Magnetyzm. Wykład 13.

Transkrypt

1 Szczęście to łza, która się otarło i uśmiech, który się wywołało. Maxence van der Meersch Wykład 13. Magnetyzm Pole magnetyczne Siła Lorentza Efekt Halla Siła magnetyczna Prawo Biota-Savarta Prawo Ampere a Prawo Gaussa dla pól magnetycznych Własności magnetyczne materii 11,5 Pole magnetyczne Ziemi: Gaussa, 1 Tesla [T] = 10 4 Gaussów [Gs]. 1

2 Magnetyzm Pole magnetyczne Pole magnetyczne jako swoisty fenomen towarzyszy naszej planecie (rys.) od niepamiętnych czasów. Własności magnetyczne rudy żelaza - magnetytu, znane były w dalekiej starożytności i wykorzystywano je np. do budowy kompasu magnetycznego. Pole magnetyczne jest wytwarzane zarówno przez namagnesowane ciała stałe jak i przez prądy elektryczne - strumienie poruszających się ładunków. Tak jak oddziaływania elektryczne zachodzą za pośrednictwem pola elektrycznego tak oddziaływania magnetyczne zachodzą za pośrednictwem pola magnetycznego. Pole magnetyczne, w odróżnieniu od pola elektrycznego nie działa na ładunek znajdujący się w spoczynku. Siła pojawia się wtedy, gdy ładunek porusza się. 2

3 Pole magnetyczne Powszechnym źródłem pola magnetycznego jest magnes stały. Najlepszym tego przykładem jest magnes sztabkowy, Rys. źródło: 3

4 Pole magnetyczne Jak definiujemy wektor indukcji pola magnetycznego? Siła magnetyczna. Pole magnetyczne wytwarza siłę magnetyczną, zwaną siłą Lorentza, która oddziaływuje na poruszające się elektrony lub prądy elektryczne. Działa ona również na przewodnik z prądem. Rys. Oddziaływanie pola magnetycznego na prostoliniowy przewodnik z prądem. Źródło: To oddziaływanie pomiędzy prądem i magnesem opisujemy wprowadzając pojęcie pola magnetycznego. 4

5 Pole magnetyczne i siła Lorentza Siłę magnetyczną F B działającą na ładunek q poruszający się w polu magnetycznym z prędkością v wiążemy z indukcją magnetyczną B. Doświadczalnie ustalono następującą zależność: F B qv B (13.1) Rys. Siła F B działająca na cząstkę w polu magnetycznym trwałego magnesu. źródło: Kierunek i zwrot siły magnetycznej F B (F L ) zwanej siłą Lorentza, jest określony regułą śruby prawoskrętnej lub regułą prawej ręki. Skalarnie : α- kąt zawarty między wektorami v i B. F qv Bsin B (13.2) Siłę tę nazywamy siłą Lorenza lub siłą magnetyczną odpychającą. Powyższe równanie definiuje indukcję pola magnetycznego B. 5

6 Pole magnetyczne Indukcja magnetyczna : B FB q v sin (13.3) Jednostką indukcji magnetycznej B jest tesla (1T): Równanie (13.1) pozwala określić zwrot wektora B, który zgodnie z doświadczeniem, jest on skierowany od bieguna N do bieguna S magnesu. 6

7 Pole magnetyczne 7

8 Pole magnetyczne Przykład Siła Lorentza działająca na poruszający się dodatni i ujemny ładunek elektryczny Siła Lorentza w polach elektrycznym i magnetycznym F q( E v B) (13.4) 8

9 Pole magnetyczne cząstka spiralny tor cząstki Rys. Naładowana cząstka, poruszająca się po linii śrubowej w niejednorodnym polu magnetycznym. Źródło: Halliday,Resnick,Walker Fundamentals of Physics. 9

10 Elektryczność i Magnetyzm Pola skrzyżowane: odkrycie elektronu Zarówno pole elektryczne E, jak i pole magnetyczne B mogą działać siłą na naładowaną cząstkę. Kiedy wektory tych dwóch pól są wzajemnie prostopadłe, mówimy, że są to pola skrzyżowane. Powyższe doświadczenie doprowadziło w 1897 r. do wyznaczenia q/m i odkrycia elektronu przez J. J. Thomsona z Uniwersytetu w Cambridge. do pompy próżniowej 10

11 Elektryczność i Magnetyzm Pola skrzyżowane: efekt Halla Wiązka elektronów w próżni może być odchylona za pomocą pola magnetycznego więc elektrony przewodnictwa, poruszające się w drucie miedzianym, powinny być również odchylone przez pole magnetyczne. Pokazał to w 1879 roku Edwin H. Hall (wówczas student). Efekt Halla pozwala sprawdzić, czy nośniki w przewodniku są naładowane dodatnio, czy ujemnie. Ponadto możemy zmierzyć liczbę takich nośników, przypadającą na jednostkę objętości przewodnika, czyli koncentrację nośników. d U H Efekt Halla- wyjaśnienie Załóżmy, że mamy cienką płytkę przewodzącą w polu indukcji magnetycznej ( rys.). Elektrony przewodnictwa, które poruszają się ze średnią prędkością dryfu V d Rys. Efekt Halla- odchylanie strumienia elektronów w polu magnetycznym. Rys. źródło: : Reinhard Kulessa (13.5) są odchylane w kierunku z. 11

12 Wraz z upływającym czasem wzrasta różnica potencjałów pomiędzy górną a dolną częścią przewodnika (rys.). Pojawia się zatem siła wynika- jąca z tej różnicy potencjałów. F E U a H (13.6) I jest ona skierowana przeciwnie do siły Lorentza. F L ev d B (13.7) Wyrównanie się tych dwóch sił prowadzi do stanu równowagi: (13.8) źródło: Halliday,Resnick,Walker Fundamentals of Physics. U H a ev d B (13.9) 12

13 Efekt Halla Korzystając z teorii przewodnictwa elektronowego: v d j ne I ne S (13.10) Otrzymujemy wyrażenie na różnicę potencjałów generowaną w efekcie Halla: U H R H jd B 1 nq d S I B (13.11) gdzie: 1 R H nq - jest stałą Halla (13.12) Typy przewodnictwa: 13

14 Pola skrzyżowane: zorza polarna Powstawanie zjawiska związane jest z przepływem prądu w jonosferze na wysokości około 100 km ponad powierzchnią Ziemi, w obszarze przenikania pasów radiacyjnych i górnej atmosfery ziemskiej. Słońce stale emituje strumień naładowanych cząstek, czyli wiatr słoneczny. Podczas rozbłysków Słońce wyrzuca większe ilości takich cząstek; należą do nich protony o energiach do 1 GeV oraz elektrony o kilka rzędów wielkości mniejszej energii. W pobliżu Ziemi tory lotu tych cząstek są w większości odchylane przez ziemskie pole magnetyczne. Elektrony i protony schwytane przez ziemską magnetosferę, poruszają się po torze o kształcie helisy wzdłuż linii pola magnetycznego łączących obydwa ziemskie bieguny magnetyczne, powodując wzbudzenia atomów w obszarze polarnym, a skutkiem tego świecenie zorzowe. Atmosfera na dużych wysokościach jest zjonizowana i rozrzedzona, co jest przyczyną także emisji linii wzbronionych. Światło zielone jest emitowane przez atomy tlenu, a światło różowe przez cząsteczki azotu. Często świecenie Jest na tyle słabe, że widzimy je jako światło białe. Zdjęcie: 14

15 Pole magnetyczne relatywistyczna część pola elektrycznego (Einstein) Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem Siła działająca na przewodnik z prądem (i- natężenie prądu), umieszczony w polu magnetycznym o indukcji B. Ładunek q, przepływający odcinek L: (13.13) Na ładunek działa też siła magnetyczna : (13.14) źródło: Halliday,Resnick,Walker Fundamentals of Physics. Zatem siła elektrodynamiczna: F B i( ll B) (13.15) (13.16) 15

16 Pole magnetyczne Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem siła Ampere a (13.17) 16

17 Pole magnetyczne (13.18) 17

18 Zastosowanie siły elektrodynamicznej Silnik elektryczny ramka z prądem w polu magnetycznym Rys. źródło: (13.19) 18

19 Jak policzyć pole magnetyczne? Istnieją dwie metody wyznaczenia indukcji pola magnetycznego w odległości r od nieskończenie długiego prostoliniowego przewodnika z prądem: prawo Biota Savarta i prawo Ampera. I dl Idl Prawo Biota Savarta Przewodnik z prądem o natężeniu I dzielimy na bardzo małe elementy. Stosując prawo Biota-Savarta: Indukcja pola magnetycznego wytwarzanego w odległości r od elementu dl wynosi: db I 0 dl 4 r r 3 (13.20) Rys. Pole db wytworzone przez element dl przewodnika, θ kąt między elementem dl, a wektorem r Wartość skalarna db jest więc dana równaniem: 0I dl sin db 4 2 r (13.21) Na rys. zaznaczony jest element dl przewodnika i pole db jakie wytwarza w punkcie P. 19

20 Następnie sumujemy (całkujemy) pola od tych elementarnych prądów żeby uzyskać wypadkowy wektor B. Wszystkie przyczynki db w punkcie P mają taki sam kierunek i zwrot, zatem sumują się algebraicznie: l dl l θ r R P db B Pomiędzy wielkościami L, θ, i r występują następujące zależności: 2 2 (13.23) r sin l 0I sin dl db 4 2 r l 2 R R R 2 (13.22) (13.24) Po podstawieniu wyrażeń na r i sinθ: (13.25) B I db 0 4 R I b R I dl 0 lim dl R R R 0 lim a a l R l R 3 2 l R a b a 1 b l b I 2 I 20

21 Elektryczność i Magnetyzm Całkując powyższe wyrażenie po całej długości przewodnika, otrzymaliśmy całkowitą indukcje pola magnetycznego w danym punkcie przestrzeni : B I 0 2R (13.26) Stosując, tzw. równanie materiałowe : (dla pola magnetycznego) B H 0 r (13.27) Związek między: H wektorem natężenia pola magnetycznego, a B wektorem indukcji pola magnetycznego. Otrzymujemy wyrażenie na natężenie pola magnetycznego wytworzonego w odległości r od elementu dl przewodnika : H I 2R r (13.28) Natężenia pola magnetycznego ma wymiar [H]=[ 1A/m] 21

22 13.3. Prawo Ampere'a Elektryczność i Magnetyzm Obliczenie indukcji pola magnetycznego przewodnika z prądem na podstawie prawa Biota-Savarta wymaga całkowania po elementach długości przewodnika. W przypadku, gdy pole magnetyczne przewodnika cechuje wysoki stopień symetrii, indukcje pola można niekiedy obliczyć w inny sposób, korzystając z tzw. prawa Ampere a. (Odpowiednikiem prawa Ampere a jest w elektrostatyce prawo Gaussa.) Prawo Ampere'a wiąże cyrkulację (krążenie) pola magnetycznego po konturze zamkniętym l z natężeniem prądu (I) przechodzącego przez powierzchnię wyznaczoną przez ten kontur l : Rys. Kontur kołowy o promieniu r wokół przewodnika z prądem. lub L H dl l B dl 0I i I i (13.29) Prawo Ampere a brzmi: Cyrkulacja wektora indukcji magnetycznej jest równa sumie algebraicznej natężeń prądów płynących wewnątrz konturu całkowania pomnożonych przez przenikalność magnetyczną ośrodka. c 22

23 Elektryczność i Magnetyzm Obliczając lewą stronę r-nia (13.23) mamy : L L B dl B L dl B 2r (13.30) Po porównaniu z prawą stroną r-nia. (13.23) otrzymujemy: r B N A 2 0 I 2 r (13.31) Szukane wyrażenie na indukcję pola magnetycznego w odległości r od przewodnika. gdzie: przenikalność magnetyczna w próżni. 23

24 Elektryczność i Magnetyzm W układzie SI: Jednostką indukcji pola magnetycznego B jest Tesla [1 T]= [1 N/Am], 1 Tesla [T] = Gaussów [Gs]. Jednostką natężenia pola magnetycznego H jest [1 A/m]. 0 (13.32) r Tabela. Wartości względnej przenikalności magnetycznej dla kilku wybranych materiałów. ośrodek r przenikalność magnetyczna próżnia 1 powietrze Aluminium (Al) Miedź (Cu) stale Supermalloy(Ni 79 Fe 15 Mo 5 )

25 Elektryczność i Magnetyzm Przykład: Obliczyć pole magnetyczne wytwarzane przez solenoid o n zwojach (na jedn. długości) (rys.1, poniżej). Rys.1. Solenoid, schemat i reguła prawej dłoni. Pole magnetyczne wytwarzane przez solenoid podobne jest do pola magnetycznego trwałego magnesu. Rys. 2. Pole magnetyczne solenoidu i trwałego magnesu. Rysunki. źródło: 25

26 Elektryczność i Magnetyzm B zew. 0 C N L Rys. Solenoid, schemat, źródło: www. google.pl Linie pola magnetycznego prawie w całości biegną wewnątrz zwojnicy. Zewnętrzne pole magnetyczne zwojnicy jest bardzo słabe, stąd możemy założyć, że B zew. 0. Z doświadczenia wiadomo, że wewnątrz solenoidu, z dala od jego końców, pole magnetyczne jest jednorodne i ma kierunek równoległy do osi solenoidu. Prawo Ampere a przyjmuje wówczas postać: gdzie: n jest liczbą zwojów solenoidu obejmowanych przez krzywą konturu C (rys.). Rys. Środkowa część solenoidu, schemat. C B dl ' 0 n I (13.33) 26

27 Elektryczność i Magnetyzm Cyrkulacja pola magnetycznego po krzywej C jest równa: gdzie l jest szerokością konturu C. B dl ' Bl Porównując dwa ostatnie wzory otrzymujemy: Jeżeli solenoid jest nawinięty ze stała gęstością, to: C B In' 0 l' (13.34) n' n l' l (13.35) (13.36) Ostatecznie otrzymujemy wyrażenie na wartość indukcji jednorodnego pola wewnątrz zwojnicy : B 0 In l (13.37) gdzie: n ilość zwojów, l długość zwojnicy. 27

28 Elektryczność i Magnetyzm 28

29 Elektryczność i Magnetyzm 29

30 Elektryczność i Magnetyzm 30

31 Pole magnetyczne Magnesy Najprostszą strukturą magnetyczną, która może istnieć, jest dipol magnetyczny. Nie stwierdzono istnienia monopoli magnetycznych. 31

32 13.4. Prawo Gaussa dla pól magnetycznych Strumień pola magnetycznego wyraża wzór : B B ds S (13.38) Prawo Gaussa dla pól magnetycznych B lub div B S 0 B ds 0 (13.39) Rys. źródło: Halliday,Resnick,Walker Fundamentals of Physics. 32

33 Magnetyzm Własności magnetyczne materii Moment magnetyczny μ zamkniętej pętli przewodnika o powierzchni A, w której płynie stały prąd o natężeniu I jest dany wzorem: I A (13.40) M B (13.41) (13.42) 33

34 Magnetyzm materii Ciała składają się z atomów (cząsteczek), w których każdy elektron ma orbitalny i spinowy moment magnetyczny. Wypadkowa tych dwóch wielkości dla wszystkich elektronów a atomie czy cząsteczce daje całkowity moment magnetyczny atomu lub cząsteczki. Orbitalny moment magnetyczny elektronu Elektron w atomie ma moment pędu, zwany orbitalnym momentem pędu L orb., oraz towarzyszący mu orbitalny moment magnetyczny μ orb. Te dwie wielkości są związane równaniem: (13.43) gdzie: (13.44) magnetyczna orbitalna liczba kwantowa (13.45) (13.46) 34

35 Magnetyzm materii Elektron ma też swój własny moment pędu, nazywany spinowym momentem pędu (albo po prostu spinem) S. Z tym spinem związany jest własny spinowy moment magnetyczny μ S. Własny, czyli S i μ S są podstawowymi cechami charakterystycznymi dla elektronu (jak np. jego masa i ładunek elektryczny). A S i μ S są związane równaniem (13.47) Nie możemy zmierzyć wektora S. Możemy jednak zmierzyć jego składową wzdłuż dowolnej osi. Mierzona składowa wektora jest skwantowana (może ona przyjmować tylko pewne określone wartości). Załóżmy, że składowa spinu jest mierzona wzdłuż osi z układu współrzędnych. Składowa S z może przyjmować tylko dwie wartości: (13.48) gdzie -magnetyczna spinowa liczba kwantowa, zaś 35

36 Magnetyzm materii Nie możemy również zmierzyć spinowego momentu magnetycznego μ S. Możemy tylko zmierzyć jego składową wzdłuż dowolnej osi i ta składowa także jest skwantowana. (13.49) (13.50) (13.51) Ze względu na swoje własności magnetyczne materię dzielimy na trzy grupy: 1 diamagnetyki, ; 1 paramagnetyki, ; 1 ferromagnetyki,. 36

37 Dziękuję za uwagę! 37