WYKŁAD 2 INDUKOWANIE SIŁY ELEKTROMOTORYCZNEJ

Transkrypt

1 WYKŁAD DUKOWA SŁY KTOMOTOYCZJ.. Źródłowy i odbiornikowy system oznaczeń. ozpatrzmy elementarny obwód elektryczny prądu stałego na przykładzie ładowania akumulatora samochodowego przedstawiony na rys... Przypuśćmy, że w jednym samochodzie oznaczonym indeksem o jest akumulator częściowo rozładowany a drugi samochód określony indeksem z ma sprawny akumulator. Siły elektromotoryczne akumulatorów są równe różnicy odpowiednich potencjałów e z = V z V b > e o = V o V b (.) Dla uproszczenia zapisu ustala się V b =0 oraz dodatnie wartości V z i V o. atężenie prądu płynącego pomiędzy akumulatorami jest więc równe = V z V o z + o (.) gdzie z, o są rezystancjami wewnętrznymi obu akumulatorów. Zauważmy, że zależność (.) definiuje również dodatni kierunek obiegu obwodu - tu zgodnie z ruchem wskazówek zegara. V a > 0 V z V o e z z U ab o e o B 0 B 0 V b = 0 ys... lementarny obwód prądu stałego bez udziału pola magnetycznego B. apięcie pomiędzy przewodami łączącymi oba akumulatory U ab wyznaczyć można z dwu zależności opisujących prawo Kirchhofa dla części powyższego obwodu z + U ab = +e z o U ab = e o (.3)

2 Prowadzi to do wzorów dających oczywiście ten sam wynik U ab = V z U ab = +e z z U ab = +e o + o (.4) o z + V z + o (.5) o z + o Pierwsze z równań (.4) definiuje napięcie na zaciskach dwójnika elektrycznego w źródłowym systemie oznaczeń, a drugie w odbiornikowym. Zauważmy tu, że w źródle prąd płynie zgodnie z działającą w nim siłą elektromotoryczną a w odbiorniku przeciwnie. To samo rozumowanie można przeprowadzić w bardziej ogólny sposób. Całkowa postać prawa Maxwella przy braku pola magnetycznego jest w postaci dl l = 0 (.6) atężenie pola elektrycznego w tych warunkach może być przedstawione za pomocą potencjału jako = V = d dl V (.7) Całkę skierowaną (.6) zastępujemy sumą składników po poszczególnych częściach obwodu. Dla źródła mamy co daje z V dl + V dl + V dl = 0 (.8) b z a a b (V z V b ) + (V a V z ) + (V b V a ) = 0 (.9) Uwzględniając (.) otrzymujemy ostatecznie pierwsze z równań (.4) Dla obwodu odbiornika otrzymuje się kolejno oraz b e z z = U ab (.0) V dl + V dl + V dl = 0 (.) o b a a o

3 (V b V o ) + (V a V b ) + (V o V a ) = 0 (.) Ostatecznie otrzymujemy zależność e o + U ab o = 0 (.3) będącą drugim równaniem (.4). Wykonajmy teraz analizę bardziej złożonego obwodu izolowanej sieci elektrycznej pokazanej na rys., w której mamy prądnicę (prądu stałego lub przemiennego) napędzaną silnikiem spalinowym i odbiornik elektronarzędzie napędzane silnikiem elektrycznym. V a > 0 z e z B 0 B 0 i U ab o e o V b = 0 B 0 ys... okalna sieć elektryczna składająca się z elektromaszynowego źródła i odbiornika energii. Zasadniczą różnicą w stosunku do wcześniej analizowanego przypadku jest inne usytuowanie źródeł/upustów energii. Poprzednio akumulatory były galwanicznie włączone w obwód elektryczny. Obecnie źródłem energii jest wirujący silnik spalinowy wytwarzający na wale moment napędowy a odbiornikiem jest obrabiany przez wirującą tarczę element, który wytwarza odpowiedni moment hamujący elektronarzędzie. Siły elektromotoryczne, zarówno w obwodzie źródła jak i odbiornika, są indukowane poprzez pole magnetyczne o pewnej indukcji B 0. ch obecność w schemacie obwodu ma więc charakter symboliczny, równoważny stwierdzeniu występowania pola magnetycznego. W obszarze, gdzie znajdują się przewody łączące (o pomijalnej rezystancji), zakładamy brak pola magnetycznego i napięcie U ab jest równe jak poprzednio różnicy potencjałów. Drugie prawo Maxwella w postaci całkowej zapisuje się jako l dl = dψ (.4)

4 Dla obwodu źródła całka po zamkniętym konturze skierowanym wzdłuż 0 może być rozbita na dwa składniki: wzdłuż uzwojeń prądnicy na drodze l z i na zewnątrz pomiędzy jej zaciskami. l z dl + U ab = dψ z (.5) atężenie pola elektrycznego w przewodniku jest powiązane z gęstością prądu J zależnością = ρj = ρ i S (.6) gdzie jest rezystywnością, S przekrojem przewodnika, i wartością chwilową prądu elektrycznego. Podstawiając to do (.5) uzyskuje się l z ρ i S dl + U ab = z i + U ab = dψ z = e z (.7) Uzyskaliśmy więc wzór (.0), w którym pojęcie SM powiązano ze zmiennością strumienia magnetycznego skojarzonego wziętą z ujemnym znakiem. Pojęcie to będzie dalej szczegółowo omówione. Wykonując analogiczne działania dla obwodu odbiornika mamy l o dl U ab = dψ o (.8) co prowadzi do zależności o i + dψ o = oi + e o = U ab (.9) Otrzymaliśmy wzór (.3), w którym SM odbiornika e o jest równa pochodnej czasowej strumienia skojarzonego ze znakiem plus przeciwnie niż w przypadku źródła. Podsumowując, stwierdzamy, że zależność wiążąca chwilowe wielkości obwodowe, to jest mierzone na zewnątrz danego urządzenia napięcie u i natężenie prądu elektrycznego i z całkową wielkością magnetycznego strumienia skojarzonego opisującego wewnętrzny rozkład pola magnetycznego, ma postać zależną od przyjętego systemu oznaczeń. Dla opisu źródłowego mamy u = i dψ a dla opisu odbiornikowego zachodzi u = +i + dψ (.0) (.)

5 .. ozwinięcie prawa Faraday a ozpatrujemy układ M cewek skupionych, każda o zwojności m zwojów dowolnie rozmieszczonych w przestrzeni i połączonych szeregowo. Wypadkowa siła elektromotoryczna e w (w opisie odbiornikowym) takiego układu nazywanego w maszynach elektrycznych pasmem cewkowym jest równa M d e w = + m m= gdzie S m - powierzchnia m-tej cewki, Wyrażenie to zapisuje się zazwyczaj jako B ds S m (.) M M e w = + d m B ds = + d Ψ m m= S m m= (.3) gdzie m - strumień skojarzony z m-tą cewką. Zwojności m w poszczególnych cewkach uzwojenia są zazwyczaj takie same = m, m=,,..., stąd wyrażenie określające składowe strumienie skojarzone ( t) m B S m ds (.4) może mieć różny znak w zależności od połączenia cewek i rozkładu przestrzennego pola indukcji rys..3. B B ds > 0 ds B B ds < 0 ds Początek cewki Koniec cewki ys..3. Wpływ położenia cewek względem pola indukcji magnetycznej na znak strumienia skojarzonego

6 Składowe wypadkowego strumienia skojarzonego mogą mieć stałe przesunięcie fazowe (w stosunku do ) rys..4, lub nie - rys..5, w zależności od tego, czy kolejne cewki są umieszczone na tym samym fragmencie obwodu magnetycznego (np. na wybranej kolumnie transformatora) czy też są przesunięte w przestrzeni jak to występuje w maszynach elektrycznych. e 3 3 m ys..4. Strumienie skojarzone wybranych cewek transformatora jednofazowego 3 e 3 m ys..5. Strumienie skojarzone wybranych cewek maszyny synchronicznej W typowych uzwojeniach (gdzie S m =S, m=,...) można zastosować uproszczoną zależność

7 M m m B ds M Sm S B ds (.5) gdzie jest nazywany współczynnikiem uzwojenia, a iloczyn e M (.6) określa tzw. efektywną liczbę zwojów szeregowych w uzwojeniu (paśmie uzwojenia). Zmienność w czasie strumienia skojarzonego (t) z pewnym obwodem o powierzchni S może być wywołana: - zmiennością w czasie prądu i(t), który wywołał ten strumień; - ruchem tego obwodu z prędkością d/ względem zmiennego w przestrzeni pola magnetycznego. Współrzędna jest najczęściej współrzędną kątową w ruchu obrotowym. Stąd siła elektromotoryczna (.3) wynosi e w d ( i, ) d i d ( t) (.7) d t i d t d t Pierwszy składnik nazywa się SM transformacji a drugi SM rotacji. Te składowe siły elektromotorycznej występują zarówno oddzielnie jak i jednocześnie, zależnie od typu urządzenia. W transformatorze gdzie kształt pola jest wymuszony poprzez geometrię rdzenia, mamy do czynienia wyłącznie z SM transformacji. W przypadku maszyny synchronicznej pole wirnika jest wytworzone przez prąd stały, stąd indukowana w stojanie SM powstaje wyłącznie w wyniku ruchu wirnika względem stojana. ależy zwrócić tu uwagę, że strumienie skojarzone i w konsekwencji SM w kolejnych cewkach pasma uzwojenia są przesunięte w czasie, ponieważ cewki te są przesunięte w przestrzeni... ndukcyjność własna i wzajemna. Strumień w kolumnie transformatora o powierzchni S (rys..4) ma praktycznie stałą gęstość w przestrzeni, czyli BS 0 r H S (.8) Stosując prawo Ampere a dla konturu l w chwili gdy sinusoidalny prąd w uzwojeniu wzbudzającym pole (oznaczanym dalej indeksem ) osiąga maksimum mamy 0 r S m (.9) l

8 m reluktancja obwodu magnetycznego. Strumienie skojarzone z obydwoma uzwojeniami wynoszą więc m m m m (.30) indukcyjność własna uzwojenia (); indukcyjność wzajemna uzwojenia () względem (). Siły elektromotoryczne indukowane w obydwu uzwojeniach wynoszą m m m m m m (.3) gdzie pulsacja sieci zasilającej. ależy zwrócić uwagę, że SM w uzwojeniu wtórnym (tutaj G) została obliczona przy pomocy prądu płynącego po stronie pierwotnej. Łącząc (.9) i (.0) Otrzymujemy wzór na przekładnię zwojową (fazową) m m (.3) Komplet wyrażeń dla indukcyjności jest następujący (.33) W liniowych układach zasilanych napięciem sinusoidalnym pojęcie siły elektromotorycznej odpowiada (w odbiornikowym systemie oznaczeń) spadkowi napięcia na reaktancji obwodu d d jt jt e j e j (.3) d t d t

9 .3. Pomiar siły elektromotorycznej ozpatrzmy pomiar siły elektromotorycznej indukowanej po stronie wtórnej transformatora, którą tworzy zwarty zwój zawierający skupioną, dość dużą rezystancję. ezystancja przewodów jest pomijalna. Uzwojenie pierwotne wytwarza w rdzeniu strumień o amplitudzie m. V u(t) i(t) V Fig..3. Pomiar siły elektromotorycznej w transformatorze a. układ pomiarowy b. schemat połączeń. a podstawie prawa Faraday a dla strony wtórnej można napisać d dl i( t) (.4) l apięcie woltomierza () może być określone całkując po dwóch konturach: - zawierającym rezystancję i nieskojarzonym ze strumieniem (t); - zawierającym praktycznie zerową rezystancję przewodów łączących ale skojarzonym ze strumieniem (t) Otrzymamy w pierwszym przypadku u ( t) i( t) 0 (.5a) a w drugim d u ( t) i( t) 0 (.5b) iezależnie które z równań (.5ab) będzie wykorzystane, wartość skuteczna wskazywana przez ten woltomierz jest równa U (.6)

10 Woltomierz () jest w odmiennej sytuacji możliwe są kontury: - zawierający rezystancję i skojarzony ze strumieniem (t); - zawierający praktycznie zerową rezystancję przewodów łączących i nieskojarzony ze strumieniem (t) W pierwszym przypadku otrzymamy a w drugim d u ( t) i( t) (.7a) u ( t) i( t)0 0 (.7b) Ponownie obydwa równania (.7ab) dają ten sam wynik, lecz tym razem wartość skuteczna wskazywana przez woltomierz jest równa U 0 (.8) W zagadnieniach dotyczących napięć indukowanych ich wartość musi być wyznaczana na drodze całkowania uwzględniającej rzeczywisty kształt obwodu, a nie poprzez prostą różnicę potencjałów jak w zagadnieniach elektrostatycznych.