Transformace okrajových podmínek pomocí Poisson-Lie T-plurality

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Transformace okrajových podmínek pomocí Poisson-Lie T-plurality"

Transkrypt

1 České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská VÝZKUMNÝ ÚKOL Transformace okrajových podmínek pomocí Poisson-Lie T-plurality Ivo Petr Vedoucí práce: Prof. RNDr. Ladislav Hlavatý, DrSc. 5. července 2007

2 Název práce: Transformace okrajových podmínek pomocí Poisson-Lie T-plurality Autor: Ivo Petr Obor: Matematické inženýrství Druh práce: Výzkumný úkol Vedoucí práce: Prof. RNDr. Ladislav Hlavatý, DrSc., Katedra fyziky, Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská, České vysoké učení technické v Praze Abstrakt: Zapíšeme okrajové podmínky pro řešení σ-modelu pomocí lepící matice a odvodíme vztah pro její transformaci při Poisson-Lie T-pluralitě. Na příkladu konkrétního Drinfeldova doublu zjistíme závislost transformované lepící matice na souřadnicích doublu. Ukážeme, že okrajové podmínky na funkce vystupující v řešení σ-modelu se při provedení T-plurální transformace nezmění a že podmínka konformní symetrie se zachovává. Klíčová slova: σ-model, Drinfeldův double, Poisson-Lie T-pluralita, okrajové podmínky, otevřená struna Title: Transformation of boundary conditions via Poisson-Lie T-plurality Author: Ivo Petr Abstract: We formulate boundary conditions for σ-model solution in terms of gluing matrix and derive its Poisson-Lie T-plurality transformation. We present an example of particular Drinfeld double and show how the transformed matrix depends on coordinates of the double. We show that the boundary conditions imposed on the functions in the σ-model solution are left unchanged by the transformation and that the conformal symmetry condition is preserved. Key words: σ-model, Drinfeld double, Poisson-Lie T-plurality, boundary conditions, open string

3 Obsah 0.1 Úvod Teorie Sigma modely Poisson-Lie T-dualita Poisson-Lie T-pluralita Řešení σ-modelu Okrajové podmínky Příklad - Drinfeldův double (4 1 ( Řešení σ-modelu Transformace okrajových podmínek D2 -brána D1 -brána D0 -brána D(-1 -brána Závěr 30 A Značení 31

4 0.1 Úvod Duální symetrie jsou patrně jedněmi z nejzajímavějších symetrií ve fyzice. O dualitě se hovoří tehdy, máme-li co do činění se dvěma zdánlivě různými modely, které jsou pouze jinými popisy stejné fyzikální reality. Široké pole pro uplatnění duálních symetrií nabízí teorie strun, v níž hrají zásadní úlohu jako nástroj pro získávání informací neporuchovými metodami. Díky tomu, že uvádí do vztahu odlišné popisy téhož, je někdy možné problém, neřešitelný v jednom modelu, převést do formalismu modelu druhého, kde už řešení může být nalezeno. Významným prostředkem pro pochopení symetrií prostoročasu z pohledu strunové teorie je T-dualita ( target space. Tu je možno realizovat jako transformaci působící na cílové varietě dvoudimenzionálního σ-modelu, který popisuje vývoj struny pomocí zobrazení ze světoplochy struny ( worldsheet do d-dimenzionální variety. Původně byla T-dualita chápána jako symetrie pozadí prostoročasu, který připouštěl abelovské izometrie. Tento popis však nemohl obsáhnout celou řadu fyzikálně zajímavých situací. Významného zobecnění bylo dosaženo v [1], na který bezprostředně navazuje [2]. Zde byla představena myšlenka Poisson-Lie T-duality jako rozšíření dosavadní T-duality na větší algebraický objekt, tzv. Drinfeldův double. Poisson-Lie T-dualita byla zkoumána v řadě dalších prací jak z pohledu klasické, tak kvantové fyziky. Její možnosti byly ještě zesíleny na tzv. pluralitu, viz [3], a povedlo se rovněž nalézt řešení pohybových rovnic několika netriviálních σ-modelů. Pro chování otevřené struny je zásadní nejen znalost řešení, ale i okrajových podmínek pro konce struny. Pohyb konců struny bývá omezen na D-brány a různé způsoby fixace konců struny vedou k různým druhům vibrací struny. To po kvantování vykládáme jako projevy různých částic. Z tohoto důvodu je velmi zajímavé prozkoumat, jak se při dualitě okrajové podmínky transformují. Cílem mé práce bylo, seznámit se s problematikou σ-modelů a pokud možno co nejlépe porozumět Poisson-Lie T-pluralitě jako prostředku pro transformaci řešení jednoho modelu na řešení modelu jiného. Dále pak prozkoumat, jak se při této transformaci mění okrajové podmínky kladené na řešení, a nabyté znalosti aplikovat na konkrétní σ-model, jehož řešení je známo. Celá práce nevybočuje z rámce klasické fyziky. Pro úplný kvantový popis otevřené struny by bylo potřeba zkoumat množství dalších podmínek, které by uvažovaný σ-model měl splňovat. 3

5 První kapitola obsahuje shrnutí teoretického podkladu celé práce. Připomíná základní pojmy tématu: co je to σ-model, Drinfeldův double, Maninova trojice, původní myšlenku Poisson-Lie T-duality, její zobecnění na Poisson-Lie T-pluralitu a obecný postup jak T-plurální transformaci provést. Okrajové podmínky pro řešení pohybových rovnic σ-modelu jsou zde formulovány pomocí lepící matice, jejíž transformace je pak nalezena využitím vlastností pravoinvariantních polí. Ve druhé kapitole jsou popsány konkrétní výpočty a výsledky pro σ-modely žijící na Drinfeldově doublu rozloženém do Maninových trojic (4 1 a ( Nejprve budou zrekapitulovány některé výsledky práce [4], v níž bylo nalezeno řešení zmiňovaných σ-modelů. Následně zvolíme konkrétní podobu okrajových podmínek ve tvaru lepící matice. Po vyjádření v patřičných souřadnicích provedeme její Poisson-Lie T-plurální transformaci. Výsledná matice bude záviset na určité sadě souřadnic, tedy na řešení σ-modelu. Dosazením známého řešení bude pak názorně demonstrováno, v jakém smyslu jsou okrajové podmínky pro uvažované modely ekvivalentní. Třetí kapitola osahuje shrnutí práce a diskusi výsledků. 4

6 Kapitola 1 Teorie Nyní přejdeme k samotné problematice σ-modelů. Připomeneme základní pojmy a zformulujeme teoretický podklad celé práce. 1.1 Sigma modely Začneme formulací σ-modelu relevantního pro naše potřeby. Klasický nelineární dvoudimenzionální σ-model je zobrazení φ : Σ M, φ C z diferencovatelné variety Σ = R 2 s Minkowského metrikou do diferencovatelné variety M, která je d-dimenzionální a je na ní zadán kovariantní tenzor druhého řádu F. Varieta Σ odpovídá světoploše struny a takovýto model je možno použít k popisu bozonové struny. Na Σ si místo tradičních parametrů τ, σ, v nichž má metrika diagonální tvar, zavedeme souřadnice světelného kužele x ± = 1 (τ ± σ 2 Dynamiku systému popíšeme pomocí akce S F (φ = d 2 x φ µ F µν (φ + φ ν (1.1 Σ kde F je kovariantní tenzorové pole druhého řádu a φ µ : R 2 R, µ = 1...dim M vznikne složením zobrazení φ a složek souřadnicové mapy na okolí U φ bodu φ(x +, x M. Pohybové rovnice modelu získáme pomocí variačního principu ve tvaru + φ µ + Γ µ νλ φ ν + φ λ = 0 (1.2 kde Γ µ νλ = 1 2 Gµρ (F ρλ,ν + F νρ,λ F νλ,ρ, G µν je symetrická část F µν a G µν její inverze. G pak považujeme za metriku na M. Pomocí antisymetrické části F B µν = 1 2 (F µν F νµ 5

7 definujeme tenzor torze H µνλ H µνλ = B νλ,µ + B λµ,ν + B µν,λ Je-li torze odpovídající tenzorovému poli F rovna nule, platí Γ µ νλ = 1 2 Gµρ (F ρλ,ν + F νρ,λ F νλ,ρ = 1 2 Gµρ (G ρλ,ν + G νρ,λ G νλ,ρ (1.3 Při nulové torzi je tedy pro řešení pohybových rovnic rozhodující pouze tvar G. Pohybové rovnice mohou být pro neplochou metriku komplikované a obtížně řešitelné. Pokusíme se proto jejich řešení převést na řešení rovnic s jinou metrikou. Předpokládejme, že na cílové varietě působí svou akcí nějaká Lieova grupa G. Pokud akce G je volná a tranzitivní, můžeme ztotožnit varietu M a grupu G. V dalším budeme uvažovat pouze tento případ a budeme hovořit o atomární dualitě. Pokud akce není tranzitivní, je nutno do úvah zahrnout tzv. přihlížející proměnné, které číslují jednotlivé orbity a duální transformace se neúčastní, viz [1] a [2]. Na Lieově grupě lze tenzorové pole F vyjádřit pomocí nedegenerované bilineární formy F (g na Lieově algebře g a pravoinvariantních Maurer- Cartanových forem (dgg 1 jako F µν (g = e a µ(gf ab (ge b ν(g kde e a µ(g jsou komponenty (dgg 1. Zvolíme bázi g jako T a a definujeme R a ±(g ( ± gg 1 a = ± φ µ e a µ(g ( ± gg 1 = ( ± gg 1 a T a (1.4 Při vynechání indexů budou mít předchozí vztahy tvar (použijeme T transpozici a tečku pro maticové násobení pro F(g = e(g F (g e T (g (1.5 R ± (g T = ± φ e(g T (1.6 a akci (1.1 lze přepsat do tvaru S F (g = d 2 xr (g F (g R+(g T ( Poisson-Lie T-dualita Σ Pokusíme se nyní představit ideu Poisson-Lie T-duality tak, jak byla formulována v [1]. 6

8 Působí-li na varietě M svou akcí grupa G, vznikají jedna-formy Noetherovských proudů J a. Pokud J a splní Maurer-Cartanovu podmínku dj a = 1 2 cbc a J b J c (1.8 kde c bc a jsou strukturní konstanty Lieovy algebry g příslušející Lieově grupě G, pak existují (alespoň lokálně zobrazení g(x +, x z Σ do G taková, že J a = d g g 1 a řešení σ-modelu na grupě G můžeme považovat za plochu ve varietě D, která obsahuje G, G a pro kterou platí g(x +, x g(x +, x = l(x +, x D Podmínku (1.8 lze formulovat jako podmínku pro lagrangián σ-modelu L vi (F µν = F µκ v κ j c jk i v λ kf λν (1.9 kde v i tvoří bázi levoinvariantních polí a v κ j jsou jejich komponenty. Podmínka (1.9 se nazývá Poisson-Lieova a je-li spněna, říkáme, že tenzor F je G- Poisson-Lie symetrický vůči G, resp. že má zobecněné izometrie. Pro Lieovu derivaci platí L [vi,v j ] = [L vi, L vj ], z čehož plyne, že strukturní konstanty algeber g a g musí vyhovět podmínce c ac k c l fa c al k c c fa c ac f c l ka + c al f c c ka c lc a c a fk = 0 (1.10 K (1.9 lze napsat podmínku duální Lṽi( F µν = F µκ ṽ j κc i jkṽ k λ F λν (1.11 kde role obou grup jsou zaměněny a F je tenzor definující σ-model na grupě G. V praxi je velmi obtížné najít pro zadaný model algebry g a g, které splňují (1.9, 1.10, Lze ovšem pro zadané algebry vzájemně duální σ-modely zkonstruovat. Velmi elegantní způsob jak vyřešit (1.9, 1.10, 1.11 byl představen v [1] a podrobně rozpracován v [2]. Zcela zásadní roli zde hraje Drinfeldův double. Drinfeldův double je souvislá Lieova grupa D, jejíž Lieova algebra d, vybavená bilineární symetrickou ad-invariantní nedegenerovanou formou.,., se dá rozložit na dvojici podalgeber g a g, které jsou jako vektorové prostory maximálně izotropní vůči.,. a d je jejich direktním součtem. Maninovou trojicí rozumíme uspořádanou trojici algeber (d, g, g. Dimenze podalgeber musí být shodné a v každé z nich lze zvolit bázi T a g, T a g tak, že T a, T b = 0 = T a, T b T a, T b = δ b a (1.12 7

9 Díky ad-invarianci.,. strukturní konstanty podalgeber plně určují celou algebru d [T a, T b ] = c c abt c [ T a, T b ] = c ab c T c [T a, T b ] = c b ca T c + c bc a T c (1.13 Prvky l D doublu lze (alespoň na nějakém okolí jednotkového prvku e rozložit dvěma způsoby na l(x +, x = g(x +, x g(x +, x = h(x +, x h(x +, x (1.14 kde g, h G, g, h G. Zkonstruujme nyní na Drinfeldově doublu σ-modely, viz [1]. Uvažujme n-dimenzionální podprostor E + Lieovy algebry d, který vznikne jako graf lineárního zobrazení E : g g zadaného konstantní maticí E ab. Označíme E ortogonální doplněk E + vůči.,.. Ve [2] je ukázáno, že tyto prostory plně určují dvojici duálních σ-modelů. Podprostor E + T e D lze roznést pomocí adjungované reprezentace grupy na celou G a získat tak v každém g G graf zobrazení E(g : g g a tedy i matici E ab (g. Konkrétně g 1 E + g = Span g 1 (T a + E ab T b g = = Span [(a(g i a + E aj b(g ji T i + E aj d(g j i T i ] (1.15 kde a, b, d jsou submatice adjungované reprezentace grupy G na d v bázi T a, T a Ad(g 1 T a = a(g i at i Ad(g 1 T a = b(g ai T i + d(g a T i i (1.16 ( a(g 0 Ad(g 1 T = (1.17 b(g d(g Transpozice Ad je zde proto, že zobrazujeme bázové vektory a výsledek opět vyjadřujeme v bázových vektorech. a(g i a, b(g ai, d(g a i jsou nyní pouhá čísla. Z (1.15 vyjádříme (při vynechání indexů E(g = (a(g + E b(g 1 E d(g (1.18 Pokud nyní matici (1.18 dosadíme do vztahu analogického (1.5, kde ovšem místo pravoinvariantních vielbeinů e použijeme levoinvariantní L e, dostaneme tenzorové pole F, L kterým můžeme zadat σ-model na grupě G a které splňuje Poisson-Lieovu podmínku (1.9 se strukturními konstantami algebry g. Analogicky lze zkonstruovat matici Ẽ(g a tenzorové pole L F, které bude splňovat (1.11, pouze nahradíme adjungovanou reprezentaci G reprezentací 8

10 G. Vzájemně duální modely dostaneme tak, že budeme po doublu roznášet stejný podprostor E +, což nastane, když Ẽ = E 1. Stále ještě není zřejmé, proč a v jakém smyslu by takto zkonstruované modely měly být vzájemně duální. Jak již bylo řečeno, prvky Drinfeldova doublu l(x +, x lze rozložit na l(x +, x = g(x +, x g(x +, x. Podmínky pro to, aby l(x +, x bylo možno dostat pomocí zdvihu řešení g(x +, x modelu na grupě G do D, jsou podle [1] To je ekvivalentní následujícím rovnicím + ll 1 E ll 1 E + (1.19 ± ll 1, E ± = 0 (1.20 Rozložíme l jako l = g g, dosadíme a využijeme ad-invariance.,. ± (g g(g g 1, E ± = ± gg 1 + g ± g g 1 g 1, E ± = Podprostor g 1 E + g lze zapsat jako = g 1 ± g + ± g g 1, g 1 E ± g (1.21 g 1 E + g = Span (T a + E ab (g T b (1.22 E je ortogonálním doplňkem E +, zapíšeme jej tedy ve tvaru E = Span (T a E ba T b a proto g 1 E g = Span (T a E ba (g T b (1.23 Dosazením (1.22 a (1.23 do (1.21 a využitím (1.12 dospějeme k sadě rovnic ( + g g 1 a = (g 1 + g b E ab (g A +,a (g (1.24 ( g g 1 a = (g 1 g b E ba (g A,a (g (1.25 Z těchto rovnic lze vyloučit g a dospět tak k soustavě rovnic kde c bc a + A,a (g A +,a (g c bc a A,b (ga +,c (g = 0 (1.26 jsou strukturní konstanty g. Podle [2] se dá ověřit, že (1.26 jsou pohybové rovnice σ-modelu s lagrangiánem zadaným tenzorovým polem F, L které jsme zkonstruovali výše. Celý postup lze znovu zopakovat, rozložíme-li prvek Drinfeldova doublu na l(x +, x = h(x +, x h(x +, x. Získáme tak pohybové rovnice modelu zadaného tenzorovým polem L F. Poisson-Lie T-dualita tedy plyne z možnosti rozložit prvky doublu D dvěma možnými způsoby 9

11 (1.14, kde g a h jsou řešení duálních modelů, g a h jsou pomocná zobrazení umožňující zdvih z G, G do D. Předchozí vztahy byly v [1],[2] odvozeny za použití levoinvariantních Maurer-Cartanových forem (g 1 ± g. Označíme-li podobně jako v (1.4 L a ±(g (g 1 ± g a = ± φ µ bude tenzorové pole zadávající zkonstruovaný model a výrazy (1.24, 1.25 dostanou tvar L e a µ (g (g 1 ± g = (g 1 ± g a T a (1.27 L F (g = e L L (g E(g e T (g (1.28 R + ( g = L + (g E T (g (1.29 R ( g = L (g E(g (1.30 Celý formalismus je možno vyjádřit též v termínech pravoinvariantních polí. Jelikož platí L e (g = e(g a(g (1.31 kde e(g je určeno (1.4, platí také L ± (g = R ± (g a(g (1.32 Chceme-li dostat stejný lagrangián pomocí levo i pravoinvariantních polí, je nutno upravit matici E(g L F= e L L (g E(g e T (g = e(g a(g E(g a(g T e(g T! = e(g F (g e T (g Při následující úpravě použijeme d(g = a T (g, kde a T značí (a 1 T. F (g = a(g E(g a(g T = a(g (a(g + E b(g 1 E d(g a(g T = = a(g [E (E 1 + b(g a(g 1 a(g] 1 E = (E 1 + b(g a(g 1 1 Upravíme rovnice (1.29, 1.30 za pomocí (1.32 a předchozího vztahu. Dále už budeme používat pouze pravoinvariantní pole, takže budeme psát F (g = (E 1 + b(g a(g 1 1 (1.33 R + ( g = R + (g F T (g a T (g (1.34 R ( g = R (g F (g a T (g (

12 1.3 Poisson-Lie T-pluralita Jak bylo v [1] zmíněno, některé Drinfeldovy doubly mohou být rozložitelné více způsoby na různé direktní součty maximálně izotropních podprostorů, přičemž tyto rozklady jsou vzájemně izomorfní. To znamená, že pro každý rozklad existuje matice, která udává vztah mezi bázovými vektory jednotlivých podalgeber. Prvky doublu pak lze rozložit několika způsoby l(x +, x = g(x +, x g(x +, x = ĥ(x +, x h(x +, x (1.36 kde g G, g G, ĥ Ĥ, h H a G, G, Ĥ, H jsou grupy příslušné algebrám g, g, ĥ, h, pro které platí d = g g = ĥ h. Tomuto jevu říkáme Poisson-Lie T-pluralita. Mějme matici C, která zobrazuje duální báze (ve smyslu (1.12 jednoho rozkladu na duální báze druhého rozkladu ( ( ( P Q = (1.37 T T R S ÛŪ T a g, T a g, Ûa ĥ, Ū a h. Potom byla v [3] vypracována metoda, pomocí které lze k modelu danému tenzorovým polem F zkonstruovaným podle (1.33, 1.5 najít model T-plurální. Konstrukce je podobná konstrukci duálního modelu, s tím rozdílem, že v F = (Ẽ 1 + b( g ã( g 1 1 nahradíme Ẽ = E 1 maticí Ê = M N 1 (1.38 kde M = S T E Q T (1.39 N = P T R T E (1.40 a b( g, a( g nahradíme submaticemi adjungované reprezentace Ĥ, takže ˆF (ĥ = (Ê 1 + ˆb(ĥ â(ĥ 1 1 (1.41 Vzájemný vztah řešení σ-modelů zkonstruovaných na G, Ĥ lze obdržet z rozkladu (1.36. Různé rozklady doublu jsou dány vztahem mezi bazickými vektory (1.37. Pro volbu P = 0, Q = δa, b R = δa, b S = 0 dostáváme modely duální. 1.4 Řešení σ-modelu Pohybové rovnice (1.2 modelu s neplochou metrikou jsou velmi obtížně řešitelné. Jejich řešení však lze obejít. Popíšeme ve stručnosti obecný postup, který byl použit v [4]. 11

13 Máme-li σ-model na podgrupě Ĥ Drinfeldova doublu D rozloženého do Maninovy trojice (Ĥ H a tento model má neplochou metriku, je možné v některých případech najít rozklad doublu (G G takový, že model na G má metriku plochou. Má-li tento model zároveň i nulovou torzi, umíme ho vyřešit. O ploché metrice hovoříme tehdy, jsou-li všechny složky Riemannova tenzoru nulové. Pro takovou metriku lze nalézt transformaci souřadnic, která ji převede na triviálně plochou, kdy má tvar Minkowského metriky. Pro řešení pohybových rovnic však postačí najít souřadnice, v nichž je metrika zadána libovolnou konstantní maticí. Podle (1.3 totiž v těchto souřadnicích pohybové rovnice dostanou jednoduchý tvar + ξ µ = 0 (1.42 Obecným řešením těchto rovnic je (pro přehlednost v komplikovanějších výrazech píšeme indexy dole ξ µ = W µ (x + + Y µ (x (1.43 kde W µ (x +, Y µ (x jsou libovolné funkce jedné proměnné. σ-model na ploché varietě je tím vyřešen. Způsob, jakým lze najít transformaci, která převede metriku do souřadnic ξ, je uveden v [5]. Pro nalezení řešení původního modelu s neplochou metrikou nyní využijeme připraveného aparátu Poisson-Lie T-plurality. Pokud se nám povede provést záměnu rozkladů prvků doublu, dostaneme řešení pohybových rovnic plurálního modelu. Abychom mohli přejít od jednoho rozkladu (1.36 k druhému, je nutné znát tvar všech souřadnic na doublu, tedy i pomocných zobrazení. To znamená vyřešit soustavu parciálních diferenciálních rovnic (1.34, Zkoumáme-li řešitelné grupy, můžeme jejich elementy vyjadřovat jako součin prvků jednoparametrických podgrup. Ty pak vyjadřujeme pomocí exponenciálního zobrazení bazických vektorů příslušné algebry. Mějme prvky doublu rozložené jako v (1.36. Konkrétně prvek 6-ti dimenzionálního Drinfeldova doublu rozložený na součin jednoparametrických podgrup zapíšeme jako ve [4] (pro účely výpočtu zde byl druhý rozklad vyjádřen v nestandardní parametrizaci e φ1 T 1 e φ2 T 2 e φ3 T 3 e g 1 T 1 e g 2 T 2 e g 3 T 3 = e χ3û 3 e χ2û 2 e χ1û 1 e h 3 Ū 3 e h 2 Ū 2 e h 1 Ū 1 (1.44 kde T a g, T a g, Ûa ĥ, Ū a h jsou vektory bazí, (φ µ, g i jsou souřadnice na doublu rozloženém do Maninovy trojice (G G a (χ µ, h i souřadnice na (Ĥ H. Nyní je možno z (1.37 dosadit do (1.44 za T, T a pokusit se prvek rozložený do parametrizace (G G přepsat do parametrizace (Ĥ H. 12

14 Tento proces může být velmi komplikovaný. Pokud ale pro bázové vektory algebry platí podmínka záměnnosti [X, [X, Y ]] = [Y, [X, Y ]] = 0 lze využít speciálního tvaru Baker-Campbell-Hausdorffovy formule a dospět tak k vyjádření prvku doublu e X e Y = e X+Y e 1 2 [X,Y ] (1.45 e X e Y = e Y e X e [X,Y ] (1.46 l = e χ3 (φ µ, g i Û3 e χ2 (φ µ, g i Û2 e χ1 (φ µ, g i Û1 e h 3 (φ µ, g i Ū 3 e h 2 (φ µ, g i Ū 2 e h 1 (φ µ, g i Ū 1 (1.47 a tedy i k následující závislosti souřadnic χ µ = χ µ (φ µ, g i (1.48 h i = h i (φ µ, g i Vyjádříme-li nyní řešení modelu s plochým pozadím (1.43 a řešení soustavy (1.34, 1.35 v patřičných souřadnicích a dosadíme do (1.48, dostaneme hledané řešení plurálního modelu s neplochou metrikou, které bude záviset na funkcích W µ (x +, Y µ (x. Je na místě zmínit, že ani jeden z kroků popsaného postupu není vůbec triviální. I když nalezneme rozklad doublu, kde je metrika plochá, (1.34, 1.35 mohou být tak komplikované, že je nebudeme schopni vyřešit. Mimo to, možnost použití BCH-formule závisí na splnění podmínky záměnnosti a zvolené parametrizaci. Nelze-li formuli použít, nevíme jak postupovat. 1.5 Okrajové podmínky Okrajové podmínky pro konce otevřené bozonové struny uvádíme jako podmínky pro derivace zobrazení φ : Σ M vyjadřujícího vývoj struny. V minulé kapitole jsme pro σ-model našli řešení, které obsahovalo blíže neurčené funkce W µ (x +, Y µ (x. Tyto funkce volíme tak, abychom vyhověli okrajovým podmínkám. Podmínka pevného konce - Dirichletova podmínka - říká, že konec struny je vázán na nějakou podvarietu M, nazývanou Dp-brána. Dimenze Dp-brány je určena počtem Dirichletových směrů, tzn. složek zobrazení φ na které Dirichletovu podmínku uplatníme. Označíme jako ψ µ takzvané adaptované souřadnice. To jsou souřadnice cílové variety takové, že část jich směřuje 13

15 v Dirichletových směrech kolmých na Dp-bránu, zbytek míří v tzv. Neumannových směrech tečných k Dp-bráně. V těchto souřadnicích má Dirichletova podmínka tvar τ ψ µ σ=0,π = 0 Dirichletova podmínka (1.49 Podmínka pro volné konce udává, ve kterých směrech se konec struny může volně pohybovat, což odpovídá Neumannovým směrům. Jedná se o zobecnění Neumannových okrajových podmínek σ ψ µ σ=0,π = 0 Neumannova podmínka (1.50 nicméně ve statické kalibraci struny je to totéž. Zavedeme na Σ souřadnice světelného kužele x ± = 1 (τ ± σ. Pak budou mít uvedené rovnosti tvar 2 ψ µ σ=0,π = + ψ µ σ=0,π Dirichletova podmínka (1.51 ψ µ σ=0,π = + ψ µ σ=0,π podmínka volných konců (1.52 Zobecněním předchozího na libovolné souřadnice je formulace okrajových podmínek pomocí tzv. lepící matice R ( gluing matrix, viz [6]. ψ µ σ=0,π = + ψ ν R µ ν[ψ] σ=0,π (1.53 Lepící matice vyjadřuje veškeré informace o okrajových podmínkách. Geometrická násobnost vlastního čísla 1 vyjadřuje počet Dirichletových směrů, čímž určuje i dimenzi Dp-brány. Konktrétní tvar R pak vypovídá o tom, jak je brána vložena do cílové variety. V souřadnicích adaptovaných na Dp-bránu má lepící matice tvar ( R j R ψ = i 0 0 δk l i, j = 1,..., p + 1; k, l = p + 2,..., dimm Zřejmě ne každá matice může být lepící maticí a v [6] je uvedena řada podmínek, které musí R splnit, aby zadávala přípustné okrajové podmínky a Dp-brána byla dobře definovanou varietou. Nás bude v této práci zajímat pouze to, jak se při Poisson-Lie T-pluralitě transformují podmínky na funkce W µ (x +, Y µ (x. Submatici R j i zastupující v R Neumannovy směry, budeme volit δ j i, což je podle [6] pro modely, jimiž se v našem výpočtu zabýváme, možné. Navíc ověříme pouze zachování podmínky konformní symetrie R G R T = G (

16 kde G je metrika σ-modelu. Platnost (1.54 byla v [6] prokázána pro dualitu obecně. Připomeňme, že R je podle (1.53 smíšený tenzor druhého řádu a jako takový se chová při transformaci souřadnic na varietě. Uvádět závislost R na souřadnicích je poněkud zavádějící. Proto budeme raději uvádět souřadnice, ve kterých R působí, a to bud dolním indexem, nebo hranatými závorkami. Najdeme ted vztah pro transformaci lepící matice při Poisson-Lie T- pluralitě. R nejprve převedeme do souřadnic, které máme zavedeny na grupě příslušející prvnímu modelu R κ ι [φ] = ψν φ ι Rµ ν[ψ] φκ ψ µ R φ = J(φ T R ψ J(φ T (1.55 kde J(φ = φ je Jacobiho matice transformace souřadnic ψ φ. ψ Nyní můžeme zapsat R jako operátor působící na algebře pravoinvariantních polí. Z dřívějška máme R±(g a = ± φ µ e a µ(g, takže (1.53 zapíšeme jako R (g a = R+(gR b b a R a b = (e 1 ν b (gr µ ν[φ]e a µ(g což při vynechání indexů dá okrajové podmínky a lepící matici Podmínka konformní symetrie dostane tvar R (g = R + (g R (1.56 R = e 1 (g R φ e(g (1.57 R G R T = G (1.58 kde G = 1 2 (F + F T, F viz (1.33. Dalším krokem je nalezení formule pro transformaci pravoinvariantních polí R ± (g. Zkoumejme proto pravoinvariantní pole ( + ll 1 na Drinfeldově doublu. ( + ll 1 = ( + (g g(g g 1 = + gg 1 + g( + g g 1 g 1 = = + φ µ e a µ(gt a + + g i ẽ i a( gg T a g 1 = R + (g T + R ( + ( g b T (g T +a T (g T kde jsme při úpravě použili (1.4 a toho, že pro submatice adjungované reprezentace platí a(g 1 = a 1 (g, b(g 1 = b T (g. V úpravě výrazu pokračujeme dosazením za R + ( g z (1.34 ( + ll 1 = R + (g T R ( + ( g F T (g a T (g b T (g T + T 15

17 Úpravou (1.33 dostaneme a T (g b T (g = F T (g E T, což dosadíme do předchozího výrazu a máme ( ( + ll 1 = R + (g F T (g E T T T (1.59 Zcela analogicky získáme ( + ll 1 = ( + (ĥ h(ĥ h 1 = ˆR + (ĥ ˆF (Ê T T (ĥ Û Ū (1.60 Nyní dosadíme (1.37 do (1.59 a využijeme toho, že výrazy (1.59, 1.60 se musí rovnat ( R + (g F T (g (E T P R Û+(E T Q S Ū = ˆR + (ĥ ˆF (ĥ ( T ˆF T Û Ū Porovnáním koeficientů u bazických vektorů transformaci pravoinvariantních polí Ū získáme hledaný vztah pro ˆR + (ĥ = R +(g F T (g (S E T Q ˆF T (ĥ (1.61 Celý postup lze zopakovat pro R (g a dostat tak ˆR (ĥ = R (g F (g (S + E 1 Q ˆF 1 (ĥ (1.62 Máme už připraveno vše, co potřebujeme pro transformaci matice R. Pro T-plurální model má platit vztah analogický k (1.56 ˆR (ĥ = ˆR + (ĥ ˆR (1.63 Po dosazení (1.61, 1.62 do (1.63 a drobné úpravě získáme kýžený vztah pro transformaci matice R při Poisson-Lie T-pluralitě ˆR = ˆF T (ĥ (S E T Q 1 F T (g R F (g (S + E 1 Q ˆF 1 (ĥ (1.64 Lepící matici ˆRχ získáme z ˆR podle (1.57 jako ˆR χ = ê(ĥ ˆR 1 ê (ĥ (1.65 Tím jsme dokončili teoretickou přípravu. V další kapitole se podíváme na konkrétní příklad a prozkoumáme, jak vypadají transformované matice ˆR χ a podmínky na volné funkce W µ (x +, Y µ (x. 16

18 Kapitola 2 Příklad - Drinfeldův double (4 1 (6 0 2 Přistupme nyní k praktické aplikaci odvozených vztahů. Nejprve uvedeme příklad modelu, který se povedlo vyřešit pomocí Poisson-Lie T-plurality, poté prozkoumáme okrajové podmínky. Jak dále uvidíme, provádět následující výpočty ručně a bez chyb není v lidských silách. Všechny výpočty byly prováděny na počítači v programu Mathematica, což práci usnadnilo vskutku značně. 2.1 Řešení σ-modelu Zrekapitulujme pro začátek výsledky práce [4]. Zde byly zkonstruovány σ- modely na dvou izomorfních rozkladech Drinfeldova doublu D do Maninových trojic (4 1 a (6 0 2, kde čísla v závorkách uvádí, do jaké třídy patří příslušné Lieovy algebry v Bianchiho klasifikaci. Vzájemně T-plurální modely zkonstruujeme na grupách příslušných algebrám Bianchi4 a Bianchi6 0. Při rozkladu prvku doublu do Maninovy trojice (4 1 je pro zápis pomocí jednoparametrických podgrup zvolena standardní parametrizace l = e φ1 T 1 e φ2 T 2 e φ3 T 3 e g 1 T 1 e g 2 T 2 e g 3 T 3 (2.1 Nenulové komutační relace bazických vektorů algeber jsou [T 1, T 2 ] = T 3 T 2 [T 3, T 1 ] = T 3 [T 1, T 2 ] = T 2 [T 1, T 3 ] = T 2 + T 3 [T 2, T 2 ] = T 1 (2.2 [T 2, T 3 ] = T 1 [T 3, T 3 ] = T 1 17

19 kde T a g, T a g. Komutační relace určují submatice adjungované reprezentace grupy G 1 φ 2 φ 2 φ 3 a(g = 0 e φ1 φ 1 e φ1 b(g = 0 ( e φ1 a ve zvolené parametrizaci je pravoinvariantní vielbein e(g roven e(g = 0 e φ1 φ 1 e φ1 ( e φ1 Zvolíme matici E v následujícím tvaru 0 0 κ E = 0 κ 0 (2.5 κ 0 0 a dosadíme do (1.33. Protože b = 0, bude F (g = E (2.6 tenzorové pole F definující σ-model bude podle (1.5 F = 0 κφ 1 e φ1 κe φ1 κφ 1 e φ1 κe 2φ1 0 κe φ1 0 0 (2.7 tenzor F je symetrický a je proto přímo roven metrice G. tenzor torze a Riemannův tenzor vypočítaný z této metriky jsou oba nulové, což ukazuje, že metrika je plochá a tento model umíme vyřešit. Přejdeme-li podle [5] do souřadnic ξ pomocí transformace ξ 1 = e φ1 ξ 2 = φ 2 e φ1 + φ 1 + e φ1 (2.8 ξ 3 = 1 2 e φ1 + φ (φ2 2 e φ1 + φ 1 φ 2 φ 2 + φ 2 e φ1 + φ eφ1 dostane metrika tvar konstantní matice 0 0 κ G(ξ = 0 κ 0 (2.9 κ

20 a řešení pohybových rovnic bude, jak bylo popsáno v kapitole 1.4, ξ µ = W µ (x + + Y µ (x Dosazením tohoto výsledku do transformace inverzní k (2.8 získáme řešení modelu s plochou metrikou v souřadnicích φ, jimiž máme parametrizovánu grupu. Pro přehlednost už nebudeme uvádět explicitně závislost W µ (x +, Y µ (x na proměnných. Bereme je vždy jako funkce jedné příslušné proměnné. Budeme také předpokládat, že W 1 + Y 1 0. φ 1 = ln( W 1 Y 1 φ 2 1 ( = ln( W 1 Y 1 W 1 + Y 1 W 1 Y 1 W 2 Y 2 φ 3 1 ( = ln 2 ( W 1 Y (2.10 2(W 1 + Y 1 +(W 2 + Y 2 2 2W 1 2Y 1 2W 2 2Y 2 2 ln( W 1 Y (W 3 + Y 3 (W 1 + Y 1 Abychom mohli pokračovat a najít řešení modelu spojeného T-pluralitou s modelem vyřešeným, potřebujeme znát i řešení zbývajících souřadnic doublu. Proto je třeba řešit rovnice (1.34, V [4] bylo jejich řešení nalezeno ve tvaru kde g 1 = κ( W 2 + Y 2 + W 3 Y 1 W 1 Y 3 Ω(x +, x + α(x +, x g 2 = κ(ω(x +, x + β(x +, x (2.11 g 3 = κ( W 1 + Y 1 Ω(x +, x = W 1 Y 1 W 1 Y 2 + W 2 Y 1 (2.12 a α(x +, x, β(x +, x jsou libovolné funkce, pro něž platí ( značí derivaci + α(x +, x = W 3W 1 W 2W 1 W 1W 3 + W 1W 2 α(x +, x = Y 3Y 1 + Y 2Y 1 + Y 1Y 3 Y 1Y 2 ( β(x +, x = W 2W 1 W 1W 2 β(x +, x = Y 1Y 2 Y 2Y 1 Rozklad prvků doublu do Maninovy trojice (6 0 2 je určen nestandardní parametrizací l = e χ3û 3 e χ2û 2 e χ1û 1 e h 3 Ū 3 e h 2 Ū 2 e h 1 Ū 1 (

21 a komutačními relacemi bazických vektorů algeber [Û2, Û3] = Û1 [Û3, Û1] = Û2 [Ū 1, Ū 2 ] = Ū 3 [Û1, Ū 2 ] = Ū 3 [Û2, Ū 1 ] = Ū 3 (2.15 [Û3, Ū 1 ] = Û2 + Ū 2 [Û3, Ū 2 ] = Û 1 + Ū 1 Tím máme určeny i matice â(ĥ, ˆb(ĥ, ê(ĥ cosh(χ 3 sinh(χ 3 0 â(ĥ = sinh(χ 3 cosh(χ 3 0 (2.16 χ 2 χ 1 1 χ 3 sinh(χ 3 χ 3 cosh(χ 3 0 ˆb( ĥ = χ 3 cosh(χ 3 χ 3 sinh(χ 3 0 ( cosh(χ 3 sinh(χ 3 0 ê(ĥ = sinh(χ 3 cosh(χ 3 0 ( Matici Ê si nemůžeme volit libovolně. Mezi vektory bazí máme vztah (1.37. Pro náš případ je izomorfismus mezi rozklady doublu realizován maticí ( P Q C = = R S ( Dosazením (2.19 do (1.39, 1.40 spočítáme z (1.38 Ê = 1 κ 1 κ κ 2 1 κ κ 2 1 κ 2 κ 0 2 (2.20 To použijeme společně s (2.16, 2.17 v (1.41, takže dostaneme 1 1 κ ˆF + (ĥ = κ κ 2 χ3 ˆF = 1 κ 1 κ κ 2 χ3 κ 2 χ3 κ 2 + χ3 κ(χ 3 2 (2.21 Model T-plurální k předchozímu tedy bude podle (1.5 definován tenzorem 1 κ e2χ3 1 1 κ e2χ3 2 κe χ3 + χ 3 e χ3 1 κ e2χ3 1 κ e2χ3 1 2 κe χ3 χ 3 e χ3 1 2 κe χ3 χ 3 e χ3 1 2 κe χ3 + χ 3 e χ3 κ(χ (2.22

22 Metrika Ĝ odvozená z ˆF již není plochá. Ĝ = 1 κ e2χ3 1 1 κ e2χ3 2 κe χ κ e2χ3 κ e2χ3 2 κe χ3 1 2 κe χ3 1 2 κe χ3 κ(χ 3 2 (2.23 Známe už řešení všech souřadnic na doublu rozloženém do (4 1. Abychom nalezli řešení zakřiveného modelu na (6 0 2 musíme nalézt transformaci souřadnic, která realizuje přechod od rozkladu (2.1 k (2.14. V [4] se povedlo tuto transformaci nalézt pomocí Baker-Campbell-Hausdorffovy formule. χ 1 = φ g 2 χ 2 = φ g 2 χ 3 = φ 1 (2.24 h 1 = φ g 3 h 2 = φ g 3 h 3 = g 1 g 2 φ (φ g 3φ ( g 3 2 Dosazením (2.10, 2.11 do (2.24 dostaneme řešení pohybových rovnic modelu zadaného (2.22. χ 1 = 1 ( ln 2 ( W 1 Y (W 1 + Y 1 +(W 2 + Y 2 2 2W 1 2Y 1 2W 2 2Y 2 2 ln( W 1 Y (W 3 + Y 3 (W 1 + Y κ(ω(x +, x + β(x +, x χ 2 1 ( = ln 2 ( W 1 Y (2.25 2(W 1 + Y 1 +(W 2 + Y 2 2 2W 1 2Y 1 2W 2 2Y 2 2 ln( W 1 Y (W 3 + Y 3 (W 1 + Y κ(ω(x +, x + β(x +, x χ 3 = ln( W 1 Y 1 kde funkce β, Ω splňují (2.12, Oba σ-modely jsou tím vyřešeny a můžeme přistoupit ke studiu okrajových podmínek. 21

23 2.2 Transformace okrajových podmínek V následující kapitole uvedeme konkrétní příklady Dp-bran a jejich transformací. Jako adaptované souřadnice pro Dp-bránu zvolíme souřadnice ψ, v nichž má metrika plochého modelu diagonální tvar G(ψ = κ κ κ (2.26 Transformace souřadnic, která metriku do tohoto tvaru převede, je ξ 1 = 1 2 (ψ 1 + ψ 3 ξ 2 = ψ 2 (2.27 ξ 3 = 1 2 ( ψ 1 + ψ 3 Řešení modelu na plochém pozadí má v souřadnících ψ tvar ψ 1 = 1 2 (W 1 + Y 1 W 3 Y 3 ψ 2 = W 2 + Y 2 (2.28 ψ 3 = 1 2 (W 1 + Y 1 + W 3 + Y 3 Souřadnice ψ jsme pro formulaci Dp-bran a lepící matice zvolili proto, že tak máme kontrolu nad tím, ve kterém směru volíme Dirichletovy směry. Kupříkladu uplatňovat podmínku pevného konce na souřadnici, která reprezentuje tok souřadnicového času, je sice matematicky přípustné, postrádá to však fyzikální význam. Lepící matice v souřadnicích ψ budou podle [6] diagonální a Dp-brány jsou podvariety určené zafixováním těch souřadnic, na které klademe Dirichletovy podmínky D2 -brána D2 -brána v našem případě znamená, že na všechny souřadnice jsou kladeny podmínky volných konců a konce struny se volně pohybují v prostoru ( spacefilling brane. Lepící matice v adaptovaných souřadnicích má tvar matice jednotkového operátoru a stejně tak je tomu podle (1.55 i v souřadnicích ξ, φ i po přepsání R jako operátoru na algebře (1.57. R ψ = R ξ = R φ = = R (2.29

24 Podmínka konformní symetrie (1.54 i (1.58 je splněna triviálně a rovnost (1.53 nám dává okrajové podmínky pro volné funkce v řešení plochého modelu W µ(x + σ=0,π = Y µ(x σ=0,π (2.30 Již máme připraveno vše potřebné pro nalezení T-plurální lepící matice. Dosazením (2.5, 2.6, 2.19, 2.21, 2.29 do (1.64 dostaneme matici ˆR a z ní i ˆR ˆR χ = ˆR = ( Jednoduchý tvar ˆR značně usnadňuje další práci. Podmínku konformní symetrie lze ověřit přímo - dosazením zjistíme, že (1.54 i (1.58 pro Ĝ, Ĝ, ˆR, ˆR platí. Zjistíme nyní, jaké podmínky klade na řešení (2.25 rovnost χ σ=0,π = + χ ˆR σ=0,π (2.32 Spočítáme nejprve derivace složek řešení a nahradíme v nich derivace funkcí β podle ( χ 1 1 ( = ( 1 + ln 2 ( W 2(W 1 + Y Y 1 + 2W 2 + κy Y 2 (κw κW 1 Y 1 ( 1 + W 2 + Y 2 (W 2 + Y 2 (W 2 + κy1 2 + Y 2 W 1 + +(W 1 + Y 1 ((κ(w 1 + Y ( 1 + W 2 + Y 2 W 2 + 2(W 1 + Y 1 W 3 + χ 2 1 ( = ( 1 + ln 2 ( W 2(W 1 + Y Y 1 + 2W 2 κy Y 2 +(2.33 +(κw κW 1 Y 1 ( 1 + W 2 + Y 2 (W 2 + Y 2 (W 2 κy1 2 + Y 2 W 1 + +(W 1 + Y 1 ( (κ(w 1 + Y 1 2 2( 1 + W 2 + Y 2 W 2 + 2(W 1 + Y 1 W 3 + χ 3 = (W 1 + Y 1 χ 1 1 ( = ( 1 + ln 2 ( W 2(W 1 + Y Y 1 + 2W 2 κy Y 2 + +(κw κW 1 Y 1 ( 1 + W 2 + Y 2 (W 2 + Y 2 (W 2 κy1 2 + Y 2 Y 1 + +(W 1 + Y 1 ( (κ(w 1 + Y 1 2 2( 1 + W 2 + Y 2 Y 2 + 2(W 1 + Y 1 Y 3 χ 2 1 ( = ( 1 + ln 2 ( W 2(W 1 + Y Y 1 + 2W 2 + κy Y 2 (2.34 (κw κW 1 Y 1 ( 1 + W 2 + Y 2 (W 2 + Y 2 (W 2 + κy1 2 + Y 2 Y W 1

25 +(W 1 + Y 1 ((κ(w 1 + Y ( 1 + W 2 + Y 2 Y 2 + 2(W 1 + Y 1 Y 3 Y 1 χ 3 = (W 1 + Y 1 Dosazením do (2.32 získáme soustavu rovnic, kde na levé straně figurují složky (2.34, na pravé straně složky (2.33 pouze s prohozením + χ 1 + χ 2. χ 1 σ=0,π = + χ 2 σ=0,π χ 2 σ=0,π = + χ 1 σ=0,π (2.35 χ 3 σ=0,π = + χ 3 σ=0,π Z rovnosti χ 3 σ=0,π = + χ 3 σ=0,π je přímo vidět, že platí W 1(x + σ=0,π = Y 1(x σ=0,π. Dosadíme tedy za W 1 σ=0,π do dalších dvou rovnic. Vyjádřením W 3 σ=0,π z druhé rovnice, dosazením do první a zjednodušením výrazů dostaneme W 2(x + σ=0,π = Y 2(x σ=0,π a nakonec i W 3(x + σ=0,π = Y 3(x σ=0,π. Vidíme tedy, že okrajové podmínky pro volné funkce (2.30 v řešení původního modelu jsou shodné s podmínkami pro řešení modelu spojeného s prvním pomocí Poisson-Lie T-plurality. Podstatné je, že jsme v závěrečné fázi nepotřebovali nic víc než jednoduché algebraické úpravy a žádné jiné podmínky na volné funkce tedy nejsou D1 -brána Lepící matici pro D1 -bránu zvolíme ve tvaru R ψ = ( takže D1 -brána je v plochých souřadnicích přímka o konstantní souřadnici ψ 3, po níž se konec struny může volně pohybovat. Podmínka konformní symetrie (1.54 je splněna a rovnost (1.53 nám dává W 1(x + σ=0,π = Y 3(x σ=0,π W 2(x + σ=0,π = Y 2(x σ=0,π (2.37 W 3(x + σ=0,π = Y 1(x σ=0,π V souřadnicích φ už bude lepící matice poměrně komplikovaná. Zapíšeme ji tedy raději po složkách. R 1 1[φ] = 1 2 (1 eφ1 + φ

26 R 2 1[φ] = 1 2 ( 1 + eφ1 φ 2 ( 1 + e 2φ1 + 2φ 2 + (φ 2 2 2e φ1 (1 + φ 2 R 3 1[φ] = 1 4 e φ1( 2e φ1 φ 1 ( 1+e φ1 φ 2 ( 1+e 2φ1 +2φ 2 +(φ 2 2 2e φ1 (1+φ 2 ( 1 + e 2φ1 + 2φ 2 + (φ 2 2 2e φ1 (1 + φ 2 2 R 1 2[φ] = 1 e φ1 ( 1 + φ 1 φ 2 R 2 2[φ] = 1 + ( 1 + e φ1 φ 2 (1 + e φ1 ( 1 + φ 1 + φ 2 R 3 2[φ] = 1 2 e φ1 ( 1 e 3φ1 ( 1 + φ 1 ( 1 + 2φ 1 + φ 2 + 3(φ (φ e 2φ1 (3 + 2( 3 + φ 1 φ 1 (1 + φ 2 + e φ1 ( 1 + φ 1 (1 + 3φ 2 (2 + φ 2 R 1 3[φ] = e φ1 R 2 3[φ] = e φ1 ( 1 + e φ1 φ 2 R 3 3[φ] = 1 2 ( 1 + eφ1 φ 2 (1 + e φ1 ( 1 + 2φ 1 + φ 2 Matice R je sice o něco jednodušší, ale ne o mnoho. Dostaneme ji z (1.57. Dalším krokem je přechod k maticím ˆR, ˆR. Matici ˆR už nebudeme pro její značnou složitost vypisovat. Uvedeme až ˆR, a to spíše proto, aby bylo vidět, že je jednodušší ji spočítat, než správně opsat. R závisí pouze na souřadnicích φ 1, φ 2. Ty si vyjádříme z (2.24 pomocí souřadnic na rozkladu ( φ 1 = χ 3 (2.38 φ 2 = 1 2 ( h 1 h 2 (2.39 R je ted závislá na χ 3, h 1, h 2, dosadíme do (1.64 a z (1.65 získáme ˆR. Tím zde vzniká zajímavá situace. Lepící matice ted závisí nejen na souřadnicích χ modelu se zakřiveným pozadím, ale i na pomocných souřadnicích doublu h. To je dosti matoucí a dosud v žádné z dostupných prací nebylo zjištěno, jaký to má geometrický význam nebo jak se této situaci vyhnout. Kritické místo je transformace souřadnic umožňující přechod mezi rozklady doublu. Pokud by souřadnice φ závisely pouze na χ, tato komplikace nenastane. Pro její značnou složitost vypíšeme ˆR po složkách ˆR 1 1[χ] = 1 ( e χ3 ( κ + e χ3 (2 + 16κ h 1 h 2 + 2e 2χ3 ( 1 + χ 3 (2κ(2 + h 1 h 2 4e 2χ3 (2 + h 1 h 2 ( 1 + χ 3 + 4e 3χ3 ( 1 + 2χ 3 + e χ3 (4 4κ h

27 +2 h 1 ( 2 + h 2 ( 4 + h 2 h 2 + 4κχ 3 ˆR 2 1[χ] = 1 ( 4 4κ 4 h 1 h e χ3 κ(2+ h 1 h 2 +4 h 2 +2 h 1 h2 h κχ κ (8e4χ3 ( 1 + χ 3 ( 1 + 2χ 3 1 κ (eχ3 (2 + h 1 h 2 ( h h 1 ( 2 + h h 2 2 4(1 + κ + h 2 + 4κχ 3 1 κ (4e3χ3 (2 + h 1 h 2 (3 + 2( 3 + χ 3 χ 3 1 κ (2e2χ3 (3 h 2 1( 1 + χ 3 6 h 1 ( 2 + h 2 ( 1 + χ 3 12 h 2 ( 1 + χ h 2 2( 1 + χ 3 + 2( 2 + κ + 2χ 3 (1 κ + κχ 3 ˆR 3 1[χ] = 1 2κ (eχ3 ( κ + e χ3 (2 + h 1 h 2 + 2e 2χ3 ( 1 + χ 3 ˆR 1 2[χ] = 1 ( 4+4κ 4 h 1 h e χ3 κ(2+ h 1 h 2 +4 h 2 +2 h 1 h2 h 2 2 4κχ 3 1 κ (8e4χ3 ( 1+χ 3 ( 1+2χ κ (eχ3 (2+ h 1 h 2 ( 4+4κ+ h h 1 ( 2+ h 2 + +( 4 + h 2 h 2 4κχ κ (4e3χ3 (2 + h 1 h 2 (3 + 2( 3 + χ 3 χ 3 1 κ (2e2χ3 ( 3 h 2 1( 1 + χ h 1 ( 2 + h 2 ( 1 + χ h 2 ( 1 + χ 3 3 h 2 2( 1 + χ 3 + 2(2 + κ 2(1 + κχ 3 + 2κ(χ 3 2 ˆR 2 2[χ] = 1 16κ (e χ3 (κ+e χ3 (2+ h 1 h 2 +2e 2χ3 ( 1+χ 3 ( 2κ(2+ h 1 h 2 4e 2χ3 (2 + h 1 h 2 ( 1 + χ 3 + 4e 3χ3 ( 1 + 2χ 3 e χ3 ( h h 1 ( 2 + h 2 + h 2 2 4(1 + κ + h 2 + 4κχ 3 ˆR 3 2[χ] = 1 2κ (eχ3 ( κ + e χ3 ( 2 h 1 + h 2 2e 2χ3 ( 1 + χ 3 ˆR 1 3[χ] = 1 64 e 2χ3 (2κ(2+ h 1 h 2 4e 2χ3 (2+ h 1 h 2 ( 1+χ 3 +4e 3χ3 ( 1+2χ 3 + +e χ3 (4 4κ h h 1 ( 2+ h 2 ( 4+ h 2 h 2 +4κχ 3 ( 4+4 h 1 + h h 2 2 h 1 h2 + h e χ3 (2 + h 1 h 2 ( 1 + χ 3 + 4e 2χ3 (1 + 2( 1 + χ 3 χ 3 ˆR 2 3[χ] = 1 64 e 2χ3 ( 2κ(2+ h 1 h 2 4e 2χ3 (2+ h 1 h 2 ( 1+χ 3 +4e 3χ3 ( 1+2χ 3 e χ3 ( h h 1 ( 2+ h 2 + h 2 2 4(1+κ+ h 2 +4κχ 3 ( 4+4 h 1 + h h 2 2 h 1 h2 + 26

28 + h e χ3 (2 + h 1 h 2 ( 1 + χ 3 + 4e 2χ3 (1 + 2( 1 + χ 3 χ 3 ˆR 3 3[χ] = 1 8 ((2 + h 1 h e χ3 (2+ h 1 h 2 ( 1+χ 3 +4e 2χ3 (1+2( 1+χ 3 χ 3 Dosazením do (1.54 se přesvědčíme, že podmínka konformní symetrie je zachována. Chceme-li zjistit, jaké okrajové podmínky nám dává ˆR na funkce W µ, Y µ, musíme dosadit za χ 3, h 1, h 2, tedy musíme znát nejen řešení souřadnic na Ĥ, ale i na H. Podle (2.10, 2.11, 2.24 je h 1 = κ 2 ( W 1 + Y 1 + h 2 = κ 2 ( W 1 + Y 1 χ 3 = ln( W 1 Y 1 1 W 1 + Y 1 ( ln( W 1 Y 1 W 1 Y 1 W 2 Y 2 1 W 1 + Y 1 ( ln( W 1 Y 1 W 1 Y 1 W 2 Y 2 ˆR už po tomto dosazení skutečně nemá smysl vypisovat. Je ovšem možno dosadit do (2.32. Pravá strana se překvapivě velice zjednodušší a dostaneme tak soustavu tří rovnic, která je velice podobná soustavě, kterou jsme řešili u D0 -brány. Stejnými algebraickými úpravami ji vyřešíme a získáme vztah mezi funkcemi W µ, Y ν, který je přesně shodný s rovnostmi (2.37. Můžeme tedy konstatovat, že přestože lepící matice ˆR byla velmi komplikovaná a závisela na pomocných souřadnicích doublu, pro což nemáme vysvětlení, okrajové podmínky, které popisuje, jsou shodné s těmi, které popisuje původní R D0 -brána Lepící matici pro D0 -bránu zvolíme ve tvaru R ψ = ( Konec struny je tím fixován do bodu o konstantních souřadnicích ψ 2, ψ 3. Podmínka konformní symetrie (1.54 je splněna a rovnost (1.53 nám dává W 1(x + σ=0,π = Y 3(x σ=0,π W 2(x + σ=0,π = Y 2(x σ=0,π (2.41 W 3(x + σ=0,π = Y 1(x σ=0,π 27

29 Lepící matice ve složkách φ má podle očekávání tvar velmi podobný R, kterou jsme spočítali pro D1 -bránu, a bylo by zbytečné vypisovat ji celou. Uvedeme proto pouze ty složky, které se od předchozího připadu liší. R 2 1[φ] = 1 2 ( 1 + eφ1 φ 2 (3 + e 2φ1 + 2φ 2 + (φ 2 2 2e φ1 (1 + φ 2 R 3 1[φ] = 1 4 e φ1( 2e φ1 φ 1 ( 1 + e φ1 φ 2 (3 + e 2φ1 + 2φ 2 + (φ 2 2 2e φ1 (1 + φ 2 (3 + e 2φ1 + 2φ 2 + (φ 2 2 2e φ1 (1 + φ 2 2 R 2 2[φ] = 1 + ( 1 + e φ1 φ 2 (1 + e φ1 ( 1 + φ 1 + φ 2 R 3 2[φ] = 1 2 e φ1 (3 e 3φ1 ( 1 + φ 1 ( 1 + 2φ 1 + 5φ 2 + 3(φ (φ e 2φ1 (3 + 2( 3 + φ 1 φ 1 (1 + φ 2 + e φ1 ( 1 + φ 1 (5 + 3φ 2 (2 + φ 2 Přechod k maticím plurálním provedeme stejně jako pro oba předchozí případy dosazením do (1.64, ˆR je stejně komplikovaná jako v případě transformace D1 -brány, shodný je však pouze poslední sloupec. Pro úplnost uvedeme složky, které se liší. ˆR 1 1[χ] = 1 ( e χ3 ( κ + e χ3 (2 + 16κ h 1 h 2 + 2e 2χ3 ( 1 + χ 3 (2κ(2 + h 1 h 2 4e 2χ3 (2 + h 1 h 2 ( 1 + χ 3 + 4e 3χ3 ( 1 + 2χ 3 + e χ3 ( 4(3 + κ h h 1 ( 2 + h 2 ( 4 + h 2 h 2 + 4κχ 3 ˆR 2 1[χ] = 1 ( 12 4κ 4 h 1 h e χ3 κ(2+ h 1 h 2 +4 h 2 +2 h 1 h2 h 2 2+4κχ κ (8e4χ3 ( 1 + χ 3 ( 1 + 2χ 3 1 κ (eχ3 (2 + h 1 h 2 ( h h 1 ( 2 + h h 2 2 4( 3 + κ + h 2 + 4κχ 3 1 κ (4e3χ3 (2 + h 1 h 2 (3 + 2( 3 + χ 3 χ 3 1 κ (2e2χ3 (3 h 2 1( 1 + χ 3 6 h 1 ( 2 + h 2 ( 1 + χ 3 12 h 2 ( 1 + χ h 2 2( 1 + χ 3 + 2( 10 + κ + 2χ 3 (5 κ + κχ 3 ˆR 1 2[χ] = 1 ( 2e χ3 κ 2 (2 + 16κ h 1 h 2 + 8e 4χ3 ( 1 + χ 3 ( 1 + 2χ 3 + κ( h h 1 ( 2+ h 2 + h 2 2 4( 3+κ+ h 2 +4κχ 3 4e 3χ3 (2+ h 1 h 2 (3+2( 3+χ 3 χ 3 28

30 e χ3 (2 + h 1 h 2 ( h h 1 ( 2 + h 2 + ( 4 + h 2 h 2 + 4(3 + κ κχ 3 + 2e 2χ3 ( 3 h 2 1( 1 + χ h 1 ( 2 + h 2 ( 1 + χ h 2 ( 1 + χ 3 3 h 2 2( 1 + χ 3 + 2(10 + κ 2(5 + κχ 3 + 2κ(χ 3 2 ˆR 2 2[χ] = 1 ( e χ3 (κ+e χ3 (2+ h 1 h 2 +2e 2χ3 ( 1+χ 3 ( 2κ(2+ h 1 h 2 16κ 4e 2χ3 (2 + h 1 h 2 ( 1 + χ 3 + 4e 3χ3 ( 1 + 2χ 3 e χ3 ( h h 1 ( 2 + h 2 + h 2 2 4( 3 + κ + h 2 + 4κχ 3 ˆR 1 3[χ] = 1 64 e 2χ3 (2κ(2+ h 1 h 2 4e 2χ3 (2+ h 1 h 2 ( 1+χ 3 +4e 3χ3 ( 1+2χ 3 + +e χ3 ( 4(3+κ h h 1 ( 2+ h 2 ( 4+ h 2 h 2 +4κχ 3 (12+4 h 1 + h h 2 2 h 1 h2 + h e χ3 (2 + h 1 h 2 ( 1 + χ 3 + 4e 2χ3 (1 + 2( 1 + χ 3 χ 3 ˆR 2 3[χ] = 1 64 e 2χ3 ( 2κ(2+ h 1 h 2 4e 2χ3 (2+ h 1 h 2 ( 1+χ 3 +4e 3χ3 ( 1+2χ 3 e χ3 ( h h 1 ( 2+ h 2 + h 2 2 4( 3+κ+ h 2 +4κχ 3 (12+4 h 1 + h h 2 2 h 1 h2 + + h e χ3 (2 + h 1 h 2 ( 1 + χ 3 + 4e 2χ3 (1 + 2( 1 + χ 3 χ 3 Podmínka konformní symetrie (1.54 je zachována. Jak vidno, lepící matice opět závisí na souřadnicích χ 3, h 1, h 2. Stejným postupem jako u D1 -brány ověříme, že okrajové podmínky zadané ˆR jsou totožné s ( D(-1 -brána Již bylo řečeno, že z matematického hlediska je přípustné, aby všechny okrajové podmínky byly Dirichletovy. Jediný rozdíl oproti případu D2 -brány leží v opačném znaménku lepící matice a v okrajových podmínkách. Postupy jsou stejné a ve výsledcích lze pouze změnit znaménko. R ψ = R ξ = R φ = = R (2.42 W µ(x + σ=0,π = Y µ(x σ=0,π ( ˆR χ = ˆR = ( Podmínky konformní symetrie se při transformaci zachovávají a stejně tak se nezmění okrajové podmínky. 29

31 Kapitola 3 Závěr Zrekapitulujme nyní, čeho jsme v této práci dosáhli. V první kapitole se nám povedlo najít předpis pro transformaci pravoinvariantních polí při Poisson- Lie T-pluralitě a díky ní jsme nalezli i transformaci lepící matice, pomocí níž popisujeme okrajové podmínky. Při praktickém výpočtu jsme využili toho, že je známo několik příkladů, kdy můžeme najít řešení obou vzájemně plurálních modelů. Na řešení modelů jsme postupně aplikovali okrajové podmínky a nalezli přesný tvar Dp-bran v termínech lepící matice. Při tom jsme bohužel zjistili, že lepící matice se po provedení T-plurální transformace stávají velmi komplikovanými. To by samo o sobě nebyl největší problém. Z konkrétního tvaru výsledných lepících matic je vidět, že závisí nejen na souřadnicích grupy na níž model žije, ale také na souřadnicích grupy duální, tedy na pomocném zobrazení, které realizuje zdvih grupy do doublu. Tento fakt nejsme nyní schopni objasnit. Přesto lze říct, že transformovaná lepící matice popisuje stejné okrajové podmínky jako matice původní. Povedlo se nám totiž na příkladech ukázat, že na volné funkce neurčené pohybovými rovnicemi σ-modelu klade stejné podmínky R i ˆR. Navíc jsme ověřili zachování podmínky konformní symetrie. Poděkování: Rád bych tímto poděkoval všem, kteří mi při mé práci jakkoliv pomohli. Především bych chtěl poděkovat svému školiteli, Prof. RNDr. Ladislavu Hlavatému, DrSc., za trpělivost, mnohé cenné rady a připomínky týkající se dané problematiky. 30

32 Dodatek A Značení Jelikož každý autor používá své vlastní značení a je těžké se v tom orientovat, doplníme pro přehlednost některé výrazy použité v této práci. Operátory na Lieově algebře zapisujeme klasicky E, G, R, tenzorová pole jsou uváděna písmem F, G, R, algebry značíme standardně g, h. S následujícími objekty zacházíme jako se sloupcovými vektory (přestože každá složka je vektor báze T T Û Ū zatímco další jsou řádky φ ± φ L ± (g R ± (g Pozice indexů jsou voleny tak, abychom mohli používat sumační konvenci. Pro grupy G, Ĥ jsou pozice indexů stejné, u grup G, H jsou oproti předchozím dvěma pozice zaměněny. T i T i Û i Ū i R a ±(g L a ±(g ± φ µ V submaticích adjungované reprezentace a značí řádek, i sloupec zatímco ve vielbeinech a(g i a b(g ai d(g a i e a µ µ značí řádek a a sloupec. V následujících maticích vždy index vlevo značí řádek, vpravo sloupec. L e a µ Pro lepící matice F µν F ab G µν G ab E ab R µ ν R a b index nahoře označuje slupec, index dole řádek. 31

33 Literatura [1] C.Klimčík and P.Ševera, Dual non Abelian duality and the Drinfeld double, Phys.Lett. B, 351: , 1995 [hep-th/ ] [2] C.Klimčík, Poisson Lie T duality, Nucl.Phys B (Proc.Suppl., 46: , 1996 [hep-th/ ] [3] R. von Unge, Poisson Lie T plurality, J. High En. Phys. 02:07 ( , [hep-th/ ] [4] J. Hýbl, Klasické řešení sigma modelu v zakřiveném pozadí, Diplomová práce FJFI 2006 [5] L. Hlavatý and M. Turek, J. High En. Phys. 0606, 003 (2006, [hepth/ ] [6] C. Albertsson, R. A. Reid-Edwards, Worldsheet boundary conditions in Poisson Lie T duality, 2006 [hep-th/ ] 32

1 Soustava lineárních rovnic

1 Soustava lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační

Bardziej szczegółowo

Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter

Bardziej szczegółowo

Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze

Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme

Bardziej szczegółowo

Funkce zadané implicitně. 4. března 2019

Funkce zadané implicitně. 4. března 2019 Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f

Bardziej szczegółowo

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování

Bardziej szczegółowo

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text

Bardziej szczegółowo

Matematika 2, vzorová písemka 1

Matematika 2, vzorová písemka 1 Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět

Bardziej szczegółowo

Inverzní Z-transformace

Inverzní Z-transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25

Bardziej szczegółowo

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Kristýna Kuncová. Matematika B3 (10) Vícerozměrný integrál II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 1 / 30 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = x + y a

Bardziej szczegółowo

Edita Pelantová, katedra matematiky / 16

Edita Pelantová, katedra matematiky / 16 Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a

Bardziej szczegółowo

(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35

(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 (1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst

Bardziej szczegółowo

Geometrická nelinearita: úvod

Geometrická nelinearita: úvod Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,

Bardziej szczegółowo

Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.

Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou. Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.

Bardziej szczegółowo

Numerické metody minimalizace

Numerické metody minimalizace Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace

Bardziej szczegółowo

5. a 12. prosince 2018

5. a 12. prosince 2018 Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže

Bardziej szczegółowo

Linea rnı (ne)za vislost

Linea rnı (ne)za vislost [1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,

Bardziej szczegółowo

Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky

Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)

Bardziej szczegółowo

Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se

Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské

Bardziej szczegółowo

Úvodní informace. 18. února 2019

Úvodní informace. 18. února 2019 Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz

Bardziej szczegółowo

GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2

GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2 GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova

Bardziej szczegółowo

Matematika III Stechiometrie stručný

Matematika III Stechiometrie stručný Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup

Bardziej szczegółowo

Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006

Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006 Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce

Bardziej szczegółowo

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19 (6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)

Bardziej szczegółowo

Lineární algebra - iterační metody

Lineární algebra - iterační metody Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je

Bardziej szczegółowo

Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici

Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité

Bardziej szczegółowo

MATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATIKA 3.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce

Bardziej szczegółowo

Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více

Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více 5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme

Bardziej szczegółowo

kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)

kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z

Bardziej szczegółowo

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen

Bardziej szczegółowo

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární

Bardziej szczegółowo

Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β

Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................

Bardziej szczegółowo

Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018

Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018 Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y

Bardziej szczegółowo

DFT. verze:

DFT. verze: Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály

Bardziej szczegółowo

Kristýna Kuncová. Matematika B2

Kristýna Kuncová. Matematika B2 (3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?

Bardziej szczegółowo

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky bakalářská práce vícebodové okrajové úlohy Plzeň, 18 Hana Levá Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala

Bardziej szczegółowo

Teorie plasticity. Varianty teorie plasticity. Pružnoplastická matice tuhosti materiálu

Teorie plasticity. Varianty teorie plasticity. Pružnoplastická matice tuhosti materiálu Teorie plasticity Varianty teorie plasticity Teorie plastického tečení Přehled základních vztahů Pružnoplastická matice tuhosti materiálu 1 Pružnoplastické chování materiálu (1) Pracovní diagram pro případ

Bardziej szczegółowo

podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010

podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010 Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010

Bardziej szczegółowo

Katedra fyziky. Dvourozměrné sigma modely. Two-Dimensional Sigma Models

Katedra fyziky. Dvourozměrné sigma modely. Two-Dimensional Sigma Models ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra fyziky Obor: Matematické inženýrství Zaměření: Matematická fyzika Dvourozměrné sigma modely Two-Dimensional Sigma Models

Bardziej szczegółowo

Tvarová optimalizace pro 3D kontaktní problém

Tvarová optimalizace pro 3D kontaktní problém Tvarová optimalizace pro 3D kontaktní problém s Coulombovým třením Petr Beremlijski, Jaroslav Haslinger, Michal Kočvara, Radek Kučera a Jiří V. Outrata Katedra aplikované matematik Fakulta elektrotechnik

Bardziej szczegółowo

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html

Bardziej szczegółowo

Stochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS

Stochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě

Bardziej szczegółowo

Vybrané kapitoly z matematiky

Vybrané kapitoly z matematiky Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :

Bardziej szczegółowo

Internet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17.

Internet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. Internet a zdroje (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. listopadu 12 26. listopadu 2010 (KFC-INTZ) Databáze, citování 26. listopadu 2010

Bardziej szczegółowo

Kapitola 2. Nelineární rovnice

Kapitola 2. Nelineární rovnice Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné

Bardziej szczegółowo

Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace

Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více

Bardziej szczegółowo

Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!

Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy! Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.

Bardziej szczegółowo

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA AKUTA STAVEBNÍ Stavební statika Pohyblivé zatížení Jiří Brožovský Kancelář: P H 406/3 Telefon: 597 32 32 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast0.vsb.cz/brozovsky

Bardziej szczegółowo

Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice

Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1 Přetvárná

Bardziej szczegółowo

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid

Bardziej szczegółowo

(A B) ij = k. (A) ik (B) jk.

(A B) ij = k. (A) ik (B) jk. Příklady z lineární algebry Michael Krbek 1 Opakování 1.1 Matice, determinanty 1. Je dána matice 1 2 0 M = 3 0 1. 1 0 1 Určete M 2, MM T, M T M a vyjádřete M jako součet symetrické a antisymetrické matice!

Bardziej szczegółowo

Rovnice proudění Slapový model

Rovnice proudění Slapový model do oceánského proudění Obsah 1 2 3 Co způsobuje proudění v oceánech? vyrovnávání rozdílů v teplotě, salinitě, tlaku, ρ = ρ(p, T, S) vítr - wind stress F wind = ρ air C D AU 2 10 slapy produkují silné proudy,

Bardziej szczegółowo

Anna Kratochvílová Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu / 17

Anna Kratochvílová Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu / 17 Parciální diferenciální rovnice ve zpracování obrazu Anna Kratochvílová FJFI ČVUT 10. 6. 2009 Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu 10. 6. 2009 1 / 17 Obsah 1 Motivace 2 Vyšetření pomocí

Bardziej szczegółowo

Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál

Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura

Bardziej szczegółowo

Algebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se

Algebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých

Bardziej szczegółowo

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid

Bardziej szczegółowo

Obsah. Zobrazení na osmistěn. 1 Zobrazení sféry po částech - obecné vlastnosti 2 Zobrazení na pravidelný konvexní mnohostěn

Obsah. Zobrazení na osmistěn. 1 Zobrazení sféry po částech - obecné vlastnosti 2 Zobrazení na pravidelný konvexní mnohostěn Obsah 1 2 3 Použití Zobrazení rozsáhlého území, ale hodnoty zkreslení nesmí přesáhnout určitou hodnotu Rozdělením území na menší části a ty pak zobrazíme zvlášť Nevýhodou jsou však samostatné souřadnicové

Bardziej szczegółowo

Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze

Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální

Bardziej szczegółowo

Teorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.

Teorie.   kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje. 8. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě

Bardziej szczegółowo

David Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky

David Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE David Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky Katedra numerické matematiky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Vladimír Janovský

Bardziej szczegółowo

algebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy

algebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy 1 Úvodem Prezentace předmětu VMP je vytvořena pro nový předmět, který si klade za cíl seznámit studenty se základy lineární algebry a se základy numerické matematiky. Zejména v prvním tématu budeme pracovat

Bardziej szczegółowo

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu   (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného

Bardziej szczegółowo

Matematická analýza 2. Kubr Milan

Matematická analýza 2. Kubr Milan Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................

Bardziej szczegółowo

x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.

x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2. Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5

Bardziej szczegółowo

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU

Bardziej szczegółowo

Internetová matematická olympiáda 8. ročník, Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem:

Internetová matematická olympiáda 8. ročník, Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem: Internetová matematická olympiáda 8. ročník, 24. 11. 2015 1. Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem: Kamarád: Co jsi tak veselý? Něco slavíš? Student FSI: Já přímo ne,

Bardziej szczegółowo

Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzích

Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzích Periodický pohyb obecného ve dvou dimenzích Autor: Šárka Petříčková (A05221, sarpet@students.zcu.cz) Vedoucí: Ing. Petr Nečesal, Ph.D. Matematické metody v aplikovaných vědách a ve vzdělávání, Fakulta

Bardziej szczegółowo

Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018

Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018 Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv

Bardziej szczegółowo

(13) Fourierovy řady

(13) Fourierovy řady (13) Fourierovy řady Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 1 / 22 O sinech a kosinech Lemma (O sinech a kosinech) Pro m, n N 0 : 2π 0 2π 0 2π 0 sin nx dx = sin nx cos mx

Bardziej szczegółowo

Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Bardziej szczegółowo

Sb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek

Sb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.

Bardziej szczegółowo

Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.

Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy. 1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny

Bardziej szczegółowo

(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f

(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na

Bardziej szczegółowo

Automatové modely. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Automatové modely. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Automatové modely Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Stefan

Bardziej szczegółowo

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd. Katedra matematiky. Semestrální práce - matematika a byznys

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd. Katedra matematiky. Semestrální práce - matematika a byznys Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Obor: Matematické inženýrství Optimální výrobní program Semestrální práce - matematika a byznys Vypracovala: Radka Zahradníková

Bardziej szczegółowo

(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25

(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 (2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25

Bardziej szczegółowo

Nekomutativní Gröbnerovy báze

Nekomutativní Gröbnerovy báze Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní

Bardziej szczegółowo

Petr Beremlijski, Marie Sadowská

Petr Beremlijski, Marie Sadowská Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování

Bardziej szczegółowo

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Lukáš Perůtka Hledání optimálních strategií číselného síta Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc.,

Bardziej szczegółowo

Fyzika laserů. Kvantová teorie laseru. 22. dubna Katedra fyzikální elektroniky.

Fyzika laserů. Kvantová teorie laseru. 22. dubna Katedra fyzikální elektroniky. Fyzika laserů Kvantová teorie laseru Kvazidistribuční funkce. Zobecněné uspořádání. Fokkerova-Planckova rovnice. Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz

Bardziej szczegółowo

ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur

ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou

Bardziej szczegółowo

Robotika. Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D.

Robotika. Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D. Robotika Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D., Řízení stacionárních robotů P P z q = f 1 (P) q z Pøímá úloha q U ROBOT q P R q = h(u) P = f (q) DH: Denavit-Hartenberg (4DOF/kloub) A i

Bardziej szczegółowo

Paradoxy geometrické pravděpodobnosti

Paradoxy geometrické pravděpodobnosti Katedra aplikované matematiky 1. června 2009 Úvod Cíle práce : Analýza Bertrandova paradoxu. Tvorba simulačního softwaru. Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 V rovině je zadán kruh

Bardziej szczegółowo

Okrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být

Okrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být Obyčejné diferenciální rovnice 1 Úvod Obyčejnou diferenciální rovnici N-tého řádu f ( x,y,y,y,...,y (N)) = g(x) převádíme na soustavu N diferenciálních rovnic 1. řádu. Provedeme substituce y z 1 y z 2...

Bardziej szczegółowo

1 Předmluva Značení... 3

1 Předmluva Značení... 3 Sbírka příkladů k předmětu Lineární systémy Jan Krejčí, korektura Martin Goubej 07 Obsah Předmluva. Značení..................................... 3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice s konstantními

Bardziej szczegółowo

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Bardziej szczegółowo

ze Speciální teorie relativity

ze Speciální teorie relativity Poznámky ze Speciální teorie relativity Page 1 of 38 Následující text shrnuje a rozšiřuje mé poznámky ze Speciální teorie relativity přednášené v základním kurzu fyziky v zimním semestru 1999/2000 na MFF

Bardziej szczegółowo

Laplaceova transformace

Laplaceova transformace Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17

Bardziej szczegółowo

Univerzita Palackého v Olomouci

Univerzita Palackého v Olomouci Počítačová grafika - 5. cvičení Radek Janoštík Univerzita Palackého v Olomouci 22.10.2018 Radek Janoštík (Univerzita Palackého v Olomouci) Počítačová grafika - 5. cvičení 22.10.2018 1 / 10 Reakce na úkoly

Bardziej szczegółowo

Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Lineární prostor Lineární kombinace Lineární prostory nad R Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 01A-2018: Lineární

Bardziej szczegółowo

Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných

Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T

Bardziej szczegółowo

Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)

Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument) KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A

Bardziej szczegółowo

ČVUT FEL, K October 1, Radek Mařík Ověřování modelů II October 1, / 39

ČVUT FEL, K October 1, Radek Mařík Ověřování modelů II October 1, / 39 Ověřování modelů II Radek Mařík ČVUT FEL, K13132 October 1, 2014 Radek Mařík (marikr@felk.cvut.cz) Ověřování modelů II October 1, 2014 1 / 39 Obsah 1 Temporální logiky LTL logika 2 Jazyk modelů Vlastnosti

Bardziej szczegółowo

Obecná orientace (obvykle. Makroskopická anizotropie ( velmi mnoho kluzných rovin )

Obecná orientace (obvykle. Makroskopická anizotropie ( velmi mnoho kluzných rovin ) Fyzikální zdůvodnění plasticity (1) Změny v krystalické mřížce Schmidtův zákon : τ τ τ max (1) Dosažení napětí τ max vede ke změnám v krystalické mřížce Deformace krystalické mřížky pružná deformace Změny

Bardziej szczegółowo

Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi)

Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Martina Šimůnková 6. června 208 2 Obsah Úvod 7. Co je to funkce.......................... 7.2 Co budeme na funkcích zkoumat................. 9.2.

Bardziej szczegółowo

Jan Kotera. Vlnky a zpracování obrazu

Jan Kotera. Vlnky a zpracování obrazu Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PÁCE Jan Kotera Vlnky a zpracování obrazu Katedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. NDr. Miloš Zahradník, CSc. Studijní

Bardziej szczegółowo

x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].

x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ]. II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.

Bardziej szczegółowo

Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.

Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body. Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:

Bardziej szczegółowo

Co byste měl/a zvládnout po 1. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 1. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 1. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 1. týdnu 1/5 Upozornění Řada z následujících

Bardziej szczegółowo

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita arlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matěj Novotný Operátory skládání na prostorech funkcí atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný

Bardziej szczegółowo

Mendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik

Mendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik INŽNÝRSKÁ MATMATIKA Robert Mařík Mendelova univerzita v Brně marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik ABSTRAKT. Učební text k mým přednáškám z předmětu Inženýrská matematika. Text je poměrně hutný a není

Bardziej szczegółowo