3. Równania pola elektromagnetycznego

Transkrypt

1 3. Równania pola elektromagnetycznego Oddziaływanie pola elektromagnetycznego z materią Pole elektromagnetyczne jest opisywane zazwyczaj za pomocą następujących 5 pól wektorowych: gęstości prądu J, natężenia pola elektrycznego K, natężenia pola magnetycznego, indukcji elektrycznej D, indukcji magnetycznej B. Występowanie pola elektromagnetycznego jest wykrywane pośrednio za pomocą jego oddziaływania energetycznego z otaczającą materią. Siła z jaką pole działa na swobodny ładunek q poruszający się z prędkością v (siła Lorentza) jest określona wzorem [ K ] = V/m [ B ] = Vs/m 2 Ładunek q musi byd dostatecznie mały, również w sensie jego rozmiarów geometrycznych, aby można było mówid o punktowym oddziaływaniu. Ładunek elektryczny jest wielkością kwantowaną najmniejszy możliwy ładunek to ładunek elektronu q e = C. 2 1

2 Doświadczenia Ampere a i Faraday a Współczesna teoria pola elektromagnetycznego wywodzi się z fundamentalnych eksperymentów przeprowadzonych przez Ampere a i Faraday a Doświadczenie Ampere a. Przepływ prądu elektrycznego w przewodniku - ruch ładunku q z prędkością v, powoduje powstanie pola magnetycznego wokół przewodnika. qv v K Doświadczenie Faraday a. Zmiana pola magnetycznego wewnątrz obwodu elektrycznego - np. ruch magnesu z prędkością v, powoduje powstanie pola elektrycznego K na zaciskach obwodu 3 Pole elektryczne w dielektryku Dielektrykiem nazywamy ciało, które nie przewodzi prądu elektrycznego czyli o konduktywności =0 S/m. Umieszczenie dielektryka w polu elektrycznym powoduje nieznaczne przesunięcie przestrzenne ładunku cząsteczek dielektryka w taki sposób, że elementarne ładunki dodatni i ujemny są względem siebie przesunięte o pewien odcinek l efekt działania siły Lorentza. Taki układ ładunków nazywamy dipolem, którego moment p e jest równy q l. Objętościowa gęstośd elektrycznego momentu dipolowego jest nazywana wektorem polaryzacji elektrycznej P e l -q +q Własności materialne określa związek pomiędzy wektorami polaryzacji i natężenia pola (dla środowisk izotropowych) gdzie 0 przenikalnośd elektryczna próżni, * C/Vm ] podatnośd elektryczna, * - ] 4 2

3 Wektor indukcji dielektrycznej Indukcją dielektryczną D nazywamy sumę wektorów Podstawiając zależności określające wektor polaryzacji elektrycznej mamy r nosi nazwę względnej przenikalności elektrycznej. Własności dielektryczne materiałów mających budowę krystaliczną, np. kwarc, zależą zarówno od kierunku działania pola K, jak i od kierunku obserwacji (pomiaru) pola D. Materiały takie są nazywane anizotropowymi a równanie wiążące wektory K, D jest w postaci macierzowej Dalsze rozważania dotyczyd będą wyłącznie środowisk izotropowych, tzn. ij = 0 dla i j oraz ii = r 0. 5 Pole magnetyczne Oddziaływanie pola magnetycznego z materią polega na zmianie rozkładu pola w próżni po wprowadzeniu w pewien obszar przestrzeni elementu materialnego. Dipolem magnetycznym nazywamy pole magnetyczne pochodzące od elementarnego konturu l ograniczającego powierzchnię S(l) i i wiodącego prąd i. Momentem magnetycznym S dipola nazywamy wyrażenie p m =i S u n S Objętościowa gęstośd magnetycznego momentu dipolowego jest nazywana wektorem polaryzacji magnetycznej u n S Własności materialne określa związek pomiędzy wektorami polaryzacji i natężenia pola (dla środowisk izotropowych) gdzie 0 przenikalnośd magnetyczna próżni, * Vs/Am ] m podatnośd magnetyczna, * - ] 6 3

4 Wektor indukcji magnetycznej Indukcją magnetycznej B nazywamy sumę wektorów Podstawiając zależności określające wektor polaryzacji magnetycznej mamy r nosi nazwę względnej przenikalności magnetycznej, a 0 = 4 jest przenikalnością magnetyczną próżni, /m Materiały ferromagnetyczne mają budowę krystaliczną, dlatego ich własności magnetyczne zależą zarówno od kierunku działania pola, jak i od kierunku obserwacji (pomiaru) pola B. Materiały takie są nazywane anizotropowymi a równanie wiążące wektory, B jest w postaci macierzowej Dalsze rozważania dotyczyd będą wyłącznie środowisk izotropowych, tzn. ij = 0 dla i j oraz ii = r 0. 7 Materiały magnetyczne (1) W zależności od wartości podatności magnetycznej m materiały dzielimy na: diamagnetyki ( m < 0) np. woda m = , złoto m = , grafit m = paramagnetyki (0 < m << 1) np. tlen m = , aluminium m = , wolfram m = ferromagnetyki ( m >> 1) żelazo m = , nikiel m = , kobalt m = stopy na bazie żelaza i niklu oraz żelaza i kobaltu mogą mied podatnośd rzędu nawet m = W obliczeniach technicznych przyjmuje się, że podatnośd magnetyczna diamagnetyków i paramagnetyków jest równa zeru. Równomierne zewnętrzne pole paramagnetyk ferromagnetyk 8 4

5 Materiały magnetyczne (2) Materiały magnetyczne dzielimy na: miękkie czyli takie w których indukcja magnetyczna B po ustaniu zewnętrznego pobudzenia polem jest równa zeru (lub ma nieznaczną wartośd), B B nas B r zastępcza krzywa B() 0 B r indukcja remanencji (pozostałośd magnetyczna) W obliczeniach magnetycznych tych materiałów stosuje się zastępczą (jednowartościową ) charakterystykę B() twarde czyli takie w których indukcja magnetyczna B po ustaniu zewnętrznego pobudzenia polem jest istotnie różna od zera. 9 Fizyka trwałego namagnesowania Elektron o łądunku q e poruszający się po orbicie z prędkością v może byd utożsamiany (na gruncie klasycznej elektrodynamiki) z prądem o natężeniu v q e zamykającym się wzdłuż orbity. Prąd ten powoduje powstanie pola magnetycznego o natężeniu e. Otrzymaliśmy elementarny dipol magnetyczny (orbitalny) o momencie vq e S e, odpowiadający za zjawisko diamagnetyzmu. e S e v q e i Oprócz ruchu orbitalnego elektron wiruje wokół swej osi z pewną częstością e (posiada tzw. spin). Ruch obrotowy ładunku elektrycznego można traktowad jak przepływ prądu o natężeniu i s wokół osi obrotu. Prąd ten powoduje powstanie wiązki pola magnetycznego s skoncentrowanej w osi obrotu. Otrzymaliśmy elementarny dipol magnetyczny (spinowy), odpowiadający za zjawiska para- i ferromagnetyzmu. e s i s 10 5

6 Nasycenie magnetyczne Ferromagnetyki mają strukturę krystaliczną, a ponadto cechują się właściwością, iż spontanicznie tworzą obszary (o rozmiarach rzędu mm), nazywane domenami,w których wektor polaryzacji ma identyczny kierunek. Przy braku zewnętrznego pola magnetycznego wypadkowy wektor polaryzacji wielu domen jest równy zeru. z Pojawienie się zewnętrznego pola magnetycznego z powoduje zmianę na przeciwny kierunku spinowego momentu dipolowego w niektórych sąsiadujących domenach. Efekt ten jest odwracalny i zachodzi praktycznie bez pobierania energii. z z Dalszy wzrost natężenia pola z, oprócz uporządkowania polaryzacji w poszczególnych domenach, rozpoczyna proces obrotu dipoli magnetycznych w domenach w kierunku wymuszającego pola. Efekt ten zachodzi kosztem pewnej porcji energii pobranej ze źródła pola. z z Po osiągnięciu przez pole zewnętrzne wartości nasycenia zs, kiedy wszystkie momenty dipolowe są równoległe z wymuszeniem, wektor polaryzacji osiąga swoją wartośd maksymalną. Jeżeli pole zewnętrzne zostaje usunięte, to w ferromagnetyku zostaje pozostałośd magnetyczna r. zs r z 11 Pętla histerezy magnetycznej magnesu trwałego NdFeB B Powrotne krzywe magnesowania B r cb natężenie koercji odmagnesowujące cp natężenie koercji rozmagnesowujące cp cb 0 Pierwotne krzywe magnesowania VACODYM 722 R B r = 1.37 T cb = 1.02 MA/m 12 6

7 Pole przepływowe W środowisku przewodzącym wektory K, J są powiązane zależnością konduktywnośd, *S/m+=*A/Vm] Natężeniem prądu elektrycznego i przepływającego przez powierzchnię S nazywamy strumieo wektora gęstości prądu J przez tę powierzchnię J S u ns Dla dostatecznie małej powierzchni S można przyjąd, że wektor J jest stały na tej powierzchni. Uwzględniając również dla niewielkiego przedziału czasu t, że i= q/ t otrzymuje się Elementarny ładunek q jest równy V= S n l, gdzie jest gęstością ładunku. Stąd oraz 13 Równania Maxwella (1863 r.) Postad różniczkowa równao Maxwella J gęstośd prądu przewodzenia, *A/m 2 ] D/ t gęstośd prądu przesunięcia, *A/m 2 ] Całkując obustronnie po wybranej powierzchni (otwartej) S otrzymuje się: I natężenie prądu przewodzenia, *A+ i natężenie prądu przesunięcia, *A+ strumieo magnetyczny, * Wb]=[Vs] 14 7

8 Całkowe tożsamości Maxwella Stosując twierdzenie Stokes a do lewej strony równao całkowych mamy Wzór ten nosi nazwę (przy i =0) prawa Ampere a (prawa przepływu) Wzór ten nosi nazwę prawa Faraday a, e jest nazywane siłą elektromotoryczną, *V+ 15 Warunki źródłowości pola Wektory indukcji pola elektromagnetycznego spełniają następujące zależności gęstośd ładunku elektrycznego, *Q/m 3 ] Całkując po dowolnej objętości V i stosując twierdzenie Gauss a otrzymuje się Mówimy, że pole indukcji elektrycznej jest źródłowe, a źródłem strumienia indukcji elektrycznej jest ładunek elektryczny. Pole indukcji magnetycznej jest bezźródłowe 16 8

9 Prawo zachowania ładunku Dokonując operacji obustronnej dywergencji na I prawie Maxwell a otrzymuje się kolejno Całkując powyższe równanie w pewnej objętości V o brzegu S Równanie to interpretujemy jako: Suma prądu wypływającego z objętości V przez jej powierzchnię brzegową równa się ubytkowi w czasie ładunku zawartego w tej objętości 17 9