MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

Transkrypt

1 EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0

2 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0 ) Wymagania ogólne Wymagania szczegółowe Poprawna odp ( p) Wykorzystanie Liczby rzeczywiste Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych (4) Zadanie (0 ) Wykorzystanie Zadanie (0 ) Wykorzystanie Zadanie 4 (0 ) Modelowanie matematyczne Zadanie 5 (0 ) Wykorzystanie Liczby rzeczywiste Zdający posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach () Liczby rzeczywiste Zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym (6) Liczby rzeczywiste Zdający wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (9) Równania i nierówności Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą (4) Zadanie 6 (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji Równania i nierówności Zdający sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności () Strona z 4

3 Zadanie (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji Równania i nierówności Zdający rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą () Zadanie 8 (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji Równania i nierówności Zdający korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x(x + )(x ) = 0 () Zadanie 9 (0 ) Wykorzystanie Zadanie 0 (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji Zadanie (0 ) Wykorzystanie Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne 4 Funkcje Zdający oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu Posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość (4) 4 Funkcje Zdający interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje) (40) 4 Funkcje Zdający szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw (44) 5 iągi Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5) Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne 5 iągi Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (54) Strona z 4

4 Zadanie 4 (0 ) Wykorzystanie 6 Trygonometria Zdający stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi: sin α + cos α =, tg α = sin α oraz sin(90 α ) = cos α (64) cosα Zadanie 5 (0 ) V Użycie i tworzenie strategii Zadanie 6 (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne Zadanie 8 (0 ) Wykorzystanie Zadanie 9 (0 ) Planimetria Zdający stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym () Planimetria Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje cechy podobieństwa trójkątów () Planimetria Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi (4) 6 Trygonometria Zdający wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 80 (6) Wykorzystanie 8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Zdający bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych (8) Zadanie 0 (0 ) Wykorzystanie 8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Zdający oblicza odległość dwóch punktów (86) Strona 4 z 4

5 Zadanie (0 ) Wykorzystanie G ryły Zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego (G) Równania i nierówności Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą (4) Zadanie (0 ) Wykorzystanie Zadanie (0 ) Wykorzystanie Zadanie 4 (0 ) Wykorzystanie Zadanie 5 (0 ) Modelowanie matematyczne 9 Stereometria Zdający rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (9) G ryły Zdający oblicza pole powierzchni i objętość stożka (G) G9 Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa Zdający wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu danych (G94) 0 Elementy statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa (0) Strona 5 z 4

6 Ogólne zasady oceniania zadań otwartych Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania Zadanie 6 (0 ) Wykorzystanie Równania i nierówności Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą (5) Przykładowe rozwiązanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów Pierwszy etap rozwiązania polega na wyznaczeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego 8x x Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego 8x x : podajemy je bezpośrednio, np zapisując x = 0, x = 9 lub zaznaczając pierwiastki trójmianu na wykresie obliczamy wyróżnik tego trójmianu, a następnie stosujemy wzory na pierwiastki: Δ= +, x = = 0, x = = rugi etap rozwiązania polega na wyznaczeniu zbioru rozwiązań nierówności 8x x 0 Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: 0 x 9 lub 0,9 lub x 0,9 np odczytując go ze szkicu wykresu funkcji f x = 8x x ( ) 0 9 x Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x = 0 i x = 9 i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, ( ) o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f x = 8x x i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności realizując pierwszy etap błędnie wyznaczy pierwiastki (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np popełni błąd Strona 6 z 4

7 rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność Zdający otrzymuje p gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: 0 x 9 lub 0,9 lub x 0,9 poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów 0 9 x Uwagi Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x, bez podania stosownych założeń, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to oznacza, że nie podjął realizacji etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie Jeśli zdający wyznacza ujemną deltę trójmianu kwadratowego, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki kceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu x = 0 i x = 9 i zapisze, np x 9,0, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x 9,0, to przyznajemy punkty Strona z 4

8 Zadanie (0 ) V Rozumowanie i argumentacja Liczby rzeczywiste Zdający wykorzystuje podstawowe własności potęg (5) Przykładowe rozwiązanie 0 Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias 4 ( ) oprowadzamy liczbę do 0 postaci 4 5 Wnioskujemy, że dana liczba jest podzielna przez Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy zapisze liczbę w postaci iloczynu, w którym jeden z czynników 0 jest potęgą 4 k, gdzie 985 k i na tym poprzestanie lub, np ( ) dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi poprawny dowód Zadanie 8 (0 ) V Rozumowanie i argumentacja Przykładowe rozwiązania sposób Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku G0 Figury płaskie Zdający korzysta z faktu, że styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności (G0) SP9 Wielokąty, koła, okręgi Zdający stosuje twierdzenie o sumie katów trójkąta (SP9) P α δ γ R β δ Prosta jest styczna w punkcie do okręgu o środku R, więc R = 90 Stąd δ = R = 90 β Strona 8 z 4

9 Trójkąt R jest równoramienny, więc Zatem R = δ = 90 β ( ) R = γ = β = β Suma miar kątów czworokąta RP jest równa 60, P = 90, więc czyli To kończy dowód sposób P + R + RP + RP = 60, P β + α = 60, α + β = 80, α = 80 β Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że R = γ = β Ponieważ R = 90 i P = 90, więc czworokąt RP jest trapezem o podstawach P i R Suma miar kątów przy ramieniu trapezu jest równa 80, więc α + γ = 80, α + β = 80 Stądα = 80 β To kończy dowód α β γ R Strona 9 z 4

10 sposób P α η δ R Prosta jest styczna w punkcie do okręgu o środku R, więc R = 90 Stąd Trójkąt R jest równoramienny, więc Kąty R i P są przyległe, więc δ = 90 β R = δ = 90 β ( ) η= 80 R = β = 90 + β Suma miar kątów czworokąta P jest równa 60, P = 90, więc czyli To kończy dowód V sposób P + R + P + P = 60, 90 + β + η+ α = 60, ( ) 90 + β β + α = 60, α = 80 β β δ P α φ δ R φ ψ β δ Prosta jest styczna w punkcie do okręgu o środku R, więc R = 90 Strona 0 z 4

11 Stąd δ = 90 β Trójkąt R jest równoramienny, więc R = δ = 90 β Trójkąt P jest równoramienny, więc 80 α α P = P = ϕ = = 90 Prosta jest styczna w punkcie do okręgu o środku P, więc P = 90 Stąd α α = ψ = 90 ϕ = = Miara kąta w trójkącie jest równa α = 80 β ψ = 80 β Suma miar kątów P, i R jest równa 80, więc P + + R = 80, α ϕ+ 80 β + δ =80, α α β + 90 β =80, α = 80 β To kończy dowód V sposób P α R ψ Poprowadźmy przez punkt wspólną styczną do obu okręgów Niech S oznacza punkt jej przecięcia z prostą Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że α ψ = S β Strona z 4

12 Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że S = S = S Stąd wynika, że S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie Odcinek jest średnicą tego okręgu, więc trójkąt jest prostokątny Suma miar jego kątów ostrych jest równa 90, czyli β + ψ = 90 To kończy dowód α β + = 90, α = 80 β Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy zapisze układ warunków wystarczający do udowodnienia równości α = 80 β, np: δ = 90 β i δ + γ = 80 i α + γ = 60 lub γ = β i α + γ = 80, lub δ = 90 β i η = 80 δ i 90 + β + η + α = 60, lub α δ = 90 β i ϕ = 90 i ψ = 90 ϕ i 80 ( β+ ψ) = 80 ( ϕ+ δ ), lub α β + ψ = 90 i ψ = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Strona z 4

13 Zadanie 9 (0 4) V Użycie i tworzenie strategii 4 Funkcje Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie (49) Przykładowe rozwiązania sposób Ponieważ f ( 6) f ( 0) = =, stąd wartość Zatem f ( x) = a( x p) + q dla p = i q = 6 Obliczamy współczynnik a Wiemy, że ( 0) Odpowiedź: a = 6+ 0 p = = f =, zatem a ( 0+ ) + 6 =, 9 9a =, a = sposób Z treści zadania wynika, że f ( 6) = f ( 0) = : a( 6) + b( 6) + c = 6a 6b+ c =,, a 0 b 0 + c = c = Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka: b 6a p = a = a = Stąd wynika, że ( ) 6 Schemat punktowania f = i ( ) b = 6a c = f x = ax + 6ax + Obliczamy współczynnik a a ( ) a ( ) = 6, 9 9a =, a = Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p Zdający 6+ 0 obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka: np p = = Strona z 4

14 zapisze układ dwóch równań, np: a( 6) + b( 6) + c = a 0 b 0 + c =, zapisze wzór funkcji f w postaci kanonicznej f ( x) = a( x p) + q oraz zapisze q = 6, Δ zapisze równanie = 6 4a i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny p Zdający zapisze wzór funkcji f w postaci: f ( x) = a( x +) + 6 zapisze układ trzech równań z niewiadomymi a, b, c, np: ( ) a 6 + b( 6) + c = a( 6) + b( 6) + c = a 0 b 0 + c = lub a 0 b 0 + c = b 4ac = 6 a( ) + b( ) + c = 6 4a i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania p Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą a, np: ( 0 ) 6 a + + = lub a( ) + 6a ( ) + = 6, lub 6a + 8a = 0 obliczy wartości b i c: b =, c = i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie pełne 4 p Zdający obliczy wartość współczynnika a: a = Uwagi Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby 6 i 0 jako miejsca zerowe rozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli jest równa 4, to może otrzymać 4 punkty, o ile w rozwiązaniu nie występują błędy Jeżeli zdający w przedstawionym rozwiązaniu traktuje liczby 6 i 0 jako miejsca zerowe rozważanej przez siebie funkcji i przyjmuje, że druga współrzędna wierzchołka paraboli jest równa 6, to może otrzymać punkt, o ile poprawnie wyznaczy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli Strona 4 z 4

15 Zadanie 0 (0 ) Modelowanie matematyczne G0 Figury płaskie Zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa (G0) Równania i nierówności Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą (4) Przykładowe rozwiązanie Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej przez x Wtedy dłuższa przyprostokątna ma długość x +4 Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy x + x+ 4 = 6, ( ) x + x + 8x+ 96 = 66, x + 4x 40 = 0 Stąd x = 0 lub x = 4 rugie z rozwiązań odrzucamy, zatem długości boków trójkąta są równe: 0, 4, i 6, więc obwód jest równy 60 cm Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy: zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np: ( ) x + x+ 4 = 6, gdzie x jest długością krótszej przyprostokątnej zapisze układ równań, np: a + b = 6 i b= a+ 4, gdzie a jest długością krótszej oraz b długością dłuższej przyprostokątnej i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p gdy obliczy obwód trójkąta: 60 cm Uwagi Jeżeli zdający jedynie poda długości boków trójkąta: 0, 4, 6 i jego obwód: 60, to otrzymuje punkt Jeżeli zdający poda długości boków trójkąta: 0, 4, 6 i jego obwód: 60 oraz uzasadni, że rozważany trójkąt jest prostokątny, to otrzymuje punkty Jeśli zdający podaje w rozwiązaniu tylko liczby 0, 4, 6, to otrzymuje 0 punktów Strona 5 z 4

16 Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne 5 iągi Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5) Przykładowe rozwiązanie Wyznaczamy różnicę r ciągu arytmetycznego W tym celu stosujemy wzory na sumę częściową S = a+ r = i a = 8 lub zapisujemy równanie a+ a+ r+ a+ r = Obliczamy r: r = Następnie obliczamy różnicę a6 a, jako r lub po wyznaczeniu a 6 i a, czyli a 6 = = 5, a = 8 + = 44 Zatem a6 a = r = 9 Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy obliczy różnicę ciągu r = (lub r = 9) lub obliczy wartość a + r =, lub obliczy wartość a =, lub zapisze, że a6 a = r, lub obliczy a = 4 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje p gdy obliczy różnicę a6 a = 9 Uwagi Jeśli zdający przyjmuje n = lub a = i nie przedstawia poprawnej metody obliczenia różnicy a6 a, to otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający poda wartość r = i zapisze a6 a = r = 9, to otrzymuje punkt Jeżeli zdający zamiast ciągu arytmetycznego rozważa ciąg geometryczny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie Strona 6 z 4

17 Zadanie (0 5) V Użycie i tworzenie strategii 8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej) (8) Zdający oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych (84) Przykładowe rozwiązania sposób Prosta M przechodzi przez punkty = ( 4,0) i M = (,9) Prosta k o równaniu y x 0 Zatem = 5 ( 4) = 9 9 y = y ( x 4) M, czyli y = x + 6 x, więc jej równanie ma postać = + przecina oś Ox w punkcie, więc ( 5,0) = Współrzędne punktu obliczymy, rozwiązując układ równań: y = x + 6 i y = x + 0 Stąd 6 0 x+ = x+, 4 x =, x =, a y = + 6 = + 6 = 8 54 Zatem =, Wynika stąd, że wysokość h trójkąta opuszczona z wierzchołka 54 na podstawę jest równa h = y = Zatem pole trójkąta jest równe P = h = 9 = = 4 Strona z 4

18 sposób y M N x - Wyznaczamy równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt M =,9 : ( ) ( x ) y= + 9, y = x + Niech N będzie punktem przecięcia prostej l z osią Ox, więc N = (,0) Prosta k o równaniu y x 0 Zatem = 5 ( 4) = 9 ( 4) N = = Zatem = + przecina oś Ox w punkcie, więc ( 5,0) = Z równoległości prostych k i l wynika, że trójkąt jest podobny do trójkąta NM, a skala tego podobieństwa jest równa s = = = = N Pole trójkąta NM jest równe 9 PNM = N 9 = 9 =, 4 więc pole trójkąta jest równe P = s PNM = = = 4 4 Uwaga Mając obliczone współrzędne wierzchołków trójkąta, możemy obliczyć jego pole, korzystając ze wzoru P = ( x x )( y y ) ( y y )( x x ) : P = ( 5+ 4) = 9 = = 4 Strona 8 z 4

19 sposób y h M x Prosta k o równaniu y x 0 Zatem = 5 ( 4) = 9 - = + przecina oś Ox w punkcie, więc ( 5,0) = = Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej k jest równy, więc Niech h = h Zatem = 9 h 9 0 Współczynnik kierunkowy prostej M jest równy a M = =, ale am ( 4) =, h 9 h =, h = h, h =, 54 h = Pole trójkąta jest równe P = h = 9 = = 4 =, więc Strona 9 z 4

20 Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p Zdający wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej M: a = wyznaczy współrzędne punktu : = ( 5,0) i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny p Zdający zapisze równanie prostej M: y = x + 6 wyznaczy równanie prostej MN: y = x + i zapisze, że trójkąty i NM są podobne, zapisze zależność między długościami odcinków i : i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy = Pokonanie zasadniczych trudności zadania p Zdający obliczy długość podstawy trójkąta: = 9 oraz zapisze równanie, z którego można wyznaczyć jedną ze współrzędnych punktu 8 54 obliczy współrzędne wierzchołka : =, (lub drugą współrzędną tego punktu) i nie zapisze współrzędnych punktu, 6 obliczy skalę podobieństwa trójkąta do trójkąta NM: s = (lub skalę podobieństwa trójkąta NM do trójkąta : s = ), 6 obliczy pole trójkąta NM: P NM = 9 i zapisze, że P = s PNM, gdzie s oznacza skalę podobieństwa trójkąta do trójkąta NM, zapisze równanie z jedną niewiadomą, z którego można obliczyć wysokość trójkąta h, np: 9 h = i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Strona 0 z 4

21 Rozwiązanie prawie pełne 4 p Zdający obliczy drugą współrzędną wierzchołka oraz długość podstawy trójkąta : 54 y =, = obliczy współrzędne wierzchołków i : = ( 5,0), =,, 6 obliczy skalę podobieństwa trójkąta do trójkąta NM: s = (lub skalę podobieństwa trójkąta NM do trójkąta : s = ) oraz pole trójkąta NM: 6 P NM = 9 i zapisze, że P = s PNM, 54 obliczy wysokość trójkąta : h = i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie pełne 5 p 4 Zdający obliczy pole trójkąta : P = Uwaga kceptujemy, jeżeli zdający poda pole trójkąta w przybliżeniu, np 4,4 Strona z 4

22 Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne 0 Elementy statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa (0) Przykładowe rozwiązanie Jest to model klasyczny i liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Ω= 90 Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych to zbiór wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych Niech oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez Zdarzeniu sprzyjają następujące zdarzenia elementarne ={,5,8,, 4,,0,,6,9} Stąd = 0 Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe 0 P( ) = = = Ω 90 9 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez, jest równe 9 Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy zapisze, że Ω= 90 zapisze, że = 0 i nie wskazuje przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu :,5,8,,4,,0,,6,9 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje p gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia i wynik zapisze w postaci ułamka: 0 P( ) = = = Ω 90 9 Uwaga Jeżeli zdający błędnie zapisze wynik P( ) jako liczbę większą od lub mniejszą od 0, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie Jeżeli w przedstawionym rozwiązaniu zdający interpretuje zdarzenie elementarne jako rezultat wylosowania więcej niż jednej liczby, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający w rozwiązaniu zapisze tylko, to otrzymuje 0 punktów 9 Strona z 4

23 Zadanie 4 (0 4) V Użycie i tworzenie strategii 9 Stereometria Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np krawędziami, krawędziami i przekątnymi (9) Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami (9) Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami (94) Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości (96) Przykładowe rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku O a a Wykorzystujemy wzór na pole powierzchni bocznej ostrosłupa i zapisujemy równanie 5 5 = a, skąd otrzymujemy a = 4 4 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OS otrzymujemy H = h O Ponieważ O = a =, więc H 5 = 4 09 Stąd H = 4 Zatem objętość ostrosłupa jest równa V = Pp H = = 4 4 H S h b Strona z 4

24 Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania p Zdający zapisze równanie 5 = a zapisze, że O = a lub O = a i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny p Zdający obliczy długość krawędzi a podstawy ostrosłupa: a = i zapisze równanie 5 a z niewiadomą H, np: H = 4 6 obliczy długość krawędzi a podstawy ostrosłupa: a = i zapisze układ równań a H + = b wystarczający do obliczenia wysokości ostrosłupa, np: a 5 + = b 4 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania p 09 Zdający obliczy wysokość ostrosłupa: H = i na tym zakończy lub dalej popełnia 4 błędy Rozwiązanie pełne 4 p 09 Zdający obliczy objętość V ostrosłupa: V = Uwagi Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż podana w treści zadania, to otrzymuje 0 punktów kceptujemy poprawne przybliżenia liczb rzeczywistych Jeżeli zdający poda długość krawędzi podstawy a = bez obliczeń i rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje co najwyżej punkty 4 Jeżeli zdający błędnie przepisze liczbę 5 4 Strona 4 z 4 lub liczbę 5 4 zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje co najwyżej punkty i z tym błędem rozwiąże 5 Jeśli zdający nie obliczy a i przyjmuje, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi, to otrzymuje 0 punktów