3.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady

Transkrypt

1 Rozdzia l 3 Model probabilistyczny Ko lmogorowa 3.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady Przez model probabilistyczny Ko lmogorowa, zwany też przestrzeni a probabilistyczn a, bȩdziemy rozumieli nastȩpuj ac a trójkȩ: (Ω, Σ, P ), gdzie Ω jest niepustym zbiorem nazywanym przestrzeni a zdarzeń elementarnych, Σ jest σ-cia lem zdarzeń, P : Σ R jest funkcj a zwan a funkcj a prawdopodobieństwa tak a, że: 1. P (A) [0, 1], dla każdego A Σ;. P ( ) = 0; 3. P (A C ) = 1 P (A), dla każdego A Σ; 4. P ( A n ) = P (A n ) dla dowolnych parami roz l acznych zdarzeń n N o n N o A n Σ, N o N. Fakt Dla każdej przestrzeni probabilistycznej (Ω, Σ, P ) mamy: 1. P (Ω) = 1;. jeśli A B, to P (A) P (B); 3. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B), dla dowolnych zdarzeń A i B. Przypomnimy najważniejsze przyk lady przestrzeni probabilistycznych.

2 18 Model probabilistyczny Ko lmogorowa Przestrzeń probabilistyczna dyskretna Przestrzeń probabilistyczn a nazywamy dyskretn a, jeśli 1. Ω = {ω n, n N 0 }, gdzie N 0 zbiór skończony (co najmniej dwuelementowy), albo nieskończony podzbiór liczb naturalnych;. dany jest ci ag p n (0, 1) taki, że n N 0 p n = 1; 3. Σ = P(Ω) rodzina potȩgowa; 4. funkcja prawdopodobieństwa jest zdefiniowana nastȩpuj aco: (a) P ({ω n }) = p n, n N 0 ; (b) P (A) = dla A (c) P ( ) = 0. p n ω n A Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Model jednorodny Jeśli przestrzeń Ω sk lada siȩ z n zdarzeń elementarnych, czyli Ω = n, oraz zdarzenia elementarne {ω i } s a jednakowo prawdopodobne, czyli P ({ω 1 }) = P ({ω }) =... = P ({ω n }) = 1 n, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A sk ladaj acego siȩ z k zdarzeń elementarnych ( A = k) wyraża siȩ równości a P (A) = A Ω = k liczba zdarzeń elementarnych sprzyjaj acych zdarzeniu A = n liczba zdarzeń elementarnych przestrzeni Ω Powyższy wzór stanowi l dawniej definicjȩ prawdopodobieństwa zdarzenia, dlatego czȩsto nazywa siȩ go,,klasyczn a definicj a prawdopodobieństwa. Zadanie Spośród czterech kart różnego koloru losujemy jednocześnie dwie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie bȩd a czarne lub obie czerwone? Ω = {ω = {x 1, x } : x i {1,, 3, 4} i = 1, }, gdzie {1,, 3, 4} jest zbiorem danych kart.

3 3.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady 19 Wtedy Ω = ( ) 4 = 4!! (4 )! = 4!!! =! 3 4 = 6.! Zdefiniujmy zdarzenie A, że obie karty bȩd a czarne lub czerwone. Ponieważ A = ( ( ) + ) = = gdyż albo wyci agniemy pika i trefla albo karo oraz kiera. Dlatego P (A) = A Ω = 6 = 1 3. Zadanie 3.1. Sześcian o krawȩdzi 6 dm pomalowano, a nastȩpnie rozciȩto w ten sposób, że każd a krawȩdź podzielono na 6 kawa lków o d lugości 1 dm. Otrzymane w ten sposób sześcianiki wrzucono do pojemnika i wymieszano. Oblicz prawdopodobieństwo, że przy losowaniu jednego sześcianika bȩdzie mia l on pomalowane: 1. 3 ścianki;. co najmniej ścianki; 3. nie bȩdzie pomalowany? Przecinaj ac pomalowany sześcian na sześcianiki o krawȩdzi 1 dm, otrzymamy 6 3 = 16 sześcianików, z których bȩdziemy mieli 8 sześcianików z pomalowanymi 3 ścianami (te, które by ly w wierzcho lkach dużego sześcianu). Przy każdej krawȩdzi bȩdziemy mieli 4 sześcianiki z pomalowanymi ścianami. Sześcian ma 1 krawȩdzi, wiȩc 1 4 = 48 tyle sześcianików ma pomalowane dwie ściany. Na każdej ścianie dużego sześcianu mamy 4 4 = 16 sześcianików z jedn a pomalowan a ścian a. Sześcian ma 6 ścian, wiȩc w sumie mamy 16 6 = 96 sześcianików z jedn a pomalowan a ścian a. Niepomalowane sześciany to te, które leż a w ca lości we wnȩtrzu dużego sześcianu. Jest ich zatem 4 3 = 64. Ponieważ Ω = {x : x {1,..., 16}}, Ω = A zdarzenie polegaj ace na tym, że sześcianik ma pomalowane 3 ściany A = 8, P (A) = A = 8 = 1, Ω B zdarzenie polegaj ace na tym, że sześcianik ma pomalowane co najmniej ściany B = = 56, P (B) = B = 56 = 7, Ω 16 7

4 0 Model probabilistyczny Ko lmogorowa 3. C zdarzenie polegaj ace na tym, że sześcianik nie ma pomalowanej żadnej ścianki C = 64, P (C) = C = 64 = 8. Ω 16 7 Przestrzeń dwupunktowa Niech Ω = {0, 1} oraz p bȩdzie liczb a tak a, że p (0, 1). Określamy funkcjȩ prawdopodobieństwa tak, że P ({1}) = p oraz P ({0}) = q, gdzie q = 1 p. Jest to tzw. model standardowy dwupunktowy. Przestrzeń Bernoulliego Przestrzeń probabilistyczn a nazywamy przestrzeni a Bernoulliego, jeśli Ω = {0, 1,,..., n}, n N oraz p parametr spe lniaj acy warunek 0 p 1, z funkcj a prawdopodobieństwa określon a ci agiem p k : ( ) n p k = p k q n k, k = 0, 1,,..., n, k gdzie q = 1 p. Zadanie Rzucamy symetryczn a monet a. Ile rzutów należy wykonać, aby prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej 1 or la by lo wiȩksze niż 0, 99? Przy rzucie symetryczn a monet a prawdopodobieństwo uzyskania or la w jednym rzucie wynosi 0, 5. Niech A oznacza zdarzenie, że wykonaliśmy n rzutów. Skorzystamy tu z w lasności prawdopodobieństwa, która mówi, że Ponieważ ( n P (A C ) = 0 gdzie n oznacza ilość rzutów, wiȩc P (A) = 1 P (A C ). ) ( 1 P (A) = 1 ) 0 ( ) n 1 = ( ) n 1. ( ) n 1,

5 3.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady 1 Ale P (A) > 0, 99, wiȩc 1 ( ) n 1 > 0, 99 n > 100 n 7. ( ) n 1 < 0, 01 Przestrzeń Poissona Niech Ω = N {0} z funkcj a prawdopodobieństwa określon a ci agiem p n = λn n! e λ, n 0. Tak określona przestrzeń jest przestrzeni a probabalistyczn a dyskretn a nieskończon a. Nazywamy j a przestrzeni a Poissona. Zadanie Prawdopodobieństwo, że w pojedynczym rzucie kostk a wypadnie 6 oczek wynosi 1. Rzucamy kostk a do gry tak d lugo, aż otrzymamy w rzucie 6 oczek. 6 Niech k oznacza liczbȩ powtórzeń tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że 1. doświadczenie zakończymy w pi atym rzucie;. liczba powtórzeń doświadczenia bȩdzie nie mniejsza niż 3. W rozwi azaniu zadania pos lużymy siȩ funkcj a prawdopodobieństwa określon a nastȩpuj aco: p k = q k 1 p, gdzie k N oraz p + q = p = 1 6, zatem q = 1 p = 5 6 i dlatego p 5 = ( ) =

6 Model probabilistyczny Ko lmogorowa. P (A k 3 ) = 1 P (A k<3 ) = 1 p 1 p = = 5 36, gdzie A k 3 oznacza zdarzenie, że liczba powtórzeń wynosi co najmniej 3. Stochastyczna niezależność zdarzeń Mówimy, że zdarzenia A i B s a stochastycznie niezależne, gdy P (A B) = P (A) P (B). I ogólnie, zdarzenia A 1, A,..., A n s a stochastycznie niezależne, gdy prawdopodobieństwo l acznego zajścia dowolnych m (m n) zdarzeń spośród nich jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń, czyli P (A i1 A i... A im ) = P (A i1 ) P (A i )... P (A im ). Zadanie Wykazać, że jeśli zdarzenia A i B s a niezależne, to niezależne s a również zdarzenia A i B C. Należy zauważyć, że skoro A B A, to A B C = A (A B). Zatem P (A B C ) = P (A) P (A B). Z niezależności zdarzeń A i B mamy P (A B C ) = P (A) P (A) P (B) P (A B C ) = P (A)(1 P (B)) co należa lo pokazać. P (A B C ) = P (A) P (B C ), Model warunkowy. Prawdopodobieństwo warunkowe Niech (Ω, Σ, P ) bȩdzie przestrzeni a probabilistyczn a, B zdarzeniem takim, że P (B) > 0. Bior ac (Ω B, Σ B, P B ), gdzie Ω B = B, Σ B jest śladem Σ na B

7 3.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady 3 oraz P (A B) P B (Ã) =, Ã = A B Σ B dla pewnego A Σ, P (B) dostaniemy now a przestrzeń probabilistyczn a, nazywan a przestrzeni a warunkow a. Dalej bȩdziemy pisali P (A B) zamiast P B (Ã) i czytali prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B. Zadanie Niech A Ω i B Ω. Udowodnić, że P (A) + P (A C B) = P (B) + P (A B C ). Skorzystamy z pojȩcia prawdopodobieństwa warunkowego. Dostaniemy kolejno P (A B) P (A B) = P (A B) = P (A B) P (B) P (B) oraz P (B A) P (B A) = P (B A) = P (B A) P (A). P (A) St ad P (A B) P (B) = P (B A) P (A). Ponieważ dostaniemy P (A B) = 1 P (A C B) i P (B A) = 1 P (B C A), (1 P (A C B)) P (B) = (1 P (B C A)) P (A) P (B) P (A C B) P (B) = P (A) P (B C A) P (A). Wiemy, że P (A C B) P (B) = P (A C B) oraz P (B C A) P (A) = P (B C A), czyli P (B) P (A C B) = P (A) P (B C A) i ostatecznie P (B) + P (B C A) = P (A) + P (A C B). Twierdzenie (O prawdopodobieństwie zupe lnym) Niech A bȩdzie dowolnym zdarzeniem, zaś {B 1, B,..., B n } partycj a losow a. Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A wyraża siȩ równości a P (A) = P (B 1 ) P (A B 1 ) + P (B ) P (A B ) P (B n ) P (A B n ), czyli n P (A) = P (B i ) P (A B i ). i=1 Jest to tzw. wzór na prawdopodobieństwo zupe lne.

8 4 Model probabilistyczny Ko lmogorowa Twierdzenie 3.1. (Wzór Bayesa) Niech A bȩdzie zdarzeniem takim, że P (A) > 0. Dla każdej partycji losowej {B 1, B,..., B n } prawdopodobieństwa warunkowe P (B k A) zdarzeń B k przy warunku A (k = 1,..., n) wyrażaj a siȩ wzorem gdzie P (A) = n P (B i ) P (A B i ). i=1 P (B k A) = P (B k) P (A B k ), P (A) Zadanie Trzy fabryki produkuj ace pewne detale zaopatruj a hurtowniȩ. Z fabryki III pochodzi 35% detali, a z fabryki I cztery razy wiȩcej niż z fabryki II. Wśród wyprodukowanych detali z I fabryki 40% jest pierwszego gatunku, z II fabryki 65%, a z III 70% detali. Z magazynu losowo wybieramy jeden detal. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że 1. jest on z I fabryki;. jest on pierwszego gatunku; 3. pochodzi z fabryki III, jeśli jest pierwszego gatunku. Zdefiniujmy: A zdarzenie polegaj ace na tym, że detal jest pierwszego gatunku, B 1 zdarzenie polegaj ace na tym, że detal pochodzi z fabryki I, B zdarzenie polegaj ace na tym, że detal pochodzi z fabryki II, B 3 zdarzenie polegaj ace na tym, że detal pochodzi z fabryki III. Z treści zadania wynika, że P (A B 1 ) = 0, 4, P (A B ) = 0, 65, P (A B 3 ) = 0, Ponieważ B 1 B B 3 = Ω, B 1 B =, B B 3 =, B 1 B 3 =, P (B 1 B B 3 ) = 1, wiȩc dostaniemy kolejno: P (B 1 ) + P (B ) + P (B 3 ) = 1, P (B 3 ) = 0, 35, 4 P (B ) = P (B 1 ), 4 P (B ) + P (B ) + 0, 35 = 1, 5 P (B ) = 0, 65 P (B ) = 0, 13, P (B 1 ) = 4 0, 13 = 0, 5.

9 3.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady 5. P (A) = 3 n=1 P (A B n) P (B n ) = 0, 4 0, 5+0, 65 0, 13+0, 7 0, 35 = 0, P (B 3 A) = P (A B3) P (A) = P (A B3) P (B3) = 0,7 0,35 = 0,45 0, 456. P (A) 0,5375 0,5375 Przestrzeń produktowa Za lóżmy, że dane s a dwie przestrzenie probabilistyczne (Ω 1, Σ 1, P 1 ) i (Ω, Σ, P ). Przez przestrzeń produktow a rozumiemy tak a przestrzeń (Ω, Σ, P ), dla której Ω = Ω 1 Ω, z σ-cia lem produktowym powsta lym z Σ 1 i Σ. Funkcja prawdopodobieństwa P określona jest wtedy nastȩpuj aco: P (A 1 A ) = P 1 (A 1 ) P (A ). I ogólnie, niech (Ω j, Σ j, P j ), j = 1,..., n bȩdzie ci agiem przestrzeni probabilistycznych. Wtedy (Ω, Σ, P ), gdzie 1. Ω = Ω 1... Ω n. Σ = Σ 1... Σ n 3. P (A 1 A... A n ) = P 1 (A 1 ) P (A )... P n (A n ) dla A j Σ j, jest uogólnion a przestrzeni a produktow a dowolnej skończonej ilości przestrzeni probabilistycznych. Zadanie Pokazać, że zdarzenia A = A 1 Ω i B = Ω 1 B 1 s a stochastycznie niezależne w przestrzeni produktowej. Weźmy prawdopodobieństwo produktowe P. Należy pokazać, że P (A B) = P (A)P (B). Ponieważ A B = (A 1 Ω ) (Ω 1 B 1 ) = A 1 B 1, wiȩc z definicji prawdopodobieństwa produktowego dostaniemy Ale co kończy dowód. P (A B) = P 1 (A 1 )P (B 1 ). P 1 (A 1 ) = P (A) oraz P (B 1 ) = P (B),

10 6 Model probabilistyczny Ko lmogorowa Zadanie Weźmy n kopii standardowej przestrzeni dwupunktowej oraz utwórzmy z tych kopii ich produkt. Opisać zdarzenia elementarne w tej przestrzeni. Dla k {0,..., n} niech S k oznacza zdarzenie w σ-ciele produktowym z lożone z tych zdarzeń elementarnych, że liczba 1 pojawia siȩ dok ladnie k razy. Przyjmuj ac, że prawdopodobieństwo pojedynczego pojawienia siȩ liczby 1 wynosi p (0, 1), obliczyć P (S k ). Niech (Ω o, Σ o, P o ) oznacza przestrzeń standardow a dwupunktow a. Wtedy Ω = Ω n o z σ-cia lem produktowym Σ i prawdopodobieństwem produktowym P. Dlatego każde zdarzenie elementarne ω Ω jest ci agiem o wyrazach 0, 1 d lugości n. Jeśli w takim ci agu cyfra 1 pojawia siȩ k razy, to z definicji prawdopodobieństwa produktowego dostaniemy P ({ω}) = p k (1 p) n k. Ponieważ ω S k cyfra 1 pojawia siȩ k razy i takich zdarzeń elementarnych w zdarzeniu S k jest ( ) n k, wiȩc P (Sk ) = ( n k) p k (1 p) n k. Wynik taki już widzieliśmy, omawiaj ac model Bernoulliego. Zadanie Z talii 4 kart (od 9 do asa) losujemy jedn a kartȩ. Niech A 1 zdarzenie polegaj ace na tym, że wylosowan a kart a jest as, A zdarzenie polegaj ace na tym, że wylosowan a kart a jest pik. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowan a kart a jest: 1. as pik;. pik, ale nie as. Mamy tu do czynienia z przestrzeni a dwuwymiarow a określon a nastȩpuj aco: Ω = {(x, y) : x Ω 1, y Ω }, gdzie: Ω 1 zbiór figur w kartach, Ω 1 = 6, Ω zbiór kolorów w kartach, Ω = 4. Dostaniemy odpowiednio 1. P (A 1 A ) = P 1 (A 1 ) P (A ), A 1 = 1, P 1 (A 1 ) = A1 Ω 1 = 1 6. A = 1, P (A ) = A Ω = 1 4, P (A 1 A ) = P 1 (A 1 ) P (A ) = 1 4.

11 3.1 Wprowadzenie teoretyczne i przyk lady 7. P (A C 1 A ) = P 1 (A C 1 ) P (A ), P (A C 1 A ) = (1 P 1 (A 1 )) P (A ) = 5 4. Prawdopodobieństwo geometryczne Jeśli Ω = [a 1, a ] [a, b ], to typowe zdarzenie A w dwuwymiarowej przestrzeni geometrycznej ma postać: A = {(x, y) Ω : x [a 1, b 1 ], d(x) y g(x)}, gdzie d i g funkcje ci ag le określone na odcinku [a 1, b 1 ]. Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi wtedy P (A) = b 1 a 1 (g(x) d(x))dx (b 1 a 1 ) (b a ). Zadanie Z kwadratu Ω = [0, 1] [0, 1] wybieramy punkt, którego wspó lrzȩdne wynosz a (p, q). Jakie jest prawdopodobieństwo, że równanie x + px + q = 0 nie bȩdzie mia lo pierwiastków rzeczywistych? Równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych, gdy Δ < 0 p 4 q < 0 q > p 4 Weźmy Ω = {(p, q) : 0 p 1 0 q 1}. Poniewż pole Ω = 1, wiȩc P (A) = 1 0 p 4 dp = 1 1.

12 8 Model probabilistyczny Ko lmogorowa 3. Zadania Zadanie 3..1 W szafce mamy 10 par butów. Wyci agamy losowo 6 butów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród nich nie bȩdzie żadnej pary? Zadanie 3.. Rzucamy dwa razy kostk a do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w sumie otrzymamy 1. 8 oczek;. co najmniej 3 oczka? Zadanie 3..3 Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że 7 losowo wybranych osób urodzi lo siȩ w różnych dniach tygodnia. Zadanie 3..4 Przed kolokwium z matematyki w grupie licz acej 4 studentów prowadz acy zaproponowa l studentom, aby wpisali na kartkach po jednej liczbie naturalnej od 1 do 40. W przypadku gdy wszystkie wpisane liczby bȩd a różne, odwo luje kolokwium i wszyscy otrzymuj a ocenȩ bardzo dobr a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kolokwium zostanie odwo lane? Zadanie 3..5 Uzasadnić, że prawdopodobieństwo warunkowe jest prawdopodobieństwem. Zadanie 3..6 Wiemy, że P (A B) = 1 4, P (AC ) = 1 3, P (B) = 1. Obliczyć P (A B) oraz P (A C B C ). Zadanie 3..7 Przy danych P (A B) = P (B A), P (A B) = 1, P (A B) = 1 4 obliczyć P (B) oraz P (A C B C ). Zadanie 3..8 Na egzaminie student otrzymuje jedn a z ocen: bardzo dobry, dobry, dostateczny, niedostateczny. W przypadku otrzymania oceny bardzo dobrej, dobrej, dostatecznej egzamin jest zdany. Prawdopodobieństwo tego, że student uzyska ocenȩ bardzo dobr a lub dobr a jest równe 0,6. Prawdopodobieństwo zdania egzaminu wynosi 0,9. Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania oceny dostatecznej na egzaminie. Zadanie 3..9 Liczby {1,,...,9} s a ustawione w sposób losowy. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że 1. liczby 1 i bȩd a sta ly obok siebie;. liczba 1 bȩdzie w tym ci agu przed liczb a 5. Zadanie Do windy, która zatrzymuje siȩ na 10 piȩtrach, wsiada 8 osób. Obliczyć prawdopodobieństwo, że

13 3. Zadania 9 1. każdy z pasażerów wysi adzie na innym piȩtrze;. wszyscy wysi ad a na trzech ostatnich piȩtrach. Zadanie Z talii ośmiu kart, w której mamy 4 asy i 4 króle, wybieramy losowo karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1. wybrano dwa asy, jeśli wybrano co najmniej jednego asa;. wybrano dwa asy, jeśli wiadomo, że wśród kart jest as pik. Zadanie 3..1 Wykazać, że dla A, B, C Ω takich, że P (A B) > 0, zachodzi równość P (A B C) = P (A) P (B A) P (C (A B)). Zadanie Niech Ω = {(x, y) : x R y R}. określone nastȩpuj aco: A = {(x, y) : x 1 < 1 y 1 < 1} B = {(x, y) : x + y }. Wyznaczyć P (A B) i P (B A). Zdarzenia A i B s a Zadanie Wykazać, że jeśli A, B Ω s a zdarzeniami niezależnymi, to niezależne s a też zdarzenia A C i B C. Zadanie Wiadomo, że średnio 4 mȩżczyzn na 100 i 4 kobiety na 1000 s a daltonistami. Z grupy, w której liczba kobiet jest dwa razy wiȩksza od liczby mȩżczyzn, wybrano osobȩ. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest daltonist a? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybranym daltonist a jest mȩżczyzna? Zadanie Ze zbioru {1,,...,n}, gdzie n > 3, losujemy dwie liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jedna z nich bȩdzie mniejsza, a druga wiȩksza od k, gdzie 1<k<n i k N. Zadanie W pewnym mieście mieszka osób. Prawdopodobieństwo, że wybrana osoba bȩdzie potrzebowa la natychmiastowej pomocy lekarskiej wynosi 0,00. Obliczyć prawdopodobieństwo wezwania pogotowia przez: 1. któregokolwiek mieszkańca tego miasta;. wiȩcej niż, ale nie wiȩcej niż 5 mieszkańców tego miasta; 3. co najmniej 3 mieszkańców tego miasta. Zadanie Trzech dostawców dostarcza do hurtowni cytrusy. Dostawy tych dostawców maj a siȩ jak 3:5:4. I dostawca dotarcza oko lo 1% skrzynek zepsutych owoców, II 4%, a III 3%. Wybraliśmy skrzynkȩ z dobrymi owocami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dostarczy l j a dostawca I?

14 30 Model probabilistyczny Ko lmogorowa Zadanie W dwóch jednakowo wygl adaj acych kopertach znajduj a siȩ talie kart, przy czym w pierwszej jest to talia 5 kart, a w drugiej 4 kart (od 9 do asa). Z losowo wybranej kopert wyci agamy kartȩ i wk ladamy do drugiej. Nastȩpnie wybieramy jedn a kartȩ z drugiej koperty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyci agniȩt a kart a bȩdzie as? Zadanie 3..0 Zbiór {1,,...,4n} podzielono na dwie równoliczne czȩści. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w każdej z nich jest taka sama ilość liczb podzielnych przez n. Zadanie 3..1 W dwóch jednakowych koszykach jest po 10 bia lych pi lek tenisowych. Wk ladamy do tych koszyków 0 czerwonych pi lek. Jak rozmieścić te pi lki w koszach, aby prawdopodobieństwo wybrania pi lki czerwonej z losowo wybranego koszyka by lo równe 7 15? Zadanie 3.. Z odcinka [0, ] wybieramy losowo i niezależnie dwa punkty. Niech A oznacza zdarzenie polegaj ace na tym, że odleg lość miȩdzy nimi jest mniejsza od 1. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A. Zadanie 3..3 Z odcinka [0, k] wybieramy losowo i niezależnie punkty x i y. Niech A zdarzenie polegaj ace na tym, że x + y > k, B zdarzenie, że 4 funkcja ln(x + y k) jest dobrze określona. 1. Czy zdarzenia A i B s a niezależne?. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia B pod warunkiem, że zajdzie zdarzenie A.