MAGNETOSTATYKA. Zakład Elektrotechniki Teoretycznej Politechniki Wrocławskiej, I-7, W-5

Transkrypt

1 MAGNETOSTATYKA 5.1. Wyznaczyć natęŝenie pola magnetycznego H, indukcję B oraz potencjał wektorowy A w punkcie P jak na rysunkach a) i). Przez przewody o podanych kształtach płynie prąd stały. Środowiskiem jest próŝnia lub powietrze (µ=µ 0 ). W przypadku d) przyjąć a=20 cm, I=5 A. (Odpowiedź: w punkcie P(0,0,0) indukcja B=0, T). Copyright , Politechnika Wrocławska. All rights reserved. 1

2 5.2. Ceramiczna kula o promieniu R została owinięta bardzo cienkim przewodem tak, Ŝe płaszczyzny poszczególnych zwojów są do siebie równoległe. Zwoje są ułoŝone b. gęsto i pokrywają pojedynczą warstwą całą powierzchnię kuli. Podać wyraŝenie określające indukcję magnetyczna w środku kuli, jeŝeli przez uzwojenie o z zwojach płynie prąd I Podać wyraŝenie określające indukcję magnetyczna w środku równomiernie naładowanej sfery metalowej (b. cienka powłoka) obracającej się dookoła średnicy z prędkością kątową ω, jeŝeli sumaryczny ładunek kuli wynosi Q, a jej promień R Cienkie przewody kołowe ułoŝono ciasno, koncentrycznie na płaszczyźnie. Przez kaŝdy przewód płynie prąd o natęŝeniu I. Wyznaczyć natęŝenie pola magnetycznego H w środku pierścienia R1 r R2, jeŝeli liczba przewodów wynosi z Kołowy zwój jednorodny o promieniu R został zgięty wzdłuŝ średnicy tak, Ŝe płaszczyzny półokręgów tworzą kąt 90 o. Zwój jest zasilany prądem stałym za pomocą dwóch prostoliniowych odcinków przewodów wyprowadzonych wzdłuŝ osi zgięcia. Obliczyć indukcję B w środku zwoju. Dane: I=1A, R=20 cm. Środowisko: próŝnia Wewnątrz jednorodnej, przewodzącej powierzchni kuli, wzdłuŝ średnicy koła wielkiego, od punktu A do B przeciągnięty jest przewód. Prąd o natęŝeniu I płynie przewodem od B do A, następnie po powierzchni kuli do punktu B. Wyznaczyć natęŝenie pola H w dowolnym punkcie wewnątrz i na zewnątrz kuli Obliczyć indukcję B w punkcie A od bardzo długiej linii dwuprzewodowej z prądem I=2000 A. Dane: d=0,8 m; b = 0,2 m, µ=µ 0. (Określić miarę i kierunek wektora B) Wykazać, Ŝe w b. długim przewodzie walcowym o dowolnym kształcie, przekroju i stałej konduktywności, umieszczonym w próŝni, gęstość prądu stałego jest równomierna. (Uwzględnić bezwirowość i bezźródłowość pola oraz skorzystać z rozwiązania problemu Neumanna dla potencjału w obszarze przekroju). Copyright , Politechnika Wrocławska. All rights reserved. 2

3 5.9. Określić indukcję B wewnątrz i na zewnątrz bardzo długiego przewodu cylindrycznego o promieniu R o prądzie stałym I. Przyjąć, Ŝe przenikalność magnetyczna materiału przewodu i otaczającego go środowiska jest µ 0. Konduktywność przewodu jest stała a otaczającego środowiska równa zero. Wykonać wykres B w funkcji odległości od osi przewodu. Dane: I=100 A, R=l cm. RozwaŜyć zadanie dla przewodu rurowego o promieniu wewnętrznym R w =0,5 cm (otwór koncentryczny) i promieniu zewnętrznym R z =1cm Przeanalizować pola magnetyczne wytworzone przez dwa bardzo cienkie i bardzo długie równoległe przewody, przez które przepływają jednakowe prądy. a) w kierunku zgodnym, b) w kierunku przeciwnym W płaszczyźnie 0XY dany jest rozkład powierzchniowej gęstości prądu j s =j s 1y (j s = const). Określić wartość natęŝenia pola magnetycznego H w dowolnym punkcie P(x,y,z); Z 0. Wyznaczyć potencjał magnetyczny i wektorowy; (µ=µ 0 ). NaleŜy zwrócić uwagę na wymiar [j s ]=A/m Pole wektora gęstości prądu j opisuje (we współrzędnych walcowych) funkcja przestrzeni. 2 j=const r 1z. Znaleźć pole magnetyczne w całej Wyprowadzić wzór określający indukcję magnetyczną, jaką wytwarza na swej osi solenoid, tzn. cewka w postaci kołowego cylindra z jedną warstwą zwojów ciasno nawiniętych bardzo cienkim drutem. Cewka ma promień R, długość l, liczbę zwojów z. Prąd przepływający przez cewkę wynosi I. Środowisko: µ 0. Wskazówka: posłuŝyć się zasadą superpozycji, składając indukcję od poszczególnych zwojów. Sporządzić wykresy B(h)/B o, gdzie B o oznacza indukcję w punkcie środkowym cewki, a h - odległość od tego punktu, mierzona wzdłuŝ osi cewki (dla R), l=0,02; 0,l; 0, W celu wytworzenia prawie jednorodnego pola magnetycznego w dość duŝym obszarze często stosuje się dwie jednakowe cewki, ustawione współosiowo w odległości l równej średniemu promieniowi R cewki; Długość osiowa i szerokość przekroju uzwojenia są małe w porównaniu ze średnim promieniem R. Wyznaczyć indukcję magnetyczną w punktach A i B (rysunek 5.14), jeŝeli R=10 cm, liczba zwojów kaŝdej cewki Z=100, a natęŝenie prądu I=10 A, środowisko: µ 0. Wskazówka: kaŝdą cewkę zastąpić równowaŝnym jednym zwojem Izolacja kabla współosiowego jest niejednorodna pod względem właściwości magnetycznych. Dane: R 1 < r < R 2 ; µ r1 =5,R 2 < r < R 2, µ r2 =2, R 1 =1 mm, R 2 =2 mm, R 3 =4 mm. Obliczyć indukcję B, natęŝenie H oraz magnetyzację M pola magnetycznego w odległości r 1 =1,5 mm i r 2 =3 mm od osi kabla, jeŝeli wiadomo, Ŝe przez kabel przepływa prąd I = 6A (rysunek 5.15). Copyright , Politechnika Wrocławska. All rights reserved. 3

4 5.16. Określić strukturę linii pola indukcji B wytworzonego przez dipol magnetyczny o momencie m. Naszkicować linie pola B w głównych płaszczyznach przechodzących przez dipol; (µ=µ 0 ) W wyniku awarii (zwarcia) w rozdzielni energetycznej przepłynął prąd zwarciowy I=100 ka przez równoległe szyny zbiorcze umieszczone w odległości 5 cm od siebie. Określić siłę (na l metr bieŝący przewodów), z jaką przewody te działają na siebie. Jakie mogą być efekty takiej awarii? Ładunek punktowy Q porusza się ze stałą prędkością v=v iy wzdłuŝ osi Y. Obliczyć wektory H, B, A w punkcie P 0 (x 0,0,0) w funkcji czasu t, jeśli w chwili t=0 ładunek znajdował się w punkcie P(0,0,0) a prędkość v jest znacznie mniejsza od prędkości światła. Wskazówka: przyjąć Idl=Qv oraz µ=µ Obliczyć strumień wektora B przez powierzchnię czaszy kulistej umieszczonej w jednorodnym polu o indukcji B=0,125 T. Promień krzywizny czaszy R=0,2 m, promień podstawy czaszy r=0,1 m a zewnętrzna normalna do podstawy czaszy tworzy z kierunkiem linii wektora B kąt α= W polu bardzo długiego przewodu prostoliniowego z prądem I=100 A umieszczono prostokątną ramkę. Ramka leŝy w płaszczyźnie przechodzącej przez oś przewodu. Obliczyć strumień wektora B przez ramkę (µ=µ 0 ). Dane: h=100 cm, b=25 cm, a=24 cm (rysunek 5.20) Obliczyć strumień magnetyczny objęty przez trójkątną ramkę, umieszczoną w polu równoległych, bardzo długich przewodów. Ramka leŝy w płaszczyźnie przewodów, (µ=µ 0 ). Dane: I 1 =I 2 = 100 A; a=2m; b=lm, c=2m. Copyright , Politechnika Wrocławska. All rights reserved. 4

5 5.22. W polu linii dwuprzewodowej umieszczono prostokątną ramkę o wymiarach 2a h. Oś symetrii ramki leŝy w płaszczyźnie linii w jednakowej odległości od przewodów linii. Płaszczyzna ramki tworzy kąt α z płaszczyznę linii. Obliczyć strumień objęty przez ramkę jako funkcję kąta α Wyznaczyć indukcję magnetyczną w szczelinie magnesu trwałego. Dane: l=10 cm, δ=l mm, charakterystyka magnesowania -6 5 A B= H; 5 10 H 0 m ; [B]=1 T (Zasada działania przyrządu magnetoelektrycznego): W radialnym polu magnetycznym w szczelinie obwodu magnetycznego, B=0,8 T. W szczelinie tej umieszczona jest ramka o z=50 zwojach; Moment zwrotny M spiralnych spręŝynek przyrządu jest proporcjonalny do wychylenia od połoŝenia początkowego. Obliczyć kąt, o jaki wychyli się ramka z połoŝenia początkowego, jeŝeli przyrząd zostanie włączony w obwód z prądem I=1 ma. Długość ramki l=3 cm, szerokość a=2 cm. Moment zwrotny przyrządu M Z =0,004(1+α) przy czym [M Z ]=l G cm a [α]=1 o. (Odp. ok. 60 o ) W kwadratowej ramce o boku "a" wykonanej z cienkiego przewodu płynie prąd o natęŝeniu I. Posługując się potencjałem wektorowym A, obliczyć wektor indukcji B w punkcie połoŝonym na osi ramki w odległości x od jej środka (µ=µ 0 ). RozwaŜyć równieŝ przypadek gdy zamiast ramki jest pętla kołowa o promieniu a. Wskazówka: pozostawiając wyraŝenie na potencjał w postaci całkowej, skorzystać z zaleŝności: b b f ( x, y) dy= f ( x, y) dy i lim f ( x, y) dy= lim f ( x, y) dy x x x c x c a a Copyright , Politechnika Wrocławska. All rights reserved. 5

6 5.26. Obliczyć wektory B i H wewnątrz i na zewnątrz bardzo długiego przewodu cylindrycznego o promieniu R=l cm. Przez przewód płynie prąd I=100 A. Wykonać wykresy B(r) i H(r) dla a) µ rw =1; µ rz =1 b) µ rw =10; µ rz = Przeanalizować rozkład pola magnetycznego H we wnętrzu i na zewnątrz kabla koncentrycznego. Przyjąć niezerową grubość płaszcza, przez który prąd powraca Bardzo długi przewód walcowy o promieniu "a" ma niecentralnie połoŝone walcowe wydrąŝenie o promieniu "b". Oś tego wydrąŝenia jest równoległa do osi przewodu; odległość między osiami d < a-b. Przez przewód przepływa prąd o natęŝeniu I. Wykazać, Ŝe wewnątrz wydrąŝenia pola magnetyczne jest jednorodne, gdy µ w =µ z =µ Wychodząc z warunków brzegowych dla pola magnetycznego, wyprowadzić prawo załamania linii pola magnetycznego (tzw. prawo tangensów) na granicy środowisk o róŝnych przenikalnościach magnetycznych. Uzasadnić fakt, Ŝe linie B przy powierzchni ferromagnetyka wchodzą prawie prostopadle do jego powierzchni Rdzeń toroidalny o średnim promieniu R=3 cm i promieniu przekroju r = 0,5 cm wykonano z blachy elektrotechnicznej 4% Si o krzywej magnesowania jak na rysunku. Na rdzeniu nawinięto jednowarstwowe uzwojenia o z=200 zwojach i prądzie I=0,6 A. Obliczyć indukcję B w rdzeniu i porównać z wartością dla rdzenia wykonanego z ceramiki (µ =µ 0 ) W rdzeniu z zadania poprzedniego naleŝy wytworzyć pole magnetyczne o indukcji B =l T. Obliczyć tzw. "amperozwoje" tj. iloczyn I z, niezbędne dla wytworzenia indukcji o podanej wartości Na rdzeniu ferromagnetycznym o wymiarach jak na rysunku nawinięto uzwojenie o z=800 zwojach. Rdzeń wykonano z blachy o krzywej magnesowania podanej w zadaniu Dane: a=2 cm, b=8 cm, grubość h=3cm, I=0,15 A. Obliczyć indukcję w rdzeniu i strumień przyjmując, Ŝe wymiary gabarytowe przekroju rdzenia a a są równe powierzchni czynnej przekroju rdzenia (Odp. B=1,20 T; φ=0,576 Wb). Copyright , Politechnika Wrocławska. All rights reserved. 6

7 5.33. W rdzeniu z zadania poprzedniego wytworzyć indukcję B=1 T. Obliczyć niezbędne amperozwoje. (Odp. Iz 61,5 A) Na rdzeniu ferromagnetycznym o charakterystyce magnesowania jak w zad nawinięto uzwojenie o z zwojach. Geometrię rdzenia przedstawiono na rysunku Obliczyć amperozwoje niezbędne do wytworzenia w rdzeniu strumienia magnetycznego φ= Wb. Dane: a=2 cm, b=8 cm, c=l cm, d=6 cm, h=2,5 cm. (Odp. Iz 65,7 A) Określić pole magnetyczne (H, B, φ) w rdzeniu z zadania poprzedniego. JeŜeli "siła magnetomotoryczna" Iz=50 A. (Odp. φ= 2, Wb) W połowie wysokości prawej kolumny obwodu magnetycznego z zadania 5.33 wycięto (w poprzek kolumny) szczelinę o szerokości δ=3 mm. Obliczyć amperozwoje niezbędne do wytworzenia strumienia magnetycznego φ=0,576 Wb w rdzeniu i porównać z amperozwojami w zad (Odp. Iz 2990 A/ Określić pole magnetyczne w rdzeniu i w szczelinie powietrznej z poprzedniego zadania jeŝeli amperozwoje (siła magnetomotoryczna) wynosi Iz = 2400 A (Odp. H rdz. =275 A/m). Copyright , Politechnika Wrocławska. All rights reserved. 7