Biosignál I. Lékařská fakulta Masarykovy univerzity Brno

Transkrypt

1 Biofyzikální ústav Lékařská fakulta Masarykovy univerzity Brno 2010

2 Biosignál O co jde? Signál signál je fyzikální děj nesoucí informaci o systému užitečnou informaci Biosignál signál nese informaci o živém systému a jsou tu problémy: Co je informace? Co je systém? Co je živý systém?

3 Biosignál Rozměry signálu bezčasové časové jednorozměrné střední tlak krve teplotka, oxymetrie vektor teplota+tlak+bmi EKG, EEG dvojrozměrný RTG sono, scinti trojrozměrný CT, MRI 4D sono Jak je to s tím časem? vlastně je to další rozměr biosignály mohou mít jeden až čtyři rozměry

4 Biosignál Deterministický signál idealizace: jednoznačně určená hodnota v každém bodě deterministický biosignál lze jednoznačně popsat funkcí y = f (t, x 1, x 2, x 3,...) funkce, resp. posloupnost, je matematickým modelem deterministického (bio)signálu v technice užitečné např. střídavý proud v medicíně spíš teoretický význam

5 Biosignál Stochastický signál reálná situace: náhody se nezbavíme šum, onemocnění,... stochastický biosignál matematickým modelem je náhodný proces {X (t, x 1, x 2, x 3,...)} výhody dostatečně obecné dostatečně věrné nevýhody lze popsat jen pravděpodobnostmi příliš obecné neučí se na střední škole

6 Biosignál Bud me diskrétní... spojitý čas 1 spojitý lze si představit jako plynulý deterministický signál modelem je funkce stochastický signál modelem je spojitý náhodný proces diskrétní čas čas je definovaný jen v izolovaných okamžicích mezi okamžiky nemusíme vidět např. čas mezi měřeními mezi okamžiky nemusí být signál definovaný např. natalita deterministický signál modelem je posloupnost stochastický signál modelem je diskrétní náhodný proces diskrétní hodnoty hodnoty jsou vybírány jen z konečné množiny výsledek kvantování např. cena v korunách, číslice na displeji přirozeně diskrétní signál např. počet nemocných, náklady 1 resp. libovolná nezávisle proměnná

7 Biosignál Diskrétně podruhé vzorkování pro celou řadu úloh je třeba z (bio)signálu se spojitým vybrat jen vzorky vzorkovat lze rovnoměrně nebo nerovnoměrně

8 Biosignál Diskrétně podruhé vzorkovací teorém minimální vzorkovací frekvence Shanon-Kotelnikovův teorém, Nyquistova limita,... f max 2 f sampling

9 Systém Systém je když... systém je poměrně obecný pojem, vyjadřuje obvykle nějaké uspořádání prvků a vztahů mezi nimi příklady systémů: fylogenetická klasifikace šelem model ekosystému blokové schema osciloskopu kompartmentový model metabolizmu metabolické dráhy jing a jang 2... tak jak z toho udělat definici? 2 i neexistující věc lze popsat jako systém

10 Systém Systém je když... pracujeme systematicky (např.) Systém je dvojice množin (P, V ), kde P je množina prvků a V je množina vztahů mezi nimi.

11 Systém Rozdělení systémů lineární systémy matematicky lze popsal lineární diferenciální rovnicí s konstantními koeficienty: nx a i y(t) (i) = i=0 mx b j x(t) (j), n > m j=0 lze popsal lineární diferenční rovnicí s konstantními koeficienty: nx a i y(t i) = i=0 mx b j x(t i), n > m platí princip superpozice chovají se hezky, jsou dobře řešitelné,... ALE! pro většinu biologických systémů příliš zjednodušující nelineární systémy jakýkoliv systém, který není lineární j=0

12 Systém Lineární systémy matematický popis vnitřní popis víme-li, jak systém vypadá formalizace soustavou diferenciálních rovnic reprezentujících strukturu u lineárních systémů 4 matice vnější popis využíváme platnosti principu superpozice... a několika dalších fint přenosová funkce frekvenční charakteristika impulzní a skoková odezva systému

13 Systém Nelineární systémy obecně neplatí princip superpozice vnější popis obvykle nelze vnitřní popis velmi komplikovaný např. z matic čísel jsou matice funkcí, objevují se další členy,... problémy s nelinearitou z odezvy na dva vstupní signály obecně nemůžeme usuzovat na odezvu na součet kde to jde, snažíme se linearizovat kde to nejde, nelineární věda

14 Systém Kam až jsme se dostali fraktály, chaos,... Pojmy, které mohou v souvislosti se systémy padnout stavový prostor trajektorie a speciálně v souvislosti s nelineárními systémy teorie chaosu fraktál

15 Systém Jak souvicí signály a systémy? signály a soustavy se učí na technikách jako jeden předmět systém je zdrojem signálu signál je průchodem systémem modifikován modifikace záměrná: zpracování signálu, filtrace,... modifikace nežádoucí: poruchy, šum,...

16 Matematické intermezzo K čemu to?

17 Matematické intermezzo Komplexní čísla již kvadratická rovnice nemusí mít v reálných číslech řešení x 1,2 = b± D 2a D = b 2 4ac nelze odmocňovat záporná čísla? lze, ale výsledkem není reálné číslo definujeme komplexní jednotku i = 1 technici značí komplexní jednotku j

18 Matematické intermezzo Komplexní čísla obvykle značíme z C lze vyjádřit ve tvaru z = a + ib, kde a, b R pak hovoříme o složkovém nebo též algebraickém tvaru značíme a = Re(z) a b = Im(z) Gaussova rovina číslo z lze reprezentovat jako bod o souřadnicích Re(z) a Im(z) z lze vyjádřit i pomocí vzdálenosti od počátku z a úhlu mezi průvodičem a reálnou osou ϕ goniometrický tvar: z = z (cos ϕ + i sin ϕ) exponenciální tvar: z = z e iϕ

19 Matematické intermezzo Posloupnosti a řady užitečný pojem, pokud se hovoří o diskrétních deterministických signálech některé pojmy jsou na nich snáze pochopitelnější posloupnost je nekonečná sekvence čísel a 1, a 2,... a n,... řada je součet takové posloupnosti: a 1 + a a n +... = i=0 a i ne každá posloupnost nebo řada má pro nás smysl

20 Matematické intermezzo Funkce jedné proměnné pojem intuitivně známý již ze základní školy představa, že jde o předpis přiřazující nějakému x nějaké y je dostačující obecný zápis: y = f (x) důležitý pojem je limita funkce: a = lim x x0 f (x)

21 Matematické intermezzo Derivace funkce jedné proměnné geometrický význam: směrnice tečny grafu značení: f (x), y, dy dx, d dxf (x), ḟ (t),... definice: y f (x) f (x 0 ) = lim x x0 x x 0 funkci lze derivovat bod po bodu a tak lze získat opět funkci opakováním derivace získáme derivace vyšších řádů

22 Matematické intermezzo Integrál funkce jedné proměnné neurčitý integrál opačný postup k derivaci, hledání primitivní funkce značení: F (x) = f (x) dx neurčitý integrál zobecnění sumace, stanovení plochy pod křivkou značení: a ono to souvisí: b a I = b a f (x) dx f (x) dx = F (b) F (a)

23 Matematické intermezzo Funkce více proměnných přirozené zobecnění funkce jedné proměnné např. z = f (x, y) jde-li o funkci na několik proměnných, lze chápat jako několik funkcí na jednu proměnnou

24 Matematické intermezzo Derivace funkce více proměnných opět si lze představit směrnici tečny grafu kam však bude směrnice směřovat? parciální derivace parciální derivace ve směru os: z x, z y ( ) gradient: grad z(x, y) = z x, z y totální diferenciál: parciální derivace ve směru gradientu

25 Matematické intermezzo Integrál funkce více proměnných základem je určitý integrál několik úrovní abstrakce Darbouxův Riemannův Lebegueův Kurzweilův význam má objemu pod plochou

26 Matematické intermezzo Vektor a matice vektor si lze představit jako n-tici čísel matici si lze představit jako m n-tici čísel na vektor lze pohĺıžet jako na matici 1 n matice lze sčítat jen pokud mají stejné rozměry pro násobení matic platí složitější podmínky vždy lze násobit čtvercové matice, ale obvykle: A B B A

27 Matematické intermezzo Náhodný jev obvykle nevíme, jak nějaký pokus dopadne: výsledek hodu kostkou? exploze v laboratoři? vyléčení nemocného? výsledem genetického algoritmu?... náhodný jev si můžeme představit jako jeden z možných výsledků pokusu náhodnému jevu můžeme přiřadit pravděpodobnost číslo z intervalu < 0, 1 >

28 Matematické intermezzo Náhodná veličina korektní definice nevypadá hezky: B B : {ω Ω : X (ω) B} A takže raději neformálně: náhodná veličina je funkce přiřazující každému jevu z dané množiny jevů jeho pravděpodobnost náhodnou veličinu lze popsat několika způsoby: pravděpodobnostní funkcí hustotou pravděpodobnosti distribuční funkcí k orientačnímu hodnocení slouží ukazatele střední hodnota kvartily rozptyl momenty šikmost, špičatost...

29 Matematické intermezzo Náhodný vektor vektor, jehož prvky jsou náhodné veličiny popis podobný jako u náhodné veličiny přibývá hodnocení vzájemného vztahu prvků vektoru: korelace a korelační koeficienty kovariance a (ko)varianční matice

30 Matematické intermezzo Náhodný proces korektní definice je hůře uchopitelná obohacení náhodné veličiny o časovou složku může být spojitý nebo diskrétní

31 A to je konec přednášky... Má někdo sílu na dotazy?