4. Pole magnetostatyczne
|
|
- Wiktor Ostrowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 4. Pole magnetostatyczne 4.1. Podstawowe zależności Równania pola magnetostatycznego Polem statycznym nazywamy pole niezmienne w czasie, czyli pochodne czasowe wektorów indukcji są definicyjnie równe zeru D/ t = B/ t 0. Równania Maxwella rozprzęgają się do dwóch niezależnych układów: W zapisie różniczkowym Magnetostatyka Elektrostatyka B = r H D = r K W zapisie całkowym Magnetostatyka Elektrostatyka B = r H D = r K 2 1
2 Warunki ciągłości wektorów pola magnetycznego (1) Rozpatrzmy dwa środowiska o przenikalności magnetycznej 1 i 2. Tworzymy zamknięty, prostokątny kontur l przenikający granicę o rozmiarach h i g takich, że h << g. Zauważmy, że S(l) 0. Prawo Ampere a można zapisad jako 1 2 h g y x Całki wzdłuż boków Stąd h mają wartośd pomijalną można przyjąd h dowolnie małe. Jeśli rozmiar g jest na tyle mały, że pole H jest stałe wzdłuż tego boku, to Natężenie pola magnetycznego przy przejściu przez granicę środowisk zachowuje ciągłośd składowej stycznej. 3 Warunki ciągłości wektorów pola magnetycznego (2) Tworzymy obecnie walec o objętości V i powierzchni brzegowej S V przenikający granicę, którego podstawa S ma promieo niewspółmiernie większy od wysokości h. Powierzchnię boczną oznaczamy jako S. 1 2 V u n1 S y u n x Prawo Gauss a można zapisad jako u n2 Całka wzdłuż pobocznicy S ma wartośd pomijalną, ponadto u n1 = _ u n2. Stąd Jeśli rozmiar S jest na tyle mały, że pole B jest stałe na tej powierzchni, to Indukcja pola magnetycznego przy przejściu przez granicę środowisk zachowuje ciągłośd składowej normalnej. 4 2
3 Zestawienie warunków ciągłości dla pola magnetycznego (1) Najczęstszym przypadkiem granicy środowisk w obliczeniach magnetycznych jest styk obszaru ferromagnetycznego o względnej przenikalności r1=( ) i niemagnetycznego r2= 1. Niech składowa normalna indukcji na granicy wynosi B n =1 T. Iloraz składowych stycznych jest równy r1 >> 1 B t2 0 r2 = 1 B n B n B t1 H t1 H t2 n t Moduł indukcji, a więc i składowa styczna B t1 jest ograniczona przez indukcję nasycenia B ns 2 T. Stąd wynika W obliczeniach technicznych można więc przyjąd, że wektor indukcji w powietrzu tuż przy granicy jest prostopadły do powierzchni ferromagnetyka. Stwierdzenie to nie jest prawdziwe dla bardzo silnych pól oraz w przypadku występowania prądów wirowych w ferromagnetyku ( B/ t 0). 5 Zestawienie warunków ciągłości dla pola magnetycznego (2) Proporcje pomiędzy składowymi indukcji w ferromagnetyku tuż przy granicy, przez którą wnika pole magnetyczne wynikają z następującego rozumowania: Niech pole 2D indukcji B ma w ferromagnetyku składowe B n i B t1 w pewnym, dostatecznie małym trójkącie o bokach a, b, c zbudowanym jak na rysunku. Warunek bezźródłowości pola indukcji prowadzi do zależności B t2 0 b B n B n B t1 B c a u nc r1 >> 1 u na r2 = 1 n t L wymiar w kierunku prostopadłym do płaszczyzny rysunku. Daje to zależnośd która oznacza, że przyjęcie jednorodnego pola indukcji magnetycznej wewnątrz trójkątnego elementu automatycznie spełnia warunek jego bezźródłowości. Ugięcie pola na granicy środowisk jest więc wywołane innymi czynnikami niż nieciągłośd własności materiałowych. 6 3
4 Wyznaczanie elementarnych pól magnetycznych pole okrągłego przewodu wiodącego prąd Dany jest długi, okrągły przewód miedziany o przekroju S wiodący prąd stały o natężeniu I. Wyznaczyd rozkład pola magnetycznego H w jego otoczeniu przyjmując, że H z =0. Kołowy kontur l o promieniu r pełni dwie funkcje: jest brzegiem otwartej powierzchni S( l ); jest śladem cylindrycznej pobocznicy walca S b o podstawie S. Badany obiekt jest osiowo symetryczny, więc w układzie współrzędnych cylindrycznych (r, ) natężenie pola H jest wyłącznie funkcją promienia. Lewa strona prawa Ampere a dla konturu l jest w postaci Prawa strona prawa Ampere a jest równa Stosując z kolei twierdzenie Gauss a dla powierzchni walca mamy Stąd y x S( l ); r I S b ( l ); l l r P Ostatecznie otrzymuje się 7 Wyznaczanie elementarnych pól magnetycznych pole dwóch przewodów wiodących prąd zasada superpozycji Dane są dwa długie, okrągłe przewody miedziane o przekrojach S 1, S 2 wiodące prąd stały o natężeniu, odpowiednio I 1, I 2. Wyznaczyd rozkład pola magnetycznego H w ich otoczeniu przyjmując, że H z =0. Zasada superpozycji Rozwiązania częściowe są znane w lokalnych układach współrzędnych (r 1, 1) i (r 2, 2). Wypadkowe pole otrzymujemy transformując przyczynki do globalnego układu współrzędnych (x, y) i sumując je. y x I 2 > 0 r 2 H 1 r 1 P I 1 > 0 Pole wektorowe pochodzące od kilku wymuszeo w obszarze o stałych własnościach materiałowych jest równe wektorowej sumie przyczynków, jakie wytwarza każde z tych wymuszeo oddzielnie. W zależności od lokalnego kierunku wektora gęstości prądu J, wartości I 1, I 2 mogą byd dodatnie lub ujemne. H H 2 8 4
5 Prawo Biota Savarta Uogólnieniem prowadzonych rozważao jest prawo Biota Savarta, które pozwala na określenie natężenia pola magnetycznego w wybranym punkcie dla dowolnej geometrii obwodu wymuszającego pole. H r i u l Elementarny odcinek przewodu wiodącego prąd o natężeniu i wytwarza przyczynek H wypadkowego natężenia pola magnetycznego w danym punkcie określonym przez wektor r Całkowite pole wynosi więc 9 Pole magnetyczne pojedynczego zwoju Rozpatrujemy pole magnetyczne wytworzone przez pojedynczy, kołowy zwój o promieniu r 0, usytuowany w płaszczyźnie 0xy i wiodący prąd i. W dowolnym punkcie P o współrzędnych *0, 0, a] (położonym na osi symetrii zwoju) natężenie pola magnetycznego H(P) ma wyłącznie składową H z. Wartośd przyczynku H z (P) wytworzonego przez dwa wycinki zwoju o długości l wznosi - i l r 0 y x + i l /2 a P H + H_ H z Na podstawie prawa Biota + Savarta wyznaczamy moduły przyczynków H + = H - co daje Pole wytworzone przez cały zwój jest więc równe 10 5
6 a z Pole magnetyczne N-zwojnej cewki (1) Poszukiwany jest rozkład pola magnetycznego H wzdłuż osi symetrii 0z N-zwojnej cewki o promieniu r 0 i długości L wiodącej prąd o natężeniu i. Ze względu na symetrię można rozpatrywad połowę długości cewki. Rzeczywisty, dyskretny rozkład prądu w cewce zastępujemy ciągłym o gęstości liniowej Płaszczyzna symetrii r 0 0 L z 0 P z 1 2 r Oznacza to, że elementarny liniowy wycinek cewki o współrzędnej z i długości z wiedzie prąd Wycinek ten wytwarza w punkcie P pole magnetyczne co wynika z zależności H r 0 r z Całkowite pole H jest równe P r 11 Pole magnetyczne N-zwojnej cewki (2) Otrzymane rozwiązanie pola H w osi cewki należy uzupełnid o wyrażenia na funkcje trygonometryczne Uzyskuje się Rozkład natężenia pola magnetycznego wzdłuż osi symetrii cewki H z Równomiernośd natężenia pola magnetycznego H z w przekroju poprzecznym cewki -0.5 L L z Izolinie pola magnetycznego 12 6
7 Zakres stosowalności prawa Biota - Savarta Wzór Biota Savarta został wyprowadzony z I prawa Maxwell a (rot H = J). Jeżeli w całym badanym obszarze przenikalnośd magnetyczna jest stała, to automatycznie są spełnione warunki ciągłości pola dla dowolnej powierzchni mamy ciągłośd zarówno składowych stycznych jak i normalnych pól H i B. Jeżeli w rozpatrywanym obszarze występują różne materiały, to wzór ten nie może byd stosowany, ponieważ jest wymagana nieciągłośd składowych normalnych H oraz stycznych B. H t1 =H t2 B t1 / r1 = B t2 / r2 B n1 =B n2 r1 H n1 = r2h n2 Należy wprowadzid do równania różniczkowego opisującego pole magnetyczne jednocześnie wymagania rot H = J div B = 0 B= 0 r H 13 Wpływ obecności ferromagnetyka na przestrzenny rozkład wektorów pola magnetycznego bez rdzenia rdzeo r=10 4 rdzeo stalowy H [A/m] B [T] 14 7
8 4.2. Potencjały magnetyczne 15 Magnetyczny potencjał wektorowy Pojęcie magnetycznego potencjału wektorowego A wprowadza się definiując pole indukcji magnetycznej B jako Definicja ta spełnia automatycznie warunek bezźródłowości pola indukcji, ponieważ Zakładając, że przenikalnośd magnetyczna r jest obszarami stała, otrzymuje się Definicja pola B = rot A nie jest jednoznaczna, ze względu na tożsamośd (pole A jest określone z dokładnością do gradientu dowolnej różniczkowalnej funkcji skalarnej ) W zależności od zagadnienia wprowadza się więc dodatkowo tzw. warunek skalowania. Dla pola magnetostatycznego jest to co prowadzi do układu trzech równao różniczkowych cząstkowych (Poissona) 16 8
9 Magnetyczny potencjał skalarny Pojęcie magnetycznego potencjału skalarnego V wprowadza się definiując natężenie pola magnetycznego H jako Pole magnetyczne określone w ten sposób nie może opisad pola wewnątrz przewodników wiodących prąd, ponieważ Zakładając, że przenikalnośd magnetyczna r jest obszarami stała, otrzymuje się co prowadzi do równania różniczkowego cząstkowego (Laplace a) Uwzględnienie wymuszenia prądowego (bądź obecności magnesów trwałych) otrzymuje się prowadzając elektryczny potencjał wektorowy T, który spełnia zależnośd J = rot T. Całkowite natężenie pola magnetycznego H c jest sumą H c = - grad V + T Równanie różniczkowe cząstkowe opisujące pole magnetyczne wynika z warunku bezźródłowości div B = 0 Równanie to jest powszechnie stosowane w obliczeniach trójwymiarowych pól. 17 Dwuwymiarowe pole magnetyczne Jeżeli w prawie całej objętości badanego obiektu, gęstośd prądu J ma tylko jedną składową, np. J = u z J z (x,y), to I równanie Maxwell a zapisane przy pomocy potencjału wektorowego ma postad Jest to równanie cząstkowe drugiego rzędu (eliptyczne), do którego rozwiązania jest potrzebna znajomośd własności pola potencjału na brzegu analizowanej objętości S(V). Wyróżniamy trzy rodzaje warunków brzegowych: 1. Warunek typu Dirichleta : A z (x,y S D ) = D(x,y). Najczęściej D(x,y)=0. Warunek ten musi wystąpid przynajmniej na części brzegu S(V). 2. Warunek typu Neumanna : A z (x,y S N )/ n = N(x,y). Najczęściej N(x,y)=0. 3. Warunek periodyczności : A z (x,y S P1 ) = ± A z (x,y S P2 ) = 18 9
10 Fizyczna interpretacja warunków brzegowych dla pól 2D Na zewnętrznej powierzchni tworzymy lokalny układ współrzędnych (0ns). Wektor indukcji B (o składowej B z =0) w tym układzie oblicza się jako y S B s B s n B n Warunek typu Dirichleta : A z (x,y co daje S D ) = D(x,y) = const. czyli pole indukcji na brzegu S(V) ma wyłącznie składową styczną x Warunek typu Neumanna: czyli pole indukcji na brzegu S(V) ma wyłącznie składową normalną 19 Przykłady zastosowania warunków brzegowych 2D jednorodny Dirichleta 1. W dostatecznie dużej odległości d > r od badanego obiektu indukcja magnetyczna jest pomijalna: B(d)= 0 ponieważ B n (r) = 0. r n d A z =0 2. Na zewnątrz zamkniętego, ferromagnetycznego obwodu indukcja magnetyczna jest pomijalna: z warunku ciągłości składowych stycznych natężenia pola magnetycznego H s0 =H sfe wynika B s0 =B sfe / r s n A z =0 W obydwu przypadkach narzucenie warunku brzegowego wprowadza pewien błąd do wynikowych obliczeo! 20 10
11 Przykłady zastosowania warunków brzegowych 2D jednorodny Neumanna A z =0 Wyznaczenie pola rozproszenia w żłobku maszyny elektrycznej Pole indukcji magnetycznej na powierzchni ferromagnetyka nie ma składowej stycznej B s = n A z =0. Warunek jednorodny Dirichleta A z =0 w otwarciu żłobka jest niezbędny do poprawnego postawienia zadania obliczeniowego. Wprowadzenie warunku na z =0 pomija spadek napięcia magnetycznego H Fe l Fe w rdzeniu! I u l na z =0 21 Przykłady zastosowania warunków brzegowych 2D wykorzystanie symetrii obiektu 1. Jeżeli badany obiekt posiada płaszczyznę symetrii jednocześnie: geometryczną, materiałową oraz wymuszeo pola magnetycznego, to na płaszczyźnie tej pole indukcji magnetycznej ma wyłącznie składową normalną. Oznacza to, że B s = n A z = Jeżeli badany obiekt posiada płaszczyznę symetrii geometrycznej i materiałowej będącą jednocześnie płaszczyzną antysymetrii wymuszeo pola magnetycznego, to na płaszczyźnie tej pole indukcji magnetycznej ma wyłącznie składową styczną. Oznacza to: A z = const dla punktów leżących na tej płaszczyźnie. na z = 0 A z = 0 +I -I * +I -I * A z =const 3. Model obliczeniowy redukuje się do postaci +I/2 * -I/2 na z = 0 A z =
12 Warunki brzegowe periodyczności 1 r 1 W maszynach elektrycznych wirujących rozkład pola magnetycznego jest p-okresowy (na rys. p=2). Oznacza to, że w układzie współrzędnych cylindrycznych r wektor indukcji magnetycznej B(r, ) jest taki sam jak B(r, p). Uzyskuje się: A z (r, ) = A z (r, p) lub dla dwu układów współrzędnych r 1 r 2 przesuniętych o kąt p i dowolnie usytuowanych w przestrzeni mamy A z (r 1, ) = A z (r 2, ). Rozmiar modelu obliczeniowego redukuje się 1/p razy. B S N r 2 N 2 S B 23 Warunki brzegowe anty-periodyczności W maszynach elektrycznych wirujących rozkład pola magnetycznego jest p-okresowy (na rys. p=2). oraz najczęściej o odwrotnej zgodności półokresów. Oznacza to, że w układzie współrzędnych cylindrycznych r wektor indukcji magnetycznej B(r, ) jest taki sam jak B(r, p) a ponadto B(r, )=- B(r, p). Uzyskuje się więc : A z (r, ) = -A z (r, p) lub dla dwu układów współrzędnych r 1 r 2 przesuniętych o kąt p i dowolnie usytuowanych w przestrzeni mamy A z (r 1, ) = - A z (r 2, ). r 2 2 B S 1 N r 1 N S Rozmiar modelu obliczeniowego redukuje się 1/2p razy. B Warunki brzegowe periodyczności (anty-periodyczności) stosuje się przy wyznaczaniu pola magnetycznego w stanie obciążenia maszyny
13 L Wyznaczenie strumienia skojarzonego z cewką (1) Dane jest płaskie pole indukcji B i związane z nim zależnością B = A pole magnetycznego potencjału wektorowego A = u z A. Poszukiwany jest strumieo skojarzony z cewką o N zwojach i przekroju S wytyczonym przez jej kontur l(s). A z n v l(s) Strumieo skojarzony z cewką jest określony wzorem w lokalnym układzie współrzędnych 0vnz z y B x Stosując twierdzenie Stokes a mamy 25 Wyznaczenie strumienia skojarzonego z cewką (2) Potencjał wektorowy ma tylko składową Az, dlatego iloczyny skalarne A, u l mają wartośd niezerową wyłącznie na bokach równoległych do osi 0z. M u l z v Wartośd potencjału nie zależy od współrzędnej z, stąd P Q Strumieo magnetyczny skojarzony z cewką jest proporcjonalny do różnicy wartości magnetycznego potencjału wektorowego w punktach, w których boki cewki przecinają płaszczyznę linii pola (dotyczy płaskiego pola indukcji magnetycznej)
14 4.3. Pole magnetyczne quasi-statyczne 27 Definicja quasi-statyczności pola Pole magnetyczne nazywamy quasi-statycznym, jeżeli rozkład przestrzenny pola magnetycznego w danej chwili czasowej t k wywołany przez układ zmiennych w czasie prądów elektrycznych *I 1 (t), I 2 (t),... I M (t)+ jest taki sam jak rozkład przestrzenny pola wytworzony przez układ prądów stałych w czasie *I 1 =I 1 (t k ), I 2 =I 2 (t k ),..., I M =I M (t k )]. I 1 I 2 (t k ) t t k I 2 t I 1 (t k ) H 2 H 1 Warunkiem pozwalającym na powyższe założenie jest, przy danej częstotliwości wymuszenia, odpowiednio mały przekrój przewodników wiodących prąd. Dla 50 Hz przekrój ten jest rzędu kilku mm 2 - dla miedzi bądź aluminium
15 II prawo Maxwell a dla pól quasi-statycznych (1) W zapisie różniczkowym II prawo Maxwell a jest w postaci Całkując po wybranej powierzchni S(l) np. pojedynczego lub serii zwojów i stosując twierdzenie Stokes a otrzymuje się i(t) u l B u(t) Natężenie pola elektrycznego K jest związane z wektorem gęstości prądu J poprzez konduktywnośd Zakładając równomierną gęstośd prądu w przekroju S d przewodnika (warunek quasi-statyczności pola) mamy u napięcie w odbiornikowym systemie oznaczeo 29 II prawo Maxwell a dla pól quasi-statycznych (2) Oznaczając formalnie strumieo skojarzony jako sumę strumienia zewnętrznego z oraz strumienia i wytworzonego przez wartośd chwilową prądu i(t) obwodu Współczynnik L nazywa się indukcyjnością statyczną obwodu Łącząc powyższe zależności otrzymuje się II prawo Kirchoffa (w zapisie odbiornikowym) W układach zawierających elementy ferromagnetyczne na drodze strumienia magnetycznego L=f(i). Zachodzi wówczas L=tg i 30 15
16 4.4. Siły i energia w polu magnetycznym 31 Podstawowe zależności dla sił magnetycznych (1) 1. Siła Lorentz a. Na elementarną objętośd V= l S d, przez którą przepływa prąd o gęstości J, umieszczoną w polu magnetycznym o indukcji B działa siła F o objętościowej gęstości f Wersory u l oraz u ns są współliniowe z J. S d l J B F 32 16
17 Podstawowe zależności dla sił magnetycznych (2) 2. Naprężenia Maxwell a. Na elementarną powierzchnię S rozgraniczającą środowiska o przenikalnościach magnetycznych 1, 2, na której występuje pole magnetyczne o indukcji B i natężeniu H, działa siła F S o powierzchniowej gęstości f S 1 2 u n1 T n1 T n2 Składniki T ni (i=1,2) nazywane są naprężeniami normalnymi Maxwell a i są równe F S Jeżeli 1= 0 r ( r ) oraz 2= 0 to siła F S wynosi w przybliżeniu 33 Gęstośd energii pola magnetycznego Objętościową gęstością energii pola magnetycznego w m, [J/m 3 +, nazywamy wyrażenie w m równe ilościowo polu powierzchni pomiędzy osią B i charakterystyką magnesowania B(H). H Pomijając zjawisko nasycenia magnetycznego otrzymuje się co oznacza, że gęstośd energii w ferromagnetyku, przy tej samej indukcji, jest wielokrotnie mniejsza niż w powietrzu
18 Powiązanie siły i energii pola magnetycznego Zwora elektromagnesu przesunęła się o pod wpływem sił magnetycznych, które wykonały pracę W i Jeżeli energia układu pozostała bez zmian (brak jej dopływu z sieci), to praca W powstała kosztem zmniejszenia energii pola magnetycznego - W m Dla dowolnie małych przemieszczeo zachodzi więc 35 18
RÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego?
RÓWNANIA MAXWELLA Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego? Wykład 3 lato 2012 1 Doświadczenia Wykład 3 lato 2012 2 1
Bardziej szczegółowo3. Równania pola elektromagnetycznego
3. Równania pola elektromagnetycznego Oddziaływanie pola elektromagnetycznego z materią Pole elektromagnetyczne jest opisywane zazwyczaj za pomocą następujących 5 pól wektorowych: gęstości prądu J, natężenia
Bardziej szczegółowocz. 2. dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykład 14: Pole magnetyczne cz.. dr inż. Zbigniew zklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.zklarski/ Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego - doświadczenie Oersteda Kiedy przez
Bardziej szczegółowoWykład 14: Indukcja cz.2.
Wykład 14: Indukcja cz.. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. -1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 10.05.017 Wydział Informatyki, Elektroniki i 1 Przykład
Bardziej szczegółowoZwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH
METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w
Bardziej szczegółowoPrzedmowa do wydania drugiego Konwencje i ważniejsze oznaczenia... 13
Przedmowa do wydania drugiego... 11 Konwencje i ważniejsze oznaczenia... 13 1. Rachunek i analiza wektorowa... 17 1.1. Wielkości skalarne i wektorowe... 17 1.2. Układy współrzędnych... 20 1.2.1. Układ
Bardziej szczegółowoZwój nad przewodzącą płytą
Zwój nad przewodzącą płytą Z potencjału A można też wyznaczyć napięcie u0 jakie będzie się indukować w pojedynczym zwoju cewki odbiorczej: gdzie: Φ strumień magnetyczny przenikający powierzchnię, której
Bardziej szczegółowoWykład 15: Indukcja. Dr inż. Zbigniew Szklarski. Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok
Wykład 15: Indukcja Dr inż. Zbigniew zklarski Katedra Elektroniki, paw. -1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.zklarski/ 1 Pole magnetyczne a prąd elektryczny Do tej pory omawiano skutki
Bardziej szczegółowoKsięgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki
Księgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki Spis treści Przedmowa... 11 Wstęp: Czym jest elektrodynamika i jakie jest jej miejsce w fizyce?... 13 1. Analiza wektorowa... 19 1.1. Algebra
Bardziej szczegółowoTeoria pola elektromagnetycznego 1. Wprowadzenie
Teoria pola elektromagnetycznego 1. Wprowadzenie Paweł Witczak Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych PŁ Wykaz literatury 1. M. Krakowski, Elektrotechnika teoretyczna, Tom II Pole Elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoFizyka współczesna. Zmienne pole magnetyczne a prąd. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Powstawanie prądu w wyniku zmian pola magnetycznego
Zmienne pole magnetyczne a prąd Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Powstawanie prądu w wyniku zmian pola magnetycznego Zmienne pole magnetyczne a prąd Wnioski (które wyciągnęlibyśmy, wykonując doświadczenia
Bardziej szczegółowoRównania Maxwella redukują się w przypadku statycznego pola elektrycznego do postaci: D= E
Elektrostatyka Równania Maxwella redukują się w przypadku statycznego pola elektrycznego do postaci: D=ϱ E=0 D= E Źródłem pola elektrycznego są ładunki, które mogą być: punktowe q [C] liniowe [C/m] powierzchniowe
Bardziej szczegółowoWykład 14: Indukcja. Dr inż. Zbigniew Szklarski. Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok
Wykład 14: Indukcja Dr inż. Zbigniew zklarski Katedra Elektroniki, paw. -1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.zklarski/ Pole magnetyczne a prąd elektryczny Do tej pory omawiano skutki
Bardziej szczegółowoPole elektromagnetyczne
Pole elektromagnetyczne Pole magnetyczne Strumień pola magnetycznego Jednostką strumienia magnetycznego w układzie SI jest 1 weber (1 Wb) = 1 N m A -1. Zatem, pole magnetyczne B jest czasem nazywane gęstością
Bardziej szczegółowoWyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody elementów skończonych
napisał Michał Wierzbicki Wyznaczanie parametrów linii długiej za pomocą metody elementów skończonych Rozważmy tak zwaną linię Lechera, czyli układ dwóch równoległych, nieskończonych przewodników, o przekroju
Bardziej szczegółowoAnaliza wektorowa. Teoria pola.
Analiza wektorowa. Teoria pola. Pole skalarne Pole wektorowe ϕ = ϕ(x, y, z) A = A x (x, y, z) i x + A y (x, y, z) i y + A z (x, y, z) i z Gradient grad ϕ = ϕ x i x + ϕ y i y + ϕ z i z Jeśli przemieścimy
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoŁadunek elektryczny. Zastosowanie równania Laplace a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal. Wprowadzenie. Podstawowe cechy pól siłowych
6 czerwca 2013 Ładunek elektryczny Ciała fizyczne mogą być obdarzone (i w znacznej większości faktycznie są) ładunkiem elektrycznym. Ładunek ten może być dodatni lub ujemny. Kiedy na jednym ciele zgromadzonych
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2 INDUKOWANIE SIŁY ELEKTROMOTORYCZNEJ
WYKŁAD DUKOWA SŁY KTOMOTOYCZJ.. Źródłowy i odbiornikowy system oznaczeń. ozpatrzmy elementarny obwód elektryczny prądu stałego na przykładzie ładowania akumulatora samochodowego przedstawiony na rys...
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne......................
Bardziej szczegółowoEfekt naskórkowy (skin effect)
Efekt naskórkowy (skin effect) Rozważmy cylindryczny przewód o promieniu a i o nieskończonej długości. Przez przewód płynie prąd I = I 0 cos ωt. Dla niezbyt dużych częstości ω możemy zaniedbać prąd przesunięcia,
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne....................
Bardziej szczegółowoPodstawy elektrodynamiki / David J. Griffiths. - wyd. 2, dodr. 3. Warszawa, 2011 Spis treści. Przedmowa 11
Podstawy elektrodynamiki / David J. Griffiths. - wyd. 2, dodr. 3. Warszawa, 2011 Spis treści Przedmowa 11 Wstęp: Czym jest elektrodynamika i jakie jest jej miejsce w fizyce? 13 1. Analiza wektorowa 19
Bardziej szczegółowoElektrostatyka. Prawo Coulomba Natężenie pola elektrycznego Energia potencjalna pola elektrycznego
Elektrostatyka Prawo Coulomba Natężenie pola elektrycznego Energia potencjalna pola elektrycznego 1 Prawo Coulomba odpychanie naelektryzowane szkło nie-naelektryzowana miedź F 1 4 0 q 1 q 2 r 2 0 8.85
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoLekcja 59. Histereza magnetyczna
Lekcja 59. Histereza magnetyczna Histereza - opóźnienie w reakcji na czynnik zewnętrzny. Zjawisko odkrył i nazwał James Alfred Ewing w roku 1890. Najbardziej znane przypadki histerezy występują w materiałach
Bardziej szczegółowoIndukcja magnetyczna pola wokół przewodnika z prądem. dr inż. Romuald Kędzierski
Indukcja magnetyczna pola wokół przewodnika z prądem dr inż. Romuald Kędzierski Pole magnetyczne wokół pojedynczego przewodnika prostoliniowego Założenia wyjściowe: przez nieskończenie długi prostoliniowy
Bardziej szczegółowoBadanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem
Ćwiczenie E7 Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem E7.1. Cel ćwiczenia Prąd elektryczny płynący przez przewodnik wytwarza wokół niego pole magnetyczne. Ćwiczenie polega na pomiarze
Bardziej szczegółowoPOLE MAGNETYCZNE Własności pola magnetycznego. Źródła pola magnetycznego
POLE MAGNETYCZNE Własności pola magnetycznego. Źródła pola magnetycznego Pole magnetyczne magnesu trwałego Pole magnetyczne Ziemi Jeśli przez przewód płynie prąd to wokół przewodu jest pole magnetyczne.
Bardziej szczegółowoPOLE MAGNETYCZNE. Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a
POLE MAGNETYCZNE Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a 1 Doświadczenie Oersteda W 18 r. Hans C. Oersted odkrywa niezwykle interesujące zjawisko. Przepuszczając prąd elektryczny nad igiełką magnetyczną,
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 41. Busola stycznych
Ćwiczenie 41. Busola stycznych Małgorzata Nowina-Konopka, Andrzej Zięba Cel ćwiczenia Zapoznanie się z budową i działaniem busoli, wyznaczenie składowej poziomej ziemskiego pola magnetycznego. Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoPodstawy elektromagnetyzmu. Wykład 12. Energia PEM
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 12 Energia PEM Energia pola elektromagnetycznego Pole elektryczne W E = V w E dv w E = E D 2 = E 2 2 = D2 2 Pole magnetyczne Całkowita energia W = V w E w H dv = = 1 E
Bardziej szczegółowoElektrostatyka, cz. 1
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 3 Elektrostatyka, cz. 1 Prawo Coulomba F=k q 1 q 2 r 2 1 q1 q 2 Notka historyczna: 1767: John Priestley - sugestia 1771: Henry Cavendish - eksperyment 1785: Charles Augustin
Bardziej szczegółowoPOLE MAGNETYCZNE W PRÓŻNI
POLE MAGNETYCZNE W PRÓŻNI Oprócz omówionych już oddziaływań grawitacyjnych (prawo powszechnego ciążenia) i elektrostatycznych (prawo Couloma) dostrzega się inny rodzaj oddziaływań, które nazywa się magnetycznymi.
Bardziej szczegółowoPole elektromagnetyczne. Równania Maxwella
Pole elektromagnetyczne (na podstawie Wikipedii) Pole elektromagnetyczne - pole fizyczne, za pośrednictwem którego następuje wzajemne oddziaływanie obiektów fizycznych o właściwościach elektrycznych i
Bardziej szczegółowoLinia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej
Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej 1. Wstęp Pojemność kondensatora można obliczyć w prosty sposób znając wartości zgromadzonego na nim ładunku i napięcia między okładkami: Q
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoObliczanie indukcyjności cewek
napisał Michał Wierzbicki Obliczanie indukcyjności cewek Indukcyjność dla cewek z prądem powierzchniowym Energia zgromadzona w polu magnetycznym dwóch cewek, przez uzwojenia których płyną prądy I 1 i I
Bardziej szczegółowoRóżniczkowe prawo Gaussa i co z niego wynika...
Różniczkowe prawo Gaussa i co z niego wynika... Niech ładunek będzie rozłożony w objętości V z ciągłą gęstością ρ(x,y,z). Wytworzone przez ten ładunek pole elektryczne będzie również zmieniać się w przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyznaczanie składowej poziomej natężenia pola magnetycznego Ziemi za pomocą busoli stycznych
Ćwiczenie E12 Wyznaczanie składowej poziomej natężenia pola magnetycznego Ziemi za pomocą busoli stycznych E12.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości składowej poziomej natężenia pola
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 15 WŁASNOŚCI MAGNETYCZNE MAGNESÓW TRWAŁYCH
WYKŁAD 15 WŁASNOŚCI AGNETYCZNE AGNESÓW TRWAŁYC Przy wzbudzaniu pola magnetycznego za pomocą magnesów trwałych występuje pewna specyfika, związana z występowaniem w badanym obszarze maszyny zarówno źródła
Bardziej szczegółowoIndukcyjność. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Indukcyjność Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 2019 Indukcyjność Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Powszechnie stosowanym urządzeniem, w którym wykorzystano zjawisko indukcji elektromagnetycznej
Bardziej szczegółowoMomentem dipolowym ładunków +q i q oddalonych o 2a (dipola) nazwamy wektor skierowany od q do +q i o wartości:
1 W stanie równowagi elektrostatycznej (nośniki ładunku są w spoczynku) wewnątrz przewodnika natężenie pola wynosi zero. Cały ładunek jest zgromadzony na powierzchni przewodnika. Tuż przy powierzchni przewodnika
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne
Fale elektromagnetyczne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Plan wykładu Spis treści 1. Analiza pola 2 1.1. Rozkład pola...............................................
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)
Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek
Bardziej szczegółowoPodstawy elektromagnetyzmu. Wykład 2. Równania Maxwella
Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 2 Równania Maxwella Prawa Maxwella opisują pola Pole elektryczne... to zjawisko występujące w otoczeniu naładowanych elektrycznie obiektów lub jest skutkiem zmiennego
Bardziej szczegółowoStrumień Prawo Gaussa Rozkład ładunku Płaszczyzna Płaszczyzny Prawo Gaussa i jego zastosowanie
Problemy elektrodynamiki. Prawo Gaussa i jego zastosowanie przy obliczaniu pól ładunku rozłożonego w sposób ciągły. I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku 19 marca 2012 Nowe spojrzenie na prawo Coulomba
Bardziej szczegółowoautor: Włodzimierz Wolczyński rozwiązywał (a)... ARKUSIK 26 MAGNETYZM I ELEKTROMAGNETYZM. CZĘŚĆ 1
autor: Włodzimierz Wolczyński rozwiązywał (a)... ARKUSIK 26 MAGNETYZM I ELEKTROMAGNETYZM. CZĘŚĆ 1 Rozwiązanie zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania Zadanie 1 1 punkt TEST JEDNOKROTNEGO
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoWyznaczanie stosunku e/m elektronu
Ćwiczenie 27 Wyznaczanie stosunku e/m elektronu 27.1. Zasada ćwiczenia Elektrony przyspieszane w polu elektrycznym wpadają w pole magnetyczne, skierowane prostopadle do kierunku ich ruchu. Wyznacza się
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 43: HALOTRON
Wydział PRACOWNIA FIZYCZNA WFiIS AGH Imię i nazwisko 1. 2. Temat: Data wykonania Data oddania Zwrot do popr. Rok Grupa Zespół Nr ćwiczenia Data oddania Data zaliczenia OCENA Ćwiczenie nr 43: HALOTRON Cel
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Pole magnetyczne przewodników z prądem
Rozdział 4. Pole magnetyczne przewodników z prądem 2018 Spis treści Prawo Ampere'a Zastosowanie prawa Ampere'a - prostoliniowy przewodnik Zastosowanie prawa Ampere'a - cewka Oddziaływanie równoległych
Bardziej szczegółowoTeoria Pola Elektromagnetycznego
Teoria Pola Elektromagnetycznego Wykład 3 Pole elektryczne w środowisku przewodzącym 19.05.2006 Stefan Filipowicz 3.1. Prąd i gęstość prądu przewodzenia Jeżeli w przewodniku istnieje pole elektryczne,
Bardziej szczegółowoWymiana ciepła. Ładunek jest skwantowany. q=n. e gdzie n = ±1, ±2, ±3 [1C = 6, e] e=1, C
Wymiana ciepła Ładunek jest skwantowany ładunek elementarny ładunek pojedynczego elektronu (e). Każdy ładunek q (dodatni lub ujemny) jest całkowitą wielokrotnością jego bezwzględnej wartości. q=n. e gdzie
Bardziej szczegółowoPrawo Biota-Savarta. Autorzy: Zbigniew Kąkol Piotr Morawski
Prawo Biota-Savarta Autorzy: Zbigniew Kąkol Piotr Morawski 2018 Prawo Biota-Savarta Autorzy: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski Istnieje równanie, zwane prawem Biota-Savarta, które pozwala obliczyć pole B
Bardziej szczegółowoPotencjalne pole elektrostatyczne. Przypomnienie
Potencjalne pole elektrostatyczne Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://webmitedu/802t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/indexhtm Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide03pdf
Bardziej szczegółowoIndukcja elektromagnetyczna. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Indukcja elektromagnetyczna Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Strumień indukcji magnetycznej Analogicznie do strumienia pola elektrycznego można
Bardziej szczegółowoWyznaczanie przenikalności magnetycznej i krzywej histerezy
Ćwiczenie 13 Wyznaczanie przenikalności magnetycznej i krzywej histerezy 13.1. Zasada ćwiczenia W uzwojeniu, umieszczonym na żelaznym lub stalowym rdzeniu, wywołuje się przepływ prądu o stopniowo zmienianej
Bardziej szczegółowoMAGNETOSTATYKA. Zakład Elektrotechniki Teoretycznej Politechniki Wrocławskiej, I-7, W-5
MAGNETOSTATYKA 5.1. Wyznaczyć natęŝenie pola magnetycznego H, indukcję B oraz potencjał wektorowy A w punkcie P jak na rysunkach a) i). Przez przewody o podanych kształtach płynie prąd stały. Środowiskiem
Bardziej szczegółowoElektrodynamika. Część 5. Pola magnetyczne w materii. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.
Elektrodynamika Część 5 Pola magnetyczne w materii yszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 6 Pola magnetyczne w materii 3 6.1 Magnetyzacja.......................
Bardziej szczegółowoH a. H b MAGNESOWANIE RDZENIA FERROMAGNETYCZNEGO
MAGNESOWANIE RDZENIA FERROMAGNETYCZNEGO Jako przykład wykorzystania prawa przepływu rozważmy ferromagnetyczny rdzeń toroidalny o polu przekroju S oraz wymiarach geometrycznych podanych na Rys. 1. Załóżmy,
Bardziej szczegółowoLaboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów
FORMOWANIE SIĘ PROFILU PRĘDKOŚCI W NIEŚCIŚLIWYM, LEPKIM PRZEPŁYWIE PRZEZ PRZEWÓD ZAMKNIĘTY Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie analiza formowanie się profilu prędkości w trakcie przepływu płynu przez
Bardziej szczegółowoOddziaływanie wirnika
Oddziaływanie wirnika W każdej maszynie prądu stałego, pracującej jako prądnica lub silnik, może wystąpić taki szczególny stan pracy, że prąd wirnika jest równy zeru. Jedynym przepływem jest wówczas przepływ
Bardziej szczegółowoMECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH
dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
Bardziej szczegółowoMAGNETYZM. PRĄD PRZEMIENNY
Włodzimierz Wolczyński 47 POWTÓRKA 9 MAGNETYZM. PRĄD PRZEMIENNY Zadanie 1 W dwóch przewodnikach prostoliniowych nieskończenie długich umieszczonych w próżni, oddalonych od siebie o r = cm, płynie prąd.
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4 WYZNACZANIE INDUKCYJNOŚCI WŁASNEJ I WZAJEMNEJ
Ćwiczenie 4 WYZNCZNE NDUKCYJNOŚC WŁSNEJ WZJEMNEJ Celem ćwiczenia jest poznanie pośrednich metod wyznaczania indukcyjności własnej i wzajemnej na podstawie pomiarów parametrów elektrycznych obwodu. 4..
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne. Gradient pola. Gradient pola... Gradient pola... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż. Ireneusz Owczarek 2013/14
dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2013/14 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Gradient pola Gradient funkcji pola skalarnego ϕ przypisuje każdemu punktowi
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 5 Pola magnetyczne w materii Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 5 Pola magnetyczne w materii Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 6 Pola magnetyczne w materii 3 6.1 Magnetyzacja.....................
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 8
Podstawy fizyki wykład 8 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Ładunek elektryczny Grecy ok. 600 r p.n.e. odkryli, że bursztyn potarty o wełnę przyciąga inne (drobne) przedmioty. słowo
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę
Bardziej szczegółowo2. Wstęp do analizy wektorowej
2. Wstęp do analiz wektorowej 2.1. Pojęcia podstawowe Wielkości wektorowe (1) Wektorem (P) w punkcie P trójwmiarowej przestrzeni euklidesowej nazwam uporządkowan zbiór trzech liczb (skalarów, składowch
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoSpis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa
Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia
Bardziej szczegółowoPrawa Maxwella. C o p y rig h t b y p lec iu g 2.p l
Prawa Maxwella Pierwsze prawo Maxwella Wyobraźmy sobie sytuację przedstawioną na rysunku. Przewodnik kołowy i magnes zbliżają się do siebie z prędkością v. Sytuację tę można opisać z punktu widzenia dwóch
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni
Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)
Bardziej szczegółowoWektory, układ współrzędnych
Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.
Bardziej szczegółowoWyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym
Ćwiczenie 11B Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym 11B.1. Zasada ćwiczenia Na zamkniętą pętlę przewodnika z prądem, umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym, działa skręcający
Bardziej szczegółowoŁadunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl
Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania Pole elektryczne Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunek punktowy Ładunek punktowy (q) jest to wyidealizowany model, który zastępuje rzeczywiste naelektryzowane
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 41: Busola stycznych
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 41: Busola stycznych Cel ćwiczenia: Wyznaczenie składowej poziomej ziemskiego pola magnetycznego. Literatura [1] Kąkol Z., Fizyka dla inżynierów, OEN Warszawa,
Bardziej szczegółowoTeoria pola elektromagnetycznego
Teoria pola elektromagnetycznego Odpowiedzialny za przedmiot (wykłady): prof. dr hab. inż. Stanisław Gratkowski Ćwiczenia i laboratoria: dr inż. Krzysztof Stawicki ks@zut.edu.pl e-mail: w temacie wiadomości
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA II. 3. Magnetostatyka. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA II 3. Magnetostatyka Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/ POLE MAGNETYCZNE Elektryczność zaobserwowana została
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15
WYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15 Fundamentalne Zasady Zachowania/Zmienności w Mechanice mówią nam co dzieję się z: masą pędem krętem (momentem pędu)
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowo[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]
Bardziej szczegółowoPrąd przemienny - wprowadzenie
Prąd przemienny - wprowadzenie Prądem zmiennym nazywa się wszelkie prądy elektryczne, dla których zależność natężenia prądu od czasu nie jest funkcją stałą. Zmienność ta może związana również ze zmianą
Bardziej szczegółowoPOLE MAGNETYCZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYCZNEGO. Wykład 9 lato 2016/17 1
POLE MAGNETYZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYZNEGO Wykład 9 lato 2016/17 1 Definicja wektora indukcji pola magnetycznego F q( v) Jednostką indukcji pola jest 1T (tesla) 1T=1N/Am Pole magnetyczne zakrzywia tor ruchu
Bardziej szczegółowoWzór Żurawskiego. Belka o przekroju kołowym. Składowe naprężenia stycznego można wyrazić następująco (np. [1,2]): T r 2 y ν ) (1) (2)
Przykłady rozkładu naprężenia stycznego w przekrojach belki zginanej nierównomiernie (materiał uzupełniający do wykładu z wytrzymałości materiałów I, opr. Z. Więckowski, 11.2018) Wzór Żurawskiego τ xy
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE
Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je
Bardziej szczegółowoWyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym
Ćwiczenie E6 Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym E6.1. Cel ćwiczenia Na zamkniętą pętlę przewodnika z prądem, umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym, działa skręcający moment
Bardziej szczegółowoZastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D
Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia
Bardziej szczegółowoROK SZKOLNY 2017/2018 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY:
ROK SZKOLNY 2017/2018 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY: KLASA II GIMNAZJUM Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je zatem opanować
Bardziej szczegółowoZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU
Matematyka na czasie Program nauczania matematyki w gimnazjum ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ I z dn. 23 grudnia 2008 r. Autorzy: Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU Wymagania edukacyjne
Bardziej szczegółowo