Optymalizacja wypukła: wybrane zagadnienia

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Optymalizacja wypukła: wybrane zagadnienia"

Transkrypt

1 Politechnika Warszawska Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych Instytut Informatyki Rok akademicki 2008/2009 Praca Dyplomowa Inżynierska Michał Przyłuski Optymalizacja wypukła: wybrane zagadnienia Opiekun pracy: prof. nzw. dr hab. Włodzimierz Ogryczak Ocena Podpis Przewodniczącego Komisji Egzaminu Dyplomowego

2 Specjalność: Informatyka Inżynieria Systemów Informacyjnych Data urodzenia: 4 maja 1985 r. Data rozpoczęcia studiów: 1 października 2004 r. Życiorys Nazywam się Michał Przyłuski, urodziłem się w Warszawie, 4 maja 1985 r. Szkołę Podstawową nr 15 w Warszawie ukończyłem w 2000 roku. W latach uczęszczałem do XXV Liceum Ogólnokształcącego im. Józefa Wybickiego w Warszawie. Po uzyskaniu matury rozpocząłem w październiku 2004 r. studia na Wydziale Elektroniki i Technik Informacyjnych PW oraz w Kolegium Międzywydziałowych Indywidualnych Studiów Matematyczno-Przyrodniczych UW, gdzie jestem aktualnie studentem piątego roku (kierunek podstawowy: matematyka) podpis studenta Egzamin dyplomowy Złożył egzamin dyplomowy w dn z wynikiem Ogólny wynik studiów: Dodatkowe wnioski i uwagi Komisji:

3 Streszczenie Rozpatrywane są wybrane zagadnienia optymalizacji wypukłej. Omówiono szczegółowo dwa szczególnie ważne przypadki zadań wypukłych, sprowadzalnych do,,stożkowego zadania programowania liniowego. Są to tzw. zadania programowania stożkowego drugiego stopnia (zwane SOCP) oraz zadania programowania półokreślonego (zwane SDP). Wiele interesujących zagadnień programowania wypukłego można przedstawić w postaci takich zadań. Należą do nich omówione w pracy problemy minimalizacji normy, kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe, krzepkie zadania programowania liniowego, krzepkie zadania najmniejszych kwadratów i zadania z ograniczeniami hiperbolicznymi. Przedstawiono niektóre z zastosowań metod optymalizacji wypukłej do rozwiązywania problemów dotyczących projektowania optymalnych filtrów cyfrowych, doboru siły chwytającej robota, projektowania układu anten dookólnych, do zagadnień rozpoznawania obrazów oraz do analizy pewnych zagadnień teorii portfela. Słowa kluczowe: optymalizacja, programowanie wypukłe, programowanie półokreślone Convex optimization: selected problems Selected problems of convex optimization are considered. In particular semidefinite programming (SDP) and second-order cone programming are discussed and their use for various specifi optimization problems is presented. Applications in various fields has been described as well. Key words: optimization, convex optimization, semidefinite programming

4 Spis treści 1 Wstęp 1 2 Programowanie wypukłe 5 3 Zadania sprowadzalne do postaci SOCP lub SDP Zadania programowania liniowego Minimalizacja sumy norm Kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe Krzepkie zadania programowania liniowego oraz najmniejszych kwadratów Programowanie liniowe Zadanie najmniejszych kwadratów Zadania z ograniczeniami hiperbolicznymi Maksymalizacja średniej harmonicznej Liniowo-kwadratowy problem ułamkowy Logarytmiczna aproksymacja Czebyszewa Średnia geometryczna Maksymalizacja wartości własnej i normy macierzy Zastosowania Rozpoznawanie obrazów Układy anten Siła chwytająca Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej i

5 SPIS TREŚCI ii Przypadek zespolony Symetryczne współczynniki Logarytmiczne odchylenie filtru o liniowej fazie Wybrane zagadnienia teorii portfela Model Markowitza Ograniczenie ryzyka straty Analiza postoptymalizacyjna Bibliografia 44

6 Rozdział 1 Wstęp Wiele problemów inżynierskich, ekonomicznych, itp. może być przedstawionych jako zadanie optymalizacji postaci: f 0 (x) p. o. f i (x) 0, i = 1,..., m, h i (x) = 0, i = 1,..., p; x jest tu wektorem zmiennych decyzyjnych, f 0 jest funkcją celu, a funkcje f i oraz h i są określają odpowiednio ograniczenia nierównościowe i równościowe. Wyznaczenie rozwiązań tak ogólnych zadań może okazać się bardzo trudne w praktyce. Pierwszym problemem jest znalezienie dowolnego rozwiązania dopuszczalnego lub stwierdzenie, że takie rozwiązanie może nie istnieć. Ponadto, algorytm rozwiązania takiego zadania może zatrzymać się w lokalnym minimum. Nie do pominięcia jest także wpływ błędów zaokrągleń i ich kumulowanie się. W wielu sytuacjach trudno jest też sformułować dobry warunek stopu dla takiego algorytmu. Wreszcie, zbieżność algorytmu do rozwiązania optymalnego może być bardzo powolna. Opisane powyżej trudności nie pojawiają się jednak, gdy zawęzimy odpowiednio klasę rozpatrywanych zadań optymalizacji. Dobrze znanym przykładem są tu zadania programowania liniowego, dla których już pół wieku temu istniały dobrze sprawdzające się w praktyce algorytmy wyznaczania ich rozwiązań. Ogólniejszą klasą zadań, dla których przynajmniej niektóre z opisanych powyżej trudności 1

7 1. Wstęp 2 nie występują to zadania programowania wypukłego. Są to takie zadania, dla których funkcja celu i funkcje definiujące ograniczenia nierównościowe są wypukłe, a funkcje definiujące ograniczenia równościowe są afiniczne. Lokalne minimum będzie wtedy globalnym minimum, a także możliwe jest ustalenie dobrego warunku stopu w oparciu o teorię dualności. Poważny wpływ na rozwój metod obliczeniowych rozwiązywania zadań wypukłych miało pojawienie się w połowie lat osiemdziesiątych pracy Karmarkara, w której udowodnił on, że tzw. metoda punktu wewnętrznego rozwiązywania zadań programowania liniowego ma złożoność wielomianową. Co ważne, algorytm punktu wewnętrznego okazał się również sprawny w praktyce.1 Okazało się też, że metodę punktu wewnętrznego można stosować również do rozwiązywania zadań programowania wypukłego. Istotnym elementem metody punktu wewnętrznego są funkcje barier2, które umożliwiają,,zamienienie zadania z ograniczeniami na zadanie bez ograniczeń w ten sposób, że wyznaczane w kolejnych iteracjach przybliżenia rozwiązania optymalnego leżą we wnętrzu zbioru dopuszczalnego. Nesterov oraz Nemirovskii zaproponowali taką klasę funkcji barier, dla których można udowodnić, że złożoność obliczeniowa metody punktu wewnętrznego rozwiązania zadań wypukłych jest wielomianowa względem wymiaru problemu oraz pożądanej dokładności rozwiązania. W ich rozważaniach ważną rolę odgrywa pojęcie self-concordance; jest to warunek, który dla funkcji f jednej zmiennej mówi o możliwości oszacowania jej trzeciej pochodnej przez jej drugą pochodną, a dokładniej jest wymaganiem, aby f (x) 2 f (x) 3 2. Dla funkcji wielu zmiennych warunek ten powinien być spełniony na każdej prostej. Obszerne omówienie tych zagadnień przedstawione jest w ich znanej monografii [20]. W latach dziewięćdziesiątych ukazało się szereg prac, w których analizowane 1Znana wcześniej metoda elipsoid rozwiązywania zadań programowania liniowego też ma złożoność wielomianową (co udowodnił Khachiyan w 1979 roku), ale okazała się mało przydatna w praktyce obliczeniowej. 2Funkcje barier znane już były w latach sześćdziesiątych m. in. dzięki pracom Fiacco i McCormicka. Pokrewne im funkcje kary były też już wówczas znane. Ważne prace na temat funkcji kary zawdzięczamy m. in. Wierzbickiemu oraz Wierzbickiemu i Kurcyuszowi.

8 1. Wstęp 3 są szczególne klasy zadań programowania wypukłego, ważnych dla zastosowań. Opracowano wiele dobrych algorytmów rozwiązujących takie zadania. Udostępnione zostały liczne pakiety oprogramowania (np. SeDuMi opisane w [26]). Programowanie wypukłe jest ogólną gałęzią optymalizacji obejmującą w sobie wiele technik takich jak programowanie półokreślone, programowanie wypukłe na stożkach. Znalazło ono ostatnio powszechne zastosowanie do efektywnego sformułowania i rozwiązania wielu problemów inżynierskich. Jak już wspomnieliśmy zaletami programowania wypukłego jest wielomianowa złożoność czasowa odpowiednich algorytmów, a także dostępność wysokowydajnych i godnych zaufania narzędzi do rozwiązywania nawet dużych zadań. Kontrastuje to z ogólnymi metodami optymalizacji takimi jak algorytmy ewolucyjne bądź symulowane wyżarzanie, które wymagają precyzyjnego strojenia dla konkretnego problemu, i często pozostają w lokalnym optimum. W pracy rozpatrywane są wybrane zagadnienia optymalizacji wypukłej. W rozdziale 2 omówiono szczegółowo dwa szczególnie ważne przypadki zadań wypukłych sprowadzalnych do,,stożkowego zadania programowania liniowego. Są to tzw. zadania programowania stożkowego drugiego stopnia (zwane SOCP) oraz zadania programowania półokreślonego (zwane SDP). Wiele interesujących zagadnień programowania wypukłego można przedstawić w postaci takich zadań. Należą do nich omówione w rozdziale 3 problemy minimalizacji normy, kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe (zwane QCQP), krzepkie zadania programowania liniowego, krzepkie zadania najmniejszych kwadratów i zadania z ograniczeniami hiperbolicznymi. W rozdziale 4 przedstawiono niektóre z zastosowań metod optymalizacji wypukłej do rozwiązywania konkretnych problemów. Omówiono projektowanie optymalnych filtrów cyfrowych, dobór siły chwytającej robota, projektowania układu anten dookólnych, pewien problem z teorii rozpoznawania obrazów oraz pewne zagadnienia teorii portfela. Metody optymalizacji wypukłej znalazły liczne zastosowania w różnych dziedzinach, nie tylko tych wymienionych powyżej. Zastosowania w obszarze teorii sterowania i systemów zostały zaprezentowane m in. w monografii [8], gdzie przedstawiono,,wypukłe podejście do zagadnień syntezy krzepkiego regulatora, a tak-

9 1. Wstęp 4 że w monografii [5] poświęconej wykorzystaniu liniowych nierówności macierzowych i metod programowania półokreślonego do analizy i syntezy niewrażliwych układów sterowania. W pracy zwykle zakładamy, że wszystkie rozpatrywane zadania optymalizacji mają rozwiązanie.

10 Rozdział 2 Programowanie wypukłe Rozpoczniemy od przedstawienia poniżej podstawowych pojęć matematycznych i oznaczeń, którymi posługujemy się w tej pracy. Symbolem R n oznaczamy arytmetyczną n-wymiarową przestrzeń liniową nad R, której elementy zwykle zapisujemy jako (n-wymiarowe) wektory kolumnowe. Zbiór macierzy o elementach rzeczywistych o wymiarach m n oznaczamy symbolem R m n. Transpozycję macierzy A oznaczamy przez A T. Przez S n będziemy rozumieć zbiór macierzy symetrycznych o wymiarach n n. Funkcję f R n R m nazywamy funkcją afiniczną jeśli jest postaci f (x) = Ax+ b, gdzie A i b są odpowiednio macierzą i wektorem kolumnowym odpowiednich wymiarów. Jeśli F R n R p q jest funkcją o wartościach macierzowych, to jest ona afiniczna gdy daje się zapisać w postaci F(x) = A 0 + x 1 A x n A n, gdzie A i R p q. Niepusty zbiór S R n nazywamy podprzestrzenią liniową R n, gdy zawiera on 0 oraz wraz z każdymi swoimi dwoma (różnymi) punktami zawiera prostą przez nie przechodzącą, tzn. dla dowolnych x, y S oraz λ, µ R, zachodzi λx + µy S. Obrazy i jądra macierzy są oczywiście podprzestrzeniami liniowymi. Odwrotnie, każda podprzestrzeń liniowa R n jest obrazem pewnej macierzy; można ją też przedstawić jako jądro pewnej (innej) macierzy. Zbiór nazywamy S R n podprzestrzenią afiniczną, jeśli zawiera prostą prze- 5

11 2. Programowanie wypukłe 6 chodzącą przez każde dwa jego punkty, czyli gdy x, y S, λ, µ R, λ + µ = 1 λx + µy S. Podprzestrzeń afiniczna jest translacją (o pewien wektor) pewnej, jednoznacznie określonej, podprzestrzeni liniowej. Każda podprzestrzeń afiniczna jest obrazem pewnej funkcji afinicznej S = {Az + b z R q }. Jest to także zbiór rozwiązań pewnego układu równań liniowych S = {x Bx = d}. Zbiór S nazywamy zbiorem wypukłym, gdy zawiera odcinek łączący dowolne dwa punkty należące do S, tj. x, y S, λ, µ R, λ, µ 0, λ + µ = 1 λx + µy S. Oczywiście, podprzestrzenie liniowe i podprzestrzenie afiniczne są zbiorami wypukłymi. Niech S R n będzie ustalonym, niepustym zbiorem wypukłym. Funkcję f S R nazywamy wypukłą, wtedy i tylko wtedy, gdy x, y S λ, µ [0, 1], λ + µ = 1 f (λx + µy) λ f (x) + µ f (y). Dla funkcji o ciągłej drugiej pochodnej powyższy warunek można wyrazić poprzez dodatnią półokreśloność hesjanu. Zbiór K nazywamy stożkiem wypukłym, jeśli jest on wypukły oraz dla każdego x K, zawiera półprostą wychodzącą z 0 i przechodzącą przez x. Innymi słowy, K jest stożkiem wypukłym, gdy x, y K, λ, µ 0 λx + µy K. Dla n = 2 stożek wypukły to po prostu kąt wypukły rozumiany jako nieograniczony i wypukły podzbiór płaszczyzny ograniczony dwoma półprostymi o wspólnym początku. Przykładem stożka wypukłego może być nieujemna ćwiartka (oktant, itd.) R+. n Niektóre zastosowanie wymagają rozpatrywania macierzy dodatnio półokreślonych lub dodatnio określonych. Macierz A jest dodatnio półokreślona, co zapisujemy jako A 0, jeśli jest ona symetryczna oraz, dla każdego x R n, x T Ax 0.

12 2. Programowanie wypukłe 7 Podobnie macierz A jest dodatnio określona, co zapisujemy jako A 0, jeśli jest ona symetryczna oraz, dla każdego 0 x R n, x T Ax > 0. Zbiór macierzy dodatnio półokreślonych (o wymiarach n n) oznaczamy S n + = {X S n X 0}. Łatwo sprawdzić, że zbiór ten jest stożkiem nazywanym stożkiem dodatnio półokreślonym. Zbiór macierzy dodatnio określonych z dołączonym wektorem zerowym także jest stożkiem. Przy rozpatrywaniu zagadnień programowania wypukłego ważną rolę odgrywają stożki, które są domknięte, mają niepuste wnętrze oraz mają tę właściwość, że jedynym elementem stożka takim, że jednocześnie element przeciwny należy do stożka jest 0. Stożki R n + oraz S n + mają ww. właściwości, natomiast zbiór macierzy dodatnio określonych nie, bo nie jest domknięty (ma pozostałe właściwości). Dowolny stożek K (zawarty w R n, R m n, S n, czy też dowolnej przestrzeni liniowej) generuje pewien częściowy porządek1 K, jeśli przyjmiemy, że x K y x y K. Łatwo zauważyć, że x K 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x K i dlatego K jest nazywane stożkiem dodatnim. Nierówności, w których występuje ww. częściowy porządek możemy dodawać do siebie stronami, mnożyć stronami przez liczby nieujemne, a gdy stożek jest domknięty, możemy w nich przechodzić do granicy. Jeśli stożek ma tę właściwość, że jedynym jego elementem, dla którego element przeciwny też należy do stożka jest 0, to częściowy porządek K staje się antysymetryczny2, czyli jest porządkiem. Relację przeciwną do K oznaczamy K ; wówczas x K y y K x. Niech K będzie ustalonym stożkiem dodatnim w R m, a F odwzorowaniem z pewnego zbioru wypukłego Ω R n o wartościach w R m, nazywamy je wypukłym, gdy x, y K λ, µ [0, 1], λ + µ = 1 F(λx + µy) K λf(x) + µf(y). Analogicznie możemy określić wypukłość dla odwzorowań o wartościach w S n. 1Pod częściowym porządkiem rozumiemy dowolną relację zwrotną i przechodnią. 2Tzn. x K y oraz y K x implikuje x = y.

13 2. Programowanie wypukłe 8 Rozpatrzmy zadanie optymalizacji f 0 (x) p. o. f i (x) 0, i = 1,..., m, h i (x) = 0, i = 1,..., p, x Ω, gdzie Ω R n. Mówimy, że jest to zadanie wypukłe (in. zadanie programowania wypukłego), gdy Ω jest zbiorem wypukłym oraz wszystkie funkcje f są wypukłe, a funkcje h są afiniczne. Szczególnym przypadkiem tego zadania jest zadanie programowania liniowego (wszystkie funkcje f i h są wtedy afiniczne). Innym przykładem zadania wypukłego jest zadanie f (x) p. o. F(x) K 0, x Ω, gdzie Ω R n jest zbiorem wypukłym, F jest odwzorowaniem wypukłym o wartościach w R m, a K ustalonym stożkiem dodatnim w R m. O funkcji f zakładamy też, że jest wypukła. Teoria takich zadań jest przedstawiona m. in. w znanej książce Luenbergera [16]. Szczególnym przypadkiem tego zadania jest,,stożkowe zadanie programowania liniowego, tzn. zadanie f T x p. o. Ax + b K 0, gdzie f R n, A R m n oraz b R m są ustalonymi parametrami zadania. Stożkowe zadanie programowania liniowego było już rozpatrywane (nawet w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych) w latach pięćdziesiątych ubiegłego wieku. Podstawowe wyniki na ten temat można znaleźć w znanej monografii Arrowa, Hurwicza i Uzawy [1]. W latach dziewięćdziesiątych stożkowe zagadnienia programowania liniowego, po latach zapomnienia, stały się znowuż przedmiotem rozważań, albowiem okazało się, że poprzez stosowny dobór stożka można w wygodny sposób zapisać jako zadania wypukłe różnorakie, ważne dla zastosowań, problemy nieliniowe.

14 2. Programowanie wypukłe 9 Rozpatrzmy dla przykładu następujące zagadnienie optymalizacji: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 p. o. 1x 1 + 1x 3 + 1x 4 1, 2(1x 1 + 1x 3 + 1x 4 1)(1x 2 + 1x 3 3) (1x 2 + 1x 4 2) 2, 1x 2 + 1x 3 3. Jest to niewątpliwie zagadnienie z nieliniowymi ograniczeniami. Jeżeli jednak wybierzemy za stożek dodatni w przestrzeni R 3 stożek K opisany warunkami K = {(z 1, z 2, z 3 ) T z 1 0, z 3 0, 2z 1 z 3 z2 2 }3, to ww. nieliniowe zagadnienie możemy przedstawić jako następujący (stożkowy) program liniowy: p. o. (1, 1, 1, 1)(x 1, x 2, x 3, x 4 ) T x 1 + x 3 + x 4 1 x 2 + x 4 2 K 0. x 2 + x 3 3 Omówimy poniżej dwa szczególnie ważne przypadki zadań wypukłych, które są sprowadzalne do,,stożkowych zadań programowania liniowego. Są to tzw. zadania programowania stożkowego drugiego stopnia oraz zadania programowania półokreślonego. Oryginalny (angielski) termin określający programowanie stożkowe drugiego stopnia to second-order cone programming, a używany skrót to SOCP. Programowanie półokreślone znane jest też pod skrótem SDP (skrót od ang. semidefinite programming). Zadania SOCP i SDP są dobrze zbadane, znane są ich właściwości, istnieją wyspecjalizowane i sprawdzone algorytmy numeryczne ich rozwiązywania. Wiele interesujących zagadnień programowania wypukłego można przedstawić w postaci zadań SOCP lub SDP. Należą do nich m in. pewne problemy minimalizacji normy, kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe, krzepkie zadania programowania liniowego, krzepkie zadania najmniejszych kwadratów i zadania z ograniczeniami hiperbolicznymi. Zadanie programowania stożkowego drugiego stopnia (SOCP) sformułowane 3Elementami tego stożka są wektory z R 3 tworzące kąt niewiększy niż π/4 z wektorem (1, 0, 1) T.

15 2. Programowanie wypukłe 10 jest następująco: (2.1) f T x p. o. A i x + b i c T i x + d i, i = 1, 2,..., N; wektor x R n reprezentuje zmienne decyzyjne, a parametrami zadania są f R n, A i R (n 1 1) n, b i R n i 1, c i R n oraz d i R. Symbol oznacza zawsze (o ile nie powiedziano inaczej) normę euklidesową, tzn. x = (x T x) Aby wyjaśnić czym naprawdę jest SOCP, wprowadzimy pojęcie stożka drugiego stopnia. Stożek drugiego stopnia wymiaru k będziemy oznaczali C k. Dla k = 1 przyjmujemy, że C 1 = {t t R, 0 t}, czyli po prostu ujemna półoś. Dla k > 1, stożek drugiego stopnia k definiujemy jako C k = u u R k 1, t R, u t. t Łatwo sprawdzić, że stożek ten jest domknięty, ma niepuste wnętrze i jedynym elementem stożka takim, że jednocześnie element przeciwny należy do stożka jest 0. W literaturze bywa on nazywany stożkiem Lorentza. Można go sobie wyobrazić jako zbiór wszystkich półprostych w R k o początku w 0 przechodzących przez umieszczony w płaszczyźnie t = 1 zbiór wszystkich u R k 1 o normie równej 1. Zauważmy teraz, że występujące w ograniczeniach (2.1) nierówności (2.2) A i x + b i ci T x + d i mają taką samą postać jak nierówność określająca stożek C k. Dokładniej, nierówność (2.2) jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy A i c T i x + b i d i C ni. Niech m = N i=1 n i. Zauważmy, że iloczyn kartezjański C stożków C n1 C n2 C nn jest stożkiem w R n 1 R n 2 R n N. Tak więc C jest stożkiem w Rm ; porządek 4Jeżeli n i = 1 to A i x + b i interpretujemy jako liczbę 0; wówczas SOCP jest zwykłym zadanie programowania liniowego.

16 2. Programowanie wypukłe 11 generowany przez ten stożek oznaczymy oczywiście symbolem C. Możemy teraz zapisać SOCP jako następujące,,stożkowe zadanie programowania liniowego: A 1 b 1 c T 1 d 1 A 2 b 2 c2 T x d 2 C 0. A n b n cn T d n Przejdziemy teraz do omówienia drugiego naszego przykładu zadania wypukłego sprowadzalnego do,,stożkowego zadania programowania liniowego. Będzie to zadanie programowania półokreślonego (SDP). Ażeby opisać to zadanie przyjmiemy, że F(x) = F 0 + m i=1 x i F i, gdzie F 0, F 1,..., F m S n są ustalonymi macierzami symetrycznymi. Rozpatrzmy następujące zadanie: (2.3) c T x p. o. F(x) 0. W zadaniu tym zmienną decyzyjną jest wektor x = (x 1, x 2,..., x n ) T ; parametrami tego zadania są macierze F i oraz wektor c. Ograniczeniem tego zadania jest warunek nieujemnej określoności macierzy F(x), zwany też liniową nierównością macierzową (w skrócie LMI, od angielskiego określenia linear matrix inequality). Zauważmy jeszcze, że zadanie, w którym występuje szereg LMI można zastąpić zadaniem z jedną LMI, ponieważ macierz (symetryczna) blokowo-diagonalna jest nieujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy poszczególne bloki są nieujemnie określone. Analogiczny fakt ma miejsce, gdy zamiast nieujemnej określoności będziemy rozważać dodatnią określoność. Zadania, w których pojawia się dodatkowo ograniczenie równościowe postaci G 0 + m i=1 x i G i, gdzie G i są symetryczne, można

17 2. Programowanie wypukłe 12 oczywiście zapisać w postaci dwóch nierówności, ponieważ jedyną macierzą (symetryczną), która jest jednocześnie dodatnio półokreślona i macierz do niej przeciwna ma tę samą właściwość, jest macierz zerowa. Opisane powyżej zadanie optymalizacji to właśnie zadanie programowania półokreślonego. Łatwo sprawdzić, że jest to zadanie wypukłe, albowiem x, y R m λ, µ [0, 1], λ + µ = 1 F(λx + µy) = λf(x) + µf(y) 0. Ponieważ funkcja x F(x) jest afiniczna, a funkcja celu jest liniowa, jest to,,stożkowe zadanie programowania liniowego, a stożek który tutaj określa porządek to stożek S+. n

18 Rozdział 3 Zadania sprowadzalne do postaci SOCP lub SDP W tym rozdziale przedstawimy ważne przykłady zadań optymalizacji sprowadzalnych do SOCP lub SDP. Będą to m. in. pewne problemy minimalizacji normy, kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe, krzepkie zadania programowania liniowego, krzepkie zadania najmniejszych kwadratów i zadania z ograniczeniami hiperbolicznymi. Przykłady te są zaczerpnięte głównie z prac [15] i [24]. 3.1 Zadania programowania liniowego Zadanie programowania liniowego c T x p. o. Ax + b 0, łatwo można sprowadzić zarówno do SOCP jak i SDP. Aby było to zadanie w postaci SOCP, wystarczy przyjąć n i = 1 (por. określenie SOCP z poprzedniego rozdziału). Aby powyższe zadanie programowania liniowego przedstawić w postaci SDP zauważmy przedtem, że warunek, aby wszystkie współrzędne jakiegoś wektora z były nieujemne zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy macierz diagonalna o diagonali 13

19 3.2. Minimalizacja sumy norm 14 złożonej z kolejnych współrzędnych wektora z jest dodatnio półokreślona. Niech F 0 będzie macierzą, która na diagonali ma kolejne współrzędne wektora b, a F i macierzą, która na diagonali ma kolejne wyrazy i-tej kolumny macierzy A. Niech F(x) = F 0 n i=1 x i F i (jest to macierz diagonalna). Jest oczywistym, że warunek Ax + b 0 jest równoważny z wymaganiem, aby F(X) Minimalizacja sumy norm Problem minimalizacji sumy norm łatwo jest sprowadzić do postaci SOCP. Niech (dla i = 1, 2,..., k) F i R n i n oraz д i R n i będą ustalone. Rozpatrujemy zadanie k i=1 F i x + д i. Poprzez wprowadzenie pomocniczych zmiennych t 1, t 2,..., t k można je przekształcić do postaci k t i i=1 p. o. F i x + д i t i, i = 1, 2,..., k. Jest to problem SOCP, w którym zmiennymi decyzyjnymi są x R n oraz t i R. Możliwe jest także uwzględnienie w tym zadaniu pewnych dodatkowych ograniczeń (na przykład nierówności liniowych). Analogicznie można przekształcić problem minimalizacji maksimum norm: Jest on równoważny następującemu SOCP: t max F ix + д i. i=1,...,k p. o. F i x + д i t, i = 1, 2,..., k. Zmiennymi decyzyjnymi dla powyższego zadania są x R n oraz t R. Rozpatrzymy jeszcze jedno zagadnienie minimalizacji normy.1 Chcemy aproksymować (względem normy l 1 ) zadany wektor b C k wektorami z podprzestrzeni 1Jest ono sformułowane nad ciałem liczb zespolonych C, ze względu na pewne zastosowania w inżynierii elektrycznej.

20 3.2. Minimalizacja sumy norm 15 liniowej C k będącej obrazem zadanej macierzy A C k q. Innymi słowy szukamy zmiennej decyzyjnej x C q, która jest rozwiązaniem zadania (3.1) Ax b 1, gdzie2 x 1 = k i=1 x i. Przekształcimy to zadanie do postaci zadania SOCP. W tym celu dla dowolnego wektora lub liczby z przez z real oraz z im oznaczymy odpowiednio jej część rzeczywistą i urojoną tak, że z = z real + jz im, gdzie j = 1. Niech a i oznacza i-ty wiersz macierzy A. Minimalizacja (3.1) to minimalizacja sumy k składników postaci a i x b i. Rozważaną liczbę a i x b i można zapisać jako ((a real i x real a im i x im b real i ) 2 + (a real i x im + a im i x real b im i ) 2 ) 1 2. Łatwo zauważyć, że powyższa liczba jest normą (euklidesową) następującego wektora: a real i a im i x real a im i a real i x im b real b im. Widać teraz, że rozpatrywane zadanie minimalizacji normy można zapisać w postaci następującego zadania SOCP: k t i i=1 p. o. a real i a im i x real a im i a real i x im b real b im t i, i = 1, 2,..., k. Zmienne decyzyjne dla tego zadania to liczby t i oraz wektory x real i x im. W analogiczny sposób można przekształcić problem aproksymacji (nad C) w normie l. Jest to nieznaczna modyfikacja rozpatrywanego w tym podrozdziale zagadnienia minimalizacji maksimum norm. Pewnym rozszerzeniem problemu minimalizacji normy jest zagadnienie minimalizacji sumy ustalonej liczby l największych spośród norm F i x + д i, które można zapisać w postaci l y [i] i=1 p. o. F i x + д i = y i, i = 1, 2,..., k, 2W dalszym ciągu z, dla liczby zespolonej z, oznacza jej wartość bezwzględną.

21 3.3. Kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe 16 gdzie y [1], y [2],..., y [k] są liczbami y 1, y 2,..., y k w kolejności malejącej. Zmiennymi decyzyjnymi dla tego zadania jest wektor x oraz liczby y i. Można pokazać, że powyższa funkcja celu jest wypukła, a problem jest równoważny zagadnieniu lt + l y i i=1 p. o. F i x + д i t + y i, i = 1, 2,..., k, y i 0, i = 1, 2,..., k, ze zmiennymi decyzyjnymi x, y R k oraz t R. 3.3 Kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe Rozważmy ogólne zadanie programowania kwadratowego z ograniczeniami stopnia drugiego3, zwane QCQP (skrót od ang. quadratically constrained quadratic programming): x T P 0 x + 2q T 0 x + r 0 p. o. x T P i x + 2q T i x + r i 0, i = 1, 2,..., k. Zmienną decyzyjną jest oczywiście wektor x R n. Wielkości P 0, P 1,..., P k S n + są ustalonymi (symetrycznymi) macierzami dodatnio określonymi; wektory q oraz liczby r są również ustalonymi parametrami zadania. Opisane powyżej zadanie jest wówczas zadaniem programowania wypukłego.4 Ażeby sprowadzić to zadanie do postaci SOCP zauważmy, że dla dowolnych v, w R n, (3.2) v + w 2 = v 2 + w 2 + 2w T v. Zauważmy też, że dla dowolnej macierzy P dodatnio półokreślonej istnieje dokładnie jedna dodatnio półokreślona macierz Q taka, że P = Q 2 (por. [3, str. 92]). Macierz Q nazywamy pierwiastkiem macierzy P i oznaczamy symbolem P 1 2. Jeśli P 3Inaczej: kwadratowo ograniczone. 4Żeby to zadanie było wypukłe, wystarczy założyć, że wszystkie macierze P są dodatnio półokreślone.

22 3.3. Kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe 17 jest dodatnio określona, to P 1 2 jest też dodatnio określona. Odwrotność tej ostatniej będziemy oznaczać symbolem P 1 2. Gdy v = P 1 2 x, a w = P 1 2 q (P jest dodatnio określona, a x oraz q są dowolnymi wektorami), otrzymujemy z zależności (3.2) równość P 1 2 x + P 1 2 q 2 = P 1 2 x 2 + P 1 2 q 2 + 2q T P 1 2 P 1 2 x. Zauważmy też, że P 1 2 x 2 = x T Px, P 1 2 q = q T P 1 q oraz q T P 1 2 P 1 2 x = q T x. Dlatego x T Px + 2q T x + r = P 1 2 x 2 + 2qP 1 2 P 1 2 x + r. Po dodaniu do obu stron q T P 1 q otrzymujemy następującą równość: x T Px + 2q T x + r + q T P 1 q = P 1 2 x 2 + 2qP 1 2 P 1 2 x + r + q T P 1 q = P 1 2 x + P 1 2 q + r. Tak więc x T Px + 2q T x + r = P 1 2 x + P 1 2 q + r q T P 1 q. Powyższe rozważania pozwalają nam na przepisanie rozpatrywanego QCQP w formie zadania (3.3) P x + P q r 0 q T 0 P 1 0 q 0 p. o. Pi 1 2 x + Pi 1 2 q i 2 + r i q T i Pi 1 q i 0, i = 1, 2,..., k. Stały składnik r 0 q T 0 P 1 0 q 0 można pominąć przy wyznaczaniu optymalnej decyzji ˆx. Ażeby przekształcić to zadanie do SOCP zauważmy jeszcze, że pierwiastek kwadratowy jest funkcją ściśle rosnącą. Dlatego problem wyznaczenia optymalnej decyzji ˆx można sprowadzić do następującego SOCP: (3.4) t p. o. P x + P q 0 t P 1 2 i x + Pi 1 2 q i (q T i Pi 1 q i r i ) 1 2, i = 1, 2,..., k. Zmiennymi decyzyjnymi w powyższym zadaniu są liczba t R oraz wektor x R n.

23 3.3. Kwadratowo ograniczone programowanie kwadratowe 18 Szczególnym przypadkiem kwadratowo ograniczonego zadania programowania kwadratowego jest zadanie z ograniczeniami liniowymi, tzn. zadanie postaci: (3.5) x T P 0 x + 2q T 0 x + r 0 p. o. a T i x b i, i = 1, 2,..., k, przy założeniu, że P 0 jest dodatnio określona. Powyższy problem można przedstawić jako nowy problem względem zmiennych x oraz t (3.6) t p. o. P x + P q 0 t a T i x b i, i = 1, 2,..., k, z jednym ograniczeniem wymiaru n + 1 oraz k ograniczeniami wymiaru 1. Rozpatrywane do tej pory przez nas funkcje kwadratowe miały postać x T Px + 2q T x + r. Trochę ogólniejszą funkcją kwadratową jest funkcja (Ax + b) T (Ax + b) c T x d, gdzie A jest (dowolną) macierzą, x jest zmienną, b i c są wektorami stosownych wymiarów, a d jest liczbą. Dlatego ogólniejszą, bo,,kwadratem tutaj jest x T A T Ax, a macierz A T A, choć zawsze dodatnio półokreślona, nie musi być dodatnio określona. Będziemy rozważać następującą nierówność: (3.7) (Ax + b) T (Ax + b) c T x d 0. Powyższa nierówność zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest następujący warunek: (3.8) I Ax + b (Ax + b) T c T 0. x + d Ażeby uzasadnić powyższą równoważność przypomnijmy, że macierz symetryczna jest dodatnio półokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej minory główne są nieujemne.5 Minorami głównymi macierzy, której dodatnia półokreśloność nas interesuje, mogą być liczby 1, c T x + d, c T x + d z T z, gdzie z jest dowolnym podwektorem wektora Ax + b. Zauważmy, że zawsze z T z (Ax + b) T (Ax + b) oraz, 5Mówi o tym odpowiedni wariant twierdzenia Sylvestera (patrz np. [10, r. X]). Warto wspomnieć, że dodatnia określoność ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy minory wiodące są dodatnie

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017

Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017 Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017 1. Rok szkolny dzieli się na dwa semestry. Każdy semestr kończy się klasyfikacją. 2. Na początku roku szkolnego informuję

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 11,

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 11, 1 Kwantyzacja skalarna Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 11, 10.05.005 Kwantyzacja polega na reprezentowaniu dużego zbioru wartości (być może nieskończonego) za pomocą wartości

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

1. Podstawowe pojęcia

1. Podstawowe pojęcia 1. Podstawowe pojęcia Sterowanie optymalne obiektu polega na znajdowaniu najkorzystniejszej decyzji dotyczącej zamierzonego wpływu na obiekt przy zadanych ograniczeniach. Niech dany jest obiekt opisany

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

Wektory, układ współrzędnych

Wektory, układ współrzędnych Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Jacek Kredenc Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Zadanie 1 Zastosujmy trójkąt Paskala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Przy iloczynie będzie stał współczynnik 3. Zatem Odpowiedź : C Zadanie

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka zakres rozszerzony

MATeMAtyka zakres rozszerzony MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny

Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Funkcja liniowa Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać

Bardziej szczegółowo

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 Rozkład materiału nauczania wraz z celami kształcenia oraz osiągnięciami dla słuchaczy CKU Nr 1 ze specyficznymi potrzebami edukacyjnymi ( z podziałem na semestry

Bardziej szczegółowo