Testy zgodności 9 113

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Testy zgodności 9 113"

Transkrypt

1 Testy zgodności TESTY ZGODNOŚCI 9. Różne sytuace praktyczne W praktyce badań statystycznych, ak uż poprzednio stwierdzono, cały proces analizy statystyczne dzielimy na dwa etapy: formułowanie hipotezy statystyczne oraz weryfikace hipotezy statystyczne, które powinny być oparte na niezależnych obserwacach. Oznacza to, że po sformułowaniu hipotezy należy zebrać nowe obserwace dla e sprawdzenia. Prawda obiektywna nie może opierać się tylko na ednym materiale statystycznym. Często w praktyce podświadomie hipotezę statystyczną, którą sformułowaliśmy, traktuemy ako własną, edynie słuszną, traktuąc odrzucenie hipotezy ak osobistą porażkę. Emoconalny stosunek do hipotezy zerowe nie est właściwym podeściem do testowania hipotez statystycznych, bowiem grozi statystycznym oszustwem. Niestety, często nawet w nauce zdarzaą się takie sytuace, w których celem est obrona własne, edynie słuszne hipotezy. W takich sytuacach powstae manipulaca statystyczna udaąca naukowe podeście do problemu. Dlatego też raporty z badań statystycznych powinny być przeźroczyste pozwalaące na łatwą kontrolę obliczeń statystycznych. I stąd bierze się wymóg weryfikaci każde hipotezy na niezależnym materiale. W dalszym ciągu przytacza się trochę zmieniony podrozdział 5.3 książki Plucińskich (990). Mówiąc o zagadnieniach estymaci, ak również weryfikaci hipotezy parametryczne, często zakładaliśmy, że znamy postać rozkładu interesuące nas cechy elementów populaci generalne, a w przypadku nieznaomości postaci rozkładu, korzystaliśmy z twierdzeń granicznych. Obecnie omówione zostaną testy pozwalaące na weryfikacę hipotezy dotyczące postaci nieznanego rozkładu. Niech dana będzie populaca, w które rozkład cechy X elementów est nieznany. Pobieramy n-elementową próbkę. Zaobserwowane w próbce wartości zawieraą oczywiście informace o nieznanym rozkładzie cechy X. Naprostszą metodą prowadzącą do uzyskania wstępnych informaci o postaci rozkładu interesuące nas cechy elementów populaci est narysowanie histogramu rozkładu

2 4 Testy zgodności 9 zaobserwowanego w próbce. Uzyskane z rysunku informace są ednak niepełne i oczywiście tylko wzrokowe. Niepełne przede wszystkim ze względu na to, że nie uwzględnia się losowego składu próbki. Jednakże te wzrokowe informace zawarte w histogramie pozwalaą na zorientowanie się, akie ewentualnie rozkłady mogą być brane pod uwagę. Popatrzmy na histogramy podane na rysunkach 9.. O ile na prawym histogramie skłonni byliśmy dopuścić możliwość występowania rozkładu Erlanga rzędu lub więce, o tyle taka ewentualność dla lewego histogramu nie powinna być brana pod uwagę. Rys. 9.. Przykładowe histogramy z badań statystycznych Oczywiście, spostrzeżenia oparte na kształcie histogramu nie mogą służyć za podstawę do akichś ogólnieszych rozważań. Niezbędna est bardzie precyzyna miara zgodności między rozkładem w próbce a hipotetycznym rozkładem cechy elementów populaci. Pierwszym krokiem, podobnie ak to miało miesce w przypadku hipotez parametrycznych, powinno być ustalenie zbioru możliwych w danym zagadnieniu hipotez, tzn. zbioru możliwych rozkładów, które mogą być brane pod uwagę. Następnie wyróżnienie z tego zbioru hipotezy zerowe. Kolenym krokiem est przyęcie odpowiednie statystyki, która może służyć za test do weryfikaci hipotezy zerowe. Rozważmy szczegółowo kilka testów nieparametrycznych. 9..Test χ Pearsona Niech cecha x elementów populaci ma rozkład o dystrybuancie F. Podzielmy całą oś rzeczywistą na r + rozłącznych przedziałów I, I,..., I r + za pomocą liczb = α < α <... < α r < α r =. Oznaczmy przez p prawdopodobieństwo, że zmienna 0 + losowa X przymie wartość z przedziału I, tzn.

3 Testy zgodności 9 5 ( ) ( ) p = F α F α, =,,..., r + (9.) i niech p > 0 dla każdego. Liczba np est oczekiwaną liczbą obserwaci n-elementowe próbki, które powinny się znaleźć w przedziale I. Niech N oznacza zmienną losową o wartościach n będących liczbą obserwaci, które znalazły się w przedziale I. Suma kwadratów różnic n np tzn. r+ = ( n np ) (9.) może służyć za miarę zgodności rozkładu zaobserwowanego w próbce z rozkładem hipotetycznym. Wartość sumy (9.) zmienia się od próbki do próbki, a statystyka, które wartościami są te sumy ma bardzo złożony rozkład. Okazue się ednak, że odpowiednie wyważenie kwadratów ( n np ) K Pearson udowodnił mianowicie, że statystyka pozwala na uzyskanie znanego rozkładu granicznego. χ = ( np ) r+ N = np (9.3) ma, gdy n, rozkład chi-kwadrat o r stopniach swobody. Statystyka (9.3) znana est w literaturze pod nazwą testu χ Pearsona. Zauważmy, że statystyka χ nie zależy od tego, aka est postać dystrybuanty cechy X elementów populaci. Istotną rolę odgrywaą tu prawdopodobieństwa p P( X I ) =, przy czym podział na przedziały I został dokonany w sposób zupełnie dowolny. Ten sam układ prawdopodobieństw p, p,..., p r + może odpowiadać wielu różnym rozkładom zarówno typu ciągłego, ak i skokowego. Oznacza to, że w gruncie rzeczy za pomocą testu χ możemy zweryfikować hipotezę dotyczącą układu prawdopodobieństw p, p,..., p r +, a nie postaci rozkładu cechy X elementów populaci. Dlatego też za hipotezę zerową będziemy tu uważać

4 6 Testy zgodności 9 klasę wszystkich rozkładów, dla których P( X I ) = p ( = r + ),,...,. Hipotezą alternatywną est klasa rozkładów, dla których co namnie dla ednego est ( ) P X I p. Oczywiście, obydwie wymienione klasy rozkładów są dość szerokie. Możne e na ogół bardzo zawęzić korzystaąc z informaci dotyczących przebiegu badanego zawiska czy istoty zagadnienia, np. że cecha X elementów populaci est zmienną losową typu ciągłego lub że przymue wartości całkowite, czy też że przymue wartości z pewnego niewielkiego przedziału. Jednakże mimo zawężenia hipoteza zerowa, ak i alternatywna będą nadal bardzo licznymi klasami rozkładów. Oznacza to, że przy dane próbce statystyka χ będzie mieć tę samą wartość dla wielu rozkładów. Te rozkłady, dla których prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy zerowe est takie samo i hipotezę odrzucamy, nie będą nas interesowały. Przyęcie hipotezy zerowe est równoważne stwierdzeniu, że każdy rozkład należący do nie może służyć do opisu danego zawiska, czy doświadczenia. Wystarczy zatem wybrać eden z rozkładów należących do hipotezy zerowe. Dlatego też w dalszych rozważaniach, dla uproszczenia, hipotezę zerową formułować będziemy ako przypuszczenie, że cecha X elementów populaci ma rozkład o dystrybuancie F. Maąc sprecyzowaną hipotezę zerową i wybrany test do weryfikaci te hipotezy postępuemy w sposób analogiczny ak w przypadku hipotez parametrycznych. Za pomocą testu χ hipotezę zerową weryfikuemy w sposób następuący. Przymuemy poziom istotności testu α. Zbiorem krytycznym est zbiór {(,,..., ):. } W = x x x n χ zaobs χ α, gdzie χ α est liczbą odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat o r stopniach swobody spełniaącą warunek ( ) ( ) P χ > χα = k r x dx = α, χ α przy czym k ( x) r est gęstością prawdopodobieństwa zmienne losowe o rozkładzie chikwadrat z r stopniami swobody.

5 Testy zgodności 9 7 Zatem hipotezę H 0 odrzucamy, gdy χ zaobs. χ α > (9.4) i przymuemy, gdy χ zaobs. χ α, (9.5) gdzie χ zaobs. oznacza wartość statystyki (9.3) zaobserwowaną w próbce. Przedstawiona metoda weryfikaci hipotezy o postaci rozkładu est oparta na granicznym rozkładzie statystyki (9.3), a zatem n musi być dostatecznie duże. Przymue się, że test χ można stosować, gdy np 0 dla =, 3,..., r oraz np, np r + 5. W przypadku takiego podziału osi OX na przedziały, w którym ( ) p = r + =,,..., r + można stosować graniczny rozkład testu χ o r stopniach swobody na poziomie istotności α = lub α = 0. 0 uż dla niewielkich n (5-0) i n =. drogowych na PRZYKŁAD 9. (Plucińscy, 990) przeprowadzono obserwace dotyczące wypadków określonym terenie spowodowanych w ciągu roku przez kierowców będących w stanie nietrzeźwym. Otrzymany rozkład wypadków w poszczególne dni tygodnia podae następuąca tabelka: Pn Wt Śr Czw Pt So N Przymuąc poziom istotności α = zweryfikować hipotezę, że prawdopodobieństwo zdarzenia się na tym terenie wypadku spowodowanego przez kierowcę w stanie nietrzeźwym est ednakowe dla wszystkich dni tygodnia. Mamy tu siedem przedziałów I, I,..., I 7 oraz p = p =... = p7 = 7, a liczności n podane są w tabelce. Z danych liczbowych wynika, że n =, np = = 6, 7

6 8 Testy zgodności 9 χ zaobs. ( ) = = = Z tablicy rozkładu chi-kwadrat dla 6 stopni swobody i poziomu istotności α = znaduemy χ α =. 59. Ponieważ χ < χ więc hipotezę H 0 o równości zaobs. prawdopodobieństw przymuemy. Omówiona metoda weryfikaci hipotez nieparametrycznych odnosi się wyłącznie do tych przypadków, gdy dystrybuanta F ednoznacznie określa hipotetyczny rozkład, bowiem tylko wtedy w sposób ednoznaczny można określić prawdopodobieństwa p. Nie można na przykład przedstawionym testem χ zweryfikować hipotezy, że cecha X elementów populaci ma rozkład normalny, eśli parametry tego rozkładu nie są znane. Można ednak ulepszyć, a dokładnie poszerzyć metodę zaproponowaną przez Pearsona. Fisher udowodnił, że przy spełnieniu pewnych warunków odnośnie do nieznanych parametrów dystrybuanty F test χ może być zastosowany również w tych przypadkach, gdy dystrybuanta F precyzue edynie pewną klasę rozkładów, a ściśle mówiąc, zależy od nieznanych parametrów. Przedstawimy teraz zmodyfikowany przzez Fishera test χ. Sformułuemy napierw twierdzenie udowodnione przez Fishera. cząstkowe TWIERDZENIE 9.. Niech p = p ( λ λ λ ),,..., i niech istnieą ciągłe pochodne m δp δ p,, =,,..., r + ; i, l =,,..., m. δλ δλ δλ i l Jeżeli macierz [ δp δλ ] ( r i m) i =,,..., + ; =,,..., est rzędu m, a parametry λ, λ,..., λm zostały wyznaczone metodą nawiększe wiarygodności, to rozkład statystyki χ Pearsona zmierza, gdy n, do rozkładu chi-kwadrat o r-m stopniach swobody. Z twierdzenia 9. wynika, że eżeli chcemy zweryfikować hipotezę H 0, że cecha X elementów populaci ma rozkład o dystrybuancie F zależne od m parametrów, to do weryfikaci takie hipotezy można użyć testu χ Pearsona. Zbiorem krytycznym w tym przypadku będzie zbiór

7 Testy zgodności 9 9 {(,,..., ):. } W = x x x n χ zaobs > χ α, gdzie χ α est liczbą odczytaną z tablicy rozkładu chi-kwadrat spełniaącą warunek ( ) ( ) P χ > χα = k r m x dx = α, χ α przy czym k ( x) r m est gęstością prawdopodobieństwa zmienne losowe o rozkładzie chikwadrat z r-m stopniami swobody. PRZYKŁAD 9. (Plucińscy, 990). W dziale kontroli techniczne pewne fabryki konfekci badanie akości partii płaszczy damskich przeprowadza się wyrywkowo. W celu zbadania akości partii płaszczy damskich pobrano próbkę o liczności 80 sztuk i zbadano liczby usterek otrzymuąc następuące dane liczbowe: Liczba usterek Liczba płaszczy Przymuąc poziom istotności α = 0. 05, zweryfikować hipotezę H 0, że rozkład liczby usterek w płaszczach produkowanych w te fabryce est rozkładem Poissona. Mamy tu eden nieznany parametr λ. Jak wiemy estymatorem NW parametru λ est X n, a więc ako oszacowania parametru λ przymuemy x n = 5.. I I I 3 I 4 I 5

8 0 Testy zgodności 9 Rys. 9.. Podział na przedziały zmienności Przymimy podziały na przedziały I ak na Rys. 9.. Dwie ostatnie kolumny danych z tabelki połączyliśmy ze względu na małe liczności w tych kolumnach. Z tablicy rozkładu Poissona dla λ = 5. odczytuemy prawdopodobieństwa p. Następnie obliczamy wartość statystyki χ Pearsona zapisuąc kolene obliczenia w następuące tabelce: n p np n np ( n np) ( n np) np χ zaobs. =.3464 Mamy więc tu 5 przedziałów i eden parametr wyznaczony na podstawie próbki, zatem liczba stopni swobody est równa 3. Z tablic rozkładu chi-kwadrat dla α = i trzech stopni swobody odczytuemy χ zaobs. = < χ α = 7. 85, więc przymuemy hipotezę H 0, że rozkład liczby usterek w płaszczach est rozkładem Poissona. 9.3.Test λ Kołmogorowa

9 Testy zgodności 9 Test nieparametryczny można również skonstruować na podstawie twierdzenia Kołmogorowa. Przypuśćmy, że interesuąca nas cecha X elementów populaci est zmienną losową typu ciągłego. Na podstawie n elementowe próbki (n co namnie rzędu kilku dziesiątków) chcemy zweryfikować hipotezę H 0, że cecha X ma dystrybuantę F. Jako test do weryfikaci hipotezy H 0 możemy przyąć statystykę nd = n sup F ( x) F( x), (9.6) n < x< n gdzie F n est dystrybuantą empiryczną. Rozkład graniczny statystyki nd n precyzue twierdzenie Kołmogorowa (patrz np. Plucińscy, 990). Przymimy poziom istotności α. Zbiorem krytycznym est tu zbiór {( n ) n } W = x, x,..., x : nd > λ, (9.7) gdzie λ est liczbą spełniaącą warunek ( ) ( ) P nd > λ = n Q λ = α, (9.8) przy czym ( ) Q λ est wartością dystrybuanty rozkładu określone w twierdzeniu Kołmogorowa (patrz np. Plucińscy, 990). Dla danego α znamy Q( λ ), a z odpowiednie tablicy odczytamy wartość λ. Hipotezę H 0, że cecha X ma dystrybuantę F odrzucamy, gdy nd n > λ (9.9) i przymuemy, gdy nd n λ. (9.0)

10 Testy zgodności 9 Należy podkreślić, że przy stosowaniu testu λ Kołmogorowa trzeba mieć na uwadze pewne ograniczenia. Po pierwsze dystrybuanta F musi ednoznacznie określać hipotetyczny rozkład w tym sensie, że nie może zależeć od parametrów szacowanych na podstawie próbki. W przypadku zależności F od nieznanych parametrów twierdzenie Kołmogorowa nie est prawdziwe. Po drugie w związku z założeniem ciągłości dystrybuanty F wyników obserwaci nie można grupować. 9.4.Test Kołmogorowa- Smirnowa Przymimy, że dane są dwie populace. Chcemy zweryfikować hipotezę H 0, że cecha X elementów obydwu populaci ma taką samą ciągłą dystrybuantę F. Test dla zweryfikowania takie hipotezy oparty est na następuącym twierdzeniu Smirnowa: TWIERDZENIE 9.. Niech: a) X, X,..., X i Y, Y,..., Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o ednakowym n n rozkładzie z ciągłą dystrybuantą F, b) F i F n n będą dystrybuantami empirycznymi określonymi wzorami F F n n n Card i : X x i n i,,,..., (9.) ( x) = { < = } n Card i : Y x i n i,,,..., (9.) ( x) = { < = } c) ( ) ( ) δ n Wówczas nn = sup Fn x Fn x, n = < x< n + n. ( n < ) = ( ) lim P nδ x Q x (9.3) n n gdzie

11 Testy zgodności 9 3 ( ) Q x k k x ( ) e x > 0 = k = (9.4) 0 x 0 Wygodnym testem do weryfikowania sformułowane hipotezy est statystyka ( ) ( ) nδ n = n sup Fn x Fn x < x<. (9.5) Opiszemy teraz metodę postępowania przy weryfikaci. Mamy dwie populace. Pobieramy z nich próbki odpowiednio o liczebnościach n i n. Przypuśćmy, że zaobserwowaliśmy wartości x, x,..., x n oraz y, y,..., y n. Na podstawie tych danych znaduemy dystrybuanty empiryczne F ( x) n i F ( x), a następnie kres n górny bezwzględne wartości różnicy tych dystrybuant i wartość statystyki nδ n. Ustalamy poziom istotności α, a następnie zbiór krytyczny {( n n ) n } W = x, x,..., x, y, y,..., y : n δ > λ, (9.6) gdzie λ est liczbą spełniaącą warunek P ( n n ) δ > λ = α. (9.7) Liczba ( ) Q λ est wartością dystrybuanty (9.4). Wartości dystrybuanty są stablicowane (patrz np. Plucińscy, 990). Dla danego α, a tym samym ( ) Q λ z tablicy odczytuemy wartość λ. gdy Hipotezę H 0 o równości dystrybuant cechy X elementów obu populaci odrzucamy, nδ n > λ (9.8) i przymuemy, gdy nδ n λ. (9.9)

12 4 Testy zgodności 9 Pamiętać należy, że test Kołmogorowa-Smirnowa oparty est na granicznym rozkładzie statystyki nδ n, a więc być stosowany tylko wtedy, gdy liczebności są dostatecznie duże (co namnie rzędu kilku dziesiątek). PRZYKŁAD 9.3 (Plucińscy, 990). W celu zbadania trwałości opon samochodowych produkowanych przez fabryki A i B pobrano próbki z bieżące produkci obu fabryk i otrzymano następuące dane dotyczące maksymalnego przebiegu samochodów na badanych oponach (wyrażone w tysiącach km): Maksymalny przebieg Liczba opon z fabryki A z fabryki B Razem Przymuąc poziom istotności α = 0. 0 zweryfikować hipotezę H 0, że rozkłady przebiegów dla opon produkowanych przez obie fabryki maą tę samą ciągłą dystrybuantę F. Zastosuemy tu test Kołmogorowa-Smirnowa, a obliczenia zapiszemy w postaci następuące tabelki: x n n n sk n sk F ( x) n F ( x) n F ( x) F ( x) n n

13 Testy zgodności , W tabelce te przez n sk i n sk oznaczyliśmy tzw. Częstości skumulowane, tzn. n i. Z ostatnie kolumny tabelki odczytuemy, że n x x Ponieważ ( ) ( ) = sup F x F x = (9.0) δ n n n nn n = n + n = = 84. 7, n = 9., (9.) więc δ = = (9.) n n Przyęliśmy α = 0. 0, tzn. Q( λ ) = Dla te wartości Q( λ ) z tablicy rozkładu Kołmogorowa (patrz np. Plucińscy, 990) odczytuemy λ = 5.. Zatem otrzymaliśmy, że nδ n = > λ = 5., (9.3)

14 6 Testy zgodności 9 czyli spełniona est nierówność (9.8). Oznacza to, że hipotezę H 0 o równości dystrybuant dla maksymalnych przebiegów opon pochodzących z fabryk A i B należy odrzucić. Na zakończenie należy podkreślić, że w założeniach twierdzenia Smirnowa występue warunek ciągłości dystrybuanty F, co est równoważne temu, że prawdopodobieństwo wystąpienia w próbce dwóch ednakowych wartości est równe zeru. Grupowanie wyników w przedziałach może doprowadzić do błędnych wniosków (patrz np. Plucińscy, 990). Niemnie ednak w praktyce wielkości badane obserwue się tylko z pewną dokładnością związaną z przyętym układem ednostek, co siłą rzeczy prowadzi do grupowania wyników. Przedziały grupowania nie powinny być większe niż ednostka przyęte dla danego zagadnienia skali.

15 Testy zgodności 9 7 Problemy rozdziału 9. Histogramy statystyczne ako źródła hipotez statystycznych o rozkładach prawdopodobieństwa w pierwszym etapie badań statystycznych.. Weryfikaca hipotezy o rozkładzie prawdopodobieństwa. 3. Test chi-kwadrat Pearsona. 4. Rozkład chi-kwadrat. 5. Klasy obserwaci a liczba obserwaci. 6. Zbiór krytyczny w teście chi-kwadrat. 7. Modyfikaca Fishera testu chi-kwadrat. 8. Liczba stopni swobody testu chi-kwadrat. 9. Test Kołmogorowa. 0. Zbiór krytyczny testu Kołmogorowa.. Test Kołmogorowa-Smirnowa.. Zbiór krytyczny testu Kołmogorowa-Smirnowa. 3. Porównanie akości testu chi-kwadrat a Kołmogorowa.

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne.

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych etc

Testowanie hipotez statystycznych etc Testowanie hipotez statystycznych etc Definicje Testy średniej Test Pearsona Test Kołmogorowa-Smirnowa Test znaków Teoria testów Analiza wariancji Krzywe regresji Definicje Parametryczny (test, hipoteza,

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Karl Popper... no matter how many instances of white swans we may have observed, this does not

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XI: Testowanie hipotez statystycznych 12 stycznia 2015 Przykład Motywacja X 1, X 2,..., X N N (µ, σ 2 ), Y 1, Y 2,..., Y M N (ν, δ 2 ). Chcemy sprawdzić, czy µ = ν i σ 2 = δ 2, czyli że w obu populacjach

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

Badania eksperymentalne

Badania eksperymentalne Badania eksperymentalne Pomiar na skali porządkowej mgr Agnieszka Zięba Zakład Badań Marketingowych Instytut Statystyki i Demografii Szkoła Główna Handlowa Najpopularniejsze sposoby oceny wyników eksperymentu

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Test t-studenta dla jednej średniej

Test t-studenta dla jednej średniej Test t-studenta dla jednej średniej Hipoteza zerowa: Średnia wartość zmiennej w populacji jest równa określonej wartości a 0 (a = a 0 ). Hipoteza alternatywna 1.: Średnia wartość zmiennej w populacji jest

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez cz. I

Testowanie hipotez cz. I Wykład 11 Testowanie hipotez cz. I TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa badanej cechy populacji. W zadaniach

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym

Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wiesława MALSKA Politechnika Rzeszowska, Polska Anna KOZIOROWSKA Uniwersytet Rzeszowski, Polska Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wstęp Wnioskowanie statystyczne

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III 1 Wariant I. PROBLEM WŁASNY Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI TESTOWANIE HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH Co to są hipotezy statystyczne? Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej. Dzielimy je

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Własności estymatora parametru lambda transformacji potęgowej. Janusz Górczyński, Andrzej Zieliński, Wojciech Zieliński

Własności estymatora parametru lambda transformacji potęgowej. Janusz Górczyński, Andrzej Zieliński, Wojciech Zieliński Własności estymatora parametru lambda transformacji potęgowej Janusz Górczyński, Andrzej Zieliński, Wojciech Zieliński 1. Wstęp Najczęstszym powodem transformowania zmiennej losowej jest jej normalizacja,

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance)

Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) ANOVA Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) jest to metoda równoczesnego badania istotności różnic między wieloma średnimi z prób pochodzących z wielu populacji (grup). Model jednoczynnikowy analiza

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Analiza Danych

Statystyka i Analiza Danych Warsztaty Statystyka i Analiza Danych Gdańsk, 20-22 lutego 2014 Zastosowania analizy wariancji w opracowywaniu wyników badań empirycznych Janusz Wątroba StatSoft Polska Centrum Zastosowań Matematyki -

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Ze względu na jakość uzyskiwanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz weryfikację modelu, metoda najmniejszych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.

TEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności. TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść II Szkic wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 4 5 Weryfikacja hipotez statystycznych Obok estymacji drugim działem wnioskowania statystycznego jest weryfikacja hipotez

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 STATYSTYKA

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Opis przedmiotu: Probabilistyka I Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca

Bardziej szczegółowo

Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny?

Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny? Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny? Gdy: badana cecha jest mierzalna (tzn. posiada rozkład ciągły); badana cecha posiada rozkład normalny; dysponujemy pojedynczym wynikiem;

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Test χ 2. Wrocław, 18.03.2016r

Statystyka matematyczna Test χ 2. Wrocław, 18.03.2016r Statystyka matematyczna Test χ 2 Wrocław, 18.03.2016r Zakres stosowalności Testowanie zgodności Testowanie niezależności Test McNemara Test ilorazu szans Copyright 2014, Joanna Szyda ZAKRES STOSOWALNOŚCI

Bardziej szczegółowo

Test lewostronny dla hipotezy zerowej:

Test lewostronny dla hipotezy zerowej: Poznajemy testowanie hipotez statystycznych w środowisku R Zajęcia z dnia 11 maja 2011 roku Najpierw teoria TESTY ISTOTNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W POPULACJI GENERALNEJ gdy znana jest wariancja!!! Test prawostronny

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej Testowanie hipotez Poziom p Poziom p jest to najmniejszy poziom istotności α, przy którym możemy odrzucić hipotezę zerową dysponując otrzymaną wartością statystyki testowej. 1 Testowanie hipotez na temat

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki Maszyna ustawiona jest tak, by produkowała kulki łożyskowe o średnicy 1 cm. Pomiar dziesięciu wylosowanych z produkcji kulek dał x = 1.1 oraz s 2 = 0.009. Czy można uznać, że maszyna nie rozregulowała

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

TECHNIKA DRZWI ZATRZAŚNIĘTE PRZED NOSEM

TECHNIKA DRZWI ZATRZAŚNIĘTE PRZED NOSEM Badanie pilotażowe TECHNIKA DRZWI ZATRZAŚNIĘTE PRZED NOSEM Czy łatwa prośba etyczna zostanie spełniona istotnie częściej jeśli poprzedzi się ją nieetyczną prośbą trudną? H0 nie, H1 tak. Schemat eksperymentu

Bardziej szczegółowo

TABLICE PODSTAWOWYCH ROZKŁADÓW PRAWDOPODOBIEŃSTWA. T4. Tablica kwantyli rozkładu chi-kwadrat (I część - poziomy kwantyli 0,5)

TABLICE PODSTAWOWYCH ROZKŁADÓW PRAWDOPODOBIEŃSTWA. T4. Tablica kwantyli rozkładu chi-kwadrat (I część - poziomy kwantyli 0,5) TABLICE PODSTAWOWYCH ROZKŁADÓW PRAWDOPODOBIEŃSTWA T1. Tablica dystrybuanty standardowego normalnego rozkładu N(0,1) T2. Tablica kwantyli standardowego normalnego rozkładu N(0,1) T3. Tablica kwantyli rozkładu

Bardziej szczegółowo

Badanie zależności zmiennych kolumnowej i wierszowej:

Badanie zależności zmiennych kolumnowej i wierszowej: Wykład : Tablice wielodzielcze Zródło:http://pl.wikipedia.org/wiki/Plik:Drosophila_melanogaster.jpg Drosophila melanogaster Krzyżówka wsteczna (CcNn i ccnn) Kolor oczu czerwone fioletowe Rozmiar skrzydła

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

IV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 IV WYKŁAD STATYSTYKA 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 4 Populacja generalna, próba, losowanie próby, estymatory Statystyka (populacja generalna, populacja próbna, próbka mała, próbka duża, reprezentatywność,

Bardziej szczegółowo

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności

Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Wyniki badań reprezentatywnych są zawsze stwierdzeniami hipotetycznymi, o określonych granicach niepewności Statystyka indukcyjna pozwala kontrolować i oszacować ryzyko popełnienia błędu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji 341 Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Piotr Peternek Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Marek Kośny Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Kilka uwag o testowaniu istotności

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Tematyka wykładów. Przykładowe pytania. dr Tomasz Giętkowski www.krajobraz.ukw.edu.pl. wersja 20.01.2013/13:40

Statystyka. Tematyka wykładów. Przykładowe pytania. dr Tomasz Giętkowski www.krajobraz.ukw.edu.pl. wersja 20.01.2013/13:40 Statystyka dr Tomasz Giętkowski www.krajobraz.ukw.edu.pl wersja 20.01.2013/13:40 Tematyka wykładów 1. Definicja statystyki 2. Populacja, próba 3. Skale pomiarowe 4. Miary położenia (klasyczne i pozycyjne)

Bardziej szczegółowo

Przykład 2. Na podstawie książki J. Kowal: Metody statystyczne w badaniach sondażowych rynku

Przykład 2. Na podstawie książki J. Kowal: Metody statystyczne w badaniach sondażowych rynku Przykład 2 Na podstawie książki J. Kowal: Metody statystyczne w badaniach sondażowych rynku Sondaż sieciowy analiza wyników badania sondażowego dotyczącego motywacji w drodze do sukcesu Cel badania: uzyskanie

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański KARTA KURSU (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Nazwa Statystyka 2 Nazwa w j. ang. Statistics 2 Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, konwersatorium) Zespół

Bardziej szczegółowo