EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA"

Transkrypt

1 entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0

2 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Zadanie (0 ) Opis wymagań pojęcia wartości bezwzględnej i jej interpretacji geometrycznej do wskazania zbioru rozwiązań nierówności typu x a b (IIf) Poprawna odpowiedź ( p) Wersja arkusza Wersja arkusza D Modelowanie matematyczne Zastosowanie pojęcia procentu (IIId) Zadanie (0 ) i tworzenie informacji Wykonanie obliczeń z zastosowaniem wzorów na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym (Ih) Zadanie 4 (0 ) i tworzenie informacji Rozwiązanie układu równań liniowych (Ic) Zadanie (0 ) interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej (II4g) D Zadanie 6 (0 ) Odczytanie ze wzoru funkcji kwadratowej współrzędnych wierzchołka paraboli (II4b) D Zadanie 7 (0 ) i tworzenie informacji Posługiwanie się wzorami skróconego mnożenia (Ia)

3 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 8 (0 ) adanie prostopadłości prostych na podstawie ich równań kierunkowych (II8c) D Zadanie 9 (0 ) współczynników we wzorze funkcji liniowej do określenia położenia prostej w układzie współrzędnych (II4g) Zadanie 0 (0 ) i tworzenie informacji Rozwiązanie nierówności liniowej i wskazanie najmniejszej liczby spełniającej tę nierówność (I) Zadanie (0 ) i tworzenie informacji wykresu funkcji y f x do wskazania wykresu funkcji y f x a, typu y f x a, y f x, y f x (I4d) Zadanie (0 ) własności ciągu geometrycznego (IIc) Zadanie (0 ) własności ciągu arytmetycznego (IIc) Zadanie 4 (0 ) Zastosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartości wyrażenia (II6c) D Zadanie (0 ) i tworzenie informacji związków między kątem wpisanym i środkowym (I7a) D Zadanie 6 (0 ) i tworzenie informacji Rozwiązanie równania wielomianowego (Id)

4 4 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 7 (0 ) Obliczanie odległości punktów na płaszczyźnie i obwodu rombu (II8e) D Zadanie 8 (0 ) współrzędnych środka odcinka do wyznaczenia jednego z końców tego odcinka (II8f) D Zadanie 9 (0 ) Posługiwanie się równaniem okręgu x a yb r (II8g) Zadanie 0 (0 ) i tworzenie informacji Wyznaczanie związków miarowych w wielościanie (I9b) Zadanie (0 ) Wyznaczanie związków miarowych w bryłach obrotowych (II9b) Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne Stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (III0d) Zadanie (0 ) i tworzenie informacji Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, w tym obliczeń na pierwiastkach (Ia) Zadanie 4 (0 ) Obliczanie mediany uporządkowanego zestawu danych (II0a) D Zadanie (0 ) związków miarowych w graniastosłupie do obliczenia jego objętości (II9b)

5 Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania do zadań otwartych Zadanie 6 (0 ) Rozwiąż równanie x x x i interpretowanie reprezentacji Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu na czynniki (IId) I sposób rozwiązania (metoda grupowania) Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynu stosując metodę grupowania wyrazów: x x 8 x 8 0 x x 8 x 0 x x lub 8 0 Stąd x lub x 8 lub x 8 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt x x 8, gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np: x x 8 x 8, przy czym postać ta musi być otrzymana w sposób poprawny i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x, x 8, x 8 II sposób rozwiązania (metoda dzielenia) Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu wielomian x x 8x 6 x x x 8 6 Dzielimy x 8 przez dwumian x Otrzymujemy iloraz Zapisujemy równanie w postaci x x 8 0 x x x i x lub x 8 lub x Stąd Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy podzieli wielomian x x 8x 6 przez dwumian x, otrzyma iloraz x 8 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x, x 8, x 8

6 6 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 7 (0 ) Kąt jest ostry i sin i interpretowanie reprezentacji Oblicz wartość wyrażenia sin cos Zastosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartości wyrażenia (II6c) I sposób rozwiązania (wykorzystanie znanych wartości funkcji trygonometrycznych) Ponieważ jest ostry i sin, więc 60 Zatem cos cos 60 Stąd sin cos 0 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze wartość cosinusa kąta : cos i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy, że sin cos 0 II sposób rozwiązania (wykorzystanie związków między funkcjami trygonometrycznymi) Obliczamy sin, następnie korzystając z tożsamości sin cos 4 obliczamy cos, stąd sin cos 0 4 korzystając z tożsamości sin cos, przekształcamy wyrażenie sin cos do postaci 4sin, a następnie obliczamy jego wartość: 4sin 0 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy: obliczy cos 4 zapisze wyrażenie w postaci sin sin i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy, że sin cos 0

7 Egzamin maturalny z matematyki 7 III sposób rozwiązania (trójkąt prostokątny) x x b Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy b x x, więc b x Stąd x cos, więc x sin cos 0 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy: narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości i przeciwprostokątnej długości (lub ich wielokrotności), obliczy długość drugiej przyprostokątnej, zaznaczy w tym trójkącie poprawnie kąt, obliczy cosinus tego kąta i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy obliczy długość przyprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej długości i przeciwprostokątnej długości (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym, obliczy cosinus tego kąta cos (o ile otrzymana wartość jest dodatnia i mniejsza od ) i konsekwentnie obliczy wartość wyrażenia sin cos Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy wartość sin cos 0 Zadania 8 (0 ) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x yz 0, prawdziwa jest nierówność xy yz zx 0 Możesz skorzystać z tożsamości x yz x y z xyxz yz Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej (Vb) I sposób rozwiązania Podnosimy obie strony równości x y z 0 do kwadratu i otrzymujemy równość równoważną Stąd x y z xyxzyz 0

8 8 Egzamin maturalny z matematyki xyxz yz x y z Ponieważ suma kwadratów liczb x, y, z jest nieujemna, więc xy yz zx 0, co kończy dowód 0 x y z, czyli Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy podniesie obie strony równości x y z 0 do kwadratu i zapisze np xyxz yz x y z lub xy xzyz x y z i na tym dowód zakończy nie uzasadniając znaku wyrażenia x y z lub x y z Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełny dowód II sposób rozwiązania Z równości x y z 0 wyznaczamy jedną z liczb, np z x y Wtedy otrzymujemy xyxz yz xyxx y yx y xyx xyxy y x xy y x xy y Wyrażenie x xy y traktujemy jak trójmian kwadratowy zmiennej x Wówczas jego wyróżnik jest równy y 4 y y 0 To, wraz z dodatnim znakiem współczynnika przy x, oznacza, że trójmian przyjmuje jedynie wartości nieujemne, czyli x xy y 0 Stąd xy xz yz x xy y 0 Możemy również zauważyć, że 4 x xy y x y y Jest to suma dwóch liczb nieujemnych, a więc jest nieujemna Stąd xy xz yz x xy y 0 Możemy również zauważyć, że x xy y x x y y Jest to suma trzech liczb nieujemnych, a więc jest nieujemna Stąd xy xz yz x xy y To kończy dowód 0 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy wyznaczy z równości x y z 0 jedną z liczb i zapisze wyrażenie xyxz yz w zależności od dwóch zmiennych, np zmiennych x i y: xy xz yz x xy y i na tym dowód zakończy nie uzasadniając znaku wyrażenia x xy y Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełny dowód

9 Egzamin maturalny z matematyki 9 Zadania 9 (0 ) Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f x określonej dla x 7,8 8 y x Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji f, b) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne Rozwiązanie Odczytujemy z wykresu największą wartość funkcji f Jest ona równa 7 Podajemy zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne:, Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt gdy: i interpretowanie reprezentacji Odczytywanie z wykresu funkcji zbioru jej wartości oraz przedziałów w których funkcja przyjmuje wartości ujemne (II4b) poda największą wartość funkcji: 7 i nie poda zbioru tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne poda zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne:, i nie poda największej wartości funkcji f Uwaga kceptujemy zapisy: x, lub x lub x i x lub x, x Zdający otrzymuje pkt gdy poda największą wartość funkcji oraz poda zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne: 7,, Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki,, x, W rozwiązaniu podpunktu b) akceptujemy zapisy: x, x,

10 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadania 0 (0 ) Rozwiąż nierówność x 7x 0 i interpretowanie reprezentacji Rozwiązanie nierówności kwadratowej (IIa) Rozwiązanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów Pierwszy etap rozwiązania: Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x 7x obliczamy wyróżnik tego trójmianu: i stąd x oraz x 4 4 stosujemy wzory Viète a: 7 x x oraz x x, stąd x oraz x podajemy je bezpośrednio, np zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową trójmianu lub zaznaczając je na wykresie x, x lub x x Drugi etap rozwiązania: y x - Podajemy zbiór rozwiązań nierówności:,, lub,, x lub ( x lub x ) Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np

11 Egzamin maturalny z matematyki obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x, x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f ( x) x 7x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, 0 4 rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np x x i na 4 4 tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność, 7 zapisze nierówność x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór 4 4 rozwiązań nierówności, realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète a, np: x x 7 x x oraz i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, błędnie zapisze nierówność, np błędu rozwiąże nierówność 7 x i konsekwentnie do popełnionego 4 4 Zdający otrzymuje pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności:,, lub x,, lub ( x lub x ), sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów x

12 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki kceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x, i zapisze, np x,,, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x,,, to otrzymuje punkty Zadania (0 ) Wykaż, że liczba jest podzielna przez 7 x Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego (Vg) Rozwiązanie 98 Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias Schemat oceniania rozwiązania Doprowadzamy do postaci Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze liczbę w postaci iloczynu, w którym jeden z czynników jest potęgą 6 k 98, gdzie 80 k 98, np i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze liczbę w postaci, w której widać podzielność przez 7 przeprowadzi rozumowanie uzasadniające podzielność przez 7 Zadania (0 4) Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym Kąt S jest trzy razy większy od kąta S, a kąt S jest dwa razy większy od kąta S Oblicz kąty trójkąta S Użycie i tworzenie strategii Wyznaczanie związków miarowych w figurach płaskich (IV7c)

13 Egzamin maturalny z matematyki I sposób rozwiązania Ponieważ trójkąt jest ostrokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz tego trójkąta Niech oznacza miarę kąta S Wówczas S i S Każdy z trójkątów S, S i S jest równoramienny, więc S S, S S, S S Miary kątów trójkąta są więc równe 4,, Suma miar kątów trójkąta jest równa 80, zatem 4 80, 80, Więc 4 460, 4, 7 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie miar kątów S, S i S w zależności od jednej zmiennej, np: S, S i S wykorzystanie faktu, że co najmniej dwa spośród trójkątów S, S i S są równoramienne, np: S S, S S, S S Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie miar kątów S, S i S w zależności od jednej zmiennej, np: S, S i S oraz wykorzystanie faktu, że co najmniej dwa spośród trójkątów S, S i S są równoramienne, np: S S, S S, S S Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt S

14 4 Egzamin maturalny z matematyki Zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć miary kątów trójkąta, np: 4 80 Rozwiązanie pełne 4 pkt Obliczenie miar kątów trójkąta : 60, 4, 7 II sposób rozwiązania Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku z Ponieważ trójkąt jest ostrokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz tego trójkąta Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym otrzymujemy S z, S x, S y Suma kątów w każdym z trójkątów S, S i S jest równa 80, więc otrzymujemy układ równań y z80 i z x 80i x y 80 Ponieważ i, więc układ możemy zapisać w postaci x y6 z80 i z x 80 i x y 4 80, 7 yz 80 i 4 xz 80 i 7 xy 80 Mnożąc strony pierwszego równania przez, drugiego przez 4 otrzymujemy S 4 y4z 60 i 6 8x4z 70 i 7 xy 80 y Dodając stronami otrzymujemy 9 9x 40, x 60, czyli 60 Zatem S 0 Trójkąt S jest równoramienny, więc 0, czyli Stąd 4, S S 0, zatem

15 Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie miar kątów S, S i S w zależności od jednej zmiennej, np: S, S i S wykorzystanie zależności między kątami środkowymi S, S i S oraz odpowiednimi kątami wpisanymi i zapisanie układu co najmniej trzech równań, np: y z80 i z x 80i x y gdzie x 80, S, y S, z S, S, S Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie miar kątów S, S i S w zależności od jednej zmiennej, np: S, S i S oraz wykorzystanie zależności między kątami środkowymi S, S, S oraz odpowiednimi kątami wpisanymi i zapisanie układu co najmniej trzech równań z czterema niewiadomymi, np: y 6 z 80 z 4 y 80 x 4 y 80 i i Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie miary kąta : x 60 Rozwiązanie pełne 4 pkt Obliczenie miar kątów trójkąta : 60, 4, 7 Zadanie (0 4) Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 00 cm, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 60 cm Oblicz objętość tego ostrosłupa Użycie i tworzenie strategii Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach (IV9b)

16 6 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku S h H D O E a Pole podstawy ostrosłupa jest równe 00, więc a 00 Stąd a 0 Pole powierzchni bocznej jest równe 60, więc 4 60 ah Stąd i z poprzedniego wyniku 0h 60, więc h Ponieważ trójkąt EOS jest prostokątny, więc a H h, H, H 44, H Objętość ostrosłupa jest zatem równa V Pp H Odpowiedź: Objętość ostrosłupa jest równa 400 cm Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający obliczy długość krawędzi podstawy ostrosłupa: a 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający obliczy wysokość ostrosłupa: H Uwaga Jeżeli zdający obliczy wysokość ściany bocznej h i nie traktuje jej jako wysokości ostrosłupa i na tym zakończy, to otrzymuje punkty Jeżeli natomiast przyjmuje, że obliczona wysokość ściany bocznej jest wysokością ostrosłupa, to otrzymuje co najwyżej punkt za całe rozwiązanie Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający obliczy objętość ostrosłupa: V 400 cm Uwagi Nie zwracamy uwagi na jednostki (zdający może je pominąć) Jeżeli zdający przyjmie, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest polem powierzchni całkowitej, to może otrzymać co najwyżej punkt za całe rozwiązanie

17 Egzamin maturalny z matematyki 7 Jeżeli zdający przyjmie, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest polem jednej ściany bocznej i konsekwentnie do tego błędu obliczy objętość ostrosłupa, to może otrzymać co najwyżej punkty za całe rozwiązanie Zadanie 4 (0 ) Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 6 kilometrów Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie Modelowanie matematyczne Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego (IIIb) Rozwiązanie Niech v oznacza średnią prędkość (w km / h ) pierwszego pociągu na tej trasie, t - czas przejazdu (w godzinach) pierwszego pociągu na tej trasie Wtedy v 9 oznacza średnią prędkość drugiego pociągu na tej trasie, t - czas przejazdu drugiego pociągu na tej trasie Zapisujemy układ równań vt 6 v9t 6 6 Z pierwszego równania wyznaczamy t i podstawiamy do równania drugiego v Otrzymujemy równanie z niewiadomą v, które przekształcamy równoważnie v v 6 v 9 6, v v, v (lub v 8v907 0 lub v Równanie to ma dwa rozwiązania 9v46 0) v 7, v 6 0 Drugie z tych rozwiązań odrzucamy (prędkość nie może być ujemna) Gdy v 7, to wtedy v 9 6 Odpowiedź: Średnia prędkość pierwszego pociągu jest równa 7 km / h, średnia prędkość drugiego pociągu równa się 6 km / h

18 8 Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania W poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych v, t oznaczających odpowiednio, prędkość i czas Oczywiście w pracach maturalnych te niewiadome mogą być oznaczane w inny sposób Nie wymagamy, aby te niewiadome były wyraźnie opisane na początku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze równanie, w którym co najmniej jedna z wielkości (prędkość, czas) jest uzależniona od przyjętej niewiadomej, np: v9t 6 v9t 6 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze układ równań z niewiadomymi v i t, np: vt 6 i v9t 6 vt 6 i v 9 t 6 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą v lub t 6 v t 6 v t 6 v t 6 v t Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np drobne błędy rachunkowe lub wadliwe przepisanie) 4 pkt zdający rozwiąże równanie z niewiadomą v lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne do popełnionego błędu zapisze prędkości obu pociągów zdający rozwiąże równanie kwadratowe i zapisze prędkość tylko jednego pociągu Rozwiązanie pełne pkt Zdający obliczy średnie prędkości obu pociągów: średnia prędkość pierwszego pociągu równa się 7 km / h, średnia prędkość drugiego pociągu równa się 6 km / h Uwagi Oceniamy na 0 punktów rozwiązania, w których ułożone równania zawierają niezgodność typu wielkości po obu stronach: po jednej stronie prędkość, po drugiej czas lub niezgodność jednostek: prędkość w kilometrach na godzinę, czas w minutach, o ile nie są zapisane jednostki Jeżeli zdający oznaczy średnią prędkość pierwszego pociągu przez v (w km / h ), a przez t czas przejazdu pierwszego pociągu na tej trasie, a potem zapisze, że prędkość średnia drugiego pociągu jest równa v 9 i czas przejazdu drugiego pociągu na tej trasie

19 Egzamin maturalny z matematyki 9 jest równy t, a następnie zapisze układ równań vt 6 i v9t 6 i doprowadzi go do równania z jedną niewiadomą, to otrzymuje punkt Jeśli rozwiąże to równanie, to otrzymuje punkty, a jeśli doprowadzi rozwiązanie zadania do końca konsekwentnie do ułożonego układu równań lub przyjętych oznaczeń, to otrzymuje punkty (otrzymując odpowiednio v 6 i v 9 7 v 6 i v 9 4) Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Przykład Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość pierwszego pociągu, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pierwszy pociąg 6 v 9 t 6 vt 6 v9t i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp i przyznajemy punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie 6 ujął wyrażenia t w nawias Zapis równania v 9 wskazuje na poprawną t interpretację zależności między wielkościami Przykład Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość pierwszego pociągu, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pierwszy pociąg 6 v t 6 v t v 9 t t t i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych 6 6 trudności zadania i przyznajemy punkty, mimo że w równaniu 9 zdający t t przestawił cyfry w zapisie liczby 6 i pominął liczbę w mianowniku ułamka Przykład Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np v 9v46 0 zamiast równania v 9v46 0 (np w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik,

20 0 Egzamin maturalny z matematyki który może być realną prędkością jednego z pociągów, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy punktów

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122,

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122, Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego Test matematyczno-przyrodniczy Test GM-M1-122, Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 25 kwietnia 2012 r. do sprawdzenia, u uczniów kończących trzecią

Bardziej szczegółowo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych LICEUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!./+)012+3$%-4#4$5012#-4#4-6017%*,4.!#$!#%&!!!#$%&#'()%*+,-+ '()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI dla klasy III gimnazjum dostosowane do programu Matematyka z Plusem opracowała mgr Marzena Mazur LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Grupa I Zad.1. Zapisz w jak najprostszej postaci

Bardziej szczegółowo

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 0 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

NUMER IDENTYFIKATORA:

NUMER IDENTYFIKATORA: Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6 KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału klasa 1BW

Rozkład materiału klasa 1BW Rozkład materiału klasa BW wg podręcznika Matematyka kl. wyd. Nowa Era 2h x 38 tyg. = 76h lekcyjnych LICZBYRZECZYWISTE (7 godz.). Zapoznanie z programem nauczania, wymaganiami edukacyjnymi, zasadami BHP

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie:

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie: WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca P - podstawowy ocena dostateczna (dst.) R - rozszerzający ocena dobra (db.) D

Bardziej szczegółowo

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki?

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? Szanowny Maturzysto, nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? To prawie niemożliwe, ale jeżeli jednak tak, to Pewnie sądzisz, że przyczyna tkwi w bardzo trudnym arkuszu! Zobaczmy, jak to wygląda

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: wojewódzki 4 marca 2013 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymaga egzaminacyjnych Zdaj cy posiada umiej tno ci w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. 2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

KOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk

KOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk KOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: definiuje notację

Bardziej szczegółowo

i danej prędkości; stosuje jednostki prędkości: km/h, m/s; umiejętności rachunkowe, a także własne poprawne metody.

i danej prędkości; stosuje jednostki prędkości: km/h, m/s; umiejętności rachunkowe, a także własne poprawne metody. Propozycja rozkładu materiału nauczania Matematyka wokół nas Rozkład materiału nauczania z odniesieniami do wymagań z podstawy programowej. Matematyka wokół nas KLASA 5 Nr lekcji Temat lekcji Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 4 do PSO z matematyki

Załącznik nr 4 do PSO z matematyki Załącznik nr 4 do PSO z matematyki Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki na poziomie rozszerzonym Charakterystyka wymagań na poszczególne oceny: Wymagania na ocenę dopuszczającą dotyczą

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: rejonowy 8 stycznia 2014 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Styczeń 2013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. W zadaniach od 1. do 25. są

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II 1.Uzupełnienie treści ujętych w działach klasy I. 1.Rozwiązywanie prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-R1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 2008 Czas pracy 180 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Dział Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra trójkąty prostokątne. Wielokąty i okręgi

Dział Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra trójkąty prostokątne. Wielokąty i okręgi Dział Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra trójkąty prostokątne Wielokąty i okręgi zna twierdzenie Pitagorasa rozumie potrzebę stosowania twierdzenia Pitagorasa umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASA I LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby

Bardziej szczegółowo

pobrano z (A1) Czas GRUDZIE

pobrano z  (A1) Czas GRUDZIE EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA (A1) W czasie trwania egzaminu zdaj cy mo e korzysta z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych Numer zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Odpowiedź A B B C C D C B B C

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA TRZECIA GIMNAZJUM PIERWSZY OKRES

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA TRZECIA GIMNAZJUM PIERWSZY OKRES WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA TRZECIA GIMNAZJUM PIERWSZY OKRES I. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie notacji wykładniczej. 2. Zna sposób

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od 1. do 5. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLAS IV VI

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLAS IV VI PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLAS IV VI Kryteria ocen 1. Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: Ocenę celującą otrzymuje uczeń, który: Posiadł wiedzę i umiejętności obejmujące pełny

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE W ROKU SZKOLNYM 2014 /2015

WYMAGANIA EDUKACYJNE W ROKU SZKOLNYM 2014 /2015 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2014 /2015 Wymagania edukacyjne dostosowane są do programu MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których uczeń nie jest w stanie zrozumieć

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) TEMAT ZAJĘĆ CELE PODSTAWOWE CELE PONADPODSTAWOWE 1. Lekcja organizacyjna. Uczeń:

DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) TEMAT ZAJĘĆ CELE PODSTAWOWE CELE PONADPODSTAWOWE 1. Lekcja organizacyjna. Uczeń: DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) TEMAT ZAJĘĆ CELE PODSTAWOWE CELE PONADPODSTAWOWE 1. Lekcja organizacyjna. Uczeń: Uczeń: zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie korzystał w ciągu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM w roku szkolnym 2013/2014

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM w roku szkolnym 2013/2014 WMG DUKCJ Z MTMTK W KLS TRZCJ GMZJUM WG PROGRMU MTMTK Z PLUSM w roku szkolnym 2013/2014 L C Z B OC DOPUSZCZJĄC DOSTTCZ DOBR BRDZO DOBR CLUJĄC zna pojęcie liczby naturalnej, zna pojęcie notacji wykładniczej

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 1 Działania na wektorach bez układu współrzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem

Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz Zadania zamknięte Numer zadania Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania B W ( ) + 8 ( ) 8 W ( 7) ( 7) ( 7 ) 8 ( 7) ( 8) 8 ( 8) Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI

WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI obowiązujące od roku 2015/16 I. Kryteria oceny semestralnej i końcowej dla klasy czwartej. 1. Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń,

Bardziej szczegółowo

KOD UCZNIA PESEL EGZAMIN. jedna. zadaniach. 5. W niektórych. Czas pracy: do. 135 minut T N. miejsce. Powodzeni GM-M7-132. z kodem. egzaminu.

KOD UCZNIA PESEL EGZAMIN. jedna. zadaniach. 5. W niektórych. Czas pracy: do. 135 minut T N. miejsce. Powodzeni GM-M7-132. z kodem. egzaminu. Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2011 UZUPE NIA ZESPÓ NADZORUJ CY KOD UCZNIA PESEL miejsce na naklejk z kodem

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I TM w roku szkolnym 2012/2013

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I TM w roku szkolnym 2012/2013 Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I TM w roku szkolnym 2012/2013 Uczeń otrzymuje ocenę celującą, gdy: a) w 100% opanował treści zawarte w programie nauczania. Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą,

Bardziej szczegółowo

ROK SZKOLNY 2012/2013

ROK SZKOLNY 2012/2013 PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH ROK SZKOLNY 2012/2013 OPRACOWANY NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM, NR DPN-5002-17/08

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI ARKUSZ 0 MATURA 00 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 70 minut. Sprawdê, czy arkusz zawiera stron.. W zadaniach od. do 5. sà podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-P1A1P-061 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1 stron.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM Matematyka z plusem dla gimnazjum WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (dp.) P - podstawowy ocena dostateczna (dst.)

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM Zasady wystawiania ocen na pierwsze półrocze i koniec roku I. Ocenie podlegają: odpowiedzi ustne, prace pisemne: Kartkówki,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH OPRACOWANO NA PODSTAWIE PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM I PODRĘCZNIKA O NR DOP. 168/1/2009

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki kl.i

Przedmiotowy system oceniania z matematyki kl.i I Matematyka klasa I - wymagania programowe DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej (K) rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne (K) umie porównywać

Bardziej szczegółowo

OKRĘGOWA KOMISJA EGZAMINACYJNA W POZNANIU WYNIKI EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI RAPORT WOJEWÓDZTWA LUBUSKIE*WIELKOPOLSKIE*ZACHODNIOPOMORSKIE

OKRĘGOWA KOMISJA EGZAMINACYJNA W POZNANIU WYNIKI EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI RAPORT WOJEWÓDZTWA LUBUSKIE*WIELKOPOLSKIE*ZACHODNIOPOMORSKIE OKRĘGOWA KOMISJA EGZAMINACYJNA W POZNANIU WYNIKI EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI RAPORT WOJEWÓDZTWA LUBUSKIE*WIELKOPOLSKIE*ZACHODNIOPOMORSKIE 2010 Spis treści OBOWIĄZKOWY EGZAMIN MATURALNY (POZIOM PODSTWOWY)......4

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego Kod ucznia Data urodzenia ucznia Dzień miesiąc rok Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY Rok szkolny 2012/2013 Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź, czy test zawiera 12 stron.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja

Bardziej szczegółowo

BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA

BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-RZYRODNICZA MATEMATYKA TEST 4 Zadanie 1 Dane są punkty A = ( 1, 1) oraz B = (3, 2). Jaką długość ma odcinek AB? Wybierz odpowiedź

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH, ŚCIEŻEK EDUKACYJNYCH I STANDARDÓW WYMAGAŃ EGZAMINACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH, ŚCIEŻEK EDUKACYJNYCH I STANDARDÓW WYMAGAŃ EGZAMINACYJNYCH PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA Z MATEMATYKI WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH, ŚCIEŻEK EDUKACYJNYCH I STANDARDÓW WYMAGAŃ EGZAMINACYJNYCH opracowane na podstawie programu nauczania Matematyka

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY II

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY II 1 ZAŁOśENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II (zakres podstawowy z rozszerzeniem) Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia DKW-4015-37/01. Liczba godzin nauki

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla liceum/funkcja liniowa

Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Matematyka dla liceum/funkcja liniowa 1 Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Funkcja liniowa Wstęp Co zawiera dział Czytelnik pozna następujące informacje: co to jest i jakie ma własności funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY

MATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY MATEMATYKA Poziom wyższy TEST DYDAKTYCZNY Maksymalna ilość punktów: 50 Próg zaliczenia: 33 % 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań Test dydaktyczny zawiera 23 zadania. Czas pracy oznaczono w kartach

Bardziej szczegółowo

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI dysleksja MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI Arkusz II POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla ucznia 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 12 ponumerowanych stron. Ewentualny brak zg o przewodnicz

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 1. Miejsce na naklejk z kodem szko y OKE ÓD CKE MARZEC ROK Czas pracy 120 minut

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 1. Miejsce na naklejk z kodem szko y OKE ÓD CKE MARZEC ROK Czas pracy 120 minut Miejsce na naklejk z kodem szko y OKE ÓD CKE MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MARZEC ROK 2008 PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 1 Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

Matematyka klasa 5 Wymagania edukacyjne na ocenę śródroczną.

Matematyka klasa 5 Wymagania edukacyjne na ocenę śródroczną. Matematyka klasa 5 Wymagania edukacyjne na ocenę śródroczną. Każda wyższa ocena zawiera wymagania dotyczące ocen niższych. Wymagania na ocenę dopuszczającą obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające

Bardziej szczegółowo

Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Gdańsku

Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Gdańsku Spis treści Struktura i forma egzaminu maturalnego z matematyki... Opis arkuszy egzaminacyjnych ustalonych przez Centralną Komisję Egzaminacyjną na egzamin maturalny z matematyki w roku szkolnym 009/00...

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJ CY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZED MATUR MAJ 2012 1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 11). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE I

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE I PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE I Przedmiotowy System Oceniania z matematyki jest zgodny z Wewnątrzszkolnym Systemem Oceniania GIMNAZJUM IM. JANA PAWŁA II W BOGUSZYCACH Nauczyciel matematyki:

Bardziej szczegółowo

P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6

P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6 XL OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody II stopnia Rozwi zania zada dla grupy elektryczno-elektronicznej Rozwi zanie zadania 1 Sprawno przekszta tnika jest r wna P 0ma a Maksymaln moc odbiornika mo na zatem

Bardziej szczegółowo

PROGRAM ZAJĘĆ MATEMATYCZNYCH DLA UCZNIÓW Z DYSLEKSJĄ

PROGRAM ZAJĘĆ MATEMATYCZNYCH DLA UCZNIÓW Z DYSLEKSJĄ Nie wystarczy mieć rozum, trzeba jeszcze umieć z niego korzystać Kartezjusz Rozprawa o metodzie PROGRAM ZAJĘĆ MATEMATYCZNYCH DLA UCZNIÓW Z DYSLEKSJĄ II KLASA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE 1 Opracowała : Dorota

Bardziej szczegółowo

Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. PESEL

Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. PESEL Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 0 KOD UCZNIA UZUPE NIA ZESPÓ NADZORUJ CY PESEL miejsce na naklejk z kodem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. Zadania maturalne poziom rozszerzony.

MATEMATYKA. Zadania maturalne poziom rozszerzony. MATEMATYKA Zadania maturalne poziom rozszerzony I Liczby, zbiory, wartość bezwzględna b Porównaj liczby a oraz Rozw: b a b a [MRI009/pkt] 8 a, b 7 9 a b, gdzie 69, : cos0 5 6 Uzasadnij, że 6 8 [MR/pkt]

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2015/2016 1 Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wszystkich wymagań na oceny niższe.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

Zadania zamknięte. A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki. C) a 4 = 2 3

Zadania zamknięte. A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki. C) a 4 = 2 3 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Równanie x2 3x+2 = 0 ma: x 2 4 A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki ZADANIE 2 (1 PKT) Liczba b jest 3 razy większa od liczby a. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Funkcja jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f x jest przedział

Zadanie 2. Funkcja jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f x jest przedział Zadanie. Na początku roku akademickiego mężczyźni stanowili 40% wszystkich studentów. Na koniec roku liczba wszystkich studentów zmalała o 0% i wówczas okazało się, że mężczyźni stanowią % wszystkich studentów.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

PAKIET MathCad - Część III

PAKIET MathCad - Część III Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad

Bardziej szczegółowo

Rok 2010 wyznaczył datę powrotu do obowiązkowego egzaminu maturalnego z matematyki. Umiejętności, które są sprawdzane na maturze z matematyki,

Rok 2010 wyznaczył datę powrotu do obowiązkowego egzaminu maturalnego z matematyki. Umiejętności, które są sprawdzane na maturze z matematyki, Skrypt bezpłatny. Opracowany i wydrukowany w ramach projektu W drodze do kariery z Politechniką Świętokrzyską szanse na lepszą przyszłość uczniów szkół ponadgimnazjalnych, współfinansowanego ze środków

Bardziej szczegółowo

TEMAT : Sprawdź sam siebie powtórzenie materiału (ewaluacja całoroczna)

TEMAT : Sprawdź sam siebie powtórzenie materiału (ewaluacja całoroczna) SCENARIUSZ ZAJĘĆ Z MATEMATYKI DLA KLASY III GIMNAZJUM AUTOR : HANNA MARCINKOWSKA TEMAT : Sprawdź sam siebie powtórzenie materiału (ewaluacja całoroczna) Szkoła z klasą 2.0 Zastosowanie technologii informacyjnej

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia DKW-4015-37/01. Liczba godzin nauki w tygodniu:

Bardziej szczegółowo

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY

14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY 14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY Ruch jednostajny po okręgu Pole grawitacyjne Rozwiązania zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania

Bardziej szczegółowo

Zadanie 21. Stok narciarski

Zadanie 21. Stok narciarski Numer zadania Zadanie. Stok narciarski KLUCZ DO ZADA ARKUSZA II Je eli zdaj cy rozwi e zadanie inn, merytorycznie poprawn metod otrzymuje maksymaln liczb punktów Numer polecenia i poprawna odpowied. sporz

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzony ZBIÓR ZADAŃ. Materiały pomocnicze dla uczniów i nauczycieli

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzony ZBIÓR ZADAŃ. Materiały pomocnicze dla uczniów i nauczycieli EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzony ZBIÓR ZADAŃ Materiały pomocnicze dla uczniów i nauczycieli Centralna Komisja Egzaminacyjna 05 Publikacja opracowana przez zespół koordynowany przez Renatę

Bardziej szczegółowo

ZAŁĄCZNIK NR 1. Zakres wiedzy i umiejętności oraz wykaz proponowanej bibliografii

ZAŁĄCZNIK NR 1. Zakres wiedzy i umiejętności oraz wykaz proponowanej bibliografii ZAŁĄCZNIK NR 1 Zakres wiedzy i umiejętności oraz wykaz proponowanej bibliografii I. Obszary umiejętności sprawdzane na kaŝdym etapie Konkursu 1. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń: 1) interpretuje

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO, LICEUM PROFILOWANEGO I TECHNIKUM 4 LETNIEGO (Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym)

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO, LICEUM PROFILOWANEGO I TECHNIKUM 4 LETNIEGO (Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym) PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO, LICEUM PROFILOWANEGO I TECHNIKUM 4 LETNIEGO (Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym) I. LICZBY Temat Ilość godzin Cele Zbiory 1 Określenia zbioru

Bardziej szczegółowo