Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze,

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze,"

Transkrypt

1 Oznaczenia:

2 Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze, to interesuje nas złożoność obliczeniowa w najgorszym przypadku.

3 Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze, to interesuje nas złożoność obliczeniowa w najgorszym przypadku.

4 Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze, to interesuje nas złożoność obliczeniowa w najgorszym przypadku. Gwarancja, że algorytm nigdy nie będzie działał dłużej

5 Warto pamiętać! Może się zdarzyć, że algorytm o pesymistycznej złożoności czasowej rzędu nlgn będzie dla większości danych wejściowych działał wolniej niż algorytm o pesymistycznym czasie działania rzędu n2. Istnieją algorytmy o pesymistycznej złożoności czasowej rzędu wykładniczego, które często działają szybciej niż algorytm o złożoności wielomianowej, a nawet liniowej (np. tzw. metoda simplex programowania liniowego).

6 Miara wrażliwości pesymistycznej algorytmu bada, na ile wielkość Tmax(n) odzwierciedla rzeczywisty czas działania algorytmu.

7 Zachowanie algorytmu dla losowych danych wejściowych określa średnia (lub oczekiwana) złożoność.

8 Zachowanie algorytmu dla losowych danych wejściowych określa średnia (lub oczekiwana) złożoność.

9 Zachowanie algorytmu dla losowych danych wejściowych określa średnia (lub oczekiwana) złożoność. Przypomnienie!

10 Podsumowanie: Miara wrażliwości pesymistycznej i miara wrażliwości oczekiwanej informują, jak bardzo zachowanie algorytmu dla rzeczywistych danych wejściowych może odbiegać od zachowania opisanego za pomocą pesymistycznej i oczekiwanej złożoności czasowej. Im większe są te wartości, tym algorytm jest bardziej wrażliwy na dane wejściowe.

11 Przykład: Rozważmy zbiór danych ZDWn jako n-wyrazowych ciągów uporządkowanych liczb naturalnych. Rozważmy dalej typowy algorytm w rodzaju dziel i zwyciężaj sprawdzenia, czy liczba naturalna x jest elementem ciągu zdw ZDWn.

12 Przykład: Rozważmy zbiór danych ZDWn jako n-wyrazowych ciągów uporządkowanych liczb naturalnych. Rozważmy dalej typowy algorytm w rodzaju dziel i zwyciężaj sprawdzenia, czy liczba naturalna x jest elementem ciągu zdw ZDWn. Rozwiązanie: Przyjmijmy, że ilość n elementów ciągu {a1,a2, an} jest potęgą dwójki, czyli n=2k, gdzie k jest pewną liczba naturalną. Sprawdzamy, czy x==an/2. Jeśli tak, to algorytm kończy działanie, jeśli nie, to po sprawdzeniu, że x<an/2 przechodzimy do przeszukania lewej połowy ciągu o ilości elementów równej n/2; jeśli spełniona jest nierówność przeciwna, to przeszukujemy prawą połowę ciągu. Maksymalną pesymistyczną liczbę porównań otrzymamy, gdy kolejne zagłębienia rekurencyjne doprowadzą do zbioru dwuelementowego, dla którego dwa porównania dadzą ostateczną odpowiedź dla zadania rozwiązywanego tym algorytmem.

13 Zatem dla Otrzymujemy: Tmax(n)=Tmax(n/2)+2, gdzie 2 stanowią dwa dodatkowe porównania na każdym etapie.

14 Zatem dla Otrzymujemy: Tmax(n)=Tmax(n/2)+2, gdzie 2 stanowią dwa dodatkowe porównania na każdym etapie. Dostajemy po rozwinięciu postać funkcji pesymistycznej złożoności czasowej: Tmax(n)=Tmax(n/2)+2=Tmax(2k-1)+2=Tmax(2k-2)+2+2= = =Tmax(2k-(k-1))+(k-1)*2=Tmax(2)+(k-1)*2=2+(k-1)*2=2*k.

15 Zatem dla Otrzymujemy: Tmax(n)=Tmax(n/2)+2, gdzie 2 stanowią dwa dodatkowe porównania na każdym etapie. Dostajemy po rozwinięciu postać funkcji pesymistycznej złożoności czasowej: Tmax(n)=Tmax(n/2)+2=Tmax(2k-1)+2=Tmax(2k-2)+2+2= = =Tmax(2k-(k-1))+(k-1)*2=Tmax(2)+(k-1)*2=2+(k-1)*2=2*k. Ponieważ k=log2n, zatem Tmax(n)=2*(log2n)

16 Policzmy teraz pesymistyczną wrażliwość tego algorytmu. Przypomnijmy, że

17 Policzmy teraz pesymistyczną wrażliwość tego algorytmu. Przypomnijmy, że Jest to zatem kres górny zbioru liczb, które powstają jako różnice ilości operacji dominujących. Zatem od liczby największej z możliwych należy odjąć najmniejszą z możliwych, żeby otrzymać taki kres górny. Ponieważ najmniejszą ilością porównań dla dowolnego n jest jedno porównanie, a największa ilość wyraża się obliczoną właśnie Tmax(n)=2*(log2n), to = =2*(log2n)-1

18 Policzmy teraz pesymistyczną wrażliwość tego algorytmu. Przypomnijmy, że Jest to zatem kres górny zbioru liczb, które powstają jako różnice ilości operacji dominujących. Zatem od liczby największej z możliwych należy odjąć najmniejszą z możliwych, żeby otrzymać taki kres górny. Ponieważ najmniejszą ilością porównań dla dowolnego n jest jedno porównanie, a największa ilość wyrażą się obliczoną właśnie Tmax(n)=2*(log2n), to = =2*(log2n)-1 Pesymistyczna wrażliwość złożoności czasowej jest zatem duża i możemy się spodziewać dużej zmienności złożoności obliczeniowej.

19 Policzmy teraz typową wartość złożoności obliczeniowej, czyli dla losowo wybranych n liczb. Przypomnijmy:

20 Policzmy teraz typową wartość złożoności obliczeniowej, czyli dla losowo wybranych n liczb. Przypomnijmy: Określmy kolejno elementy tej definicji: n={zdw ZDWn} zbiór zdarzeń elementarnych, Xn zmienna losowa, której wartością jest l(zdw)- liczba operacji dominujących na n, pnk rozkład zmiennej losowej Xn, czyli prawdopodobieństwo, że dla danych wejściowych rozmiaru n algorytm wykona k operacji dominujących, tzn. pnk=p{zdw n: l(zdw)=k}, przy k całkowitym, k [1, 2*(log2n) ].

21 Ponieważ nasze prawdopodobieństwo pnk nie zależy od k, więc pnk=1/(2*log2n) dla każdego całkowitego k [1, 2*(log2n)]. Stąd k 2*log2 n (k * p nk k 1 ) k 2*log2 n (k * (1 /( 2 * log k 1 2 n))) (1 / 2 * log 2 n) * 2n (1 /( 2 * log 2 n)) * 1 2*log * (2 * log 2 n) 2 1 2*log2 n * (1 2 * log 2 n) * log 2 n 12 log 2 n k 2*log2 n k k 1

22 Ponieważ nasze prawdopodobieństwo pnk nie zależy od k, więc pnk=1/(2*log2n) dla każdego całkowitego k [1, 2*(log2n)]. Stąd k 2*log2 n (k * p nk k 1 ) k 2*log2 n (k * (1 /( 2 * log k 1 2 n))) (1 / 2 * log 2 n) * k 2*log2 n 2n (1 /( 2 * log 2 n)) * 1 2*log * (2 * log 2 n) 2 1 2*log2 n * (1 2 * log 2 n) * log 2 n 12 log 2 n Zauważmy, że Tśr(n) jest o ½ większe od połowy Tmax(n). k k 1

23 Obliczmy na koniec miarę wrażliwości oczekiwanej algorytmu.

24 Obliczmy na koniec miarę wrażliwości oczekiwanej algorytmu. ( n) (k T k 0 śr 2 (n)) pnk W naszym przypadku sumujemy po całkowitych k [1, 2*(log2n)]. Stąd otrzymujemy wyniki:

25 ( n) 2*log2 n 2 ( k T ( n )) pnk śr k (4(log 2 n) 2 1) 2*log2 n 2 ( k ( 1 / 2 log n )) 2 k 1 Szczegółowe rachunki na tablicy 1 2*log2 n

26 ( n) 2*log2 n 2 ( k T ( n )) pnk śr k (4(log 2 n) 2 1) 2*log2 n 2 ( k ( 1 / 2 log n )) 2 k 1 Szczegółowe rachunki na tablicy Otrzymane wyniki są może mało czytelne, ale można je przybliżać, wykorzystując oszacowania asymptotyczne. Takie oszacowania zostaną podane później 1 2*log2 n

27 Służą do wyznaczenia liczby operacji dominujących

28

29

30

31

32

33

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 16/01/2017 WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Repetytorium złożoność obliczeniowa 2 Złożoność obliczeniowa Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane algorytmy i struktury danych

Zaawansowane algorytmy i struktury danych Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań teoretycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania teoretyczne z egzaminu pisemnego z 25 czerwca 2014 (studia dzienne)

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Przygotuj algorytm programu - sortowanie przez wstawianie.

Zadanie 1 Przygotuj algorytm programu - sortowanie przez wstawianie. Sortowanie Dane wejściowe: ciąg n-liczb (kluczy) (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n ) Dane wyjściowe: permutacja ciągu wejściowego (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n) taka, że a 1 a 2 a 3... a n 1 a n. Będziemy

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki. Sprawność algorytmów

Podstawy Informatyki. Sprawność algorytmów Podstawy Informatyki Sprawność algorytmów Sprawność algorytmów Kryteria oceny oszczędności Miara złożoności rozmiaru pamięci (złożoność pamięciowa): Liczba zmiennych + liczba i rozmiar struktur danych

Bardziej szczegółowo

Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s].

Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s]. Zadanie 1. Wiązka zadań Od szczegółu do ogółu Rozważmy następujący algorytm: Dane: Algorytm 1: k liczba naturalna, A[1...2 k ] tablica liczb całkowitych. n 1 dla i=1,2,,k wykonuj n 2n s 1 dopóki s

Bardziej szczegółowo

Algorytmy w teorii liczb

Algorytmy w teorii liczb Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Algorytm 1. Termin algorytm jest używany w informatyce

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 1. Teoria błędów, notacja O

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 1. Teoria błędów, notacja O Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 1. Teoria błędów, notacja O 1.1. Błąd bezwzględny, błąd względny 1.2. Ogólna postać błędu 1.3. Problem odwrotny teorii błędów - zasada równego wpływu

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to

Złożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to Złożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to wprowadzili J. Hartmanis i R. Stearns. Najczęściej przez zasób rozumie się czas oraz pamięć dlatego

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność

Bardziej szczegółowo

Złożoność algorytmów. Wstęp do Informatyki

Złożoność algorytmów. Wstęp do Informatyki Złożoność algorytmów Złożoność pamięciowa - liczba i rozmiar struktur danych wykorzystywanych w algorytmie Złożoność czasowa - liczba operacji elementarnych wykonywanych w trakcie przebiegu algorytmu Złożoność

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2017/18 semestr zimowy. Wykład 13. Karol Tarnowski A-1 p.

Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2017/18 semestr zimowy. Wykład 13. Karol Tarnowski A-1 p. Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2017/18 semestr zimowy Wykład 13 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji (1) Złożoność algorytmów czy to istotne, skoro

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy. Wykład 13. Karol Tarnowski A-1 p.

Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy. Wykład 13. Karol Tarnowski A-1 p. Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy Wykład 13 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji (1) Złożoność algorytmów czy to istotne, skoro

Bardziej szczegółowo

Złożoność Obliczeniowa Algorytmów

Złożoność Obliczeniowa Algorytmów Algorytmów Pożądane cechy dobrego algorytmu Dobry algorytm mający rozwiązywać jakiś problem powinien mieć 2 naturalne cechy: 1 (poprawność) zwracać prawidłowy wynik (dokładniej: zgodność z warunkiem końcowym

Bardziej szczegółowo

Liczby pierwsze - wstęp

Liczby pierwsze - wstęp Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Liczby pierwsze - wstęp W latach 60 ubiegłego wieku w Afryce znaleziono kości z wyrytymi na nich karbami liczące ponad 5000 lat. Na jednej z nich (kość z Ishango) karby

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA WYŻSZA SZKOŁA IFORMATYKI STOSOWAEJ I ZARZĄDZAIA Złożoność algorytmów Złożoność pamięciowa algorytmu wynika z liczby i rozmiaru struktur danych wykorzystywanych w algorytmie. Złożoność czasowa algorytmu

Bardziej szczegółowo

Zasady analizy algorytmów

Zasady analizy algorytmów Zasady analizy algorytmów A więc dziś w programie: - Kilka ważnych definicji i opisów formalnych - Złożoność: czasowa i pamięciowa - Kategorie problemów - Jakieś przykłady Problem: Zadanie możliwe do rozwiązania

Bardziej szczegółowo

operacje porównania, a jeśli jest to konieczne ze względu na złe uporządkowanie porównywanych liczb zmieniamy ich kolejność, czyli przestawiamy je.

operacje porównania, a jeśli jest to konieczne ze względu na złe uporządkowanie porównywanych liczb zmieniamy ich kolejność, czyli przestawiamy je. Problem porządkowania zwanego również sortowaniem jest jednym z najważniejszych i najpopularniejszych zagadnień informatycznych. Dane: Liczba naturalna n i ciąg n liczb x 1, x 2,, x n. Wynik: Uporządkowanie

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 3 2 Złożoność obliczeniowa algorytmów Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Algorytm Hornera Przykłady rzędów

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania:

ANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: ANALIZA ALGORYTMÓW Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: 1) Czy problem może być rozwiązany na komputerze w dostępnym czasie i pamięci? 2) Który ze znanych algorytmów należy

Bardziej szczegółowo

Jeszcze o algorytmach

Jeszcze o algorytmach Jeszcze o algorytmach Przykłady różnych, podstawowych algorytmów 11.01.2018 M. Rad Plan Powtórka Znajdowanie najmniejszego elementu Segregowanie Poszukiwanie przez połowienie Wstawianie Inne algorytmy

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do złożoności obliczeniowej

Wprowadzenie do złożoności obliczeniowej problemów Katedra Informatyki Politechniki Świętokrzyskiej Kielce, 16 stycznia 2007 problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne

Programowanie dynamiczne Programowanie dynamiczne Ciąg Fibonacciego fib(0)=1 fib(1)=1 fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2), gdzie n 2 Elementy tego ciągu stanowią liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem

Bardziej szczegółowo

Strategia "dziel i zwyciężaj"

Strategia dziel i zwyciężaj Strategia "dziel i zwyciężaj" W tej metodzie problem dzielony jest na kilka mniejszych podproblemów podobnych do początkowego problemu. Problemy te rozwiązywane są rekurencyjnie, a następnie rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Sortowanie - wybrane algorytmy

Sortowanie - wybrane algorytmy Sortowanie - wybrane algorytmy Aleksandra Wilkowska Wydział Matematyki - Katedra Matematyki Stosowanej Politechika Wrocławska 2 maja 2018 1 / 39 Plan prezentacji Złożoność obliczeniowa Sortowanie bąbelkowe

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001

Luty 2001 Algorytmy (4) 2000/2001 Mając dany zbiór elementów, chcemy znaleźć w nim element największy (maksimum), bądź najmniejszy (minimum). We wszystkich naturalnych metodach znajdywania najmniejszego i największego elementu obecne jest

Bardziej szczegółowo

Zaliczenie. Egzamin. lub. Wykład. Zaliczenie. Ćwiczenie. 3 zadania. Projekty. Ocena. Na ocenę

Zaliczenie. Egzamin. lub. Wykład. Zaliczenie. Ćwiczenie. 3 zadania. Projekty. Ocena. Na ocenę Zaliczenie Egzamin Ocena lub Zerówka Wykład z Zaliczenie Ocena Ćwiczenie Projekty 3 zadania Na ocenę Sylabus O http://wmii.uwm.edu.pl/~jakula/sylabus_23 17N1-ALISTD_PL.pdf JAK? CO? ILE? Polecane Cormen

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew 1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy informatyki

Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 4a: Rozwiązywanie rekurencji http://kiwi.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Czas działania programu Dla konkretnych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Złożoność obliczeniowa, poprawność programów Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. XII Jesień 2013 1 / 20 Złożoność obliczeniowa Problem Ile czasu

Bardziej szczegółowo

Informatyka 1. Złożoność obliczeniowa

Informatyka 1. Złożoność obliczeniowa Informatyka 1 Wykład XI Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński ZPCiR ICT PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada 80 20, ocena efektywności

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH.

INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH. INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl SORTOWANIE Jest to proces ustawiania zbioru obiektów w określonym porządku. Sortowanie stosowane jest w celu ułatwienia późniejszego wyszukania

Bardziej szczegółowo

Podstawy Programowania. Złożoność obliczeniowa

Podstawy Programowania. Złożoność obliczeniowa Podstawy Programowania Wykład X Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński Katedra Cybernetyki i Robotyki, PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania:

ANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: ANALIZA ALGORYTMÓW Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: 1) Czy problem może być rozwiązany na komputerze w dostępnym czasie i pamięci? 2) Który ze znanych algorytmów należy

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Algebra abstrakcyjna

Algebra abstrakcyjna Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie

Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie Więcej o sprawności algorytmów Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie Załóżmy, że możemy wykonać dane zadanie przy użyciu dwóch algorytmów: jednego o złożoności czasowej

Bardziej szczegółowo

Algorytm selekcji Hoare a. Łukasz Miemus

Algorytm selekcji Hoare a. Łukasz Miemus Algorytm selekcji Hoare a Łukasz Miemus 1 lutego 2006 Rozdział 1 O algorytmie 1.1 Problem Mamy tablicę A[N] różnych elementów i zmienną int K, takie że 1 K N. Oczekiwane rozwiązanie to określenie K-tego

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych

Algorytmy i struktury danych Algorytmy i struktury danych ĆWICZENIE 2 - WYBRANE ZŁOŻONE STRUKTURY DANYCH - (12.3.212) Prowadząca: dr hab. inż. Małgorzata Sterna Informatyka i3, poniedziałek godz. 11:45 Adam Matuszewski, nr 1655 Oliver

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

Algorytm simplex i dualność

Algorytm simplex i dualność Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy

Bardziej szczegółowo

Programowanie Równoległe i Rozproszone. Algorytm Kung a. Algorytm Kung a. Programowanie Równoległe i Rozproszone Wykład 8. Przygotował: Lucjan Stapp

Programowanie Równoległe i Rozproszone. Algorytm Kung a. Algorytm Kung a. Programowanie Równoległe i Rozproszone Wykład 8. Przygotował: Lucjan Stapp Programowanie Równoległe i Rozproszone Lucjan Stapp Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska (l.stapp@mini.pw.edu.pl) 1/34 PRiR Algorytm Kunga Dany jest odcinek [a,b] i ciągła funkcja

Bardziej szczegółowo

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa

Bardziej szczegółowo

Rekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie:

Rekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: Rekurencje Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: T(n) = Θ(1) (dla n = 1) T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n) (dla n

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1. Ważenie (14 pkt)

ZADANIE 1. Ważenie (14 pkt) ZADANIE 1. Ważenie (14 pkt) Danych jest n przedmiotów o niewielkich gabarytach i różnych wagach. Jest też do dyspozycji waga z dwiema szalkami, ale nie ma odważników. Kładąc na wadze przedmioty a i b,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2/14 Funkcji podłogi z logarytmu można użyć do wyliczenia liczby cyfr liczby naturalnej k (k>0): w układzie dziesiętnym log 10 (k)

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY Algorytm poprawny jednoznaczny szczegółowy uniwersalny skończoność efektywność (sprawność) zmiennych liniowy warunkowy iteracyjny

ALGORYTMY Algorytm poprawny jednoznaczny szczegółowy uniwersalny skończoność efektywność (sprawność) zmiennych liniowy warunkowy iteracyjny ALGORYMY Algorytm to przepis; zestawienie kolejnych kroków prowadzących do wykonania określonego zadania; to uporządkowany sposób postępowania przy rozwiązywaniu zadania, problemu, z uwzględnieniem opisu

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH

ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH LGORTM I STRUKTUR DNH Temat 6: Drzewa ST, VL Wykładowca: dr inż. bigniew TRPT e-mail: bigniew.tarapata@isi.wat.edu.pl http://www.tarapata.strefa.pl/p_algorytmy_i_struktury_danych/ Współautorami wykładu

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych. (c) Marcin Sydow. Introduction. QuickSort. Sortowanie 2. Limit. CountSort. RadixSort. Summary

Algorytmy i Struktury Danych. (c) Marcin Sydow. Introduction. QuickSort. Sortowanie 2. Limit. CountSort. RadixSort. Summary Sortowanie 2 Zawartość wykładu: Własność stabilności algorytmów sortujących algorytm sortowania szybkiego () czy można sortować szybciej niż ze złożonością Θ(n log(n))? algorytm sortowania przez zliczanie

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 2 2 Problemy algorytmiczne Klasy problemów algorytmicznych Liczby Fibonacciego Przeszukiwanie tablic Największy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Podstawy Programowania

Podstawy Programowania Podstawy Programowania Wykład X Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński ZPCiR ICT PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada 80 20, ocena efektywności

Bardziej szczegółowo

Sortowanie przez scalanie

Sortowanie przez scalanie Sortowanie przez scalanie Wykład 2 12 marca 2019 (Wykład 2) Sortowanie przez scalanie 12 marca 2019 1 / 17 Outline 1 Metoda dziel i zwyciężaj 2 Scalanie Niezmiennik pętli - poprawność algorytmu 3 Sortowanie

Bardziej szczegółowo

Podstawy Programowania. Złożoność obliczeniowa

Podstawy Programowania. Złożoność obliczeniowa Podstawy Programowania Wykład X Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński Katedra Cybernetyki i Robotyki, PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania. Podstawy C# Przykłady algorytmów

Podstawy programowania. Podstawy C# Przykłady algorytmów Podstawy programowania Podstawy C# Przykłady algorytmów Proces tworzenia programu Sformułowanie problemu funkcje programu zakres i postać danych postać i dokładność wyników Wybór / opracowanie metody rozwiązania

Bardziej szczegółowo

1.1. Uzupełnij poniższą tabelę: i wynik(i)

1.1. Uzupełnij poniższą tabelę: i wynik(i) Zadanie 1. Krzysztof, Kamil Wiązka zadań Ciągi rekurencyjne Dana jest następująca funkcja rekurencyjna: funkcja wynik( i ) jeżeli i < 3 zwróć 1 i zakończ; w przeciwnym razie jeżeli i mod 2 = 0 zwróć wynik(i

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Wykład na Politechnice Krakowskiej w dniu 18 stycznia 2012 r. ZADAŃ I ALGORYTMÓW W OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ

Wykład na Politechnice Krakowskiej w dniu 18 stycznia 2012 r. ZADAŃ I ALGORYTMÓW W OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ Wykład na Politechnice Krakowskiej w dniu 18 stycznia 2012 r. ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ZADAŃ I ALGORYTMÓW W OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ dr hab. Krzysztof SZKATUŁA, prof. PAN Instytut Badań Systemowych PAN Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Centralne twierdzenie graniczne

Centralne twierdzenie graniczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1

Bardziej szczegółowo

Rekurencja. Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)!

Rekurencja. Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)! Rekurencja Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)! Pseudokod: silnia(n): jeżeli n == 0 silnia = 1 w przeciwnym

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Efektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie

Efektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie Efektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie Rekurencja Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Metoda dziel i zwycięŝaj Dzielimy

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2

Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze

Bardziej szczegółowo

Efektywność algorytmów

Efektywność algorytmów Efektywność algorytmów Algorytmika Algorytmika to dział informatyki zajmujący się poszukiwaniem, konstruowaniem i badaniem własności algorytmów, w kontekście ich przydatności do rozwiązywania problemów

Bardziej szczegółowo

Złożoność informacyjna Kołmogorowa. Paweł Parys

Złożoność informacyjna Kołmogorowa. Paweł Parys Złożoność informacyjna Kołmogorowa Paweł Parys Serock 2012 niektóre liczby łatwiej zapamiętać niż inne... (to zależy nie tylko od wielkości liczby) 100...0 100 100... 100 100 100 25839496603316858921 31415926535897932384

Bardziej szczegółowo

Wskaźniki. Programowanie Proceduralne 1

Wskaźniki. Programowanie Proceduralne 1 Wskaźniki Programowanie Proceduralne 1 Adresy zmiennych Sterta 1 #include 2 3 int a = 2 ; 4 5 int main ( ) 6 { 7 int b = 3 ; 8 9 printf ( " adres zmiennej a %p\n", &a ) ; 10 printf ( " adres

Bardziej szczegółowo

Definicja. Ciąg wejściowy: Funkcja uporządkowująca: Sortowanie polega na: a 1, a 2,, a n-1, a n. f(a 1 ) f(a 2 ) f(a n )

Definicja. Ciąg wejściowy: Funkcja uporządkowująca: Sortowanie polega na: a 1, a 2,, a n-1, a n. f(a 1 ) f(a 2 ) f(a n ) SORTOWANIE 1 SORTOWANIE Proces ustawiania zbioru elementów w określonym porządku. Stosuje się w celu ułatwienia późniejszego wyszukiwania elementów sortowanego zbioru. 2 Definicja Ciąg wejściowy: a 1,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych, 9. ćwiczenia

Algorytmy i Struktury Danych, 9. ćwiczenia Algorytmy i Struktury Danych, 9. ćwiczenia 206-2-09 Plan zajęć usuwanie z B-drzew join i split na 2-3-4 drzewach drzepce adresowanie otwarte w haszowaniu z analizą 2 B-drzewa definicja każdy węzeł ma następujące

Bardziej szczegółowo

Podstawy Programowania

Podstawy Programowania Podstawy Programowania Wykład X Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński Katedra Cybernetyki i Robotyki, PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane algorytmy i struktury danych

Zaawansowane algorytmy i struktury danych Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań praktycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania praktyczne z kolokwium zaliczeniowego z 19 czerwca 2014 (studia dzienne)

Bardziej szczegółowo

Transformata Fouriera. Sylwia Kołoda Magdalena Pacek Krzysztof Kolago

Transformata Fouriera. Sylwia Kołoda Magdalena Pacek Krzysztof Kolago Transformata Fouriera Sylwia Kołoda Magdalena Pacek Krzysztof Kolago Transformacja Fouriera rozkłada funkcję okresową na szereg funkcji okresowych tak, że uzyskana transformata podaje w jaki sposób poszczególne

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2008/09

Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2008/09 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (dokończenie).

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5 Prof. dr hab. inż. Jan Magott DMT rozwiązuje problem decyzyjny π przy kodowaniu e w co najwyżej wielomianowym czasie, jeśli dla wszystkich łańcuchów wejściowych

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. Algorytmy i struktury danych, C4

KARTA PRZEDMIOTU. Algorytmy i struktury danych, C4 KARTA PRZEDMIOTU 1. Informacje ogólne Nazwa przedmiotu i kod (wg planu studiów): Nazwa przedmiotu (j. ang.): Kierunek studiów: Specjalność/specjalizacja: Poziom kształcenia: Profil kształcenia: Forma studiów:

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania:

ANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: ANALIZA ALGORYTMÓW Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: 1) Czy problem może być rozwiązany na komputerze w dostępnym czasie i pamięci? 2) Który ze znanych algorytmów należy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne

Algorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne Algorytmy i struktury danych Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne Co dziś? Algorytmy zachłanne (greedyalgorithms) 2 Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Problem można podzielić na

Bardziej szczegółowo

Algorytmy sortujące 1

Algorytmy sortujące 1 Algorytmy sortujące 1 Sortowanie Jeden z najczęściej występujących, rozwiązywanych i stosowanych problemów. Ułożyć elementy listy (przyjmujemy: tablicy) w rosnącym porządku Sortowanie może być oparte na

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Metody konstrukcji algorytmów: Siłowa (ang. brute force), Dziel i zwyciężaj (ang. divide-and-conquer), Zachłanna (ang.

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy informatyki

Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 3a: Złożoność obliczeniowa algorytmów http://kiwi.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Złożoność obliczeniowa i asymptotyczna

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych

Bardziej szczegółowo

Algorytmy przeszukiwania wzorca

Algorytmy przeszukiwania wzorca Algorytmy i struktury danych Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Algorytmy przeszukiwania wzorca 1 Wstęp Algorytmy

Bardziej szczegółowo

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd. Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania

Bardziej szczegółowo

Technologie informacyjne Wykład VII-IX

Technologie informacyjne Wykład VII-IX Technologie informacyjne -IX A. Matuszak 19 marca 2013 A. Matuszak Technologie informacyjne -IX Rekurencja A. Matuszak (2) Technologie informacyjne -IX Gotowanie jajek na miękko weż czysty garnek włóż

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 1. Informacje ogólne. 2. Ogólna charakterystyka przedmiotu. Algorytmy i struktury danych, C3

KARTA PRZEDMIOTU. 1. Informacje ogólne. 2. Ogólna charakterystyka przedmiotu. Algorytmy i struktury danych, C3 KARTA PRZEDMIOTU 1. Informacje ogólne Nazwa przedmiotu i kod (wg planu studiów): Nazwa przedmiotu (j. ang.): Kierunek studiów: Specjalność/specjalizacja: Poziom kształcenia: Profil kształcenia: Forma studiów:

Bardziej szczegółowo

Technologie cyfrowe. Artur Kalinowski. Zakład Cząstek i Oddziaływań Fundamentalnych Pasteura 5, pokój 4.15

Technologie cyfrowe. Artur Kalinowski. Zakład Cząstek i Oddziaływań Fundamentalnych Pasteura 5, pokój 4.15 Technologie cyfrowe Artur Kalinowski Zakład Cząstek i Oddziaływań Fundamentalnych Pasteura 5, pokój 4.15 Artur.Kalinowski@fuw.edu.pl Semestr letni 2014/2015 Zadanie algorytmiczne: wyszukiwanie dane wejściowe:

Bardziej szczegółowo

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z

Bardziej szczegółowo

2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH

2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH WIELOMIANY 1. Stopieo wielomianu. Działania na wielomianach 2. Równość wielomianów. 3. Pierwiastek wielomianu. Rozkład wielomianu na czynniki 4. Równania wielomianowe. 1.STOPIEŃ WIELOMIANU Wielomian to

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia

Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia 2017-10-13 Spis treści 1 Optymalne sortowanie 5 ciu elementów 1 2 Sortowanie metodą Shella 2 3 Przesunięcie cykliczne tablicy 3 4 Scalanie w miejscu dla ciągów

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 5. Przybliżone metody rozwiązywania równań 5.1 Lokalizacja pierwiastków 5.2 Metoda bisekcji 5.3 Metoda iteracji 5.4 Metoda stycznych (Newtona) 5.5 Metoda

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI POZIOM ROZSZERZONY ARKUSZ I STYCZEŃ 2014 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 9 stron (zadania 1 3). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu

Bardziej szczegółowo

Przetwarzanie równoległe Zadanie domowe III

Przetwarzanie równoległe Zadanie domowe III Przetwarzanie równoległe Zadanie domowe III Jarosław Marek Gliwiński #indeksu 7439 16 stycznia 010 1 Wstęp 1.1 Wykaz skrótów i oznaczeń W pierwszej kolejności przedstawione zostaną używane w pracy oznaczenia,

Bardziej szczegółowo

Analiza algorytmów zadania podstawowe

Analiza algorytmów zadania podstawowe Analiza algorytmów zadania podstawowe Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r 0 Jaka wartość zostanie zwrócona przez powyższą

Bardziej szczegółowo

Funkcje charakteryzujące proces. Dr inż. Robert Jakubowski

Funkcje charakteryzujące proces. Dr inż. Robert Jakubowski Funkcje charakteryzujące proces eksploatacji Dr inż. Robert Jakubowski Niezawodność Niezawodność Rprawdopodobieństwo, że w przedziale czasu od do t cechy funkcjonalne statku powietrznego Ubędą się mieścić

Bardziej szczegółowo