Podstawy elektromagnetyzmu. Wykład 12. Energia PEM

Transkrypt

1 Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 12 Energia PEM

2 Energia pola elektromagnetycznego Pole elektryczne W E = V w E dv w E = E D 2 = E 2 2 = D2 2 Pole magnetyczne Całkowita energia W = V w E w H dv = = 1 E D H B dv = 2 V = 1 2 E 2 B 2 dv V Objętościowa gęstość energii EM W H = V w H dv w H = H B 2 = H 2 2 = B2 2 w= E D 2 H B 2 Dotyczy to tylko materiałów liniowych i niedyspersyjnych D= E B= H Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 2

3 Zmiana energii w czasie Przeanalizujmy pochodną energii po czasie W t = w E V w H t t dv =1 2 V = V E E t H H t dv = = V E H E 2 H E dv = E H H E= E H E 2 B2 t t dv = Tożsamość dla wektorów = V E 2 d V V E H d V = Twierdzenie Stokesa R-nia Maxwella H = E E t E = H E t E= H t H t = E = V E 2 d V V E H d S Pierwszy składnik prawej strony to energia zamieniająca się w ciepło. Drugi składnik odpowiada za zmianę energii w (małej) objętości. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 3

4 Zmiana energii w czasie (kontynuacja) Interpretacja Moc przekształcająca się w ciepło. Zmiana jest ujemna, gdyż energia - jest tracona (fdla PEM;-) S W t = V H E w E t S=E H w H t dv = V E 2 d V V E H d S Moc wypromieniowywana przez brzeg małej objętości V. Jest ujemna lub dodatnia w zależności od znaku (zwrotu) wektora E H względem wektora normalnego do V (brzegu V). Wektor Poyntinga reprezentuje gęstość strumienia mocy EM. Jednostki: W /m 2 Wektor Poyntinga został wynaleziony równolegle przez Johna Henry'ego Poynting, Olivera Heaviside i Nikolaja Umowa. Umow opublikował Pracę 10 lat wcześniej, niż Poynting, ale pisał o transferze energii w ciałach stałych i cieczach. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 4

5 Przykład Prosty, długi przewód z prądem stałym Wewnątrz: E wzdłuż przewodu H wokół osi S do wnętrza przewodu H S S E H I J E H S=E H E S Na zewnątrz: E od przewodu na zewnątrz H dookoła przewodu S równoległy do przewodu Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 5

6 Przykład Długi prosty przewód z prądem przemiennym H t (kontynuacja) S t =E t H t E t i S t S t j t E t S t E t Wewnątrz: E wzdłuż przewodu H wokół osi S do wnętrza przewodu H t H t Zwróć uwagę, że E i H zmieniają zwrot, gdy zmienia się kierunek prądu, ale S zawsze zachowuje kierunek. Na zewnątrz: E od przewodu na zewnątrz H dookoła przewodu S równoległy do przewodu Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 6

7 Przykład Długi prosty przewód ze stałym prądem I (kontynuacja) Wewnątrz: J =J z, J = I R 2 E=E z, E= J = I R 2 H =H r, H r = S=S r r=e H r = I r 2 R 2 I 2 r 2 2 R 4 Strumień S przez zewnętrzną pow. przewodu O S d O=2 R l S R = = 2 R l I 2 R 2 2 R 4 =I 2 l R 2 l R 2 rezystancja walca (R,l) Strumień wektora Poyntinga przez zewnętrzną powierzchnię jest równa mocy zamieniającej się w przewodzie w ciepło. Energia wnika do wnętrza metalu (przewodnika) i zamienia się tam w ciepło. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 7

8 Wektor Poyntinga w kablu koncentrycznym Strumień wektora S przez przekrój poprzeczny izolacji R 2 R 1 H E H = I 2 r dp=s z 2 r dr P= R1 R 2 dp= E r = S z = U r ln R 2 / R 1 U I 2 r 2 ln R 2 / R 1 U I ln R 2 / R 1 R 2 1 R 1 r dr= = U I ln R 2 / R 1 ln R 2 / R 1 Strumień wektora Poyntinga przez poprzeczny przekrój izolacji jest równy mocy przekazywanej kablem. P=U I Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 8

9 Kabel koncentryczny H = (kontynuacja) Strumień S przez zewnętrzną powierzchnię żyły: I 2 R 1 E Z = J = I R R 2 S R 1 =E R 1 H R 1 R 1 H E S = I R 1 3 O S d O=2 R 1 l S=I 2 l 2 R 1 Ten sam wynik otrzymamy dla przewodzącego ekranu: energia wnika w przewodnik i zmienia się tam w ciepło. Jak poprzednio, strumień wektora Poyntinga jest równy mocy zamienianej na ciepło. Energia wnika w przewodnik i zmienia się tam w ciepło. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 9

10 Wektor Poyntinga dla pól harmonicznych S= 1 2 E H* =P j Q P=Re 1 2 s E H * ds Q=Im 1 2 s E H * ds Moc w obwodzie elektrycznym S=P j Q Zespolony wektor Poyntinga pozwala wyznaczać parametry obwodowe dla przebiegów sinusoidalnych. Z = 1 [ 1 I 2 2 E H * ] ds s R= 1 [ I Re 1 2 X = 1 I 2 [ 2 s E H * ds ] Im 1 2 s E H * ds] Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 10

11 Siły mechaniczne Pole elektryczne f e = E 1 2 E 2 Pole magnetyczne f m =J B 1 2 H 2 Pole elektromagnetyczne f em = f e f m p t p= E H = 1 c 2 E H Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 11

12 Efekt naskórkowości Prostokątny przewodnik o wymiarach a >> b w żłobku ferromagnetycznym Jeżeli założymy, że ferromagnetyk się nie nasyca, a s >> b, to możemy przyjąć uproszczony model polal: H = [ H x (y), 0, 0 ] J = [ 0,0,J z (y) ] Rozwiązanie takiego modelu pokazuje, że prąd jest wypierany ze żłobka i płynie tylko w części przewodu położonej blisko pow. żłobka. L H dl=i b H a =I r 1000 H 0 2 H y 2 H y =0 y 2 H 0 =0, H a = I b H =J J z y = H x y H y = J y = I sinh y bsinh a I cosh y b sinh a Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 12

13 Model numeryczny Model jest znacznie bardziej realistyczny, ale płynące z niego wnioski są podobne: prąd jest wypierany ku górze i płynie tylko blisko pow, żłobka. Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 13

14 Wpływ częstotliwości Zwiększenie częstotliwości uwypukla efekt: dla dużych częstotliwości można przyjąć, że prąd płynie tylko po powierzchni przewodu. Zjawisko jest wykorzystywane przy hartowaniu powierzchniowym oraz w testowaniu nieniszczącym (metody wieloczęstotliwościowe). Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 14

15 Przewód w powietrzu Jeżeli wyjmiemy przewód ze żłobka, to zjawisko staje się symetryczne: prąd jest wypierany w górę i w dół (oczywiście także na lewo i prawo, ale to jest mniej widoczne, gdyż a >> b. y J Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 15

16 Przewód cylindryczny W przewodzie cylindrycznym prąd jest wypierany osiowosymetrycznie, ku powierzchni cylindra. d 2 J d r 2 1 r d J d r j J =0 Funkcja Bessela J r = I j J 0 j 2 R J 1 j Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 16

17 Silny efekt naskórkowości uproszczenia Kiedy możemy go stosować? Grubość przewodnika >> Głębokość wnikania Jak? Analizujemy falę EM wnikającą w przewodnik. Głębokość wnikania: d = 2 R r H r =H s e H s = I 2 R J r =H s e j /4 R r e Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 17

18 Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 18 Efekt zbliżenia

19 Ekran elektromagnetyczny Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 19

20 Ekran elektromagnetyczny (kontynuacja) Podstawy elektromagnetyzmu, Wykład 12, slajd 20