Efektywny opis wybranych w laściwości dużych uk ladów molekularnych w ramach metodologii MP2
|
|
- Lech Marczak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Efektywny opis wybranych w laściwości dużych uk ladów molekularnych w ramach metodologii MP2 Jakub Sumera Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii Uniwersytet Jagielloński promotor: dr Grzegorz Mazur 27 maja 2009
2 Plan prezentacji Wst ep 1 Wstep 2 Energia MP2 jako funkcjona l gestości 3 Gradienty energii 4 CPHF 5 Implementacja 6 Wyniki J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
3 Plan pracy Wst ep Implementacja obliczeń momentów dipolowych w metodzie LT-AO MP2 Analiza dok ladności Obliczenia momentów dipolowych dla wybranych uk ladów J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
4 LT-AO MP2 Energia MP2 jako funkcjona l g estości Wyrażenie na energi e E 2 = 0 e 2 (s)ds e 2 (s) = X µµ (s)y νν (s)x λλ (s)y σσ (s) µνλσ µ ν λ σ (µ ν λ σ )[2(µν λσ) (µσ λν)] Macierze pseudogestości ważone energia orbitalna (Häser, 1993) occ X µ µ(s) = C µ ic µi e ε i s i virt Y σ σ(s) = C σ ac σa e εas a J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
5 Energia MP2 jako funkcjona l g estości rozwijajac funkcje wyk ladnicza w szereg otrzymamy occ occ X(s) = C i C T i e ε i s = C i C T i i i (ε i s) n n n! = occ (ε i s) n C i C T i n! n i przekszta lcajac równania Hartree-Focka FC i = ε i SC i S 1 FC i = ε i C i occ S 1 FP = ε i C i C T i occ occ occ (S 1 F) 2 P = S 1 F ε i C i C T i = ε i S 1 FC i C T i = ε 2 i C i C T i i ( ) n occ S 1 F P = ε n i C i C T i i i i i J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
6 Energia MP2 jako funkcjona l g estości dochodzimy do zależności occ X(s) = C i C T i e ε i s = i occ (ε i s) n C i C T i n! n i X(s) = (ss 1 F) n P n! n=0 macierze X oraz Y przyjmuja postać (Surján, 2005) X(s) = e ss 1F P Y(s) = e ss 1F Q e ss 1F = n=0 1 n! (ss 1 F) n J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
7 Energia MP2 jako funkcjona l g estości Eliminacja S 1 W celu usuniecia S 1 rozwijamy f. wyk ladnicza w szereg X(s) = X(s)SS 1 = e ss 1F PSS 1 s n ( = S 1 F ) n PSS 1 n! i wykorzystujemy (n-krotnie) S 1 FPS = PF otrzymujac ostateczne wyrażenia na macierze pseudogestości (Surján, 2005) X(s) = e spf P Y(s) = e sqf Q n=0 J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
8 Energia MP2 jako funkcjona l g estości Wnioski energia MP2 (oraz wyższych rzedów) jest funkcjona lem gestości! konsekwencje techniczne nie trzeba obliczać wspó lczynników MO gesta macierz niedostepna z liniowo skalujacych sie obliczeń HF potrzebna jedynie macierz gestości rzadka macierz dostepna ze wszystkich obliczeń HF gradienty energii możemy wyrazić przez pochodne macierzy gestości J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
9 Energia MP2 jako funkcjona l g estości Wnioski energia MP2 (oraz wyższych rzedów) jest funkcjona lem gestości! konsekwencje techniczne nie trzeba obliczać wspó lczynników MO gesta macierz niedostepna z liniowo skalujacych sie obliczeń HF potrzebna jedynie macierz gestości rzadka macierz dostepna ze wszystkich obliczeń HF gradienty energii możemy wyrazić przez pochodne macierzy gestości J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
10 Energia MP2 jako funkcjona l g estości Wnioski energia MP2 (oraz wyższych rzedów) jest funkcjona lem gestości! konsekwencje techniczne nie trzeba obliczać wspó lczynników MO gesta macierz niedostepna z liniowo skalujacych sie obliczeń HF potrzebna jedynie macierz gestości rzadka macierz dostepna ze wszystkich obliczeń HF gradienty energii możemy wyrazić przez pochodne macierzy gestości J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
11 Gradienty energii Gradienty energii wyrażajac energie MP2 jako E 2 = τ w α e 2 (α) α możemy zapisać jej pochodna w postaci E (ξ) 2 = τ α w α e (ξ) 2 (α) J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
12 Gradienty energii Gradienty energii pochodna energii wzgledem zewnetrznego pola elektrycznego (Schweizer et al., 2008) N e (ξ) 2 (α) = 2 R µ µ(α)x (ξ) N µ µ (α) + R ν ν(α)y (ξ) ν ν (α) R λ λ = R σ σ = µ µ ν ν N (µν λ σ) [2(µν λσ) (µσ λν)] µνσ N (µν λσ ) [2(µν λσ) (µσ λν)] µνλ ( X (ξ) = e tαpf) (ξ) P + e t αpf P (ξ) ( Y (ξ) = e tαqf) (ξ) Q + e t αqf Q (ξ) J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
13 Różniczkowanie energii Gradienty energii Różniczkujac macierzowa funkcje wyk ladnicza (e A) (ξ) = = n=0 n=0 i wykorzystujac w laściwości śladu 1 n! (An ) (ξ) 1 n 1 A k A (ξ) A n k 1 n! k=0 Tr(AB) = Tr(BA) po tygodniu prostych przekszta lceń otrzymujemy... J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
14 Pochodna energii Gradienty energii e (ξ) 2 [F(α)h (α) = 2Tr (ξ)] + 2Tr [P(α)P (ξ)] P(α) = Y 1 Y 1 + G(Y 2 + Y 2 ) + Re tαpf Re tαqf F(α) = Y 2 + Y 2 Y 1 = n Y 2 = n t n n 1 F(PF) n k 1 PR(PF) k n! k=0 t n n 1 (PF) n k 1 PR(PF) k P n! k=0 J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
15 Równania D-CPHF CPHF Density matrix-based Coupled Perturbed Hartree-Fock ( 2 ) L(P) P }{{ 2 P (ξ) = ( ) L(P) ξ P }}{{} A B (ξ) w podejściu Ochsenfelda i Head-Gordona ( L = Tr Ph + 1 ) 2 PG( P) gdzie P = 3PSP 2PSPSP J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
16 Równania D-CPHF CPHF Jawna postać równania D-CPHF (Ochsenfeld and Head-Gordon, 1997) ( 2 L(P) P 2 ) P (ξ) = 3FP (ξ) S + 3SP (ξ) P 2FP (ξ) SPS 2FPSP (ξ) S+ 2SP (ξ) FPS 2SPFP (ξ) S 2SPSP (ξ) F+ + G(P (ξ) )PS + SPG(P (ξ) ) + SPG(P (ξ) )PS ( ) L(P) = h (ξ) PS PSh (ξ) SPh (ξ) PS ξ P J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
17 Metoda wektora Z CPHF Obliczenie e (ξ) 2 [F(α)h (α) = 2Tr (ξ)] + 2Tr [P(α)P (ξ)] wymaga rozwiazania równań D-CPHF dla każdego zaburzenia oddzielnie Koszt rozwiazania równań D-CPHF jest porównywalny z kosztem SCF Metoda wektora Z umożliwia redukcje czasu obliczeń do jednego równania D-CPHF J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
18 Metoda wektora Z CPHF Metoda przekszta lcajac równanie D-CPHF otrzymujemy (Handy and Schaefer III, 1984) AP (ξ) = B (ξ) Algorytm PP (ξ) = PA }{{ 1 } Z T B (ξ) wyznaczamy wektor Z niezależny od zaburzenia (etap kosztowny) AZ = P używajac Z obliczamy wielkości zależne od zaburzenia (etap tani) PP (ξ) = Z T B (ξ) J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
19 Metoda wektora Z CPHF Metoda przekszta lcajac równanie D-CPHF otrzymujemy (Handy and Schaefer III, 1984) AP (ξ) = B (ξ) Algorytm PP (ξ) = PA }{{ 1 } Z T B (ξ) wyznaczamy wektor Z niezależny od zaburzenia (etap kosztowny) AZ = P używajac Z obliczamy wielkości zależne od zaburzenia (etap tani) PP (ξ) = Z T B (ξ) J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
20 Algorytm Implementacja dla każdego punktu kwadratury przygotuj dane do preselekcji wykonaj trójetapowa transformacje wyznacz macierze R i R oblicz przyczynki do F i P rozwiaż równanie AZ = P wyznacz sk ladowe momentu dipolowego µ ξ = 2Tr(Z T B (ξ) ) + 2Tr(Fh (ξ) ) J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
21 Implementacja Algorytm wieloprzebiegowy dla każdego punktu kwadratury wyznacz optymalne przebiegi dla każdego przebiegu przygotuj dane do preselekcji wykonaj trójetapowa transformacje wyznacz macierze R i R oblicz przyczynki do F i P rozwiaż równanie AZ = P wyznacz sk ladowe momentu dipolowego µ ξ = 2Tr(Z T B (ξ) ) + 2Tr(Fh (ξ) ) J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
22 Implementacja Kluczowe aspekty implementacji Cześciowo przetransformowane ca lki dwuelektronowe obliczane analogicznie jak w obliczeniach poprawki do energii Efektywna preselekcja ca lek (Häser, 1993) Zarzadzanie pamieci a (drzewa) Kwadratura Podzia l na przebiegi Zrównoleglenie Stabilne numerycznie obliczanie macierzowej f. wyk ladniczej i jej pochodnych Równania D-CPHF rozwiazywane zmodyfikowana metoda sprzeżonych gradientów Moment dipolowy obliczany metoda wektora Z J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
23 Dok ladność Wyniki liniowy lańcuch wody, baza STO-3G, ε = 10 8, τ = 10 J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
24 Dok ladność Wyniki liniowy lańcuch wody, baza 3-21G, ε = 10 8, τ = 10 J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
25 Dok ladność Wyniki b l ad momentu dipolowego dla STO-3G jest 2 rzedy wielkości wiekszy od b l edu energii dla 3-21G jest 3 rzedy wielkości wiekszy od b l edu energii wstepne wyniki dla wiekszych baz sa zgodne z wynikami dla bazy 3-21G brak referencyjnych wyników dla dużych uk ladów obliczenia niemożliwe do przeprowadzenia konwencjonalnym MP2 metoda skończonych różnic obarczona jest dużym b l edem analiza wp lywu kwadratury i wspó lczynnika obci ecia jest w toku planowana jest weryfikacja dok ladności dla innych uk ladów J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
26 Dok ladność Wyniki b l ad momentu dipolowego dla STO-3G jest 2 rzedy wielkości wiekszy od b l edu energii dla 3-21G jest 3 rzedy wielkości wiekszy od b l edu energii wstepne wyniki dla wiekszych baz sa zgodne z wynikami dla bazy 3-21G brak referencyjnych wyników dla dużych uk ladów obliczenia niemożliwe do przeprowadzenia konwencjonalnym MP2 metoda skończonych różnic obarczona jest dużym b l edem analiza wp lywu kwadratury i wspó lczynnika obci ecia jest w toku planowana jest weryfikacja dok ladności dla innych uk ladów J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
27 Dok ladność Wyniki b l ad momentu dipolowego dla STO-3G jest 2 rzedy wielkości wiekszy od b l edu energii dla 3-21G jest 3 rzedy wielkości wiekszy od b l edu energii wstepne wyniki dla wiekszych baz sa zgodne z wynikami dla bazy 3-21G brak referencyjnych wyników dla dużych uk ladów obliczenia niemożliwe do przeprowadzenia konwencjonalnym MP2 metoda skończonych różnic obarczona jest dużym b l edem analiza wp lywu kwadratury i wspó lczynnika obci ecia jest w toku planowana jest weryfikacja dok ladności dla innych uk ladów J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
28 Z lożoność czasowa Wyniki liniowy lańcuch wody, ε = 10 8, τ = 10 J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
29 Z lożoność pami eciowa Wyniki liniowy lańcuch wody, ε = 10 8, τ = 10 J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
30 Z lożoność obliczeniowa Wyniki z lożoność czasowa baza STO-3G - O(N 2 ) z lożoność zgodna z oczekiwaniami baza 3-21G - O(N 4 ) wysoki narzut czasowy w bazie 3-21G wynika z przeprowadzenia obliczeń dla stosunkowo ma lych uk ladów; dla wi ekszych uk ladów oczekiwane jest lepsze skalowanie obliczenia by ly prowadzone przy użyciu bardzo ma lej ilości pami eci (64 MB); zwi ekszenie dost epnej pami eci powinno znacznie poprawić wydajność z lożoność pami eciowa STO-3G oraz 3-21G - O(N 2 ) z lożoność zgodna z oczekiwaniami możliwe prowadzenie obliczeń dla bardzo dużych uk ladów J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
31 Z lożoność obliczeniowa Wyniki z lożoność czasowa baza STO-3G - O(N 2 ) z lożoność zgodna z oczekiwaniami baza 3-21G - O(N 4 ) wysoki narzut czasowy w bazie 3-21G wynika z przeprowadzenia obliczeń dla stosunkowo ma lych uk ladów; dla wi ekszych uk ladów oczekiwane jest lepsze skalowanie obliczenia by ly prowadzone przy użyciu bardzo ma lej ilości pami eci (64 MB); zwi ekszenie dost epnej pami eci powinno znacznie poprawić wydajność z lożoność pami eciowa STO-3G oraz 3-21G - O(N 2 ) z lożoność zgodna z oczekiwaniami możliwe prowadzenie obliczeń dla bardzo dużych uk ladów J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
32 Wnioski Wyniki zastosowany formalizm jest stosowalny do uk ladów bed acych poza zasiegiem konwencjonalnego MP2 uzyskana dok ladność wyników jest zadowalajaca poprawa dok ladności możliwa przez zmiane parametrów kwadratury i preselekcji; analiza w toku możliwe jest uogólnienie formalizmu do wyższych pochodnych (polaryzowalność) J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
33 Podsumowanie Wyniki Gotowe Zaprogramowa lem przedstawiony formalizm Wykona lem testowe obliczenia majace na celu weryfikacje metody i implementacji Ponadto, zaprogramowa lem obliczanie polaryzowalności i hiperpolaryzowalności na poziomie HF W trakcie Szczegó lowa analiza b l edów stosowanych przybliżeń Obliczenia dla liniowych lańcuchów fosforowo-borowych Obliczenia dla wybranych uk ladów push-pull J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
34 Podsumowanie Wyniki Gotowe Zaprogramowa lem przedstawiony formalizm Wykona lem testowe obliczenia majace na celu weryfikacje metody i implementacji Ponadto, zaprogramowa lem obliczanie polaryzowalności i hiperpolaryzowalności na poziomie HF W trakcie Szczegó lowa analiza b l edów stosowanych przybliżeń Obliczenia dla liniowych lańcuchów fosforowo-borowych Obliczenia dla wybranych uk ladów push-pull J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
35 Bibliografia Bibliografia Handy, N. C. and Schaefer III, F.: 1984, J Chem Phys 81, 5031 Häser, M.: 1993, Theo Chim Acta 87, 147 Ochsenfeld, C. and Head-Gordon, M.: 1997, Chem Phys Lett 270, 399 Schweizer, S., Doser, B., and Ochsenfeld, C.: 2008, J Chem Phys 128, Surján, P. R.: 2005, Chem Phys Lett 406, 318 J. Sumera (ZMOCh) Gradienty energii MP2 27 maja / 29
36 Implementacj e wykonano w ramach projektu Niedoida Dzi ekuj e za uwag e
Opis korelacji elektronowej w dużych układach molekularnych. Implementacja metodologii LT-AO-MP2
Opis korelacji elektronowej w dużych układach molekularnych. metodologii Jakub Sumera Krzysztof Kowalczyk 7 stycznia 2009 roku Spis treści Wstęp 1 Wstęp 2 3 4 Plan pracy Wstęp implementacja AO MP2 kwadratowo
Bardziej szczegółowoImplementacja efektywnych metod opisu korelacji elektronowej w dużych układach molekularnych
Implementacja efektywnych metod opisu korelacji elektronowej w dużych układach molekularnych Krzysztof Kowalczyk Wydział Chemii UJ Zakład Metod Obliczeniowych Chemii promotor: dr Marcin Makowski 27 maja
Bardziej szczegółowoUniwersytet Jagielloński Wydzia l Chemii. Efektywny opis wybranych w laściwości dużych uk ladów molekularnych w ramach metodologii MP2
Uniwersytet Jagielloński Wydzia l Chemii praca magisterska Efektywny opis wybranych w laściwości dużych uk ladów molekularnych w ramach metodologii MP2 Jakub Sumera Promotor dr Grzegorz Mazur Praca wykonana
Bardziej szczegółowoUniwersytet Jagielloński
Uniwersytet Jagielloński Wydzia l Chemii, Zak lad Chemii Teoretycznej praca magisterska Implementacja efektywnych metod opisu korelacji elektronowej w dużych uk ladach molekularnych Krzysztof Kowalczyk
Bardziej szczegółowoOddzia lywania miedzycz. jony molekularne lub atomy. edzy A i B:
Notatki do wyk ladu XIII Oddzia lywania miedzycz asteczkowe A i B zamknietopow lokowe czasteczki, jony molekularne lub atomy. Energia oddzia lywania E oddz mi edzy A i B: E oddz = E AB (E A + E B ) ()
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoTeoria funkcjona lu g Density Functional Theory (DFT)
Teoria funkcjona lu g estości Density Functional Theory (DFT) Cz eść slajdów tego wyk ladu pochodzi z wyk ladu wyg loszonego przez dra Lukasza Rajchela w Interdyscyplinarnym Centrum Modelowania Matematycznego
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoTEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l
TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoHierarchia baz gaussowskich (5)
Hierarchia baz gaussowskich (5) Bazy split-valence czyli VDZ, VTZ, etc. (np. bazy Pople a 6-31G, 6-311G, etc) Bazy split-valence spolaryzowane VDZP, VTZP, etc. Bazy bazy Dunninga (konsystentne korelacyjnie)
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoSymetria w obliczeniach molekularnych
Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii UJ 15 marca 2005 1 2 Możliwości przyspieszenia obliczeń 3 GAMESS 2004 4 Zastosowania symetrii Zmniejszenie zapotrzebowania na zasoby (procesor, pami eć, dysk) Utrzymanie
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoModyfikacja schematu SCPF obliczeń energii polaryzacji
Modyfikacja schematu SCPF obliczeń energii polaryzacji Zakład Metod Obliczeniowych Chemii 11 kwietnia 2006 roku 1 Po co? Jak? 2 Algorytm Analiza zbieżności 3 dla układów symetrycznych 4 Fulleren 5 Po co?
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowoAlgorytm określania symetrii czasteczek
O czym to b Podzi 21 września 2007 O czym to b O czym to b Podzi 1 2 3 O czym to b Podzi W lasności symetrii hamiltonianu: zmniejszenie z lożoności obliczeń i wymagań pami eciowych, utrzymanie tożsamościowych
Bardziej szczegółowoKorelacja elektronowa w metodzie elongacji
March 28, 2006 1 2 3 4 5 6 Waskie gard la metody jednowyznacznikowe wyznaczanie ca lek dwuelektronowych potrzebnych do budowy macierzy Focka: formalnie O(N 4 ), asymptotycznie O(N 2 ) diagonalizacja macierzy
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoArchitektura systemów komputerowych
Architektura systemów komputerowych Grzegorz Mazur Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii Uniwersytet Jagielloński 12 kwietnia 2011 Grzegorz Mazur (ZMOCh UJ) Architektura systemów komputerowych 12 kwietnia
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoJEDNOSTKI ATOMOWE =1, m e =1, e=1, ; 1 E 2 h = 4, J. Energia atomu wodoru lub jonu wodoropodobnego w jednostkach atomowych:
do wyk ladu z 1.10.13 Atom wodoru i jon wodoropodobny Ze - ladunek jadra, e - ladunek elektronu, µ - masa zredukowana µ = mem j m e+m j ( µ m e ) M j - masa jadra, m e - masa elektronu, ε 0 - przenikalność
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoWyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe Adam Kiersztyn Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Paw a II Lublin 013 Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec
Bardziej szczegółowoKorelacja elektronowa. e z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zmienne losowe x i y sa. ρ(x, y) = ρ 1 (x) ρ 2 (y)
Notatki do wyk ladu XII Korelacja elektronowa Nazwa korelacja elektronowa wywodzi si e z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zmienne losowe x i y sa niezależne jeśli ρ(x, y) = ρ 1 (x) ρ 2 (y) Oznacza
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoProcesy Stochastyczne - Zestaw 1
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie
Bardziej szczegółowou nk = n c nn u n 0 wyznacza siȩ empirycznie (elementy przejść) lub próbuje oszacować w obliczeniach typu ab initio Rachunek zaburzeń Löwdina
Jeśli pasma nie s a energetycznie dobrze separowalne lub energetycznie zdegenerowane (kwazizdegenerowane) to ich wzajemny wp lyw musi być uwzglȩdniony wariacyjnie - w I rzȩdzie RZ dla stanow zdegenerowanych
Bardziej szczegółowow = w i ξ i. (1) i=1 w 1 w 2 :
S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 11.III.2005 1 I. MACIERZ LINIOWEGO ODWZOROWANIA PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Wyobraźmy sobie, że przestrzeń wektorowa W jest zbudowana z kombinacji liniowych n liniowo
Bardziej szczegółowoUk lady modelowe II - oscylator
Wyk lad 4 Uk lady modelowe II - oscylator Model Prawo Hooke a F = m d 2 x = kx = dv dt2 dx Potencja l Równanie ruchu V = 1 2 kx2 d 2 x dt 2 + k m x = 0 Obraz klasyczny Rozwiazania k x = A sin t = A sin
Bardziej szczegółowoUzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
19 kwietnia 2011 Testy dla dwóch grup 1 Analiza danych dla dwóch grup: test t-studenta dla dwóch grup sparowanych; test t-studenta dla dwóch grup niezależnych (jednakowe wariancje) test Z dla dwóch grup
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoNumeryczna algebra liniowa. Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1
Numeryczna algebra liniowa Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1 Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowow teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak
Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane
Bardziej szczegółowoMetoda oddzia lywania konfiguracji (CI)
Metoda oddzia lywania konfiguracji (CI) Spinorbitale: obsadzone φ a i wirtualne φ r : ɛ a ɛ HOMO, ɛ r ɛ LUMO ê r a wykonuje podstawienie φ a φ r, np. ê 7 2 φ 1 φ 2 φ 3... φ N = φ 1 φ 7 φ 3... φ N Operator
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoPochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.
Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj 2013 1 / 18 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoedzi (local edge detectors) Lokalne operatory wykrywania kraw
Lokalne operatory wykrywania kraw edzi (local edge detectors) Jeśli dwie reprezentacje sa zbyt odleg le, by można by lo latwo określić transformacje miedzy nimi, to u latwić zadanie można przez wprowadzenie
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoAproksymacja kraw. Od wielu lokalnych cech (edge elements) do spójnej, jednowymiarowej. epnej aproksymacji
Aproksymacja kraw edzi Od wielu lokalnych cech (edge elements) do spójnej, jednowymiarowej cechy (edge). Różne podejścia: szukanie w pobliżu wst epnej aproksymacji transformacja Hough a. Wiedza o obiektach:
Bardziej szczegółowoPodprzestrzeń wektorowa, baza, suma prosta i wymiar Javier de Lucas
Podprzestrzeń wektorowa, baza, suma prosta i wymiar Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Niech W = {(x 1, x 2, x 3 ) K 3 : x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 }. Czy W jest podprzestrzeni a gdy
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoInżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści
Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, 2017 Spis treści Od autorów 11 I. Klasyczne metody numeryczne Rozdział 1. Na początek 15 1.1.
Bardziej szczegółowo1 Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek
Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek. Grupa SU(N) Unitarne (zespolone) macierze N N można sparametryzować pzez N rzeczywistych parametrów. Ale detu =, unitarność: U U = narzucają dodatkowe warunki. Rozważmy
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia. mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L Ćwiczenia METODY PRZYBLIŻONE ROZWIA ZYWANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA METODA WARIACYJNA metoda wariacyjna ĤΨ n = E n Ψ n Ψ n ortonormalne Szukamy rozwi azań dla stanu podstawowego,
Bardziej szczegółowoStruktura elektronowa czasteczek. przybliżenie Borna-Oppenheimera. równania Schrödingera dla elektronów przy ustalonym po lożeniu jader
Notatki do wyk ladu VII Struktura elektronowa czasteczek przybliżenie Borna-Oppenheimera rozwiazanie równania Schrödingera dla elektronów przy ustalonym po lożeniu jader przybliżenie jednoelektronowe metoda
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowoNotatki do wyk ladu IV (z 27.10.2014)
Dla orbitalnego momentu p edu (L): Notatki do wyk ladu IV (z 7.10.014) ˆL ψ nlm = l(l + 1) ψ nlm (1) ˆL z ψ nlm = m ψ nlm () l + 1 możliwych wartości rzutu L z na wyróżniony kierunek w przestrzeni (l -liczba
Bardziej szczegółowoSystemy decyzyjne Wyk lad 4: Drzewa decyzyjne
Systemy decyzyjne Wyk lad 4: Outline Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 2 Problem brakujacych wartości 3 Co to jest drzewo decyzyjne Jest to struktura drzewiasta, w której wez ly wewnetrzne zawieraja testy na
Bardziej szczegółowo[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoObliczenia rozproszone z wykorzystaniem MPI
Obliczenia rozproszone z wykorzystaniem Zarys wst u do podstaw :) Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii UJ 8 sierpnia 2005 1 e konkretniej Jak szybko, i czemu tak wolno? 2 e szczegó lów 3 Dyspozytor Macierz
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowo2. Równania nieliniowe i ich uk lady
Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu lista nr 7
Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu lista nr 7 1 B l edy pomiaru Wskutek niedoskona lości przyrzadów jak również niedoskona lości naszych zmys lów - wszystkie pomiary sa dokonywane z określonym
Bardziej szczegółowoi elektronów w czasteczkach (laboratoryjnym) operator Hamiltona dla czasteczki dwuatomowej (jadra 2M b a i b; m -masa elektronu e 2 r ij
Notatki do wyk ladu IX Rozdzielenie ruchu jader i elektronów w czasteczkach W dowolnym uk ladzie wspó lrzednych (laboratoryjnym) operator Hamiltona dla czasteczki dwuatomowej (jadra a i b)ma postać: Ĥ
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązania równania Schrödingera
Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoAnaliza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV
Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Odtwarzanie rozk ladów za pomoc a danych Monte Carlo Jakub Cholewiński, pod opiek a dr hab. Krzysztofa Woźniaka 31 lipca 2015 r. Jakub Cholewiński, pod
Bardziej szczegółowo16 Jednowymiarowy model Isinga
16 Jednowymiarowy model Isinga Jest to liniowy łańcuch N spinów mogących przyjmować wartości ± 1. Mikrostanem układu jest zbiór zmiennych σ i = ±1, gdzie i = 1,,..., N (16.1) Określają one czy i-ty spin
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowostany ekscytonowo-fononowe w kryszta lech oligotiofenów
Wst ep Niezwiazane stany ekscytonowo-fononowe w kryszta lech oligotiofenów Zak lad Chemii Teoretycznej 24 październik 2007 Wst ep Dlaczego oligotiofeny? Oligotiofeny Zwiazki chemiczne zbudowane z po l
Bardziej szczegółowo{E n ( k 0 ) + h2 2m (k2 k 2 0 )}δ nn + h m ( k k 0 ) p nn. c nn = E n ( k)c nn (1) gdzie ( r)d 3 r
to w pobliżu dna (lub szczytu) pasma (k k 0 ) zależność E(k) jest paraboliczna ale z mas a m m 0 Jeśli pasma nie s a energetycznie dobrze separowalne lub energetycznie zdegenerowane (kwazizdegenerowane)
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowo