ze Speciální teorie relativity
|
|
- Łucja Pawlak
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Poznámky ze Speciální teorie relativity Page 1 of 38
2 Následující text shrnuje a rozšiřuje mé poznámky ze Speciální teorie relativity přednášené v základním kurzu fyziky v zimním semestru 1999/2000 na MFF UK. Nečiním si nároky na úplnost a bezchybnost textu (i když alespoň o tu se snažím), doufám jen, že materiál by mohl být užitečný studentům, kteří se seznamují s čtyřvektorovým formalismem a speciální relativitou. Z mého dnešního pohledu jsem se rozhodl přidat několik odstavců osvětlujících infinitezimální Lorentzovy transformace a jejich vyjádření pomocí rapidity, což je užitečné pro kurz z Kvantové teorie pole. Komentáře a připomínky rád přijmu na adrese qitek@matfyz.cz Jiří Kvita, 2004 Page 2 of 38
3 1. Speciální teorie relativity (STR), Obecná teorie relativity (OTR), inerciální soustava (IS) 2. Budeme se zabývat transformací souřadnic (t, x, y, z) (t, x, y, z ) mezi soustavani IS a IS ve standardní konfiguraci, čímž budeme rozumět skutečnost, že v čase t = t = 0 osy obou systémů splývají a IS se pohybuje vůči IS podél osy x rychlostí v. Lze ukázat, že transformace musí být lineární (v následujícím odstavci budeme používat čtyřvektorový formalismus, a tak je možné jej při prvím čtení přeskočit): Uvažujme hodiny, které jsou v klidu vzhledem k soustavě S: dxi dt = 0. Budiž τ čas naměřený hodinami. Pak z požadavku homogenity času musí být dt dτ = konst. Celkově můžeme oba požadavky zapsat jako dx µ dτ = konst d2 x µ dτ 2 = 0. V IS ze stejných důvodů Na druhou stranu však máme d 2 x µ dτ 2 = 0. Page 3 of 38 dx µ dτ = x µ dx ν x ν dτ, d 2 x µ dτ 2 = x µ d 2 x ν x ν dτ 2 }{{} x µ dx ν dx σ x ν x σ dτ dτ.
4 Aby byl výraz, jak požadujeme, nulový, musí nutně platit 2 x µ x ν x σ = 0 což znamená, že transformace je lineární. Z linearity pak můžeme psát x = y = µ, ν, σ Ax + Bt + Cy + Dz + E F x + Gt + Hy + Iz + J t = Kx + Lt + My + Nz + O. Lorentzovu transformaci odvodíme v následujících krocích: Věnujme se nejprve transformaci souřadnic y, z kolmých na x. Z relativity toho, která soustava se pohybuje musí být transformační vztahy invariantní vůči takzvané xz-inverzi x x, y y, z z, t t. Náš výběr souřadných soustav požaduje y = 0 y = 0 a tedy y = Hy. Ze symetrie vůči xz-inverzi je ovšem y = Hy a tedy H 2 = 1. Pro v 0 musí být y = y a získáváme tak první triviální transformační vztahy y = y, z = z. (1) Pro počátek souřadnic IS x = 0 pozorovaný z IS musí platit x = vt. Odtud C = D = E = 0, x = B A t, x = vt B A = v Máme tedy (s uvážením symetrie a relativity pohybu) x = A(x vt), x = A(x + vt ) Page 4 of 38
5 Nyní budeme aplikovat princip konstantní rychlosti světla: světelný signál vyslaný v čase t = t = 0 urazí v jednotlivých soustavách vzdálenosti x = ct, x = ct, přičemž x a x budou tytéž světobody pozorované z IS a IS. x = ct x = ct ct = A(x vt) ct = A(x + vt ) ct = ta(c v) ct = t A(c + v) Vynásobením posledních dvou rovnic dostaneme A 2 = 1 1 v 2 /c 2 a pro A volíme kladné znaménko s ohledem na to, že pro v 0 musí být x = x : A γ = Nyní nám stačí z nalezených rovnic 1 1 v2 /c 2. x = γ(x vt), x = γ(x + vt ) (2) eliminovat x. Vyjádříme-li si x = γ 2 (x vt) + γvt, bude a podle identity bude konečně t = 1 vγ [x(1 γ2 ) + γ 2 vt] 1 γ 2 = v γv c 2 γ t = γ (t v ) c 2 x. (3) Page 5 of 38
6 Zavedením pak zní β v c, γ 1 1 β 2 x = γ(x βct) ct = γ(ct βx) y = y Skládání rychlostí (4) z = z. (5) Opět uvažujme dvě inerciální soustavy IS a IS v obvyklé konfiguraci, a těleso, které se vůči soustavě IS pohybuje rychlostí u = d x dt. Zajímá nás, jak vypadá jeho relativní rychlost vůči soustavě IS u = d x dt. S použitím vztahů pro Lorentzovu transformaci (2) nalezneme u 1 = dx dt = γ(dx vdt) γ(dt v c 2 dx) = u 1 v 1 vu1 c 2 (6) Page 6 of 38
7 u 2 = dy dy dt = γ(dt v c dx) = u 2 γ ( ) (7) 1 vu1 2 c 2 u 3 = dz dz dt = γ(dt v c dx) = u 3 γ ( ) (8) 1 vu1 2 c 2 Všimněme si, že skládáním podsvětelných rychlostí stále získáme podsvětelné rychlosti, a že objekt pohybující se rychlostí světla se bude stejnou rychlostí pohybovat v kterékoli inerciální soustavě (při v < c). Často se ještě definuje rozdíl rychlostí (vzájemná rychlost) dvou těles, jak ji vidíme z dané inerciální soustavy: u w c, c. Tato rychlost je relevantní například v případě, kdy nás zajímá čas, za který se dvě tělesa minou, pozorujeme-li je v dané inerciální soustavě (rozdíl rychlostí například vystupuje ve vztahu pro tok bombardujících částic ve formulích pro účinný průřez) Efekt strhávání světla médiem Začněme následujícím problémem (dle [2], str. 77): nechme šířit světlo průhledným tekoucím médiem (kapalinou, plynem). Otázka zní, zda je světlo strháváno ve směru proudění (drag effect). Fizeau v roce 1851 ukázal, že (podle jeho interpretace) éter vskutku strhávání způsobuje, ale jen částečně, a to tak, že pozorovaná rychlost světla byla u = u + v(1 1/n 2 ). Z dnešního pohledu jde o to, jakou rychlostí se světlo šíří vzhledem k inerciální soustavě IS, která se vůčí médiu pohybuje rychlostí v. Rychlost světla v daném prostředí je u = c/n, v naší soustavě, kde médium teče, bude podle relativistického skládání rychlostí u = u + v 1 + u v c 2 (u + v) ( 1 u v c 2 ) u + v ( 1 1/n 2) Page 7 of 38
8 a STR nám tak rychle dává elegentní vysvětlení Dilatace času V IS uvažujme v počátku umístěné nehybné hodiny (x 0). Protože ct = γ(ct βx), bude pro časové intervaly mezi dvěma událostmi, které obě nastaly v x 0 (např. dvě po sobě jdoucí tiknutí hodinek), platit t = t 2 t 1 = γ(t 2 t 1 ) = γ t, (9) tedy v IS vidíme, že pohybující se hodiny v IS jdou pomaleji, uběhne na nich kratší interval než v IS (jest vždy γ 1). V praxi bývá problém nalézt hodiny, jejichž chod je jen málo ovlivněn zrychlením. Ideální laboratoří jsou například rozpady částic (minony vznikající v horních vrstvách atmosféry s dobou života kolem 2, s by bez dilatace svých vnitřních hodin i při rychlosti světla urazily pouhých 600m). Dilatace času je však pozorovatelná i s makroskopickými hodinami, první pokus byl proveden roku 1971 (Hafele, Keating, Science 177, 166, 1972) s přesnými cesiovými hodinami a komerčními aerolinkami! Další zajímavou aplikací jsou svazky částic v urychlovačích, které, majíce stejný náboj, podléhají elektrostatické repulzi na určité typické časové škále, která se (pozorována z laboratoře) prodlužuje s rychlostí oběhu. Notoricky známý paradox dvojčat je typickým příkladem toho, že lidé si na rlativitu a závěry z ní plynoucí ještě stále nezvykli. Dvojče, které je vysláno na okružní cestu Vesmírem, se vrátí na Zemi, kde jeho protějšek zestárl, nebot viděl bratra či sestru pohybovat se a sledoval, jak mu plyne pomaleji čas. Argumenty lze zdánlivě obrátit a tvrdit, že totéž přece vidělo i dvojče kosmonaut: bratr se vzdaloval, letěl, a také mu Page 8 of 38
9 plynul čas pomaleji. Přesto, když se setkají, je nutné, aby existovala jediná fyzikální realita. Problém je, že situace zdaleka není tak symetrická, aby bylo možno pohledy rovnocenně obrátit: na cestovatele působilo zrychlení, které vytváří onen skrytý rozdíl mezi oběma pozorovateli, paradox je tak vlastně plně vysvětlitelný až v rámci obecné relativity Kontrakce délek V inerciální soustavě IS uvažujme tyč, jejíž konce mají souřadnice x 1 a x 2, délka tyče je tedy L = x 2 x 1. Proved me nyní měření délky tyče v IS, a to tak, že ve stejný čas t 1 = t 2 odečteme souřadnice konců tyče, a získáme tak události (t 1, x 1) a (t 2, x 2). Zajímá nás délka tyče v IS L = x 2 x 1. Protože dostáváme jednoduše x 1 = γ(x 1 + vt 1), x 2 = γ(x 2 + vt 1), L = 1 γ (x 2 x 1 ) = L γ. (10) V IS tedy naměřím pohybující se tyči kratší délku než v její klidové soustavě. Efekt má své kořeny v relativitě současnosti (museli jsme současně udělat rysky pro odečtení vzdálenosti). Podotkněme, že náš výsledek neznamená, že relativisticky se pohybující objekty vypadají kontrahovány, do reálného vzhledu objektů vstupují také efekty toho, že paprsky z různých částí tělesa k nám vyrazily v odlišný čas. Page 9 of 38
10 Časoprostorový invariant je jeviště pro fyzikální dění 1 a vyjadřuje oboustrannou provázanost časové a prostorových souřadnic v Lorentzově transformaci. Jde o pseudoeuklidovský prostor E 3 R, jehož prvky jsou události. V klasické fyzice je invariantní veličinou vzdálenost ( l) 2 = ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2. V jakémkoli vztažné soustavě je pak ( l) 2 veličina nezávislá na výběru inerciálního systému. Ve speciální relativitě však musíme započítat i časovou odlehlost událostí: ( s 2 ) = c 2 ( t) 2 + ( l) 2 (11) ( s) 2 = c 2 ( t) 2 + ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2. (12) Že jde skutečně o invariant vůči Lorentzově transformaci, tj. ( s ) 2 = ( s) 2, lze ověřit přímo dosazením transformačních vztahů Čtyřvektory Zaved me konvenci, kdy klasické 3-vektory budou mít složky značené indexy psanými latinkou, kdežto čtyřvektory, prvky u, budou mít složky indexované řeckými písmeny, tedy např. x µ značí x 0 ct, x 1 x, x 2 y, x 3 z. Řecký, prostoročasový, index tedy bude nabývat hodnot 0, 1, 2, 3 a čtyřvektor má tvar x µ = (ct, x, y, z) (ct, x) (řecký index ponecháváme na zdůraznění, že jde o 4- vektor). 1 V obecné relativitě se pak i toto jeviště mění s hmotou a energií a samo vstupuje do hry. Page 10 of 38
11 Klasicky můžeme psát invariant pomocí Kroneckerova symbolu jako skalární součin ( l) 2 = δ i j x i x j V našem případě musíme zavést nový Minkowského tensor η abychom mohli psát analogicky kde ( s) 2 = η µν x µ x ν, (13) η µν = (14) je speciální případ metrického tensoru. V obecné relativitě je obecně ( s) 2 = g µν x µ x ν (15) a metrický tensor nám říká, jak utvořit inavriantní vzdálenost ze souřadnicových odlehlostí. Vzdálenost závisí na křivosti plochy, podél které měřím, dle plochy se tvoří různě i invariant, tj. tensor poskytuje informaci o geometrii, ve které měřím vzdálenost. Pro ilustraci ještě přejděme ke sférickým souřadnicím (a místo pišme d). Lze ukázat (diferencováním převodních vztahů mezi sférickými a kartézskými souřadnicemi), že v tomto případě je (ds) 2 = c 2 dt 2 + dr 2 + r 2 (dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2 ) g µν dx µ dx ν g µν = 0 0 r r 2 sin 2 ϑ Page 11 of 38
12 Zde již maticové elementy nejsou konstanty a podléhaly by derivování! V obecné relativitě bereme diferenciál ds, nebot jde o lokální infinitezimální veličinu charakterizující zakřivení prostoru v daném bodě. Uvědomme si, že prostoročasový interval ds může být i veličina záporná. V literatuře se lze setkat s definicí skalárního součinu čtyřvektorů, kde záporné znaménko přísluší všem prostorovým souřadnicím a kladné je u časové souřadnice (viz. přednášky z teorie pole na MFF nebo učebnice R. P. Feynmana). Jedná se však o pouhou konvenci výběru skalárního součinu se signaturou (1,3) nebo (3,1), fyzika zůstává stejná (pokud různé konvence nepomícháte:) Nadefinujeme dále veličinu vlastní čas. Předpokládejme, že objekt je v klidu v dané IS, tedy dx i 0 i, Jediná souřadnice, která se může měnit, je čas, který označíme pro odlišení jako τ 4.3. Snižování a zvyšování indexů c 2 dτ 2 = η µν dx µ dx ν. (16) Nadále budeme uvažovat konvenci, kde vektory mají indexy nahoře a formy dole. Pomocí Minkowského tensoru lze však indexy zvyšovat a snižovat. Index snížíme zapůsobením bilineární formy, výsledným produktem pak bude (lineární) forma: E µ η µν = E ν (17) Podotkněme, že Minkovského tensor je symetrický a lze tedy prohazovat indexy. Zaved me dále inversní Minkowského tensor definičním vztahem η µν je tedy inversní matice a ukazuje se, že jest opět η µα η αν = δ µ ν (18) Page 12 of 38
13 Pak lze s indexy pracovat třeba následovně: η µν = (19) E α = η αν E ν = η αν η νµ E µ = δ α µe µ = E α (20) Skalární součin dvou vektorů lze pak psát jako A B = η µν A µ B ν = A ν B ν = A µ B µ. (21) Uvědomme si, že skalární součin je bilineární forma, která dvěma vektorům přiřadí podle jistých pravidel reálné či komplexní číslo a je výhodné jej representovat jako působení formy (prvek duálního prostoru) na vektor. Obdobně lze i úžit tensory, jako příklad si uved me úžení tensoru ve dvou indexech: T αβσ γβσ = T α γ. Má-li tensor právě dva indexy, pak jde v tomto případě o stopu 2 : Tr T = T σ σ = η σα T σα T Matice Lorentzovy transformace Protožev transformace je kvůli zachování prostoročasového intervalu lineární, můžeme přechod od jednoho systému k druhému vyjádřit pomocí matice 2 Tr z anglického Trace, případně též Sp z německého Spur:) x µ = Λ µ ν x ν. (22) Page 13 of 38
14 Takže například ct = x 0 = Λ 0 0 x 0 + Λ 0 1 x 1 + Λ 0 2 x 2 + Λ 0 3 x 3. Srovnáním se vztahy pro Lorentzovu transfomaci x x 1 = γ(x 1 vt) γx 1 γ v (ct) (23) c a zavedením β = v c ct x 0 = cγ(t v c 2 x1 ) γct γ v c x (24) γ βγ 0 0 Λ µ βγ γ 0 0 ν =, (25) což je matice speciální Lorentzovy transformace (tj. v má směr osy x +, v čase t = 0 počátky obou systémů splývají, stejně tak osy x x ) Inverzní Invariance prostoročasového intervalu (x y) 2 (x µ y µ )(x µ y µ ) = (x µ y µ)(x µ y µ ) (x y ) 2 Page 14 of 38 implikuje tedy maticově η µν Λ µ ρ Λ ν σ = η ρσ, Λ T η Λ = η
15 Λ 1 = η Λ T η. x µ = Λ µ νx ν x µ = Λ µ ν x ν 4.6. Infinitezimální transformace Nejprve si ze vztahů Lorentzovy transformace spočtěme S uvážením, že a zadefinováním rapidity 3 φ nalezneme x ct = γ(x βct ct + βx) = γ(1 + β)(x ct), x + ct = γ(x βct + ct βx) = γ(1 β)(x + ct). γ(1 ± β) = 1 ± β 1 β 1 + β φ ln 1 β x ct = e φ (x ct) x + ct = e φ (x + ct). Přímočaře tak můžeme ověřit zachování prostoročasového intervalu x 2 c 2 t 2 = x 2 c 2 t 2. 3 Často se rapidita definuje ještě s faktorem 1/2 před logaritmem. Page 15 of 38
16 Po jednoduchém dosazení dále nalezneme maticově pak a nalezneme ( ct x ) = x = x cosh φ ct sinh φ ct = x sinh φ + ct cosh φ, ( cosh φ sinh φ sinh φ cosh φ γ = cosh φ, βγ = sinh φ. ) ( ) ct x Uvažujme nyní infinitezimální transformaci φ = ε (tedy malé rychlosti) ( ) cosh ε sinh ε Λ(ε) = 1 ( ) e ε + e ε e ε + e ε sinh ε cosh ε 2 e ε + e ε e ε + e ε = = 1 [( ) ] [ ( ) ] 2 2ε 0 ε + O(ε) ε 2 ε 0 }{{} iεn x A tedy Λ(ε) = 1 + iεn x. Libovolnou Lorentzovu transformaci podél osy x pak můžeme zapsat jako kde generátor boostu podél osy x Λ(φ) = exp(iφn x ), N x = ( ) 0 i. i 0 Page 16 of 38
17 Ve třech rozměrech nalezneme ( x = exp iφn v ) x v 0 i i i i N x = N y = N i z = i Tyto vztahy jsou hojně užívány v relativistické kvantové mechanice a teorii pole, kde se zkoumá Lorentzova a Poincaréova grupa Zákony zachování a relativistická hmotnost 5.2. Relativistická dynamika bez 4-vektorů Relativisticky je tedy možné hybnost zadefinovat obdobně jako klasicky p = m v, pouze m zde representuje relativistickou hmotnost m = γm 0. Relativistickou 3-sílu pak můžeme definovat obdobně, totiž jako časovou změnu impulsu Page 17 of 38 Zrychlení lze vyjádřit jako F = d p dt = v dm dt + m d v dt. (26) a = d v dt = 1 ( F v dm ). (27) m dt
18 Zkusme si nyní odvodit konečný výraz pro zrychlení. S použitím de = c 2 dm, dt = F d s = F d s dt dt = F v dt (28) a za předpokladu, že síla nemění klidovou hmotnost částice (viz diskuse u čtyřsíly) si nejprve spočítáme Zrychlení pak bude dm dt = 1 d c 2 dt (E) = 1 d ( m0 c 2 c 2 + T ) = 1 dt dt c 2 dt = 1 c 2 F v. (29) a = 1 m ( F 1 ) c 2 v F v (30) Zrychlení tedy není obecně kolineární s působící silou. Uvažujme dva důležité speciální případy: F je kolineární s v, pro jednoduchost uvažme i stejný smysl obou vektorů, tj. F = k v, kde k > 0. Pak a = 1 ( ) F v2 m c 2 F (31) a tedy m a = F 1 γ 2 (32) F = m 0 γ 3 a (33) Můžeme tak přirozeně zavést rovnoběžnou hmotnost m = m 0 γ 3. Všimněme si, že pro udělování kostantního zrychlení potřebujeme, aby síla rostla s γ 3! Page 18 of 38
19 Síla je kolmá na směr pohybu, F v = 0, a tak a odpovídající kolmá hmotnost je m = m 0 γ rychlost, 4-zrychlení, 4-síla F = m 0 γ a (34) V klasické mechanice je rychlost definována jako tečna k trajektorii: v i = dxi dt. V relativitě však nemůžeme použít diferenciál dt, nebot nejde o invariant, ale nabízí se vzít vlastní čas dτ. Je tedy rozumné nadefinovat čtyřrychlost jako Spočtěme si výraz u µ dxµ dτ = dt dx µ dτ dt (35) dt dτ = 1 c dt ηµν dx µ dx = ν c dx η µ dx ν µν dt dt (36) dx µ dt je rovno z definice x µ výrazu dxµ dt odmocninou je pak c 2 v 2 a tedy = (c, v), nebot dx 0 = cdt. Skalární součin pod Page 19 of 38 dt dτ = c c2 v γ (37) 2 (pro lepší zapamatování se uvědomme, že vztah připomíná zdiferencovaný vztah pro dilataci času) a konečně u µ = γ(c, v) (38)
20 Čtyřrychlost je normalizovaná: η µν u µ u ν = η µν dx µ dτ dx ν dτ = ds2 dτ 2 = γ2 ( c 2 + v 2 ) = c 2. (39) Reálné čtyřrychlosti jsou časupodobné, skalární součin dvou čtyřrychlostí je záporný. Každý objekt se tedy v čtyřrozměrném prostoročase pohybuje právě rychlostí světla. Obdobně nadefinujeme čtyřzrychlení a µ dvµ dτ. (40) Všimněme si, že z u u = c 2 = konst plyne ortogonalita 4-rychlosti a 4-zrychlení: Protože 0 = d (u u) = 2u a dτ ( a µ = γ a µ = γ = c dγ dγ, v dt dt + γ d v dt ( 1 dγ dt = dγ dv i dv i dt ( 4 v a γ c Vidíme, že a µ = γ(0, a) pouze v případech a v = 0 ) 1 2 v v c 2 = γ3 v a c 2 ). ), v a vγ4 + γ 2 a. (41) c 2 Page 20 of 38
21 v = 0, což nastane v klidovém systému studované částice. a µ 0 a = 0 v klidovém systému částice. S využitím identity nalezneme a můžeme si tak spočíst ɛ ijk ɛ ilm = δ jl δ km δ jm δ kl (u a) 2 = u 2 a 2 ( u a) 2 α 2 a 2 = a µ a µ = γ 6 ( a 2 a ve shodě s našimi předchozími výsledky nalezneme, že pro v a je α = γ 3 a pro v a je α = γ 2 a Nadefinujme čtyřsílu ) ( v a)2 c 2 F µ dpµ dτ = dm 0 dτ uµ + m 0 a µ (42) F µ = γ d ( 1 dt (γm de 0c, m 0 γ v) = γ c dt, d p ) ( ) 1 de = γ dt c dt, F, kde F je již dříve zavedená Lorentzova 3-síla. Spočtěmě si skalární součin F µ u µ = dm 0 dτ uµ u µ + m 0 a µ u µ = c 2 dm 0 }{{} dτ 0 Page 21 of 38
22 F µ u µ = γ 2 de ( dt + γ2 F v = γ F v de ). dt Síla zachovávající klidovou hmotnost je tedy charakterizována tím, že ( ) F µ u µ = 0 F v = de F v dt F µ = γ, F c a platí tak pro ni vztah známý z Newtonovy mechaniky F d r = de, (43) změna energie je pak čistě kinematická. 6. Relativistická elektrodynamika Už klasická elektrodynamika (KED) je invariantní vůči Lorentzově transformaci, přepisem Maxwellových rovnic do čtyřvektorového hávu tak tedy v principu nemůžeme získat nic nového, vztahy však nabudou nového symetričtějšího tvaru a nově rozpoznáme např. příčný Dopplerův efekt. Samotná invariance rovnic elektrodynamiky se dokonce stala stimulem pro speciální relativitu, jejíž kořeny tak musíme hledat od Einsteina a Lorentze až k Maxwellovi. Připomeňme si několik výsledků KED: rot H = j + D t div D = ϱ div B = 0 (44) rot E = B t. (45) Page 22 of 38
23 Je výhodné zavést elektromagnetické potenciály a nejednoznačnost v jejich volbě určit Lorenzovou kalibrační podmínkou: 1 ϕ c 2 t + div A = 0 (46) B = rot A E A = grad ϕ t. (47) Budeme-li uvažovat lineární homogenní isotropní prostředí, lze použít lineární materiálové vztahy D = εe B = µ H (48) Celkovou proudovou hustotu j si můžeme rozložit (Kvasnica, X.I) na vodivý proud σe a prudovou hustotu J vnějších zdrojů: j = J+σ E. Totální proud získáme připočtením Maxwellova proudu D t. Za těchto podmínek pak přejdou vlnové rovnice pro potenciály do výhodného tvaru ϕ 1 c 2 2 ϕ t 2 = ϱ ε (49) A 1 c 2 2 A t 2 = µ j. (50) Zdroje vystupující v těchto rovnicích určují výsledné pole, nejsou jimi však dány pohybové rovnice těchto zdrojů. Z rovnic plyne na zdroje jediné omezení, a to rovnice kontinuity vyplývající přímo z Maxwellových rovnic: ϱ t div j = 0. (51) Potenciály A a ϕ mají dohromady čtyři nezávislé složky, jsou však vázány Lorenzovou kalibrační podmínkou. Celkem máme tedy tři nezávislé veličiny namísto původně Page 23 of 38
24 šesti složek vektorů B a E. Za to jsme ovšem zaplatili zvýšením řádu rovnic z prvního (Maxwell) na druhý. Čtyři složky potenciálů (byt provázané) nás vedou k myšlence zavést potenciál jediný, čtyřpotenciál. Pokusme se jej nadefinovat následovně (později výhody této definice oceníme): ( ϕ A µ = c, A ) (52) Ještě si nadefinujme čtyřgradient µ = ( 1 ) c t,, (53) s jehož pomocí bude čtyřdivergence čtyřvektoru zapsatelná jako A µ x µ = η µν µ A ν = ν A ν = A (54) Z definice snadno ověříme, že Lorenzova podmínka se pak dá zapsat elegantně jako A µ x µ Aµ,µ = 0, (55) kde jsme použili značení derivace jako,, což značí, že veličina je derivována podle všech indexů (horních i dolních!), ktreré následují za čárkou. Dále si zadefinujme čtyřrozměrnou analogii Laplaceova operátoru, a uvidíme, že se vlastně jedná o operátor d Alembertův (skalární součin dvou čtyřgradientů): = η µν µ ν = 1 c 2 2 t 2 + (56) Jde přesně o operátor vystupující ve vlnové rovnici. S výhodou můžeme dále zadefinovat hustotu čtyřproudu (čtyřproud): J µ = (cϱ, j ) (57) Page 24 of 38
25 Vlnové rovnice pak přejdou v jedinou A ρ = µj ρ (58) (uvědomme si, že µ označuje permeabilitu vakua). Ověřme si pro zajímavost ekvivalenci rovnic pro index µ = 0: A 0 = ϕ c = 1 c ϕ + 1 c 3 2 ϕ t 2 = µj 0 = µϱc = ϱ cε. (59) Použitím c 2 = 1 εµ skutečně získáme první z (nehomogenních) vlnových rovnic pro potenciály. Do elegantního tvaru nám také přejde rovnice kontinuity, rozepsáním si snadno ověříme, že ji lze zapsat jako čtyřdivergenci čtyřproudové hustoty: J µ,µ = 0. (60) Čeká nás však ještě úkol ověřit, zda nově zavedené veličiny jsou skutečně čtyřvektory. Uvědomíme-li si, že klasická hustota proudu je j = ϱ v, pak můžeme psát J µ = (cϱ, ϱ v) = dq (c, v). (61) dv Ovšem objem V není relativistický invariant, tím je zase pouze vlastní objem V 0 : dv 0 = γdv ϱ = dq dv = dq dv 0 dv 0 dv = γ dq dv 0 = γϱ 0, (62) J µ = ϱ 0 γ(c, v) = ϱ 0 u µ. (63) Vidíme, že čtyřprudová hustota J µ je pouze násobkem čtyřrychlosti u µ, nebot ϱ 0 je skalár, invariant. Čtyřproud je tedy čtyřvektor. Z vlnové rovnice plyne, že čtyřvektorem Page 25 of 38
26 je i A µ, nebot d Alembertián se dá vpodstatě chápat jako skalár, byt jde o operátor, a máme tedy rovnici, v níž na jedné straně je násobek čtyřvektoru, čímž i na levé straně musí vystupovat čtyřvektor-čtyřpotenciál. Připomeňme však, že z definice je čtyřvektor veličina transformující se následujícím způsobem: 6.1. Tensor elektromagnetického pole A µ = Λ µ ν A ν. (64) Nejprve několik poznámek ke klasickým vektorům elektromagnetického pole: B je takzvaný axiální vektor, při inverzi souřadnic nemění svůj směr v kontrastu s polárními, které mění znaménko. Axiální vektory vznikají vektorovým součinem dvou polárních vektorů, původně jde totiž o tensory. Tak jest například B ij = i A j j A i. (65) Jde o antisymetrický tensor, jenž má tři nezávislé složky (na diagonále jsou nuly a dále B ij = B ji ), které můžeme ztotožnit se složkami nějakého vektoru následujícím vztahem: B k = 1 2 ɛkij B ij. (66) Inverzní vztah pak zní: B ij = ɛ ijk B k. (67) V Minkowského prostoru zavedeme antisymetrický tensor, jenž bude mít šest nezávislých složek a nebude již tedy rozumné jej ztotožnit s jedním vektorem, ale se dvěma: E a B. Pokusme se tedy o čtyřrozměrné rozšíření tensoru B ij následujícím způsobem: F µν = A ν,µ A µ,ν. (68) Page 26 of 38
27 Pokusme se zjistit, jak tensor vypadá. Vidíme, že jeho prostorová část je shodná s původním klasickým tensorem: F ij = B ij = ɛ ijk B k. (69) Jde opět o tensor antisymetrický, tj i jeho stopa bude F i i = 0. Jak je tomu s časovými složkami? F 0j = A j,0 A 0,j = A j,0 + A 0,j = 1 c A j t + 1 c ϕ = Ej x j c (pokud zvedáme nahoru latinský index, nic se neděje, zvednutím nuly však musíme změnit znaménko, nebot v naší konvenciη 00 = 1) Vidíme, že časové složky jsou složkami vektoru elektrické intenzity. Konečně se můžeme podívat na výsledný tvar tensoru elektromagnetického pole: 0 E1 c E 1 F µν = F µν = E2 c E3 c c 0 B 3 B 2 E 2 c B 3 0 B 1 E 3 c B 2 B E 1 c E 2 c E 3 c (70), (71) E1 c 0 B 3 B 2 E2 c B 3 0 B 1. (72) E3 c B 2 B 1 0 Nejdůležitější vektory elmag. pole E a B (určují Lorenzovu sílu a tím tedy i působení pole) jsou svázány do jednoho tensoru (a to opět velice výhodně, jak uvidíme za chvíli). Obě pole jsou provázaná a nemá tak smysl hovořit o samostatném elektrickém či magnetickém poli. E a B jsou totiž složky tensoru a nejsou invarianty, závisí na pozorovateli. Page 27 of 38
28 Mám-li však alespoň jednu složku tensoru F µν nenulovou, nemohu již najít takový inerciální systém, kde by byly nulové všechny složky. Lze však najít systémy, kde např. jeden pozorovatel pozoruje pouze pole magnetické, zatímco druhý třeba pouze elektrické a třetí obě. Tensor elektromagnetického pole se obecně transformuje jako dvakrát kontravariantní vektor (každý index se transformuje pomocí matice Lorentzovy transformace) F µν = Λ µ αλ ν βf αβ (73) 6.2. Maxwellovy rovnice Nyní si odvodíme základní soustavu rovnic elektrodynamiky za pomoci námi zavedených nových veličin z předchozího odstavce. Nejprve si ale trošku zaderivujeme, spočtěme si čtyřdivergenci tensoru elmag. pole (jde o úžení tensoru): F µν, ν = A ν, µ ν A µ, ν ν (74) Pokud u prvního členu v rozdílu prohodíme pořadí derivací, získáme (derivovanou) Lorenzovu kalibrační podmínku, a tedy první člen je identická nula. Ve druhém členu máme stopu přes d Alembertián a získáme tak vlnový operátor. S použitím vlnové rovnice pro čtyřpotenciál dostaneme výsledek F µν, ν = A µ = µj µ (75) Dále si ukážeme, že v této soustavě jsou zahrnuty všechny Maxwellovy rovnice ve vakuu. Spočtěme si nejprve prostorové složky rovnice: pro µ = i F i0, 0 +F ij, j = µj i Page 28 of 38
29 Rozepsáním jednotlivý složek 1 c 2 E i t + ɛ ijk j B k = µj i, kde ve druhém členu poznáváme vektorový součin nabla-operátoru s vektorem magnetické indukce, tj. εµ E1 t + (rot B) i = µj i Uvážíme-li, že D = ε E, B = µ H a J i = j i, dostaneme rot H = j + D t. Podíváme-li se na časovou složku rovnice, získáme F 0ν, ν = F 0j, j = µj 0 = µcϱ Jde o divergenci prostorové části prvního řádku tensoru elmag. pole, tedy: 1 c div E = µcϱ div E = ϱ ε, čímž máme uzavřenu první sérii Maxwellových rovnic. Nyní si následovně zadefinujme takzvaný cyklický index: F [µνϱ] F µν, ϱ +F ϱµ, ν +F νϱ, µ Page 29 of 38
30 = A ν, µϱ A µ, νϱ +A µ, ϱν A ϱ, µν +A ϱ, νµ A ν, ϱµ = 0 Výraz je tedy plně antisymetrický vzhledem ke všem indexům. Protože vztah platí pro všechny trojice indexů, můžeme si nejprve vybrat třeba µνϱ = 123: a tedy µνϱ = 0jk: F 12, 3 +F 32, 1 +F 21, 3 = B 3, 3 +B 2, 2 +B 1, 1 div B = 0 F 0j, k +F k0, j +F jk, 0 = 1 c E j, k + 1 c E k, j + 1 c ɛ B l jkl t Vynásobme rovnici výrazem ɛ ijk : t ɛ jkl ɛ ijk B l = ɛ ijk j E k ɛ ijk k E j Pokud u druhého členu pravé strany prohodíme indexy jk v Levi-Civitově tensoru (čímž se nám změní znaménko), získáme stejný vektorový součin jako ve členu prvním, celkem tedy (po přeznačení indexů) 2 rot E. Dále je třeba si uvědomit, že ɛ jkl ɛ ijk = ɛ ljk ɛ ijk = 2δ i l. Tedy 2δ i l t B l = 2ɛ ijk j E k Bi t = (rot E) i rot E = B t, čímž máme Maxwellovy rovnice uzavřeny. = 0 Page 30 of 38
31 6.3. Poznámka ke kalibraci potenciálů Telegrafní rovnice pro potenciály (odvozené z Maxwellových rovnic a z materiálových vztahů ( j = J + σ E, D = ε E, B = µ H) a za pomoci identity rot rot = grad div ) v lineárním obecně vodivém prostředí mají tvar A µσ A ( t grad div A + µε ϕ ) t + µσϕ = µ J (76) ϕ + t div A = ϱ ε. (77) Druhou rovnici lze upravit přičtením dvou nulových výrazů na ϕ µσ ϕ t + t (div A + µε ϕ t + µσϕ) = ϱ ε Zde vidíme výhodnost zavedení Lorenzovy podmínky, jejíž obecný tvar zní: (78) div A + µε ϕ t + σµϕ = 0 (79) Jejím aplikováním vymizí třetí členy na pravých stranách. Ukážeme, že Lorenzovu podmínku lze na vždy splnit, jinými slovy lze najít takové potenciály, které ji budou splňovat. Je jednoduché si ověřit, že potenciály A a ϕ se dají změnit následujícím způsobem, aniž by to mělo vliv na fyzikální pole 4 E, B: A + = A + grad χ (80) 4 Hovoříme o kalibrační invarianci Maxwellových rovnic (moderní teorie pole jako třeba teorie elektroslabých iterakcí či kvantová chromodynamika jsou postaveny na principu kalibrační invariance vůči určité grupě transformací, v našem případě jde o grupu U(1)). Page 31 of 38
32 ϕ + = ϕ χ t Dosad me do Lorenzovy podmínky v nevodivém prostředí: div A + + εµ ϕ+ + div grad χ εµ 2 χ t t 2 = 0 (82) Vidíme, že nově zavedené potenciály budou Lorenzovu podmínku splňovat, pokud pro kalibrační funkci χ bude platit vlnová rovnice: (81) χ = 0. (83) Pak budou telegrafní rovnice vlnovými nehomogenními rovnicemi, a naštěstí již nebudou tak silně provázány. A µσ A t = µ J ϕ µσ ϕ t = ϱ (84) ε Podotkněme, že například pomocí Greenovy funkce se dá ukázat, že rovnice pro χ je vždy řešitelná a potenciály lze pokaždé takto nakalibrovat. Zapišme nyní tyto podmínky ve tvaru čtyřvektorů: Zaved me nový čtyřpotenciál (pozměněný o čtyřgradient skalární funkce) vztahem: ( ) ( ϕ A +µ + = c, A ϕ + = c 1 ) χ c t, A + χ = A µ + µ χ (85) při podmínce χ = 0. Pak tensor elmag. pole bude (ze záměny derivací) nezměněn: F +µν = A +ν, µ A +µ, ν = A ν, µ A µ, ν + µ ν χ ν µ χ = F µν Page 32 of 38
33 Podívejme se, jak je tomu s vlnovou rovnicí: A +µ = α α A +µ = α α (A µ + µ χ = A µ + µ α α χ = A µ + µ χ = A µ = µj µ. Vlnová rovnice je tedy vskutku nezměněna. Pro orientaci a pro ujasnění pojmů si to můžete ověřit i ve složkách: Položme µ = j: A +j = α α ( A j + χ x j Položme µ = 0: A +0 = α α A +0 = 1 c 2 2 ) = 1c 2 2 t 2 = A j + χ = µjj xj t 2 ( A j + χ ) ( x j + A j + χ ) x j ( ϕ χ ) ( + ϕ χ ) = ϕ t t t χ Page 33 of 38 = ϕ = ϱ ε 6.4. Vlnová rovnice Zkusme si vyřešit vlnovou rovnici A µ = 0 (86)
34 ve vakuu. Hledejme řešení ve tvaru harmonických vln (A µ 0 je amplituda a k σ je vlnový vektor) spolu s podmínkou Dosazením naší násady získáme dvě podmínky Z vlnové rovnice plyne A µ = ɛ µ e ikσxσ, (87) A µ,µ = 0 (88) A µ = α α A µ = α (ik α A µ ) = k α k α A µ = 0 (89) Aby byl výraz nulový, musí být k α k α = 0, ale to znamená, že signál se šíří rychlostí světla, jde o tečnu ke světelnému kuželi. Z Lorenzovy podmínky pak A µ, µ = ik µ A µ = 0 ɛ µ k µ = 0, (90) tj. 4-potenciál je ortogonální k vlnovému vektoru a specálně i polarizační vektory ɛ µ. Ve čtyřrozměrném prostoru můžeme najít ortogonální systém polarizačních vektorů ε µ (k, λ) λ = 1, 2: ε µ (k, λ) = (0, ε(k, λ)), kde k ε = 0 (transverzální polarizace) λ = 0: ε µ (k, λ) = (1, 0, 0, 0) ( skalární polarizace) λ = 3: ε µ (k, λ) = (0, k/ k ) (longitudinální) Z nich jsou fyzikální polarizace splňující Lorenzovu podmínku pouze případy λ = 1, 2. Page 34 of 38
35 Obecné řešení vlnové rovnice spolu s Lorenzovou podmínkou můžeme pro reálný 4- potenciál (A µ = A µ ) zapsat jako 2 A µ (x) = d 3 [ k a(k, λ)ɛ µ (k, λ)e ik x + a + (k, λ)ɛ µ (k, λ)e ik x]. (91) λ=1 Ověřme nyní, že vlnový vektor je skutečně 4-vektor: k σ x σ musí být skalár, ale protože x σ je čtyřvektor polohy, musí být i k σ čtyřvektor. Jak souvisí k σ s klasickým vektorem k? Ve třírozměrném prostoru máme fázi vyjádřenu jako Pak srovnáním s získáme e i( k r ωt). e ikσxσ k 0 ct = ωt, tedy k 0 = ω c. A prostorové složky obou vektorů jsou shodné: ( k σ = ω ) c, k kde n je jednotkový vektor ve směru šíření vlny Dopplerův jev 6.6. Lorenzova 4-síla Lorenzova 3-síla je dána známým vzorcem (92) k σ = ω (1, n), (93) c F L = q( E + v B) (94) Page 35 of 38
36 Ukázali jsme, že pro obecnou čtyřsílu platí ( F µ = c dm ) dτ ; γ F Vydáme se ale jinou cestou, již známe složky tensoru F µν i čtyřrychlost, sestavíme tedy následující výraz a pak jej podrobně prozkoumáme: kde q je skalár, náboj zkoumané částice. Jest F 00 = 0 (95) F µ L = qf µν u ν, (96) FL 0 = qf 0j u j = q Ej c γv j = γ c E v, nebot u µ = γ(c, v) a u 0 = γc (snížením indexu se změní znaménko). ( ) FL i = q(f i0 u 0 + F ij E u j ) = q i c γc + ɛijk B k γv j = γq[e i + ( v B) i ]. Fyzikální význam 0-té složky: qe je elektrická síla, qe d r je přírůstek práce, časovou derivací získáme výkon, ale γ = dt dτ, tedy F L 0 má význam výkonu elektrické síly na jednotku vlastního času. Pro obecnou čtyřsílu platí η µν F µ u ν = dm0 dτ ( c2 ), pokud je tedy čtyřsíla kolmá k čtyřrychlosti, pak jest m 0 = konst! Pro Lorenzovu čtyřsílu platí: η µν F µ L uµ = qf µν u ν u µ = 0, nebot F µν je antisymetrický. Pro obecný symetrický tensor S µν a antisymetrický A µν totiž platí S µν A µν = S νµ A νµ = S µν A µν, kde jsme jednou přeznačili indexy (prohodili) a využili symetričnosti respektive antisymetričnosti tensorů. Jediná možnost, jak rovnost může být splněna je, že se jedná o identickou nulu. Page 36 of 38
37 Nakonec uved me explicitní tvar Lorenzovy čtyřsíly: ( ) ( E F µ v L = qγ, E + v B = qγ ) E v, γf c c L 6.7. Hustota Lorenzovy čtyřsíly Již víme, že Lorenzova síla nemění klidovou hmotnost částice m 0 (což platí pro většinu sil). Pro odvození hustoty síly nebudeme provádět derivaci podle objemu dv, nebot nejde o invariant, ale podle vlastního objemu dv 0, které spojuje vztah V 0 = γdv nebot dv 0 = dx 0 dy 0 dz 0 = γdx dy dz = γdv Tedy objemová hustota čtyřsíly bude: Φ µ df µ L dv 0 = ( df 0 dv 0, d(γ f) γdv (97) ) ( ) df 0 =, Φ dv, (98) 0 kde Φ je objemová hustota klasické Lorenzovy síly. S použitím vztahů j = ϱ v, a ϱ = γϱ 0 si tedy spočtěme dq dv 0 = ϱ 0 df 0 dv 0 = 1 d(qγe v) c dv 0 = 1 E c j (99) Jediné, co lze rozumně derivovat podle objemu, jest náboj, a tak získáme nábojovou hustotu: Φ µ L = dq dv 0 F µν u ν = F µν J ν = ( 1 c E J, Φ ) (100) Page 37 of Zákony zachování v elektrodynamice Zadefinujme tensor energie a hybnosti T µν = 1 (F µν F µσ 14 ) µ ηµν F ϱσ F ϱσ (101)
38 [1] Přednáška ze speciální relativity, základní kurz fyziky na MFF UK. [2] Relativity, Special, General and Cosmological, W. Rindler, Oxford University Press 2001 Page 38 of 38
ze Speciální teorie relativity
Poznámky ze Speiální teorie relativity 1 Obsah Úvodem 3 1 Výhozí prinipy STR 4 2 Lorentzova transformae 4 3 Relativistiká kinematika 6 3.1 Skládání ryhlostí........................... 6 3.1.1 Efekt strhávání
Bardziej szczegółowoFunkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Bardziej szczegółowo1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Bardziej szczegółowoInverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Bardziej szczegółowoRovnice proudění Slapový model
do oceánského proudění Obsah 1 2 3 Co způsobuje proudění v oceánech? vyrovnávání rozdílů v teplotě, salinitě, tlaku, ρ = ρ(p, T, S) vítr - wind stress F wind = ρ air C D AU 2 10 slapy produkují silné proudy,
Bardziej szczegółowoNumerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Bardziej szczegółowoKapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Bardziej szczegółowoMatematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Bardziej szczegółowo(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Bardziej szczegółowoStavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B3
(10) Vícerozměrný integrál II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 1 / 30 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = x + y a
Bardziej szczegółowoGeometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Bardziej szczegółowoAproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Bardziej szczegółowoÚvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Bardziej szczegółowoLinea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Bardziej szczegółowoNumerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Bardziej szczegółowokontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
Bardziej szczegółowoMatematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Bardziej szczegółowoVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Bardziej szczegółowoGEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Bardziej szczegółowoPrůvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Bardziej szczegółowoStochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Bardziej szczegółowoNecht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Bardziej szczegółowoCo nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Bardziej szczegółowoCauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Bardziej szczegółowoEdita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Bardziej szczegółowoLineární algebra - iterační metody
Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je
Bardziej szczegółowoJednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Bardziej szczegółowoDiferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
Bardziej szczegółowoDFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Bardziej szczegółowoMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Bardziej szczegółowoTeorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.
8. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě
Bardziej szczegółowoJednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Bardziej szczegółowoUrčitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Bardziej szczegółowoObsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Bardziej szczegółowox2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Bardziej szczegółowoAutomatové modely. Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Automatové modely Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Stefan
Bardziej szczegółowo5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Bardziej szczegółowoPowyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!
Krykiet W krykieta może grać od 2 do 4 osób, którzy albo grają każdy przeciw każdemu, albo dzielą się na dwie drużyny. Bramki oraz palik startowy i powrotne umieszcza się tak, jak pokazano na rysunku.
Bardziej szczegółowo(A B) ij = k. (A) ik (B) jk.
Příklady z lineární algebry Michael Krbek 1 Opakování 1.1 Matice, determinanty 1. Je dána matice 1 2 0 M = 3 0 1. 1 0 1 Určete M 2, MM T, M T M a vyjádřete M jako součet symetrické a antisymetrické matice!
Bardziej szczegółowoLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17
Bardziej szczegółowoStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení deváté aneb Důležitá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 15 Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Spojitá náhodná veličina
Bardziej szczegółowoOperace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Bardziej szczegółowoTeorie plasticity. Varianty teorie plasticity. Pružnoplastická matice tuhosti materiálu
Teorie plasticity Varianty teorie plasticity Teorie plastického tečení Přehled základních vztahů Pružnoplastická matice tuhosti materiálu 1 Pružnoplastické chování materiálu (1) Pracovní diagram pro případ
Bardziej szczegółowoZákladní elektrotechnická terminologie,
Přednáška č. 1: Základní elektrotechnická terminologie, veličiny a zákony Obsah 1 Terminologie 2 2 Veličiny 6 3 Kirchhoffovy zákony 11 4 Literatura 14 OBSAH Strana 1 / 14 1 TERMINOLOGIE Strana 2 / 14 1
Bardziej szczegółowoKapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura
Bardziej szczegółowoZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky bakalářská práce vícebodové okrajové úlohy Plzeň, 18 Hana Levá Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala
Bardziej szczegółowoFAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA AKUTA STAVEBNÍ Stavební statika Pohyblivé zatížení Jiří Brožovský Kancelář: P H 406/3 Telefon: 597 32 32 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast0.vsb.cz/brozovsky
Bardziej szczegółowoSb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
Bardziej szczegółowoEnergetické principy a variační metody ve stavební mechanice
Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1 Přetvárná
Bardziej szczegółowo(13) Fourierovy řady
(13) Fourierovy řady Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 1 / 22 O sinech a kosinech Lemma (O sinech a kosinech) Pro m, n N 0 : 2π 0 2π 0 2π 0 sin nx dx = sin nx cos mx
Bardziej szczegółowoRobotika. Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D.
Robotika Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D., Řízení stacionárních robotů P P z q = f 1 (P) q z Pøímá úloha q U ROBOT q P R q = h(u) P = f (q) DH: Denavit-Hartenberg (4DOF/kloub) A i
Bardziej szczegółowoElementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Bardziej szczegółowo(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Bardziej szczegółowoSlabá formulace rovnic proudění tekutin
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁC Mark Dostalík Slabá formulace rovnic proudění tekutin Matematický ústav UK Vedoucí bakalářské práce: Studijní program: Studijní
Bardziej szczegółowoAnna Kratochvílová Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu / 17
Parciální diferenciální rovnice ve zpracování obrazu Anna Kratochvílová FJFI ČVUT 10. 6. 2009 Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu 10. 6. 2009 1 / 17 Obsah 1 Motivace 2 Vyšetření pomocí
Bardziej szczegółowoalgebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy
1 Úvodem Prezentace předmětu VMP je vytvořena pro nový předmět, který si klade za cíl seznámit studenty se základy lineární algebry a se základy numerické matematiky. Zejména v prvním tématu budeme pracovat
Bardziej szczegółowoMatematická analýza 2. Kubr Milan
Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................
Bardziej szczegółowoInternet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17.
Internet a zdroje (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17. listopadu 12 26. listopadu 2010 (KFC-INTZ) Databáze, citování 26. listopadu 2010
Bardziej szczegółowo1 Předmluva Značení... 3
Sbírka příkladů k předmětu Lineární systémy Jan Krejčí, korektura Martin Goubej 07 Obsah Předmluva. Značení..................................... 3 Lineární obyčejné diferenciální rovnice s konstantními
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
Bardziej szczegółowoParadoxy geometrické pravděpodobnosti
Katedra aplikované matematiky 1. června 2009 Úvod Cíle práce : Analýza Bertrandova paradoxu. Tvorba simulačního softwaru. Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 V rovině je zadán kruh
Bardziej szczegółowo(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
Bardziej szczegółowoPlyny v dynamickém stavu. Jsou-li ve vakuovém systému různé teploty, nebo tlaky dochází k přenosu energie, nebo k proudění plynu.
Plyny v dynamickém stavu Jsou-li ve vakuovém systému různé teploty, nebo tlaky dochází k přenosu energie, nebo k proudění plynu. Difuze plynu Mechanismus difuze závisí na podmínkách: molekulární λ L viskózně
Bardziej szczegółowoJan Korous. Modelování konstitutivních vztahů v termodynamice tekutin a jejich relevance k matematické analýze
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Jan Korous Modelování konstitutivních vztahů v termodynamice tekutin a jejich relevance k matematické analýze Matematický ústav
Bardziej szczegółowoROBUST January 19, Zdeněk Fabián Ústav informatiky AVČR Praha
ROBUST 2014 Zdeněk Fabián Ústav informatiky AVČR Praha January 19, 2014 Starověk x 1,..., x n data průměry Starověk x 1,..., x n data průměry aritm., geom., harm. Novověk Model F a skórová funkce Ψ F inferenční
Bardziej szczegółowopodle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
Bardziej szczegółowoPetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36
(1) Vzorové otázky Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36 Limity - úlohy Otázka Určete lim x 0 f (x) A -3 B 0 C 5 D 7 E D Zdroj: Calculus: Single and Multivariable,
Bardziej szczegółowo7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
Bardziej szczegółowoZadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných
Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T
Bardziej szczegółowoTransformace okrajových podmínek pomocí Poisson-Lie T-plurality
České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská VÝZKUMNÝ ÚKOL Transformace okrajových podmínek pomocí Poisson-Lie T-plurality Ivo Petr Vedoucí práce: Prof. RNDr. Ladislav Hlavatý,
Bardziej szczegółowoTeorii Relativity. My nastoupíme do konkrétní inerciální soustavy a v ní budeme hledat detailnější pochopení významu těchto polních rovnic.
Poznámky k přednášce Klasická elektrodynamika Úvod Fyzikální pole je následníkem principu působení na dálku. V klasické představě zprostředkovává pole vytvářené jedním zdrojem působení na druhý zdroj.
Bardziej szczegółowoInternetová matematická olympiáda 8. ročník, Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem:
Internetová matematická olympiáda 8. ročník, 24. 11. 2015 1. Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem: Kamarád: Co jsi tak veselý? Něco slavíš? Student FSI: Já přímo ne,
Bardziej szczegółowoÚstav anorganické technologie: Aplikovaná reakční kinetika - cvičení 6. Tok E do. + tupním proudem N N. i=1
6 Bilance energie Bilanci energie (E) je možno formulovat následovně Množství Rychlost Tok E do akumulace = systému z vyko- nané práce E v systému okolí systémem Množství dodané E vs- Množství + tupním
Bardziej szczegółowoTvarová optimalizace pro 3D kontaktní problém
Tvarová optimalizace pro 3D kontaktní problém s Coulombovým třením Petr Beremlijski, Jaroslav Haslinger, Michal Kočvara, Radek Kučera a Jiří V. Outrata Katedra aplikované matematik Fakulta elektrotechnik
Bardziej szczegółowoElektrodynamika. 1 Elektrické a magnetické veličiny, jednotky SI
Elektrodynamika Elektriké a magnetiké veličiny, jednotky SI Elektriký proud I je v systému SI základní veličina, jednotka je Ampere A. Definie: Stejné proudy ve rovnoběžnýh dráteh ve vzdalenosti m mají
Bardziej szczegółowoObsah. Zobrazení na osmistěn. 1 Zobrazení sféry po částech - obecné vlastnosti 2 Zobrazení na pravidelný konvexní mnohostěn
Obsah 1 2 3 Použití Zobrazení rozsáhlého území, ale hodnoty zkreslení nesmí přesáhnout určitou hodnotu Rozdělením území na menší části a ty pak zobrazíme zvlášť Nevýhodou jsou však samostatné souřadnicové
Bardziej szczegółowov = v i e i v 1 ] T v =
v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i v T v = = v v n v n U v v v +q 3q +q +q b c d XY X +q Y 3q r +q = r 3q = r +q = r +q = r 3q = r +q = E = E +q + E 3q + E +q = k q r+q 3 + k 3q r 3q 3 b V = kq
Bardziej szczegółowo1 Derivace funkce a monotonie
MA 10. cvičení intervaly monotonie a lokální extrémy Lukáš Pospíšil,2012 1 Derivace funkce a monotonie Jelikož derivace funkce v daném bodě je de-facto směrnice tečny (tangens úhlu, který svírá tečna s
Bardziej szczegółowoOdpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Lineární prostor Lineární kombinace Lineární prostory nad R Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 01A-2018: Lineární
Bardziej szczegółowoObsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
Bardziej szczegółowoEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Bardziej szczegółowoAlgebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se
Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých
Bardziej szczegółowoFyzika laserů. Kvantová teorie laseru. 22. dubna Katedra fyzikální elektroniky.
Fyzika laserů Kvantová teorie laseru Kvazidistribuční funkce. Zobecněné uspořádání. Fokkerova-Planckova rovnice. Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz
Bardziej szczegółowox y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].
II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.
MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita arlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matěj Novotný Operátory skládání na prostorech funkcí atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný
Bardziej szczegółowofakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Bardziej szczegółowoDavid Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE David Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky Katedra numerické matematiky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Vladimír Janovský
Bardziej szczegółowoPojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.
1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny
Bardziej szczegółowoÚstav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Pavel Boček, Karel Vrbenský: Implementace algoritmu MIDIA v prostředí Google Spreadsheets
Akademie věd České republiky Ústav teorie informace a automatizace Academy of Sciences of the Czech Republic Institute of Information Theory and Automation RESEARCH REPORT Pavel Boček, Karel Vrbenský:
Bardziej szczegółowo