Ijeszczejeden,ijeszczeraz..., czyli o wielopowracaniu

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ijeszczejeden,ijeszczeraz..., czyli o wielopowracaniu"

Transkrypt

1 Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XL Szkoe Matematyki Pogądowe, Matematyczne Obrazki, styczeń Ieszczeeden,ieszczeraz..., czyi o wieopowracaniu Bartosz FREJ, Wrocław 1. Wstęp W 1927 roku Barte van der Waerden opubikował następuące twierdzenie: Twierdzenie1.1(vanderWaerden,[1]).JeśizbioryB 1,...,B r tworzą rozbicie Z, to eden z tych zbiorów zawiera skończone postępy arytmetyczne dowone długości. W tym samym roku George Birkhoff zaprezentował obszerne dzieło[2] dotyczące teorii układów dynamicznych, zawieraące między innymi twierdzenie o wieopowracaniu(mutipe Recurrence Theorem) mówiące, że każdy punkt układu dynamicznego, w którym działa d homeomorfizmów powraca pod działaniem każdego z nich dowonie bisko swoego początkowego położenia, przy czym momenty powrotów są wspóne da wszystkich przekształceń (sformułuemy to twierdzenie precyzynie w rozdziae 2). Dopiero w atach siedemdziesiątych dwudziestego wieku zauważono, że te dwa przynaeżące do różnych działów matematyki rezutaty są bisko spokrewnione([3]). Wiemy obecnie, że związki między kombinatoryką a teorią układów dynamicznych są bardzo głębokie, a postęp w edne z dziedzin pociąga często rozwó drugie. W niniesze pracy dowiedziemy twierdzenia o wieopowracaniu i wywnioskuemy zeń twierdzenie van der Waerdena. W dowodzie twierdzenia Birkhoffa będziemy odwoływać się do przekonuące iustraci. W ogónych zarysach dowód est taki, ak w[3] i[4]. Zainteresowanym tą tematyką zdecydowanie poecam znakomitą książkę Furstenberga[5]. Godnym uwagi źródłem informaci est też strona internetowa Terrence a Tao[6]. 2. Co warto wiedzieć o układach dynamicznych? Wkasycznymuęciuukładdynamicznytopara(X,T),gdzieXestzwartą przestrzenią metryczną, a T: X X homeomorfizmem. Bada się ewoucę takich układów,tzn.zachowaniekoenychiteratt n,n Z.Danasszczegónieważne będzie zawisko powracania. Powiemy, że punkt x X est powracaący, gdy da każdegootoczeniautegopunktuistnieetakaiczbanaturanan,żet n x U. Innymi słowy, x est powracaący, gdy można znaeźć ściśe rosnący ciąg iczb naturanych(n k ),daktóregot n k zbiegadox,gdyk.okazuesię,że w każdym układzie dynamicznym istniee przynamnie eden punkt powracaący (dowód na razie pominiemy, gdyż mamy w panie uzasadnienie ogónieszego twierdzenia). Często wygodnie est rozważać układ oszczędnieszy niż dany (X, T). Przypuśćmy, że nasza przestrzeń X est sumą rozłączną dwóch okręgów, atdziałanakażdymznichprzezobrót(dopuszczamysytuacę,wktórekąty obrotu są inne da każdego z okręgów). Jest asne, że nie ma żadnych interakci między punktami z różnych okręgów, można więc badać każdy okrąg osobno, ako oddzieny układ dynamiczny. W tym ceu wprowadzamy definicę podzbioru niezmienniczego, ako domkniętego niepustego podzbioru F przestrzeni X spełniaącegotf F.Wnaszymprzykładziekażdyzokręgówest niezmienniczy, choć eśi któryś z obrotów est okresowy, można wyróżnić mniesze podzbiory niezmiennicze. Powiemy, że M X est podzbiorem minimanym, gdy est niezmienniczy i nie zawiera właściwych podzbiorów niezmienniczych.(w naszym przykładzie, eśi na każdym z okręgów działa obrót nieokresowy, tzn. o kąt niewspółmierny z π, to układ ma dwa podzbiory minimane.) Jeśi układ est edynym swoim podzbiorem niezmienniczym, to mówimy, że est to układ minimany. Każdy układ dynamiczny zawiera podzbiór minimany. Można tego dowieść wykorzystuąc emat Kuratowskiego-Zorna da rodziny niezmienniczych podzbiorów układu uporządkowane przez reacę zawierania. Zatem twierdzenia dotyczące istnienia(np. punktów powracaących) można formułować da układów minimanych. 7

2 Inną charakteryzacę układów minimanych można wysłowić w ęzyku orbit. OrbitatozbiórO(x)={T n x:n Z}.Zauważmy,żedomknięcieorbityest podzbiorem niezmienniczym. Korzystaąc z tego faktu, nie est trudno uzasadnić poniższe stwierdzenie: Stwierdzenie 2.1. Następuące warunki są równoważne: 1.układ(X,T)estminimany; 2.każdaorbitaO(x)estgęstawX; 3.dakażdegozbioruotwartegoU XistnieeiczbanaturanaN,daktóre X= N n=0 Tn U. Kasyczną teorię układów dynamicznych można na różne sposoby uogóniać(np. osłabiaąc założenia dotyczące przestrzeni X ub rozważaąc nieodwracane przekształcenia ciągłe). Nas będzie interesował przypadek, w którym na X działa dkomutuącychhomeomorfizmówt 1,...,T d.idącdae,możnarozważać działaniegrupygnax wówczaszkażdymeementemg Gzwiązanyest homeomorfizmϕ g,przyczymzachodzązwiązkiϕ gh =ϕ g ϕ h,ϕ g 1=ϕg 1, ϕ e =id(gdzieeoznaczaeementneutranygrupyg).wprzypadkukasycznego układu(x,t)mówimyodziałaniugrupy Z,awprzypadkudkomutuących homeomorfizmówodziałaniu Z d. W interesuące nas sytuaci powiemy, że F X est niezmienniczy, gdy T i F Fdakażdegoi=1,...,d,aestminimany,gdyestniezmienniczyinie zawiera { właściwych podzbiorów niezmienniczych. Orbitą będziemy nazywać zbiór Sx:S=T i 1 d,i 1,...,i d Z },zaśstwierdzenie2.1przybierzepostać: Stwierdzenie 2.2. Następuące warunki są równoważne: 1.układ(X,T 1,...,T d )estminimany; 2.każdaorbitaestgęstawX; 3.dakażdegozbioruotwartegoU XistnieeiczbanaturanaN,daktóre X= N n=0 S nu,gdziekażdeprzekształcenies n estpostacit i 1 d. Powiemy,żex 0 Xestwieopowracaący,gdyistnieerosnącyciągn k iczb naturanych,daktóregot n k 1 x 0 x 0,...,T n k x 0 x 0,gdyk.Naszym głównym ceem est twierdzenie Birkhoffa o wieopowracaniu: Twierdzenie2.3.JeśiT 1,...,T d sąkomutuącymihomeomorfizmamizwarte przestrzeni metryczne X, to istniee punkt wieopowracaący. 3. Jak wywnioskować twierdzenie van der Waerdena z twierdzenia Birkhoffa? Zanim przystąpimy do dowodu twierdzenia Birkhoffa, zobaczmy, ak wykorzystać edodowodutwierdzenia1.1.niechzbioryb 1,...,B r stanowiąrozbiciezbioru iczbcałkowitych,tzn.b 1,...,B r sąparamirozłącznei r =1 B = Z.(Takie r-eementowe rozbicie można sobie wyobrażać ako sposób pokoorowania zbioru iczb całkowitych przy użyciu r koorów.) Wystarczy uzasadnić, że da każde iczbyd=2,3,...pewienb zawierapostęparytmetycznydługościd.ponieważ zbiorów w rozbiciu est skończenie wiee, któryś będzie musiał zawierać dowonie długie postępy arytmetyczne. W argumentaci wykorzystamy układy symboiczne(ub, ak woą niektórzy, symboowe) szczegóny przypadek układów dynamicznych. Ustamy skończony zbiórλ,którybędziemynazywaćdaeafabetem.wprodukciekartezańskimλ Z wprowadźmy topoogię produktową. Otrzymuemy przestrzeń zwartą i metryzowaną; my będziemy używać metryki: { } 1 ρ(x,y)=inf k+1 :x n=y n da n <k. Okreśmyprzekształcenieσ:Λ Z Λ Z wzorem ( σ(x) ) n =x n+1 przesunięcie ciągu(x n ) Λ Z oednąpozycęwewo(wterminoogiiangieskieto przekształcenie nosi nazwę shift; w ęzyku poskim nie przyął się ogónie żaden odpowiednik te nazwy). Układ symboiczny(ang. shift space ub subshift) to 8

3 para(x,σ X ),gdziexestpodzbioremλ Z niezmienniczymwzgędemσ,aσ X oznaczaobcięcieσdozbiorux daebędziemyopuszczaćtenindeksipisaćσ naoznaczenieprzesunięciawewoniezaeżnieoddziedziny.układ(λ Z,σ) nazywa się pełnym układem symboicznym. Między rozbiciami zbioru Z a eementami pełnego układu symboicznego nad r-eementowym afabetem Λ ={1,..., r} istniee wzaemnie ednoznaczna odpowiedniość;rozbicieb 1,...,B r estzwiązanezeementem(x n ) Λ Z następuącąregułą:nnaeżydob wtedyitykowtedy,gdyx n =.Twierdzenie van der Waerdena można więc wysłowić tak: Twierdzenie3.1.Dakażdegox Λ Z id Nistnieątakiemin,że x(m)=x(m+n)=x(m+2n)= =x(m+dn). Czyiσ m+n (x),...,σ m+dn (x)sąodegłeodσ m (x)omnieniż1wmetryceρ. Dowódtw.3.1.Ustamyx Λ Z ioznaczmyprzezyegoorbitędomknietą wzgędemσ,tzn.y={σ n (x):n Z}.RozważmyprzekształceniaT 1 =σ, T 2 =σ 2,...,T d =σ d.zbióryestniezmienniczywzgędemkażdegoznich; rozważamygoakoprzestrzeńtopoogicznąztopoogiąodziedziczonązλ Z. Ztwierdzeniaowieopowracaniuzastosowanegodoukładu(Y;T 1,...,T d ) wynika,żemożemyznaeźćpunkty Yirosnącyciągiczbnaturanych(n k ), daktóregot n k 1 y y,...,tn k d y y,gdyk.zatemdapewnegonpunkty σ n (y),...,σ dn (y)sąodegłeodyomnieniż1(patrzrys.1).ponieważ σ n,...,σ dn sąciągłe,zbiórtakichyestotwarty.musiwięczawieraćpunkt postaciσ m x.dobieraąctakipunktodpowiedniobiskoymożemy zagwarantować,żeσ m+n (x),...,σ m+dn (x)sąodegłeodσ m (x)omnieniż1. Rys. 1. Iustraca do dowodu twierdzenia Dowód twierdzenia Birkhoffa Do przeprowadzenia powyższego dowodu nie est, w istocie, potrzebne twierdzenie Birkhoffa w podanym brzmieniu. Wystarczy następuący, pozornie słabszy emat. Lemat4.1.NiechXbędziezbioremminimanymwzgędemdziałaniaT 1,...,T d. Wówczasdakażdegoǫ>0ikażdegozbioruotwartegoW Xistnieąy W iiczbanaturanantakie,żey,t n 1y,...,T n d yeżąwkuiośrednicymniesze odǫ,zawarteww. Zgodnie z uwagą z rozdziału 2 dokładamy założenie minimaności układu. Nie żądamy też, by punkt y był wieopowracaący, a edynie by powracał do pewnego swoego ǫ-otoczenia. Jak odzyskać z tego sformułowania pełne twierdzenie owieopowracaniu?przypuśćmy,żeematestprawdziwyioznaczmyprzezcn ǫ,w zbiórtychy W,daktórychpunktyy,T1y,...,T n nyzawartesąwpewnekui K=K(x,δ) Wopromieniuδmnieszymniżǫ.Oznaczaącśrodektakiekui przez x, możemy zapisać C ǫ,w n ={y W: x X, δ<ǫ y,t1y,...,t n dy K(x,δ) W} n = {y W:y,T1y,...,T n dy K(x,δ)) W}, n x Xδ<ǫ więc,wobecciągłościprzekształceńt i estasne,żeesttozbiórotwarty(choć niewiemy,czynieestpusty).stądzbiór C ǫ = Cn ǫ,w W n N estrównieżotwartyinadodateknieestpusty,boznaszegoematuwynika,że dakażdegowzbiór n N Cǫ,W n estniepusty.zbiórc ǫ estwięcnawetgęsty. ZtwierdzeniaBaire aotrzymuemy,żeprzekró m C1/m estgęstymzbiorem typug δ.aetenprzekrótozbiórtychpunktówy,daktórychmożnakażde iczbieǫ= 1 m przyporządkowaćtakąiczbęnaturanęn,żey,tn 1 y,...,tn d yeżą w kui o średnicy mniesze od ǫ. Czyi zbiór punktów wieopowracaących. Ponieważ każdy układ zawiera podzbiór minimany, udowodniiśmy twierdzenie Birkhoffa. 9

4 Powyższe rozumowanie wykazue, że w układzie minimanym punkty wieopowracaącenietykoistnieą,aetworzągęstąg δ.pozostaeedynie udowodnić emat. Posłużymy się indukcą wzgędem iczby homeomorfizmów, pod działaniem których zachodzi powracanie. Dowódematu.Ustamyǫ>0izbiórotwartyW.NiechUbędziekuąośrednicy mnieszeniżǫ,zawartąww.ponieważdziałaniehomeomorfizmówt 1,...,T d est minimane, cała przestrzeń X zostae pokryta przez skończenie wiee obrazówu,s 1 U,...,S N U,gdziekażdeS n estpostacit i 1 d (tzn.naeżydo grupy generowane przez działaące homeomorfizmy). Wybierzmy dowony punkt x Xiprześedźmyegotraektorię{T k x:k Z}.WśródzbiorówU,...,S N U można znaeźć taki, który zawiera przynamnie dwa eementy te traektorii. OznaczmyeprzezT k 1 xit k 2 x,k 1 <k 2,awyróżnionymzbioremniechbędzie S 1 U.Wówczasy 1 =S 1 1 Tk 1 xiy 2 =S 1 1 Tk 2 xnaeżądokuiuizachodzi T k 2 k 1 y 1 =T k 2 k 1 S 1 1 Tk 1 x=s 1 1 Tk 2 k 1 T k 1 x=s 1 1 Tk 2 x=y 2, bowszystkieprzekształceniat 1,...,T d komutuą. Rys.2.Punktx 0 powracadou 0 wrazze swoimotoczeniemv 0 wzgędemt 1,...,T poczasien 1 Załóżmyteraz,żetezaematuzachodzidaprzekształceńT 1,...,T,gdzie<d. Ustamyǫ>0izbiórotwartyW.Zzałożeniaindukcynegowynika,żemożemy znaeźćkuęu 0 ośrednicymnieszeniżǫ,zawartąwworazpunktx 0,który powracadou 0 wzgędemkażdegozt 1,...,T popewneiczbiekrokówn 1.To powracaniezachodzitakżenapewnymotoczeniuv 0 =U 0 i=1 T n 1 i U 0 (rys.2). Takakwpierwszymkroku,pewnaiośćobrazówU 0,S 1 U 0,...,S N U 0 pokrywa całąprzestrzeńx.oznaczmyprzekształcenieidentycznościoweprzezs 0.Punkt T n 1 x 0naeżydopewnegoobrazuS t U 0,0 t N.ZbiórT n 1 V 0 S t Uestego otoczeniem otwartym. I znów zgodnie z założeniem indukcynym zawiera on pewnąkuęu 1 ipunktx 1,którypowracadotekuiwrazzpewnymswoim otoczeniemv 1 wzgędemprzekształceńt n 2 1,...,Tn 2, ae niekoniecznie wzgędem T n 2.PonownierozważaącpunktTn 2 x 1,którynaeżydopewnegoS t1 U 0,oraz egootoczeniet n 2 U 1 S t1 U 0 znaduemykuęu 2 ipowracaącydonie wzgędemt n 3 1,...,Tn 3 punktx 2 itd.takpostępuącotrzymuemyciąg punktów(x k ),ku(u k )iotoczeń(v k )owłasnościach: x k V k U k it n k+1 1 V k,...,t n k+1 V k U k U k S t U 0 dapewnegot,0 t N. Rys.3.Konstrukcaciągów(x k )i(u k ) WśródzbiorówS t U 0,0 t N,możemyznaeźćtaki,któryzawieradwa eementyciągu(x k ).Załóżmydauproszczenia,żeesttoS 0 U 0 =U 0,aednym ztycheementówestx 0.Drugioznaczmyprzezx m,przyczymm>0.niech y=t (n 1+ +n m ) x m.wtedyynaeżydou 0 ipowracadou 0 wzgędem działaniat poczasien 1 + +n m.aepowracatakżewtymsamymczasie 10

5 wzgędemt 1,...,T,bo T n 1+n 2 + +n m y=t n 1 T n 1...T n m 1 T n m T n 1+n 2 + +n m 1 y U 0, } {{ } } V m 1 {{ } } U m 1 {{ } V m 2 cokończydowód,oiepotrafimyznaeźćróżnyodx 0 punktx m wu 0. Rys.4.PunktypowracadoU 0 wzgędemprzekształceniat n 1 + +n m, ae też wzgędem T n 1 + +n m =T n 1T n 1 Tn 2...T n m 1 T n m T n 1 + +n m 1 Gdybydwapunktyx k,x m,0<k<mzawierałinnyzbiórs t U 0,to otrzymaibyśmytezęprzymuący=t (n k+1+ +n m ) x m S t U 0,anastępnie wycofuąctenpunktdou 0 przezs 1 t. Namocyzasadyindukciistnieey U 0 Wiiczbanaturanamtakie,że T m 1 y,...,tm d y U 0. Literatura [1] van der Waerden B.L., Beweis einer Baudetschen Vermutung, Nieuw Arch. Wisk. 15(1927), [2] Birkhoff G., Dynamica Systems, AMS 1927 [3] Furstenberg H., Weiss B. Topoogica dynamics and combinatoria number theory, J. d Anayse Math. 34(1978), [4] Błaszczyk A., Pewik S., Turek S., Topoogica mutidimensiona van der Waerden theorem, Comment.Math.Univ.Caroinae 30(1989), [5] Furstenberg H., Recurrence in Ergodic Theory and Combinatoria Number Theory, Princeton 1981 [6]TaoT., 11

Testy zgodności 9 113

Testy zgodności 9 113 Testy zgodności 9 3 9. TESTY ZGODNOŚCI 9. Różne sytuace praktyczne W praktyce badań statystycznych, ak uż poprzednio stwierdzono, cały proces analizy statystyczne dzielimy na dwa etapy: formułowanie hipotezy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Halla o małżeństwach

Twierdzenie Halla o małżeństwach Twierdzenie Halla o małżeństwach Tomasz Tkocz Streszczenie. Notatki te, przygotowane do referatu wygłoszonego na kółku w II LO w Rybniku, pokazują jak można rozwiązywać życiowe problemy oraz te bardziej

Bardziej szczegółowo

Zgrubne Grafy i Kompleksy Symplicjalne

Zgrubne Grafy i Kompleksy Symplicjalne Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Karol Strzałkowski Nr albumu: 262973 Zgrubne Grafy i Kompleksy Symplicalne Praca licencacka na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana pod

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

EKSPLORACJA ZASOBÓW INTERNETU LAB 2 - MIŁOSZ KADZIŃSKI OCENA JAKOŚCI WYSZUKIWANIA + HUBS AND AUTHORITIES + QUERY EXPANDING

EKSPLORACJA ZASOBÓW INTERNETU LAB 2 - MIŁOSZ KADZIŃSKI OCENA JAKOŚCI WYSZUKIWANIA + HUBS AND AUTHORITIES + QUERY EXPANDING EKSPLORACJA ZASOBÓW INTERNETU LAB 2 - MIŁOSZ KAZIŃSKI OCENA JAKOŚCI WYSZUKIWANIA + HUBS AN AUTHORITIES + QUERY EXPANING. Pan Laboratorium II.. Ocena akości wyszukiwania (precision - dokładność, reca kompetność

Bardziej szczegółowo

2. Obliczenie sił działających w huśtawce

2. Obliczenie sił działających w huśtawce . Obiczenie sił działających w huśtawce Rozważone zostaną dwa aspekty rozwiązania tego zadania. Dokonanie obiczeń jest ważne ze wzgędu na dobór eementów, które zostaną wykorzystane w koncepcjach reguacji

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski. Definicja. Definicja

Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski. Definicja. Definicja Plan Zależności funkcyjne 1. Zależności funkcyjne jako klasa ograniczeń semantycznych odwzorowywanego świata rzeczywistego. 2. Schematy relacyjne = typ relacji + zależności funkcyjne. 3. Rozkładalność

Bardziej szczegółowo

Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Teoria mnogo±ci Twierdzenia podziaªowe Piotr Zakrzewski Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Toru«, 31 sierpnia 2009 Istota twierdze«podziaªowych Jesli,du»y' zbiór podzielimy na,niewielk ' liczb

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zbiorze z powtórzeniami ten sam element może występować kilkakrotnie. Liczbę wystąpień nazywamy krotnością tego elementu w zbiorze X = { x,..., x n } - zbiór k,..., k n - krotności

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI

PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI Wydział Matematyki i Fizyki Kierunek: Matematyka Sekcja teoretyczna PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY NA PŁASZCZYŹNIE Zbigniew Galias opiekun: doc. Jerzy

Bardziej szczegółowo

BADANIA SYMULACYJNE STEROWANIA ROBOTEM RÓWNOLEGŁYM Z NAPĘDEM HYDRAULICZNYM

BADANIA SYMULACYJNE STEROWANIA ROBOTEM RÓWNOLEGŁYM Z NAPĘDEM HYDRAULICZNYM BAANIA SYMULACYJNE SEOWANIA OBOEM ÓWNOLEGŁYM Z NAPĘEM HYAULICZNYM Ioannis AVLIAKOS Evangeos PAPAOPOULOS Nationa echnica University of Athens epartment of Mechanica Engineering 578 Athens Greece Janusz

Bardziej szczegółowo

Wykład VII. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, 2014. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej

Wykład VII. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, 2014. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Wykład VII Kierunek Informatyka - semestr V Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Gliwice, 2014 c Copyright 2014 Janusz Słupik Problem pakowania plecaka System kryptograficzny Merklego-Hellmana

Bardziej szczegółowo

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

Ą ń ń ć Ę Ę ć ć ń ń Ż ń ń Ą Ą ń Ż Ń Ż ć Ą ń ŚĆ ć Ę Ę Ą ń Ś ń ć Ę Ą ń Ę ń ń ń ń ć ń ń Ś Ź ń ć ć ń ć ń Ś Ż Ę Ń ń ń ń ń ń ć Ń Ę Ę Ę Ę Ę ńń ź ĄĘ Ę ź ń Ąń Ę Ę Ę Ź Ę Ę Ą Ś Ę Ę ć Ś Ą Ń ć ń ń ć Ś ć Ń Ó ń ń ć

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie

Bardziej szczegółowo

Inwersja na płaszczyźnie, własności, konstrukcje, zastosowania

Inwersja na płaszczyźnie, własności, konstrukcje, zastosowania Inwersja na płaszczyźnie, własności, konstrukcje, zastosowania Autor: Rafał Kłoda Opiekun pracy: Bożena Witecka XI Liceum Ogólnokształcące im. Marii Dąbrowskiej os. Teatralne 33 31-948 Kraków tel./fax:

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu.

Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Rozdział 2 Ciągi. Pojęcie granicy ciągu. Definicja 2.. Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Będziemy rozważać ciągi o wyrazach rzeczywistych, czyli zgodnie z powyższą definicją

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy

Bardziej szczegółowo

Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników

Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników Liczba dzielników Postać (rozkład) kanoniczna każdej liczby N = p α1 1 pα2 2... pαr 1 pαr r. Każdy dzielnik d naszej liczby ma swojego partnera d 1 : N = d

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 1 6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. 6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Definicja. Układem n równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

PRZEMIANA ENERGII ELEKTRYCZNEJ W CIELE STAŁYM

PRZEMIANA ENERGII ELEKTRYCZNEJ W CIELE STAŁYM PRZEMIANA ENERGII ELEKTRYCZNE W CIELE STAŁYM Anaizowane są skutki pzepływu pądu pzemiennego o natężeniu I pzez pzewodnik okągły o pomieniu. Pzyęto wstępne założenia upaszcząace: - kształt pądu est sinusoidany,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu:

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu: Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracynymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksaci 3. Zbieżność

Bardziej szczegółowo

Arkusz I. Poziom podstawowy

Arkusz I. Poziom podstawowy GAZETA WYBORCZA u WWWGAZETAPL MATURA Arkusz I Poziom podstawowy Zadanie 1 Zadanie Kient kupił dwa kwadratowe dywany i zapłacił 1870 zł Cena pierwszego dywanu była równa 0 zł/m, a cena drugiego 5 zł/m Obicz

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Wydawca: Netina Sp. z o.o. ISN 978-83-7521-522-9 c 2015, Wszelkie Prawa Zastrzeżone Zabrania się modyfikowania

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Ach te trójkąty, czyli dwa interesujące twierdzenia i mnóstwo przemyśleń.

Ach te trójkąty, czyli dwa interesujące twierdzenia i mnóstwo przemyśleń. Ach te trójkąty, czyli dwa interesujące twierdzenia i mnóstwo przemyśleń. Justyna Stefaniak V Liceum Ogólnokształcące Spis treści: 1. Twierdzenie Harcourt a 2. Dowód twierdzenia Harcourt a 3. Twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Technologie baz danych

Technologie baz danych Plan wykładu Technologie baz danych Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. SQL - podstawy Definicja zależności funkcyjnych Reguły dotyczące zależności funkcyjnych Domknięcie zbioru atrybutów

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki ZNI N OWOZNI GOMTRI, cz. II Wojciech Guzicki W arkuszach maturalnych w ostatnich dwóch latach znalazły się zadania geometryczne na dowodzenie. Za poprawne rozwiązanie takiego zadania w arkuszu podstawowymzdającymógłotrzymać2pkt,warkuszurozszerzonym4pktlub3pkt.przy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 2

Matematyka bankowa 2 1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl Szkoła Podstawowa Uczymy się dowodzić Opracowała: Ewa Ślubowska ewa.slubowska@wp.pl PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA II etap edukacyjny: klasy IV VI I. Sprawność rachunkowa. Uczeń wykonuje proste

Bardziej szczegółowo

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009

Systemy baz danych. Notatki z wykładu. http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Systemy baz danych Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

Lista 8 Wyrażenia wymierne. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji.

Lista 8 Wyrażenia wymierne. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji. Lista 8 Wyrażenia wymierne. Zad 1. Narysuj wykres funkcji. Przykład 1:. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji. Funkcję nazywamy funkcja podstawową, a

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi

Wykład 3. Miara zewnętrzna. Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi Wykład 3 Miara zewnętrzna Definicja 3.1 (miary zewnętrznej Funkcję przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę (A [0, + ] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy matematyki

1. Podstawy matematyki 1. Podstawy matematyki 1.1. Pola Pole wiąże wielkość fizyczną z położeniem punktu w przestrzeni W przypadku, gdy pole jest zależne od czasu, możemy je zapisać jako. Najprostszym przykładem pola jest pole

Bardziej szczegółowo

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH ul. Konarskiego 2, 30-049 Kraków tel. 12 633 13 83 lub 12 633 02 47 W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH Arkadiusz Biel Kraków 2011 Wielokąty gwiaździste są ciekawym przypadkiem wielokątów, gdyż posiadają

Bardziej szczegółowo

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki): Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie metod identyfikacji w wybranych zagadnieniach przepływu biociepła

Zastosowanie metod identyfikacji w wybranych zagadnieniach przepływu biociepła POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ MECHANICZNY TECHNOLOGICZNY Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechanii mgr inż. Mare Paruch Zastosowanie metod identyfiaci w wybranych zagadnieniach

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 SWZP (System Wariantowania Zleceń Produkcyjnych)

ROZDZIAŁ 5 SWZP (System Wariantowania Zleceń Produkcyjnych) Krzysztof Bzdyra ROZDZIAŁ 5 SWZP System Wariantowania Zleceń Produkcynych 5.. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia est zapoznanie się ze strukturą i działaniem systemu komputerowo wspomaganego podemowania decyzi

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA Lekcja 17 Relacje częściowego porządku. Diagramy Hassego. ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWOWE KRYTERIA PODOBIEŃSTWA JAKIE POWINNY BYĆ SPEŁNIONE W BADANIACH MODELOWYCH ANALIZOWANEGO PRZYPADKU

2. PODSTAWOWE KRYTERIA PODOBIEŃSTWA JAKIE POWINNY BYĆ SPEŁNIONE W BADANIACH MODELOWYCH ANALIZOWANEGO PRZYPADKU O POTRZEBIE I MOŻIWOŚCIACH PRZEPROWADZENIA BADAŃ MODEOWYCH POTWIERDZAJĄCYCH HIPOTEZĘ ZNISZCZENIA SAMOOTU TU-154M POD SMOEŃSKIEM PRZEZ ROZERWANIE SAMOOTU W POWIETRZU Andrze Flaga Abstract In the presence

Bardziej szczegółowo

Zabawa z odległościami

Zabawa z odległościami Konferencja SEM Gdzie jest matematyka? Zabawa z odległościami Joanna Jaszuńska Soczewka, 28 listopada 2010 Zabawa z odległościami 1 Joanna Jaszuńska Odległość punktu od figury Odległość punktu A od figury

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania.

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Izabela Asiewicz Nr albumu: 305038 Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Praca licencjacka na kierunku

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu.

Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Klasyfikacja czworokątów (wypukłych): Trapez jest czworokątem, w którym co

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW

ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Łukasz Janus 10B2 ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Elementarne deformacje węzła Równoważność węzłów Węzły trywialne Ruchy Reidemeistera Twierdzenie o równoważności węzłów Grafy Powtórzmy Diagram węzła Węzły reprezentuje

Bardziej szczegółowo

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013 Eliza Wajch Wykłady i ćwiczenia z geometrii analitycznej z elementami topologii w UPH w Siedlcach w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013. Literatura podstawowa: 1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY STOŻEK 2007/2008. 1. Na rozwiązanie 5 zadań masz 90 minut. 2. Dokładnie czytaj treści zadań i udzielaj odpowiedzi.

KONKURS MATEMATYCZNY STOŻEK 2007/2008. 1. Na rozwiązanie 5 zadań masz 90 minut. 2. Dokładnie czytaj treści zadań i udzielaj odpowiedzi. KONKURS MATEMATYCZNY STOŻEK 007/008 1. Na rozwiązanie 5 zadań masz 90 minut.. Dokładnie czytaj treści zadań i udzielaj odpowiedzi. 3. W rozwiązaniach zadań przedstawiaj swój tok rozumowania. 4. Rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Automaty Büchi ego i równoważne modele obliczeń

Automaty Büchi ego i równoważne modele obliczeń Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki Kierunek Matematyka Paulina Barbara Rozwód Automaty Büchi ego i równoważne modele obliczeń praca magisterska studia

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

III Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich

III Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich III Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich Rozwiązania zadań konkursowych 01 czerwca 2014 r. Zadanie 1. Uzasadnij nierówność

Bardziej szczegółowo

9. OBWODY ROZGAŁĘZIONE - METODY I TWIERDZENIA

9. OBWODY ROZGAŁĘZIONE - METODY I TWIERDZENIA 9. OBWODY ROZGAŁĘZONE - METODY TWERDZENA Podobnie ak w przypadku obwodów prądu stałego analiza złożonych obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego opiera się o tworzenie ich schematów zastępczych. Zestawiane

Bardziej szczegółowo

Projektowanie bazy danych przykład

Projektowanie bazy danych przykład Projektowanie bazy danych przykład Pierwszą fazą tworzenia projektu bazy danych jest postawienie definicji celu, założeń wstępnych i określenie podstawowych funkcji aplikacji. Każda baza danych jest projektowana

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy 3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Bazy danych. Plan wykładu. Zależności funkcyjne. Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. Podstawy SQL.

Bazy danych. Plan wykładu. Zależności funkcyjne. Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. Podstawy SQL. Plan wykładu Bazy danych Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. Podstawy SQL. Deficja zależności funkcyjnych Klucze relacji Reguły dotyczące zależności funkcyjnych Domknięcie zbioru atrybutów

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Centralna Komisja Egzaminacyjna ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 01 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz ćwiczeniowy zawiera strony (zadania 1 ).. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math)

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Ciągi Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Spis treści 1 Ciągi liczbowe 1 1.1 Podstawowe własności ciągów................... 2 1.2 Granica ciągu............................

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo