Ijeszczejeden,ijeszczeraz..., czyli o wielopowracaniu

Transkrypt

1 Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XL Szkoe Matematyki Pogądowe, Matematyczne Obrazki, styczeń Ieszczeeden,ieszczeraz..., czyi o wieopowracaniu Bartosz FREJ, Wrocław 1. Wstęp W 1927 roku Barte van der Waerden opubikował następuące twierdzenie: Twierdzenie1.1(vanderWaerden,[1]).JeśizbioryB 1,...,B r tworzą rozbicie Z, to eden z tych zbiorów zawiera skończone postępy arytmetyczne dowone długości. W tym samym roku George Birkhoff zaprezentował obszerne dzieło[2] dotyczące teorii układów dynamicznych, zawieraące między innymi twierdzenie o wieopowracaniu(mutipe Recurrence Theorem) mówiące, że każdy punkt układu dynamicznego, w którym działa d homeomorfizmów powraca pod działaniem każdego z nich dowonie bisko swoego początkowego położenia, przy czym momenty powrotów są wspóne da wszystkich przekształceń (sformułuemy to twierdzenie precyzynie w rozdziae 2). Dopiero w atach siedemdziesiątych dwudziestego wieku zauważono, że te dwa przynaeżące do różnych działów matematyki rezutaty są bisko spokrewnione([3]). Wiemy obecnie, że związki między kombinatoryką a teorią układów dynamicznych są bardzo głębokie, a postęp w edne z dziedzin pociąga często rozwó drugie. W niniesze pracy dowiedziemy twierdzenia o wieopowracaniu i wywnioskuemy zeń twierdzenie van der Waerdena. W dowodzie twierdzenia Birkhoffa będziemy odwoływać się do przekonuące iustraci. W ogónych zarysach dowód est taki, ak w[3] i[4]. Zainteresowanym tą tematyką zdecydowanie poecam znakomitą książkę Furstenberga[5]. Godnym uwagi źródłem informaci est też strona internetowa Terrence a Tao[6]. 2. Co warto wiedzieć o układach dynamicznych? Wkasycznymuęciuukładdynamicznytopara(X,T),gdzieXestzwartą przestrzenią metryczną, a T: X X homeomorfizmem. Bada się ewoucę takich układów,tzn.zachowaniekoenychiteratt n,n Z.Danasszczegónieważne będzie zawisko powracania. Powiemy, że punkt x X est powracaący, gdy da każdegootoczeniautegopunktuistnieetakaiczbanaturanan,żet n x U. Innymi słowy, x est powracaący, gdy można znaeźć ściśe rosnący ciąg iczb naturanych(n k ),daktóregot n k zbiegadox,gdyk.okazuesię,że w każdym układzie dynamicznym istniee przynamnie eden punkt powracaący (dowód na razie pominiemy, gdyż mamy w panie uzasadnienie ogónieszego twierdzenia). Często wygodnie est rozważać układ oszczędnieszy niż dany (X, T). Przypuśćmy, że nasza przestrzeń X est sumą rozłączną dwóch okręgów, atdziałanakażdymznichprzezobrót(dopuszczamysytuacę,wktórekąty obrotu są inne da każdego z okręgów). Jest asne, że nie ma żadnych interakci między punktami z różnych okręgów, można więc badać każdy okrąg osobno, ako oddzieny układ dynamiczny. W tym ceu wprowadzamy definicę podzbioru niezmienniczego, ako domkniętego niepustego podzbioru F przestrzeni X spełniaącegotf F.Wnaszymprzykładziekażdyzokręgówest niezmienniczy, choć eśi któryś z obrotów est okresowy, można wyróżnić mniesze podzbiory niezmiennicze. Powiemy, że M X est podzbiorem minimanym, gdy est niezmienniczy i nie zawiera właściwych podzbiorów niezmienniczych.(w naszym przykładzie, eśi na każdym z okręgów działa obrót nieokresowy, tzn. o kąt niewspółmierny z π, to układ ma dwa podzbiory minimane.) Jeśi układ est edynym swoim podzbiorem niezmienniczym, to mówimy, że est to układ minimany. Każdy układ dynamiczny zawiera podzbiór minimany. Można tego dowieść wykorzystuąc emat Kuratowskiego-Zorna da rodziny niezmienniczych podzbiorów układu uporządkowane przez reacę zawierania. Zatem twierdzenia dotyczące istnienia(np. punktów powracaących) można formułować da układów minimanych. 7

2 Inną charakteryzacę układów minimanych można wysłowić w ęzyku orbit. OrbitatozbiórO(x)={T n x:n Z}.Zauważmy,żedomknięcieorbityest podzbiorem niezmienniczym. Korzystaąc z tego faktu, nie est trudno uzasadnić poniższe stwierdzenie: Stwierdzenie 2.1. Następuące warunki są równoważne: 1.układ(X,T)estminimany; 2.każdaorbitaO(x)estgęstawX; 3.dakażdegozbioruotwartegoU XistnieeiczbanaturanaN,daktóre X= N n=0 Tn U. Kasyczną teorię układów dynamicznych można na różne sposoby uogóniać(np. osłabiaąc założenia dotyczące przestrzeni X ub rozważaąc nieodwracane przekształcenia ciągłe). Nas będzie interesował przypadek, w którym na X działa dkomutuącychhomeomorfizmówt 1,...,T d.idącdae,możnarozważać działaniegrupygnax wówczaszkażdymeementemg Gzwiązanyest homeomorfizmϕ g,przyczymzachodzązwiązkiϕ gh =ϕ g ϕ h,ϕ g 1=ϕg 1, ϕ e =id(gdzieeoznaczaeementneutranygrupyg).wprzypadkukasycznego układu(x,t)mówimyodziałaniugrupy Z,awprzypadkudkomutuących homeomorfizmówodziałaniu Z d. W interesuące nas sytuaci powiemy, że F X est niezmienniczy, gdy T i F Fdakażdegoi=1,...,d,aestminimany,gdyestniezmienniczyinie zawiera { właściwych podzbiorów niezmienniczych. Orbitą będziemy nazywać zbiór Sx:S=T i 1 d,i 1,...,i d Z },zaśstwierdzenie2.1przybierzepostać: Stwierdzenie 2.2. Następuące warunki są równoważne: 1.układ(X,T 1,...,T d )estminimany; 2.każdaorbitaestgęstawX; 3.dakażdegozbioruotwartegoU XistnieeiczbanaturanaN,daktóre X= N n=0 S nu,gdziekażdeprzekształcenies n estpostacit i 1 d. Powiemy,żex 0 Xestwieopowracaący,gdyistnieerosnącyciągn k iczb naturanych,daktóregot n k 1 x 0 x 0,...,T n k x 0 x 0,gdyk.Naszym głównym ceem est twierdzenie Birkhoffa o wieopowracaniu: Twierdzenie2.3.JeśiT 1,...,T d sąkomutuącymihomeomorfizmamizwarte przestrzeni metryczne X, to istniee punkt wieopowracaący. 3. Jak wywnioskować twierdzenie van der Waerdena z twierdzenia Birkhoffa? Zanim przystąpimy do dowodu twierdzenia Birkhoffa, zobaczmy, ak wykorzystać edodowodutwierdzenia1.1.niechzbioryb 1,...,B r stanowiąrozbiciezbioru iczbcałkowitych,tzn.b 1,...,B r sąparamirozłącznei r =1 B = Z.(Takie r-eementowe rozbicie można sobie wyobrażać ako sposób pokoorowania zbioru iczb całkowitych przy użyciu r koorów.) Wystarczy uzasadnić, że da każde iczbyd=2,3,...pewienb zawierapostęparytmetycznydługościd.ponieważ zbiorów w rozbiciu est skończenie wiee, któryś będzie musiał zawierać dowonie długie postępy arytmetyczne. W argumentaci wykorzystamy układy symboiczne(ub, ak woą niektórzy, symboowe) szczegóny przypadek układów dynamicznych. Ustamy skończony zbiórλ,którybędziemynazywaćdaeafabetem.wprodukciekartezańskimλ Z wprowadźmy topoogię produktową. Otrzymuemy przestrzeń zwartą i metryzowaną; my będziemy używać metryki: { } 1 ρ(x,y)=inf k+1 :x n=y n da n <k. Okreśmyprzekształcenieσ:Λ Z Λ Z wzorem ( σ(x) ) n =x n+1 przesunięcie ciągu(x n ) Λ Z oednąpozycęwewo(wterminoogiiangieskieto przekształcenie nosi nazwę shift; w ęzyku poskim nie przyął się ogónie żaden odpowiednik te nazwy). Układ symboiczny(ang. shift space ub subshift) to 8

3 para(x,σ X ),gdziexestpodzbioremλ Z niezmienniczymwzgędemσ,aσ X oznaczaobcięcieσdozbiorux daebędziemyopuszczaćtenindeksipisaćσ naoznaczenieprzesunięciawewoniezaeżnieoddziedziny.układ(λ Z,σ) nazywa się pełnym układem symboicznym. Między rozbiciami zbioru Z a eementami pełnego układu symboicznego nad r-eementowym afabetem Λ ={1,..., r} istniee wzaemnie ednoznaczna odpowiedniość;rozbicieb 1,...,B r estzwiązanezeementem(x n ) Λ Z następuącąregułą:nnaeżydob wtedyitykowtedy,gdyx n =.Twierdzenie van der Waerdena można więc wysłowić tak: Twierdzenie3.1.Dakażdegox Λ Z id Nistnieątakiemin,że x(m)=x(m+n)=x(m+2n)= =x(m+dn). Czyiσ m+n (x),...,σ m+dn (x)sąodegłeodσ m (x)omnieniż1wmetryceρ. Dowódtw.3.1.Ustamyx Λ Z ioznaczmyprzezyegoorbitędomknietą wzgędemσ,tzn.y={σ n (x):n Z}.RozważmyprzekształceniaT 1 =σ, T 2 =σ 2,...,T d =σ d.zbióryestniezmienniczywzgędemkażdegoznich; rozważamygoakoprzestrzeńtopoogicznąztopoogiąodziedziczonązλ Z. Ztwierdzeniaowieopowracaniuzastosowanegodoukładu(Y;T 1,...,T d ) wynika,żemożemyznaeźćpunkty Yirosnącyciągiczbnaturanych(n k ), daktóregot n k 1 y y,...,tn k d y y,gdyk.zatemdapewnegonpunkty σ n (y),...,σ dn (y)sąodegłeodyomnieniż1(patrzrys.1).ponieważ σ n,...,σ dn sąciągłe,zbiórtakichyestotwarty.musiwięczawieraćpunkt postaciσ m x.dobieraąctakipunktodpowiedniobiskoymożemy zagwarantować,żeσ m+n (x),...,σ m+dn (x)sąodegłeodσ m (x)omnieniż1. Rys. 1. Iustraca do dowodu twierdzenia Dowód twierdzenia Birkhoffa Do przeprowadzenia powyższego dowodu nie est, w istocie, potrzebne twierdzenie Birkhoffa w podanym brzmieniu. Wystarczy następuący, pozornie słabszy emat. Lemat4.1.NiechXbędziezbioremminimanymwzgędemdziałaniaT 1,...,T d. Wówczasdakażdegoǫ>0ikażdegozbioruotwartegoW Xistnieąy W iiczbanaturanantakie,żey,t n 1y,...,T n d yeżąwkuiośrednicymniesze odǫ,zawarteww. Zgodnie z uwagą z rozdziału 2 dokładamy założenie minimaności układu. Nie żądamy też, by punkt y był wieopowracaący, a edynie by powracał do pewnego swoego ǫ-otoczenia. Jak odzyskać z tego sformułowania pełne twierdzenie owieopowracaniu?przypuśćmy,żeematestprawdziwyioznaczmyprzezcn ǫ,w zbiórtychy W,daktórychpunktyy,T1y,...,T n nyzawartesąwpewnekui K=K(x,δ) Wopromieniuδmnieszymniżǫ.Oznaczaącśrodektakiekui przez x, możemy zapisać C ǫ,w n ={y W: x X, δ<ǫ y,t1y,...,t n dy K(x,δ) W} n = {y W:y,T1y,...,T n dy K(x,δ)) W}, n x Xδ<ǫ więc,wobecciągłościprzekształceńt i estasne,żeesttozbiórotwarty(choć niewiemy,czynieestpusty).stądzbiór C ǫ = Cn ǫ,w W n N estrównieżotwartyinadodateknieestpusty,boznaszegoematuwynika,że dakażdegowzbiór n N Cǫ,W n estniepusty.zbiórc ǫ estwięcnawetgęsty. ZtwierdzeniaBaire aotrzymuemy,żeprzekró m C1/m estgęstymzbiorem typug δ.aetenprzekrótozbiórtychpunktówy,daktórychmożnakażde iczbieǫ= 1 m przyporządkowaćtakąiczbęnaturanęn,żey,tn 1 y,...,tn d yeżą w kui o średnicy mniesze od ǫ. Czyi zbiór punktów wieopowracaących. Ponieważ każdy układ zawiera podzbiór minimany, udowodniiśmy twierdzenie Birkhoffa. 9

4 Powyższe rozumowanie wykazue, że w układzie minimanym punkty wieopowracaącenietykoistnieą,aetworzągęstąg δ.pozostaeedynie udowodnić emat. Posłużymy się indukcą wzgędem iczby homeomorfizmów, pod działaniem których zachodzi powracanie. Dowódematu.Ustamyǫ>0izbiórotwartyW.NiechUbędziekuąośrednicy mnieszeniżǫ,zawartąww.ponieważdziałaniehomeomorfizmówt 1,...,T d est minimane, cała przestrzeń X zostae pokryta przez skończenie wiee obrazówu,s 1 U,...,S N U,gdziekażdeS n estpostacit i 1 d (tzn.naeżydo grupy generowane przez działaące homeomorfizmy). Wybierzmy dowony punkt x Xiprześedźmyegotraektorię{T k x:k Z}.WśródzbiorówU,...,S N U można znaeźć taki, który zawiera przynamnie dwa eementy te traektorii. OznaczmyeprzezT k 1 xit k 2 x,k 1 <k 2,awyróżnionymzbioremniechbędzie S 1 U.Wówczasy 1 =S 1 1 Tk 1 xiy 2 =S 1 1 Tk 2 xnaeżądokuiuizachodzi T k 2 k 1 y 1 =T k 2 k 1 S 1 1 Tk 1 x=s 1 1 Tk 2 k 1 T k 1 x=s 1 1 Tk 2 x=y 2, bowszystkieprzekształceniat 1,...,T d komutuą. Rys.2.Punktx 0 powracadou 0 wrazze swoimotoczeniemv 0 wzgędemt 1,...,T poczasien 1 Załóżmyteraz,żetezaematuzachodzidaprzekształceńT 1,...,T,gdzie<d. Ustamyǫ>0izbiórotwartyW.Zzałożeniaindukcynegowynika,żemożemy znaeźćkuęu 0 ośrednicymnieszeniżǫ,zawartąwworazpunktx 0,który powracadou 0 wzgędemkażdegozt 1,...,T popewneiczbiekrokówn 1.To powracaniezachodzitakżenapewnymotoczeniuv 0 =U 0 i=1 T n 1 i U 0 (rys.2). Takakwpierwszymkroku,pewnaiośćobrazówU 0,S 1 U 0,...,S N U 0 pokrywa całąprzestrzeńx.oznaczmyprzekształcenieidentycznościoweprzezs 0.Punkt T n 1 x 0naeżydopewnegoobrazuS t U 0,0 t N.ZbiórT n 1 V 0 S t Uestego otoczeniem otwartym. I znów zgodnie z założeniem indukcynym zawiera on pewnąkuęu 1 ipunktx 1,którypowracadotekuiwrazzpewnymswoim otoczeniemv 1 wzgędemprzekształceńt n 2 1,...,Tn 2, ae niekoniecznie wzgędem T n 2.PonownierozważaącpunktTn 2 x 1,którynaeżydopewnegoS t1 U 0,oraz egootoczeniet n 2 U 1 S t1 U 0 znaduemykuęu 2 ipowracaącydonie wzgędemt n 3 1,...,Tn 3 punktx 2 itd.takpostępuącotrzymuemyciąg punktów(x k ),ku(u k )iotoczeń(v k )owłasnościach: x k V k U k it n k+1 1 V k,...,t n k+1 V k U k U k S t U 0 dapewnegot,0 t N. Rys.3.Konstrukcaciągów(x k )i(u k ) WśródzbiorówS t U 0,0 t N,możemyznaeźćtaki,któryzawieradwa eementyciągu(x k ).Załóżmydauproszczenia,żeesttoS 0 U 0 =U 0,aednym ztycheementówestx 0.Drugioznaczmyprzezx m,przyczymm>0.niech y=t (n 1+ +n m ) x m.wtedyynaeżydou 0 ipowracadou 0 wzgędem działaniat poczasien 1 + +n m.aepowracatakżewtymsamymczasie 10

5 wzgędemt 1,...,T,bo T n 1+n 2 + +n m y=t n 1 T n 1...T n m 1 T n m T n 1+n 2 + +n m 1 y U 0, } {{ } } V m 1 {{ } } U m 1 {{ } V m 2 cokończydowód,oiepotrafimyznaeźćróżnyodx 0 punktx m wu 0. Rys.4.PunktypowracadoU 0 wzgędemprzekształceniat n 1 + +n m, ae też wzgędem T n 1 + +n m =T n 1T n 1 Tn 2...T n m 1 T n m T n 1 + +n m 1 Gdybydwapunktyx k,x m,0<k<mzawierałinnyzbiórs t U 0,to otrzymaibyśmytezęprzymuący=t (n k+1+ +n m ) x m S t U 0,anastępnie wycofuąctenpunktdou 0 przezs 1 t. Namocyzasadyindukciistnieey U 0 Wiiczbanaturanamtakie,że T m 1 y,...,tm d y U 0. Literatura [1] van der Waerden B.L., Beweis einer Baudetschen Vermutung, Nieuw Arch. Wisk. 15(1927), [2] Birkhoff G., Dynamica Systems, AMS 1927 [3] Furstenberg H., Weiss B. Topoogica dynamics and combinatoria number theory, J. d Anayse Math. 34(1978), [4] Błaszczyk A., Pewik S., Turek S., Topoogica mutidimensiona van der Waerden theorem, Comment.Math.Univ.Caroinae 30(1989), [5] Furstenberg H., Recurrence in Ergodic Theory and Combinatoria Number Theory, Princeton 1981 [6]TaoT., 11