prof. dr hab. Zbigniew Klusek Cz. 1

Transkrypt

1 prof. dr hab. Zbigniew Klusek Cz. 1

2 Nowe wyzwania Koszty budowy fabryki: kilkanaście miliardów $ Co 18 miesięcy podwaja się liczba tranzystorów Tranzystory z bramką nm w masowej produkcji Na razie proces skalowania się udaje POJAWIA SIĘ MOTYWACJA DO WPROWADZANIA TECHNOLOGII OPARTYCH NA NOWYCH ZJAWISKACH I MATERIAŁACH

3 Nowe wyzwania Poszukujemy nowych wewnętrznych kwantowych stopni swobody elektronu J.J. Thomson m e- e- m O. Stern, W. Gerlach

4 Nowe możliwości s=+1 m e- e- s=+1 m m e- e- s=-1 m s=-1

5 Nowe możliwości s=+1 m e- e- s=+1 m e- e- m s=-1 m s=-1 h + s=+1 m s=+1 m h + h + h + m s=-1 m s=-1

6 Wymiarowość układów węglowych 3-D 0-D fulereny grafit nanorurki węglowe 1-D

7 Grafen 2-D Kryterium Lindemanna 2 2 R R R = a L.D. Landau R.E. Peierls R.E. Peierls, Helv. Phys. Acta 7 (1934) 61. R.E. Peierls, Ann. I.H. Poincare 5 ( 1935) 177. L.D. Landau, Phys. Z. Sowjetunion 11 ( 1937) 26.

8 Grafen 2-D R.E. Peierls L.D. Landau R.E. Peierls, Helv. Phys. Acta 7 (1934) 61. R.E. Peierls, Ann. I.H. Poincare 5 ( 1935) 177. L.D. Landau, Phys. Z. Sowjetunion 11 ( 1937) 26. W przybliżeniu harmonicznym, fluktuacje termiczne niszczą długozasięgowe uporządkowanie co prowadzi do procesu topnienia sieci 2-D w dowolnej temperaturze. Kryterium Lindemanna 2 2 R R R = a N.D. Mermin, H. Wagner N.D. Mermin Długozasięgowe uporządkowanie magnetyczne nie istnieje w 1-D i 2-D. Później wynik ten został rozszerzony na długozasięgowe uporządkowanie sieci krystalicznej (Mermin) N.D. Mermin, H. Wagner, Phys. Rev. Lett. 17 (1966) N.D. Mermin Phys. Rev. 176 (1968) 250.

9 Grafen 2-D

10 2-D (grafen?) w 3-D Poza przybliżenie harmoniczne Struktury 2-D w przestrzeni 3-D D.R. Nelson, L. Peliti, J. Phys. 48 (1987) L. Radzihovsky, P. Le Doussal, Phys. Rev. Lett. 69 (1992) D.R. Nelson, T. Piran, S. Weinberg, Statiscical Mechanics of Membrans and Surfaces (World Scientific 2004)

11 2-D (grafen?) w 3-D Morgenstern, RWTH Aachen Germany Klusek, UL Lodz Poland

12 Grafen można wytworzyć!!!!!!!! Andre Geim Kostya Novoselov

13 Grafen można wytworzyć!!!!!!!! grafit/grafeny grafit/grafeny A. Geim i K. Novoselov zaprezentowali prostą metodę otrzymywania grafenu

14 Grafen można wytworzyć!!!!!!!! A. Geim i K. Novoselov zaprezentowali prostą metodę identyfikacji grafenu grafit/grafeny SiO 2 /Si

15 Grafen można zidentyfikować Teoria Fresnela grafen/sio 2 /Si Współczynnik załamania grafen SiO 2 Si(100) n0 n2 n 1 3 n P. Blake, et al. Appl. Phys. Lett. 91, (2007). I. Wlasny, P. Dabrowski,, arxiv: v1 (2011).

16 Grafen można zidentyfikować Więcej niż 10 warstw Jedna warstwa Dwie warstwy Trzy warstwy Grafen w Zakładzie Fizyki i Technologii Struktur Nanometrowych Uniwersytetu Łódzkiego

17 Intensity [arb. units] Intensity [arb. units] Grafen można zidentyfikować 2D pik podwójny rezonans Graphene/SiO 2 /Si Bilayer/SiO 2 /Si Monolayer graphene Lorentz fit Bilayer graphene Lorentz fit Raman Shift [cm -1 ] Raman Shift [cm -1 ] SiO 2

18 Grafen można zidentyfikować Powszechna procedura identyfikacji 1 - warstwa - 1 komponent 2 - warstwy - 4 komponenty 3 - warstwy - 15 komponentów ->6 Więcej niż 5 warstw 2 komponenty jak w graficie

19 Grafen można zidentyfikować Teoria/Eksperyment A.C. Ferrari

20 Grafen można zidentyfikować 2D pik podwójny rezonans q, q K K 0 f

21 Grafen można zidentyfikować System STM/AFM/XPS/UPS ARPES/AES/LEED/KPM do badania własności grafenu

22 Zaczął się bum grafenowy Wszystkich zafascynowały własności elektryczne grafenu grafen ścieżka

23 Zaczął się bum grafenowy Physical Review Online Archive

24 Zaczął się bum grafenowy

25 Zaczął się bum grafenowy for groundbreaking experiments regarding the two-dimensional material graphene" Ig Nobel 2000 Nazwa pochodzi z języka angielskiego "ignoble" znaczy niegodziwy Novoselov Geim The 2000 Ig Nobel Prize in Physics shared by Andrey Geim and Michael Berry The Physics of Flying Frogs

26 Zaczął się bum grafenowy AntyNobel z Fizyki Ig Nobel in Physics 2000

27 Zaczął się bum grafenowy A. Geim K. Novoselov

28 Zaczął się bum grafenowy Richard Smalley / 1996 Harold Kroto / 1996 Robert Curl / 1996 Kostya Novoselov/2010 Andre Geim/2010 Sumio Iijima

29 Zaczął się bum grafenowy

30 Historia

31 Kontrowersje.. Walt de Heer Georgia Institute of Technology, Atlanta de Herr napisał list do Komitetu Noblowskiego

32 Kontrowersje.. October K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, and A. A. Firsov Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films December J. Phys. Chem. B2004, vol. 108, Claire Berger, Zhimin Song, Tianbo Li, Xuebin Li, Asmerom Y. Ogbazghi, Rui Feng, Zhenting Dai, Alexei N. Marchenkov, Edward H. Conrad, Phillip N. First, and Walt A. de Heer Ultrathin Epitaxial Graphite: 2D Electron Gas Properties and a Route toward Graphene-based Nanoelectronics

33 Kontrowersje.. Walt de Heer Georgia Institute of Technology, Atlanta

34 Kontrowersje.. Eksfoljacja mechaniczna Manchester, Science 04 Grube warstwy? Kurtz PRB1990 Ebbesen Adv Mat 1995 Ohashi Tanso 1997 Ruoff APL1999 Gan Surf Sci2003 Metoda CVD McConville 1986 (on Ni) Land 1992 (on Pt) Metoda transferu: Geim & Novoselov Nature Mat. (2007) Realizacja : MIT (2008) Yu(2008) Hong (2009) Ruoff (2009) Epitaksjalny wzrost na SiC Bommel 1975 Nagashima 1993 Forbeaux 1998 de Heer 2004 HRL 2009 IBM 2009 Eeksfoljacja chemiczna Benjamin Brodie Phil Trans.1859 Ruess & Vogt 1948 Boehm & Hofmann 1962 Ruoff 2007 Coleman 2008 Manchester 2008

35 Kontrowersje.. NSF Proposal, 2001 Patterned Graphite Nanoelectronics 3 cytowania naszej pracy w NSF Proposal, 2001 w różnych aspektach grantu, Z. Waqar, E. Denisov, T. Kompaniets, I. Makarenko, A. Titkov, and A. Bhatti Appl. Surf. Sci., vol. 161, p. 508, 2000.

36 Kontrowersje.. armchair zig-zag K. Kobayashi Phys. Rev. B 48 (1993) R. Tamura, M. Tsukada Phys. Rev. B 49 (1994) M. Fujita, K. Wakabayashi, K. Nakada, K. Kusakabe J. Phys. Soc. Jpn. 65 (1996) K. Nakada, M. Fujita, G. Dresselhaus, M. Dresselhaus Phys. Rev. B 54 (1996) K. Wakabayashi, M. Fujita, H. Ajiki, M. Sigrist Phys. Rev. B 59 (1999) R. Tamura, K. Akagi, M. Tsukada, S. Itoh, S. Ihara Phys. Rev. B 56 (1999) Y. Miyamoto, K. Nakada, M. Fujita Phys. Rev. B 59 (1999) 9858.

37 Kontrowersje.., Z. Waqar, E. Denisov, T. Kompaniets, I. Makarenko, A. Titkov, A. Bhatti, Appl. Surf. Sci. 161, pp , (2000)., Z. Waqar, W. Kozlowski, P. Kowlaczyk, E. Denisov, et al. Appl. Surf. Sci. 187, pp , (2002)., P.K. Datta, W. Kozlowski, Corr. Sci. 45, pp , (2003)., W. Kozlowski, P. Kowalczyk, A. Busiakiewicz, W. Olejniczak, et al. Acta Phys. Super. 6, pp , (2004). STM/STS 0.35 nm 0.35 nm d a Profil LDOS na krawędzi 5 d tunneling current [na] Profil I/V bias [V] Początek badań na Uniwersytecie Łódzkim 1999 rok di/dv [na/v] E F bias [V] c b a tunneling current [na] Profil I/V bias [V]

38 Kontrowersje.., Appl. Surf. Sci. 108, pp , (1997)., Appl. Surf. Sci. 125, pp , (1998)., Appl. Surf. Sci. 151, pp , (1999)., et al. Appl. Surf. Sci. 161, pp , (2000)., Vacuum 63, (2001) 139., et al. Appl. Surf. Sci. 187, pp , (2002)., et al. Corr. Sci. 45, pp , (2003)., Acta Phys. Super. 6, pp , (2004)., et al. Appl. Surf. Sci. 252, pp , (2005). NSF Proposal, 2001 Patterned Graphite Nanoelectronics 5 4 d c di/dv [na/v] bias [V] b a Krawędzie zig-zag armchair STM/STS

39 Kontrowersje.. NSF Proposal, 2001 Patterned Graphite Nanoelectronics Referee responses: not interesting ; not possible ; premature W latach udowodnili, że to możliwe Grant z Intela w 2003 oraz grant z NSF w 2004 Patent w 2003

40 Kontrowersje.. Confinement Controlled Sublimation

41 Kontrowersje.. Science 22 October 2004: Vol. 306 no pp

42 Kontrowersje..

43 Kontrowersje.. A może Phil Kim powinien być również laureatem Nagrody Nobla z Fizyki za 2010? Kostia Novoselov Andre Geim Phil Kim

44 Grafen na Uniwersytecie Łódzkim 20 lat minęło Bazylea D 3-D

45 Grafen na Uniwersytecie Łódzkim H H H H H T=1500 K Ir(111) H [111] Grafen/Ir(111) Początek badań w Łodzi 1999 rok Ir (111) A. F. Ioffe Physical-Technical Institute Russian Academy of Sciences St. Petersburg, Russia Solid State Electronics Department, Research Institute of Physics St. Petersburg University St. Petersburg, Russia

46 Grafen na Uniwersytecie Łódzkim 10 nm x 10 nm Pierwsza próba opublikowania rezultatów w roku 2000 nie powiodła się

47 Grafen grafit dwuwarstwa grafenowa grafen

48 Grafen sieć rzeczywista A B Komórka elementarna 2 atomy Dwie podsieci trójkątne Bravaisgo Symetria inwersji

49 Grafen Potrzebne do koncepcji pseudospinu Mamy dwie orientacje wiązań tzn. mamy dwa rodzaje atomów węgla. Z chemicznego punktu widzenia nie ma to znaczenia.

50 Grafen sieć odwrotna Kmórka elementarna sieci odwrotnej Konstrukcja Wignera-Seitza a 1 b 1 a 2 b 2 b a = 2 b a = b a = 0 b a =

51 Grafen struktura elektronowa pz pz A B B p z s A p z

52 Grafen teoria ciasnego wiązania Jakie jest widmo energii kwazicząstek w grafenie?, = f k, k E k k x y x y A B A B L.D. Landau R.E. Peierls t t' Philip Russel Wallace, 1947 t=2.8-3 ev przeskok pomiędzy dwoma różnymi podsieciami t =0.1eV przeskok w ramach tej samej sieci Hˆ t a b h. c. t a a b b h. c. ' s, i s, j s, i s, j s, i s, j = i, j, s i, j, s

53 Grafen teoria ciasnego wiązania Jakie jest widmo energii kwazicząstek w grafenie? P.R. Wallace, Phys. Rev. 71 (1947) 622. Single hexagonal layer Graphene -1986

54 Grafen teoria ciasnego wiązania Jakie jest widmo energii kwazicząstek w grafenie? ˆ ' s, i s, j +.. c t a, i, j, i, j hc.. H -t a b h - s as bs bs i, j, s i, j, s = + +, 3 ' x y = = t + k - f k E k k E k f t 3ak y 3 f k = 2cos 3ak y + 4cos cos kxx 2 2

55 Grafen teoria ciasnego wiązania Jakie jest widmo energii kwazicząstek w grafenie?

56 Grafen teoria ciasnego wiązania Jakie jest widmo energii kwazicząstek w grafenie? k y Rozwijamy funkcję f(k) w otoczeniu punktów K i K K K G k x k 4 =,0 + 3a p K 4 4 =,0 ; K' = -,0 3a 3a ka = + 2 cos 2 ik y a / 3 ik y a / 2 3 f k e e - x 4 KK, ' =,0 ; = 1 3a 3 a = - / 2 x - y + f k p ip O pa 2

57 Grafen teoria ciasnego wiązania Jakie jest widmo energii kwazicząstek w grafenie? 0 -tf k 0 px -ipy = -tf 0 k 0 H v * p x + ip y S 1 sf k 1 0 = sf k * 0 px -ipy H = v = vs x px + s y py = vs p px + ipy 0 s x i =, s y = 1 0 i 0 W. Pauli E =v k

58 Grafen teoria ciasnego wiązania t ' 0 Jakie jest widmo energii kwazicząstek w grafenie? Pasmo przewodnictwa Punkt Diraca E =vf k Pasmo walencyjne

59 Grafen - struktura pasmowa Relatywistyczna zależność pomiędzy energią, pędem i masą spoczynkową E = m c + p c A. Einstein Przypadek cząstek z zerową masą spoczynkową m0 = 0 E = cp = c k Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej UŁ

60 Grafen - struktura pasmowa fermiony z masą Vˆ = E 2m 2 * e - + Vˆ = E 2m * h P. A. M. Dirac E. Schrodinger bezmasowe fermiony H. Weyl

61 Grafen - struktura pasmowa H 3 3 K = - at s xkx + s yky = - ats k 2 2 H. Weyl H = v s k + s k = v s k K F x x y y F vf c s x i =, s y = 1 0 i 0 W. Pauli i 1 0 s =, s, s x = 1 0 y = i 0 z 0-1 Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej UŁ

62 Masa efektywna d E( k) m = dk dk * 2 i, j i j i,j odpowiadają kierunkom x,y,z E( k) 1 E( k) 1 E( k) kx kxk y kxk z E( k) 1 E( k) 1 E( k) * = m k ykx k y k yk z E( k) 1 E( k) 1 E( k) kz kx kz k y k z

63 Masa efektywna m = * E 2 k m = k E k * 2 1 Masa efektywna dla liniowej zależności dyspersyjnej Masa efektywna dla dowolnej zależności dyspersyjnej m 1 = 2 E 2 k * 2 k m = k = E vf k * 2 1

64 Grafen - struktura pasmowa Trochę eksperymentu

65 Grafen - struktura pasmowa i H K = - at kx + ky i 0 H K at kx -iky 2 = 3 - at kx + iky 0 2 det H - EI = 0 K równanie wiekowe równanie sekularne at kx -iky det H K - EI = det - E = at kx + iky 0 2

66 Grafen - struktura pasmowa 3 2 det H K - EI = E - at kx + ky = E = at k + k 4 2 x y E 3 E = at k + k 2 E =vf k 2 2 x y k x k y Bezmasowe Fermiony Diraca

67 ARPES kątowo rozdzielcza fotoemisja elektronów k T ex z, = f k, k E k k x y x y a k ex k y ex k x ex f k II ex y x

68 ARPES kątowo rozdzielcza fotoemisja elektronów

70 ARPES kątowo rozdzielcza fotoemisja elektronów E D E D

71 Grafen - struktura pasmowa E(k)->D(E) Zależność dyspersyjna Funkcja gęstości stanów E D(E) k y k x E F E Bezmasowe Fermiony Diraca Funkcja gęstości stanów s enm

72 Grafen - struktura pasmowa Ruchliwość nośników Przewodnictwo elektryczne m = v E U V E = d cm d cm v = t s s enm cm V s cm V s cm V s Grafen na SiO 2 Grafen na SiO 2 bez zanieczyszczeń Grafen zawieszony T=300 K Bez domieszkowania Si cm V s Ge cm V s GaAs cm V s InSb cm V s

73 grafen/4h-sic(0001) H interkalacja grafen/sic J.M. Baranowski, M. Możdżonek, P. Dąbrowski, K. Grodecki, P. Osewski, W. Kozłowski, M. Kopciuszyński, M. Jałochowski, W. Strupiński Graphene, 2, (2013) domieszkowanie typu n E domieszkowanie typu p E E F E D n-type ARPES E F E D D(E) E D D(E) E F E D E F

74 Oddziaływanie grafenu z metalami i izolatorami

75 Oddziaływanie grafenu z metalami STM, P. Dabrowski, P. Kowalczyk, W. Kozlowski, W. Olejniczak, P. Blake, M. Szybowicz, T. Runka, Applied Physics Letters 95, (2009). J. Sławińska, I. Własny, P. Dąbrowski,, I. Zasada Physical Review B, 85, (2012) STM [111] Au(111) [111] [110] [112] [110] [112] Cu(111)

76 DFT: Oddziaływanie grafen-metal Własności elektronowe grafenu ulegają zmianie na skutek oddziaływania z metalami Oddziaływanie grafen-metal silne/słabe chemisorpcja fizysorpcja Co(111) Ni(111) Pd(111) Al(111) Ag(111) Cu(111) Au(111) Pt(111)

77 grafen/ge(001)/si Przed wygrzaniem Po wygrzaniu ML BL P. Dabrowski, M. Rogala, I. Pasternak, J. M. Baranowski, W. Strupinski, M. Kopciuszynski, R. Zdyb, M. Jalochowski, I. Lutsyk, Nano Res. doi: /s First Online:06 May 2017

78 grafen/4h-sic(0001) N doped STM DFT P. Dąbrowski, M. Rogala, I. Własny,, M. Kopciuszyński, M. Jałochowski, W. Strupiński, J.M. Baranowski Carbon 94, (2015)

79 grafen/4h-sic(0001) N doped undoped doped 0.3% N n-type n-type STS+DFT STS+DFT E F E D P. Dąbrowski, M. Rogala, I. Własny,, M. Kopciuszyński, M. Jałochowski, W. Strupiński, J.M. Baranowski Carbon 94, (2015)

80 Grafen w zewnętrznym potencjale E H 3 3 K = - at s xkx + s yky = - ats k 2 2 Złamanie przestrzennej symetrii inwersji H K = - at s xkx + s yky + s z = - ats k + s z

81 Grafen - struktura pasmowa 3 1 H K = - ats k + sz 2 2 H K at kx - iky 2 2 = at kx + iky E = at kx + ky Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej UŁ

82 Grafen - struktura pasmowa E E półmetal izolator k y k y k x k x Bezmasowe Fermiony Diraca 3 E = at k + k 2 E =v k F 2 2 x y Fermiony Diraca z masą E = at kx + ky + 4 2

83 Grafen/usunięcie degeneracji E E izolator izolator k y k y k x k x Fermiony Diraca z masą E = at kx + ky Fermiony Diraca z masą E = at kx + ky Struktura pasmowa jest symetryczna wokół punktu k=0 Pasma są podwójnie zdegenerowane

86 grafen/4h-sic(0001) H interkalacja grafen/sic J.M. Baranowski, M. Możdżonek, P. Dąbrowski, K. Grodecki, P. Osewski, W. Kozłowski, M. Kopciuszyński, M. Jałochowski, W. Strupiński Graphene, 2, (2013) grafen/sic+h E F E D n-type ARPES E D E F p-type ARPES E F E D E D E F

87 Grafen - struktura pasmowa fermiony z masą Vˆ = E 2m 2 * e - + Vˆ = E 2m * h P. A. M. Dirac E. Schrodinger bezmasowe fermiony H. Weyl

88 Równanie Diraca H = ca P + m c K s I 0 a = = s 0 0 I i 1 0 s = s s x = 1 0 y = i 0 z r, t 1 r, t r, t r, t - + = i ca mc i 3 r, t t 3 r, t r, t r, t 4 4

89 Grafen (Dirac -> Weyl) 2 HK = ca P + m0c ca P v F 0 kx -ikya( r) A( r) E kx iky 0 = + B( r) B( r) v ( ) ( ) ( ) F s k r = E r

90 Co to jest pseudospin Dwie podsieci A i B dwa stopnie swobody elektron scharakteryzowany jest przez amplitudę prawdopodobieństwa, że znajduje się w danej podsieci Baza dwóch podsieci przypomina układ ze spinem B A A B t A + i B e i cos + sin e 2 2

91 Co to jest pseudospin A B A() r B () r i A + e B

92 Co to jest pseudospin pseudospin K pseudospin przeskok z B do A przeskok z A do B v F 0 kx -ikya( r) A( r) E kx iky 0 = + B( r) B( r)

93 Symetrie symetria translacji symetria inwersji przestrzennej ˆ f ( r ) = f ( r + R ) R ˆr = -r Hˆ, ˆ R = 0 E k = E -k Energia cząstki poruszającej się w prawo jest równa energii cząstki poruszającej się w lewo. Zasada słuszna dla cząstek ze spinem w górę i w dół.

94 Symetria inwersji przestrzennej grafen h-bn C C B N Symetria inwersji przestrzennej złamana C C B N

95 Symetrie symetria translacji symetria inwersji przestrzennej symetria inwersji czasu ˆ f ( r ) = f ( r + R ) R ˆr = -r t -t Hˆ, ˆ R = 0 E k = E -k, = -, E k E k Energia cząstki poruszającej się w prawo jest równa energii cząstki poruszającej się w lewo. Zasada słuszna dla cząstek ze spinem w górę i w dół. Energia cząstki poruszającej się w prawo ze spinem do góry jest równa energii cząstki poruszającej się w lewo ze spinem w dół

96 Symetria inwersji czasu k y k y K M K K K G k x G k x t -t, = -, E k E k

97 Symetria inwersji czasu H = v s k K F H = v s ' k =, x y s ' = -s, s s s s K' F x y H K 0 kx -iky = vf kx + iky 0 H K' 0 -kx -iky = vf - kx + iky 0

98 Pełny Hamiltonian v F 0 kx - iky 0 0 AK ( r) AK ( r) kx iky BK ( r) BK ( r) = E k -ik ( r) ( r) x y AK ' AK ' kx + iky 0 BK '( r) B K '( r)

99 Struktura elektronowa grafenu pseudospin k y pseudospin K K G K k x K v F 0 -k -ik ( r) ( r) x y AK ' AK ' = E - kx + iky 0 BK '( r) BK '( r) v F 0 kx -ikyak ( r) AK ( r) E kx iky 0 = + BK ( r) BK ( r)

100 Struktura elektronowa grafenu K E K K k y G k x K K K

101 Grafen skrętność H = v s k = v ksn K F F σ σ s k = = + 1 k s k = = -1 k k k Skrętność prawoskrętne lewoskrętne Elektrony i dziury z tym samym wektorem falowym mają przeciwne prędkości grupowe s k K + - s k = +1 = -1 k s s k

102 Grafen skrętność K - + K + - k y G E k x - + K + - K K + - K - +

103 Grafen rozpraszanie s K s s K s k k k k - + s + - s s s k k k k

104 Grafen - struktura pasmowa Ruchliwość nośników Przewodnictwo elektryczne m = v E U V E = d cm d cm v = t s s enm cm V s cm V s cm V s Grafen na SiO 2 Grafen na SiO 2 bez zanieczyszczeń Grafen zawieszony T=300 K Bez domieszkowania Si cm V s Ge cm V s GaAs cm V s InSb cm V s

105 Valleytronika K Symetria inwersji czasu K K' K Potrzebujemy wielkości fizycznej która odróżni K od K Spin jako przykład Spin do góry i spin do dołu przechodzą w siebie na skutek inwersji czasu. Kierunek spinu rozróżniamy za pomocą przeciwnych momentów magnetycznych. Moment magnetyczny jest pseudowektorem, który jest nieparzysty na skutek symetrii inwersji czasu. Medium do detekcji pole magnetyczne. Pseudospin Wielkości fizyczne które są nieparzyste na skutek symetrii inwersji czasu nadają się do detekcji pseudospinu. W krzywizna Berry ego P. Berry

106 Krzywizna Berry ego P Koneksja afinczna wyraża ideę prześnienia równoległego wektorów stycznych wzdłuż krzywych. Miarą krzywizny jest stopień rozbieżności przy przemieszczaniu wektorów wzdłuż krzywych. R Q

107 Faza Berry ego E k () k k t t k () t Ewolucja stanu na skutek adiabatycznej rotacji wektora falowego. Rotację modelujemy za pomocą k(t) k Przyjmujemy, że w dowolnej chwili czasu t stan pozostaje stanem własnym hmiltonianu () t ĥ k t który zależy od czasu tylko poprzez k(t).

108 Faza Berry ego () t i = E () t k() t t Rozwiązanie musi być proporcjonalne do () k () t t - () ( ) i t t e ( t) k() t ( t ) ( t ) = 1 = k ( t) k ( t) () t jest nieznaną fazą

109 Faza Berry ego k() t i + () t = E t 1 () t = E -i k ( t) k ( t) k ( t) t k ( t) k ( t) k ( t) t 1 ( t) = E dt ' -i dt ' t ' t k ( t ') k ( t ') k ( t ') 0 0 Faza na skutek ewolucji adiabatycznej

110 Koneksja Berry ego t cykl = - i dt ' = -i dk k ( t ') k ( t ') k ( t ') k k ( t ') t ' 0 Definiujemy potencjał wektorowy Koneksja Berry ego A -i k k ( t ') k k ( t ')

111 Krzywizna Berry ego Fazę Berry ego można przedstawić w formie analogicznej jak w przypadku strumienia magnetycznego x y A dk A dk dk = = k k k z Krzywizna Berry ego k k z A Pełni rolę pola magnetycznego prostopadłego do powierzchni zamkniętej przez krzywą całkowania W = A k k

112 Valleytronika 1 En ( k) vn ( k) = k 1 En ( k) e vn( k ) = - E Wn( k ) k Prędkość związana energią pasma Pełny opis prędkości Kiedy krzywizna Berry ego nie może być pominięta?

113 Valleytronika 2D sieć heksagonalna symetria odwrócenia czasu W ( k) = -W (-k) przestrzenna inwersja symetrii W ( k) = W (-k) n n n n W krysztale z jednoczesną symetrią odwrócenia czasu i symetrią inwersji przestrzennej krzywizna Berryego znika 1 En ( k) vn ( k) = k W krysztale w którym symetria odwrócenia czasu lub symetrią inwersji przestrzennej jest złamana krzywizna Berryego pozostaje 1 En ( k) e vn( k ) = - E Wn( k ) k Łamiemy symetrię inwersji przestrzennej grafenu (dwuwarstwa grafenowa, pole elektryczne)

114 Dolinotronika (Valleytronika) Dolinowy Efekt Halla E e EW ( ) n k e EW ( ) n k K e- e- K

115 KONIEC Cz. 1