Ijeszczejeden,ijeszczeraz..., czyli o wielopowracaniu

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ijeszczejeden,ijeszczeraz..., czyli o wielopowracaniu"

Transkrypt

1 Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XL Szkoe Matematyki Pogądowe, Matematyczne Obrazki, styczeń Ieszczeeden,ieszczeraz..., czyi o wieopowracaniu Bartosz FREJ, Wrocław 1. Wstęp W 1927 roku Barte van der Waerden opubikował następuące twierdzenie: Twierdzenie1.1(vanderWaerden,[1]).JeśizbioryB 1,...,B r tworzą rozbicie Z, to eden z tych zbiorów zawiera skończone postępy arytmetyczne dowone długości. W tym samym roku George Birkhoff zaprezentował obszerne dzieło[2] dotyczące teorii układów dynamicznych, zawieraące między innymi twierdzenie o wieopowracaniu(mutipe Recurrence Theorem) mówiące, że każdy punkt układu dynamicznego, w którym działa d homeomorfizmów powraca pod działaniem każdego z nich dowonie bisko swoego początkowego położenia, przy czym momenty powrotów są wspóne da wszystkich przekształceń (sformułuemy to twierdzenie precyzynie w rozdziae 2). Dopiero w atach siedemdziesiątych dwudziestego wieku zauważono, że te dwa przynaeżące do różnych działów matematyki rezutaty są bisko spokrewnione([3]). Wiemy obecnie, że związki między kombinatoryką a teorią układów dynamicznych są bardzo głębokie, a postęp w edne z dziedzin pociąga często rozwó drugie. W niniesze pracy dowiedziemy twierdzenia o wieopowracaniu i wywnioskuemy zeń twierdzenie van der Waerdena. W dowodzie twierdzenia Birkhoffa będziemy odwoływać się do przekonuące iustraci. W ogónych zarysach dowód est taki, ak w[3] i[4]. Zainteresowanym tą tematyką zdecydowanie poecam znakomitą książkę Furstenberga[5]. Godnym uwagi źródłem informaci est też strona internetowa Terrence a Tao[6]. 2. Co warto wiedzieć o układach dynamicznych? Wkasycznymuęciuukładdynamicznytopara(X,T),gdzieXestzwartą przestrzenią metryczną, a T: X X homeomorfizmem. Bada się ewoucę takich układów,tzn.zachowaniekoenychiteratt n,n Z.Danasszczegónieważne będzie zawisko powracania. Powiemy, że punkt x X est powracaący, gdy da każdegootoczeniautegopunktuistnieetakaiczbanaturanan,żet n x U. Innymi słowy, x est powracaący, gdy można znaeźć ściśe rosnący ciąg iczb naturanych(n k ),daktóregot n k zbiegadox,gdyk.okazuesię,że w każdym układzie dynamicznym istniee przynamnie eden punkt powracaący (dowód na razie pominiemy, gdyż mamy w panie uzasadnienie ogónieszego twierdzenia). Często wygodnie est rozważać układ oszczędnieszy niż dany (X, T). Przypuśćmy, że nasza przestrzeń X est sumą rozłączną dwóch okręgów, atdziałanakażdymznichprzezobrót(dopuszczamysytuacę,wktórekąty obrotu są inne da każdego z okręgów). Jest asne, że nie ma żadnych interakci między punktami z różnych okręgów, można więc badać każdy okrąg osobno, ako oddzieny układ dynamiczny. W tym ceu wprowadzamy definicę podzbioru niezmienniczego, ako domkniętego niepustego podzbioru F przestrzeni X spełniaącegotf F.Wnaszymprzykładziekażdyzokręgówest niezmienniczy, choć eśi któryś z obrotów est okresowy, można wyróżnić mniesze podzbiory niezmiennicze. Powiemy, że M X est podzbiorem minimanym, gdy est niezmienniczy i nie zawiera właściwych podzbiorów niezmienniczych.(w naszym przykładzie, eśi na każdym z okręgów działa obrót nieokresowy, tzn. o kąt niewspółmierny z π, to układ ma dwa podzbiory minimane.) Jeśi układ est edynym swoim podzbiorem niezmienniczym, to mówimy, że est to układ minimany. Każdy układ dynamiczny zawiera podzbiór minimany. Można tego dowieść wykorzystuąc emat Kuratowskiego-Zorna da rodziny niezmienniczych podzbiorów układu uporządkowane przez reacę zawierania. Zatem twierdzenia dotyczące istnienia(np. punktów powracaących) można formułować da układów minimanych. 7

2 Inną charakteryzacę układów minimanych można wysłowić w ęzyku orbit. OrbitatozbiórO(x)={T n x:n Z}.Zauważmy,żedomknięcieorbityest podzbiorem niezmienniczym. Korzystaąc z tego faktu, nie est trudno uzasadnić poniższe stwierdzenie: Stwierdzenie 2.1. Następuące warunki są równoważne: 1.układ(X,T)estminimany; 2.każdaorbitaO(x)estgęstawX; 3.dakażdegozbioruotwartegoU XistnieeiczbanaturanaN,daktóre X= N n=0 Tn U. Kasyczną teorię układów dynamicznych można na różne sposoby uogóniać(np. osłabiaąc założenia dotyczące przestrzeni X ub rozważaąc nieodwracane przekształcenia ciągłe). Nas będzie interesował przypadek, w którym na X działa dkomutuącychhomeomorfizmówt 1,...,T d.idącdae,możnarozważać działaniegrupygnax wówczaszkażdymeementemg Gzwiązanyest homeomorfizmϕ g,przyczymzachodzązwiązkiϕ gh =ϕ g ϕ h,ϕ g 1=ϕg 1, ϕ e =id(gdzieeoznaczaeementneutranygrupyg).wprzypadkukasycznego układu(x,t)mówimyodziałaniugrupy Z,awprzypadkudkomutuących homeomorfizmówodziałaniu Z d. W interesuące nas sytuaci powiemy, że F X est niezmienniczy, gdy T i F Fdakażdegoi=1,...,d,aestminimany,gdyestniezmienniczyinie zawiera { właściwych podzbiorów niezmienniczych. Orbitą będziemy nazywać zbiór Sx:S=T i 1 d,i 1,...,i d Z },zaśstwierdzenie2.1przybierzepostać: Stwierdzenie 2.2. Następuące warunki są równoważne: 1.układ(X,T 1,...,T d )estminimany; 2.każdaorbitaestgęstawX; 3.dakażdegozbioruotwartegoU XistnieeiczbanaturanaN,daktóre X= N n=0 S nu,gdziekażdeprzekształcenies n estpostacit i 1 d. Powiemy,żex 0 Xestwieopowracaący,gdyistnieerosnącyciągn k iczb naturanych,daktóregot n k 1 x 0 x 0,...,T n k x 0 x 0,gdyk.Naszym głównym ceem est twierdzenie Birkhoffa o wieopowracaniu: Twierdzenie2.3.JeśiT 1,...,T d sąkomutuącymihomeomorfizmamizwarte przestrzeni metryczne X, to istniee punkt wieopowracaący. 3. Jak wywnioskować twierdzenie van der Waerdena z twierdzenia Birkhoffa? Zanim przystąpimy do dowodu twierdzenia Birkhoffa, zobaczmy, ak wykorzystać edodowodutwierdzenia1.1.niechzbioryb 1,...,B r stanowiąrozbiciezbioru iczbcałkowitych,tzn.b 1,...,B r sąparamirozłącznei r =1 B = Z.(Takie r-eementowe rozbicie można sobie wyobrażać ako sposób pokoorowania zbioru iczb całkowitych przy użyciu r koorów.) Wystarczy uzasadnić, że da każde iczbyd=2,3,...pewienb zawierapostęparytmetycznydługościd.ponieważ zbiorów w rozbiciu est skończenie wiee, któryś będzie musiał zawierać dowonie długie postępy arytmetyczne. W argumentaci wykorzystamy układy symboiczne(ub, ak woą niektórzy, symboowe) szczegóny przypadek układów dynamicznych. Ustamy skończony zbiórλ,którybędziemynazywaćdaeafabetem.wprodukciekartezańskimλ Z wprowadźmy topoogię produktową. Otrzymuemy przestrzeń zwartą i metryzowaną; my będziemy używać metryki: { } 1 ρ(x,y)=inf k+1 :x n=y n da n <k. Okreśmyprzekształcenieσ:Λ Z Λ Z wzorem ( σ(x) ) n =x n+1 przesunięcie ciągu(x n ) Λ Z oednąpozycęwewo(wterminoogiiangieskieto przekształcenie nosi nazwę shift; w ęzyku poskim nie przyął się ogónie żaden odpowiednik te nazwy). Układ symboiczny(ang. shift space ub subshift) to 8

3 para(x,σ X ),gdziexestpodzbioremλ Z niezmienniczymwzgędemσ,aσ X oznaczaobcięcieσdozbiorux daebędziemyopuszczaćtenindeksipisaćσ naoznaczenieprzesunięciawewoniezaeżnieoddziedziny.układ(λ Z,σ) nazywa się pełnym układem symboicznym. Między rozbiciami zbioru Z a eementami pełnego układu symboicznego nad r-eementowym afabetem Λ ={1,..., r} istniee wzaemnie ednoznaczna odpowiedniość;rozbicieb 1,...,B r estzwiązanezeementem(x n ) Λ Z następuącąregułą:nnaeżydob wtedyitykowtedy,gdyx n =.Twierdzenie van der Waerdena można więc wysłowić tak: Twierdzenie3.1.Dakażdegox Λ Z id Nistnieątakiemin,że x(m)=x(m+n)=x(m+2n)= =x(m+dn). Czyiσ m+n (x),...,σ m+dn (x)sąodegłeodσ m (x)omnieniż1wmetryceρ. Dowódtw.3.1.Ustamyx Λ Z ioznaczmyprzezyegoorbitędomknietą wzgędemσ,tzn.y={σ n (x):n Z}.RozważmyprzekształceniaT 1 =σ, T 2 =σ 2,...,T d =σ d.zbióryestniezmienniczywzgędemkażdegoznich; rozważamygoakoprzestrzeńtopoogicznąztopoogiąodziedziczonązλ Z. Ztwierdzeniaowieopowracaniuzastosowanegodoukładu(Y;T 1,...,T d ) wynika,żemożemyznaeźćpunkty Yirosnącyciągiczbnaturanych(n k ), daktóregot n k 1 y y,...,tn k d y y,gdyk.zatemdapewnegonpunkty σ n (y),...,σ dn (y)sąodegłeodyomnieniż1(patrzrys.1).ponieważ σ n,...,σ dn sąciągłe,zbiórtakichyestotwarty.musiwięczawieraćpunkt postaciσ m x.dobieraąctakipunktodpowiedniobiskoymożemy zagwarantować,żeσ m+n (x),...,σ m+dn (x)sąodegłeodσ m (x)omnieniż1. Rys. 1. Iustraca do dowodu twierdzenia Dowód twierdzenia Birkhoffa Do przeprowadzenia powyższego dowodu nie est, w istocie, potrzebne twierdzenie Birkhoffa w podanym brzmieniu. Wystarczy następuący, pozornie słabszy emat. Lemat4.1.NiechXbędziezbioremminimanymwzgędemdziałaniaT 1,...,T d. Wówczasdakażdegoǫ>0ikażdegozbioruotwartegoW Xistnieąy W iiczbanaturanantakie,żey,t n 1y,...,T n d yeżąwkuiośrednicymniesze odǫ,zawarteww. Zgodnie z uwagą z rozdziału 2 dokładamy założenie minimaności układu. Nie żądamy też, by punkt y był wieopowracaący, a edynie by powracał do pewnego swoego ǫ-otoczenia. Jak odzyskać z tego sformułowania pełne twierdzenie owieopowracaniu?przypuśćmy,żeematestprawdziwyioznaczmyprzezcn ǫ,w zbiórtychy W,daktórychpunktyy,T1y,...,T n nyzawartesąwpewnekui K=K(x,δ) Wopromieniuδmnieszymniżǫ.Oznaczaącśrodektakiekui przez x, możemy zapisać C ǫ,w n ={y W: x X, δ<ǫ y,t1y,...,t n dy K(x,δ) W} n = {y W:y,T1y,...,T n dy K(x,δ)) W}, n x Xδ<ǫ więc,wobecciągłościprzekształceńt i estasne,żeesttozbiórotwarty(choć niewiemy,czynieestpusty).stądzbiór C ǫ = Cn ǫ,w W n N estrównieżotwartyinadodateknieestpusty,boznaszegoematuwynika,że dakażdegowzbiór n N Cǫ,W n estniepusty.zbiórc ǫ estwięcnawetgęsty. ZtwierdzeniaBaire aotrzymuemy,żeprzekró m C1/m estgęstymzbiorem typug δ.aetenprzekrótozbiórtychpunktówy,daktórychmożnakażde iczbieǫ= 1 m przyporządkowaćtakąiczbęnaturanęn,żey,tn 1 y,...,tn d yeżą w kui o średnicy mniesze od ǫ. Czyi zbiór punktów wieopowracaących. Ponieważ każdy układ zawiera podzbiór minimany, udowodniiśmy twierdzenie Birkhoffa. 9

4 Powyższe rozumowanie wykazue, że w układzie minimanym punkty wieopowracaącenietykoistnieą,aetworzągęstąg δ.pozostaeedynie udowodnić emat. Posłużymy się indukcą wzgędem iczby homeomorfizmów, pod działaniem których zachodzi powracanie. Dowódematu.Ustamyǫ>0izbiórotwartyW.NiechUbędziekuąośrednicy mnieszeniżǫ,zawartąww.ponieważdziałaniehomeomorfizmówt 1,...,T d est minimane, cała przestrzeń X zostae pokryta przez skończenie wiee obrazówu,s 1 U,...,S N U,gdziekażdeS n estpostacit i 1 d (tzn.naeżydo grupy generowane przez działaące homeomorfizmy). Wybierzmy dowony punkt x Xiprześedźmyegotraektorię{T k x:k Z}.WśródzbiorówU,...,S N U można znaeźć taki, który zawiera przynamnie dwa eementy te traektorii. OznaczmyeprzezT k 1 xit k 2 x,k 1 <k 2,awyróżnionymzbioremniechbędzie S 1 U.Wówczasy 1 =S 1 1 Tk 1 xiy 2 =S 1 1 Tk 2 xnaeżądokuiuizachodzi T k 2 k 1 y 1 =T k 2 k 1 S 1 1 Tk 1 x=s 1 1 Tk 2 k 1 T k 1 x=s 1 1 Tk 2 x=y 2, bowszystkieprzekształceniat 1,...,T d komutuą. Rys.2.Punktx 0 powracadou 0 wrazze swoimotoczeniemv 0 wzgędemt 1,...,T poczasien 1 Załóżmyteraz,żetezaematuzachodzidaprzekształceńT 1,...,T,gdzie<d. Ustamyǫ>0izbiórotwartyW.Zzałożeniaindukcynegowynika,żemożemy znaeźćkuęu 0 ośrednicymnieszeniżǫ,zawartąwworazpunktx 0,który powracadou 0 wzgędemkażdegozt 1,...,T popewneiczbiekrokówn 1.To powracaniezachodzitakżenapewnymotoczeniuv 0 =U 0 i=1 T n 1 i U 0 (rys.2). Takakwpierwszymkroku,pewnaiośćobrazówU 0,S 1 U 0,...,S N U 0 pokrywa całąprzestrzeńx.oznaczmyprzekształcenieidentycznościoweprzezs 0.Punkt T n 1 x 0naeżydopewnegoobrazuS t U 0,0 t N.ZbiórT n 1 V 0 S t Uestego otoczeniem otwartym. I znów zgodnie z założeniem indukcynym zawiera on pewnąkuęu 1 ipunktx 1,którypowracadotekuiwrazzpewnymswoim otoczeniemv 1 wzgędemprzekształceńt n 2 1,...,Tn 2, ae niekoniecznie wzgędem T n 2.PonownierozważaącpunktTn 2 x 1,którynaeżydopewnegoS t1 U 0,oraz egootoczeniet n 2 U 1 S t1 U 0 znaduemykuęu 2 ipowracaącydonie wzgędemt n 3 1,...,Tn 3 punktx 2 itd.takpostępuącotrzymuemyciąg punktów(x k ),ku(u k )iotoczeń(v k )owłasnościach: x k V k U k it n k+1 1 V k,...,t n k+1 V k U k U k S t U 0 dapewnegot,0 t N. Rys.3.Konstrukcaciągów(x k )i(u k ) WśródzbiorówS t U 0,0 t N,możemyznaeźćtaki,któryzawieradwa eementyciągu(x k ).Załóżmydauproszczenia,żeesttoS 0 U 0 =U 0,aednym ztycheementówestx 0.Drugioznaczmyprzezx m,przyczymm>0.niech y=t (n 1+ +n m ) x m.wtedyynaeżydou 0 ipowracadou 0 wzgędem działaniat poczasien 1 + +n m.aepowracatakżewtymsamymczasie 10

5 wzgędemt 1,...,T,bo T n 1+n 2 + +n m y=t n 1 T n 1...T n m 1 T n m T n 1+n 2 + +n m 1 y U 0, } {{ } } V m 1 {{ } } U m 1 {{ } V m 2 cokończydowód,oiepotrafimyznaeźćróżnyodx 0 punktx m wu 0. Rys.4.PunktypowracadoU 0 wzgędemprzekształceniat n 1 + +n m, ae też wzgędem T n 1 + +n m =T n 1T n 1 Tn 2...T n m 1 T n m T n 1 + +n m 1 Gdybydwapunktyx k,x m,0<k<mzawierałinnyzbiórs t U 0,to otrzymaibyśmytezęprzymuący=t (n k+1+ +n m ) x m S t U 0,anastępnie wycofuąctenpunktdou 0 przezs 1 t. Namocyzasadyindukciistnieey U 0 Wiiczbanaturanamtakie,że T m 1 y,...,tm d y U 0. Literatura [1] van der Waerden B.L., Beweis einer Baudetschen Vermutung, Nieuw Arch. Wisk. 15(1927), [2] Birkhoff G., Dynamica Systems, AMS 1927 [3] Furstenberg H., Weiss B. Topoogica dynamics and combinatoria number theory, J. d Anayse Math. 34(1978), [4] Błaszczyk A., Pewik S., Turek S., Topoogica mutidimensiona van der Waerden theorem, Comment.Math.Univ.Caroinae 30(1989), [5] Furstenberg H., Recurrence in Ergodic Theory and Combinatoria Number Theory, Princeton 1981 [6]TaoT., 11

Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Stabilność rozwiązań równań różniczkowych w ujęciu lokalnych układów dynamicznych. Adam Kanigowski Toruń 2010 1 Spis treści 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x)) Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,

Bardziej szczegółowo

Testy zgodności 9 113

Testy zgodności 9 113 Testy zgodności 9 3 9. TESTY ZGODNOŚCI 9. Różne sytuace praktyczne W praktyce badań statystycznych, ak uż poprzednio stwierdzono, cały proces analizy statystyczne dzielimy na dwa etapy: formułowanie hipotezy

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Halla o małżeństwach

Twierdzenie Halla o małżeństwach Twierdzenie Halla o małżeństwach Tomasz Tkocz Streszczenie. Notatki te, przygotowane do referatu wygłoszonego na kółku w II LO w Rybniku, pokazują jak można rozwiązywać życiowe problemy oraz te bardziej

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Pojęcie pierścienia.

Pojęcie pierścienia. Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

Zgrubne Grafy i Kompleksy Symplicjalne

Zgrubne Grafy i Kompleksy Symplicjalne Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Karol Strzałkowski Nr albumu: 262973 Zgrubne Grafy i Kompleksy Symplicalne Praca licencacka na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana pod

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego

Bardziej szczegółowo

W przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:

W przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę: Układy funkcji ortogonanych Ioczyn skaarny w przestrzeniach funkcji ciągłych W przestrzeni iniowej funkcji ciągłych na przedziae [a, b] można okreśić ioczyn skaarny jako następującą całkę: f, g = b a f(x)g(x)w(x)

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

LXI Olimpiada Matematyczna

LXI Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).

Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013

Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013 Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013 Zadanie 1. Dla n naturalnego mamy zdanie: Jeżeli n jest liczbą pierwszą, to n jest równa 2 lub jest liczbą nieparzystą. Możemy je zapisać

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2 Renata Nowak MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2 Wróćmy do twierdzenia Pitagorasa, które dobrze znamy. Mówi ono o związkach między bokami w trójkącie prostokątnym. Może w jego

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

2. Obliczenie sił działających w huśtawce

2. Obliczenie sił działających w huśtawce . Obiczenie sił działających w huśtawce Rozważone zostaną dwa aspekty rozwiązania tego zadania. Dokonanie obiczeń jest ważne ze wzgędu na dobór eementów, które zostaną wykorzystane w koncepcjach reguacji

Bardziej szczegółowo

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

EKSPLORACJA ZASOBÓW INTERNETU LAB 2 - MIŁOSZ KADZIŃSKI OCENA JAKOŚCI WYSZUKIWANIA + HUBS AND AUTHORITIES + QUERY EXPANDING

EKSPLORACJA ZASOBÓW INTERNETU LAB 2 - MIŁOSZ KADZIŃSKI OCENA JAKOŚCI WYSZUKIWANIA + HUBS AND AUTHORITIES + QUERY EXPANDING EKSPLORACJA ZASOBÓW INTERNETU LAB 2 - MIŁOSZ KAZIŃSKI OCENA JAKOŚCI WYSZUKIWANIA + HUBS AN AUTHORITIES + QUERY EXPANING. Pan Laboratorium II.. Ocena akości wyszukiwania (precision - dokładność, reca kompetność

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Układy dynamiczne. proseminarium dla studentów III roku matematyki. Michał Krych i Anna Zdunik. rok akad. 2014/15

Układy dynamiczne. proseminarium dla studentów III roku matematyki. Michał Krych i Anna Zdunik. rok akad. 2014/15 Układy dynamiczne proseminarium dla studentów III roku matematyki Michał Krych i Anna Zdunik rok akad. 2014/15 Układy dynamiczne Układy dynamiczne Układy dynamiczne, i związana z nimi Teoria ergodyczna

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Zadania o transferze

Zadania o transferze Maria Donten, 5.12.2007 Zadania o transferze 1. Oznaczenia, założenia i przypomnienia Przez M i M będziemy oznaczać rozmaitości gładkie, przy czym M nakrywa M. Przyjmujemy, że gładkie odwzorowanie p :

Bardziej szczegółowo

Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych

Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Magdalena Ziębowicz Streszczenie W referacie zostaną przedstawione i scharakteryzowane pojęcia związane z filtrami i ultrafiltrami, ciągami uogólnionymi oraz

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Jacek Dymel 17.10.008 Bardzo często uczniowie wyrażają taką opinię, że do rozwiązywania zadań olimpijskich niezbędna jest znajomość wielu skomplikowanych

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 16 (27.02.2010) Twierdzenia evy i Menelaosa 1.

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac

KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):

Bardziej szczegółowo

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem: DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum

Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum 1 Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum Zagadnienia, które uczeń powinien znać przy rozwiązywaniu opisanych zadań: zastosowanie równań w zadaniach tekstowych, funkcje i ich monotoniczność,

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Teoria mnogo±ci Twierdzenia podziaªowe Piotr Zakrzewski Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Toru«, 31 sierpnia 2009 Istota twierdze«podziaªowych Jesli,du»y' zbiór podzielimy na,niewielk ' liczb

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 1

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 1 Renata Nowak MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 1 Twierdzenie Pitagorasa, potrzebne do rozwiązywania trójkątów, na ogół jest wprowadzane przez nauczyciela i rzadko bywa na lekcjach

Bardziej szczegółowo

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika http://www.mat.umk.pl/ philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

1,5 1,5. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Analiza matematyczna M1 2. Wstęp do logiki i teorii mnogości

1,5 1,5. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Analiza matematyczna M1 2. Wstęp do logiki i teorii mnogości WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim TOPOLOGIA Nazwa w języku angielskim TOPOLOGY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli dotyczy): Matematyka

Bardziej szczegółowo

Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz

Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Przeanalizujmy następujące zadanie. Zadanie. próbna matura

Bardziej szczegółowo

PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI

PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI Wydział Matematyki i Fizyki Kierunek: Matematyka Sekcja teoretyczna PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY NA PŁASZCZYŹNIE Zbigniew Galias opiekun: doc. Jerzy

Bardziej szczegółowo

O zbiorach małych w polskich grupach abelowych

O zbiorach małych w polskich grupach abelowych O zbiorach małych w polskich grupach abelowych Eliza Jabłońska Katedra Matematyki Politechniki Rzeszowskiej Warsztaty z Analizy Rzeczywistej, Konopnica 2016 E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica

Bardziej szczegółowo

Wstęp do topologii Ćwiczenia

Wstęp do topologii Ćwiczenia Wstęp do topologii Ćwiczenia Spis treści Przestrzeń metryczna, metryka 2 Kule w przestrzeni metrycznej 2 3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 4 4 Domknięcie, wnętrze i brzeg 6 5 Zbiory gęste, brzegowe

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski. Definicja. Definicja

Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski. Definicja. Definicja Plan Zależności funkcyjne 1. Zależności funkcyjne jako klasa ograniczeń semantycznych odwzorowywanego świata rzeczywistego. 2. Schematy relacyjne = typ relacji + zależności funkcyjne. 3. Rozkładalność

Bardziej szczegółowo

BADANIA SYMULACYJNE STEROWANIA ROBOTEM RÓWNOLEGŁYM Z NAPĘDEM HYDRAULICZNYM

BADANIA SYMULACYJNE STEROWANIA ROBOTEM RÓWNOLEGŁYM Z NAPĘDEM HYDRAULICZNYM BAANIA SYMULACYJNE SEOWANIA OBOEM ÓWNOLEGŁYM Z NAPĘEM HYAULICZNYM Ioannis AVLIAKOS Evangeos PAPAOPOULOS Nationa echnica University of Athens epartment of Mechanica Engineering 578 Athens Greece Janusz

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Liczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie

Liczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie Rozmieszczenie liczb pierwszych Wprowadzamy funkcję π(x) def = p x 1, liczbę liczb pierwszych nie przekraczających x. Łatwo sprawdzić: π(12) = 5 (2, 3, 5, 7, 11); π(17) = 7 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). Jeszcze

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA. Schemat odpowiedzi PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI, POZIOM ROZSZERZONY

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA. Schemat odpowiedzi PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI, POZIOM ROZSZERZONY Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA We współpracy Schemat odpowiedzi PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI, POZIOM ROZSZERZONY Marzec 014 Zadanie 1 Wyróżnienie na osi

Bardziej szczegółowo

Co ma piekarz do matematyki?

Co ma piekarz do matematyki? Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska Dolnośląski Festiwal Nauki Wrzesień 2009 x x (x 1, x 2 ) x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2, x 3, x 4 ). x

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka. Reguła dodawania. Reguła dodawania

Kombinatoryka. Reguła dodawania. Reguła dodawania Kombinatoryka Dział matematyki, który zajmuje się obliczaniem liczebności zbiorów bądź długości ciągów, które łączą w określony sposób elementy należące do skończonego zbioru (teoria zliczania). W jakich

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zbiorze z powtórzeniami ten sam element może występować kilkakrotnie. Liczbę wystąpień nazywamy krotnością tego elementu w zbiorze X = { x,..., x n } - zbiór k,..., k n - krotności

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)

KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna malgorzata.sterna@cs.put.poznan.pl www.cs.put.poznan.pl/msterna/ KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE TEORIA ZLICZANIA Teoria zliczania

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji

Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji Logika dla socjologów Część 3: Elementy teorii zbiorów i relacji Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Zbiory 2 Pary uporządkowane 3 Relacje Zbiory dystrybutywne

Bardziej szczegółowo