Kombinatoryka. 7. Niechk 1.Ilerozwia zańwliczbachca lkowitychnieujemnychmarównanie. x 1 +x 2 + +x k =n?

Transkrypt

1 1. Numertelefonicznymożezaczynaćsie oddowolnejzdziesie ciucyfr.ilejest siedmiocyfrowychnumerówtelefonicznych,którychwszystkiecyfrysa : a. różne; b. nieparzyste. 2. 9osóbustawiasie wszereg.ilejestróżnychustawień,wktórychwybranetrzy osobystoja jednaobokdrugiej? 3. Na ile sposobów można podzielić 9 osób na trzy grupy trzyosobowe(kolejność grup oraz kolejność osób w grupie jest nieistotna)? 4. Nailesposobówmożnapodzielićgrupe z lożona ztrzechdziewczynekitrzech ch lopcównadwiegrupypotrojedzieciwkażdej,takbywkażdejgrupieby lco najmniej jeden ch lopiec? 5. Ile par tanecznych(różnop lciowych) można utworzyć z m pan i n panów? 6. Niechk 1.Ilerozwia zańwliczbachca lkowitychdodatnichmarównanie x 1 +x 2 + +x k =n? 7. Niechk 1.Ilerozwia zańwliczbachca lkowitychnieujemnychmarównanie x 1 +x 2 + +x k =n? 8. Ilejestparkrawe dzidanegosześcianuniemieszcza cychsie wjednejp laszczyźnie? 9. Wykazać,żeliczbapodzbiorówzbioru{1,2,...,n},któreniezawieraja dwukolejnychliczbnaturalnychjestwyrazemcia gufibonacciego:1,1,2,3,5,8,13,... Którym? 10. Wsalibalowejznajdujesie k pańoraz l panów.nailesposobówmożna utworzyćznichnpartanecznych ( oczywiściemabyćn min(k,l) )? 11. Ilejestp laszczyznrównoodleg lychodczterechdanychpunktów,którenieleża w jednej p laszczyźnie? 12. Każda krawe dźsześcianupodzielononanrównychodcinków.przezkażdyz punktówpodzia lupoprowadzonop laszczyzne prostopad la dokrawe dzi,naktórej ten punkt leży. Ile prostopad lościanów powsta lo w wyniku poprowadzenia tych p laszczyzn? 13. Ilejestpermutacjizbioru{1,2,3,...,31},takichżeiloczynkażdychdwusa siednich liczb jest parzysty? 14. Nailesposobówmożnaposadzićna25miejscowej lawie10panówi15pań,tak bymie dzykażdymidwomapanamisiedzia laconajmniejjednapani. 1

2 15. Naokre guwybrano100różnychpunktówwtakisposób,żeżadnetrzyodcinki, którychkońcamisa wybranepunktyniemaja wspólnegopunktuwewne trznego. Ilepunktówprzecie ciasie tychodcinkówleżywewna trzokre gu? 16. Spośródwierzcho lkówsześcianuokrawe dzi1wylosowanotrzyróżne.znaleźć wszystkiemożliwewartościpolatrójka taowylosowa nychwierzcho lkach. Dlakażdejwartościpolaznaleźćprawdopodobieństwozjakimlosujemytrójka to takimpoluzak ladaja c,żewylosowaniekażdejtrójkiwierzcho lkówjesttaksamo prawdopodobne. 17. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że liczba wylosowana spośród liczb , ,000002,...,999997,999998,999999be dziemia lasume trzechpierwszych cyfrrówna sumietrzechcyfrostatnich.wylosowaniekażdejzliczbjesttaksamo prawdopodobne. 18. Jeśliwwynikurzutumoneta symetryczna wypadnieorze l,jandostaje1z l,jeśli wypadnie reszka traci 1 z l. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że po każdym z2nlosowańjanmajakieśpienia dze.wchwilirozpocze cialosowańniemanic. 19. Wurnieznajdujesie :jednakulaoznaczonanumerem1,2kuleoznaczonenumerem2,trzykuleoznaczonenumerem3,itd.,nkuloznaczonychnumeremn. Prawdopodobieństwowycia gnie ciakażdejkulijesttakiesamo.losujemydwie kule(bez zwracania). Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwu kul oznaczonych tym samym numerem? 20. Ztalii52kartdogrylosujemy9,znichlosujemykolejnodwie(bezzwracania). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że druga z wylosowanych kart jest waletem? 21. NiechAbe dziezbioremwszystkichwierzcho lkówiśrodkóbokówkwadratuo polu 1. Znaleźć d lugości wszystkich odcinków o końcach w zbiorze A. Dla każdej z tych odleg lości znaleźć prawdopodobieństwo wylosowania pary punktówodanejodleg lości,zak ladaja c,żewylosowaniekażdejparypunktów ze zbioru A jest tak samo prawdopodobne. 22. Doświadczeniepowtarzanenrazykończysie sukcesemzprawdopodobieństwem p(w jednej próbie). Jakie jest prawdopodobienstwo uzyskanie parzystej liczby sukcesów w n próbach? 23. Jeśliwwynikurzutumoneta symetryczna wypadnieorze l,ewadostaje1z l,jeśli wypadnie reszka traci 1 z l. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że po żadnym z2nlosowańewaniejestzad lużona.wchwilirozpocze cialosowańniemanic. 24. Wurnieznajdujesie 10kulbia lych,8kulczerwonychi7kulzielonych.wylosowanie dowolnej z 25 kul jest tak samo prawdopodobne. Losujemy kolejno trzy 2

3 kule bez zwracania. Wykazać, że prawdopodobieństwo tego, że trzecia wylosowanakulabe dziebia lajestmniejszeniż ( ) 25. Pewienkoszykarztrafiadokoszazprawdopodobieństwem 4 5 zodleg lości6m, azodleg lości9m zprawdopodobieństwem 3 5.Wykonujeon10rzutów:pie ć zodleg lości6mipie ćzodleg lości9m.wynikirzutówsa niezależne(bojest dobrze przygotowany psychicznie). Obliczyć: a. prawdopodobieństwem tego, że chybi co najmniej dwa razy, b. prawdopodobieństwo tego, że wszystkie rzuty z odleg lości 6 m by ly celne, jeśli nie trafi l dok ladnie raz. 26. Na egzamin przygotowano 16 pytań: 8 latwych i 8 trudnych. W czasie egzaminu studentlosujetrzypytaniaimusiodpowiedziećnaconajmniejdwaznich,by zdać. Student zna odpowiedzi na wszystkie latwe pytania, zaś odpowiedzi na pytaniatrudnecze ściowozgaduje:prawdopodobieństwoudzieleniapoprawnej odpowiedzinakażdeztrudnychpytańrównejest 1 2.Obliczyć: a. prawdopodobieństwo zdania egzaminu, b. prawdopodobieństwo tego, że student wylosowa l same trudne pytanie, jeśli wiadomo, że zda l egzamin, c. prawdopodobieństwo tego, że co najmniej jeden z sześciu jednakowo przygotowanychstudentówniezdaegzaminuzak ladaja c,żepytanialosowali niezależnieiwtrakcieegzaminunieporozumiewalisie zesoba. 27. Znaleźćprawdopodobieństwotego,żew100niezależnychrzutachstandardowa kostka dogrysumaliczboczekbe dzierównak.jakiewartościmożeprzyjmować ta suma? 28. Sa trzejstrzelcy:dwajkiepscyijedendobry.dobrytrafiawceljednymstrza lem z prawdopodobieństwem 0,8, kiepski z prawdopodobieństwem 0,6. Wybieramy losowo jednego z nich(wybór każdego jest tak samo prawdopodobny). Oblicz prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strza lem. Oblicz prawdopodobieństwotego,żestrzela lstrzelecdobrywiedza c,żewybranystrzelectrafi lw cel jednym strza lem. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wybrany strzelec trafi wcelstrzelaja cporazdrugi,jeśliuda lomusie tozapierwszymrazem. 29. StrzelecAtrafiawcelzprawdopodobieństwem0,9,astrzelecB zprawdopodobieństwem 0,5. Strzelili równocześnie w ten sam obiekt. Oblicz prawdopodobieństwotego,żewceltrafi lstrzelecb,jeślitrafi lawceljednakula.oblicz prawdopodobieństwo tego, że w cel trafi l strzelec B, jeśli wiadomo, że w cel trafi la co najmniej jedna kula. 3

4 30. Rzucamyraz4kostkamidogry.Dlakażdejkostkikażdyz6możliwychwyników uzyskiwany jest z takim samym prawdopodobieństwem. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że suma wyrzuconych oczek równa jest osobygraja wbrydża.obliczyćprawdopodobieństwootrzymaniaprzez2 partnerów 13 trefli w 1 rozdaniu. 32. Losujemytrzywierzcho lkidanego2n+1 ka taforemnego.wybórkażdejtrójki jesttaksamoprawdopodobny.obliczyćprawdopodobieństwotego,żewtrójka cie,któregowierzcho lkamisa wylosowanepunktyznajdujesie środekwieloka ta. 33. Rzucamy n razymoneta.liczba p k oznaczaprawdopodobieństwowyrzuceniawtych nrzutachdok ladnie k or lów.obliczyć n k=0 kp k przyjmuja c,że prawdopodobieństwouzyskaniaor lawjednymrzucierównejest Liczby1,2,3,4,5,6,7,8,9,10ustawiamylosowowcia g.wszystkieustawienia sa jednakowoprawdopodobne.znaleźćprawdopodobieństwo,tegożeliczby1i2 wysta pia oboksiebieorazprawdopodobieństwotego,żeliczby1,2,3wysta pia obok siebie w kolejności wzrastania. 35. Rzucamyrazpie ciomakostkamidogry.dlakażdejkostkikażdyzsześciumożliwych wyników uzyskiwany jest z takim samym prawdopodobieństwem. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek na wszystkich pie ciukostkachjestrówny Nakażdejzdziesie ciu laweksiadasiedemzsiedemdziesie ciuobecnychosób. Obliczyćprawdopodobieństwotego,żedwiedaneosobyusia da oboksiebie. Wszystkierezultatyzajmowaniamiejscnatychsiedmiooosobowych lawkachsa równoprawdopodobne. 37. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że dwie ostatnie cyfry(w uk ladzie dziesie tnym)liczby n 3 sa jedynkami,jeśliwybórkażdejliczby n jesttaksamo prawdopodobny. 38. Rzucamynrazykostka dogry.wjednymrzuciekażdyz6wynikówjestuzyskiwanyzprawdopodobieństwem 1 6.Liczbap koznaczaprawdopodobieństwotego, że w dok ladnie k spośród n rzutów liczba otrzymanych oczek by la podzielna przez3.obliczyć n k=0 kp k. 39. Rzucamyraz4kostkamidogry.Dlakażdejkostkikażdyz6możliwychwyników uzyskiwany jest z takim samym prawdopodobieństwem. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że iloczyn wyrzuconych oczek równa jest Ustawiamywcia gwszystkiedodatnieliczbyca lkowite,któremożnaprzedstawić wpostacisumy3czwartychpote gdodatnichliczbca lkowitych.wykazać,że 4

5 jedenzwyrazówtegocia gujestrówny2002.który? 41. Co jest bardziej prawdopodobne: (a)wzapisiedziesie tnymlosowowybranejliczbyspośródliczb1,2,...,nwyste pujecyfra7, (b)wzapisiedziesie tnymlosowowybranejliczbyspośródliczb1,2,...,nnie wyste pujecyfra7. Zbadaćprzypadkin=10 6 orazn= Rzucamynrazymoneta.Liczbap k oznaczaprawdopodobieństwowyrzucenia wtychnrzutachdok ladniekor lów.obliczyć n k=0 k(k 1)p kprzyjmuja c,że prawdopodobieństwouzyskaniaor law1rzucierównejest Abonentzapomnia lostatniejcyfrynumerutelefonuiwykre caja losowo.obliczyćprawdopodobieństwotego,żebe dziedzwonićwniewie cejniżtrzymiejsca. Obliczyćprawdopodobieństwotego,żebe dziedzwonićwniewie cejniżtrzymiejsca,jeślipamie ta,żezapomnianacyfrajestnieparzysta. 44. Wykazać,żejeśliP(A)>0,P(B)>0orazP(A B)>P(A),toP(B A)> P(B). 45. Ścianyczworościanupomalowano:pierwszanabia lo,druga nazielono,trzecia naczerwono,czwarta trzemakoloramiwyste puja cyminapoprzednich ścianach.rzucamyczworościanem.możeonupaśćnakażda ściane zprawdopodobieństwem 1 4.NiechBoznaczazdarzenie:upad lnaściane,naktórejwyste pujekolorbia ly,z upad lnaściane,naktórejwyste pujekolorzielony,c upad lnaściane,naktórejwyste pujekolorczerwony.znaleźćp(b),p(z), P(C),P(B C),P(Z C),P(B Z)iP(B Z C). 46. Losujemybezzwracanialiczbyzezbioru{1,2,3,...,n}.Wylosowaniekażdej jesttaksamoprawdopodobne. A k oznaczazdarzenie k tawylosowanaliczba jestwie kszaodpoprzedniowylosowanej.znaleźćp(a k ). 47. Rzucamysymetryczna moneta dochwili,gdywypadnieorze llubtrzyrazy.jakie jest prawdopodobieństwo wykonania trzech rzutów, jeśli za pierwszym razem wypad la reszka? 48. Dwieosobygraja nanaste puja cychzasadach:pierwszywygrywa,jeśliwygra mpartii,drugi jeśliwygrakpartii.pierwszygraczwygrywapartie zprawdopodobieństwemp (0,1),drugi zprawdopodobieństwem1 p.jakiejest prawdopodobieństwo, że pierwszy gracz wygra mecz? 49. Dowieść,żedladowolnychzdarzeń A,B zachodzinierówność P(A B) 1 P(A) P(B). 5

6 50. Wurnieznajdujesie 2kkulbia lychi2lkulczarnych.wylosowanok+lkul. Jakiejestprawdopodobieństwotego,żewurniezosta lokkulbia lychilkul czarnych. 51. Wykazać,żeliczbapodzbiorówzbioru{1,2,...,n},któreniezawieraja dwukolejnychliczbnaturalnychjestwyrazemcia gufibonacciego:1,1,2,3,5,8,13,... Którym? 52. Ciekawostkadlatych,którzywiedza,cotojestpochodna: Znajdziemysume n (n 1). Niechf(x)= x+4 3x 2 + +n (n 1)x n 2.Mamy f(x)= ( x 2 +x 3 +x 4 + +x n) ( ) = = x 2 x n+1 1 x ( ) = [2x (n+1)x n ](1 x)+x 2 x = ( ) n+1 nx n+1 (n+1)x n x 2 +2x = (1 x) 2 (1 x) 2 = [n(n+1)xn n(n+1)x n 1 2x+2](1 x)+2[nx n+1 (n+1)x n x 2 +2x] (1 x) 3 = = n(n 1)xn+1 +2(n 2 1)x n n(n+1)x n 1 +2 (1 x) 3 = n(n 1)xn+1 2(n 2 1)x n +n(n+1)x n 1 2 (x 1) 3. Niechg(x)=n(n 1)x n+1 2(n 2 1)x n +n(n+1)x n 1 2.Zachodzirówność g(1)=n(n 1) 2(n 2 1)+n(n+1) 2=0.Wobectegowielomiang(x)jest podzielnyprzezwielomianx 1.Mamyrównież g (x)=n(n 1)(n+1)x n 2n(n 2 1)x n 1 +n(n+1)(n 1)x n 2, zatemg (1)=n(n 1)(n+1) 2n(n 2 1)+n(n+1)(n 1)=0. Niechg(x)=(x 1)g 1 (x).wtedyg (x)=g 1 (x)+(x 1)g 1(x),aponieważ 0=g (1)=g 1 (1)+(1 1)g 1 (1)=g 1(1),wie cwielomiang 1 (x)jestpodzielny przezx 1. Niechg 1 (x)=(x 1)g 2 (x).zachodzirówność g (x)=n 2 (n 1)(n+1)x n 1 2n(n 2 1)(n 1)x n 2 +n(n+1)(n 1)(n 2)x n 3, zatemg (1)=n 2 (n 1)(n+1) 2n(n 2 1)(n 1)+n(n+1)(n 1)(n 2)= =n(n 2 1)[n 2(n 1)+n 2]=0.Mamyteżg(x)=(x 1)g 1 (x)=(x 1) 2 g 2 (x), zatemg (x)=2g 2 (x)+4(x 1)g 2 (x)+(x 1)2 g 2 (x).sta d0=g (1)=2g 2 (1), zatemg 2 (1)=0,zatemwielomiang 2 (x)jestpodzielnyprzezx 1.Istniejewie c wielomiang 3 (x)taki,żeg 2 (x)=(x 1)g 3 (x).wobectegog(x)=(x 1) 3 g 3 (x). Mamy dwie równości g (3) (x)=n 2 (n 1) 2 (n+1)x n 2 2n(n 2 1)(n 1)(n 2)x n 3 + oraz +n(n+1)(n 1)(n 2)(n 3)x n 4 g (3) (x)=6g 3 (x)+18(x 1)g 3 (x)+9(x 1)2 g 3 (x)+(x 1)3 g (3) 3 (x). 6

7 Wynikaznich,że 6g 3 (1)=n 2 (n 1) 2 (n+1) 2n(n 2 1)(n 1)(n 2)+n(n+1)(n 1)(n 2)(n 3)= =2(n 3 n).mamyrównieżf(x)= g(x) (x 1) 3 = (x 1)3 g 3 (x) (x 1) 3 =g 3 (x).wobectego n (n 1)=f(1)=g 3 (1)= 2(n3 n) = n3 n. 6 3 Sta dwynika,że ( 2 ) ( ) ( ) ( n ) 2 = n 3 n 2 3 = ( ) n+1 2. Przyk ladtenpokazujepewna metode uzyskiwaniawzorów na n tywyraz cia gu.zwyrazamicia gupowia zaliśmypewna funkcje ipokilkuprzekszta lceniachotrzymaliśmyinteresuja ca równość.oczywiściete równośćmożnauzyskać innymisposobami,np.ztrójka tapascala,aleprzedstawionametodamaszerokie zastosowania. 7