EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

Transkrypt

1 entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0

2 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Zadanie (0 ) Opis wymagań pojęcia wartości bezwzględnej i jej interpretacji geometrycznej do wskazania zbioru rozwiązań nierówności typu x a b (IIf) Poprawna odpowiedź ( p) Wersja arkusza Wersja arkusza D Modelowanie matematyczne Zastosowanie pojęcia procentu (IIId) Zadanie (0 ) i tworzenie informacji Wykonanie obliczeń z zastosowaniem wzorów na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym (Ih) Zadanie 4 (0 ) i tworzenie informacji Rozwiązanie układu równań liniowych (Ic) Zadanie (0 ) interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej (II4g) D Zadanie 6 (0 ) Odczytanie ze wzoru funkcji kwadratowej współrzędnych wierzchołka paraboli (II4b) D Zadanie 7 (0 ) i tworzenie informacji Posługiwanie się wzorami skróconego mnożenia (Ia)

3 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 8 (0 ) adanie prostopadłości prostych na podstawie ich równań kierunkowych (II8c) D Zadanie 9 (0 ) współczynników we wzorze funkcji liniowej do określenia położenia prostej w układzie współrzędnych (II4g) Zadanie 0 (0 ) i tworzenie informacji Rozwiązanie nierówności liniowej i wskazanie najmniejszej liczby spełniającej tę nierówność (I) Zadanie (0 ) i tworzenie informacji wykresu funkcji y f x do wskazania wykresu funkcji y f x a, typu y f x a, y f x, y f x (I4d) Zadanie (0 ) własności ciągu geometrycznego (IIc) Zadanie (0 ) własności ciągu arytmetycznego (IIc) Zadanie 4 (0 ) Zastosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartości wyrażenia (II6c) D Zadanie (0 ) i tworzenie informacji związków między kątem wpisanym i środkowym (I7a) D Zadanie 6 (0 ) i tworzenie informacji Rozwiązanie równania wielomianowego (Id)

4 4 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 7 (0 ) Obliczanie odległości punktów na płaszczyźnie i obwodu rombu (II8e) D Zadanie 8 (0 ) współrzędnych środka odcinka do wyznaczenia jednego z końców tego odcinka (II8f) D Zadanie 9 (0 ) Posługiwanie się równaniem okręgu x a yb r (II8g) Zadanie 0 (0 ) i tworzenie informacji Wyznaczanie związków miarowych w wielościanie (I9b) Zadanie (0 ) Wyznaczanie związków miarowych w bryłach obrotowych (II9b) Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne Stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (III0d) Zadanie (0 ) i tworzenie informacji Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, w tym obliczeń na pierwiastkach (Ia) Zadanie 4 (0 ) Obliczanie mediany uporządkowanego zestawu danych (II0a) D Zadanie (0 ) związków miarowych w graniastosłupie do obliczenia jego objętości (II9b)

5 Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania do zadań otwartych Zadanie 6 (0 ) Rozwiąż równanie x x x i interpretowanie reprezentacji Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu na czynniki (IId) I sposób rozwiązania (metoda grupowania) Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynu stosując metodę grupowania wyrazów: x x 8 x 8 0 x x 8 x 0 x x lub 8 0 Stąd x lub x 8 lub x 8 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt x x 8, gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np: x x 8 x 8, przy czym postać ta musi być otrzymana w sposób poprawny i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x, x 8, x 8 II sposób rozwiązania (metoda dzielenia) Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu wielomian x x 8x 6 x x x 8 6 Dzielimy x 8 przez dwumian x Otrzymujemy iloraz Zapisujemy równanie w postaci x x 8 0 x x x i x lub x 8 lub x Stąd Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy podzieli wielomian x x 8x 6 przez dwumian x, otrzyma iloraz x 8 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x, x 8, x 8

6 6 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 7 (0 ) Kąt jest ostry i sin i interpretowanie reprezentacji Oblicz wartość wyrażenia sin cos Zastosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartości wyrażenia (II6c) I sposób rozwiązania (wykorzystanie znanych wartości funkcji trygonometrycznych) Ponieważ jest ostry i sin, więc 60 Zatem cos cos 60 Stąd sin cos 0 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze wartość cosinusa kąta : cos i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy, że sin cos 0 II sposób rozwiązania (wykorzystanie związków między funkcjami trygonometrycznymi) Obliczamy sin, następnie korzystając z tożsamości sin cos 4 obliczamy cos, stąd sin cos 0 4 korzystając z tożsamości sin cos, przekształcamy wyrażenie sin cos do postaci 4sin, a następnie obliczamy jego wartość: 4sin 0 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy: obliczy cos 4 zapisze wyrażenie w postaci sin sin i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy, że sin cos 0

7 Egzamin maturalny z matematyki 7 III sposób rozwiązania (trójkąt prostokątny) x x b Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy b x x, więc b x Stąd x cos, więc x sin cos 0 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy: narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości i przeciwprostokątnej długości (lub ich wielokrotności), obliczy długość drugiej przyprostokątnej, zaznaczy w tym trójkącie poprawnie kąt, obliczy cosinus tego kąta i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy obliczy długość przyprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej długości i przeciwprostokątnej długości (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym, obliczy cosinus tego kąta cos (o ile otrzymana wartość jest dodatnia i mniejsza od ) i konsekwentnie obliczy wartość wyrażenia sin cos Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy wartość sin cos 0 Zadania 8 (0 ) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x yz 0, prawdziwa jest nierówność xy yz zx 0 Możesz skorzystać z tożsamości x yz x y z xyxz yz Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej (Vb) I sposób rozwiązania Podnosimy obie strony równości x y z 0 do kwadratu i otrzymujemy równość równoważną Stąd x y z xyxzyz 0

8 8 Egzamin maturalny z matematyki xyxz yz x y z Ponieważ suma kwadratów liczb x, y, z jest nieujemna, więc xy yz zx 0, co kończy dowód 0 x y z, czyli Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy podniesie obie strony równości x y z 0 do kwadratu i zapisze np xyxz yz x y z lub xy xzyz x y z i na tym dowód zakończy nie uzasadniając znaku wyrażenia x y z lub x y z Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełny dowód II sposób rozwiązania Z równości x y z 0 wyznaczamy jedną z liczb, np z x y Wtedy otrzymujemy xyxz yz xyxx y yx y xyx xyxy y x xy y x xy y Wyrażenie x xy y traktujemy jak trójmian kwadratowy zmiennej x Wówczas jego wyróżnik jest równy y 4 y y 0 To, wraz z dodatnim znakiem współczynnika przy x, oznacza, że trójmian przyjmuje jedynie wartości nieujemne, czyli x xy y 0 Stąd xy xz yz x xy y 0 Możemy również zauważyć, że 4 x xy y x y y Jest to suma dwóch liczb nieujemnych, a więc jest nieujemna Stąd xy xz yz x xy y 0 Możemy również zauważyć, że x xy y x x y y Jest to suma trzech liczb nieujemnych, a więc jest nieujemna Stąd xy xz yz x xy y To kończy dowód 0 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy wyznaczy z równości x y z 0 jedną z liczb i zapisze wyrażenie xyxz yz w zależności od dwóch zmiennych, np zmiennych x i y: xy xz yz x xy y i na tym dowód zakończy nie uzasadniając znaku wyrażenia x xy y Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełny dowód

9 Egzamin maturalny z matematyki 9 Zadania 9 (0 ) Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f x określonej dla x 7,8 8 y x Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji f, b) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne Rozwiązanie Odczytujemy z wykresu największą wartość funkcji f Jest ona równa 7 Podajemy zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne:, Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt gdy: i interpretowanie reprezentacji Odczytywanie z wykresu funkcji zbioru jej wartości oraz przedziałów w których funkcja przyjmuje wartości ujemne (II4b) poda największą wartość funkcji: 7 i nie poda zbioru tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne poda zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne:, i nie poda największej wartości funkcji f Uwaga kceptujemy zapisy: x, lub x lub x i x lub x, x Zdający otrzymuje pkt gdy poda największą wartość funkcji oraz poda zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne: 7,, Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki,, x, W rozwiązaniu podpunktu b) akceptujemy zapisy: x, x,

10 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadania 0 (0 ) Rozwiąż nierówność x 7x 0 i interpretowanie reprezentacji Rozwiązanie nierówności kwadratowej (IIa) Rozwiązanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów Pierwszy etap rozwiązania: Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x 7x obliczamy wyróżnik tego trójmianu: i stąd x oraz x 4 4 stosujemy wzory Viète a: 7 x x oraz x x, stąd x oraz x podajemy je bezpośrednio, np zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową trójmianu lub zaznaczając je na wykresie x, x lub x x Drugi etap rozwiązania: y x - Podajemy zbiór rozwiązań nierówności:,, lub,, x lub ( x lub x ) Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np

11 Egzamin maturalny z matematyki obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x, x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f ( x) x 7x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, 0 4 rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np x x i na 4 4 tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność, 7 zapisze nierówność x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór 4 4 rozwiązań nierówności, realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète a, np: x x 7 x x oraz i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, błędnie zapisze nierówność, np błędu rozwiąże nierówność 7 x i konsekwentnie do popełnionego 4 4 Zdający otrzymuje pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności:,, lub x,, lub ( x lub x ), sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów x

12 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki kceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x, i zapisze, np x,,, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x,,, to otrzymuje punkty Zadania (0 ) Wykaż, że liczba jest podzielna przez 7 x Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego (Vg) Rozwiązanie 98 Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias Schemat oceniania rozwiązania Doprowadzamy do postaci Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze liczbę w postaci iloczynu, w którym jeden z czynników jest potęgą 6 k 98, gdzie 80 k 98, np i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze liczbę w postaci, w której widać podzielność przez 7 przeprowadzi rozumowanie uzasadniające podzielność przez 7 Zadania (0 4) Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym Kąt S jest trzy razy większy od kąta S, a kąt S jest dwa razy większy od kąta S Oblicz kąty trójkąta S Użycie i tworzenie strategii Wyznaczanie związków miarowych w figurach płaskich (IV7c)

13 Egzamin maturalny z matematyki I sposób rozwiązania Ponieważ trójkąt jest ostrokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz tego trójkąta Niech oznacza miarę kąta S Wówczas S i S Każdy z trójkątów S, S i S jest równoramienny, więc S S, S S, S S Miary kątów trójkąta są więc równe 4,, Suma miar kątów trójkąta jest równa 80, zatem 4 80, 80, Więc 4 460, 4, 7 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie miar kątów S, S i S w zależności od jednej zmiennej, np: S, S i S wykorzystanie faktu, że co najmniej dwa spośród trójkątów S, S i S są równoramienne, np: S S, S S, S S Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie miar kątów S, S i S w zależności od jednej zmiennej, np: S, S i S oraz wykorzystanie faktu, że co najmniej dwa spośród trójkątów S, S i S są równoramienne, np: S S, S S, S S Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt S

14 4 Egzamin maturalny z matematyki Zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć miary kątów trójkąta, np: 4 80 Rozwiązanie pełne 4 pkt Obliczenie miar kątów trójkąta : 60, 4, 7 II sposób rozwiązania Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku z Ponieważ trójkąt jest ostrokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz tego trójkąta Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym otrzymujemy S z, S x, S y Suma kątów w każdym z trójkątów S, S i S jest równa 80, więc otrzymujemy układ równań y z80 i z x 80i x y 80 Ponieważ i, więc układ możemy zapisać w postaci x y6 z80 i z x 80 i x y 4 80, 7 yz 80 i 4 xz 80 i 7 xy 80 Mnożąc strony pierwszego równania przez, drugiego przez 4 otrzymujemy S 4 y4z 60 i 6 8x4z 70 i 7 xy 80 y Dodając stronami otrzymujemy 9 9x 40, x 60, czyli 60 Zatem S 0 Trójkąt S jest równoramienny, więc 0, czyli Stąd 4, S S 0, zatem

15 Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie miar kątów S, S i S w zależności od jednej zmiennej, np: S, S i S wykorzystanie zależności między kątami środkowymi S, S i S oraz odpowiednimi kątami wpisanymi i zapisanie układu co najmniej trzech równań, np: y z80 i z x 80i x y gdzie x 80, S, y S, z S, S, S Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie miar kątów S, S i S w zależności od jednej zmiennej, np: S, S i S oraz wykorzystanie zależności między kątami środkowymi S, S, S oraz odpowiednimi kątami wpisanymi i zapisanie układu co najmniej trzech równań z czterema niewiadomymi, np: y 6 z 80 z 4 y 80 x 4 y 80 i i Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie miary kąta : x 60 Rozwiązanie pełne 4 pkt Obliczenie miar kątów trójkąta : 60, 4, 7 Zadanie (0 4) Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 00 cm, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 60 cm Oblicz objętość tego ostrosłupa Użycie i tworzenie strategii Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach (IV9b)

16 6 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku S h H D O E a Pole podstawy ostrosłupa jest równe 00, więc a 00 Stąd a 0 Pole powierzchni bocznej jest równe 60, więc 4 60 ah Stąd i z poprzedniego wyniku 0h 60, więc h Ponieważ trójkąt EOS jest prostokątny, więc a H h, H, H 44, H Objętość ostrosłupa jest zatem równa V Pp H Odpowiedź: Objętość ostrosłupa jest równa 400 cm Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający obliczy długość krawędzi podstawy ostrosłupa: a 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający obliczy wysokość ostrosłupa: H Uwaga Jeżeli zdający obliczy wysokość ściany bocznej h i nie traktuje jej jako wysokości ostrosłupa i na tym zakończy, to otrzymuje punkty Jeżeli natomiast przyjmuje, że obliczona wysokość ściany bocznej jest wysokością ostrosłupa, to otrzymuje co najwyżej punkt za całe rozwiązanie Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający obliczy objętość ostrosłupa: V 400 cm Uwagi Nie zwracamy uwagi na jednostki (zdający może je pominąć) Jeżeli zdający przyjmie, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest polem powierzchni całkowitej, to może otrzymać co najwyżej punkt za całe rozwiązanie

17 Egzamin maturalny z matematyki 7 Jeżeli zdający przyjmie, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest polem jednej ściany bocznej i konsekwentnie do tego błędu obliczy objętość ostrosłupa, to może otrzymać co najwyżej punkty za całe rozwiązanie Zadanie 4 (0 ) Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 6 kilometrów Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie Modelowanie matematyczne Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego (IIIb) Rozwiązanie Niech v oznacza średnią prędkość (w km / h ) pierwszego pociągu na tej trasie, t - czas przejazdu (w godzinach) pierwszego pociągu na tej trasie Wtedy v 9 oznacza średnią prędkość drugiego pociągu na tej trasie, t - czas przejazdu drugiego pociągu na tej trasie Zapisujemy układ równań vt 6 v9t 6 6 Z pierwszego równania wyznaczamy t i podstawiamy do równania drugiego v Otrzymujemy równanie z niewiadomą v, które przekształcamy równoważnie v v 6 v 9 6, v v, v (lub v 8v907 0 lub v Równanie to ma dwa rozwiązania 9v46 0) v 7, v 6 0 Drugie z tych rozwiązań odrzucamy (prędkość nie może być ujemna) Gdy v 7, to wtedy v 9 6 Odpowiedź: Średnia prędkość pierwszego pociągu jest równa 7 km / h, średnia prędkość drugiego pociągu równa się 6 km / h

18 8 Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania W poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych v, t oznaczających odpowiednio, prędkość i czas Oczywiście w pracach maturalnych te niewiadome mogą być oznaczane w inny sposób Nie wymagamy, aby te niewiadome były wyraźnie opisane na początku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze równanie, w którym co najmniej jedna z wielkości (prędkość, czas) jest uzależniona od przyjętej niewiadomej, np: v9t 6 v9t 6 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze układ równań z niewiadomymi v i t, np: vt 6 i v9t 6 vt 6 i v 9 t 6 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą v lub t 6 v t 6 v t 6 v t 6 v t Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np drobne błędy rachunkowe lub wadliwe przepisanie) 4 pkt zdający rozwiąże równanie z niewiadomą v lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne do popełnionego błędu zapisze prędkości obu pociągów zdający rozwiąże równanie kwadratowe i zapisze prędkość tylko jednego pociągu Rozwiązanie pełne pkt Zdający obliczy średnie prędkości obu pociągów: średnia prędkość pierwszego pociągu równa się 7 km / h, średnia prędkość drugiego pociągu równa się 6 km / h Uwagi Oceniamy na 0 punktów rozwiązania, w których ułożone równania zawierają niezgodność typu wielkości po obu stronach: po jednej stronie prędkość, po drugiej czas lub niezgodność jednostek: prędkość w kilometrach na godzinę, czas w minutach, o ile nie są zapisane jednostki Jeżeli zdający oznaczy średnią prędkość pierwszego pociągu przez v (w km / h ), a przez t czas przejazdu pierwszego pociągu na tej trasie, a potem zapisze, że prędkość średnia drugiego pociągu jest równa v 9 i czas przejazdu drugiego pociągu na tej trasie

19 Egzamin maturalny z matematyki 9 jest równy t, a następnie zapisze układ równań vt 6 i v9t 6 i doprowadzi go do równania z jedną niewiadomą, to otrzymuje punkt Jeśli rozwiąże to równanie, to otrzymuje punkty, a jeśli doprowadzi rozwiązanie zadania do końca konsekwentnie do ułożonego układu równań lub przyjętych oznaczeń, to otrzymuje punkty (otrzymując odpowiednio v 6 i v 9 7 v 6 i v 9 4) Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Przykład Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość pierwszego pociągu, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pierwszy pociąg 6 v 9 t 6 vt 6 v9t i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp i przyznajemy punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie 6 ujął wyrażenia t w nawias Zapis równania v 9 wskazuje na poprawną t interpretację zależności między wielkościami Przykład Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość pierwszego pociągu, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pierwszy pociąg 6 v t 6 v t v 9 t t t i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych 6 6 trudności zadania i przyznajemy punkty, mimo że w równaniu 9 zdający t t przestawił cyfry w zapisie liczby 6 i pominął liczbę w mianowniku ułamka Przykład Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np v 9v46 0 zamiast równania v 9v46 0 (np w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik,

20 0 Egzamin maturalny z matematyki który może być realną prędkością jednego z pociągów, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy punktów