Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I
|
|
|
- Bartłomiej Dziedzic
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I G. Mirkowska & A. Salwicki Instytut Informatyki UKSW salwicki@mimuw.edu.pl przyczynek - 22 czerwca 2017 konferencja PTKwM Rzeszów
2 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Plan 1 Aksjomat instrukcji przypisania, H. Rasiowa w r H. Rasiowa i automatyczne dowodzenie twierdze«3 Lemat Rasiowej i Sikorskiego 4 Lemat R-S w logice algorytmicznej 5 Zasªugi H. Rasiowej dla ±rodowiska informatycznego
3 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Gªówna teza tej prezentacji H. Rasiowa & R. Sikorski Mathematics of metamathematics 1963, PWN, Warszawa 519 stron Wpªyw tej ksi»ki na badania w podstawach matematyki, informatyki i logiki jest olbrzymi. Jeste±my przekonani,»e nast pne pokolenia b d j odkrywa na nowo.
4 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 rozdziaª 1 W r prof. Rasiowa sformuªowaªa twierdzenie, które kilka lat pó¹niej zostaªo nazwane aksjomatem instrukcji przypisania.
5 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Aksjomat instrukcji przypisania W ksi»ce Mathematics of metamathematics na str. 232 znajdujemy takie twierdzenie Twierdzenie 1 Dla ka»dego podstawienia s, dla ka»dej formuªy otwartej α i dla ka»dego warto±ciowania v zmiennych zachodzi równo± α R (s R (v)) = s α R (v). Co to znaczy?
6 Obja±niamy s - jest funkcj ze zbioru zmiennych w zbiór termów, α - jest formuª bez kwantykatorów, sα - wyra»enie powstaj ce z formuªy α przez równoczesne zast pienie wszystkich wyst pie«zmiennych odpowiednimi termami, Przykªad 1 α : xy + 3x 66y 198 > z s : {x := 70 & y := 3} sα : 70 ( 3) ( 3) 198 > z v - jest odwzorowaniem ze zbioru zmiennych w zbiór warto±ci, np. liczb caªkowitych, R - okre±la w jaki sposób rozumiemy funktory np. + i *, oraz predykaty np. = i <. Twierdzenie powy»sze stwierdza przemienno± diagramu. G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
7 diagram,v, α(x/τ, y/ν) 1,0 {x := τ & y := ν} α(x, y),v', Rysunek: α R (s R (v)) = s α R (v) Mówi c po ludzku, warunek α(x, y) zachodzi po wykonaniu instrukcji {x:=τ & y:=ν } tj. w stanie pami ci v zmienionym przez wykonanie tej instrukcji, wtedy i tylko wtedy gdy w pocz tkowym stanie pami ci v zachodzi formuªa α(x/τ, y/ν). Formuª t otrzymuje si przez równoczesne zast pienie wszystkich wolnych wyst pie«zmiennych x i y w α przez termy τ i ν, odpowiednio. G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
8 itd. G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Jak to odczyta? Dla ka»dej realizacji j zyka programowania R i dla ka»dego stanu pami ci v, po wykonaniu instrukcji przypisania x := τ & y := ν zachodzi warunek α(x, y) wtedy i tylko wtedy gdy przed wykonaniem tej instrukcji zachodzi warunek α(x/τ, y/ν). Zapiszemy to w rachunku AL (od 1969) w ten sposób: {x := τ & y := ν}α(x, y) α(x/τ, y/ν) W rachunku Hoare'a (od 1969) zapisuje si to tak U Dijkstry (od 1974) {α(x/τ, y/ν)}[x := τ & y := ν]{α(x, y)} wp(α(x, y), [x := τ & y := ν]) = α(x/τ, y/ν)
9 Co z tego wynika? G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
10 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Co z tego wynika? 1 Aksjomat ten wystarczy do badania wªasno±ci programów liniowych, tzn. ci gów instrukcji przypisania.
11 Co z tego wynika? 1 Aksjomat ten wystarczy do badania wªasno±ci programów liniowych, tzn. ci gów instrukcji przypisania. 2 Umo»liwia dowód poprawno±ci kompilatora programów liniowych. G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
12 Co z tego wynika? 1 Aksjomat ten wystarczy do badania wªasno±ci programów liniowych, tzn. ci gów instrukcji przypisania. 2 Umo»liwia dowód poprawno±ci kompilatora programów liniowych. 3 Tw. Instrukcje przypisania tworz póªgrup. G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
13 Co z tego wynika? 1 Aksjomat ten wystarczy do badania wªasno±ci programów liniowych, tzn. ci gów instrukcji przypisania. 2 Umo»liwia dowód poprawno±ci kompilatora programów liniowych. 3 Tw. Instrukcje przypisania tworz póªgrup. 4 Wªasno±ci tej póªgrupy s wykorzystywane przez optymalizator cz ± kompilatora. G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
14 Co z tego wynika? 1 Aksjomat ten wystarczy do badania wªasno±ci programów liniowych, tzn. ci gów instrukcji przypisania. 2 Umo»liwia dowód poprawno±ci kompilatora programów liniowych. 3 Tw. Instrukcje przypisania tworz póªgrup. 4 Wªasno±ci tej póªgrupy s wykorzystywane przez optymalizator cz ± kompilatora. 5 Tw. Ka»dy komputer (lub maszyna wirtualna), który gwarantuje prawdziwo± aksjomatu przypisania musi dziaªa tak samo: oblicz warto± termu τ, przypisz j zmiennej x. G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
15 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 rozdziaª 2 wypowied¹ prof. Ewy Orªowskiej Prof. Rasiowa interesowaªa si automatycznym dowodzeniem twierdze«.
16 H. Rasiowa i automatyczne dowodzenie twierdze«g. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
17 H. Rasiowa i automatyczne dowodzenie twierdze«w r prof. Rasiowa w pracy wspólnej z R. Sikorskim zawarli nowy dowód twierdzenia Gentzena o eliminacji reguªy ci cia z dowodów. Metoda zaproponowana przez nich jest metod dualn do metody tablic semantycznych W. Betha. Praca ta zainspirowaªa wiele bada«, których przegl d mo»na znale¹ w monograi E. Orªowska and J. Goli«ska-Pilarek, Dual tableau: Foundations, Methodology, Case Studies. Trends in Logic 33, Springer, 2011 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
18 H. Rasiowa i automatyczne dowodzenie twierdze«w r prof. Rasiowa w pracy wspólnej z R. Sikorskim zawarli nowy dowód twierdzenia Gentzena o eliminacji reguªy ci cia z dowodów. Metoda zaproponowana przez nich jest metod dualn do metody tablic semantycznych W. Betha. Praca ta zainspirowaªa wiele bada«, których przegl d mo»na znale¹ w monograi E. Orªowska and J. Goli«ska-Pilarek, Dual tableau: Foundations, Methodology, Case Studies. Trends in Logic 33, Springer, 2011 Podczas seminariów prowadzonych przez prof. Rasiow i prof. Pawlaka studiowano metod rezolucji zaproponowan w 1965 przez Alana Robinsona. G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
19 H. Rasiowa i automatyczne dowodzenie twierdze«w r prof. Rasiowa w pracy wspólnej z R. Sikorskim zawarli nowy dowód twierdzenia Gentzena o eliminacji reguªy ci cia z dowodów. Metoda zaproponowana przez nich jest metod dualn do metody tablic semantycznych W. Betha. Praca ta zainspirowaªa wiele bada«, których przegl d mo»na znale¹ w monograi E. Orªowska and J. Goli«ska-Pilarek, Dual tableau: Foundations, Methodology, Case Studies. Trends in Logic 33, Springer, 2011 Podczas seminariów prowadzonych przez prof. Rasiow i prof. Pawlaka studiowano metod rezolucji zaproponowan w 1965 przez Alana Robinsona. W 1967 roku Helena Rasiowa zaproponowaªa mi podj cie studiów doktoranckich na temat systemów automatycznego wnioskowania. Okres pracy w Jej Katedrze, a pó¹niej Zakªadzie Logiki ( ) wspominam z ogromn wdzi czno±ci. Pod Jej kierunkiem zrobiªam doktorat (1971) i habilitacj (1978). Przez caªy ten czas po±wi caªa mi wiele godzin na indywidualne dyskusje, nie tylko w katedrze, ale cz sto tak»e u Niej w domu na Wiejskiej. G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
20 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 rozdziaª 3 Lemat Rasiowej i Sikorskiego zob. tw. II.9.3 str. 87 Twierdzenie 2 Niech A b dzie algebr Boole'a. Niech (Q) b dzie przeliczalnym zbiorem niesko«czonych dziaªa«{a t = a t s } t T s S (Q) {b u = a t r } u U r R gdzie T i U s pewnymi zbiorami przeliczalnymi. Dla ka»dego niezerowego elementu a 0 A istnieje Q-ltr zawieraj cy ten element.
21 Ale, co to jest Q-ltr? G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
22 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Ale, co to jest Q-ltr? Filtrem w algebrze Boole'a A jest ka»dy podzbiór A, który speªnia nast puj ce warunki - je±li a, b, to a b, - je±li a i a b, to b.
23 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Ale, co to jest Q-ltr? Filtrem w algebrze Boole'a A jest ka»dy podzbiór A, który speªnia nast puj ce warunki - je±li a, b, to a b, - je±li a i a b, to b. Filtr jest ltrem pierwszym, je±li nie zawiera elementu 0 i ponadto speªniony jest nast puj cy warunek je±li a b, to albo a albo b.
24 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Ale, co to jest Q-ltr? Filtrem w algebrze Boole'a A jest ka»dy podzbiór A, który speªnia nast puj ce warunki - je±li a, b, to a b, - je±li a i a b, to b. Filtr jest ltrem pierwszym, je±li nie zawiera elementu 0 i ponadto speªniony jest nast puj cy warunek je±li a b, to albo a albo b. Filtr jest Q-ltrem je±li jest ltrem pierwszym i ponadto zachowuje dziaªania niesko«czone (Q), tj. dla ka»dego t T oraz dla ka»dego u U zachodz implikacje je±li a t, to istnieje s S takie,»e a ts, je±li dla ka»dego r R, b ur, to b u.
25 Dlaczego ten lemat(to twierdzenie) jest wa»ny? Poniewa» otwiera drog do algebraicznego dowodu twierdzenia o peªno±ci rachunku predykatów. Analiza metamatematycznych wªasno±ci rachunku zda«mo»e przebiega w ten sposób: 1 W zbiorze formuª wprowadzamy relacj równowa»no±ci α β wttw obie formuªy α = β i β = α s twierdzeniami. 2 Klasy równowa»no±ci tworza algebr Boole'a (niekoniecznie dwuelementow ), nazywamy j algebr Lindenbauma. 3 W ka»dej algebrze Boole'a, dla ka»dego elementu niezerowego a istnieje ltr pierwszy zawieraj cy element a. 4 Wynika st d istnienie homomorzmu z algebry Lindenbauma w dwuelementow algebr Boole'a takiego,»e warto± a jest równa 1. 5 Wniosek: formuªa nie b d ca twierdzeniem mo»e zosta sfalsykowana, czyli formuªa prawdziwa posiada dowód tzn. jest twierdzeniem. G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
26 Dlaczego ten lemat(to twierdzenie) jest wa»ny? II W rachunku predykatów napotykamy trudno±ci: w algebrze Lindenbauma dowolnej teorii, kwantykatory s dziaªaniami niesko«czonymi, na ogóª nie istniej ltry pierwsze zachowuj ce dziaªania niesko«czone, Halmos, Tarski i in. podejmowali próby wprowadzaj c nowe algebry (algebry polyadyczne - Halmos, algebry cylindryczne - Tarski), Rasiowa i Sikorski (w r. 1950) zauwa»yli,»e dziaªa«niesko«czonych kresów górnych i kresów dolnych w algebrze Lindenbauma jest przeliczalnie wiele udowodnili lemat (metodami topologicznymi), udowodnili (w sposób algebraiczny) twierdzenie o peªno±ci klasycznego rachunku zda«. G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
27 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Dowód lematu R-S - wg A. Tarskiego Tw. Dla ka»dego niezerowego elementu a 0 A istnieje Q-ltr zawieraj cy ten element. Fakt 1. Zaªó»my,»e c 0 oraz a i = a. Wyka»emy,»e istnieje a A i a i A i, takie»e c (a i a i ) 0. Dowód. Przypu± my przeciwnie,»e dla dowolnego a A i, zachodzi c (a i a) = 0. Wtedy {pami taj,»e (b d = b d)} (1) c a i = 0 (2) c a = 0 dla wszystkich a A i. Z (2) mamy (c a) = 0 i w konsekwencji a A i (3) c a i = 0. Z (1) i (3) wynika,»e c = 0, co jest sprzeczne z zaªo»eniem.
28 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Konstrukcja Q-ltru Niech (Q) b dzie przeliczalnym zbiorem dziaªa«niesko«czonych (Q) a 1 = a, a 2 = a,... a i = a... a A 1 a A 2 a A i
29 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Konstrukcja Q-ltru Niech (Q) b dzie przeliczalnym zbiorem dziaªa«niesko«czonych (Q) a 1 = a, a 2 = a,... a i = a... a A 1 a A 2 a A i Wykorzystuj c Fakt 1, konstruujemy rosn cy ci g {C i } sko«czonych podzbiorów zbioru A, taki»e C 0 = {a 0 } i dla ka»dej liczby naturalnej i, C i = C i 1 { a a i } i taki,»e przeci cie wszystkich elementów a A i zbioru C i jest ró»ne od zera C i 0.
30 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Konstrukcja Q-ltru Niech (Q) b dzie przeliczalnym zbiorem dziaªa«niesko«czonych (Q) a 1 = a, a 2 = a,... a i = a... a A 1 a A 2 a A i Wykorzystuj c Fakt 1, konstruujemy rosn cy ci g {C i } sko«czonych podzbiorów zbioru A, taki»e C 0 = {a 0 } i dla ka»dej liczby naturalnej i, C i = C i 1 { a a i } i taki,»e przeci cie wszystkich elementów a A i zbioru C i jest ró»ne od zera C i 0. Fakt 2. Zbiór C = C i ma wªasno± sko«czonych przeci. i N
31 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Konstrukcja Q-ltru Niech (Q) b dzie przeliczalnym zbiorem dziaªa«niesko«czonych (Q) a 1 = a, a 2 = a,... a i = a... a A 1 a A 2 a A i Wykorzystuj c Fakt 1, konstruujemy rosn cy ci g {C i } sko«czonych podzbiorów zbioru A, taki»e C 0 = {a 0 } i dla ka»dej liczby naturalnej i, C i = C i 1 { a a i } i taki,»e przeci cie wszystkich elementów a A i zbioru C i jest ró»ne od zera C i 0. Fakt 2. Zbiór C = C i ma wªasno± sko«czonych przeci. i N Fakt 3. Istnieje ltr maksymalny b d cy rozszerzeniem zbioru C.
32 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Konstrukcja Q-ltru Niech (Q) b dzie przeliczalnym zbiorem dziaªa«niesko«czonych (Q) a 1 = a, a 2 = a,... a i = a... a A 1 a A 2 a A i Wykorzystuj c Fakt 1, konstruujemy rosn cy ci g {C i } sko«czonych podzbiorów zbioru A, taki»e C 0 = {a 0 } i dla ka»dej liczby naturalnej i, C i = C i 1 { a a i } i taki,»e przeci cie wszystkich elementów a A i zbioru C i jest ró»ne od zera C i 0. Fakt 2. Zbiór C = C i ma wªasno± sko«czonych przeci. i N Fakt 3. Istnieje ltr maksymalny b d cy rozszerzeniem zbioru C. Fakt 4. Filtr jest Q ltrem.
33 Konstrukcja Q-ltru Niech (Q) b dzie przeliczalnym zbiorem dziaªa«niesko«czonych (Q) a 1 = a, a 2 = a,... a i = a... a A 1 a A 2 a A i Wykorzystuj c Fakt 1, konstruujemy rosn cy ci g {C i } sko«czonych podzbiorów zbioru A, taki»e C 0 = {a 0 } i dla ka»dej liczby naturalnej i, C i = C i 1 { a a i } i taki,»e przeci cie wszystkich elementów a A i zbioru C i jest ró»ne od zera C i 0. Fakt 2. Zbiór C = C i ma wªasno± sko«czonych przeci. i N Fakt 3. Istnieje ltr maksymalny b d cy rozszerzeniem zbioru C. Fakt 4. Filtr jest Q ltrem. Rzeczywi±cie, we¹my a i = a, wtedy ( a a i ) C, a wi c a A i a A i nale»y te» do. Ale a i (a i a i ) a i, zatem a i. G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
34 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 rozdziaª 4 Lemat R-S w logice algorytmicznej
35 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 szkic dowodu tw. o istn. modelu w AL Tylko metoda algebraiczna zaproponowana przez Rasiow i Sikorskiego mo»e zosta wykorzystana w dowodzie twierdzenia o peªno±ci rachunku programów, poniewa» w rachunku programów s dziaªania niesko«czone, tzw. kwantykatory iteracji, Mα dla ka»dej iteracji programu M zachodzi formuªa α Mα istnieje iteracja programu M taka,»e zachodzi formuªa α, które nie sprowadzaj si do kwantykatorów klasycznych.
36 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 j zyk AL =/= j zyk pierwszego rz du W j zyku logiki pierwszego rz du (i teorii elementarnych) mamy termy i formuªy. W j zyku logiki algorytmicznej mamy termy, formuªy i programy. Co wi cej formuªy mog by budowane przy pomocy programów. Np. formuªa n > m > 0 = { t := m; while t n do t := t + m od } (t > n) wyra»a prawo Archimedesa - wªasno± niewyra»aln w j zyku logiki pierwszego rz du.
37 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 j zyk AL =/= j zyk pierwszego rz du W j zyku logiki pierwszego rz du (i teorii elementarnych) mamy termy i formuªy. W j zyku logiki algorytmicznej mamy termy, formuªy i programy. Co wi cej formuªy mog by budowane przy pomocy programów. Np. formuªa { } t := m; = (t > n) while t n do t := t + m od }{{} n > m > 0 }{{} formula } {{ } program formula wyra»a prawo Archimedesa - wªasno± niewyra»aln w j zyku logiki pierwszego rz du.
38 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 j zyk AL =/= j zyk pierwszego rz du W j zyku logiki pierwszego rz du (i teorii elementarnych) mamy termy i formuªy. W j zyku logiki algorytmicznej mamy termy, formuªy i programy. Co wi cej formuªy mog by budowane przy pomocy programów. Np. formuªa { } t := m; = (t > n) while t n do t := t + m od }{{} n > m > 0 }{{} formula } {{ } program formula wyra»a prawo Archimedesa - wªasno± niewyra»aln w j zyku logiki pierwszego rz du. To samo prawo zapisane inaczej n > m > 0 = t := m; if t n then t := t + m fi (t > n)} przy pomocy kwantykatora iteracji.
39 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 wzajemne usytuowanie 4 rachunków logicznych program calculus AL WFF AL = {T AL F AL P AL } F F OL F AL predicate calculus FOL WFF F OL = {T F OL F F OL } calculus of program schemes PAL WFF P AL = {F P AL P P AL } propositional calculus PL WFF P L = {F P L }
40 Prace H. Rasiowej dot. logiki algorytmicznej G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
41 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Prace H. Rasiowej dot. logiki algorytmicznej Algorithmic Logic - wykªady w Simon Fraser University, 1975, 206 stron
42 Prace H. Rasiowej dot. logiki algorytmicznej Algorithmic Logic - wykªady w Simon Fraser University, 1975, 206 stron wspólna z doktorantami publikacja w Banach Center Publications vol. 2, 1977, pp.7-99 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
43 Prace H. Rasiowej dot. logiki algorytmicznej Algorithmic Logic - wykªady w Simon Fraser University, 1975, 206 stron wspólna z doktorantami publikacja w Banach Center Publications vol. 2, 1977, pp.7-99 prace nt. wielowarto±ciowych logik algorytmicznych (w algebrach Posta) G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
44 Prace H. Rasiowej dot. logiki algorytmicznej Algorithmic Logic - wykªady w Simon Fraser University, 1975, 206 stron wspólna z doktorantami publikacja w Banach Center Publications vol. 2, 1977, pp.7-99 prace nt. wielowarto±ciowych logik algorytmicznych (w algebrach Posta) prace nt. wspóªprogramów w AL G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
45 Prace H. Rasiowej dot. logiki algorytmicznej Algorithmic Logic - wykªady w Simon Fraser University, 1975, 206 stron wspólna z doktorantami publikacja w Banach Center Publications vol. 2, 1977, pp.7-99 prace nt. wielowarto±ciowych logik algorytmicznych (w algebrach Posta) prace nt. wspóªprogramów w AL w sumie 16 prac po±wi conych ró»nym zagadnieniom logiki algorytmicznej G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
46 Zasªugi Prof. Rasiowej dla spoªeczno±ci informatycznej G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
47 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Zasªugi Prof. Rasiowej dla spoªeczno±ci informatycznej Poddaªa pomysª konferencji MFCS'72 i wielokrotnie uczestniczyªa w kolejnych konferencjach Mathematical Foundations of Computer Science.
48 Zasªugi Prof. Rasiowej dla spoªeczno±ci informatycznej Poddaªa pomysª konferencji MFCS'72 i wielokrotnie uczestniczyªa w kolejnych konferencjach Mathematical Foundations of Computer Science. Stworzyªa, nie szcz dz c pracy i zachodów, jedyne polskie naukowe czasopismo informatyczne Fundamenta Informaticae i byªa jego naczeln przez wiele lat. G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
49 Zasªugi Prof. Rasiowej dla spoªeczno±ci informatycznej Poddaªa pomysª konferencji MFCS'72 i wielokrotnie uczestniczyªa w kolejnych konferencjach Mathematical Foundations of Computer Science. Stworzyªa, nie szcz dz c pracy i zachodów, jedyne polskie naukowe czasopismo informatyczne Fundamenta Informaticae i byªa jego naczeln przez wiele lat. Byªa wieloletni przewodnicz c rady Naukowej IPI PAN. G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
50 Zasªugi Prof. Rasiowej dla spoªeczno±ci informatycznej Poddaªa pomysª konferencji MFCS'72 i wielokrotnie uczestniczyªa w kolejnych konferencjach Mathematical Foundations of Computer Science. Stworzyªa, nie szcz dz c pracy i zachodów, jedyne polskie naukowe czasopismo informatyczne Fundamenta Informaticae i byªa jego naczeln przez wiele lat. Byªa wieloletni przewodnicz c rady Naukowej IPI PAN. Zainspirowaªa spotkania informatyków z Warszawy i Berlina, które pod nazw sympozja CS&P trwaj do dzi±. G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
51 Zasªugi Prof. Rasiowej dla spoªeczno±ci informatycznej Poddaªa pomysª konferencji MFCS'72 i wielokrotnie uczestniczyªa w kolejnych konferencjach Mathematical Foundations of Computer Science. Stworzyªa, nie szcz dz c pracy i zachodów, jedyne polskie naukowe czasopismo informatyczne Fundamenta Informaticae i byªa jego naczeln przez wiele lat. Byªa wieloletni przewodnicz c rady Naukowej IPI PAN. Zainspirowaªa spotkania informatyków z Warszawy i Berlina, które pod nazw sympozja CS&P trwaj do dzi±. Dwukrotnie organizowaªa semestr informatyczny w Centrum Banacha. G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24
52 G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I / 24 Koniec Dzi kujemy za uwag.
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Logika matematyczna (16) (JiNoI I)
Logika matematyczna (16) (JiNoI I) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 15/16 lutego 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Podstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011
Podstawy matematyki dla informatyków Logika formalna Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Skªadnia rachunku zda«symbole (zmienne) zdaniowe (p, q, r,...), oraz znaki i s formuªami zdaniowymi.
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Indeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Mierzalne liczby kardynalne
czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,
Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych
1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera
Logika intuicjonistyczna
9 listopada 2011 Plan 1 2 3 4 Plan 1 2 3 4 Intuicjonizm Pogl d w lozoi matematyki wprowadzony w 1912 L. E. J. Brouwera. Twierdzenia matematyczne powstaj dzi ki intuicjom naszego umysªu. Skupienie si na
Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego
Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego Krzysztof Kapulkin IX Warsztaty Logiczne 5 12 lipca 2008 1 Wst p W referacie tym przedstawiamy wyniki uzyskane przez Andrzeja Ehrenfeuchta i Andrzeja
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Podstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Jan Rodziewicz-Bielewicz, Wydziaª Informatyki ZUT May 8, 2019 8 Struktury algebraiczne ZASTOSOWANIE: Kryptograa. 1. Sprawdzi, czy jest dziaªaniem wewn trznym: (a) y y w zbiorze Q,
Preliminaria logiczne
Preliminaria logiczne Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR Jerzy Pogonowski (MEG) Preliminaria
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia
Przekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Interpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Ekstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne. J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, Jerzy Pogonowski
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, 2002 Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Dwa zestawy pyta«egzaminacyjnych z Logiki Matematycznej:
x y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu
➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje
Podstawy logiki i teorii zbiorów wiczenia
Spis tre±ci 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Ró»nica symetryczna 4 5 Kwantykatory 5 6 Relacje 7 7 Relacje porz dku i równowa»no±ci 8 8 Funkcje
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach
12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa
Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2011-18-02 Motywacja Liczby
Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego
Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Ukªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1
Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1 Stanisªaw Goldstein Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ 16 lutego 2016 Wszech±wiat matematyczny skªada si wyª cznie ze zbiorów. Liczby naturalne s zdeniowane
Macierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Wyra»enia logicznie równowa»ne
Wyra»enia logicznie równowa»ne Denicja. Wyra»enia rachunku zda«nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj równe warto±ci logiczne dla dowolnych warto±ci logicznych zmiennych zdaniowych. 1 Przykªady: Wyra»enia
Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY
Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY PB 2 PB 1 Projekt z grupowania danych - Rough k-medoids Liczba osób realizuj cych projekt: 1 osoba 1. Wczytanie danych w formatach
Arytmetyka pierwszego rz du
Arytmetyka pierwszego rz du B dziemy bada arytmetyk liczb naturalnych z z perspektywy logiki pierwszego rz du. Sªowo arytmetyka u»ywane jest w odniesieniu do ró»nych teorii dotycz cych liczb naturalnych.
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Geometria Algebraiczna
Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.
1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
ZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Wielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018
Wielomiany El»bieta Sadowska-Owczorz 19 listopada 2018 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W :
Programowanie funkcyjne. Wykªad 13
Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Siªa wyrazu rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcyjne. Wykªad 13, Siªa wyrazu rachunku lambda 1 Wst p Warto±ci logiczne Liczby naturalne
Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Strategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Podstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 3 Funkcje 18 pa¹dziernika 2012 Deniowanie funkcji Funkcje caªkowite i cz ±ciowe Denicja wprost: f (x) = x + y f = λx. x + y Denicja warunkowa: { n/2, je±li n
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Ekstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi Rozpoznawanie j zyków bezkontekstowych Problem rozpoznawania j zyka L polega na sprawdzaniu przynale»no±ci sªowa wej±ciowego x do L. Zakªadamy,»e j zyk
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Wykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa
Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e
istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd.
Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd. M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2010-11-23
Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:
DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
1. Wprowadzenie do C/C++
Podstawy Programowania :: Roman Grundkiewicz :: 014 Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub
Proste modele o zªo»onej dynamice
Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj
Równowano modeli oblicze
Równowano modeli oblicze Interpretacja rachunku 1 2 Twierdzenie Gödla o pełnoci Interpretacja jzyka FOL W 1931 K. Gödel udowodnił, e Jeeli formuła jest prawdziwa, to istnieje dowód tej formuły. Problem
PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
Podstawy modelowania w j zyku UML
Podstawy modelowania w j zyku UML dr hab. Bo»ena Wo¹na-Szcze±niak Akademia im. Jan Dªugosza bwozna@gmail.com Wykªad 2 Zwi zki mi dzy klasami Asocjacja (ang. Associations) Uogólnienie, dziedziczenie (ang.
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa
Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:
Metoda aksjomatyczna
Metoda aksjomatyczna Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR 27x2015 Jerzy Pogonowski (MEG)
Algebra Boole'a i logika cyfrowa
Algebra Boole'a i logika cyfrowa 7.X. 2009 1 Aksjomatyczna denicja algebry Boole'a Do opisywanie ukªadów cyfrowych b dziemy u»ywali formalizmu nazywanego algebr Boole'a. Formalnie algebra Boole'a to struktura
Algebroidy i grupoidy Liego i wspóªczesna teoria Liego
Algebroidy i grupoidy Liego i wspóªczesna teoria Liego Wykªad habilitacyjny Andriy Panasyuk Katedra Metod Matematycznych Fizyki, Uniwersytet Warszawski oraz Instytut Matematyczny PAN Wst p: Grupy symetrii
Wstęp do Programowania potok funkcyjny
Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline 1 Kilka podstawowych pojęć Definition Programy imperatywne zmieniają stan, czyli wartości zmiennych. Asercja = warunek logiczny, który
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Freyd, Abelian Categories
Algebra 2, zadania na wiczenia, seria II Króti wst p do ategorii i funtorów. W tej serii jest du»o zada«ale s (z reguªy) ªatwe lub bardzo ªatwe. Najpierw denicje, tóre zapewne Pa«stwo znaj lub pozna ªatwo
vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
1. Wprowadzenie do C/C++
Podstawy Programowania - Roman Grundkiewicz - 013Z Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub
O pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby