Twierdzenie Jordana bez wyznacznika
|
|
- Barbara Mikołajczyk
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Twierdzenie Jordana bez wyznacznika Światosław R. Gal zima 21/211 Oznaczenia Niech K będzie ciałem (np. Q, R, C). Zbór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach z K będziemy oznaczać K[X]. Niech V będzie ustaloną przestrzenią wektorową nad K a A przekształceniem K- liniowym A: V V. Przez Ker A będziemy oznaczać jądro odwzorowania A, tzn. podprzestrzeń wektorów v V o tej własności, że Av =. Przez obraz Im A odwzorowania A będziemy oznaczać podprzestrzeń wektorów postaci Av dla v V. Definicja. Podprzestrzenią V nazwiemy niepusty podzbiór V o tej własności, że każda kombinacja liniowa wektorów z podzbioru należy do podzbioru. 1. Pokaż, że Ker A oraz Im A są podprzestrzeniami V. 1. Przekształcenia nilpotentne Niech V będzie ustaloną przestrzenią wektorową. Definicja. Przekształcenie liniowe A: V V nazwiemy nilpotentnym jeśli istnieje liczba naturalna k taka, że A k jest operatorem zerowym. Najmniejsze takie k nazwiemy stopniem nilpotentności A. Niech A będzie odwzorowaniem nilpotentnym. Oznaczmy W = Im A. Indukcyjnie załóżmy, że W ma bazę {v 1,1, v 1,2,..., v 1,n1,..., v k,1,..., v k,nk } taką, że Av i,j = { vi,j 1 dla j > 1, dla j = 1. Wybieżmy rozwiązanie równania Av j,n j +1 = v j,n j. Oraz połóżmy m j := n j + 1. Ponieważ v i,1 Ker A są liniowo niezależne (dlaczego?) możemy uzupełnić układ {v 1,1,..., v k,1 } do bazy {v 1,1,..., v k,1, v k+1,1,..., v l,1 } przestrzeni Ker A.
2 2. Sprawdź, że jest bazą V. {v 1,1, v 1,2,..., v 1,n 1,..., v k,1,..., v k,n k, v k+1,1..., v l,1 } 3. Sprawdź, że w powyższej bazie macierz A będzie miała postać A = Definicja. Macierz postaci nazwiemy nilpotentną klatką Jordana. PRZYKłAD 1: Niech 1 1 A = 1 1 Łatwo sprawdzić, że A 2 =. Podobnie łatwo zauważyć, że Im A jest rozpięte przez wektor ( 1 ) 1. Rozwiązując równanie Av1,2 = ( 1 ) 1 możemy wziąć v1,2 = ( 2 1). I w bazie {v 1,1, v 1,2 } macierz A ma postac A =. PRZYKłAD 2: Niech A =
3 Łatwo sprawdzić, że A 2 =. dokonując operacji wierszowych sprowadzamy A do postaci schodkowej: Wobec czego Im A jest rozpięta przez dwa pierwsze swoje kolumny. Połózmy Oczywiście (dlaczego?) możemy położyć v 1,1 = 2, v 2,1 = v 1,2 =, v 2,2 =. Oraz (na przykład) Wtedy w bazie macierz A ma postać 1 v 3,1 = 2 {v 1,1, v 1,2, v 2,1, v 2,2, v 3,1 } A =. 2. Suma prosta i rzuty Suma prosta jest uogólnieniem pojęcia bazy.
4 Definicja. Mówimy, że podprzestrzenie V 1,..., V k są liniowo niezależne jeśli v v k = oraz v i V i wymusza, że dla każdego i k zachodzi v i =. Definicja. Mówimy, że podprzestrzenie V 1,..., V k przestrzeni V generują przestrzeń V jeśli każdy wektor v V jest postaci v v k = gdzie v i V i. Definicja. Mówimy, że V jest sumą prostą podprzestrzeni V 1,..., V k jeśli V jest generowane przez podprzestrzenie V 1,..., V k i podprzestrzenie te są liniowo niezależne. Oznaczamy wtedy V = V 1 V k = k i=1 V i. 4. Pokaż, że V = V 1 V k wtedy i tylko wtedy gdy każdy wektor v V zapisuje się jednoznacznie jako v = v v k gdzie v i V i. PRZYKłAD: Niech w i będą niezerowymi wektorami. Niech V i = {kw i k K}. Wtedy przestrzenie V = k i=1 V i wtedy i tylko wtedy gdy w 1,..., w k stanowią bazę V. Definicja. Przekształcenie liniowe P: V V nazwiemy rzutem jeśli P 2 = P. 5. Pokaż, że jeśli P jest rzutem to V = Ker P Im P. 6. Niech P będzie rzutem przemiennym z odwzorowaniem A. Pokaż, że Im P jest niezmienniczą przestrzenią A, tzn. A(Im P) Im P. 7. Niech I = P P k. Niech P i będą rzutami (P 2 i = P i ) takimi, że P i P j = dla i j. Pokaż, że V = k i=1 Im P i. 8. Zdefiniuj sumę prostą odwzorowań A j : V i V i. 3. Interludium: Algorytm Euklidesa Fakt (O dzieleniu z resztą). Niech a i b będą liczbami całkowitymi. Istnieją liczby całkowite k i r takie, że r b oraz a = kb + r. 9. Niech M = {ax + by x, y Z}. Niech c będzie najmniejszą dodatnią liczbą w zbiorze M. Pokaż, że c jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b. WSKAZÓWKA: Oczywiście c jest podzielne przez każdy wspólny dzielnik a i b. W celu pokazania, że c dzieli a i b podziel a z resztą przez ac. Dlaczego reszta jest równa zero? 1. Naucz się dzielić pisemnie wielomiany. 11. Pokaż, że dla dowolnych wielomianów f (x), g(x) K[x] (deg g(x) > ) istnieją wielomiany h(x), r(x) K[x] takie, że deg r(x) < deg b(x) oraz f (x) = h(x)g(x) + r(x). 12. Niech M = {p(x)f (x) + q(x)g(x) p(x), q(x) K[x]}. Niech h(x) będzie wielomianem najmniejszego stopnia w zbiorze M. Pokaż, że h(x) jest największym wspólnym dzielnikiem f (x) i g(x). To znaczy, że h(x) dzieli (bez reszty) f (x) oraz g(x) oraz każdy wspólny dzielnik f (x) i g(x) jest dzielnikiem h(x).
5 Definicja. Mówimy, że dwie liczby (lub dwa wielomiany) są względnie pierwsze jeśli ich największy wspólny dzielnik jest równy jeden (stopnia zero). Niech R oznacza zbiór liczb całkowitych. 13. Niech f i g, elementy R, będą względnie pierwsze. Pokaż, że jeśli f dzieli iloczyn gh, gdzie h R to f dzieli h. 14. Niech g i h, elementy R będą względnie pierwsze. Pokaż, że jeśli g oraz h dzielą f R to iloczyn gh dzieli f. 15. Niech f i będą parami względnie pierwszymi elementami R. Niech f = f 1... f k. Pokaż, że istnieje elementy g i R takie, że dla każdego 1 i k, f i g i jest podzielne przez f, g 2 i g i jest podzielne przez f, dla i j element g i g j jest podzielny przez f, oraz k i=1 g i daje resztę jeden z dzielenia przez f. WSKAZÓWKA: Niech h i = f 1... f i 1 f i+1... f k. Ponieważ f i i h i są względnie pierwsze (dlaczego?) istnieją a i oraz b i takie, że a i f i + b i h i = 1. Połóżmy g i = b i h i. 16. Zrób powyższe trzy zadania dla R = K[x]. 4. Rozkład Jordana we własnej osobie 17. Niech V będzie przestrzenią d wymiarową. Pokaż, że przestrzeń odwzorowań liniowych V V jest skończenie (ilu?) wymiarową przestrzenią liniową. 18. Niech A będzie odwzorowaniem liniowym V V. Pokaż, że potęgi odwzorowania A są liniowo zależne. Oszacuj z góry minimalny stopień niezerowego wielomianu f takiego, że f (a) =. Niech f (x) = p 1 (X) a1 p k (x) a k będzie wielomianem takim, że f (A) = oraz p i są względnie pierwsze. 19. Korzystając z zadania 12. (dla f i (x) = p i (x) a i ) znajdź rozkład 1 = P 1 + +P k, gdzie P i = g i (A) są rzutami takimi, że odwzorowanie A i : Im P i Im P i powstałe przez obcięcie odwzorowania A do Im P i spełnia p i (A i ) a i =. Dlaczego rzuty P i są przemienne oraz komutują z A? Ciało K mające tę własność, że każdy wielomian jest iloczynem czynników liniowych (stopnia jeden) nazwiemy algebraicznie domkniętym. UWAGA: Taką własność ma ciało liczb zespolonych. (Patrz Dodatek III.) Jeśli p i (x) = x λ oraz p i (A i ) rozkłada się w sumę prostą odwzorowań w postaci nilpotentnych klatek Jordana to A i rozkłada się w sumę klatek postaci λ 1 λ λ 1, λ które nazwiemy klatkami Jordana.
6 Twierdzenie. Jeśli K jest algebraicznie domknięte to Każde przekształcenie liniowe K d K d dopuszcza bazę, w której jest sumą klatek Jordana (z być może rożnymi λ na diagonali). Dodatek I. A jednak wyznacznik Szukanie wielomianu f takiego, że f (A) licząc potęgi macierzy jest niepraktyczne. Rozpatrzmy A w postaci sumy klatek Jordana. Jest jasne, ze det(x A) jest postaci (x λ) d λ gdzie d λ jest sumą rozmiarów klatek z wartością lambda na diagonali. Definicja. Wielomian χ A (x): = det(x A) nazwiemy wielomianem charakterystycznym odwzorowania A. 2. Dlaczego wielomian charakterystyczny nie zależy od wyboru bazy dla A? 21. Pokaż, że χ A (A) =. (To się nazywa Twierdzenie Cayleya Hamiltona). 22. Oblicz χ A (x) dla A = Dodatek II. O rugowniku 23. Niech f (x) = a n x n + + a 1 x + a oraz g(x) = b m x m + + b 1 x + b będą wielomianami takimi, że a n oraz b m. Udowodnij, że wielomiany f i g są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy det R(f, g) =, gdzie a n a n 1 a a n a 1 a a n a n 1 a R(f, g) := a n a 1 a b m b m 1 b 1 b b m b 2 b 1 b b m b m 1 b b m b m 1 b 1 b nazywamy rugownikiem wielomianów P i Q. WSKAZÓWKA: Spróbuj rozwiązać równanie f (x)u(x) + g(x)v(x) = h(x) gdzie h(x) jest dowolnym wielomianem stopnia mniejszego niż m + n.
7 24. Pokaż, ze jeśli równanie f (x)u(x) + g(x)v(x) = h(x) dla h(x) będącego dowolnym wielomianem stopnia mniejszego niż m + n to można wybrać u(x) i v(x) tak, by deg u(x) < deg g(x) oraz deg v(x) < deg f (x). Dodatek III. O zasadniczym Twierdzeniu Algebry Definicja. Element p(x) K[x] nazwiemy pierwszym jeśli (ma dodatni stopień oraz) z tego, że p(x) dzieli f (x)g(x) wynika, że p(x) dzieli f (x) lub dzieli g(x). 25. Niech f K[X]. Pokaż, że jeśli f jest nierozkładalny, to f jest pierwszy. WSKAZÓW- KA: Zaadaptuj algorytm Euklidesa. 26. Niech K[X]/f (X) oznacza reszty z dzielenia przez f (wiadomo co to znaczy, że dwa wielomiany dają te samą resztę, ale jak zdefiniować resztę?). Pokaż, że w K[X]/f (X) elementy niezerowe są odwracalne. K[X]/ f (X) nazwiemy ciałem reszt. 27. Nadużyjmy oznaczeń oznaczając przez X wielomian tożsamościowy. Pokaż, że f (X) = w K[X]/f (X). Jeśli dla k K przez k oznaczamy wielomian stały (rożny k) to otrzymamy włożenie K K[X]/ f (X). 28. Pokaż, że w C (Jeśli jeszcze nie wiesz, co to liczby zespolone C, to C = R[i]/(i 2 + 1)) każdy wielomian kwadratowy ma pierwiastek. 29. Niech f będzie dowolnym wielomianem z K. Pokaż, że indukcyjnie wykonując konstrukcję ciała reszt można skonstruować ciało zawierające K, w którym f ma wszystkie pierwiastki. Najmniejsze takie ciało nazywa się ciałem rozkładu f. 3. Pokaż, że dla każdego ciała K można skonstruować ciało K o tej własności, że każdy wielomian z K[X] ma pierwiastek w K. Rozpatrując ciąg K K K... skonstruuj ciało K zawierające K o tej własności, że każdy wielomian z K[X] ma pierwiastek w K. 31. Pokaż, że każdy wielomianem stopnia nieparzystego o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastek rzeczywisty. 32. Pokaż, że każdy wielomian symetryczny (wielomian, którego wartość nie zależy od kolejności zmiennych) w zmiennych X 1,..., X n zapisuje się jako wielomian od zmiennych σ 1 = X X n, σ 2 = X 1 X 2 + X 1 X X n 1 X n etc. 33. Niech f (z) = a j z j = (X z k ), (z k należą do ciała rozkładu f ) będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Zdefiniujmy F a (z) = (z z kl ) gdzie z kl = z k z l + a(z k + z l ) oraz a jest ustaloną liczbą rzeczywistą. Pokaż, że F ma rzeczywiste współczynniki. 34. Pokaż, ze jeśli 2 N+1 nie dzieli stopnia f (ale f ma stopień parzysty) to 2 N nie dzieli stopnia F a. 35. Załóżmy, że każdy z wielomianów F a ma pierwiastek zespolony. Pokaż, ze istnieją dwie liczby rzeczywiste a ± oraz indeksy k, l takie, że z k z l + a ± (z k + z l ) C. Wywnioskuj, że z k oraz z l są liczbami zespolonymi. WSKAZÓWKA: Zad Wywnioskuj (z zadań 6.-9.), że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastek zespolony.
8 37. Niech będą dane dwa ciągi liczb x, x 1,..., x n oraz y, y 1,..., y n. Załóżmy, ze x i x j dla i j. Pokaż, że istnieje dokładnie jeden wielomian f stopnia n taki, że f (x i ) = y i. 38. Niech f będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych. Pokaż, że f 2 ma współczynniki rzeczywiste. (Dlaczego f 2 jest wielomianem?) 39. Wywnioskuj (z zadań 1. i 12.), że każdy wielomian o współczynnikach zespolonych ma pierwiastek zespolony. 4. Naucz się co to jest Grupa Galois (na przykład chodząc na wykład z algebry dla drugiego roku). Przeczytaj dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry z Algebry Serge a Langa. Porównaj. 41. Zapytaj jakiegoś Geometrę (np. Piotra Śniadego, Ewę Damek, Jarka Wróblewskiego lub Jerzego Kriakina) o jego ulubiony dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry. (Możesz też zajrzeć do list zadań z konwersatorium Piotra Śniadego). 42. Zapytaj jakiegoś Geometrę co to jest stopień odwzorowania. Przeczytaj z książeczki Jana Milnora Geometria z różniczkowego punktu widzenia dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry. 43. Przeczytaj dowolną inna/wszystkie książki Jana Milnora. 44. Zapytaj jakiegoś Analityka co to jest funkcja harmoniczna, co mówi zasada maksimum i dlaczego wynika z niej Zasadnicze Twierdzenie Algebry. 45. Znajdź lub wymyśl inny dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry. 46. Zapytaj jakiegoś Logika co to jest Nullstelensatz i dlaczego jest uogólnieniem Zasadniczego Twierdzenia Algebry. a wielomian X 3 2? Zadania 47. Pokaż, że kolekcja klatek w rozkładzie jest jednoznacznie wyznaczona przez odwzorowanie. Przedyskutuj niejednoznaczność bazy, w której przekształcenie rozkłada się jak w twierdzeniu. Niech f i (x) = x λ. Podpzestrzenie V λ := Im P i nazwiemy przestrzeniami pierwiastkowymi odwzorowania A. Przestrzenie V λ := Ker(A λ) nazwiemy przestrzeniami własnymi odwzorowania A. 48. Pokaż, że V λ oraz V λ są A-niezmiennicze. 49. Pokaż, że V λ jest podprzestrzenią w V λ. 5. Pokaż, żę V λ = Ker(A λ) N jeśli N jest dostatecznie duże. 51. Rozwiąż (w Mat 2 2 (R) oraz Mat 2 2 (C)) równanie X 2 1 = A, gdzie (a) A =, (b) A = (c) A =. (WSKAZÓWKA: d a 2 = (d a)(d + a)). Ile rozwiązań ma powyższe równanie dla A = ( 1 )?
9 52. Rozwiąż równania macierzowe: (a) M 2 = ; (b) M 2 = Podaj przykład macierzy A M 3 3 (R), której żaden wyraz nie jest równy, ale A 3 =. 54. Co wiadomo o postaci Jordana zespolonej macierzy A, jeśli: (a) A 2 = I; (b) A 2 = A; (c) A 2 = A Znajdź postać Jordana macierzy A, wiedząc że χ A (x) = (3 x) 4 (2 + x), rk(a 3I) = 2. Czy da się to zrobić, jeśli rk(a 3I) = 1, 3, 4? 56. Uzasadnij, że jeśli V = V λ (F), zaś dim V λ (F) = 1, to postacią Jordana F jest pojedyncza klatka Jordana. Używając tego kryterium podaj kilka możliwie skomplikowanych macierzy, których postać Jordana jest pojedyncza klatka Jordana. 57. Niech F n =. Pokaż, że rozmiar największej klatki w postaci Jordana F jest równy min{k : F k = }. 58. Uzasadnij, że jeśli A M n n (R) spełnia A 1 =, to również A n =. Udowodnij, że jeśli A M n n (C), A N = I, to A jest diagonalizowalna, a jej wartości własne są pierwiastkami z jedynki stopnia N. 59. Uzasadnij, że jeśli każde z przekształceń liniowych F 1,..., F k : V V jest diagonalizowalne, oraz ( i, j)(f i F j = F j F i ), to istnieje baza V, której każdy element jest wektorem własnym każdego z przekształceń F i. [Komutujące przekształcenia diagonalizowalne diagonalizują się we wspólnej bazie.] 6. Użyj poprzedniego zadania do pokazania, że jeśli identyczność jest sumą komutujących rzutów, to przestrzeń jest sumą ich obrazów. UWAGA: jeśli wiesz co to jest charakterystyka ciała, to zrób odpowiednie założenie. 61. Udowodnij, że jeśli v V λ, a (F λ) k v, to v, (F λ)v, (F λ) 2 v,..., (F λ) k v są lnz. 62. Uzasadnij, że jeśli F k+1 (v) lin(v, F(v),..., F k (v)), to lin(v, F(v),..., F k (v)) jest F-niezmiennicza. 63. Wyznacz przestrzenie własne, postać Jordana i przestrzenie pierwiastkowe odwzorowań zadanych macierzami: ; ; ; ; ; Znajdź postacie Jordana i bazy jordanowskie dla macierzy: 1 ; 1 ; 1 ;
10 65. Znajdź postacie Jordana (najlepiej nie wyznaczając baz jordanowskich) dla macierzy: ; ; ; Wykaż, że dla A M n n (C) zachodzi wzór det exp A = e tr A. (PRZYPOMNIENIE: exp A := n= n! An.) 67. Udowodnij, że dowolny endomorfizm zespolonej przestrzeni liniowej można przedstawić w postaci S + N, gdzie S, N są liniowe, S jest diagonalizowalne, N jest nilpotentne (tzn. pewna potęga N jest równa ), oraz S N = N S. Czy przedstawienie takie jest jednoznaczne? 68. Oblicz eksponens macierzy: Porównaj wyniki. a b 1 b a a b b a oraz ZADANIA DODATKOWE: a + bi 1. (a, b R) a + bi 69. Pokaż, że 2+ 3 jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych. Czy jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych? Uogólnij. 7. Ile pierwiastków w R [ 3 2 ] = R[X]/(X 3 2) 71. Mówimy, że liczba z jest algebraiczna, jeśli jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (lub z innego ulubionego ciała). Korzystając z rugownika udowodnij, że suma (iloczyn) dwóch liczb algebraicznych jest algebraiczna. Podaj wielomian spełniany przez liczbę z 1 + z 2, gdzie z 1 spełnia równanie (tu podaj jakieś wstętne równanie kubiczne), a z 2 spełnia równanie (tu podaj jakieś wstętne równanie kubiczne). UWAGA: To zadanie zostało (efektywnie) zrobione jeśli z 2 ma spełniać równanie kwadratowe. 72. Czy pierwiastki wielomianu o współczynnikach algebraicznych są zawsze algebraiczne? Czy funkcje wymierne liczb algebraicznych są zawsze algebraiczne? 73. Wyróżnikiem (f ) wielomianu f nazywamy wielkość R(f, f ). Pokaż, że (F) = ± (ζ i ζ j ). Jaki jest prawidłowy znak w powyższej równości? i j
11 74. Pokaż, że det t 1 t 2... t n t1 2 t tn t1 n 1 t2 n 1... tn n 1 = (t i t j ). i>j 75. Otoczką wypukłą zbioru {z 1,..., z k } R n nazywamy zbiór { k λ i z i λ i 1, i=1 } k λ i = 1. Na krzywej x(t) = (t, t 2,..., t n ) wybierzmy N punktów x i = x(t i ). Niech Π oznacza otoczkę wypukłą punktów x 1, x 2,..., x N. Pokaż, że wszystkie ściany Π są sympleksami. Pokaż, że jeśli 2k n to otoczka wypukła zbioru x i1, x i2,..., x ik jest ścianą Π. 76. Poczytaj ksiązkę Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants Izraela Gelfanda, i=1
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowo1 Podobieństwo macierzy
GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =
Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowo1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoRównania wielomianowe
Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoR k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowo3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY SUPER TRUDNE
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,
Bardziej szczegółowospis treści 1 Zbiory i zdania... 5
wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów
Bardziej szczegółowoz = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoPostać Jordana macierzy
Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R n (dla odpowiednich n) (a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v R} R 4, (b) {[u, v,
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoWielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowoSeria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
Bardziej szczegółowo2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowoEndomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowo