Jan Rusinek 60 ZADAŃ. Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Z ROZWIĄZANIAMI dla studentów informatyki UWAGA!

Transkrypt

1 Jan Rusinek 60 ZADAŃ Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Z ROZWIĄZANIAMI dla studentów informatyki UWAGA! Ten tekst jest w trakcie przygotowania i sprawdzania. Może zawierać błędy. Jest sukcesywnie poprawiany i umieszczany pod aktualną datą! Proszę o przysyłanie uwag pod adresem: j-rusinek@o2.pl Obecna data

2

3 Wstęp Zbiorek ten zawiera 60 elementarnych zadań z rachunku prawdopodobieństwa z przykładowymi rozwiązaniami. Są one wybrane z zadań przerabianych na ćwiczeniach i wykładach oraz na egzaminach na kierunku informatyka w Wyższej Szkole Menedżerskiej w Warszawie. Są tak wybrane, Wykorzystywane wzory, definicje i tabele są umieszczone na końcu zbiorku. Mam nadzieję, że zbiorek ten pomoże studentom lepiej opanować omawiany materiał i przygotować się do egzaminu. Niektóre zadania wymagają napisania odpowiedniego algorytmu demonstrującego omawiany temat. Rozwiązanie jest zaprezentowane w pascalu, ale oczywiście można wykorzystać dowolny inny język programowania. 5

4 Zadania 6

5 ZADANIE 1. W finale rzutu dyskiem startuje 12 zawodników. Ile jest wszystkich możliwych wyników? Jest to liczba permutacji, czyli 12! =

6 ZADANIE 2. Pewien salon samochodowy ma w sprzedaży 8 modeli samochodów. Ma miejsce na wystawienie 5 modeli. Na ile sposobów może wystawić samochody? Jest to liczba kombinacji ( ) 8 5 = 8! = 56. 5! 3! 8

7 ZADANIE 3. W pewnej grze liczbowej skreśla się 4 liczby spośród 21. Ile jest wszystkich możliwych skreśleń? ( 21 4 ) Podobnie jak w poprzednim zadaniu trzeba obliczyć =

8 ZADANIE 4. Opera kameralna wystawia operę w obsadzie 2 soprany, 1 alt, 2 tenory i 3 basy. Zespół liczy 6 sopranów, 3 alty, 6 tenorów, 6 basów. Ile różnych obsad może zestawić dyrektor opery? Będzie to iloczyn kombinacji ( ) 6 2 ( ) 3 1 ( ) 6 2 ( ) 6 = =

9 ZADANIE 5. Drużyna piłkarska gra w ustawieniu: 1 bramkarz, 4 obrońców, 3 pomocników i 3 napastników. Trener ma do dyspozycji 2 bramkarzy, 6 obrońców, 5 pomocników i 5 napastników. Ile różnych składów może wystawić? Rozwiązanie podobne jak w zadaniu poprzednim ( ) 2 1 ( ) 6 4 ( ) 5 3 ( ) 5 =

10 ZADANIE 6. Wykorzystując procedurę random podaj przykład programu losującego k liczb spośród n. var n,i,j,k,l:integer; a:array[1..n] of integer; begin randomize; for i:=1 to n do a[i]:=i; for j:=n downto n-k+1 do begin l:=random(j)+1; write(a[l],, ); for i:=l to j-1 do a[i]:=a[i+1]; end;end. 12

11 ZADANIE 7. W biegu na 1500 m. startuje 9 biegaczy. Na ile sposobów można rozdać medale? Jest to zadanie na wariacje bez powtórzeń. Wynik będzie równy 9! (9 3)! = =

12 ZADANIE 8. Trzydziestu studentów zapisuje się na trzy specjalizacje. Na ile sposobów mogą się zapisać? Trzeba zastosować wariacje z powtórzeniami. Otrzymamy wynik

13 ZADANIE 9. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Wyznacz zbiór Ω. Ile elementów ma ten zbiór? Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma wyrzuconych oczek będzie większa od 10. Ω = {(i, j): i, j {1, 2, 3, 4, 5, 6}}. Stąd Ω = 6 6 = 36. Niech A oznacza interesujące nas zdarzenie. Wtedy A = {(5, 6), (6, 5), (6, 6)}. Stąd P (A) = 3 36 =

14 ZADANIE 10. Z talii 52 kart losujemy kolejno bez zwracania 2 karty. Ile elementów będzie liczył zbiór Ω? Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia: za pierwszym razem będzie pik, a za drugim dwójka? Za pierwszym razem możemy wylosować jedną z 52 kart, a za drugim jedną z 51. Stąd Ω = = Dalej możemy rozumować tak. Gdyby to było losowanie ze zwracaniem, to wszystkich sprzyjających możliwości byłoby 13 4 (za pierwszym razem mamy do dyspozycji 13 pików, a za drugim 4 dwójki). Przy losowaniu bez zwracania odpada jedna możliwość: dwójka pik i dwójka pik, a zatem jest możliwości = 51. Zatem nasze prawdopodobieństwo jest równe

15 ZADANIE 11. W pewnej chłodni pracuje 10 agregatów. Średnio co 10 minut następuje rozruch agregatu, który trwa sekundę i w czasie niego agregat potrzebuje prądu o mocy 10kW. W czasie normalnej pracy agregat pobiera tylko 1KW. Korek automatyczny wyłącza się przy obciążeniu ponad 40kW. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 10 minut korek się wyłączy? Możemy podzielić 10 minut na 600 sekundowych odcinków. Każdy agregat losowo wybiera na rozruch jeden z tych odcinków. Zatem wszystkich możliwości jest tyle ile wariacji z powtórzeniami, czyli Zdarzenie sprzyjające to takie, że co najmniej 4 agregaty wybiorą ten sam odcinek. Możemy je otrzymać w następujący sposób: najpierw losujemy 4 agregaty z 10 na ( ) 10 4 = 210 sposobów, umieszczamy je w jednym ze 600 odcinków, a pozostałe agregaty wybierają odcinki dowolnie, czyli na sposobów. Zatem poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi p = >=

16 ZADANIE 12. Rzucamy trzy razy kostką do gry. Ile elementów będzie miał zbiór Ω? Wypisz zbiory: a) A: suma wyrzuconych oczek jest mniejsza od 5 ; b) B: iloczyn wyrzuconych oczek jest mniejszy od 4. Oblicz ich prawdopodobieństwa. Ile elementów będzie miał zbiór C: za każdym razem wypadła inna liczba oczek? Oblicz jego prawdopodobieństwo. Stąd Ω = 6 3 = 216. Ω = {(i, j, k): i, j, k {1, 2, 3, 4, 5, 6}}. a) A = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)}. Zatem P (A) = = b)b = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 2, 1), (2, 1, 1), (3, 1, 1), (1, 3, 1)}. Zatem P (B) = c) Aby policzyć liczbę elementów zbioru C należy zastosować wzór na wariacje bez powtórzeń 6! = 120. Stąd 3! P (C) = 120 =

17 ZADANIE 13. W pewnym zakładzie stan osobowy zatrudnionych według płci i wykształcenia przedstawia tabelka: wykształcenie płeć wyższe średnie podstawowe razem kobiety mężczyźni Razem Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo napotkany pracownik: a) jest kobietą; b) jest kobietą z wyższym wykształceniem; c) nie ma wyższego wykształcenia; d) jest mężczyzną bez wyższego wykształcenia. a) 43, b) , c), d)

18 ZADANIE 14. Egzamin z matematyki zdawało 620 studentów. Liczby studentów, którzy otrzymali odpowiednie stopnie podaje tabelka: ocena liczba studentów Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) losowo spotkany student zdał egzamin; b) losowo wybrany student otrzymał co najmniej ocenę dobrą? a) = , b) =

19 ZADANIE 15. Rzucamy dwa razy monetą. Niech A oznacza zdarzenie w pierwszym rzucie padł orzeł, B zdarzenie przynajmniej raz padła reszka. Oblicz P (A B) i P (B A). Ω = 4, A = {(o, o), (o, r)}, B = {(o, r), (r, o), (r, r)}, A B = {(o, r)}. Zatem P (A B) = P (B A) = P (A B) P (B) P (A B) P (A) = = = 1 3. =

20 ZADANIE 16. Rzucamy dwa razy kostką do gry. A oznacza zdarzenie suma wyrzuconych oczek jest większa od 10, a B zdarzenie iloczyn wyrzuconych oczek jest większy od 20. Oblicz P (A B) i P (B A). Ω = 36, A = {(5, 6), (6, 5), (6, 6)}, B = {(5, 4), (5, 6), (6, 5), (4, 6), (6, 4), (6, 6)}, A B = A. Stąd 3 P (A B) P (A B) = = = 1 P (B) 2. P (B A) = P (A B) P (A) = P (A) P (A) = 1. 22

21 ZADANIE 17. Z talii 52 kart losujemy jedną. Jeśli wyciągniemy asa, to rzucamy monetą i wygrywamy gdy wypadnie orzeł, a jeśli wyciągniemy inną kartę, to rzucamy kostką do gry i wygrywamy gdy wypadnie szóstka. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej. Niech B 1 będzie zdarzeniem wylosowaliśmy asa, a B 2 zdarzeniem wylosowaliśmy inną kartę, a A zdarzeniem wygraliśmy. Wtedy P (B 1 ) = 1, P (B 13 2) = 12. Ponadto P (A B 1 ) = 1, P (A B 2 2) = 1. Z wzoru na prawdopo dobieństwo całkowite otrzymujemy P (A) = =

22 ZADANIE 18. Podaj przykład algorytmu imitującego doświadczenie z poprzedniego zadania. var k,n,u,v:integer; procedure moneta; begin k:=random(2); if k=0 then writeln( wygrywamy ); end; procedure kostka; begin u:=random(6);u:=u+1; if u=6 then writeln( wygrywamy ); end; begin n:=random(52); if n<4 then moneta; if n>3 then kostka; end. 24

23 ZADANIE 19. Mamy trzy urny. W pierwszej są same białe kule, w drugiej połowa białych i połowa czarnych, a w trzeciej 30% białych i 70% czarnych. Rzucamy kostką do gry. Jeśli wypadnie jedynka, to losujemy z pierwszej urny, jeśli dwójka lub trójka, to z drugiej, w pozostałych przypadkach z trzeciej. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana kula będzie czarna. Niech B 1 oznacza zdarzenie wypadła jedynka, B 2 zdarzenie wypadła dwójka lub trójka, B 3 zdarzenie wypadła czwórka, piątka lub szóstka, A zdarzenie wylosowana kula jest czarna. Wtedy P (B 1 ) = 1, P (B 6 2) = 1, P (B 3 3) = 1. Ponadto P (A B 2 1) = 0, P (A B 2 ) = 1, P (A B 2 3) = Zatem P (A) = =

24 ZADANIE 20. Rzucamy kostką do gry. Jeśli wypadnie szóstka, to wygrywamy. Jeśli wypadnie piątka, to mamy prawo do następnego rzutu. Jeśli wypadnie liczba mniejsza od piątki, to przegrywamy. Rzucamy dopóki nie wygramy lub przegramy. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej. Niech B n oznacza zdarzenie wygraliśmy w n-tym rzucie. Wtedy zdarzenie wygraliśmy jest nieskończoną sumą rozłącznych zdarzeń B n. Zdarzenie B n oznacza, że w pierwszych n 1 rzutach wypadła piątka, a w n-tym szóstka. W takim razie P (B n ) = ( 1 6 ) n 1 1 = ( ) n. Stąd ( ) 1 n P (A) = = 1 n= =

25 ZADANIE 21. Podaj przykład algorytmu imitującego grę z poprzedniego zadania. var n:integer; procedure losuj; begin n:=random(6);n:=n+1; if n=6 then writeln( wygrana ); if n=5 then losuj; if n<5 then writeln( przegrana ); end; begin randomize; losuj; end. 27

26 ZADANIE 22. Rzucamy dwa razy symetryczną monetą. Niech A oznacza zdarzenie za każdym razem padł inny wynik, a B zdarzenie w drugim rzucie padł orzeł. Czy zdarzenia A i B są niezależne? Ω = 4, A = {(o, r), (r, o)}, B = {(r, o), (o, o)}, A B = {(r, o)}. Zatem P (A B) = 1, P (A) P (B) = 1 1 = Stąd zdarzenia są niezależne. 28

27 ZADANIE 23. Rzucamy kostką do gry, A oznacza zdarzenie wypadła liczba podzielna przez 2, a B zdarzenie wypadła liczba podzielna przez 3. Czy zdarzenia te są niezależne? Ω = 6, A = {2, 4, 6}, B = {3, 6}, A B = {6}, P (A B) = 1 6 = Zdarzenia są niezależne. = P (A) P (B). 29

28 ZADANIE 24. Wiemy, że P (A) = 1, P (B) = 1 oraz 2 3 P (A B) = 2. Czy zdarzenia A i B są niezależne? 3 Stąd Wiadomo, że P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). 2 3 = P (A B). 3 Zatem P (A B) = 1 = P (A) P (B). Zdarzenia są niezależne. 6 30

29 ZADANIE 25. W pewnym zakładzie stan osobowy zatrudnionych według płci i wykształcenia przedstawia tabelka: wykształcenie płeć wyższe średnie podstawowe razem kobiety mężczyźni Razem Sprawdź, czy zdarzenia A i B, losowo wybrana osoba jest mężczyzną i losowo wybrana osoba ma wyższe wykształcenie są niezależne. P (A) = 24 = 2 12, P (B) = = P (A B) = 8 = 2. Zdarzenia są niezależne

30 ZADANIE 26. W pewnej miejscowości przeprowadzono badania zgonów według przyczyny i płci. Otrzymano zestawienie: przyczyna płeć choroby układu krążenia nowotwory inne razem kobiety mężczyźni Razem Sprawdź czy zdarzenia A i B: przyczyną śmierci jest choroba układu krążenia oraz zmarła osoba jest mężczyzną są niezależne. P (A) = , P (B) =, P (A B) = Zdarzenia są zależne. P (A)P (B). 32

31 ZADANIE studentów podzielonych jest na trzy grupy po 30 osób. Wyniki egzaminu z matematyki według grup przedstawiają się następująco: ocena grupa A grupa B grupa C a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że student zdał egzamin pod warunkiem, że był w grupie C. b) Losowo napotkany student twierdzi, że dostał piątkę. Oblicz prawdopodobieństwo faktu, że był w grupie B. c) Napotkany student twierdzi, że dostał co najmniej ocenę dobrą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że chodził do grupy A. d) Czy zdarzenia A i B, student dostał czwórkę oraz student chodzi do grupy A są niezależne? Trzeba skorzystać z wzorów na prawdopodobieństwo całkowite i z wzoru Bayesa. a) b) c) d) P (A) = = , P (B) = = 30, natomiast P (A B) = Porównując otrzymujemy wniosek, że zdarzenia są niezależne. 33

32 ZADANIE 28. Prawdopodobieństwo, że klient wchodzący do sklepu komputerowego dokona jakiegoś zakupu wynosi 0.4. Do sklepu wchodzi czterech klientów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) dokładnie jeden klient dokona zakupu, b) żaden z nich nie dokona zakupu, c) co najmniej dwóch klientów dokona zakupu. a) b(4, 1, 0.4) = ( ) 4 1 (0.4)1 (0.6) 3 = b) b(4, 0, 0.4) = ( ) 4 0 (0.4)0 (0.6) 4 = c) b(4, 2, 0.4)+b(4, 3, 0.4)+b(4, 4, 0.4) = 1 b(4, 0, 0.4) b(4, 1, 0.4) =

33 ZADANIE 29. Napisz procedurę liczącą b(n, k, p) dla danych n, k i p. Żeby uniknąć liczenia silni czyli bardzo dużych liczb lepiej najpierw policzyć logarytm docelowej liczby, a potem zastosować funkcję exp. Oto przykładowa procedura. var n,k,i:integer; a,p,b:real; begin a:=0; for i:=1 to n-k do begin a:=a-ln(i);end; for i:=k+1 to n do begin a:=a+ln(i);end a:=a+k*ln(p)+(n-k)*ln(1-p); b:=exp(a); end. 35

34 ZADANIE 30. Wiemy, że 5% zapałek jest wadliwych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pudełku z 50 zapałkami jest więcej niż 2 wadliwe? 50 b(50, n, 0.05) = 1 b(50, 0, 0.05) n=3 ( ) 50 b(50, 1, 0.05) b(50, 2, 0.05) = 1 (0.05) 0 (0.95) 50 0 ( ) ( ) 50 (0.05) 1 (0.95) (0.05) 2 (0.95) 48 = =

35 ZADANIE 31. Prawdopodobieństwo, że stan konta wzrośnie w ciągu dnia wynosi 0.12, a prawdopodobieństwo, że stan konta zmaleje wynosi Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) w ciągu trzech dni stan konta dokładnie jednego dnia zmaleje, b) w ciagu trzech dni stan co najmniej w jednym dniu wzrośnie c) w ciagu trzech dni stan ani razu się nie zmieni? a) b(3, 1, 0.1) = ( ) 3 1 (0.1)1 (0.9) 2 = b) 1 b(3, 0, 0.12) = 1 ( ) 3 (0.12)0 (0.88) 3 = c) b(3, 0, 0.22) = ( ) (0.22)0 (0.78) 3 =

36 ZADANIE 32. Rozpatrzmy jeszcze raz zadanie 11. Jakie jest prawdopodobieństwo, że korek wyłączy się w ciągu roku? Rok ma dziesięciominutowych odcinków. Sukces, że wyłączenie nastąpi w takim jednym odcinku wynosi p = Korek się wyłączy, przy przynajmnie jednym sukcesie w próbach, czyli z prawdopodobieństwem k=1 b(52560, k, p) = 1 b(52560, 0, p) = 1 ( ) =

37 ZADANIE 33. Rzucamy n razy symetryczną monetą. Ile co najmniej razy powinniśmy rzucić, aby prawdopodobieństwo zdarzenia przynajmniej raz padł orzeł było większe niż 0.95? Mamy rozwiązać nierówność czyli To znaczy czyli skąd a zatem n b(n, k, 0.5) > 0.95, k=1 b(n, 0, 0.5) < ( ) n (0.5) 0 (0.5) n < 0.05, 0 (0.5) n < 0.05, 2 n > 20, n = 5. 39

38 ZADANIE 34. Rzucamy n kostkami. Jakie powinno być najmniejsze n, aby prawdopodobieństwo zdarzenia na żadnej kostce nie padła szóstka było mniejsze niż Trzeba rozwiązać nierówność ( b n, 0, 1 ) < 0.25, 6 czyli ( 6 5 ) n > 4. Logarytmując otrzymujemy n ln 6 5 > ln 4, czyli Odpowiedź: n = 8. n > ln 4 ln 6 5 =

39 ZADANIE 35. Rzucamy 100 razy dwoma kostkami do gry. Ile razy najprawdopodobniej wyrzucimy dwie szóstki? Szukamy takiego m naturalnego, że ( )p 1 < m ( )p. W naszym przypadku p = 1 36, skąd 2.80 < m Zatem m = 3. Najprawdopodobniej dwie szóstki pojawią sie trzy razy. 41

40 ZADANIE 36. Prawdopodobieństwo, że dorosły mężczyzna nosi brodę wynosi W pewnym zakładzie pracuje 28 mężczyzn. Ilu z nich najprawdopodobniej nosi brodę? czyli Szukamy takiego m, że (28 + 1) < m (28 + 1) 0.08, 1.32 < m Najprawdopodobniej dwóch mężczyzn nosi brodę. 42

41 ZADANIE 37. Rzucamy kostką do gry. Niech X będzie zmienną przyjmującą wartość równą kwadratowi liczby wyrzuconych oczek. Podaj rozkład tej zmiennej. x k p k

42 ZADANIE 38. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech X będzie zmienną przyjmującą wartość równą sumie wyrzuconych oczek. Podaj rozkład tej zmiennej. Wszytkich zdarzeń elementarnych jest 36. Dwójkę możemy uzyskać na jeden sposób (1 + 1), trójkę na dwa (1 + 2 i itd. Stąd otrzymujemy rozkład. x k p k

43 ZADANIE 39. Rozkład zmiennej losowej X jest dany tabelką: x k p k Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = X 2 3X + 2. Zmienna losowa Y przyjmuje następujące wartości: dla x = 1 wartość = 0, dla x = 2 wartość = 0, dla x = 3 wartość = 2 i dla x = 4 wartość = 6. Zatem Y przyjmuje trzy wartości 0, 2 i 6, co daje następujący rozkład: y k p k

44 ZADANIE 40. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości g(x) = { 1 x 2 dla x (0; 2), 0 dla x (0; 2). Wyznacz gęstość rozkładu Y = X. Niech h(y) oznacza gęstość rozkładu zmiennej Y. Ponieważ gęstość X jest różna od zera tylko dla x > 0, możemy przyjąć a, b > 0. Wówczas b a h(y)dy = P (a < Y < b) = P (a < X < b) = = P (a 2 < X < b 2 ) = b 2 a xχ (0;2)dx. Stosując zamianę zmiennych y = x, czyli y = t 2, dx = 2ydy mamy b 2 a 2 1 b 2 xχ (0;2)dx = a y 3 χ (0; 2) dy. Ostatecznie otrzymujemy odpowiedź. Zmienna losowa Y = X ma gęstość h(y) = { y 3 dla y (0; 2), 0 dla y (0; 2). 46

45 ZADANIE 41. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości g(x) = { 1 x 2 dla x (0; 2), 0 dla x (0; 2). Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej. E(X) = = D 2 (X) = ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) = Odchylenie standardowe jest równe w przybliżeniu

46 ZADANIE 42. Niech X będzie zmienną losową daną w tabelce: x k p k Bez wyznaczania rozkładu zmiennej Y = X 2 wyznacz jej wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe. E(Y ) = = 4 3. D 2 (Y ) = ( 0 2 3) ( ) ( ) = Odchylenie standardowe jest równe

47 ZADANIE 43. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości g(x) = { 1 x 2 dla x (0; 2), 0 dla x (0; 2). Bez wyznaczania rozkładu Y = X wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Y. E(Y ) = E(X 2 ) = = 2 0 D 2 (Y ) = = 2 0 xg(x)dx = 1 x 2 xdx = 1 5 x = ( 1 2 x2 2 5 ( x 4 ) xdx = 2x x ) dx = ( 1 = 6 x3 4 ) x x2 = Odchylenie standardowe

48 ZADANIE 44. Rozwiąż poprzednie zadanie przy pomocy metody Monte Carlo. var k,n:longint; x,srednia:real; f: function(x:real):real; begin f:=sqrt(x)*x/2; end; h:function(x:real):real; begin h:=(sqrt(x)-srednia)*(sqrt(x)-srednia)*x/2; end; procedure int(f:function):real; begin int:=0; for k:=1 to n do begin x:=2*random; int:=int+1/n*f(x); end; end; begin int(f); writeln( srednia=,int); srednia:=int; int(g); writeln( wariancja=,int); end. 50

49 ZADANIE 45. Rzucamy dwa razy kostką. Sprawdź czy zmienne losowe opisujące sumę i iloczyn otrzymanych oczek są niezależne. Łatwo pokazać, że są zależne. Niech S oznacza zmienną losową opisującą sumę, a I iloczyn wyrzuconych liczb. Wtedy np. natomiast P (S = 2 I = 2) = 0, P (S = 2) P (I = 2) =

50 ZADANIE 46. Rzucamy trzy razy monetą. Czy zmienne losowe opisujące liczbę orłów w pierwszych dwóch rzutach i liczbę reszek w ostatnich dwóch rzutach są niezależne? Niech O oznacza pierwszą a R drugą zmienną losową. Zmienne te są zależne, bo np. P (0 = 2 R = 2) = 0, natomiast P (0 = 2) P (R = 2) =

51 ZADANIE 47. Losujemy bez zwracania dwie liczby spośród liczb 1, 2, 3. Niech X będzie zmienną losową opisującą sumę wylosowanych liczb, Y zmienną losową opisującą iloczyn wylosowanych liczb, a Z zmienną losową opisującą moduł różnicy wylosowanych liczb. Wyznacz corr(x, Y ), corr(x, Z), corr(y, Z). Oznaczmy wylosowane liczby przez {a, b} Najpierw wyznaczymy rozkłady zmiennych X, Y i Z i podamy je we wspólnej tabelce {a, b} {1, 2} {1, 3} {2, 3} x k y k z k p k Analogicznie utworzymy rozkłady zmiennych XY, XZ i Y Z. {a, b} {1, 2} {1, 3} {2, 3} x k y k x k z k y k z k p k Liczymy potrzebne wartości średnie i wariancje: E(X) = 1 ( ) =

52 D 2 (X) = 1 3 ( ) = 2 3. E(Y ) = 1 11 ( ) = 3 3. D 2 (Y ) = 1 ( ( 3 5 ) 2 ( ( 7 2 ) + 3 3) 3) = E(Z) = = 4 3. D 2 (Z) = 2 ( ) ( ) = E(XY ) = 1 ( ) = E(XZ) = 1 3 ( ) = E(Y Z) = = W takim razie mamy Cov(X, Y ) = = 4 3. corr(x, Y ) = Cov(X, Z) = = 0. 54

53 corr(x, Z) = 0. Cov(Y, Z) = = 2 9. corr(y, Z) = =

54 ZADANIE 48. Podaj przykład algorytmu opisującego zmienne losowe X, Y, Z, XY, XZ, Y Z z poprzedniego zadania. var n,k,x,y,z,xy,xz,tz:integer; begin randomize; n:=random(3);k:=random(2); n:=n+1; if n=1 then k:=k+2; if n=2 then k:=2*k+1; if n:=3 then k:=k+1; X:=n+k;Y:=n*k;Z:=abs(n-k); XY=X*Y;XZ:=X*Z;YZ:=Y*Z; end. Najpierw losujemy jedną liczbę z trzech. Procedura random(3) losuje 0, 1 lub 2. Dlatego dodajemy jedynkę. Następnie losujemy jedną z dwóch i tak zmieniamy wartości, aby przyjęła wartość jednej z niewylosowanych liczb w pierwszym losowaniu. Naturalnie można ten fragment algorytmu zrealizować na wiele innych sposobów. 56

55 ZADANIE 49. Zmienna losowa X ma rozkład normalny, w którym µ = 600 i σ = 120. Oblicz P (X < 550), P (550 < X < 650), P (700 < X < 800). Mamy µ = 600, σ = 120, w pierwszym przypadku a =, b = 550. Stąd c =, d = = Korzystając z tablicy 1 lub z komputera Φ( 0.42) = 1 Φ(0.42) = = W drugim przypadku a = 550, b = 650. Stąd c = 0.42, d = Stąd P (550 < X < 650) = Φ(0.42) Φ( 0.42) = 2Φ(0.42) 1 = W trzecim przypadku a = 700, b = 800. Stąd c = = 0.83, d = = Zatem P (600 < X < 800) = Φ(1.67) Φ(0.83) = =

56 ZADANIE 50. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(200, 70). Wyznacz takie x, że P (X < x) = 0, 76, P (X > x) = 0.63, P (210 < X < x) = Mamy µ = 200, σ = 120. Wiemy, że P (X < x) = Φ(c), gdzie c = x µ. Otrzymujemy w pierwszym punkcie σ równanie Φ(c) = Korzystając z tablicy 2 mamy c = , stąd x = c σ + µ = W drugim przypadku mamy P (X > x) = 1 P (X < x) = 1 Φ(c) = Stąd Φ(c) = W tablicy 2 podane są tylko argumenty większe od 0.5, czyli takie p, że u(p) > 0. Ale wiadomo, że u(p) = u(1 p), skąd c = u(0.63) = W trzecim przypadku mamy P (1 < X < x) = Φ(d) Φ(c), gdzie c = 210 µ, d = x µ. Stąd c = 0.14 i otrzymjemy równanie 0.01 = Φ(d) Φ(0.14) = Φ(d) σ σ Stąd Φ(d) = Korzystając z tablicy albo komputera Otrzymamy d Zatem x = dσ + µ =

57 ZADANIE 51. Zakładając, że mamy procedurę pod nazwą calka(f,a,b) liczącą całki z funkcji f w przedziale [a; b] podaj przykład programu obliczającego dla zmiennej X o rozkładzie N(u, v) i danych a i b P (x < X < y) var a,b,c,d,u,v,wynik:real procedure calka(f:function;a,b:real):real begin... end; function f(var t:real):real; begin f:=(1/sqrt(2*pi))*exp(-x*x/2); end; begin readln(u,v,x,y); c:=(a-u)/v;d:=(b-u)/v; wynik:=calka(f,c,d);end. 59

58 ZADANIE 52. Zaobserwowano, że waga noworodków w pewnym szpitalu ma rozkład normalny z wartością średnią 3.6 kg i odchyleniem standardowym 0.26 kg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dziecko urodzone w tym szpitalu waży: a) więcej niż 4 kg?; b) mniej niż 3 kg? a) a = 4, b =. Stąd c = 4 3.6, d =. Zatem 0.26 P (4 < X) = 1 Φ(c) = b) a =, b = 3, Stąd c =, d = = Zatem P (X > 3) = Φ( 2.31) = 1 Φ(2.31) = =

59 ZADANIE 53. Czas pracy żarówek produkowanych w pewnym zakładzie ma rozkład normalny z wartością średnią 700 godzin i odchyleniem standardowym 220 godzin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żarówka zepsuje się przed upływem 500 godzin pracy? Mamy µ = 700, σ = 220, a =, b = 500. Stąd c =, d = = Zatem P (X < 500) = Φ( 0.91) = 1 Φ(0.91) = =

60 ZADANIE 54. Plony zboża w gospodarstwach rolnych mają rozkład normalny z wartością średnią 45 kwintali/ha i odchyleniem standardowym 14 kwintali/ha. Jaki procent gospodarstw ma wydajność większą niż 50 kwintali z hektara? Dane: µ = 45, σ = 14, a = 50, b =. Stąd c = = 0.36, d =. Zatem P (50 < X) = 1 Φ(.36) = = Odp. 36%. 62

61 ZADANIE 55. Wzrost żołnierzy ma rozkład normalny ze średnią 177 cm i odchyleniem standardowym 13 cm. W jednostce wojskowej służy 1050 żołnierzy. Do kompanii honorowej zostanie wybranych 90 najwyższych. Ile trzeba mieć wzrostu, aby zostać wybranym? W tym zadaniu mamy dane prawdopodobieństwo P (X > a) = 90 = 0.086, a musimy wyznaczyć a. Mamy = P (X > a) = 1 Φ(c), gdzie c = a Stąd Φ(c) = W tablicach rozkładu normalnego znajdujemy, że c = Stąd mamy równanie skąd a = = a 177, 13 Odp. Trzeba mieć co najmniej 194 cm wzrostu. 63

62 ZADANIE 56. Zbadano, że wypłaty z pewnego bankomatu mają rozkład normalny ze średnią 700 zł i odchyleniem standardowym 300 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 100 klientów wypłaci w sumie więcej niż złotych? Trzeba skorzystać z twierdzenia o sumach zmiennych losowych o rozkładach normalnych. Wynika z niego, że sumaryczna kwota wypłacona przez 100 klientów ma rozkład normalny z wartością średnią = oraz odchyleniem standardowym równym = Mamy obliczyć P (X > 75000), zatem a = 75000, b =, skąd c = = zatem P (X > 75000) = 1 Φ(1.67) = =

63 ZADANIE 57. Rozważamy ten sam bankomat, co w poprzednim zadaniu. Ile pieniędzy powinno być w bankomacie, każdego dnia, aby z prawdopodobieństwem 0.99 starczyło gotówki dla dwustu klientów. Kwota wypłacona przez 200 klientów ma rozkład normalny ze średnią oraz odchyleniem standardowym = Niech a oznacza kwotę, o którą sie pytamy w zadaniu. Chcemy aby Ale P (X > a) = P (X > a) = 1 Φ(c), gdzie c = a , przy czym Φ(c) = Z tablic kwantyli rozkładu normalnego znajdujemy c = Stąd a = = Odp. Bank powinien zabezpieczyć w bankomacie kwotę złote. 65

64 ZADANIE 58. Wiadomo, że 80% osób odwiedzających supermarket dokonuje zakupów. Pewnego dnia odwiedziło supermarket 1355 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że więcej niż 1100 dokonało zakupów? Zastosujemy przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym (twierdzenie Moivre a-laplace a). P (X > 1100) 1 Φ(c), gdzie c = = (1.0.8) = Zatem 1 Φ(1.09) = 66

65 ZADANIE 59. Ile razy powinniśmy rzucić monetą, aby z prawdopodobieństwem 0.9 wypadło mniej niż 51% orłów? Niech n oznacza potrzebną liczbę rzutów. Chcemy aby P (X < 0.51n) = 0.9. Stosując przybliżenie Moivre a-laplace a otrzymujemy Φ(c) = 0.99, gdzie c = 0.51n 0.5n n0.25. Z tablicy 2 znajdujemy c = Stąd Otrzymujemy n = = n. 67

66 ZADANIE 60. W pewnym osiedlu jest sklep spożywczy. Wiadomo, że 600 mieszkańców osiedla dokonuje codziennie zakupu chleba wybierając losowo z prawdopodobieństwem 0.5 albo ten sklep albo sklep w pobliżu miejsca pracy w innej dzielnicy. Ile bochenków chleba powinien zamawiać codziennie właściciel sklepu, aby z prawdopodobieństwem 0.9 nie mieć zwrotów? Możemy potraktować wybór przez mieszkańców osiedla sklepu jako jedną próbę Bernoulliego z p = 0.5. Uznajmy za sukces wybór przez mieszkańca osiedla sklepu osiedlowego. Oznaczmy liczbę zamawianych przez właściciela bochenków przez k. Właściciel nie będzie miał zwrotów z prawdopodobieństwem 0.9 jeśli liczba sukcesów będzie mniejsza niż k z prawdopodobieństwem = 0.1. Czyli gdy P (X < k) = 0.1. Ale P (X < k) = Φ(d), gdzie d = k = k 300. W tablicy kwantyli rozkładu normalnego znajdujemy Φ(d) = 0.1 = 1 Φ( d). Stąd Φ( d) = 0.9. Zatem d = 1.28, czyli d = stąd k = = 284. Odp. Właściciel powinien zamawiać 284 bochenki. 68

67 ZADANIE 61. W pewnej loterii los kosztuje 7 z. 10% losów wygrywa 30 zł., 5% losów wygrywa 40 zł., 2% losów wygrywa 50 zł., a 1% losów wygrywa 80 zł. Pan X kupił 100 losów. Oblicz prawdopodobiestwo, że straci mniej niż 50 zł. Skorzystamy z centralnego twierdzenia granicznego. Rozkład odpowiadajźcy warunkom loterii przedstawiamy w tabelce: x i p i Wyliczamy średnią i odchylenie standardowe rozkładu. Mamy µ = 0.82 ( 7) = 0.2. σ 2 = 0.82 [ 7 ( 0.2)] [23 ( 0.2)] [33 ( 0.2)] [43 ( 0.2)] [73 ( 0.2)] 2 = Stąd σ = =

68 Szukane prawdopodobiestwo P (a < S n < b) wynosi (w przybliżeniu) Φ(d) Φ(c), gdzie c = a nµ σ, d = b nµ n σ. W n naszym przypadku a = 50, b =. Zatem c = , d =. Korzystając z tablic lub komputera otrzymamy Φ( ) Φ( ) = = Odp. Prawdopodobieństwo, że pan X straci mniej niż 50 złotych wynosi około

69 Definicje, wzory i tablice Liczba permutacji: Liczba kombinacji: P n = n! = n. C k n = Liczba wariacji bez powtórzeń: ( ) n n! = k k!(n k)!. A k n = n! (n k)!. Liczba wariacji z powtórzeniami: W k n = n k. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem B: P (A B) = P (A B). P (B) Wzór na prawdopodobieństwo całkowite: P (A) = n P (A B n ) P (B n ), gdzie B i rozłączne zdarzenia w sumie dające całe Ω. Wzór Bayesa: P (B k A) = P (A B k) P (B k ) n P (A B n) P (B n ), gdzie B i rozłączne zdarzenia w sumie dające całe Ω. 71

70 Zdarzenia A i B są niezależne, jeśli: P (A B) = P (A) P (B). Prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach w schemacie Bernoulliego: ( ) n b(n, k, p) = p k (1 p) n k. k Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego: jest to liczba naturalna m taka, że (n + 1)p 1 < m (n + 1)p. Przez rozkład zmiennej losowej X rozumiemy podanie prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń postaci: {x : a < X(x) < b}. Dystrybuantą zmiennej losowej nazywamy funkcję F określoną następująco: F (x) = P (X x). Rozkład jednostajny na przedziale [0; 1]. Jest to rozkład, dla którego funkcja gęstości g jest dana wzorem: { 1 dla x (0; 1) g(x) = 0 dla x (0; 1). Wartością oczekiwaną (średnią lub przeciętną) zmiennej losowej X o rozkładzie punktowym nazywamy liczbę: E(X) = i x i P (X = x i ). 72

71 Jeśli zmienna X ma rozkład ciągły o gęstości ρ, to wartością oczekiwaną tej zmiennej nazywamy liczbę; E(X) = Własności wartości oczekiwanej: 1) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ), 2) E(aX) = ae(x), a IR, 3) Jeśli X 0, to E(X) 0. xρ(x)dx. Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę D 2 (X) zdefiniowaną następująco: D 2 (X) = E((X E(X)) 2 ) = E(X 2 ) (E(X)) 2. Dla rozkładu punktowego wyraża się ona wzorem D 2 (X) = k (x k E(X)) 2 p k, a dla rozkładu ciągłego o gęstości ρ wzorem Liczbę D 2 (X) = (x E(X)) 2 ρ(x)dx. σ(x) = D 2 (X) nazywamy odchyleniem standardowym. Niech X będzie zmienną losową przyjmującą wartości w zbiorze B IR, a h funkcją, h : B IR. Wtedy zmienna losowa i wariancja zmiennej losowej h(x) wyraża się wzorem: E(h(X)) = k h(x k )p k, oraz D 2 (h(x)) = k (h(x k ) E(h(X)) 2 p k, 73

72 dla rozkładu punktowego. oraz D 2 (h(x)) = E(h(X)) = dla rozkładu ciągłego o gęstości ρ. h(x)ρ(x) dx, (h(x) E(h(X))) 2 ρ(x)dx, Wyznaczanie prawdopodobieństw w dowolnym rozkładzie normalnym przy pomocy standardowego rozkładu normalnego N(0, 1). Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N(µ, σ). Wtedy gdzie c = a µ σ P (a < X < b) = Φ(d) Φ(c),, d = b µ σ, a Φ dystrybuantą rozkładu N(0, 1). Sumy niezależnych zmiennych o rozkładach normalnych. Jeśli X 1,, X n są niezależnymi rozkładami typu N(µ i, σ i ), to zmienna X X n ma rozkład N(µ, σ), gdzie µ = µ µ n, σ = σ σ2 n. Obliczanie prawdopodobieństw dla sumy niezależnych identycznych rozkładów przy pomocy centralnego twierdzenia granicznego Niech S n = X X n, gdzie X i są niezależnymi identycznymi rozkładami o średniej µ i odchyleniu standardowym σ. Wtedy P (a < S n < b) Φ(d) Φ(c), gdzie c = a nµ σ n, d = b nµ σ n. Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie dwumianowym przy pomocy standardowego rozkładu normalnego N(0, 1): Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Bin(n, p). Wtedy gdzie c = P (a < X < b) Φ(d) Φ(c), a np, d = b np. np(1 p) np(1 p) 74

73 Tablica 1. Wartości Φ(u) rozkładu normalnego N(0, 1) u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1,5398,5438,5478,5517,5557,5596,5636,5675,5714,5753 0,2,5793,5832,5871,5910,5948,5987,6026,6064,6103,6141 0,3,6179,6217,6255,6293,6331,6368,6406,6443,6480,6517 0,4,6554,6591,6628,6664,6700,6736,6772,6808,6844,6879 0,5,6915,6950,6985,7019,7054,7088,7123,7157,7190,7224 0,6,7257,7290,7324,7357,7389,7422,7454,7486,7517,7549 0,7,7580,7611,7642,7673,7704,7734,7764,7794,7823,7852 0,8,7881,7910,7939,7967,7995,8023,8051,8078,8106,8133 0,9,8159,8186,8212,8238,8264,8289,8340,8340,8365,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1,8643,8665,8686,8708,8729,8749,8770,8790,8810,8830 1,2,8849,8869,8888,8907,8925,8944,8962,8980,8997,9015 1,3,9032,9049,9066,9082,9099,9115,9131,9147,9162,9177 1,4,9192,9207,9222,9236,9251,9265,9279,9292,9306,9319 1,5,9332,9345,9357,9370,9382,9394,9406,9418,9429,9441 1,6,9452,9463,9474,9484,9495,9505,9515,9525,9535,9545 1,7,9554,9564,9573,9582,9591,9599,9608,9616,9625,9633 1,8,9641,9649,9656,9664,9671,9678,9686,9693,9699,9706 1,9,9713,9719,9726,9732,9738,9744,9750,9756,9761,9767 2,0 0,9772 0,9779 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1,9821,9826,9830,9834,9838,9842,9846,9850,9854,9857 2,2,9861,9864,9868,9871,9875,9878,9881,9884,9887,9890 2,3,9893,9896,9898,9901,9904,9906,9909,9911,9913,9916 2,4,9918,9920,9922,9925,9927,9929,9931,9932,9934,9936 2,5,9938,9940,9941,9943,9945,9946,9948,9949,9951,9952 2,6,9953,9955,9956,9957,9959,9960,9961,9962,9963,9964 2,7,9965,9966,9967,9968,9969,9970,9971,9972,9973,9974 2,8,9974,9975,9976,9977,9977,9978,9979,9979,9980,9981 2,9,9981,9982,9982,9983,9984,9984,9985,9985,9986,9986 3,0,9987,9987,9987,9988,9988,9989,9989,9989,9990,9990 3,1,9990,9991,9991,9991,9992,9992,9992,9992,9993,9993 3,2,9993,9993,9994,9994,9994,9994,9994,9995,9995,9995 3,3,9995,9995,9995,9996,9996,9996,9996,9996,9996,9997 3,4,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,

74 Tablica 2. Kwantyle rozkładu normalnego N(0, 1), u(p) = Φ 1 (p) p Φ 1 (p) p Φ 1 (p) Tablica 2.5 Uproszczone kwantyle u(p) rozkładu normalnego N(0, 1) p 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 u(p) 1,28 1,64 1,96 2,33 2,58 76