Ijeszczejeden,ijeszczeraz..., czyli o wielopowracaniu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ijeszczejeden,ijeszczeraz..., czyli o wielopowracaniu"

Transkrypt

1 Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XL Szkoe Matematyki Pogądowe, Matematyczne Obrazki, styczeń Ieszczeeden,ieszczeraz..., czyi o wieopowracaniu Bartosz FREJ, Wrocław 1. Wstęp W 1927 roku Barte van der Waerden opubikował następuące twierdzenie: Twierdzenie1.1(vanderWaerden,[1]).JeśizbioryB 1,...,B r tworzą rozbicie Z, to eden z tych zbiorów zawiera skończone postępy arytmetyczne dowone długości. W tym samym roku George Birkhoff zaprezentował obszerne dzieło[2] dotyczące teorii układów dynamicznych, zawieraące między innymi twierdzenie o wieopowracaniu(mutipe Recurrence Theorem) mówiące, że każdy punkt układu dynamicznego, w którym działa d homeomorfizmów powraca pod działaniem każdego z nich dowonie bisko swoego początkowego położenia, przy czym momenty powrotów są wspóne da wszystkich przekształceń (sformułuemy to twierdzenie precyzynie w rozdziae 2). Dopiero w atach siedemdziesiątych dwudziestego wieku zauważono, że te dwa przynaeżące do różnych działów matematyki rezutaty są bisko spokrewnione([3]). Wiemy obecnie, że związki między kombinatoryką a teorią układów dynamicznych są bardzo głębokie, a postęp w edne z dziedzin pociąga często rozwó drugie. W niniesze pracy dowiedziemy twierdzenia o wieopowracaniu i wywnioskuemy zeń twierdzenie van der Waerdena. W dowodzie twierdzenia Birkhoffa będziemy odwoływać się do przekonuące iustraci. W ogónych zarysach dowód est taki, ak w[3] i[4]. Zainteresowanym tą tematyką zdecydowanie poecam znakomitą książkę Furstenberga[5]. Godnym uwagi źródłem informaci est też strona internetowa Terrence a Tao[6]. 2. Co warto wiedzieć o układach dynamicznych? Wkasycznymuęciuukładdynamicznytopara(X,T),gdzieXestzwartą przestrzenią metryczną, a T: X X homeomorfizmem. Bada się ewoucę takich układów,tzn.zachowaniekoenychiteratt n,n Z.Danasszczegónieważne będzie zawisko powracania. Powiemy, że punkt x X est powracaący, gdy da każdegootoczeniautegopunktuistnieetakaiczbanaturanan,żet n x U. Innymi słowy, x est powracaący, gdy można znaeźć ściśe rosnący ciąg iczb naturanych(n k ),daktóregot n k zbiegadox,gdyk.okazuesię,że w każdym układzie dynamicznym istniee przynamnie eden punkt powracaący (dowód na razie pominiemy, gdyż mamy w panie uzasadnienie ogónieszego twierdzenia). Często wygodnie est rozważać układ oszczędnieszy niż dany (X, T). Przypuśćmy, że nasza przestrzeń X est sumą rozłączną dwóch okręgów, atdziałanakażdymznichprzezobrót(dopuszczamysytuacę,wktórekąty obrotu są inne da każdego z okręgów). Jest asne, że nie ma żadnych interakci między punktami z różnych okręgów, można więc badać każdy okrąg osobno, ako oddzieny układ dynamiczny. W tym ceu wprowadzamy definicę podzbioru niezmienniczego, ako domkniętego niepustego podzbioru F przestrzeni X spełniaącegotf F.Wnaszymprzykładziekażdyzokręgówest niezmienniczy, choć eśi któryś z obrotów est okresowy, można wyróżnić mniesze podzbiory niezmiennicze. Powiemy, że M X est podzbiorem minimanym, gdy est niezmienniczy i nie zawiera właściwych podzbiorów niezmienniczych.(w naszym przykładzie, eśi na każdym z okręgów działa obrót nieokresowy, tzn. o kąt niewspółmierny z π, to układ ma dwa podzbiory minimane.) Jeśi układ est edynym swoim podzbiorem niezmienniczym, to mówimy, że est to układ minimany. Każdy układ dynamiczny zawiera podzbiór minimany. Można tego dowieść wykorzystuąc emat Kuratowskiego-Zorna da rodziny niezmienniczych podzbiorów układu uporządkowane przez reacę zawierania. Zatem twierdzenia dotyczące istnienia(np. punktów powracaących) można formułować da układów minimanych. 7

2 Inną charakteryzacę układów minimanych można wysłowić w ęzyku orbit. OrbitatozbiórO(x)={T n x:n Z}.Zauważmy,żedomknięcieorbityest podzbiorem niezmienniczym. Korzystaąc z tego faktu, nie est trudno uzasadnić poniższe stwierdzenie: Stwierdzenie 2.1. Następuące warunki są równoważne: 1.układ(X,T)estminimany; 2.każdaorbitaO(x)estgęstawX; 3.dakażdegozbioruotwartegoU XistnieeiczbanaturanaN,daktóre X= N n=0 Tn U. Kasyczną teorię układów dynamicznych można na różne sposoby uogóniać(np. osłabiaąc założenia dotyczące przestrzeni X ub rozważaąc nieodwracane przekształcenia ciągłe). Nas będzie interesował przypadek, w którym na X działa dkomutuącychhomeomorfizmówt 1,...,T d.idącdae,możnarozważać działaniegrupygnax wówczaszkażdymeementemg Gzwiązanyest homeomorfizmϕ g,przyczymzachodzązwiązkiϕ gh =ϕ g ϕ h,ϕ g 1=ϕg 1, ϕ e =id(gdzieeoznaczaeementneutranygrupyg).wprzypadkukasycznego układu(x,t)mówimyodziałaniugrupy Z,awprzypadkudkomutuących homeomorfizmówodziałaniu Z d. W interesuące nas sytuaci powiemy, że F X est niezmienniczy, gdy T i F Fdakażdegoi=1,...,d,aestminimany,gdyestniezmienniczyinie zawiera { właściwych podzbiorów niezmienniczych. Orbitą będziemy nazywać zbiór Sx:S=T i 1 d,i 1,...,i d Z },zaśstwierdzenie2.1przybierzepostać: Stwierdzenie 2.2. Następuące warunki są równoważne: 1.układ(X,T 1,...,T d )estminimany; 2.każdaorbitaestgęstawX; 3.dakażdegozbioruotwartegoU XistnieeiczbanaturanaN,daktóre X= N n=0 S nu,gdziekażdeprzekształcenies n estpostacit i 1 d. Powiemy,żex 0 Xestwieopowracaący,gdyistnieerosnącyciągn k iczb naturanych,daktóregot n k 1 x 0 x 0,...,T n k x 0 x 0,gdyk.Naszym głównym ceem est twierdzenie Birkhoffa o wieopowracaniu: Twierdzenie2.3.JeśiT 1,...,T d sąkomutuącymihomeomorfizmamizwarte przestrzeni metryczne X, to istniee punkt wieopowracaący. 3. Jak wywnioskować twierdzenie van der Waerdena z twierdzenia Birkhoffa? Zanim przystąpimy do dowodu twierdzenia Birkhoffa, zobaczmy, ak wykorzystać edodowodutwierdzenia1.1.niechzbioryb 1,...,B r stanowiąrozbiciezbioru iczbcałkowitych,tzn.b 1,...,B r sąparamirozłącznei r =1 B = Z.(Takie r-eementowe rozbicie można sobie wyobrażać ako sposób pokoorowania zbioru iczb całkowitych przy użyciu r koorów.) Wystarczy uzasadnić, że da każde iczbyd=2,3,...pewienb zawierapostęparytmetycznydługościd.ponieważ zbiorów w rozbiciu est skończenie wiee, któryś będzie musiał zawierać dowonie długie postępy arytmetyczne. W argumentaci wykorzystamy układy symboiczne(ub, ak woą niektórzy, symboowe) szczegóny przypadek układów dynamicznych. Ustamy skończony zbiórλ,którybędziemynazywaćdaeafabetem.wprodukciekartezańskimλ Z wprowadźmy topoogię produktową. Otrzymuemy przestrzeń zwartą i metryzowaną; my będziemy używać metryki: { } 1 ρ(x,y)=inf k+1 :x n=y n da n <k. Okreśmyprzekształcenieσ:Λ Z Λ Z wzorem ( σ(x) ) n =x n+1 przesunięcie ciągu(x n ) Λ Z oednąpozycęwewo(wterminoogiiangieskieto przekształcenie nosi nazwę shift; w ęzyku poskim nie przyął się ogónie żaden odpowiednik te nazwy). Układ symboiczny(ang. shift space ub subshift) to 8

3 para(x,σ X ),gdziexestpodzbioremλ Z niezmienniczymwzgędemσ,aσ X oznaczaobcięcieσdozbiorux daebędziemyopuszczaćtenindeksipisaćσ naoznaczenieprzesunięciawewoniezaeżnieoddziedziny.układ(λ Z,σ) nazywa się pełnym układem symboicznym. Między rozbiciami zbioru Z a eementami pełnego układu symboicznego nad r-eementowym afabetem Λ ={1,..., r} istniee wzaemnie ednoznaczna odpowiedniość;rozbicieb 1,...,B r estzwiązanezeementem(x n ) Λ Z następuącąregułą:nnaeżydob wtedyitykowtedy,gdyx n =.Twierdzenie van der Waerdena można więc wysłowić tak: Twierdzenie3.1.Dakażdegox Λ Z id Nistnieątakiemin,że x(m)=x(m+n)=x(m+2n)= =x(m+dn). Czyiσ m+n (x),...,σ m+dn (x)sąodegłeodσ m (x)omnieniż1wmetryceρ. Dowódtw.3.1.Ustamyx Λ Z ioznaczmyprzezyegoorbitędomknietą wzgędemσ,tzn.y={σ n (x):n Z}.RozważmyprzekształceniaT 1 =σ, T 2 =σ 2,...,T d =σ d.zbióryestniezmienniczywzgędemkażdegoznich; rozważamygoakoprzestrzeńtopoogicznąztopoogiąodziedziczonązλ Z. Ztwierdzeniaowieopowracaniuzastosowanegodoukładu(Y;T 1,...,T d ) wynika,żemożemyznaeźćpunkty Yirosnącyciągiczbnaturanych(n k ), daktóregot n k 1 y y,...,tn k d y y,gdyk.zatemdapewnegonpunkty σ n (y),...,σ dn (y)sąodegłeodyomnieniż1(patrzrys.1).ponieważ σ n,...,σ dn sąciągłe,zbiórtakichyestotwarty.musiwięczawieraćpunkt postaciσ m x.dobieraąctakipunktodpowiedniobiskoymożemy zagwarantować,żeσ m+n (x),...,σ m+dn (x)sąodegłeodσ m (x)omnieniż1. Rys. 1. Iustraca do dowodu twierdzenia Dowód twierdzenia Birkhoffa Do przeprowadzenia powyższego dowodu nie est, w istocie, potrzebne twierdzenie Birkhoffa w podanym brzmieniu. Wystarczy następuący, pozornie słabszy emat. Lemat4.1.NiechXbędziezbioremminimanymwzgędemdziałaniaT 1,...,T d. Wówczasdakażdegoǫ>0ikażdegozbioruotwartegoW Xistnieąy W iiczbanaturanantakie,żey,t n 1y,...,T n d yeżąwkuiośrednicymniesze odǫ,zawarteww. Zgodnie z uwagą z rozdziału 2 dokładamy założenie minimaności układu. Nie żądamy też, by punkt y był wieopowracaący, a edynie by powracał do pewnego swoego ǫ-otoczenia. Jak odzyskać z tego sformułowania pełne twierdzenie owieopowracaniu?przypuśćmy,żeematestprawdziwyioznaczmyprzezcn ǫ,w zbiórtychy W,daktórychpunktyy,T1y,...,T n nyzawartesąwpewnekui K=K(x,δ) Wopromieniuδmnieszymniżǫ.Oznaczaącśrodektakiekui przez x, możemy zapisać C ǫ,w n ={y W: x X, δ<ǫ y,t1y,...,t n dy K(x,δ) W} n = {y W:y,T1y,...,T n dy K(x,δ)) W}, n x Xδ<ǫ więc,wobecciągłościprzekształceńt i estasne,żeesttozbiórotwarty(choć niewiemy,czynieestpusty).stądzbiór C ǫ = Cn ǫ,w W n N estrównieżotwartyinadodateknieestpusty,boznaszegoematuwynika,że dakażdegowzbiór n N Cǫ,W n estniepusty.zbiórc ǫ estwięcnawetgęsty. ZtwierdzeniaBaire aotrzymuemy,żeprzekró m C1/m estgęstymzbiorem typug δ.aetenprzekrótozbiórtychpunktówy,daktórychmożnakażde iczbieǫ= 1 m przyporządkowaćtakąiczbęnaturanęn,żey,tn 1 y,...,tn d yeżą w kui o średnicy mniesze od ǫ. Czyi zbiór punktów wieopowracaących. Ponieważ każdy układ zawiera podzbiór minimany, udowodniiśmy twierdzenie Birkhoffa. 9

4 Powyższe rozumowanie wykazue, że w układzie minimanym punkty wieopowracaącenietykoistnieą,aetworzągęstąg δ.pozostaeedynie udowodnić emat. Posłużymy się indukcą wzgędem iczby homeomorfizmów, pod działaniem których zachodzi powracanie. Dowódematu.Ustamyǫ>0izbiórotwartyW.NiechUbędziekuąośrednicy mnieszeniżǫ,zawartąww.ponieważdziałaniehomeomorfizmówt 1,...,T d est minimane, cała przestrzeń X zostae pokryta przez skończenie wiee obrazówu,s 1 U,...,S N U,gdziekażdeS n estpostacit i 1 d (tzn.naeżydo grupy generowane przez działaące homeomorfizmy). Wybierzmy dowony punkt x Xiprześedźmyegotraektorię{T k x:k Z}.WśródzbiorówU,...,S N U można znaeźć taki, który zawiera przynamnie dwa eementy te traektorii. OznaczmyeprzezT k 1 xit k 2 x,k 1 <k 2,awyróżnionymzbioremniechbędzie S 1 U.Wówczasy 1 =S 1 1 Tk 1 xiy 2 =S 1 1 Tk 2 xnaeżądokuiuizachodzi T k 2 k 1 y 1 =T k 2 k 1 S 1 1 Tk 1 x=s 1 1 Tk 2 k 1 T k 1 x=s 1 1 Tk 2 x=y 2, bowszystkieprzekształceniat 1,...,T d komutuą. Rys.2.Punktx 0 powracadou 0 wrazze swoimotoczeniemv 0 wzgędemt 1,...,T poczasien 1 Załóżmyteraz,żetezaematuzachodzidaprzekształceńT 1,...,T,gdzie<d. Ustamyǫ>0izbiórotwartyW.Zzałożeniaindukcynegowynika,żemożemy znaeźćkuęu 0 ośrednicymnieszeniżǫ,zawartąwworazpunktx 0,który powracadou 0 wzgędemkażdegozt 1,...,T popewneiczbiekrokówn 1.To powracaniezachodzitakżenapewnymotoczeniuv 0 =U 0 i=1 T n 1 i U 0 (rys.2). Takakwpierwszymkroku,pewnaiośćobrazówU 0,S 1 U 0,...,S N U 0 pokrywa całąprzestrzeńx.oznaczmyprzekształcenieidentycznościoweprzezs 0.Punkt T n 1 x 0naeżydopewnegoobrazuS t U 0,0 t N.ZbiórT n 1 V 0 S t Uestego otoczeniem otwartym. I znów zgodnie z założeniem indukcynym zawiera on pewnąkuęu 1 ipunktx 1,którypowracadotekuiwrazzpewnymswoim otoczeniemv 1 wzgędemprzekształceńt n 2 1,...,Tn 2, ae niekoniecznie wzgędem T n 2.PonownierozważaącpunktTn 2 x 1,którynaeżydopewnegoS t1 U 0,oraz egootoczeniet n 2 U 1 S t1 U 0 znaduemykuęu 2 ipowracaącydonie wzgędemt n 3 1,...,Tn 3 punktx 2 itd.takpostępuącotrzymuemyciąg punktów(x k ),ku(u k )iotoczeń(v k )owłasnościach: x k V k U k it n k+1 1 V k,...,t n k+1 V k U k U k S t U 0 dapewnegot,0 t N. Rys.3.Konstrukcaciągów(x k )i(u k ) WśródzbiorówS t U 0,0 t N,możemyznaeźćtaki,któryzawieradwa eementyciągu(x k ).Załóżmydauproszczenia,żeesttoS 0 U 0 =U 0,aednym ztycheementówestx 0.Drugioznaczmyprzezx m,przyczymm>0.niech y=t (n 1+ +n m ) x m.wtedyynaeżydou 0 ipowracadou 0 wzgędem działaniat poczasien 1 + +n m.aepowracatakżewtymsamymczasie 10

5 wzgędemt 1,...,T,bo T n 1+n 2 + +n m y=t n 1 T n 1...T n m 1 T n m T n 1+n 2 + +n m 1 y U 0, } {{ } } V m 1 {{ } } U m 1 {{ } V m 2 cokończydowód,oiepotrafimyznaeźćróżnyodx 0 punktx m wu 0. Rys.4.PunktypowracadoU 0 wzgędemprzekształceniat n 1 + +n m, ae też wzgędem T n 1 + +n m =T n 1T n 1 Tn 2...T n m 1 T n m T n 1 + +n m 1 Gdybydwapunktyx k,x m,0<k<mzawierałinnyzbiórs t U 0,to otrzymaibyśmytezęprzymuący=t (n k+1+ +n m ) x m S t U 0,anastępnie wycofuąctenpunktdou 0 przezs 1 t. Namocyzasadyindukciistnieey U 0 Wiiczbanaturanamtakie,że T m 1 y,...,tm d y U 0. Literatura [1] van der Waerden B.L., Beweis einer Baudetschen Vermutung, Nieuw Arch. Wisk. 15(1927), [2] Birkhoff G., Dynamica Systems, AMS 1927 [3] Furstenberg H., Weiss B. Topoogica dynamics and combinatoria number theory, J. d Anayse Math. 34(1978), [4] Błaszczyk A., Pewik S., Turek S., Topoogica mutidimensiona van der Waerden theorem, Comment.Math.Univ.Caroinae 30(1989), [5] Furstenberg H., Recurrence in Ergodic Theory and Combinatoria Number Theory, Princeton 1981 [6]TaoT., 11

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }. VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka rozbicia zbioru co najwyżej przeliczalnego. Rafał Żelazko

Charakterystyka rozbicia zbioru co najwyżej przeliczalnego. Rafał Żelazko Charakterystyka rozbicia zbioru co najwyżej przeliczalnego Rafał Żelazko Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Kolorowanie skończone i zasada szufladkowa 2 3 Kolorowanie w teorii grafów 3 4 Twierdzenie Schura

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Stabilność rozwiązań równań różniczkowych w ujęciu lokalnych układów dynamicznych. Adam Kanigowski Toruń 2010 1 Spis treści 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Testy zgodności 9 113

Testy zgodności 9 113 Testy zgodności 9 3 9. TESTY ZGODNOŚCI 9. Różne sytuace praktyczne W praktyce badań statystycznych, ak uż poprzednio stwierdzono, cały proces analizy statystyczne dzielimy na dwa etapy: formułowanie hipotezy

Bardziej szczegółowo

Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu.

Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu. II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 1/1 Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu. Justyna Signerska jussig@wp.pl Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x)) Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,

Bardziej szczegółowo

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Halla o małżeństwach

Twierdzenie Halla o małżeństwach Twierdzenie Halla o małżeństwach Tomasz Tkocz Streszczenie. Notatki te, przygotowane do referatu wygłoszonego na kółku w II LO w Rybniku, pokazują jak można rozwiązywać życiowe problemy oraz te bardziej

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2

TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2 Twierdzenie Poincaré Bendixsona 1 TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2 1 TwierdzeniePoincaré Bendixsona W bieżącym podrozdziale zakładamy, że U jest otwartym podzbiorem płaszczyzny R 2 if:u R 2 jestpolemwektorowymklasyc

Bardziej szczegółowo

Pojęcie pierścienia.

Pojęcie pierścienia. Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego

Bardziej szczegółowo

Zgrubne Grafy i Kompleksy Symplicjalne

Zgrubne Grafy i Kompleksy Symplicjalne Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Karol Strzałkowski Nr albumu: 262973 Zgrubne Grafy i Kompleksy Symplicalne Praca licencacka na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana pod

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Poszukiwanie optymalnego wyrównania harmonogramu zatrudnienia metodą analityczną

Poszukiwanie optymalnego wyrównania harmonogramu zatrudnienia metodą analityczną Mieczysław POŁOŃSKI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska, Szkoła Główna Gospodarstwa Wieskiego, Warszawa, ul. Nowoursynowska 159 e-mail: mieczyslaw_polonski@sggw.pl Poszukiwanie optymalnego wyrównania

Bardziej szczegółowo

Nierówności symetryczne

Nierówności symetryczne Nierówności symetryczne Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul Chopina 1 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@matunitorunpl) Sierpień 1995 Wstęp Jeśli x, y, z, t

Bardziej szczegółowo

W przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:

W przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę: Układy funkcji ortogonanych Ioczyn skaarny w przestrzeniach funkcji ciągłych W przestrzeni iniowej funkcji ciągłych na przedziae [a, b] można okreśić ioczyn skaarny jako następującą całkę: f, g = b a f(x)g(x)w(x)

Bardziej szczegółowo

LXI Olimpiada Matematyczna

LXI Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 15 (20.02.2010) Zbiory wypukłe Definicja. Zbiór

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności. KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

Ciągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel

Ciągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Ciągi komplementarne Autor: Krzysztof Zamarski Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Pojęcia podstawowe 3 2.1 Oznaczenia........................... 3 2.2 "Ciąg odwrotny"........................

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).

Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2 Renata Nowak MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2 Wróćmy do twierdzenia Pitagorasa, które dobrze znamy. Mówi ono o związkach między bokami w trójkącie prostokątnym. Może w jego

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014) dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród

Bardziej szczegółowo

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM

Bardziej szczegółowo

2. Obliczenie sił działających w huśtawce

2. Obliczenie sił działających w huśtawce . Obiczenie sił działających w huśtawce Rozważone zostaną dwa aspekty rozwiązania tego zadania. Dokonanie obiczeń jest ważne ze wzgędu na dobór eementów, które zostaną wykorzystane w koncepcjach reguacji

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013

Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013 Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013 Zadanie 1. Dla n naturalnego mamy zdanie: Jeżeli n jest liczbą pierwszą, to n jest równa 2 lub jest liczbą nieparzystą. Możemy je zapisać

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

EKSPLORACJA ZASOBÓW INTERNETU LAB 2 - MIŁOSZ KADZIŃSKI OCENA JAKOŚCI WYSZUKIWANIA + HUBS AND AUTHORITIES + QUERY EXPANDING

EKSPLORACJA ZASOBÓW INTERNETU LAB 2 - MIŁOSZ KADZIŃSKI OCENA JAKOŚCI WYSZUKIWANIA + HUBS AND AUTHORITIES + QUERY EXPANDING EKSPLORACJA ZASOBÓW INTERNETU LAB 2 - MIŁOSZ KAZIŃSKI OCENA JAKOŚCI WYSZUKIWANIA + HUBS AN AUTHORITIES + QUERY EXPANING. Pan Laboratorium II.. Ocena akości wyszukiwania (precision - dokładność, reca kompetność

Bardziej szczegółowo

n(n + 1) 2 k = k = 1, P = 1 (1 + 1)/2 = 2/2 = 1 = L. n(n + 1) 2 + (n + 1) = n(n + 1)(2n + 1) 6 k 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 + (n + 1) 2 = n + 1

n(n + 1) 2 k = k = 1, P = 1 (1 + 1)/2 = 2/2 = 1 = L. n(n + 1) 2 + (n + 1) = n(n + 1)(2n + 1) 6 k 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 + (n + 1) 2 = n + 1 Materiały do zajęć wyrównawczych z matematyi da studentów informatyi, ro aademici 013/14 Zestaw zadań 5 odpowiedzi uwaga: nieco inna oejność zadań 1. Udowodnij, że 1 n(n 1 (1a Odpowiedź: Da n 1 mamy L

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ (CZEŚĆ 1)

EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ (CZEŚĆ 1) WROCŁAW, 12 GRUDNIA 2014 EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ (CZEŚĆ 1) ZA KAŻDE ZADANIE MOŻNA DOSTAĆ OD 0 DO 5 PUNKTÓW. PIERWSZA CZEŚĆ SKŁADA SIE Z 5 ZADAŃ TESTOWYCH I TRWA 80 MINUT OD 10:00 DO 11:20, PO NIEJ

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Układy dynamiczne. proseminarium dla studentów III roku matematyki. Michał Krych i Anna Zdunik. rok akad. 2014/15

Układy dynamiczne. proseminarium dla studentów III roku matematyki. Michał Krych i Anna Zdunik. rok akad. 2014/15 Układy dynamiczne proseminarium dla studentów III roku matematyki Michał Krych i Anna Zdunik rok akad. 2014/15 Układy dynamiczne Układy dynamiczne Układy dynamiczne, i związana z nimi Teoria ergodyczna

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Robocze notatki z metod kombinatorycznych w fizyce

Robocze notatki z metod kombinatorycznych w fizyce Robocze notatki z metod kombinatorycznych w fizyce Grzegorz Siudem 12 czerwca 2017 1 Zajęcia wprowadzające 21.02 [1h] Wprowadzenie w tematykę wykładu (regulamin, etc.). Rekurencja wież z Hanoi (por. rozdział

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych

Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Magdalena Ziębowicz Streszczenie W referacie zostaną przedstawione i scharakteryzowane pojęcia związane z filtrami i ultrafiltrami, ciągami uogólnionymi oraz

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Kody blokowe Wykład 5a;

Kody blokowe Wykład 5a; Kody blokowe Wykład 5a; 31.03.2011 1 1 Kolorowanie hiperkostki Definicja. W teorii grafów symbol Q n oznacza kostkę n-wymiarową, czyli graf o zbiorze wierzchołków V (Q n ) = {0, 1} n i zbiorze krawędzi

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Jacek Dymel 17.10.008 Bardzo często uczniowie wyrażają taką opinię, że do rozwiązywania zadań olimpijskich niezbędna jest znajomość wielu skomplikowanych

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac

KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI

PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI Wydział Matematyki i Fizyki Kierunek: Matematyka Sekcja teoretyczna PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY NA PŁASZCZYŹNIE Zbigniew Galias opiekun: doc. Jerzy

Bardziej szczegółowo

Dowód pierwszego twierdzenia Gödela o. Kołmogorowa

Dowód pierwszego twierdzenia Gödela o. Kołmogorowa Dowód pierwszego twierdzenia Gödela o niezupełności arytmetyki oparty o złożoność Kołmogorowa Grzegorz Gutowski SMP II rok opiekun: dr inż. Jerzy Martyna II UJ 1 1 Wstęp Pierwsze twierdzenie o niezupełności

Bardziej szczegółowo

Kody blokowe Wykład 2, 10 III 2011

Kody blokowe Wykład 2, 10 III 2011 Kody blokowe Wykład 2, 10 III 2011 Literatura 1. R.M. Roth, Introduction to Coding Theory, 2006 2. W.C. Huffman, V. Pless, Fundamentals of Error-Correcting Codes, 2003 3. D.R. Hankerson et al., Coding

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Zadania o transferze

Zadania o transferze Maria Donten, 5.12.2007 Zadania o transferze 1. Oznaczenia, założenia i przypomnienia Przez M i M będziemy oznaczać rozmaitości gładkie, przy czym M nakrywa M. Przyjmujemy, że gładkie odwzorowanie p :

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Teoria mnogo±ci Twierdzenia podziaªowe Piotr Zakrzewski Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Toru«, 31 sierpnia 2009 Istota twierdze«podziaªowych Jesli,du»y' zbiór podzielimy na,niewielk ' liczb

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1

FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1 FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru

Bardziej szczegółowo