Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 4 listopada 2015 Rozwiązania zadań

Transkrypt

1 Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 4 listopada 2015 Rozwiązania zadań ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1. (1 punkt) Gwiazda sześcioramienna ma wszystkie boki równe i składa się z dwóch jednakowych trójkątów równobocznych (patrz rysunek). Pole każdego z trójkątów wynosi 30 cm 2. Pole gwiazdy wynosi: a) 35 cm 2 b) 40 cm 2 c) 45 cm 2 d) 50 cm 2 e) 60 cm 2 Zadanie 2. (1 punkt) Nierówność ( 1 2 ) x > 2 jest prawdziwa dla: a) x = 2 b) x = 1 c) x = 0 d) x = 1 e) x = 2 Zadanie 3. (1 punkt) Po obniżce ceny o 15% garnitur kosztuje 510 zł. Przed obniżką ten garnitur kosztował: a) 586 zł 50 gr b) 600 zł c) 536 zł 84 gr d) 576 zł 50 gr e) 566 zł 67 gr

2 Zadanie 4. (1 punkt) Jaka jest cyfra jedności liczby a) 4 b) 5 c) 0 d) 9 e) 6 Zadanie 5. (1 punkt) Funkcja f każdej liczbie naturalnej n przyporządkowuje resztę z dzielenia liczby n przez 5. Jaki jest zbiór wartości tej funkcji a) {1, 2, 3, 4} b) {0, 1, 2, 3, 4} c) {1, 2, 3, 4, 5} d) {0, 1, 2, 3, 4, 5} e) {2, 3, 4, 5} Zadanie 6. (1 punkt) Liczba różnych dzielników liczby wynosi: a) b) 2015 c) 2016 d) 2 e) 1008 Zadanie 7. (1 punkt) Ile osi symetrii ma figura: a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) Zadanie 8. (1 punkt) Ile różnych trójkątów można zbudować z odcinków o długościach: 29 cm, 14 cm, 12 cm, 6 cm, 19 cm? a) 5 b) 4 c) 7 d) 6 e)10 Zadanie 9. (1 punkt) Rozwiązaniem równania jest liczba 2 9 x 16 = 0 a) 1 2 b) 1 16 c) 1 8 d) 2 e) 1 32 Zadanie 10. (2 punkty) Marek potrafi posprzątać pokój w ciągu 8 godzin. Rozpoczął sprzątanie o godz. 8:00. Gosia obiecała mu pomoc w sprzątaniu, lecz spóźniła się 4 godziny. Razem dokończyli sprzątanie o godz 13:00. O której godzinie skończyliby sprzątanie gdyby zaczęli sprzątać razem? a) 11:30 b) 10:30 c) 11:00 d) 12:10 e) 10:00

3 ZADANIA OTWARTE Zadanie 11.(3 punkty) Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe takie, że po wstawieniu między cyfrę dziesiątek i jednostek dodatkowej cyfry zwiększają się dziewięciokrotnie. Rozwiązanie: Oznaczenia: a - cyfra dziesiątek szukanej liczby b - cyfra jedności szukanej liczby x - cyfra która została umieszczona między a i b. Szukaną liczbę można zapisać jako 10a + b, przy czym zakładamy, że a 0 Po wstawieniu między a i b cyfry x otrzymujemy liczbę 100a + 10x + b Z treści zadania wynika, że 100a + 10x + b = 9(10a + b) Po przekształceniach otrzymujemy i dalej 10a + 10x = 8b a + x = 4 5 b Suma liczb a + x jest liczba całkowitą, więc 4 b też jest liczba całkowitą. Z faktu, że b jest 5 liczbą jednocyfrową wynika, że b = 5 lub b = 0. Rozwiązanie b = 0 należy odrzucić, gdyż suma a + x nie może być równa zero. Tak więc b = 5. Stąd otrzymujemy: a + x = 4 Ze względu na to, że a 0 i a oraz x są liczbami całkowitymi nieujemnymi, rozwiązaniami tego równania są pary: a = 1 x = 3 a = 2 x = 2 a = 3 x = 1 a = 4 x = 0 Odpowiedź: Szukanymi liczbami są: 15, 25, 35, Zapisanie liczb w postaci 10a + b oraz 100a + 10x + b - 1 punkt 2. Zapisanie równania - 1 punkt 3. Wyznaczenie rozwiązań - 1 punkt

4 Zadanie 12.(3 punkty) Mrówka porusza się z prędkością 2 razy większą niż biedronka i odległość 100 m przebywa w czasie o 10 min krótszym. Z jaką prędkością porusza się biedronka? Rozwiązanie: Oznaczenia: x - prędkość biedronki w m min 2x - prędkość mrówki w m. min Porównując czas biedronki i mrówki otrzymujemy równanie: 100 2x = 100 x 10 Rozwiązaniemm powyższego równania jest x = 5 m min 1. poprawne oznaczenia - 1 punkt 2. Zapisanie równania - 1 punkt 3. Wyznaczenie rozwiązania - 1 punkt

5 Zadanie 13.(2 punkty) Dwa spośród boków trójkąta mają długości 3 cm i 4 cm. Zaznacz na osi liczbowej zbiór wszystkich możliwych długości trzeciego boku. 1. przypadek. Jeśli x jest najdłuższym odcinkiem, czyli x 4, to aby można było zbudować trójkąt musi być spełniony warunek > x. A więc x 4 i x < 7 2. przypadek. Jeśli x nie jest najdłuższym odcinkiem, czyli 0 < x < 4, to aby można było zbudować trójkąt musi być spełniony warunek 3 + x > 4. A więc x < 4 i x > 1. Zatem zbiór wszystkich możliwych długości trzeciego boku oznaczonego przez x przedstawiamy na osi liczbowej następująco: 1. Jeżeli uczeń zapisze jeden z warunków (x 4 i x < 7) lub (x < 4 i x > 1), to otrzymuje 1 punkt. 2. Jeżeli uczeń zapisze oba warunki i zaznaczy na osi liczbowej prawidłowy zbiór, to otrzymuje 2 punkty.

6 Zadanie 14.(3 punkty) Koza jest przywiązana do ogrodzenia otaczającego działkę w kształcie koła o promieniu 100 m. Długość łańcucha, którym przywiązana jest koza wynosi m. Wykonaj rysunek pomocniczy. Dziennie koza zjada trawę z powierzchni 107 m 2. Po ilu dniach należy zmienić punkt przywiązania kozy, aby nie była głodna? Fragment łąki w zasięgu kozy składa się z półkola o promieniu 100 m i odcinka koła o promieniu m oznaczonego na rysunku przez P. Pole półkola o promieniu 100 m jest równe P półkola = π 1002 m 2 = π 5000m 2 2 Pole odcinka koła P jest równe różnicy pola wycinka koła o promieniu m i trójkąta o podstawie 20 m i wysokości 10 m. Pole odcinka koła P jest równe: P P = π (100 2) m 2 = π m 2 2 Całkowite pole w zasięgu kozy równe jest sumie obliczonych pól, więc P kozy = π π = (π 1)m 2 Przyjmując π = 3, 14 otrzymujemy P kozy = 21400m 2 Zatem koza zje trawę w ciągu = 200 dni. Po 200 dniach należy zmienić kozie miejsce. 1. Naszkicowanie poprawnego rysunku - 1 punkt 2. Poprawne wyznaczenie pola zasięgu kozy - 1 punkt 3. Obliczenie ilości dni - 1 punkt

7 Zadanie 15.(3 punkty) Liczba a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3. Wykaż, że kwadrat liczby a powiększony o 1 jest podzielny przez 5. Liczbę a można zapisać zgodnie z warunkami zadania jako a = 5n + 3, n N Wówczas a = (5n + 3) = 25n n = 25n n + 10 = 5 (5n 2 + 6n + 2) Wyrażenie w nawiasie jest liczbą naturalną, gdyż jest wynikiem potęgowania, mnożenia i sumowania liczb naturalnych, z czego wynika że całe wyrazenie jest podzielne przez Poprawny zapis a = 5n + 3 oraz a punkt 2. Zamiana a na postać iloczynową z wyłączoną liczbą 5-1 punkt 3. Uzasadnienie że wyrażenie w nawiasie jest liczbą naturalną - 1 punkt Uwaga W przypadku innych sposobów rozwiązywania zadań prosimy o punktację zgodną z Państwa doświadczeniem.