S λ, µ [0, 1], λ + µ = 1 f (λx + µy) λ f (x) + µ f (y). Dla funkcji o ciągłej drugiej pochodnej powyższy warunek można wyrazić poprzez dodatnią półokreśloność hesjanu. Zbiór K nazywamy stożkiem wypukłym, jeśli jest on wypukły oraz dla każdego x K, zawiera półprostą wychodzącą z 0 i przechodzącą przez x. Innymi słowy, K jest stożkiem wypukłym, gdy x, y K, λ, µ 0 λx + µy K. Dla n = 2 stożek wypukły to po prostu kąt wypukły rozumiany jako nieograniczony i wypukły podzbiór płaszczyzny ograniczony dwoma półprostymi o wspólnym początku. Przykładem stożka wypukłego może być nieujemna ćwiartka (oktant, itd.) R+. n Niektóre zastosowanie wymagają rozpatrywania macierzy dodatnio półokreślonych lub dodatnio określonych. Macierz A jest dodatnio półokreślona, co zapisujemy jako A 0, jeśli jest ona symetryczna oraz, dla każdego x R n, x T Ax 0.

12 2. Programowanie wypukłe 7 Podobnie macierz A jest dodatnio określona, co zapisujemy jako A 0, jeśli jest ona symetryczna oraz, dla każdego 0 x R n, x T Ax > 0. Zbiór macierzy dodatnio półokreślonych (o wymiarach n n) oznaczamy S n + = {X S n X 0}. Łatwo sprawdzić, że zbiór ten jest stożkiem nazywanym stożkiem dodatnio półokreślonym. Zbiór macierzy dodatnio określonych z dołączonym wektorem zerowym także jest stożkiem. Przy rozpatrywaniu zagadnień programowania wypukłego ważną rolę odgrywają stożki, które są domknięte, mają niepuste wnętrze oraz mają tę właściwość, że jedynym elementem stożka takim, że jednocześnie element przeciwny należy do stożka jest 0. Stożki R n + oraz S n + mają ww. właściwości, natomiast zbiór macierzy dodatnio określonych nie, bo nie jest domknięty (ma pozostałe właściwości). Dowolny stożek K (zawarty w R n, R m n, S n, czy też dowolnej przestrzeni liniowej) generuje pewien częściowy porządek1 K, jeśli przyjmiemy, że x K y x y K. Łatwo zauważyć, że x K 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x K i dlatego K jest nazywane stożkiem dodatnim. Nierówności, w których występuje ww. częściowy porządek możemy dodawać do siebie stronami, mnożyć stronami przez liczby nieujemne, a gdy stożek jest domknięty, możemy w nich przechodzić do granicy. Jeśli stożek ma tę właściwość, że jedynym jego elementem, dla którego element przeciwny też należy do stożka jest 0, to częściowy porządek K staje się antysymetryczny2, czyli jest porządkiem. Relację przeciwną do K oznaczamy K ; wówczas x K y y K x. Niech K będzie ustalonym stożkiem dodatnim w R m, a F odwzorowaniem z pewnego zbioru wypukłego Ω R n o wartościach w R m, nazywamy je wypukłym, gdy x, y K λ, µ [0, 1], λ + µ = 1 F(λx + µy) K λf(x) + µf(y). Analogicznie możemy określić wypukłość dla odwzorowań o wartościach w S n. 1Pod częściowym porządkiem rozumiemy dowolną relację zwrotną i przechodnią. 2Tzn. x K y oraz y K x implikuje x = y.

13 2. Programowanie wypukłe 8 Rozpatrzmy zadanie optymalizacji f 0 (x) p. o. f i (x) 0, i = 1,..., m, h i (x) = 0, i = 1,..., p, x Ω, gdzie Ω R n. Mówimy, że jest to zadanie wypukłe (in. zadanie programowania wypukłego), gdy Ω jest zbiorem wypukłym oraz wszystkie funkcje f są wypukłe, a funkcje h są afiniczne. Szczególnym przypadkiem tego zadania jest zadanie programowania liniowego (wszystkie funkcje f i h są wtedy afiniczne). Innym przykładem zadania wypukłego jest zadanie f (x) p. o. F(x) K 0, x Ω, gdzie Ω R n jest zbiorem wypukłym, F jest odwzorowaniem wypukłym o wartościach w R m, a K ustalonym stożkiem dodatnim w R m. O funkcji f zakładamy też, że jest wypukła. Teoria takich zadań jest przedstawiona m. in. w znanej książce Luenbergera [16]. Szczególnym przypadkiem tego zadania jest,,stożkowe zadanie programowania liniowego, tzn. zadanie f T x p. o. Ax + b K 0, gdzie f R n, A R m n oraz b R m są ustalonymi parametrami zadania. Stożkowe zadanie programowania liniowego było już rozpatrywane (nawet w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych) w latach pięćdziesiątych ubiegłego wieku. Podstawowe wyniki na ten temat można znaleźć w znanej monografii Arrowa, Hurwicza i Uzawy [1]. W latach dziewięćdziesiątych stożkowe zagadnienia programowania liniowego, po latach zapomnienia, stały się znowuż przedmiotem rozważań, albowiem okazało się, że poprzez stosowny dobór stożka można w wygodny sposób zapisać jako zadania wypukłe różnorakie, ważne dla zastosowań, problemy nieliniowe.

14 2. Programowanie wypukłe 9 Rozpatrzmy dla przykładu następujące zagadnienie optymalizacji: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 p. o. 1x 1 + 1x 3 + 1x 4 1, 2(1x 1 + 1x 3 + 1x 4 1)(1x 2 + 1x 3 3) (1x 2 + 1x 4 2) 2, 1x 2 + 1x 3 3. Jest to niewątpliwie zagadnienie z nieliniowymi ograniczeniami. Jeżeli jednak wybierzemy za stożek dodatni w przestrzeni R 3 stożek K opisany warunkami K = {(z 1, z 2, z 3 ) T z 1 0, z 3 0, 2z 1 z 3 z2 2 }3, to ww. nieliniowe zagadnienie możemy przedstawić jako następujący (stożkowy) program liniowy: p. o. (1, 1, 1, 1)(x 1, x 2, x 3, x 4 ) T x 1 + x 3 + x 4 1 x 2 + x 4 2 K 0. x 2 + x 3 3 Omówimy poniżej dwa szczególnie ważne przypadki zadań wypukłych, które są sprowadzalne do,,stożkowych zadań programowania liniowego. Są to tzw. zadania programowania stożkowego drugiego stopnia oraz zadania programowania półokreślonego. Oryginalny (angielski) termin określający programowanie stożkowe drugiego stopnia to second-order cone programming, a używany skrót to SOCP. Programowanie półokreślone znane jest też pod skrótem SDP (skrót od ang. semidefinite programming). Zadania SOCP i SDP są dobrze zbadane, znane są ich właściwości, istnieją wyspecjalizowane i sprawdzone algorytmy numeryczne ich rozwiązywania. Wiele interesujących zagadnień programowania wypukłego można przedstawić w postaci zadań SOCP lub SDP. Należą do nich m in. pewne problemy minimalizacji normy, kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe, krzepkie zadania programowania liniowego, krzepkie zadania najmniejszych kwadratów i zadania z ograniczeniami hiperbolicznymi. Zadanie programowania stożkowego drugiego stopnia (SOCP) sformułowane 3Elementami tego stożka są wektory z R 3 tworzące kąt niewiększy niż π/4 z wektorem (1, 0, 1) T.

15 2. Programowanie wypukłe 10 jest następująco: (2.1) f T x p. o. A i x + b i c T i x + d i, i = 1, 2,..., N; wektor x R n reprezentuje zmienne decyzyjne, a parametrami zadania są f R n, A i R (n 1 1) n, b i R n i 1, c i R n oraz d i R. Symbol oznacza zawsze (o ile nie powiedziano inaczej) normę euklidesową, tzn. x = (x T x) Aby wyjaśnić czym naprawdę jest SOCP, wprowadzimy pojęcie stożka drugiego stopnia. Stożek drugiego stopnia wymiaru k będziemy oznaczali C k. Dla k = 1 przyjmujemy, że C 1 = {t t R, 0 t}, czyli po prostu ujemna półoś. Dla k > 1, stożek drugiego stopnia k definiujemy jako C k = u u R k 1, t R, u t. t Łatwo sprawdzić, że stożek ten jest domknięty, ma niepuste wnętrze i jedynym elementem stożka takim, że jednocześnie element przeciwny należy do stożka jest 0. W literaturze bywa on nazywany stożkiem Lorentza. Można go sobie wyobrazić jako zbiór wszystkich półprostych w R k o początku w 0 przechodzących przez umieszczony w płaszczyźnie t = 1 zbiór wszystkich u R k 1 o normie równej 1. Zauważmy teraz, że występujące w ograniczeniach (2.1) nierówności (2.2) A i x + b i ci T x + d i mają taką samą postać jak nierówność określająca stożek C k. Dokładniej, nierówność (2.2) jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy A i c T i x + b i d i C ni. Niech m = N i=1 n i. Zauważmy, że iloczyn kartezjański C stożków C n1 C n2 C nn jest stożkiem w R n 1 R n 2 R n N. Tak więc C jest stożkiem w Rm ; porządek 4Jeżeli n i = 1 to A i x + b i interpretujemy jako liczbę 0; wówczas SOCP jest zwykłym zadanie programowania liniowego.

16 2. Programowanie wypukłe 11 generowany przez ten stożek oznaczymy oczywiście symbolem C. Możemy teraz zapisać SOCP jako następujące,,stożkowe zadanie programowania liniowego: A 1 b 1 c T 1 d 1 A 2 b 2 c2 T x d 2 C 0. A n b n cn T d n Przejdziemy teraz do omówienia drugiego naszego przykładu zadania wypukłego sprowadzalnego do,,stożkowego zadania programowania liniowego. Będzie to zadanie programowania półokreślonego (SDP). Ażeby opisać to zadanie przyjmiemy, że F(x) = F 0 + m i=1 x i F i, gdzie F 0, F 1,..., F m S n są ustalonymi macierzami symetrycznymi. Rozpatrzmy następujące zadanie: (2.3) c T x p. o. F(x) 0. W zadaniu tym zmienną decyzyjną jest wektor x = (x 1, x 2,..., x n ) T ; parametrami tego zadania są macierze F i oraz wektor c. Ograniczeniem tego zadania jest warunek nieujemnej określoności macierzy F(x), zwany też liniową nierównością macierzową (w skrócie LMI, od angielskiego określenia linear matrix inequality). Zauważmy jeszcze, że zadanie, w którym występuje szereg LMI można zastąpić zadaniem z jedną LMI, ponieważ macierz (symetryczna) blokowo-diagonalna jest nieujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy poszczególne bloki są nieujemnie określone. Analogiczny fakt ma miejsce, gdy zamiast nieujemnej określoności będziemy rozważać dodatnią określoność. Zadania, w których pojawia się dodatkowo ograniczenie równościowe postaci G 0 + m i=1 x i G i, gdzie G i są symetryczne, można

17 2. Programowanie wypukłe 12 oczywiście zapisać w postaci dwóch nierówności, ponieważ jedyną macierzą (symetryczną), która jest jednocześnie dodatnio półokreślona i macierz do niej przeciwna ma tę samą właściwość, jest macierz zerowa. Opisane powyżej zadanie optymalizacji to właśnie zadanie programowania półokreślonego. Łatwo sprawdzić, że jest to zadanie wypukłe, albowiem x, y R m λ, µ [0, 1], λ + µ = 1 F(λx + µy) = λf(x) + µf(y) 0. Ponieważ funkcja x F(x) jest afiniczna, a funkcja celu jest liniowa, jest to,,stożkowe zadanie programowania liniowego, a stożek który tutaj określa porządek to stożek S+. n

18 Rozdział 3 Zadania sprowadzalne do postaci SOCP lub SDP W tym rozdziale przedstawimy ważne przykłady zadań optymalizacji sprowadzalnych do SOCP lub SDP. Będą to m. in. pewne problemy minimalizacji normy, kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe, krzepkie zadania programowania liniowego, krzepkie zadania najmniejszych kwadratów i zadania z ograniczeniami hiperbolicznymi. Przykłady te są zaczerpnięte głównie z prac [15] i [24]. 3.1 Zadania programowania liniowego Zadanie programowania liniowego c T x p. o. Ax + b 0, łatwo można sprowadzić zarówno do SOCP jak i SDP. Aby było to zadanie w postaci SOCP, wystarczy przyjąć n i = 1 (por. określenie SOCP z poprzedniego rozdziału). Aby powyższe zadanie programowania liniowego przedstawić w postaci SDP zauważmy przedtem, że warunek, aby wszystkie współrzędne jakiegoś wektora z były nieujemne zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy macierz diagonalna o diagonali 13

19 3.2. Minimalizacja sumy norm 14 złożonej z kolejnych współrzędnych wektora z jest dodatnio półokreślona. Niech F 0 będzie macierzą, która na diagonali ma kolejne współrzędne wektora b, a F i macierzą, która na diagonali ma kolejne wyrazy i-tej kolumny macierzy A. Niech F(x) = F 0 n i=1 x i F i (jest to macierz diagonalna). Jest oczywistym, że warunek Ax + b 0 jest równoważny z wymaganiem, aby F(X) Minimalizacja sumy norm Problem minimalizacji sumy norm łatwo jest sprowadzić do postaci SOCP. Niech (dla i = 1, 2,..., k) F i R n i n oraz д i R n i będą ustalone. Rozpatrujemy zadanie k i=1 F i x + д i. Poprzez wprowadzenie pomocniczych zmiennych t 1, t 2,..., t k można je przekształcić do postaci k t i i=1 p. o. F i x + д i t i, i = 1, 2,..., k. Jest to problem SOCP, w którym zmiennymi decyzyjnymi są x R n oraz t i R. Możliwe jest także uwzględnienie w tym zadaniu pewnych dodatkowych ograniczeń (na przykład nierówności liniowych). Analogicznie można przekształcić problem minimalizacji maksimum norm: Jest on równoważny następującemu SOCP: t max F ix + д i. i=1,...,k p. o. F i x + д i t, i = 1, 2,..., k. Zmiennymi decyzyjnymi dla powyższego zadania są x R n oraz t R. Rozpatrzymy jeszcze jedno zagadnienie minimalizacji normy.1 Chcemy aproksymować (względem normy l 1 ) zadany wektor b C k wektorami z podprzestrzeni 1Jest ono sformułowane nad ciałem liczb zespolonych C, ze względu na pewne zastosowania w inżynierii elektrycznej.

20 3.2. Minimalizacja sumy norm 15 liniowej C k będącej obrazem zadanej macierzy A C k q. Innymi słowy szukamy zmiennej decyzyjnej x C q, która jest rozwiązaniem zadania (3.1) Ax b 1, gdzie2 x 1 = k i=1 x i. Przekształcimy to zadanie do postaci zadania SOCP. W tym celu dla dowolnego wektora lub liczby z przez z real oraz z im oznaczymy odpowiednio jej część rzeczywistą i urojoną tak, że z = z real + jz im, gdzie j = 1. Niech a i oznacza i-ty wiersz macierzy A. Minimalizacja (3.1) to minimalizacja sumy k składników postaci a i x b i. Rozważaną liczbę a i x b i można zapisać jako ((a real i x real a im i x im b real i ) 2 + (a real i x im + a im i x real b im i ) 2 ) 1 2. Łatwo zauważyć, że powyższa liczba jest normą (euklidesową) następującego wektora: a real i a im i x real a im i a real i x im b real b im. Widać teraz, że rozpatrywane zadanie minimalizacji normy można zapisać w postaci następującego zadania SOCP: k t i i=1 p. o. a real i a im i x real a im i a real i x im b real b im t i, i = 1, 2,..., k. Zmienne decyzyjne dla tego zadania to liczby t i oraz wektory x real i x im. W analogiczny sposób można przekształcić problem aproksymacji (nad C) w normie l. Jest to nieznaczna modyfikacja rozpatrywanego w tym podrozdziale zagadnienia minimalizacji maksimum norm. Pewnym rozszerzeniem problemu minimalizacji normy jest zagadnienie minimalizacji sumy ustalonej liczby l największych spośród norm F i x + д i, które można zapisać w postaci l y [i] i=1 p. o. F i x + д i = y i, i = 1, 2,..., k, 2W dalszym ciągu z, dla liczby zespolonej z, oznacza jej wartość bezwzględną.

21 3.3. Kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe 16 gdzie y [1], y [2],..., y [k] są liczbami y 1, y 2,..., y k w kolejności malejącej. Zmiennymi decyzyjnymi dla tego zadania jest wektor x oraz liczby y i. Można pokazać, że powyższa funkcja celu jest wypukła, a problem jest równoważny zagadnieniu lt + l y i i=1 p. o. F i x + д i t + y i, i = 1, 2,..., k, y i 0, i = 1, 2,..., k, ze zmiennymi decyzyjnymi x, y R k oraz t R. 3.3 Kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe Rozważmy ogólne zadanie programowania kwadratowego z ograniczeniami stopnia drugiego3, zwane QCQP (skrót od ang. quadratically constrained quadratic programming): x T P 0 x + 2q T 0 x + r 0 p. o. x T P i x + 2q T i x + r i 0, i = 1, 2,..., k. Zmienną decyzyjną jest oczywiście wektor x R n. Wielkości P 0, P 1,..., P k S n + są ustalonymi (symetrycznymi) macierzami dodatnio określonymi; wektory q oraz liczby r są również ustalonymi parametrami zadania. Opisane powyżej zadanie jest wówczas zadaniem programowania wypukłego.4 Ażeby sprowadzić to zadanie do postaci SOCP zauważmy, że dla dowolnych v, w R n, (3.2) v + w 2 = v 2 + w 2 + 2w T v. Zauważmy też, że dla dowolnej macierzy P dodatnio półokreślonej istnieje dokładnie jedna dodatnio półokreślona macierz Q taka, że P = Q 2 (por. [3, str. 92]). Macierz Q nazywamy pierwiastkiem macierzy P i oznaczamy symbolem P 1 2. Jeśli P 3Inaczej: kwadratowo ograniczone. 4Żeby to zadanie było wypukłe, wystarczy założyć, że wszystkie macierze P są dodatnio półokreślone.

22 3.3. Kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe 17 jest dodatnio określona, to P 1 2 jest też dodatnio określona. Odwrotność tej ostatniej będziemy oznaczać symbolem P 1 2. Gdy v = P 1 2 x, a w = P 1 2 q (P jest dodatnio określona, a x oraz q są dowolnymi wektorami), otrzymujemy z zależności (3.2) równość P 1 2 x + P 1 2 q 2 = P 1 2 x 2 + P 1 2 q 2 + 2q T P 1 2 P 1 2 x. Zauważmy też, że P 1 2 x 2 = x T Px, P 1 2 q = q T P 1 q oraz q T P 1 2 P 1 2 x = q T x. Dlatego x T Px + 2q T x + r = P 1 2 x 2 + 2qP 1 2 P 1 2 x + r. Po dodaniu do obu stron q T P 1 q otrzymujemy następującą równość: x T Px + 2q T x + r + q T P 1 q = P 1 2 x 2 + 2qP 1 2 P 1 2 x + r + q T P 1 q = P 1 2 x + P 1 2 q + r. Tak więc x T Px + 2q T x + r = P 1 2 x + P 1 2 q + r q T P 1 q. Powyższe rozważania pozwalają nam na przepisanie rozpatrywanego QCQP w formie zadania (3.3) P x + P q r 0 q T 0 P 1 0 q 0 p. o. Pi 1 2 x + Pi 1 2 q i 2 + r i q T i Pi 1 q i 0, i = 1, 2,..., k. Stały składnik r 0 q T 0 P 1 0 q 0 można pominąć przy wyznaczaniu optymalnej decyzji ˆx. Ażeby przekształcić to zadanie do SOCP zauważmy jeszcze, że pierwiastek kwadratowy jest funkcją ściśle rosnącą. Dlatego problem wyznaczenia optymalnej decyzji ˆx można sprowadzić do następującego SOCP: (3.4) t p. o. P x + P q 0 t P 1 2 i x + Pi 1 2 q i (q T i Pi 1 q i r i ) 1 2, i = 1, 2,..., k. Zmiennymi decyzyjnymi w powyższym zadaniu są liczba t R oraz wektor x R n.

23 3.3. Kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe 18 Szczególnym przypadkiem kwadratowo ograniczonego zadania programowania kwadratowego jest zadanie z ograniczeniami liniowymi, tzn. zadanie postaci: (3.5) x T P 0 x + 2q T 0 x + r 0 p. o. a T i x b i, i = 1, 2,..., k, przy założeniu, że P 0 jest dodatnio określona. Powyższy problem można przedstawić jako nowy problem względem zmiennych x oraz t (3.6) t p. o. P x + P q 0 t a T i x b i, i = 1, 2,..., k, z jednym ograniczeniem wymiaru n + 1 oraz k ograniczeniami wymiaru 1. Rozpatrywane do tej pory przez nas funkcje kwadratowe miały postać x T Px + 2q T x + r. Trochę ogólniejszą funkcją kwadratową jest funkcja (Ax + b) T (Ax + b) c T x d, gdzie A jest (dowolną) macierzą, x jest zmienną, b i c są wektorami stosownych wymiarów, a d jest liczbą. Dlatego ogólniejszą, bo,,kwadratem tutaj jest x T A T Ax, a macierz A T A, choć zawsze dodatnio półokreślona, nie musi być dodatnio określona. Będziemy rozważać następującą nierówność: (3.7) (Ax + b) T (Ax + b) c T x d 0. Powyższa nierówność zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest następujący warunek: (3.8) I Ax + b (Ax + b) T c T 0. x + d Ażeby uzasadnić powyższą równoważność przypomnijmy, że macierz symetryczna jest dodatnio półokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej minory główne są nieujemne.5 Minorami głównymi macierzy, której dodatnia półokreśloność nas interesuje, mogą być liczby 1, c T x + d, c T x + d z T z, gdzie z jest dowolnym podwektorem wektora Ax + b. Zauważmy, że zawsze z T z (Ax + b) T (Ax + b) oraz, 5Mówi o tym odpowiedni wariant twierdzenia Sylvestera (patrz np. [10, r. X]). Warto wspomnieć, że dodatnia określoność ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy minory wiodące są dodatnie

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja konstrukcji

Optymalizacja konstrukcji Optymalizacja konstrukcji Kształtowanie konstrukcyjne: nadanie właściwych cech konstrukcyjnych przeszłej maszynie określenie z jakiego punktu widzenia (wg jakiego kryterium oceny) będą oceniane alternatywne

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro 6 Na dobry start do liceum 8Piotr Drozdowski 6 Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA Zadania Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Piotr Drozdowski MATEMATYKA. Na dobry

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja użyteczności

1 Funkcja użyteczności 1 Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk. Użyteczność pieniądza

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] 3-2 5 8 12-4 -26 12 45-76

a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] 3-2 5 8 12-4 -26 12 45-76 . p. 1 Algorytmem nazywa się poddający się interpretacji skończony zbiór instrukcji wykonania zadania mającego określony stan końcowy dla każdego zestawu danych wejściowych W algorytmach mogą występować

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie z Pracowni Naukowej 1 Optymalizacja wielomianowa

Sprawozdanie z Pracowni Naukowej 1 Optymalizacja wielomianowa Sprawozdanie z Pracowni Naukowej 1 Optymalizacja wielomianowa Michał Przyłuski 4380/D 28 stycznia 2011 r. Przypuśćmy, że w każdej chwili t, pewna wielkość x przyjmuje wartość x(t) zgodnie z zależnością

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy)

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku:

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Klasa 1 Liceum i technikum Katalog

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ

Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ Wprowadzenie Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: stabilność i wymagania

Bardziej szczegółowo