Podstawowepojęcia. Na początkupodamypodstawowepojęcia używanewdalszejczęścipodręcznika

Transkrypt

1 Podstawowepojęcia Na początkupodamypodstawowepojęcia używanewdalszejczęścipodręcznika Oprocentowanie kapitału -opłata za użytkowaniekapitałuprzez danyokres. Odsetki -wielkośćuzyskanego dochoduzoprocentowania. Stopa procentowa -stosunekopłatyza użytkowaniekapitałuw danymokresie(czyliodsetek)do kapitału,któryjest użytkowany.

2 PRZYKŁAD1. Lombard pożyczył panu K400 złotych. Po miesiącu pan Amusiał oddać 450 złotych. Wyznacz stopę procentową. Rozwiązanie. Odsetki wyniosły = 50 złotych. Zatem miesięczna stopa procentowa wyniosła = 1 8 = 12.5%. W dalszej części będziemy stosować oznaczenia: K 0 - początkowa kwota, od której naliczane będą odsetki; p - stopa procentowa ustalonego podstawowego okresu (np. kwartału, miesiąca, dnia itp.); K n - wielkość kapitału (razem z odsetkami) po n podstawowych okresach. Nominalna stopa procentowa Często stopę procentową podaje się w skali rocznej, a okres kapitalizacji jest całkowitym okresem roku. Oznacza to, że rok jest podzielony na k równych okresów i kapitalizacja następuje po każdym okresie. Wówczas stopa procentowa danego okresu jest równa stopie procentowej w skali rocznej podzielonej przez k. Taką roczną stopę procentową będziemy nazywać nominalną stopą procentową i oznaczać NSP lubr. Związek pomiędzy nominalną stopą procentową i stopą danego okresu wyraża się zależnością (1) p = NSP k albo p = t 0 NSP, gdzie t 0 jest czasem okresu kapitalizacji mierzonym w latach. W praktycznych zastosowaniach często przyjmuje się, że rok ma: równej długości cztery kwartały (t 0 = 1 4 = 0.25), równej długości 12 miesięcy (t 0 = 1 12 = ), 52 tygodnie (t 0 = 1 52 = ), 360 dni (t 0 = = ) i 8640 godzin (t 0 = ).

3 PRZYKŁAD 2. Nominalna roczna stopa procentowa wynosi 20%. Jaka jest półroczna, kwartalna, miesięczna, tygodniowa, dzienna i godzinna stopa procentowa? Rozwiązanie. Półroczna: p = NSP 2 = = 10%, kwartalna: p = NSP 4 = = 5%, miesięczna: p = NSP 12 = = 1.67%, tygodniowa: p = NSP 52 = = 0.38%, dzienna: p = NSP 360 = = 0.056%, godzinna: p = NSP 8640 = = %. Oprocentowanie proste Przy oprocentowaniu prostym odsetki na końcu każdego okresu naliczane są od kwoty początkowej K 0. Oznacza to, że odsetki nie są oprocentowane. Wynika stąd, że (2) K n = K 0 (1 +np). Ciąg (K n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy pk 0. 11

4 12 PRZYKŁAD 3. Pan A kupił za sumę 1500 złotych udziały firmy X. Firma co miesiąc wypłaca udziałowcom odsetki uzyskane przy oprocentowaniu prostym z miesięczną stopą procentową 2%. Pytania: a) jaką kwotę dostaje pan A co miesiąc? b) po ilu miesiącach kwota z odsetek osiągnie zainwestowaną sumę? Rozwiązanie. a) Miesięczne odsetki wynoszą = 30 złotych. b) Odsetki po n miesiącach wyniosą 30n. Rozwiązując równanie 30n = 1500 mamy n = 50. Zatem kwota z odsetek osiągnie zainwestowaną sumę po 50 miesiącach. Oprocentowanie składane Przy oprocentowaniu składanym odsetki są naliczane na końcu każdego okresu od kwoty początkowej tego okresu. Przypuśćmy, że wpłacamy kwotę początkową K 0 i stopa procentowa wynosi p. Pod koniec pierwszego okresu odsetki naliczamy od tej właśnie kwoty. Zatem K 1 = K 0 + pk 0 = K 0 (1 + p). Pod koniec drugiego okresu odsetki naliczamy od kwoty początkowej drugiego okresu, czyli od kwoty K 1. A więc K 2 = K 1 + pk 1 = K 1 (1 + p) = K 0 (1 + p) 2. Ostatecznie otrzymamy wzór: (3) K n = K 0 (1 + p) n. Wynika stąd, że ciąg (K n ) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie (1 + p).

5 PRZYKŁAD 4. Pan Bwpłacił do banku Ykwotę 2000 złotych. Bank stosuje oprocentowanie składane naliczając odsetki co miesiąc z miesięczną stopą procentową 1.5%. Pytania: a) jaką kwotą będzie dysponował pan Bpo półtora roku? b) po ilu miesiącach kwota zainwestowana przez pana Bpodwoi się? Rozwiązanie. a) Mamy K 0 = 2000, n = 18, p = Szukamy K 18 : K 18 = 2000 (1.015) 18 = złotych. b) Mamy K 0 = 2000, K n = 4000, p = Szukamy pierwszej liczby naturalnej n dla której K n Rozwiązujemy równanie Czyli n = 2. Stąd Odpowiedź: 47 miesięcy (1.015) n = n = ln 2 ln = Podobnie jak przy oprocentowaniu prostym, jeśli dana jest roczna stopa procentowa NSP, to stopę danego okresu obliczamy z wzoru p = NSP k gdy rok podzielony jest na k równych okresów., 13

6 14 PRZYKŁAD 5. Bank Z stosuje nominalną roczną stopę procentową 16% i oprocentowanie składane naliczając odsetki raz na miesiąc. Jaką kwotą dysponuje po 2 latach pan C, który wpłacił do banku 500 złotych? Rozwiązanie. Mamy NSP = 16%. Stąd p = = Dalej mamy K 0 = 500, n = 24. Mamy wyznaczyć K 24. K 24 = = 687 złotych.

7 PRZYKŁAD 6. Bank W stosuje oprocentowanie proste z kwartalną stopą procentową 8%, a bank V oprocentowanie składane z kwartalną stopą procentową 7%. Oba banki naliczają odsetki raz na kwartał. Pan D wpłacił do obu banków po 200 złotych. Po jakim czasie kwota w banku V przekroczy kwotę w banku W? Rozwiązanie. Oznaczmy przez Kn W kwotę po n kwartałach w banku W, przez Kn V kwotę po n kwartałach w banku V. Mamy: K1 W = 200 ( ) = 216 K1 V = 200( ) = 214. K W 2 = 200 ( ) = 232. K V 2 = 200 ( ) 2 = 229. K W 3 = 200 ( ) = 248, K V 3 = 200 ( ) 3 = 245. K W 4 = 200 ( ) = 264, K V 4 = 200 ( ) 4 = K W 5 = 200 ( ) = 280, K V 5 = 200 ( ) 5 = Otrzymujemy zatem odpowiedź: Kwota w banku W przekroczy kwotę w banku V po pięciu kwartałach. Oprocentowanie ciągłe Załóżmy, że podzieliliśmy rok na k okresów i stosujemy oprocentowanie składane z nominalną roczną stopą procentową r. Stopa r procentowa jednego okresu wynosi k. W czasie t, mierzonym w latach, mieści się tk okresów. A zatem kwota, którą dysponujemy po czasie t jest równa ( K r ) ( kt ( = K r ) ) k t. k k 15 Przypuśćmy, że bierzemy coraz więcej okresów. Odpowiada to sytuacji, że k dąży do niekończoności. Pamiętając, że otrzymujemy wzór ( lim 1 + r ) k = e r, k k

8 16 (4) K(t) = K 0 e rt, gdzie K(t) oznacza kwotę zgromadzoną po czasie t, przy czym t nie musi być liczbą całkowitą, ale może być dowolną liczbą dodatnią. Ten sposób naliczania odsetek nazywamy oprocentowaniem ciągłym. Uwzględnia on dowolny okres czasu, nawet bardzo krótki.

9 PRZYKŁAD 7. Pan Ejest gońcem w firmie X. Szeffirmy nakazał panu Ezanieść złotych do banku i wpłacić na konto firmy. Bank stosuje oprocentowanie ciągłe z roczną stopą procentową 16%. Pan Ewziął pieniądze o godzinie 8.00 rano i o 9.00 wpłacił na swoje prywatne konto w tym samym banku, po czym wypłacił pieniądze o godz i wpłacił na konto firmy. Jaką kwotę zarobił w ten sposób pan E? Rozwiązanie. Pan Etrzymał złotych na swoim koncie 10 przez 10 godzin. Stanowi to = część roku. Zatem stosując wzór na oprocentowanie ciągłe otrzymujemy K( ) = e Otrzymujemy odpowiedź: Pan E zarobil (ukradł) 183 złote. 17

10 18 PRZYKŁAD 8. Pan A wpłacił tę samą kwotę K 0 do czterech banków. Każdy z nich stosuje nominalną roczną stopę procentową 25%, przy czym pierwszy stosuje oprocentowanie proste, drugi składane kwartalne, trzeci składane miesięczne, a czwarty ciągłe. Po jakim czasie kwota zainwestowana przez pana A podwoi się w każdym z tych banków. Rozwiązanie. Trzeba rozwiązać cztery równania. W pierwszym banku: Stąd n = 4 lata. W drugim banku: ( Stąd n = n = ) n = 2. ln2 ln = kwartałów. W trzecim banku: ( ) n = 2. Stąd n = ln2 ln = miesiące. W czwartym banku: e 0.25t = 2. Stąd t = 4 ln 2 = 2.77 = 2 lata i 281 dni. Efektywna stopa procentowa Efektywną stopą procentową nazywamy taką stopę procentową, która w ciągu roku przy oprocentowaniu prostym da takie same odsetki jak dana stopa procentowa r przy oprocentowaniu składanym lub ciągłym. Oznaczmy efektywną stopę procentową przez r e. Porównując wzory na oprocentowanie proste ze składanym i ciągłym otrzymamy:

11 I. Przy oprocentowaniu składanym k-krotnym w ciągu roku jeśli nominalna roczna stopa procentowa wynosi r: Stąd (5) r e = K 0 (1 + r e ) = K 0 ( 1 + r k ) k. ( 1 + r k ) k 1. II. Przy oprocentowaniu ciągłym z roczną stopą procentową r: K 0 (1 + r e ) = K 0 e r. Stąd (6) r e = e r 1. 19

12 20 PRZYKŁAD 9. Bank W stosuje oprocentowanie składane z kapitalizacją kwartalną z nominalną roczną stopą procentową 15.4%, bank X oprocentowanie składane z kapitalizacją miesięczną z nominalną roczną stopą procentową 15.3% a bank Y oprocentowanie ciągłe z roczną stopą procentową 15.2%. Obliczyć efektywne stopy procentowe w tych bankach. Rozwiązanie. Bank W: p = ; Bank X: p = ; Bank Y: ( r e = ) 4 1 = = 16.31%. 4 ( r e = ) 12 1 = = 16.42%. 12 r e = e = = %. Dyskontowanie Przypuśćmy, że znamy przyszłą kwotę K n lub K(t) i stopę procentową p przy danym typie oprocentowania (proste, składane lub ciągłe). Wowczas wyliczając K 0 otrzymujemy: Przy oprocentowaniu prostym (7) K 0 = K n 1 + np, gdzie p jest stopą procentową jednego okresu, a n liczbą okresów. Inna postać tego wzoru K 0 = K 1 + t 0 r,

13 gdzie t 0 czas mierzony w latach, r - roczna stopa procentowa, K - kapitał końcowy. Przy oprocentowaniu składanym (8) K 0 = K n (1 + p) n. Przy oprocentowaniu ciągłym (9) K 0 = K(t)e rt. Obliczanie kwoty K 0 z jednego z powyższych wzorów nazywamy dyskontowaniem. Kwotę K 0 nazywamy kwotą zdyskontowaną, dyskontem różnicę pomiędzy kwotą, a kwotą zdyskontowaną. 1 Dyskontowanie wartość obecną kapitału, którego wartość znana jest w przyszłości. Często kwotę zdyskontowaną liczymy wykorzystując jeszcze jeden wzór (10) K 0 = K(t)(1 rt). Ten rodzaj dyskontowania nazywa się nieraz dyskontem handlowym lub bankowym i daje on najniższą kwotę zdyskontowaną. Przy niewielkich wielkościach t i r dyskonto handlowe odbiega od poprzedniego nieznacznie. Istotnie korzystając z wzoru Taylora dla funkcji e rt mamy e rt = 1 rt + e rξ r2 t 2 2, gdzie ξ (0; t). Ostatni składnik po prawej stronie dla małych t i r jest bardzo mały Niektóre źródła dyskontemnazywajączynnośćdyskontowania.

14 22 PRZYKŁAD 10. Pan chce za pół roku dysponować kwotą 50 tys. złotych. Ile musi zainwestować przy stopie procentowej 20% jeśli a) oprocentowanie jest proste b) oprocentowanie jest kwartalne składane, c) oprocentowanie jest miesięczne składane, d) oprocentowanie jest ciągłe, e) bank stosuje dyskonto bankowe. Rozwiązanie. a) Mamy r = 0.2, t 0 = 1 2, K = Stąd K 0 = = b) p = = 0.05, n = 2, K 2 = Stąd K 0 = = c) p = = , n = 6, K 6 = Stąd K 0 = = d) r = 0.2, t = 0.5, K(t) = Wtedy K 0 = e = e) r = 0.2, t 0 = 1 2, K = Stąd K 0 = 50000( ) = Inflacja i realna wartośćkapitału Inflacją nazywamy utrzymujący się przez pewien czas proces utraty wartości pieniądza. Jeśli oznaczymy przez i stopę inflacji w danym roku, K 0 - kapitał początkowy, r e - efektywną stopę procentową, K - kapitał końcowy obliczony jednym z rozważanych

15 poprzednio wzorów, to realna wartość kapitału K r po upływie roku będzie równa (11) K r = K(1 + i) 1 = K r e 1 + i. Analogicznie możemy otrzymać wartość realną po dowolnym okresie t: K r = K(1 + ti) 1. Wartość realną kapitału porównujemy z wartością K 0. Obliczanie wartości realnej sprowadza się zatem do dyskontowania kapitału o stopę inflacji. Widać z tego wzoru, że wartość realna kapitału wzrasta (czyli K r >K 0 ), jeśli stopa procentowa jest wyższa niż stopa inflacji, a spada, jeśli jest niższa niż stopa inflacji (oczywiście zależy to też od sposobu kapitalizacji). Jeśli upłynęło n okresów t 1,..., t n z odpowiednio stopami inflacji równymi i 1,..., i n, to stosujemy wzór: K r = K 1 + t 1 i 1 )... (1 + t n i n ). 23

16 24 PRZYKŁAD 11. Pan S wpłacił do banku 1 I 1999 roku kwotę złotych. Bank stosuje oprocentowanie kwartalne stsując stopę procentową 8%. Jaki był realny kapitał pana S po dwóch latach, jeśli stopa inflacji w roku 1999 wynosiła 7.3%, a w 2000 roku 8.5%? Rozwiązanie. Najpierw obliczmy kapiał po dwóch latach: ( K = K ) 8. 4 Stąd K = złotych. Następnie stosujemy ostatni wzór wstawiając n = 2, t 1 = t 2 = 1, i 1 = 0, 073, i 2 = Stąd K r = = Można obliczając realną zmianę kapitału w czasie włączyć stopę inflacji do stopy procentowej. Jeśli stopa inflacji w okresie była równa i a stopa procentowa w tym samym okresie p, to realna stopa procentowa p r = p i 1 + i. Wynika to z prostego rachunku: ( 1 + p K r = K i = K 1 + i i + p 0 = K i 1 + p i 1 + i ). 2 Wkłady oszczędnościowe Wkładami oszczędnościowymi nazywamy gromadzenie kapitału poprzez dokonywanie kolejnych systematycznych wpłat. 2 W makroekonomii za realną stopę procentową uważa się często liczbę p i, ale zmatematycznego punktu widzenia bardziej poprawnyjestnaszwzór;przy niewielkiej inflacjiobie liczbyróżniąsięnieznacznie.

17 Zakładamy,żewpłat dokonujesięwrównychodstępachczasuzwanychokresemwpłat. Jeśli okres wpłat pokrywa sięzokresemkapitalizacji,to wkładynazywamyzgodnymi;jeśli takniejest,wkłady nazywamyniezgodnymi. Wkładyoszczędnościowemogą być tej samejlubróżnejwysokości. Mogą być dokonywanena początku okresuwpłat (zgóry),lubna końcuokresu(zdołu). Schemat wkładówzdołu: Czas n 25 Wkłady W 1 W 2 W 3... W n Schemat wkładówzgóry: Czas Wkłady n 1 n W 1 W 2 W 3... W n Zajmiemysięsytuacją gdywkładysą zgodne. Często możemydo tejsytuacji doprowadzić zamieniającnominalną roczną stopęprocentową na stopędanego okresu. Niechp będziestopą procentową okresukapitalizacji równą okresowi wkładu. Załóżmy,żemamy do czynienia zwkładami zdołu. OznaczmyprzezW i i-tywkład i przypuśćmy,żemamydokonać n wkładów. Wówczas pierwszy wkład będziekapitalizowanyn 1 razy,drugi n 2 razy,...,przedostatni,czyli n 1-wszybędziekapitalizowanyjedenrazi wreszcie ostatni niebędziekapitalizowanywcale. Zatemsumaryczna wartość końcowa K d n wszystkichwkładówbędzierówna: n Kn d = W i (1 +p) n i. i=1 Jeśli mamydo czynienia zwkładami zgóry,to pierwszywkład będziekapitalizowanyn razy,drugi n 1 razyitd. Wartość końcowa K g n wyrazi sięwzorem:

18 26 n Kn g = W i (1 + p) n+1 i. i=1 Związek pomiędzy wielkościami K d n i K g n jest następujący: (12) K g n = (1 + p)k d n. Zdyskontowaną wartość K 0 wszystkich wkładów wyliczymy z równania: (13) K n = K 0 (1 + p) n. Wkładystałejwielkości Jeśli wkłady są jednakowej wielkości W, to mamy wzór: n Kn d = W (1 + p) n i. i=1 Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego otrzymamy (14) Kn d = W (1 + p)n 1. p Podobnie uzyskamy wzór dla wkładów z góry: (15) Kn g = W (1 + p) (1 + p)n 1. p Wzory na wartość zdyskontowaną K 0 są następujące: dla wkładów z dołu (16) K 0 = W (1 + p)n 1 (1 + p) n p ; dla wkładów z góry (17) K 0 = W (1 + p)n 1 (1 + p) n 1 p.

19 Jeśli wkłady nie są jednakowej wielkości, to trudno o konkretne wzory. Jednak w szczególnych przypadkach można takie wzory wyprowadzić. Wkłady tworząciągarytmetyczny Przypuśćmy, że wpłacamy z dołu wkłady tworzące ciąg arytmetyczny. Pierwsza wpłata W, druga W + D, trzecia W + 2D,..., i-ta wpłata W + (i 1)D. Zakładamy, że okresy wpłat są zgodne z okresami kapitalizacji, i że mamy stałą stopę procentową okresu równą p. Podstawmy 1 + p = x. Wówczas ze wzoru na K d n wynika, że: 27 n n n 1 Kn d = [W + (i 1)D]x n i = W x i 1 + D ix n i 1. i=1 i=1 i=1 Pierwsza suma jest sumą pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego, jest zatem równa xn 1 x 1. Obliczymy drugą sumę. Mamy: n 1 i=1 n 2 ix n i 1 = n i=0 n 1 x i i=1 ix i 1. Pierwszy składnik z wzoru na sumę szeregu geometrycznego jest równy n xn 1 1 x 1. Oznaczmy drugi składnik przez f(x). Aby obliczyć f(x) posłużymy się rachunkiem całkowym i różniczkowym. Mamy mianowicie: f(x)dx = n 1 i=1 x i + C.

20 28 Ze wzoru na sumę pierwszych n 1 wyrazów ciągu geometrycznego mamy: Stąd f(x) = f(x)dx = x xn 1 1 x 1 + C = xn x x 1 + C. ( x n x x 1 + C ) = (nxn 1 1)(x 1) (x n x) (x 1) 2. Ostatecznie otrzymamy: f(x) = nxn 1 x 1 xn 1 (x 1) 2. Stąd (wstawiając x = 1 + p) mamy wzór łączący dane W, D, p i K d n: K d n = W (1 + p)n 1 p + Dn (1 + p)n 1 1 p gdzie f jest funkcją podaną w poprzednim wzorze. Df(1 + p), Można go przekształcić i otrzymać wzór: (18) Kn d = W (1 + p)n 1 + D (1 + p)n np 1 p p 2. Podobny wzór otrzymamy dla wkładów tworzących ciąg arytmetyczny przy wpłatach z góry: [ (19) Kn g = (1 + p) W (1 + p)n 1 + D (1 + ] p)n np 1 p p 2. Wkłady tworzą ciąg geometryczny Przypuśćmy, że wpłacamy z dołu wkłady tworzące ciąg geometryczny. Niech W 1 = W, W 2 = W Q, W 3 = W Q 2,..., W i =

21 W Q i 1. Załóżmy tak jak poprzednio, że stopa procentowa jest równa p, oraz że okresy wpłat są zgodne z okresami kapitalizacji. Podstawmy x = 1 + r. Wówczas otrzymujemy wzór: Wyłączamy W Q n 1 i mamy: n Kn d = W Q i 1 x n i+1. i=1 n 1 Kn d = W Q n 1 i=0 ( x Q Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest sumą n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego. Załóżmy najpierw, że Q x = 1+p. Wówczas ( ) n x Kn d = W Q n 1 Q 1 x Q 1. Ostatecznie ) i. (20) K d n = W (1 + p)n Q n 1 + p Q. Analogicznie (21) K g n = W (1 + p) (1 + p)n Q n 1 + p Q. Jeśli 1 + p = Q, to wzory są następujące: (22) K d n = W nq n 1, (23) K g n = W nq n. 29

22 30 PRZYKŁAD 12. Pan M oszczędzał przez pięć lat wpłacając każdego miesiąca z dołu na książeczkę oszczędnościową. Pierwsza wpłata wynosiła 100 złotych, a każda następna była o 1.5%wyższa od poprzedniej. Jaką kwotą będzie dysponował pan M, jeśli roczna stopa procentowa była stała i wynosiła 13%. Rozwiązanie. Mamy W = 100, n = 5 12 = 60, Q = 0.015, p = Wstawiając to do wzoru (9.18) otrzymujemy 12 K d 60 = = Odpowiedź: Pan M będzie dysponował kwotą złote 72 grosze. Spłaty kredytów Przypuśćmy, że został zaciągnięty kredyt wysokości S. Kredyt taki jest zazwyczaj spłacany w pewnej liczbie rat, inaczej zwanych płatnościami. Suma spłaconych rat ma być równa zaciągniętemu kredydowi wraz z odsetkami za użytkowanie kapitału. Raty mogą być spłacane na różne sposoby, jest to kwestia umowy pomiędzy stronami. Mogą być spłaty w równych odstępach czasu, w nierównych odstępach czasu, w równych ratach, w nierównych ratach, raty mogą być nierówne, ale mogą stanowić ciąg arytmetyczny bądźgeometryczny itp. Stopa procentowa może być stała albo zmienna. Dlatego nie można podać wzorów obejmujących wszystkie możliwe sytuacje. Zajmiemy się najbardziej charakterystycznymi i poddającymi się ogólniejszemu opisowi. Zaczniemy od następującej prostej sytuacji: Przypuśćmy, że został zaciągnięty kredyt wysokości S przy rocznej stopie procentowej r i przy rocznym okresie kapitalizacji. Po roku pożyczkobiorca oddaje kwotę R 1, a pozostałą kwotę wraz z należnymi odsetkami po dwóch latach. Trzeba obliczyć tę kwotę.

23 Oznaczmy kwotę, którą trzeba zapłacić po dwóch latach przez R 2. Możemy rozwiązać ten problem stosując dwa podejścia do zagadnienia. Opiszemy je. Podejście I: Po upływie roku należne odsetki wynoszą Sr. Zatem wysokość długu w drugim roku wyniesie S R 1 + Sr. Stąd pod koniec drugiego roku trzeba będzie zapłacić tę kwotę długu oraz odsetki za nią. Odsetki te wyniosą (S R 1 + Sr)r. Stąd R 2 = S R 1 + Sr + (S R 1 + Sr)r = S(1 + r) 2 R 1 (1 + r). Podejście II: Wartość kredytu S po dwóch latach wynosi S(1 + r) 2. Kwotę R 1 wpłaconą na rok przed upływem terminu spłaty traktujemy jako wkład oszczędnościowy wpłacony na okres roku. Jego wartość pod koniec spłat wynosi R 1 (1 + r) i o tyle trzeba pomniejszyć wartość długu. Stąd R 2 = S(1 + r) 2 R 1 (1 + r). Podejście pierwsze jest bardziej merytorycznie precyzyjne, rozgranicza bowiem spłatę kredytu od odsetek za jego użytkowanie. Jednak w sytuacji, gdy okresy kapitalizacji pokrywają się z okresami rat, podejście drugie jest dogodniejsze rachunkowo. Będziemy zajmować się tylko taką sytuacją i dlatego będziemy stosować podejście drugie. Załóżmy, że raty są spłacane w równych okresach, a stopa procentowa każdego okresu jest równa p. Spłaty mogą być dokonywane z dołu lub z góry. Spłaty z góry można traktować jako spłaty z dołu pożyczki zmniejszonej o pierwszą ratę, dlatego wystarczy zająć się spłatami z dołu. Oznaczmy n-tą ratę przez R n, kredyt pozostały do spłacenia po spłaceniu n rat przez S n. Wartość kredytu po upływie n okresów jest równa Sx n. Natomiast 31

24 32 spłaty traktujemy jako wkłady oszczędnościowe z dołu przy oprocentowaniu p. Zatem sumaryczna wartość spłat wynosi: n (24) R i (1 + p) n i. i=1 Kredyt pozostały do spłacenia wyraża się wzorem: n (25) S n = S(1 + p) n R i (1 + p) n i. Jeśli kredyt ma zostać spłacony w całości w n ratach, to S n = 0, czyli n (26) S(1 + p) n = R i (1 + p) n i. Jak już wspomnieliśmy spłaty każdego kredytu zależą od konkretnej umowy pomiędzy stronami. Dlatego powyższy wzór należy traktować jak wzór podający zależności pomiędzy poszczególnymi wielkościami: S, p, R 1, R 2,...,R n. i=1 i=1

25 PRZYKŁAD 13. Pani A otrzymała w banku S kredyt w wysokości złotych, który ma być spłacony w czterech kwartalnych ratach, przy nominalnej rocznej stopie procentowej 20%. Pierwsze trzy raty mają kolejno wynosić zł, zł, zł. Jaka będzie wysokość czwartej raty? Rozwiązanie. Kwartalna stopa procentowa p jest równa Z powyższego wzoru wynika, że R 4 = Otrzymujemy R 4 = złotych. 33

26 34 PRZYKŁAD 14. Pan J otrzymał w banku T kredyt wysokości złotych. Kredyt ten ma spłacić w pięciu kwartalnych ratach wysokości kolejno 10000, 11000, 13000, i złotych. Jaka jest efektywna stopa procentowa kredytu? Rozwiązanie. W równaniu (24) szukaną wielkością będzie teraz p. Podstawmy x = 1 + p. Mamy równanie: 50000x x x x x = 0. Jest to równanie piątego stopnia. Możemy posługując się komputerem rozwiązać je z dokładnością np Otrzymujemy x = Stąd p = Aby obliczyć efektywną stopę procentową skorzystamy z wzoru (9.5). Otrzymamy r e = = 0.51 = 51%.

27 PRZYKŁAD 15. Pani B może kupić pralkę za cenę 1500 złotych biorąc kredyt w banku z kwartalną stopą procentową 4%, albo kupić pralkę na raty wpłacając: w dniu zakupu 500 złotych a następnie cztery kwartalne raty po 300 złotych każda. Która możliwość jest dla pani B korzystniejsza? Rozwiązanie. Potraktujemy wpłaty ratalne jako spłaty kredytu przy takim samym oprocentowaniu jak oprocentowanie w banku i policzymy jaki kredyt będzie w ten sposób spłacony. Kwartalna stopa procentowa p będzie równa Mamy równanie: S = 300( ). Stąd S = 1089 złotych. Do tego trzeba dodać jeszcze 500 złotych wpłaconych w dniu zakupu, czyli razem przy drugiej metodzie i przy takim samym oprocentowaniu wartość pralki w dniu zakupu byłaby równa 1589 złotych. Odpowiedź: Korzystniejsza jest pierwsza możliwość. Renty Rentą nazywa się systematyczny dochód z zainwestowanego kapitału. Kwoty renty wypłaca się według pewnego zadanego ciągu liczbowego. Może to być ciąg stały, ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny, ciąg fragmentami stały przy czym kolejne zmiany mogą nosić charakter arytmetyczny lub geometryczny. Mogą być to też inne ciągi w zależności od umowy pomiędzy stronami. Szczególnym przykładem kapitału będącego podstawą wypłaty rent jest funduszemerytalny. Tworzy się go po to, aby zapewnić odpowiednie dochody po ustaniu pracy zawodowej. Umowa pomiędzy firmą ubezpieczeniową tworzącą fundusze emerytalne a danym pracownikiem nazywa się polisą emerytalną. Renty dzielą się na renty pewne, czyli wypłacane po śmierci ubezpieczonego spadkobiercom oraz renty, których wypłacanie wygasa wraz ze śmiercią 35

28 36 ubezpieczonego. My zajmować się będziemy tylko rentami pewnymi. Renty mogą być wypłacane z dołu lub z góry. Oznaczmy przez B zgromadzony kapitał, R n - wielkość n-tej renty, przez E d n i E g n całkowitą wartość wypłaconych rent (odpowiednio wypłacanych z góry lub z dołu) na końcu n-tego okresu, a przez p stopę procentową jednego okresu. Możemy wypłaty rent traktować tak jak wkłady dokonane przez fundusz emerytalny na rzecz rentobiorcy. Korzystając ze wzorów z rozdziału poświęconego wkładom, otrzymamy: n En d = R i (1 + p) n i. i=1 oraz n En g = R i (1 + p) n+1 i. i=1 Przypuśćmy, ze rentobiorca zgromadził kapitał B, z którego jest wypłacana renta. Po upływie n okresów jego wartość jest równa B(1+p) n. Zatem po n wypłatach jego stan konta B n będzie równy (27) B n = B(1 + p) n E n, gdzie E n jest przyszłą wartością wypłaconej n-krotnie renty z góry lub z dołu. Renta może być wypłacana tak długo, jak długo stan konta B n będzie większy od zera. Renty stałej wielkości Zakładamy, że stopa procentowa jednego okresu wypłacania renty wynosi p. Podstawmy Niech R będzie stałą wielkością renty wypłacanej z góry lub z dołu. Wówczas z odpowiedniego wzoru

29 dotyczącego wkładów przyszła wartość wypłaconej n-krotnie renty jest równa (28) En d = R (1 + p)n 1 p i (29) En g = (1 + p)en d = R(1 + p) (1 + p)n 1. p Obecną (zdyskontowaną) wartość wypłaconej w przyszłości renty E 0 otrzymujemy ze wzoru (30) E 0 = E n (1 + p) n. 37

30 38 PRZYKŁAD 16. Pan D zgromadził w funduszu emerytalnym S złotych. Jak długo może być wypłacana panu D miesięczna renta z dołu wysokości 700 złotych przy nominalnej rocznej stopie procentowej 12%? Rozwiązanie. Z warunków zadania mamy p = 1% = 0.01, B = 50000, R = 700. Podstawmy x = (1+p). Przekształcając równanie otrzymamy czyli Bx n = E d n = R xn 1 x 1 x n = R R Bp, R R Bp n = ln ln x. Wstawiając dane do tego wzoru mamy n = miesięcy = 10 lat i 4 miesiące.

31 PRZYKŁAD 17. Jaką kwotę powinna zgromadzić w funduszu emerytalnym P pani G, aby otrzymywać rentę miesięczną wypłacaną z dołu w wysokości 500 złotych przez 10 lat przy nominalnej rocznej stopie procentowej 18%? Rozwiązanie. Przekształacając ten sam wzór, co w poprzednim zadaniu i podstawiając x = 1 + p mamy B = R xn 1 x n (x 1). Dane w zadaniu to R = 500, r = = 0, 015, x = 1.015, n = 120. Stąd B = złotych. Renty tworzą ciąg arytmetyczny Zakładamy, że kolejne renty tworzą ciąg arytmetyczny, czyli R 1 = R, R 2 = R + D,...,R n + (n 1)D. Wówczas podobnie jak w podrozdziale o wkładach otrzymujemy: (31) En d = R (1 + p)n 1 + D (1 + p)n np 1 p p 2, [ (32) En g = (1 + p) R (1 + p)n 1 p + D (1 + p)n np 1 p 2 39 ].

32 40 PRZYKŁAD18. Jakikapitał musizgromadzićwfunduszu emerytalnympanf, abyotrzymywaćprzez10 lat roczną rentęzdołu wwysokościach:pierwszą 5000 zł ikażdą następną o 500 zł większą od poprzedniej, jeślinominalna roczna stopa procentowa wynosi 15%? Rozwiązanie. Mamydanen = 10, p = 0.15, R = 5000, D = 500. Niechx = 1 +p irównaniebx n = E d n przybiera postać: B = Stąd B = Odpowiedź: PanFpowinienzgromadzić33584 złote.

33 PRZYKŁAD 19. Pan Ćzgromadził w funduszu emerytalnym złotych. Chciałby otrzymywać rentę kwartalną przez 10 lat z dołu, przy czym każda następna renta powinna być o 100 złotych większa od poprzedniej. Kwartalna stopa procentowa wynosi 3%. Ile wyniesie pierwsza wypłata? Rozwiązanie. Dane: n = 40, p = 0.03, B = 50000, D = 100. Szukamy R. Mamy równanie = R Stąd R = Odpowiedź: Pierwsza wypłata będzie równa 598 złotych. 41

34 42 PRZYKŁAD 20. Pan K zgromadził w funduszu emerytalnym złotych. Renta ma być wypłacana co miesiąc z dołu przy nominalnej rocznej stopie procentowej 14%. Pierwsza rata ma być równa 500 zł, a każda następna o 30 złotych większa od poprzedniej. Przez ile miesięcy pan K będzie otrzymywał zgodną z umową rentę? Jaka będzie ostatnia zgodna z umową wypłata, a ile będzie wynosiła ostatnia - niepełna wypłata? Rozwiązanie. Mamy p = = , R = 500, B = 55000, D = 30. Szukaną wielkością jest n. Otrzymujemy równanie n = n n n Równanie to można rozwiązać przy pomocy komputera, np. z dokładnością 0.1. Zastosowaliśmy metodę bisekcji z następującym algorytmem var z,w,r,bb,a,b,c,d,t:real; e:char; label 6,10; function xdoy(x,y:real):real; begin xdoy:=exp(ln(x)*y); end; function f(c:real):real; begin f:=bb*xdoy(z,c)-w*(xdoy(z,c)-1)/r-d*(xdoy(z,c)-c*r-1)/(r*r); end; begin w:=500;bb:=59000;d:=30;r:=0.14/12;z:=1+r; a:=1;b:=999;

35 43 6: if b-a<0.1 then goto 10; c:=(a+b)/2; if f(c)=0 then goto 10; if f(c)<0 then a:=c; if f(c)>0 then b:=c; goto 6; 10: writeln(c:4:10); read(e); end. Uruchamiając ten program otrzymaliśmy wynik n = Zatem pan K będzie otrzymywał renty pełnej wysokości przez 59 miesięcy. Ostatnia pełna renta będzie pięćdziesiątą dziewiątą i będzie wynosić = 2240 złotych. Po wypłacie tej renty na koncie pana K zostanie 55000r 59 E 59 = 2097 złotych. Po upływie kolejnego 60-tego okresu będzie ona warta 2097 (1 + p) = 2122 złote i tyle zostanie wypłacone panu K na końcu tego okresu. Rentytworząciąggeometryczny Zakładamy, że renty tworzą ciąg geometryczny: R 1 = R, R 2 = RQ,... R n = RQ n 1. Wówczas na mocy wzorów z podrozdziału o wkładach otrzymujemy (33) E d n = R (1 + p)n Q n 1 + p Q, (34) E g n = R(1 + p) (1 + p)n Q n 1 + p Q, dla 1 + p Q, oraz: (35) E d n = RnQ n 1, (36) E g n = RnQ n, dla 1 + p = Q.

36 44 PRZYKŁAD 21. Pani F zgromadziła w funduszu emerytalnym złotych. Ma mieć wypłacaną rentę kwartalną z dołu przez 11 lat;każda następna wypłata ma być o 4% większa od poprzedniej przy kwartalnej stopie procentowej 3.5%. Ile wyniesie pierwsza, a ile ostatnia wypłata? Rozwiązanie. Dane w zadaniu to B = 60000, n = 11 4 = 44, p = 0.035, Q = Szukaną wielkością jest R. Biorąc pod uwagę równanie B(1 + r) n = E d n otrzymujemy Stąd R = = R Ostatnia wypłata jest równa RQ 43 = Odpowiedź: Pierwsza wypłata wyniesie 1270 złotych, a ostatnia 6859 złotych. Inne przykłady rent Bardzo często wysokość renty ustala się na pewien okres, na przykład na rok czy na dwa lata, a następnie ją się podwyższa aby zniwelować inflację. Trudno o ogólne wzory obejmujące takie sytuacje. Ograniczymy się do dwóch sytuacji. Sytuacja I Przy okresach wypłat z dołu zgodnych z okresem kapitalizacji i stopie procentowej p wypłaty są stałe przez dokładnie k okresów. Po upływie k okresów rentę podwyższa się o kwotę D i wypłaca przez kolejne k okresów. Zatem każdy cykł stałych wypłat składa się z k wypłat. W pierwszym cyklu wypłaca się jednorazowo kwotę R, w drugim R + D, w trzecim R + 2D, w i-tym R + (i 1)D. Załóżmy, że wypłaty trwają n cykli po k wypłat każdy. W sumie mamy nk wypłat. Podstawmy x = 1 + p.