Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

2 Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe A i B powinny być niezależne, jeśli wystąpienie jednego z tych zdarzeń nie wpływa na prawdopodobieństwo drugiego, czyli P(A) = P(A B). oraz P(B) = P(B A). Kiedy to jest prawdą?

3 O ile P(A), P(B) > 0 P(A) = P(A B) P (A) = P (A B) P (B) P(B) = P(B A) P (B) = P (A B) P (A) P (A) P (B) = P (A B) P (A) P (B) = P (A B)

4 O ile P(A), P(B) > 0 P(A) = P(A B) P (A) = P (A B) P (B) P(B) = P(B A) P (B) = P (A B) P (A) P (A) P (B) = P (A B) P (A) P (B) = P (A B) Definicja Mówimy, że zdarzenia losowe A i B są niezależne, jeśli P(A B) = P(A) P(B). W przeciwnym przypadku mówimy, że zdarzenia losowe A i B są zależne.

5 Przykład 1 Wybieramy losowo jedną z talii 52 kart. Czy zdarzenia A i B są niezależne? A wybrana karta to As B wybrana karta to kier. Definicja, przypomnienie Mówimy, że zdarzenia losowe A i B są niezależne, jeśli P(A B) = P(A) P(B) Rozwiązanie:

6 Przykład 1 Wybieramy losowo jedną z talii 52 kart. Czy zdarzenia A i B są niezależne? A wybrana karta to As B wybrana karta to kier. Jak zmieni się odpowiedź w przypadku losowania z talii 54 kart (z Jokerami)? Definicja, przypomnienie Mówimy, że zdarzenia losowe A i B są niezależne, jeśli P(A B) = P(A) P(B) Rozwiązanie:

7 Przykład 2 Czy zdarzenia wzajemnie wykluczające się są niezależne? A B =

8 Fakt Jeżeli A i B są niezależne, to niezależne są też zdarzenia A i B Dowód:

9 Fakt Jeżeli A i B są niezależne, to niezależne są też zdarzenia A i B Dowód: Wniosek Jeżeli A i B są niezależne, to niezależne są też zdarzenia A i B ; A i B; A i B. Tzn. jeżeli A i B są niezależne, to to, czy zaszło B, czy nie, nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia A i na odwrót.

10 Niezależność wielu zdarzeń - pytanie Niech zdarzenia A, B i C będą parami niezależne, tzn. A i B niezależne; B i C niezależne; A i C niezależne;. Czy z tego wynika, że A, B i C są niezależne?

11 Niezależność wielu zdarzeń - pytanie Niech zdarzenia A, B i C będą parami niezależne, tzn. A i B niezależne; B i C niezależne; A i C niezależne;. Czy z tego wynika, że A, B i C są niezależne? Sprawdźmy, czy zdarzenia A i B C są niezależne.

12 Przykład 3 rzucamy dwiema monetami; niech A to zdarzenie na pierwszej monecie wypadła reszka niech B to zdarzenie na drugiej monecie wypadła reszka niech C to zdarzenie wypadła dokładnie jedna reszka czy zdarzenia A i B C są niezależne

13 Przykład 3 rzucamy dwiema monetami; niech A to zdarzenie na pierwszej monecie wypadła reszka niech B to zdarzenie na drugiej monecie wypadła reszka niech C to zdarzenie wypadła dokładnie jedna reszka czy zdarzenia A i B C są niezależne Konkluzja: zdarzenia A oraz B są niezależne; zdarzenia A oraz C są niezależne; zdarzenia B oraz C są niezależne; ale zdarzenia A, B C NIE są niezależne, więc A,B,C NIE są niezależne

14 Niezależność trzech zdarzeń Definicja Zdarzenia A 1, A 2, A 3 są niezależne, jeśli: P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) P(A 2 ), P(A 1 A 3 ) = P(A 1 ) P(A 3 ), P(A 2 A 3 ) = P(A 2 ) P(A 3 ), P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 ) P(A 2 ) P(A 3 )

15 Niezależność trzech zdarzeń Przykład 4 Niech Ω = [0, 1] 2. Na ilustracji mamy trzy zdarzenia. Wiemy, że P (A) P (B) P (C) = = 1 = P (A B C). 8 Czy w takim razie zdarzenia A, B, C są niezależne?

16 Niezależność trzech zdarzeń czyli... zdarzenia A 1, A 2, A 3 są niezależne, jeśli: P(A p ) = P(A p ) dla 1 p 3, P(A p A q ) = P(A p ) P(A q ) dla 1 p < q 3, P(A p A q A r ) = P(A p ) P(A q ) P(A r ) dla 1 p < q < r 3

17 Niezależność czterech zdarzeń Definicja cd. Zdarzenia A 1, A 2, A 3, A 4 są niezależne, jeśli: P(A p ) = P(A p ) dla 1 p 4, P(A p A q ) = P(A p ) P(A q ) dla 1 p < q 4, P(A p A q A r ) = P(A p ) P(A q ) P(A r ) dla 1 p < q < r 4, P(A p A q A r A s ) = P(A p ) P(A q ) P(A r ) P(A s ) dla 1 p < q < r < s 4,

18 Niezależność wielu zdarzeń Definicja ogólna wersja Mówimy, że zdarzenia losowe A 1, A 2,... są niezależne, jeśli dla dowolnego skończonego ciągu indeksów i 1 < < i k zachodzi P(A i1 A i2 A ik ) = P(A i1 ) P(A i2 ) P(A ik )

19 Niezależność wielu zdarzeń Definicja, przypomnienie mówimy, że zdarzenia losowe A 1, A 2,... są niezależne, jeśli dla dowolnego skończonego ciągu indeksów i 1 < < i k zachodzi Przykład 5 P(A i1 A i2 A ik ) = P(A i1 ) P(A i2 ) P(A ik ) Rozważamy n-krotny rzut monetą. Niech A k będzie zdarzeniem w k-tym rzucie wypadł orzeł Korzystając z definicji klasycznej pokaż, że zdarzenia A 1,..., A n są niezależne

20 Przypomnienie Jeżeli A i B są niezależne, to niezależne są też zdarzenia A i B ; A i B; A i B.

21 Przypomnienie Jeżeli A i B są niezależne, to niezależne są też zdarzenia A i B ; A i B; A i B. Twierdzenie Załóżmy, że zdarzenia A 1, A 2,..., A n są niezależne. wówczas również zdarzenia B 1, B 2,..., B n, gdzie B i = A i lub B i = A i dla każdego i = 1,..., n. są niezależne

22 O jeden krok dalej Jeśli niezależne są A, B i C, to niezależne są: A i B C A i B C Dowód:

23 O jeden krok dalej Jeśli niezależne są A, B i C, to niezależne są: A i B C A i B C Dowód: Ogólniej jeśli zdarzenia A 1, A 2, A 3, A 4,..., B 1, B 2, B 3, B 4... są niezależne, to poniższe dwa zdarzenia również są niezależne: dowolne zdarzenie, które da się wyprodukować z A 1, A 2, A 3, A 4,... przy pomocy,,, \, etc., dowolne zdarzenie, które da się wyprodukować z B 1, B 2, B 3, B 4... przy pomocy,,, \, etc.,

24 Ogólniej jeśli zdarzenia A 1, A 2, A 3, A 4,..., B 1, B 2, B 3, B 4... są niezależne, to poniższe dwa zdarzenia również są niezależne: dowolne zdarzenie, które da się wyprodukować z A 1, A 2, A 3, A 4,... przy pomocy,,, \, etc., dowolne zdarzenie, które da się wyprodukować z B 1, B 2, B 3, B 4... przy pomocy,,, \, etc., Przykład 6 Zdarzenia losowe A, B, C, D są niezależne; czy wynika stąd, że zdarzenia A B oraz (C D) \ (C D) są niezależne?

25 Ogólniej jeśli zdarzenia A 1, A 2, A 3, A 4,..., B 1, B 2, B 3, B 4... są niezależne, to poniższe dwa zdarzenia również są niezależne: dowolne zdarzenie, które da się wyprodukować z A 1, A 2, A 3, A 4,... przy pomocy,,, \, etc., dowolne zdarzenie, które da się wyprodukować z B 1, B 2, B 3, B 4... przy pomocy,,, \, etc., Przykład 6 Zdarzenia losowe A, B, C, D są niezależne; czy wynika stąd, że zdarzenia A B oraz (C D) \ (C D) są niezależne? TAK

26 Ogólniej jeśli zdarzenia A 1, A 2, A 3, A 4,..., B 1, B 2, B 3, B 4... są niezależne, to poniższe dwa zdarzenia również są niezależne: dowolne zdarzenie, które da się wyprodukować z A 1, A 2, A 3, A 4,... przy pomocy,,, \, etc., dowolne zdarzenie, które da się wyprodukować z B 1, B 2, B 3, B 4... przy pomocy,,, \, etc., Przykład 7 Zdarzenia losowe A, B, C, D są niezależne; czy wynika stąd, że zdarzenia A B oraz (A D) \ (C D) są niezależne?

27 Ogólniej jeśli zdarzenia A 1, A 2, A 3, A 4,..., B 1, B 2, B 3, B 4... są niezależne, to poniższe dwa zdarzenia również są niezależne: dowolne zdarzenie, które da się wyprodukować z A 1, A 2, A 3, A 4,... przy pomocy,,, \, etc., dowolne zdarzenie, które da się wyprodukować z B 1, B 2, B 3, B 4... przy pomocy,,, \, etc., Przykład 7 Zdarzenia losowe A, B, C, D są niezależne; czy wynika stąd, że zdarzenia A B oraz (A D) \ (C D) są niezależne? NIE KONIECZNIE

28 Wskazówki Niezależność to maszyna, która pozwala obliczać prawdopodobieństwa skomplikowanych zdarzeń losowych

29 Niezależność to mnożenie prawdopodobieństw jeśli zdarzenia A, B,..., Z są niezależne, to P(A B Z) = P(A) P(B) P(Z)

30 Niezależność to mnożenie prawdopodobieństw jeśli zdarzenia A, B,..., Z są niezależne, to P(A B Z) = P(A) P(B) P(Z) Przykład 8 wiadomo, że zdarzenia P, Q, R są niezależne, P(P) = p, P(Q) = q, P(R) = r, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że zajdą wszystkie trzy zdarzenia? P(P Q R) =?

31 Przykład 9 wiadomo, że zdarzenia P, Q, R są niezależne, P(P) = p, P(Q) = q, P(R) = r, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że zajdzie co najmniej jedno zdarzenie? P(P Q R) =?

32 Przykład 9 wiadomo, że zdarzenia P, Q, R są niezależne, P(P) = p, P(Q) = q, P(R) = r, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że zajdzie co najmniej jedno zdarzenie? P(P Q R) =? Wskazówka Zamień w korzystając z praw de Morgana Przypomnij sobie, że jeśli zdarzenia A 1, A 2,... są niezależne, to również zdarzenia A 1, A 2,... są niezależne.

33 Przykład 10 Po sieci przedstawionej na rysunku ma zostać przekazana informacja z komputera A do komputera B z pośrednictwem innych komputerów. Każdy komputer (poza A i B, które działają) ulega uszkodzeniu lub jest w inny sposób niedostępny niezależnie z prawdopodobieństwem p. Wyznacz prawdopodobieństwo zdarzenia, że informacja może zostać przekazana z sukcesem.