Metoda aksjomatyczna
|
|
- Kinga Wojciechowska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metoda aksjomatyczna Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl MDTiAR 27x2015 Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
2 Wst p Plan na dzi± Dzisiaj wykorzystamy zaªo»enie,»e studenci przeszli kursy: Logika I oraz Logika II. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdze«. Udowodnimy twierdzenie o dedukcji (KRZ). Udowodnimy twierdzenia o trafno±ci oraz peªno±ci metody aksjomatycznej (KRZ). Przypomnimy operacje na relacjach. Podamy aksjomatyk Tarskiego dla rachunku relacji. Dla t skni cych za logik pierwszego rz du: chi«skie przysªowie mówi,»e cierpliwy dostaje wszystko na czas. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
3 Metoda aksjomatyczna w KRZ Dawno temu, w odlegªej galaktyce... Metoda Aksjomatyczna w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
4 Metoda aksjomatyczna w KRZ Uwagi historyczne Pionierzy Gottlob Frege: Begrisschrift (1879) Alfred N. Whitehead, Bertrand Russell: Principia Mathematica ( ) David Hilbert, Wilhelm Ackermann: Grundzüge der Theoretischen Logik (1928) David Hilbert, Paul Bernays: Grundlagen der Mathematik (1934, 1939) David Hilbert: Grundlagen der Geometrie (1899) Postulaty±ci Ameryka«scy (Edward V.Huntington, Oswald Veblen) Polscy logicy (Stanisªaw Le±niewski, Adolf Lindenbaum, Jan Šukasiewicz, Alfred Tarski) Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
5 Metoda aksjomatyczna w KRZ Metoda aksjomatyczna: poj cie dowodu Konsekwencja aksjomatyczna W ustalonym j zyku wybieramy: zestaw aksjomatów (przyjmowanych bez dowodu) zestaw (pierwotnych) reguª wnioskowania. Oba te zbiory musz by podane w sposób efektywny. Dowodem w systemie aksjomatycznym A jest dowolny sko«czony ci g formuª (ψ 1, ψ 2,..., ψ n ) taki,»e ka»da formuªa ψ i jest b d¹ aksjomatem, b d¹ wnioskiem reguªy wnioskowania o przesªankach wyst puj cych wcze±niej w tym ci gu. Wyprowadzeniem ze zbioru formuª S w systemie aksjomatycznym A jest dowolny sko«czony ci g formuª (ψ 1, ψ 2,..., ψ n ) taki,»e ka»da formuªa ψ i jest b d¹ aksjomatem, b d¹ elementem zbioru S, b d¹ wnioskiem reguªy wnioskowania o przesªankach wyst puj cych wcze±niej w tym ci gu. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
6 Metoda aksjomatyczna w KRZ Metoda aksjomatyczna: poj cie dowodu Konsekwencja aksjomatyczna: komentarze Tez systemu aksjomatycznego A jest ka»da formuªa ψ, która jest ostatnim elementem jakiego± dowodu. Piszemy wtedy: A ψ. Formuªa ψ jest A-konsekwencj zbioru formuª S, gdy ψ jest ostatnim elementem jakiego± wyprowadzenia z S. Piszemy wtedy: S A ψ Za aksjomaty przyjmujemy formuªy b d¹ schematy formuª. W pierwszym przypadku w±ród reguª wnioskowania uwzgl dniamy reguª ϕ podstawiania RP: ϕ[p i /ψ] (formuªy ψ za zmienn p i w formule ϕ). W razie potrzeby, korzysta si z reguªy zast powania denicyjnego. Aksjomaty charakteryzuj znaczenie staªych logicznych. Wzbogacamy ±rodki inferencyjne systemu poprzez pokazanie,»e pewne reguªy s w nim wyprowadzalne (wtórne). Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
7 Metoda aksjomatyczna w KRZ Dla uciechy Aksjomatyka w stylu Hilberta-Bernaysa Kurs Logika I wykorzystywaª zapewne tego rodzaju aksjomatyk KRZ: Reguªy wnioskowania: MP ϕ ϕ ψ ψ, RP ϕ ϕ[p i /ψ] Aksjomaty: p 1 (p 2 p 1 ) (p 1 (p 2 p 3 )) ((p 1 p 2 ) (p 1 p 3 )) (p 1 p 2 ) ( p 2 p 1 ) p 1 p 1 p 1 p 1 Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
8 Metoda aksjomatyczna w KRZ Dla uciechy Aksjomatyka w stylu Hilberta-Bernaysa (p 1 p 2 ) p 1 (p 1 p 2 ) p 2 (p 1 p 2 ) ((p 1 p 3 ) (p 1 (p 2 p 3 ))) p 1 (p 1 p 2 ) p 2 (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) ((p 3 p 2 ) ((p 1 p 3 ) p 2 )) (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ) (p 1 p 2 ) ((p 2 p 1 ) (p 1 p 2 )) Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
9 Metoda aksjomatyczna w KRZ Dla uciechy Dwa polskie przykªady Aksjomatyka Jana Šukasiewicza (implikacyjno-negacyjna) (ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ)) ( ϕ ϕ) ϕ ϕ ( ϕ ψ) Reguªa wnioskowania MP: ϕ ϕ ψ ψ Aksjomatyka Adama Wiegnera (pierwotne: oraz ) p (p p) (p q) p (p q) (q p) (p q) ((q r) (p r)) Reguªy wnioskowania: MP, RP, zast powanie denicyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
10 Aksjomatyka KRZ w Fitting 1990 Aksjomaty Propozycja w Fitting 1990 Schematy aksjomatów: 1 ϕ (ψ ϕ) 2 (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) 3 ϕ 4 ϕ 5 ϕ ϕ 6 ϕ ( ϕ ψ) 7 α α 1 8 α α 2 9 (β 1 ϕ) ((β 2 ϕ) (β ϕ)) Reguªa wnioskowania: ϕ ϕ ψ ψ (modus ponens, reguªa odrywania, MP) Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
11 Aksjomatyka KRZ w Fitting 1990 Przykªad dowodu Prawo to»samo±ci: p p 1 (p ((p p) p)) ((p (p p)) (p p)) Ax.2 2 p ((p p) p) Ax.1 3 (p (p p)) (p p) MP: 1,2 4 p (p p) Ax. 1 5 p p MP: 3,4 W dowodzie korzystano tylko z dwóch pierwszych aksjomatów. Tak samo dowodzimy schematu prawa to»samo±ci: ψ ψ. Ten prosty dowód ukazuje dwie trudno±ci metody aksjomatycznej: Jak zacz dowód aksjomatyczny? W dowodzie wyst puj formuªy bardziej zªo»one od dowodzonej tezy. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
12 Aksjomatyka KRZ w Fitting 1990 Przykªad dowodu Jeszcze jeden przykªad: ( ϕ ϕ) ϕ Za β-formuª w schemacie aksjomatów 9 we¹my formuª : ϕ ϕ. Wtedy β 1 jest formuª ϕ, a β 2 formuª ϕ. Otrzymujemy wi c: ( ϕ ϕ) ((ϕ ϕ) (( ϕ ϕ) ϕ)). ϕ ϕ podpada pod schemat aksjomatów 5. ϕ ϕ jest tez (jak ju» pokazali±my), czyli doª czy mo»na w tym miejscu kroki dowodu ϕ ϕ. Dwukrotne zastosowanie reguªy odrywania daje ( ϕ ϕ) ϕ. wiczenie. Zapisz powy»sz argumentacj w postaci formalnego dowodu. Czy pami tasz,»e ( ϕ ϕ) ϕ to consequentia mirabilis (prawo Claviusa)? Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
13 Twierdzenie o dedukcji Twierdzenie Twierdzenie o dedukcji wprost (KRZ) Oznaczenia: niech ph b dzie relacj konsekwencji wyznaczon przez podany wy»ej zestaw aksjomatów i reguª odrywania. Twierdzenie o dedukcji. S {ϕ} ph ψ wtedy i tylko wtedy, gdy S ph (ϕ ψ). Uwagi. Implikacja odwrotna wynika z monotoniczno±ci ph (Fitting pisze: jest trywialna). W dowodzie implikacji prostej wykorzystamy pierwsze dwa aksjomaty systemu (oraz reguª odrywania). Twierdzenie o dedukcji udowodnili (niezale»nie od siebie) Herbrand i Tarski. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
14 Twierdzenie o dedukcji Dowód twierdzenia o dedukcji Dowód twierdzenia o dedukcji Zaªó»my,»e S {ϕ} ph ψ. Niech χ 1, χ 2,..., χ n b dzie wyprowadzeniem ψ z S {ϕ}. Wtedy χ n jest identyczna z ψ. Ka»dy element ci gu (χ 1, χ 2,..., χ n ) jest b d¹ aksjomatem, b d¹ elementem S, b d¹ wnioskiem reguªy odrywania o przesªankach b d cych wcze±niejszymi elementami tego ci gu. Tworzymy ci g formuª ( ): (ϕ χ 1, ϕ χ 2,..., ϕ χ n ). Ostatnim jego elementem jest zatem ϕ ψ. Ci g ten nie musi by wyprowadzeniem, ale: Rozszerzymy ten ci g do ci gu, który b dzie wyprowadzeniem ϕ ψ z S, co zako«czy dowód twierdzenia o dedukcji. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
15 Twierdzenie o dedukcji Dowód twierdzenia o dedukcji Dowód twierdzenia o dedukcji χ i jest aksjomatem lub elementem S. Wtedy przed formuª ϕ χ i wstawiamy do ci gu ( ) formuªy: χ i oraz χ i (ϕ χ i ). χ i jest formuª ϕ. Wtedy przed formuª ϕ χ i wstawiamy do ci gu ( ) formuªy tworz ce dowód formuªy ϕ ϕ. χ i jest wnioskiem reguªy odrywania o przesªankach b d cych wcze±niejszymi elementami tego ci gu, czyli istniej χ j, χ k takie,»e j, k < i oraz χ k jest formuª χ j χ i (czyli ϕ χ k jest formuª ϕ (χ j χ i )). Wtedy przed formuª ϕ χ i wstawiamy do ci gu ( ) formuªy: (ϕ (χ j χ i )) ((ϕ χ j ) (ϕ χ i )) (aksjomat) oraz (ϕ χ j ) (ϕ χ i ). Wtedy ϕ χ i jest wnioskiem reguªy odrywania o przesªankach wyst puj cych wcze±niej w tak rozszerzonym ci gu. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
16 Twierdzenie o dedukcji Wykorzystanie twierdzenia o dedukcji Korzy±ci z twierdze«o dedukcji Zauwa»my,»e dowód twierdzenia o dedukcji byª konstruktywny: podano przepis, jak wyprowadzenie ψ z {ϕ} przeksztaªci na dowód ϕ ψ. Korzystanie z twierdzenia o dedukcji bardzo uªatwia dowodzenie w systemach aksjomatycznych. wiczenia. Wykorzystuj c twierdzenie o dedukcji, poka»,»e: ph (ϕ (ψ χ)) (ψ (ϕ χ)) ph (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) χ) ph (ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ)) prawo komutacji prawo importacji sylogizm hipotetyczny Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
17 Twierdzenie o dedukcji Oktawa twierdze«o dedukcji Studenci poznali wcze±niej nast puj ce twierdzenia o dedukcji w KRZ ( = krz to relacja wynikania logicznego w KRZ, krz to konsekwencja aksjomatyczna w KRZ, której u»ywano): Semantyczne twierdzenie o dedukcji wprost: S {ϕ} = krz ψ wtedy i tylko wtedy, gdy S = krz (ϕ ψ). Syntaktyczne twierdzenie o dedukcji wprost: S {ϕ} krz ψ wtedy i tylko wtedy, gdy S krz (ϕ ψ). Semantyczne twierdzenie o dedukcji nie wprost: S { ϕ} = krz wtedy i tylko wtedy, gdy S = krz ϕ. Syntaktyczne twierdzenie o dedukcji nie wprost: S krz ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy S {ϕ} krz. Powy»ej udowodnili±my drugie z nich dla krz = ph. W przypadku KRP potrzebne jest dodatkowe zaªo»enie (»e ϕ jest zdaniem) w syntaktycznych twierdzeniach o dedukcji. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
18 Trafno± metody aksjomatycznej Trafno± Twierdzenie o trafno±ci. Je±li S ph ϕ, to S = krz ϕ. Ka»dy aksjomat jest tautologi KRZ. wiczenie: sprawd¹. Je±li ϕ oraz ϕ ψ s tautologiami KRZ, to ψ jest tautologi KRZ. wiczenie: sprawd¹. A mo»e pami tasz semantyczne twierdzenie o odrywaniu w KRZ? Tak wi c, ka»dy wiersz (w szczególno±ci: ostatni wiersz) dowolnego dowodu jest tautologi w KRZ. A zatem, je±li ϕ jest tez rozwa»anego sytemu, to jest tautologi KRZ. Fitting pisze (Fitting 1990, 74): This argument extends easily to derivations as well; we do not give details, co przetªumaczymy tak: Przez indukcj po dªugo±ci wyprowadzenia ϕ z S ªatwo pokaza,»e ka»dy jego krok wynika logicznie z S. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
19 Peªno± metody aksjomatycznej Peªno± Twierdzenie o peªno±ci. Je±li S = krz ϕ, to S ph ϕ. W dowodzie wykorzystamy: pewn zdaniow wªasno± niesprzeczno±ci oraz Twierdzenie o Istnieniu Modelu. Niech ϕ b dzie dowoln formuª. Zbiór S nazwiemy Hilbertowsko ϕ-sprzecznym, gdy S ph ϕ. Zbiory, które nie s Hilbertowsko ϕ-sprzeczne nazywamy Hilbertowsko ϕ-niesprzecznymi. Lemat. Dla dowolnej formuªy ϕ, rodzina wszystkich zbiorów Hilbertowsko ϕ-niesprzecznych jest zdaniow wªasno±ci niesprzeczno±ci. Dowód. Niech S b dzie zbiorem Hilbertowsko ϕ-niesprzecznym. Oznacza to,»e nie zachodzi S ph ϕ. Trzeba pokaza,»e S speªnia wszystkie warunki nakªadane na elementy zdaniowej wªasno±ci niesprzeczno±ci. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
20 Peªno± metody aksjomatycznej Dowód lematu Proponujemy dowód nie wprost (dla ka»dego warunku). Gdyby S, to mieliby±my S ph. Aksjomatem jest ϕ, a zatem mieliby±my S ph ϕ, w sprzeczno±ci z zaªo»eniem o Hilbertowskiej ϕ-niesprzeczno±ci S. Tak wi c, / S. Gdyby S, to mieliby±my S ph. Pod schemat aksjomatu 4 podpada, a zatem S ph. Pod schemat aksjomatu 6 podpada ( ϕ), a zatem S ph ϕ, w sprzeczno±ci z zaªo»eniem o Hilbertowskiej ϕ-niesprzeczno±ci S. Tak wi c, / S. Przypu± my,»e S {ψ} jest Hilbertowsko ϕ-sprzeczny, czyli S {ψ} ph ϕ. Poka»emy,»e wtedy S { ψ} jest Hilbertowsko ϕ-sprzeczny. Aksjomat 5 daje: ψ ψ, a twierdzenie o dedukcji i poczynione przypuszczenie daj : S ph (ψ ϕ). Na mocy prawa sylogizmu hipotetycznego: S ph ( ψ ϕ). Na mocy twierdzenia o dedukcji: S { ψ} ph ϕ, czyli S { ψ} jest Hilbertowsko ϕ-sprzeczny. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
21 Peªno± metody aksjomatycznej Dowód lematu Przypu± my,»e S {α 1, α 2 } jest Hilbertowsko ϕ-sprzeczny, czyli: S {α 1, α 2 } ph ϕ. Poka»emy,»e wtedy S {α} jest Hilbertowsko ϕ-sprzeczny, czyli»e: S {α} ph ϕ. Skoro S {α 1, α 2 } ph ϕ, to (twierdzenie o dedukcji!): S {α 1 } ph (α 2 ϕ) oraz S ph (α 1 (α 2 ϕ)). Na mocy prawa importacji (zob. wiczenie) oraz MP: (α 1 (α 2 ϕ)) ((α 1 α 2 ) ϕ) mamy S ph ((α 1 α 2 ) ϕ) Na mocy aksjomatów α α 1 oraz α α 2, prawa mno»enia nast pników (α α 1 ) ((α α 2 ) (α (α 1 α 2 ))) oraz MP mamy S ph (α (α 1 α 2 )) Na mocy prawa sylogizmu hipotetycznego: S ph (α ϕ). Twierdzenie o dedukcji daje: S {α} ph ϕ. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
22 Peªno± metody aksjomatycznej Dowód lematu Przypu± my,»e S {β 1 } oraz S {β 2 } s Hilbertowsko ϕ-sprzeczne. Oznacza to,»e: S {β 1 } ph ϕ oraz S {β 2 } ph ϕ. Poka»emy,»e wtedy S {β} jest Hilbertowsko ϕ-sprzeczny. Skoro S {β 1 } ph ϕ, to (twierdzenie o dedukcji!) S ph (β 1 ϕ). Skoro S {β 2 } ph ϕ, to (twierdzenie o dedukcji!) S ph (β 2 ϕ). Przypomnijmy schemat aksjomatów 9: (β 1 ϕ) ((β 2 ϕ) (β ϕ)) Dwukrotne zastosowanie reguªy odrywania daje: S ph (β ϕ). Na mocy twierdzenia o dedukcji: S {β} ph ϕ, czyli S {β} jest Hilbertowsko ϕ-sprzeczny. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
23 Peªno± metody aksjomatycznej Dowód twierdzenia o peªno±ci Zaªó»my,»e S = krz ϕ i przypu± my (dla dowodu nie wprost),»e nie zachodzi S ph ϕ. Oznacza to,»e S jest Hilbertowsko ϕ-niesprzeczny. Wynika z tego,»e tak»e S { ϕ} jest Hilbertowsko ϕ-niesprzeczny. Gdyby bowiem tak nie byªo, to mieliby±my S { ϕ} ph ϕ, a zatem tak»e (twierdzenie o dedukcji!) S ph ( ϕ ϕ). Poniewa» (jak wcze±niej pokazano) tez jest ( ϕ ϕ) ϕ, to wynikaªoby z tego,»e S ph ϕ, co przeczy Hilbertowskiej ϕ-niesprzeczno±ci S. Na mocy udowodnionego przed chwil lematu oraz Twierdzenia o Istnieniu Modelu S { ϕ} jest speªnialny. W konsekwencji, nie zachodzi S = krz ϕ, co ko«czy dowód twierdzenia o peªno±ci. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
24 Aksjomatyczne uj cie rachunku relacji Z cyklu: jak Polacy tworzyli logik wspóªczesn Aksjomatyka Rachunku Relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
25 Aksjomatyczne uj cie rachunku relacji Operacje na relacjach Operacje na relacjach Znane z kursu Logika I: operacje mnogo±ciowe na relacjach. Zªo»eniem relacji R X Y i S Y Z nazywamy relacj R S X Z zdeniowan wzorem: xr Sz wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje y Y taki,»e xry i ysz. Przechodnim domkni ciem relacji R nazywamy relacj R tr zdeniowan indukcyjnie: R 1 = R R n+1 = R n R R tr = R n. n Wzgl dna suma: x R S y wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego z zachodzi: xrz lub zsy. Oswoimy si z tymi operacjami na konwersatorium. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
26 Aksjomatyczne uj cie rachunku relacji Operacje na relacjach Operacje na relacjach a wªasno±ci relacji Niech R X X. Przez id X rozumiemy relacj identyczno±ci w X. R jest zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy id X R R jest przeciwzwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy R id X = R jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R = R 1 R jest asymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R R 1 = R jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R R 1 id X R jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy R R R R jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy R = R tr R jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy R R 1 id X = X X. wiczenie: które wªasno±ci s zachowywane przez operacje na relacjach? Jakie struktury tworz : wszystkie porz dki (cz ±ciowe, liniowe), wszystkie równowa»no±ci, itd. na danym zbiorze? Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
27 Aksjomatyczne uj cie rachunku relacji Aksjomaty Aksjomaty Tarskiego Matematyczny rachunek relacji zapocz tkowany zostaª w pracach Peirce'a oraz Schrödera. Aksjomatyczne uj cie tego rachunku podaª Tarski. Aksjomatyka Tarskiego zapisana jest w j zyku u»ywaj cym (oprócz. funktorów prawdziwo±ciowych, predykatu identyczno±ci = i zmiennych dla relacji) nast puj cych symboli operacji podanych w kontek±cie ich u»ycia wraz z (zamierzon ) interpretacj w uniwersum U: Symbol Interpretacja Symbol Interpretacja R + S R S 0 R S R S 1 U U R; S R S 0 di U = (U U) id U R S R S 1 id U R R 1 R (U U) R R =. S R = S Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
28 Aksjomatyczne uj cie rachunku relacji Aksjomaty (1) (R =. S R =. T ) S =. T (2) R =. S (R + T =. S + T R T =. S T ) (3) R + S =. S + R R S =. S R (4) (R + S) T =. (R T ) + (S T ) (R S) + T =. (R + T ) (S + T ) (5) R + 0 =. R R 1 =. R (6) R + R =. 1 R R =. 0 (7) (1 =. 0) (8) (R ). = R (9) (R; S). = (S) ; (R) (10) R; (S; T ) =. (R; S); T (11) R; 1. = R (12) R; 1 =. 1 1; R =. 1 (13) (R; S) (T ). = 0 (S; T ) (R). = 0 (14) 0. = 1 (15) R S. = (R); (S). Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
29 Aksjomatyczne uj cie rachunku relacji Aksjomaty Twierdzenie Schrödera-Tarskiego Twierdzenie Schrödera-Tarskiego. Na bazie aksjomatów (1)(15) ka»de zdanie (j zyka rachunku relacji) jest inferencyjnie równowa»ne zdaniu o postaci R. = 1. Zakªadamy przy tym aksjomatyk KRZ. Reguªy: modus ponens oraz reguªy dla predykatu identyczno±ci. =. Niech R(U) oznacza rodzin wszystkich relacji dwuargumentowych na zbiorze U, czyli R(U) = {R : R U U}. Wtedy ukªad (R(U),,,,, =, 1,, U U,, id U, di U ) speªnia wszystkie aksjomaty (1)(15), przy interpretacji podanej w powy»szej tabeli. Teraz rozwa»ymy problem ogólniejszy: Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
30 Aksjomatyczne uj cie rachunku relacji Algebry relacyjne wiaty relacji Algebr relacyjn nazywamy ka»dy ukªad o postaci (A, +,, ;,, 1 ), gdzie A jest zbiorem, 1 elementem A, a operacje +,, ;, speªniaj warunki: (R1) x + y = y + x przemienno± + (R2) x + (y + z) = (x + y) + z ª czno± + (R3) x + y + x + y = x aksjomat Huntingtona (R4) x; (y; z) = (x; y); z ª czno± ; (R5) (x + y); z = (x; z) + (y; z) dystrybutywno± ; wzgl dem + (R6) x; 1 = x 1 jest elementem identyczno±ciowym wzgl dem ; (R7) (x ) = x idempotencja (R8) (x + y) = x + y dystrybutywno± wzgl dem + (R9) (x; y) = y ; x (R10) (x ; x; y) + y = y inwolucyjna dystrybutywno± aksjomat Tarskiego-De Morgana. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
31 Aksjomatyczne uj cie rachunku relacji Reprezentowalno± Wielkie pytanie Je±li (A, +,, ;,, 1 ) jest algebr relacyjn, to deniujemy: x y = x + y, x y = x y, 0 = 1 + 1, 1 = Wtedy (A, +,,, 0, 1) jest algebr Boole'a. Algebra relacyjna jest reprezentowalna, gdy jest izomorczna z podalgebr algebry R(U) wszystkich relacji dwuargumentowych na jakim± zbiorze U. Czy ka»dy model aksjomatów (1)(15) jest algebr reprezentowaln? Odpowied¹: NIE (Lyndon). Istniej modele aksjomatów (1)(15), które nie mog by homomorcznie wªo»one w»adn algebr R(U). Tarski. Równo±ciowa teoria reprezentowalnych algebr relacyjnych jest nierozstrzygalna. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x / 31
WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (2)
Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoPreliminaria logiczne
Preliminaria logiczne Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR Jerzy Pogonowski (MEG) Preliminaria
Bardziej szczegółowoRachunki sekwentów. Jerzy Pogonowski. MDTiAR 1xii2015
Rachunki sekwentów Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR 1xii2015 Jerzy Pogonowski (MEG)
Bardziej szczegółowoLogika matematyczna (16) (JiNoI I)
Logika matematyczna (16) (JiNoI I) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 15/16 lutego 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011
Podstawy matematyki dla informatyków Logika formalna Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Skªadnia rachunku zda«symbole (zmienne) zdaniowe (p, q, r,...), oraz znaki i s formuªami zdaniowymi.
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoMetoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych
1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoWyra»enia logicznie równowa»ne
Wyra»enia logicznie równowa»ne Denicja. Wyra»enia rachunku zda«nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj równe warto±ci logiczne dla dowolnych warto±ci logicznych zmiennych zdaniowych. 1 Przykªady: Wyra»enia
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoMaªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia
Bardziej szczegółowoWokóª twierdzenia Gödla o peªno±ci logiki pierwszego rz du
Wokóª twierdzenia Gödla o peªno±ci logiki pierwszego rz du Marek Czarnecki 11 lipca 2010 Podczas II Konferencji Epistemologii Nauk cisªych w Królewcu w 1930 roku, Kurt Gödel zaprezentowaª dowód twierdzenia
Bardziej szczegółowoRachunek zda«. Relacje. 2018/2019
Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Zdanie logiczne.
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne. J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, Jerzy Pogonowski
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, 2002 Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Dwa zestawy pyta«egzaminacyjnych z Logiki Matematycznej:
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (5-7)
Logika Matematyczna (5-7) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Aksjomatyka KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (5-7) Aksjomatyka KRZ 1 / 114 Plan
Bardziej szczegółowoEkstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoW poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Systemy dedukcji naturalnej pochodzą od Gerharda Gentzena (1909 1945) oraz Stanisława
Bardziej szczegółowoNaukoznawstwo (Etnolingwistyka V)
Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 25 listopada 2006 Jerzy Pogonowski (MEG) Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V) 25 listopada
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2: PRELIMINARIA LOGICZNE
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 2: PRELIMINARIA LOGICZNE III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Plan na dziś Wprowadzimy kilka pojęć, które będą istotnie wykorzystywane w
Bardziej szczegółowoHotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego
Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium
Bardziej szczegółowoGeometria Algebraiczna
Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.
Bardziej szczegółowoLogika intuicjonistyczna
9 listopada 2011 Plan 1 2 3 4 Plan 1 2 3 4 Intuicjonizm Pogl d w lozoi matematyki wprowadzony w 1912 L. E. J. Brouwera. Twierdzenia matematyczne powstaj dzi ki intuicjom naszego umysªu. Skupienie si na
Bardziej szczegółowoMetalogika. Jerzy Pogonowski. Geneza metalogiki. Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM
Metalogika Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Geneza metalogiki Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Geneza metalogiki 1 / 22 Wst p Cel wykªadów Cel
Bardziej szczegółowoAutomorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego
Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego Krzysztof Kapulkin IX Warsztaty Logiczne 5 12 lipca 2008 1 Wst p W referacie tym przedstawiamy wyniki uzyskane przez Andrzeja Ehrenfeuchta i Andrzeja
Bardziej szczegółowoMierzalne liczby kardynalne
czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoi, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoMatematyczne podstawy kognitywistyki
Matematyczne podstawy kognitywistyki Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Rachunek zbiorów Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne podstawy kognitywistyki Rachunek zbiorów 1
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Bardziej szczegółowoDowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Bardziej szczegółowoKLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu
➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoMaszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoLogika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym
Logika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ)
Bardziej szczegółowoFreyd, Abelian Categories
Algebra 2, zadania na wiczenia, seria II Króti wst p do ategorii i funtorów. W tej serii jest du»o zada«ale s (z reguªy) ªatwe lub bardzo ªatwe. Najpierw denicje, tóre zapewne Pa«stwo znaj lub pozna ªatwo
Bardziej szczegółowoZadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
Bardziej szczegółowoWyniki prof. Rasiowej w informatyce I
G. Mirkowska & A. Salwicki () Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I 22 06 2017 1 / 24 Wyniki prof. Rasiowej w informatyce I G. Mirkowska & A. Salwicki Instytut Informatyki UKSW salwicki@mimuw.edu.pl przyczynek
Bardziej szczegółowoMetody dowodowe: wst p
Metody dowodowe: wst p Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR Jerzy Pogonowski (MEG) Metody
Bardziej szczegółowoistnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoMyślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Bardziej szczegółowoSchematy i reguªy wnioskowania w logice rozmytej
Wybrane schematy i reguªy wnioskowania w logice rozmytej Uniwersytet l ski Letnia Szkoªa Instytutu Matematyki, Brenna, 24-28 wrze±nia 2018 w logice klasycznej Sylogizm hipotetyczny (A B) (B C) A C w logice
Bardziej szczegółowoLOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoLogika dla matematyków i informatyków Wykªad 1
Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1 Stanisªaw Goldstein Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ 16 lutego 2016 Wszech±wiat matematyczny skªada si wyª cznie ze zbiorów. Liczby naturalne s zdeniowane
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowovf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowo*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz
Bardziej szczegółowoArytmetyka pierwszego rz du
Arytmetyka pierwszego rz du B dziemy bada arytmetyk liczb naturalnych z z perspektywy logiki pierwszego rz du. Sªowo arytmetyka u»ywane jest w odniesieniu do ró»nych teorii dotycz cych liczb naturalnych.
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoDefinicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Bardziej szczegółowoWykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje
Bardziej szczegółowoO pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii zbiorów wiczenia
Spis tre±ci 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Ró»nica symetryczna 4 5 Kwantykatory 5 6 Relacje 7 7 Relacje porz dku i równowa»no±ci 8 8 Funkcje
Bardziej szczegółowoSpl tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych
Spl tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych Lech Jakóbczyk Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytet Wrocªawski 1 / 17 Spl tanie stanów czystych Formalna denicja spl tania Ukªad zªo»ony: Hilberta
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna. Jerzy Pogonowski. Własności relacji. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Logika Matematyczna Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna Własności relacji 1 / 46 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMonoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowo