CZĘŚĆ II ZACHOWANIA RYNKOWE PRZEDSIĘBIORSTW W POLSCE

Transkrypt

1 CZĘŚĆ II ZACHOWANIA RYNKOWE PRZEDSIĘBIORSTW W POLSCE Sławomir Kalinowski ROZDZIAŁ 10 MODEL NEGOCJACYJNY ZEUTHENA A SCHEMAT ARBITRAŻO- WY NASHA - STUDIUM PORÓWNAWCZE Abstrakt Artykuł został poświęcony porównaniu modelu negocjacyjnego Zeuthena z propozycją rozwiązania kooperacyjnego autorstwa Johna Nasha. Wybór przedmiotu badań wynikał z chęci sprawdzenia, czy modele powstałe w różnym czasie, reprezentujące różne obszary ekonomii mogą przynosić tożsame rozwiązania. Model negocjacyjny Zeuthena powstał w 1930 roku. Pozostając w nurcie ekonomii pozytywnej opisuje przebieg negocjacji oraz to w jaki sposób i do jakiego rozwiązania prowadzą. Schemat arbitrażowy Nasha, oparty na podejściu aksjomatycznym, jest przykładem modelu z obszaru ekonomii pozytywnej. Wskazuje, jakie rozwiązanie powinni wybrać gracze by uzgodnić kooperacyjne rozwiązanie w obrębie zbioru negocjacyjnego. Porównanie obydwu modeli wykazało, że pomimo istotnych różnic, obydwa modele przynoszą to samo rozwiązanie kooperacyjne. Jedynym warunkiem jest osadzenie punktu odniesienia w strategiach bezpieczeństwa Słowa kluczowe: gry kooperacyjne, negocjacje, schemat arbitrażowy Nasha, model Zeuthena. Wprowadzenie Sytuacja negocjacyjna pojawia się zawsze wtedy, gdy co najmniej dwa podmioty mogą osiągnąć korzyści, których rozmiary zależą jednocześnie od decyzji beneficjenta i drugiej strony. Jej pojawienie się jest możliwe wyłącznie w grach o sumie różnej od zera. Interesy stron nie są całkowicie przeciwstawne, jak w grach o sumie zerowej, ani całkowicie zbieżne. Musi być zarazem tak, że uzgodnienie rozwiązania kooperacyjnego przynosi każdej ze stron wyższe korzyści niż obopólny wybór strategii konfrontacyjnej. Obydwa podmioty są w stanie zasiąść do rozmów i uzgodnić racjonalny wspólny plan działania, który jest możliwy do przeprowadzenia. Praktyka procedur negocjacyjnych jest silnie obciążona wpływem kompetencji każdej ze stron, ich podatności lub odporności na sugestię i stres. Na postawę podmiotów wpływa również ich ogólna sytuacja, która może sprawiać, że bardziej lub mniej zależy im na czasie i osiągnięciu porozumienia. Uwzględnienie tych czynników i innych, które nie zostały wymie-

2 112 Sławomir Kalinowski nione sprawia, że modelowe ujęcie sytuacji negocjacyjnej jest niezwykle trudne, jeśli nie niemożliwe. Jeśli jednak przyjmiemy, że strony godzą się na wyznaczenie obiektywnego arbitra, który wskaże rozwiązanie sprawiedliwe i korzystne dla obydwu stron, rozwiązanie sytuacji negocjacyjnej sprowadza się do wyznaczenia schematu, którym powinien się posłużyć arbiter. Celem artykułu jest przeprowadzenie studium porównawczego dwóch, wymienionych w tytule, koncepcji wyznaczania rozwiązania w sytuacji negocjacyjnej. Ponadto dowiedzione zostanie, że podejścia Zeuthena i Nasha dają to samo wskazanie nawet wtedy gdy sytuacja negocjacyjna nie jest symetryczna. Model negocjacyjny Zeuthena F. Zeuthen przedstawił swój model procedury negocjacyjnej w roku 1930, czternaście lat przed opublikowaniem przez von Neumannna i Morgensterna ich klasycznego dzieła (Zeuthen, 1930). Ze względów oczywistych nie posługuje się terminologią i aparatem narzędziowym teorii gier. Niemniej, opisując działanie mechanizmu opracowanego przez siebie modelu używa terminu odpowiadającego grze (interplay between two parties). Model Zeuthena dotyczył negocjacji płacowych miedzy pracodawcami i związkami zawodowymi. Jego zakres można jednak rozszerzyć na pozostałe sytuacje negocjacyjne. Punktem wyjścia w prezentowanym modelu była sytuacja, w której dwa podmioty (A i B) przystępują do negocjacji proponując rozwiązania które pragną przeforsować (odpowiednio a 1 i b 1 ). Użyteczność rozwiązania a 1 jest dla A najwyższa a użyteczność b 1 najmniejsza (u a (a 1 )>u a (b 1 )). W przypadku podmiotu B jest odwrotnie (u b (b 1 )>u b (a 1 )). Prawdopodobieństwo odrzucenia rozwiązania a 1 przez gracza B jest równe p 1. Osiągnięciu użyteczności u a (b 1 ) towarzyszy prawdopodobieństwo równe jedności, pewne jest bowiem, że podmiot B przyjmie opcję najkorzystniejszą dla siebie. Można zatem stwierdzić, że podmiot A będzie skłonny zrezygnować z a 1 by zbliżyć swoją propozycję do b 1 jeśli: u a (b1) > (1 p1)u a (a1). [1] Jeśli prawdopodobieństwo odrzucenia propozycji A przez B jest tak duże, że ta nierówność jest spełniona to lepiej jest zredukować oczekiwania do a 2, mniej korzystnego dla A ale bardziej akceptowalnego dla B. Prawdopodobieństwo odrzucenia oferty A można wyznaczyć przekształcając nierówność [1]: u a (a1) u a (b1) p1 >. [2] u a (a1) Innymi słowy, jeśli względny przyrost korzyści ponad rozwiązanie pewne jest mniejszy od prawdopodobieństwa odrzucenia oferty przez przeciwnika, bardziej opłaca się ustąpić. Jeśli przez q 1 oznaczymy prawdopodobieństwo odrzucenia oferty B przez A, to ten pierwszy powinien zredukować swoje oczekiwania wtedy, gdy: u b (a1) > (1 q1)u b (b1), [3] lub: u b (b1) u b (a1) q1 >. [4] u b (b1) Ta strona negocjacji, która będzie osiągać większy przyrost względnej korzyści ponad rozwiązanie pewne, jakim jest zaakceptowanie propozycji drugiej strony, charakteryzować się będzie większą determinacją w forsowaniu swojego rozwiązania. Jeśli zatem pojawi się sytuacja, w której: u a (a1) u a (b1) u b (b1) u b (a1) >, [5] u (a ) u (b ) a 1 b 1

3 Model negocjacyjny Zeuthena a schemat arbitrażowy Nasha - studium porównawcze 113 bardziej skłonny do ustępstw będzie podmiot A. Prawdopodobieństwo obstawania przy swoim przez B jest większe niż to samo prawdopodobieństwo w przypadku A (p 1 >q 1 ). Zatem ta strona zredukuje swoje oczekiwania do a 2, takiego że u a (a 2 )<u a (a 1 ). Umniejszenie jest na tyle znaczące, że: u a (a 2 ) u a (b1) u b (b1) u b (a1) <, [6] u a (a1) u b (b1) czyli bardziej skłonnym do ustępstw staje się podmiot B. Procedura negocjacyjna trwa tak długo, dopóki nie osiągnięte zostanie rozwiązanie z, przy którym: u a (a z ) u a (b1) u b (b z ) u b (a1) =. [7] u (a ) u (b ) a Tabela 1. Przykładowa procedura negocjacyjna odpowiadająca modelowi Zeuthena 1 b 1 Rozwiązanie a 1 a 2 a 3 a 4 z b 3 b 2 b 1 u a 20,0 18,0 16,0 14,0 13,455 12,0 10,0 8,0 u b 10,0 11,0 12,0 13,0 13,273 14,0 15,0 16,0 u an 13,1 11,1 9,1 7,1 6,545 5,1 3,1 1,1 u bn 0,0 1,0 2,0 3,0 3,273 4,0 5,0 6,0 u an (a n )-u an (b 1 ) 12,00 10,00 8,00 6,00 5,455 4,00 2,00 0,00 u bn (b n )-u bn (a 1 ) 0,00 1,00 2,00 2,273 3,00 4,00 5,00 p 1,000 0,833 0,667 0,500 0,455 0,333 0,167 0,000 q 0,000 0,200 0,400 0,455 0,600 0,800 1,000 u an u bn 0,00 11,09 18,18 21,27 21,421 20,36 15,45 6,55 Negocjacje kończą się gdy gracze przestają zmieniać swoje oferty a prawdopodobieństwa odrzucenia oferty drugiej strony stają się równe. Obie strony są tak samo skłonne do ustępstw i tak samo skłonne do oporu w negocjacjach. W sposób naturalny przynosi to porozumienie. Tabela 1 przedstawia przykładową procedurę negocjacyjną przeprowadzoną zgodnie z modelem Zeuthena. Strona A w najlepszym wypadku może osiągnąć użyteczność u a (a 1 )=20. Jednocześnie użyteczność tego rozwiązania dla B jest równa u b (a 1 )=10. Strona B jest w największym stopniu zainteresowana rozwiązaniem, które jej przynosi najwyższą użyteczność u b (b 1 )=16 przy użyteczności rywala u a (b 1 )=8. Pierwszym krokiem w przygotowaniu procedury negocjacyjnej było odjęcie od wygranych każdej ze stron stałej wartości. W przypadku strony A było to 6,91, w przypadku B odejmowano Taka transformacja liniowa nie zmieni wskazania wyniku negocjacji. Jej wynikiem były znormalizowane użyteczności obydwu graczy (u an,u bn ). W oparciu o nie wyznaczono prawdopodobieństwa odrzucenia analizowanego rozwiązania przez drugą stronę (p i q). Zostały one policzone w dwóch kolejnych wierszach. W przypadku strony B nie wyznaczono wartości prawdopodobieństw dla rozwiązania a 1, ponieważ znormalizowany obszar negocjacyjny dla strony A nie sięga zera na osi 1 Proponowany przykład odpowiada temu, który posłuży, w dalszej części pracy, ilustracji schematu arbitrażowego Nasha. Stąd konieczność przekształcenia liniowego poprzez odjęcie od każdej wygranej gracza jego wartości gry w punkcie gróźb optymalnych.

4 114 Sławomir Kalinowski układu współrzędnych. Wykres 1. Iloczyn znormalizowanych użyteczności graczy w modelu Zeuthena 25 21, ,000 10,273 10,545 10,818 11,091 11,364 11,636 11,909 12,182 12,455 12,727 13,000 13,273 13,545 13,818 14,091 14,364 14,636 14,909 15,182 15,455 15,727 16,000 ub Możemy mieć pewność, że strona A odrzuci rozwiązanie u a =8 i u b =16, a strona B tak samo postąpi z rozwiązaniem u a =20 i u b =10. Potencjalnie każda ze stron mogłaby rozpocząć negocjacje decydując się na następne w kolejności gorsze dla siebie rozwiązanie. Obydwie strony są zainteresowane rozpoczęciem negocjacji. Załóżmy, że zaczyna je strona A. Proponuje zatem rozwiązanie (u a =18;u b =11). Jednocześnie p=0,833<q=1, co oznacza, że strona A będzie teraz mniej skłonna do ustępstw. To powoduje, że B ustępuje proponując rozwiązanie u a =10 i u b =15. W takiej sytuacji p=0,833 staje się większe od q=0,800. Teraz A jest bardziej skłonne do kompromisu i podnosi ofertę dla B do (u a =16;u b =12). Zmienia się również prawdopodobieństwo odrzucenia oferty partnera przez B (p=0,667) i to on jest teraz bardziej skłonny do ustępstw. Wzajemne ustępstwa trwają tak długo dopóki prawdopodobieństwa p i q nie zrównają się. Strony stają się tak samo skłonne do przyjęcia oferty partnera w negocjacjach. Ma to miejsce przy u a (a z )= 13 i u b (b z )= 13. Prawdopodobieństwo upierania się przy 11 najbardziej dla siebie korzystnym rozwiązaniu jest takie samo dla obydwu stron p=q= Obserwacją, której nie sposób pominąć jest to, że rozwiązanie negocjacyjne według modelu Zeuthena przynosi maksymalną wartość iloczynu znormalizowanych użyteczności osiąganych przez strony. Rozwiązanie wskazane przez model negocjacyjny Zeuthena przynosi maksymalną wartość iloczynu u an u bn =21,421. Będzie to stanowić istotny punkt porównania tego modelu ze schematem arbitrażowym Nasha, które będzie miało miejsce w dalszej części rozdziału. Model Zeuthena wyróżnić należy z dwóch względów. Po pierwsze, z powodu jego prekursorskiego charakteru. Bardzo często autorzy piszący o modelach wyznaczania rozwiązań kooperacyjnych nawiązują do propozycji Zeuthena 2. Drugim powodem wyróżnienia jego modelu jest bliskość powszechnej intuicji dotyczącej zachowania się podmiotów podczas negocjacji. Zeuthen znalazł właściwe przełożenie między złożonością procesów psychologicznych, jakie mają miejsce w sytuacji targu a wymogami formalnymi modelu ekonomicznego. Udało mu się uogólnić zachowania negocjacyjne podmiotów w postaci konstrukcji formalnej nie tracąc niczego z opisu natury tych procesów silnie zakorzenionej w psychologii. 2 Przykład stanowią prace Harsanyi ego (Harsanyi, 1956) i Raiffy (Luce, Raiffa, 1964).

5 Model negocjacyjny Zeuthena a schemat arbitrażowy Nasha - studium porównawcze 115 Aby dodatkowo podkreślić znaczenie jego prac przypomnieć należy na koniec, że Zeuthen w swoich dociekaniach był pozbawiony instrumentarium, jakie w przyszłości przyniosła ze sobą teoria gier. Schemat arbitrażowy Nasha Dwupodmiotowa sytuacja negocjacyjna została zdefiniowana w klasycznym artykule Nasha jako: możliwość współpracy dla wspólnych korzyści na więcej niż jeden sposób. W prostszej wersji jako stan, w którym żadna decyzja podjęta przez jeden z podmiotów bez zgody partnera nie może wpłynąć na korzyści tego drugiego (Nash, 1950a). Jako przykłady takich sytuacji Nash podaje monopol bilateralny, duopol, negocjacje płacowe między pracodawcami i związkami zawodowymi oraz negocjacje handlowe między państwami. Logika schematu arbitrażowego opiera się na szeregu założeń, których spełnienie umożliwia konstrukcję modelu sytuacji negocjacyjnej. Po pierwsze należy przeprowadzić charakterystykę podmiotów w niej uczestniczących. Są one racjonalne, mają zdefiniowane funkcje użyteczności osiąganych wygranych, identyczne zdolności negocjacyjne oraz pełną informację o parametrach wyborów dokonywanych przez partnerów. Druga grupa założeń dotyczy zbioru rozwiązań (S) stanowiących pary wygranych każdej ze stron osiągane w zależności od podejmowanych przez nie decyzji. Według Nasha musi on być zwarty i wypukły (Nash, 1950a). Zwartość sprawia, że zbiór rozwiązań jest ograniczony i można go zamknąć w odpowiednio dużym kwadracie przestrzeni euklidesowskiej. To implikuje, że każda ciągła funkcja użyteczności wygranych jednego podmiotu zakłada maksymalną wartość zbioru dla danej użyteczności drugiego podmiotu. Wypukłość zbioru rozwiązań sprawia, że dla danego rozwiązania można znaleźć alternatywę zwiększającą korzyść, co najmniej, jednego podmiotu bez zmniejszania wygranych drugiego, tylko w obrębie tego zbioru. Nigdy przez znalezienie rozwiązania będącego efektem odpowiedniego mieszania strategii. Ważnym punktem zbioru rozwiązań jest sytuacja braku współpracy między podmiotami. Funkcje użyteczności wygranych w tym punkcie przybierają wartość zero. Przyrosty korzyści uzyskane przez podmioty dzięki współpracy będą za punkt odniesienia miały tą właśnie sytuację. Innymi słowy punkt odniesienia jest rozwiązaniem nie kooperacyjnym, do którego podmioty mogą powrócić w wypadku niepowodzenia negocjacji. Ustalenie zerowych współrzędnych punktu odniesienia jest możliwe dzięki założeniu o możliwości liniowej transformacji zbioru rozwiązań, która nie będzie miała wpływu na wybór rozwiązania arbitrażowego Nash twierdził, że w zbiorze rozwiązań istnieje jedno, które każdemu podmiotowi przynosi korzyści jakich oczekuje. Można zatem przyjąć, że racjonalne podmioty zgodzą się na to właśnie lub ekwiwalentne rozwiązanie. Istnieje punkt, który nazwiemy rozwiązaniem arbitrażowym (c(s)), należący do zbioru rozwiązań dostępnych i traktowanych przez podmioty jako obopólnie korzystne. Znajdując warunki charakteryzujące rozwiązanie arbitrażowe, Nash wyznaczył prostą metodę jego wyznaczania. Pierwszy warunek jest wyrazem założenia o racjonalności podmiotów. Załóżmy, że u a jest funkcją użyteczności korzyści gracza A, a u b gracza B. Jeśli istnieje rozwiązanie α w zbiorze S takie, że jest w nim inne, β o własności u a (β)>u a (α) i u b (β)>u b (α) to α c(s). Ten warunek odzwierciedla dążenie racjonalnych podmiotów do maksymalizacji użyteczności w ramach uzgodnionego rozwiązania arbitrażowego. Ponadto ogranicza on poszukiwania rozwiązania arbitrażowego do takiego podzbioru S, w którym wszystkie punkty spełniają kryterium optymalności Pareto. W sensie geometrycznym, rozwiązania arbitrażowego należy szukać na prawym, górnym brzegu zbioru S. Drugi warunek dotyczy niezależności od alternatyw niezwiązanych. Jeśli zbiór T zawiera zbiór S i c(t) należy do S, to c(t)=c(s). Jeśli rozwiązanie arbitrażowe wyznaczone jest

6 116 Sławomir Kalinowski dla większego zbioru T i należy do mniejszego zbioru S, który się w T całkowicie zawiera, to jest jednocześnie rozwiązaniem arbitrażowym dla zbioru mniejszego. Spośród wszystkich warunków, ten właśnie wydaje się najbardziej zaskakujący. Pozostałe są naturalną konsekwencją przyjmowanych założeń. Nash uzasadniał włączenie tego warunku twierdząc, że jeśli c(s) jest rozwiązaniem arbitrażowym dla większego zbioru T, to usunięcie z niego niektórych rozwiązań uznanych za nieosiągalne (powstaje zbiór S) nie prowadzi do zmiany wskazania. Warunek o niezależności od alternatyw niezwiązanych budził największe kontrowersje. Przykłady kwestionujące jego zasadność dają Straffin (Straffin, 2001, s.136), Raiffa (Luce, Raiffa, 1964, s ) oraz Kalai i Smorodinsky (Kalai, Smorodinsky, 1975). Krytyka warunków rozwiązania arbitrażowego Nasha zaprowadziła tych ostatnich do sformułowania własnego, alternatywnego schematu. Trzeci warunek dotyczy symetrii zbioru S. Jeśli zawiera on punkt o współrzędnych (a,b) to zawiera również punkt (b,a). Jeśli S jest symetryczny i funkcje u 1 i u 2 odzwierciedlają tą symetryczność, punkt c(s) ma identyczne współrzędne dla każdego z graczy (a,a). Innymi słowy leży na linii u a =u b. Ten warunek jest wyrazem równego potencjału i umiejętności negocjacyjnych obydwu podmiotów. Wykorzystując założenia oraz trzy sformułowane w oparciu o nie warunki Nash udowodnił, że jedynym kryterium wyznaczenia punktu c(s) jest maksymalizacja iloczynu u 1 u 2 w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Zwartość zbioru S gwarantuje, że taki punkt istnieje, jego wypukłość sprawia, że jest on jedyny. Wyznaczone przez Nasha kryterium spełnia założenie o niezależności od przekształceń liniowych. Jeśli punkt odniesienia, punkt c(s) i wszystkie pozostałe punkty zbioru pomnożymy przez dodatnią stałą, to wszystkie iloczyny odległości między punktami przemnożą się przez kwadrat tej stałej i ten, który był maksymalny nadal pozostanie maksymalnym. Załóżmy, że punkt odniesienia ma współrzędne (u ao,u bo ). Jeśli ich wartości odejmiemy od odpowiednich współrzędnych wszystkich punktów zbioru S, to punkt odniesienia znajdzie się w początku układu współrzędnych. Następnie wszystkie użyteczności rozwiązań graczy pomnóżmy przez dodatnie stałe tak, aby punkt c(s) miał współrzędne (1,1). Ze względu na maksymalizujące własności punktu c(s), żaden punkt zbioru S nie może leżeć powyżej dodatniej gałęzi hiperboli u a u b =1. Ponieważ gałąź ta jest wklęsła a zbiór S wypukły, nie może on wykraczać ponad styczną do hiperboli w punkcie (1,1) o równaniu u a +u b =2. Zbudujmy kwadrat obrazujący zbiór T, który zawiera w sobie S, jest symetryczny względem osi u a =u b a jeden z jego boków zawiera się w prostej u a +u b =2. Zgodnie pierwszym i trzecim warunkiem c(s) jest rozwiązaniem arbitrażowym dla zbioru T. Zgodnie warunkiem drugim, jest to jednocześnie rozwiązanie arbitrażowe dla zbioru S.

7 Model negocjacyjny Zeuthena a schemat arbitrażowy Nasha - studium porównawcze 117 Wykres 2. Dowód unikalności schematu arbitrażowego Nasha ua+ub=2 3 ub ua=ub 2 S 1 c(s) uaub= ua -1 T -2-3 Źródło: Nash, J.F., 1950a, The Bargaining Problem, Econometrica 18, s Dowód Nasha oparł się na założeniu o niezależności od przekształceń liniowych i uwzględnieniu trzech warunków, których spełnienie wskaże rozwiązanie arbitrażowe jako maksymalizację odległości w zbiorze S od punktu odniesienia. Szczególną rolę w tym, niewątpliwie eleganckim dowodzie, spełnił warunek drugi, który dopiął wywód. Cofnięcie przekształcenia liniowego przyniesie wyznaczenie współrzędnych punktu c(s) w pierwotnej skali użyteczności wygranych. Schemat arbitrażowy Nasha wyróżniał się na tle wcześniejszych wskazań rozwiązań kooperacyjnych nie tylko elegancją dowodu, ale również prostotą rachunków prowadzących do rozwiązania. Ponadto, wcześniejsze propozycje dopuszczały możliwość uzupełniania uzgodnień o konieczne wypłaty oboczne, których celem było wyrównanie asymetrii korzyści wynikających z kooperacji dla negocjujących podmiotów (von Neumann, Morgenstern, 1944, s.558). Ilustracją zastosowania schematu arbitrażowego Nasha w pierwotnej postaci (Nash, 1950a) będzie prosty przykład. Wyobraźmy sobie, że mamy do czynienia z następującą grą o sumie różnej od zera. Jej dwumacierzowa postać jest przedstawiona w Tabeli 2. Gracze A i B, szukając rozwiązania akceptowanego przez obydwu i przynoszącego jak największe korzyści mogliby wybrać parę strategii o najwyższej sumie wygranych w ramach danego wyniku i podzielić tą sumę równo między siebie. Byłaby to para strategii (a 1,b 1 ) a wygrane obydwu graczy wyniosłyby u a =u b =15. Tak wyznaczony wynik gry nazywamy rozwiązaniem egalitarnym. Oparcie kooperacji między graczami na szukaniu rozwiązania egalitarnego rodzi dwie wątpliwości. Po pierwsze, wygrane graczy są mierzone ich użytecznościami, które nie mają waloru uniwersalnego. Von Neumann i Morgenstern pisząc o użytecznościach porządkowych i kardynalnych, zauważyli, że nie można utożsamić jednostki użyteczności jednego z graczy z jednostką użyteczności drugiego. Po drugie, nawet, jeśli wygrane graczy mierzone byłyby w jakichś obiektywnych jednostkach to rozwiązanie polegające na równym podziale maksymalnej sumy wygranych może nie satysfakcjonować gracza B. Wie on, że w przypadku gracza A, strategia a 2 dominuje a 1. Wystarczy, że gracz B wybierze b 2, najlepszą odpowiedź na a 2 i wygra więcej niż w przypadku rozwiązania egalitarnego (16>15).

8 118 Sławomir Kalinowski Tabela 2. Gra w postaci dwumacierzowej Wygrane A = u a a 1 a 2 b b Wygrane B = u b a 1 a 2 b b Zbiór rozwiązań S ma postać wieloboku wygranych, którego wierzchołkami są punkty określające wygrane graczy dla tych samych par strategii. Zgodnie z warunkiem dotyczącym racjonalności graczy rozwiązania arbitrażowego należy szukać na wypukłym, prawym 25 ua Wykres 3. Wielobok wygranych i obszar negocjacyjny 20 (a 1,b 1 ) 15 c(s) 10 o(s) (a 2,b 2 ) 5 (a 1,b 2 ) (a 2,b 1 ) 0 ub górnym brzegu wieloboku. Częścią zbioru rozwiązań S, w której odnajdziemy kooperacyjne rozwiązanie arbitrażowe będzie odcinek miedzy punktami (a 1,b 1 ) i (a 2,b 2 ). Rozwiązania znajdujące się w tym podzbiorze są parami wygranych obydwu graczy, uzyskanymi wyniku mieszania strategii a 1 i a 2 przez gracza A oraz b 1 i b 2 przez gracza B. Wszystkie te rozwiązania spełniają kryterium optymalności Pareto. Ograniczenie zbioru negocjacyjnego może wynikać z zawężenia jego obszaru przez

9 Model negocjacyjny Zeuthena a schemat arbitrażowy Nasha - studium porównawcze 119 punkt odniesienia (o(s)). Jego współrzędne zostały ustalone poprzez wyznaczenie wygranych dla pary strategii bezpieczeństwa każdego z graczy. Wybór strategii bezpieczeństwa polega znalezieniu rozwiązań maximinowych w metagrach o sumie zerowej opartych na wygranych jednego i drugiego gracza z gry pierwotnej. Wyznaczenie poziomu bezpieczeństwa dla gracza B jest prostsze. Gra o sumie zerowej z jego wygranymi ma punkt siodłowy na skrzyżowaniu strategii (a 1,b 1 ). Jeśli będzie grał strategię bezpieczeństwa b 1 to, w najgorszym wypadku, osiągnie poziom bezpieczeństwa równy 10. Grając swoją strategię bezpieczeństwa, gracz B gwarantuje sobie, że wygra co najmniej 10 nawet wtedy, gdy gracz A będzie grał dla jak najgorzej dla niego. Tabela 3. Metagra A o sumie zerowej Tabela 4. Metagra B o sumie zerowej Wygrane A = u a a 1 a 2 Wygrane A = u a a 1 a 2 b b b b Wygrane B = u b a 1 a 2 Wygrane B = u b a 1 a 2 b b b b Gra o sumie zerowej z wygranymi gracza A nie ma punktu siodłowego wyznaczonego w strategiach czystych. Aby wyznaczyć jego poziom bezpieczeństwa należy znaleźć rozwiązanie w strategiach mieszanych. Optymalne prawdopodobieństwo, zgodnie z którym powinny być mieszane strategie a 1 i a 2 (q), zrównuje wartości oczekiwane wygranych ze strategii gracza B. EVb 1 (q)=-20q-4(1-q)=-4-16q [8] EVb 2 (q)=-2q-8(1-q)=-8+6q [9] 2 EVb 1 (q)=evb 2 (q) <=> q= 11 [10] 2 Jeżeli gracz A będzie losował strategię a 1 z prawdopodobieństwem 11 i strategię a 2 z prawdopodobieństwem to zapewni sobie wygraną równą = 6. Tyle będzie wynosić jego poziom bezpieczeństwa Zbiór rozwiązań optymalnych w sensie Pareto leżący na prawo i w górę od punktu odniesienia nazywać będziemy zbiorem negocjacyjnym. Będzie on, w prezentowanym przykładzie, całym odcinkiem ograniczonym punktami (a 1,b 1 ) i (a 2,b 2 ). Łatwo możemy policzyć, że zbiór negocjacyjny w naszej grze to odcinek linii u a =40-2u b leżący między punktami (10,20) i (16,8). Zgodnie z propozycją Nasha, jeżeli punkt odniesienia o(s) ma współrzędne (u ao,u bo ), to jedynym rozwiązaniem arbitrażowym jest należący do wieloboku wygranych punkt c(s) o takich współrzędnych (u a,u b ), że u a >u ao i u b >u bo oraz (u a -u ao )(u b -u bo )=max. Współrzędne tego szczególnego punktu będziemy oznaczać jako (u ac,u bc ). Rozwiązanie kooperacyjne musi, zatem spełnić następujące warunki: u a =40-2u b [11] 76 ( u a )( u b 10) = max [12] 11 Podstawienie warunku [11] do warunku [12] tworzy funkcję jednej zmiennej, której maksymalizacja wskaże pierwszą współrzędną rozwiązania kooperacyjnego:

10 120 Sławomir Kalinowski f(u b )=-2u 2 b u b =max [13] Warunkiem koniecznym tej maksymalizacji jest: f (u b ) 584 = 4u b + = 0 [14] 11 u b Jest on spełniony, gdy u b =u bc = = 13. Gdy podstawimy tą wartość do równania [11], możemy wyznaczyć wartość wygranej gracza A w ramach rozwiązania kooperacyjnego (u a =u ac = = 13 ). Dążąc do rozwiązania kooperacyjnego gracze powinni uzgodnić rozwiązanie o wygranych u ac = i u bc = Aby takie rozwiązanie osiągnąć, każdy z graczy powinien wybrać odpowiednią strategię mieszaną. Prawdopodobieństwa wyboru strategii można wyznaczyć przyrównując odpowiednie wartości oczekiwane ze współrzędnymi rozwiązania kooperacyjnego (punktu c(s)) p+8(1-p)= 11 => p= 11 [15] q+16(1-q)= 11 => q= 11 [16] Arbiter rozstrzygający w tej grze powinien zarekomendować graczowi A strategię mieszaną ( 5 11 a 1 ; 6 11 a 2 ), a graczowi B strategię mieszaną ( 5 11 b 1 ; 6 11 b 2 ). Dla szukania punktu c(s) metodą geometryczną duże znaczenie ma zgodność wartości bezwzględnej nachylenia linii, na której leży ten punkt i linii łączącej go z punktem odniesienia. Nachylenia linii stycznej do zbioru negocjacyjnego w punkcie oznaczającym rozwiązanie kooperacyjne c(s) i linii łączącej ten punkt z punktem odniesienia o(s) są równe, co do modułu i przeciwne, co do znaku. W grze z Tabeli 2 punkt c(s) leży na linii o nachyleniu β=-2. Łatwo można sprawdzić, że linia łącząca go z punktem odniesienia ma nachylenie ε=2. Nash rozwinął swoją koncepcję rozwiązania arbitrażowego w drugim artykule dotyczącym tego problemu (Nash, 1953). Nie zmienił w nim istoty proponowanego schematu. Nowymi elementami koncepcji było osadzenie schematu arbitrażowego w paradygmacie teorii gier, nadanie mu formy aksjomatycznej oraz konkretyzacja określenia punktu odniesienia jako punktu gróźb optymalnych 3. Analiza porównawcza i wnioski Schemat arbitrażowy Nasha, jakkolwiek często krytykowany za arbitralność założeń oraz abstrakcyjny charakter utrudniający praktyczną aplikację, wyznaczył punkt zwrotny w badaniach nad poszukiwaniem rozwiązania kooperacyjnego w grach o sumie różnej od zera. John Harsanyi, z którym Nash podzielił Nagrodę Nobla w 1994 roku, pisząc artykuł o problemie sytuacji negocjacyjnej zatytułował go Approaches to the Bargaining Problem Before and After the Theory of Games: a Critical Discussion of Zeuthen s, Hick s, and Nash s Theories (Harsanyi, 1956). Jedną z tez autora było uznanie prac Nasha za niesłychanie istotny przykład wykorzystania teorii gier dla rozwoju obszarów badawczych, które ekonomiści głównego nurtu uznali za spenetrowane. W przywołanym artykule znalazł się bardzo ciekawy fragment dotyczący powinowactwa między modelem Zeuthena a schematem arbitrażowym Nasha. Harsanyi pisze w nim o tożsamości wskazań rozwiązań kooperacyjnych obydwu autorów. Ta teza stała się inspiracją dla zbudowania przykładów opisanych Tabelami 1 i 2. Dotyczą one tej samej sytuacji negocjacyjnej, którą poddano poszukiwaniu rozwiązania kooperacyjnego najpierw zgodnie z modelem Zeuthena, później według schematu Nasha. Uzyskano identyczne wyniki. Nawet 3 Ograniczenia nałożone na objętość artykułu nie pozwalają na szczegółową prezentacje rozwiniętej koncepcji Nasha.

11 Model negocjacyjny Zeuthena a schemat arbitrażowy Nasha - studium porównawcze 121 prawdopodobieństwa odrzucenia ofert drugiej strony w równowadze uzyskanej dzięki pierwszemu podejściu są identyczne z wagami, według których należy mieszać strategie w rozwiązaniu kooperacyjnym wskazanym przez metodę aksjomatyczną (w obydwu wypadkach wynoszą 5 11 ). Tożsamość wskazań musi pociągnąć za sobą porównanie obydwu teorii oraz wskazanie jej przyczyn. Te ostatnie zostały ujawnione przez Harsanyi ego poprzez wyprowadzenie głównego kryterium schematu Nasha, czyli maksymalizacji iloczynu przyrostów użyteczności podmiotów ponad wartości z punktu odniesienia, z równania opisującego mechanizm modelu Zeuthena. Prezentowana wersja analizy będzie zmodyfikowana ze względu na specyfikę wcześniej prezentowanych przykładów. Łatwo zauważyć, że normalizacja użyteczności osiąganych przez strony w pierwszym z nich jest niczym innym jak przesunięciem zbioru negocjacyjnego tak, aby punkt odniesienia znalazł się w początku układu współrzędnych. Znormalizowane użyteczności w przykładzie dotyczącym modelu Zeuthena można wówczas traktować jako przyrosty użyteczności w stosunku do wyniku gry w poziomach bezpieczeństwa w schemacie Nasha. Przypomnijmy, że ustępstwo strony A w modelu Zeuthena będzie miało miejsce wtedy, gdy spełniona zostanie nierówność: u an (a1) u an (b1) u bn (b1) u bn (a1) <, [17] u an (a1) u bn (b1) którą można również zapisać jako: u an (a1)u bn (a1) < u an (b1)u bn (b1). [18] Wykres 4. Ścieżka negocjacji w modelu Zeuthena uanubn a3 a4 z b3 15 b2 10 a ,000 10,273 10,545 10,818 11,091 11,364 11,636 11,909 12,182 12,455 12,727 13,000 13,273 13,545 13,818 14,091 14,364 14,636 14,909 15,182 15,455 15,727 16,000 ub Oznacza to, że ustępuje ta strona, w przypadku której iloczyn użyteczności preferowanego przez nią rozwiązania jest mniejszy. Ustępstwo prowadzi do jego wzrostu tak, że: u an (a 2 )u bn (a 2 ) > u an (b1)u bn (b1), [19] co popycha do ustępstw stronę B. Każde kolejne ustępstwo podnosi iloczyn użyteczności uzyskiwanych przez strony. Ustępstwa następują po sobie tak długo, aż nie zostanie osiągnięta maksymalna wartość tego iloczynu. W prezentowanym przykładzie osiąga on poziom u an (a z )u bn (b z )=21,421. Ścieżkę negocjacji można wytyczyć na wykresie pokazującym kolejne

12 122 Sławomir Kalinowski wartości analizowanego iloczynu. W każdej kolejnej fazie negocjacji zwiększa się jego wartość: 11,09 przy rozwiązaniu a 2, 15,45 przy b 2, 18,18 przy a 3, 20,36 przy b 3, 21,27 przy a 4 i maksimum w punkcie z równe 21,42. Przypomnijmy, że o maksymalizację tego samego iloczynu chodziło Nashowi kiedy formułował warunek dla swojego rozwiązania kooperacyjnego polegający na maksymalizacji iloczynu różnic między użytecznościami graczy w tym punkcie a użytecznościami w punkcie odniesienia. Zbieżność wskazań modelu Zeuthena i Schematu arbitrażowego Nasha staje się szczególnie interesująca, gdy skoncentrujemy uwagę na licznych różnicach jakie dzielą te dwa podejścia. U podstaw modelu Zeuthena leży psychologiczna analiza zachowań podmiotów w trakcie prowadzenia negocjacji. Została ona w sposób błyskotliwy wbudowana w ramy modelu ekonomicznego, w którym podobnie zachowujące się strony, wyposażone w pełną wiedzę dokonują wyborów tak aby zmaksymalizować wartość oczekiwaną użyteczności. Konwencja abstrakcyjnej konstrukcji teoretycznej zastosowana przez Zeuthena nie spowoduje prawdopodobnie poczucia nierzeczywistości u kogoś, kto zna procesy negocjacyjne w praktyce. Poznając model Zeuthena będzie miał raczej wrażenie uczestnictwa w rzeczywistej sytuacji targu z jej dynamiką i zmiennością postaw. Schemat Nasha sprawia wrażenie konstrukcji teoretycznej, w której poprawność formalna dzierży prymat nad zbieżnością z naturą opisywanych procesów. W swoim drugim artykule Nash interpretując aksjomat symetrii traktuje go jak imperatyw uczynienia stron negocjacji podmiotami racjonalnie zachowującymi się o pełnej wiedzy. To ma sprawić, że poza różnicami wynikającymi z matematycznej konstrukcji modelu, żadna ze stron nie może osiągnąć przewagi nad drugą (Nash, 1953). U Zeuthena racjonalność i pełna wiedza prowadzą do uzyskiwania przewagi nad drugą stroną, która staje się czynnikiem napędzającym negocjacje. Z różnicy w podejściu autorów do problemu badawczego wynika różnica w naturze zbudowanych modeli. U Zuethena dojście do rozwiązania kooperacyjnego jest procesem dynamicznym, który kierowany jest swoją wewnętrzną logiką. Nieodzownym dla jego przeprowadzenia jest udział negocjujących stron. W przypadku schematu Nasha wyznaczenie punktu c(s) to jednorazowy akt poprzedzony wyznaczeniem punktu gróźb optymalnych. Udział stron sytuacji negocjacyjnej może się ograniczyć wyłącznie do ustalenia arbitra, który zajmie się resztą (Straffin, 2001). Kolejna różnica ma podłoże głębsze, metodologiczne. Demarkacja miedzy ekonomią pozytywną i normatywną zajmuje metodologów co najmniej od wyznaczenia przez Hume a tzw. gilotyny oddzielającej to co pozytywne od tego co normatywne (Black, 1970, s. 24). Według Blauga bardzo często zdarza się w ekonomii, że granica między jej wymiarami pozytywnym i normatywnym staje się rozmyta. Stawia on pytanie retoryczne. Jak to się dzieje, że niektóre twierdzenia ekonomiczne, w rodzaju różnych równości krańcowych charakteryzujących optimum Pareto, pojawiają się w subtelnie różniących się przebraniach zarówno w ekonomii pozytywnej jak i w ekonomii normatywnej? (Blaug, 1995, s. 189). Znakomitym przykładem ilustrującym to pytanie jest zestawienie modelu Zeuthena ze schematem arbitrażowym Nasha. W jednym z aksjomatów Nash otwarcie przywołuje kryterium optymalności Pareto, które jest pośrednio obecne również w drugim z porównywanych modeli. Zapoznając się z nimi, trudno się oprzeć wrażeniu, że model Zeuthena jest zdecydowanie bliższy ekonomii pozytywnej odpowiadającej na pytanie: jak jest?. Jednocześnie schemat arbitrażowy Nasha wyczerpuje znamiona ekonomii normatywnej, która odpowiada na pytanie jak należy postąpić?. To rozróżnienie staje się argumentem na rzecz tezy Blauga. Jeśli dwa analizowane podejścia pochodzą z różnych obszarów ekonomii a przynoszą to samo wskazanie co do rozwiązania problemu badawczego, to rozróżnienie między tym co normatywne i tym co pozytywne traci na uzasadnieniu i ostrości. Według Harsanyi ego, tożsamość wskazania rozwiązania kooperacyjnego zestawiona

13 Model negocjacyjny Zeuthena a schemat arbitrażowy Nasha - studium porównawcze 123 z istotnymi różnicami dzielącymi obydwa podejścia uzasadnia przyjęcie tezy, że stanowią one dla siebie wzajemne potwierdzenie i uzupełnienie. Model Zeuthena uzupełnia podejście Nasha o wykorzystanie dynamiki procesu negocjacyjnego. Z drugiej strony schemat arbitrażowy przynosi rozszerzenie zakresu rozstrzyganych problemów targu o sytuacje niesymetryczne, w których strony uzgadniają rozwiązanie inne od spotkania w połowie drogi (Harsanyi, 1956). Analiza prezentowanego przykładu dowodzi, że model Zeuthena może przynieść rozwiązanie również w sytuacjach niesymetrycznych, należy tylko przeprowadzić normalizację użyteczności polegającą na odjęciu od nich odpowiednich poziomów bezpieczeństwa. Można zatem rozszerzyć tezę Harsanyi ego stwierdzając, że schemat arbitrażowy Nasha, poprzez użyczenie jednego ze swoich elementów zwiększa zakres aplikowalności modelu Zeuthena. BIBLIOGRAFIA: 1. Black, M., (1970), Margins of Precision. Essays in Logic and Language, Cornell University Press, Ithaca. 2. Blaug, M., (1995), Metodologia ekonomii, PWN, Warszawa. 3. Harsanyi, J.C., (1956), Approaches to the Bargaining Problem Before and After the Theory of Games, Econometrica 24, s Kalai, E., Smorodinsky M., (1975), Other Solutions to Nash s Bargaining Problem, Econometrica 43, s Luce, R.D. Raiffa H., (1964), Gry i decyzje, PWN, Warszawa. 6. Nash, J.F., (1950), The Bargaining Problem, Econometrica 18, s Nash, J.F., (1953), Two-Person Cooperative Games, Econometrica 21;1, s von Neumann, J., Morgenstern, O., (1944), Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press. (trzecie wydanie 1953), Princeton. 9. Straffin, P.D., (2001), Teoria gier, Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa. 10. Zeuthen, F., (1930), Problems of Monopoly end Economic Welfare, Routledge & Sons, London.