Miary splątania kwantowego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Miary splątania kwantowego"

Transkrypt

1 kwantowego Michał Kotowski K MISMaP, Uniwersystet Warszawski Studenckie Koło Fizyki UW (SKFiz UW) 24 kwietnia 2010 kwantowego

2 Spis treści 1 2 Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania 3 Rozkład Schmidta 4 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność 5 6 Desery Bibliografia kwantowego

3 Splątanie kwantowe Splątanie kwantowe (quantum entanglement) - najbardziej nieintuicyjne zjawisko kwantowe kwantowego

4 Splątanie kwantowe Splątanie kwantowe (quantum entanglement) - najbardziej nieintuicyjne zjawisko kwantowe występuje w układach wielu (dwóch lub więcej) cząstek kwantowego

5 Splątanie kwantowe Splątanie kwantowe (quantum entanglement) - najbardziej nieintuicyjne zjawisko kwantowe występuje w układach wielu (dwóch lub więcej) cząstek istnienie nielokalnych kwantowych korelacji miedzy podukładami (silniejszych niż jakiekolwiek korelacje klasyczne) kwantowego

6 Splątanie kwantowe Splątanie kwantowe (quantum entanglement) - najbardziej nieintuicyjne zjawisko kwantowe występuje w układach wielu (dwóch lub więcej) cząstek istnienie nielokalnych kwantowych korelacji miedzy podukładami (silniejszych niż jakiekolwiek korelacje klasyczne) lata 30.: paradoks Einsteina-Podolsky ego-rosena, spooky action at a distance kwantowego

7 Splątanie kwantowe odkryte na nowo po kilkudziesięciu latach w kontekście kwantowej teorii informacji kwantowego

8 Splątanie kwantowe odkryte na nowo po kilkudziesięciu latach w kontekście kwantowej teorii informacji zastosowania w kryptografii i komunikacji kwantowej, potencjalnie w komputerach kwantowych... kwantowego

9 Splątanie kwantowe odkryte na nowo po kilkudziesięciu latach w kontekście kwantowej teorii informacji zastosowania w kryptografii i komunikacji kwantowej, potencjalnie w komputerach kwantowych... splątanie jako nowy fizyczny zasób (wykonuje zadania, zużywa sie, nie można go stworzyć za darmo...) kwantowego

10 Splątanie kwantowe odkryte na nowo po kilkudziesięciu latach w kontekście kwantowej teorii informacji zastosowania w kryptografii i komunikacji kwantowej, potencjalnie w komputerach kwantowych... splątanie jako nowy fizyczny zasób (wykonuje zadania, zużywa sie, nie można go stworzyć za darmo...) źródło nowych problemów matematycznych kwantowego

11 Paradoks EPR Alicja i Bob mają parę cząstek w stanie: ψ = 1 2 ( ) kwantowego

12 Paradoks EPR Alicja i Bob mają parę cząstek w stanie: ψ = 1 2 ( ) Jeśli Alicja wykona pomiar spinu i dostanie w wyniku spin, to Bob zawsze otrzyma (i odwrotnie). kwantowego

13 Paradoks EPR Alicja i Bob mają parę cząstek w stanie: ψ = 1 2 ( ) Jeśli Alicja wykona pomiar spinu i dostanie w wyniku spin, to Bob zawsze otrzyma (i odwrotnie). Pomiary spinów są całkowicie antyskorelowane... kwantowego

14 Paradoks EPR Alicja i Bob mają parę cząstek w stanie: ψ = 1 2 ( ) Jeśli Alicja wykona pomiar spinu i dostanie w wyniku spin, to Bob zawsze otrzyma (i odwrotnie). Pomiary spinów są całkowicie antyskorelowane mimo że Alicja i Bob znajdują się na przeciwległych krańach Wszechświata. kwantowego

15 Problemy teorii splątania Które stany są splątane, a które nie? Które stany są bardziej splątane od innych (tytułowe ilościowe miary splątania)? Czy mogą istnieć różne rodzaje splątania? kwantowego

16 Stany czyste Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stan układu N cząstek opisujemy przez wektor z przestrzeni Hilberta ψ H 1... H N (skończenie wymiarowej) (unormowany do 1) W najprostszym przypadku ψ H H (np. dwie cząstki o spinie 1/2) Każdy stan w ustalonej bazie możemy zapisać jako ψ = a ijk... ijk... i,j,k... ψ ψ - operator rzutowy na stan ψ kwantowego

17 Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stany mieszane Macierz gęstości ρ B(H 1... H N ) opisuje mieszaninę statystyczną różnych stanów czystych: ρ = ρ, ρ 0 Tr ρ = 1 kwantowego

18 Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stany mieszane Macierz gęstości ρ B(H 1... H N ) opisuje mieszaninę statystyczną różnych stanów czystych: ρ = ρ, ρ 0 Tr ρ = 1 Każda macierz gęstości jest kombinacją wypukłą stanów czystych: ρ = k p i ψ i ψ i i=1 k p i = 1, i=1 ψ i H 1... H N kwantowego

19 Stany mieszane Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stanom czystym odpowiadają operatory rzutowe ρ ψ = ψ ψ kwantowego

20 Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stany mieszane Stanom czystym odpowiadają operatory rzutowe ρ ψ = ψ ψ W ogólnosci macierz gęstości nie jest rzutem na żaden stan czysty kwantowego

21 Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stany mieszane Stanom czystym odpowiadają operatory rzutowe ρ ψ = ψ ψ W ogólnosci macierz gęstości nie jest rzutem na żaden stan czysty Przykłady: (mieszanina stanów 0 i 1 ) ρ = p (1 p) 1 1 ρ = 1 N N i i i=1 (stan maksymalnie mieszany) kwantowego

22 Definicja splątania - stany czyste Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stan ψ H A H B nazywamy separowalnym, jeśli da się zapisać jako ψ = ψ A ψ B kwantowego

23 Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Definicja splątania - stany czyste Stan ψ H A H B nazywamy separowalnym, jeśli da się zapisać jako ψ = ψ A ψ B Stan jest splątany, jesli nie jest separowalny kwantowego

24 Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Definicja splątania - stany czyste Stan ψ H A H B nazywamy separowalnym, jeśli da się zapisać jako ψ = ψ A ψ B Stan jest splątany, jesli nie jest separowalny Przykład: stany Bella (pary EPR) ψ = 1 2 ( 00 ± 11 ) ψ = 1 2 ( 01 ± 10 ) kwantowego

25 Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Definicja splątania - stany czyste Stan ψ H A H B nazywamy separowalnym, jeśli da się zapisać jako ψ = ψ A ψ B Stan jest splątany, jesli nie jest separowalny Przykład: stany Bella (pary EPR) ψ = 1 2 ( 00 ± 11 ) ψ = 1 2 ( 01 ± 10 ) Można je uważać za najbardziej splątane dla układów dwóch cząstek kwantowego

26 Definicja splątania Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Ogólniej, dla układu N cząstek splątanie oznacza, że: ψ ψ 1... ψ N kwantowego

27 Definicja splątania Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Ogólniej, dla układu N cząstek splątanie oznacza, że: ψ ψ 1... ψ N Jak (prosto) rozpoznać, czy dany stan jest splątany? kwantowego

28 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Zaczynamy od układów dwucząstkowych kwantowego

29 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Zaczynamy od układów dwucząstkowych Niech ψ = t ij i j, ψ H A H B (w ustalonej bazie) i,j kwantowego

30 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Zaczynamy od układów dwucząstkowych Niech ψ = t ij i j, ψ H A H B (w ustalonej bazie) i,j Można zawsze znaleźć takie bazy w H A i H B, że ψ ma postać: ψ = λ k k k k (rozkład osobliwy macierzy {t ij } i,j=1,...,n ) kwantowego

31 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Liczby (λ 1, λ 2,..., λ N ) nazywamy wektorem Schmidta kwantowego

32 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Liczby (λ 1, λ 2,..., λ N ) nazywamy wektorem Schmidta Dla stanów separowalnych ψ = ψ A ψ B mamy tylko jeden składnik w rozkładzie, czyli: (λ 1, λ 2,..., λ N ) = (1, 0,..., 0) kwantowego

33 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Liczby (λ 1, λ 2,..., λ N ) nazywamy wektorem Schmidta Dla stanów separowalnych ψ = ψ A ψ B mamy tylko jeden składnik w rozkładzie, czyli: (λ 1, λ 2,..., λ N ) = (1, 0,..., 0) Więcej niż jedno niezerowe λ i oznacza splątanie! kwantowego

34 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Liczby (λ 1, λ 2,..., λ N ) nazywamy wektorem Schmidta Dla stanów separowalnych ψ = ψ A ψ B mamy tylko jeden składnik w rozkładzie, czyli: (λ 1, λ 2,..., λ N ) = (1, 0,..., 0) Więcej niż jedno niezerowe λ i oznacza splątanie! Dla stanu maksymalnie splątanego ψ = 1 N N i i i=1 mamy: ( 1 (λ 1,..., λ N ) = N,..., 1 ). N kwantowego

35 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Wektor Schmidta jest niezmienniczy na lokalne unitarne transformacje: ψ U V U V ψ = k λ k U k V k kwantowego

36 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Wektor Schmidta jest niezmienniczy na lokalne unitarne transformacje: ψ U V U V ψ = k λ k U k V k Łatwo go obliczyć kwantowego

37 Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Wektor Schmidta jest niezmienniczy na lokalne unitarne transformacje: ψ U V U V ψ = k λ k U k V k Łatwo go obliczyć Nie ma prostego uogólnienia na więcej niż dwa układy kwantowego

38 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Które stany są mniej, a które bardziej splątane? kwantowego

39 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Które stany są mniej, a które bardziej splątane? Intuicja: stan ψ = (1 ɛ) 00 + ɛ 11 jest prawie separowalny... kwantowego

40 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Które stany są mniej, a które bardziej splątane? Intuicja: stan ψ = (1 ɛ) 00 + ɛ 11 jest prawie separowalny... W zastosowaniach (teleportacja stanu kwantowego, protokoły kryptograficzne) potrzebne jest możliwie czyste splątanie kwantowego

41 Aksjomaty Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Czego oczekujemy od dobrej miary splątania E? kwantowego

42 Aksjomaty Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Czego oczekujemy od dobrej miary splątania E? nieujemna, E( ψ ) 0 kwantowego

43 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Aksjomaty Czego oczekujemy od dobrej miary splątania E? nieujemna, E( ψ ) 0 znika dla stanów separowalnych, E( ψ sep ) = 0 kwantowego

44 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Aksjomaty Czego oczekujemy od dobrej miary splątania E? nieujemna, E( ψ ) 0 znika dla stanów separowalnych, E( ψ sep ) = 0 nie wzrasta przy lokalnych operacjach i klasycznej komunikacji, E(Λ( ψ )) E( ψ ) kwantowego

45 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Lokalne operacje i klasyczna komunikacja (LOCC) Typowy protokół komunikacyjny: Alicja i Bob są w odległych laboratoriach, posiadają po jednej cząstce kwantowego

46 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Lokalne operacje i klasyczna komunikacja (LOCC) Typowy protokół komunikacyjny: Alicja i Bob są w odległych laboratoriach, posiadają po jednej cząstce Alicja wykonuje pomiar, przesyła wynik Bobowi (klasycznym kanałem, np. przez telefon) kwantowego

47 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Lokalne operacje i klasyczna komunikacja (LOCC) Typowy protokół komunikacyjny: Alicja i Bob są w odległych laboratoriach, posiadają po jednej cząstce Alicja wykonuje pomiar, przesyła wynik Bobowi (klasycznym kanałem, np. przez telefon) w zależności od wyniku Bob wykonuję jakąś operację, np. ewolucję unitarna kwantowego

48 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Lokalne operacje i klasyczna komunikacja (LOCC) Typowy protokół komunikacyjny: Alicja i Bob są w odległych laboratoriach, posiadają po jednej cząstce Alicja wykonuje pomiar, przesyła wynik Bobowi (klasycznym kanałem, np. przez telefon) w zależności od wyniku Bob wykonuję jakąś operację, np. ewolucję unitarna Bob wykonuje pomiar, przesyła wynik Alicji kwantowego

49 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Lokalne operacje i klasyczna komunikacja (LOCC) Typowy protokół komunikacyjny: Alicja i Bob są w odległych laboratoriach, posiadają po jednej cząstce Alicja wykonuje pomiar, przesyła wynik Bobowi (klasycznym kanałem, np. przez telefon) w zależności od wyniku Bob wykonuję jakąś operację, np. ewolucję unitarna Bob wykonuje pomiar, przesyła wynik Alicji... kwantowego

50 LOCC - c. d. Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Protokół może wytworzyć klasyczne korelacje pomiędzy układami Alicji i Boba kwantowego

51 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność LOCC - c. d. Protokół może wytworzyć klasyczne korelacje pomiędzy układami Alicji i Boba Miara splątania powinna mierzyć korelacje niemożliwe do odtworzenia klasycznie... kwantowego

52 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność LOCC - c. d. Protokół może wytworzyć klasyczne korelacje pomiędzy układami Alicji i Boba Miara splątania powinna mierzyć korelacje niemożliwe do odtworzenia klasycznie dlatego ma nie wzrastać przy wykonywaniu operacji tylko na jednym podukładzie i przy klasycznej komunikacji (entanglement monotone) kwantowego

53 Częściowy ślad Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Załóżmy, że mamy układ dwóch cząstek ρ na przestrzeni H A H B. kwantowego

54 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Częściowy ślad Załóżmy, że mamy układ dwóch cząstek ρ na przestrzeni H A H B. Operacja częściowego śladu polega na odrzuceniu drugiego układu (interesuje nas tylko opis stanu pierwszego układu): Tr B ρ = i i ρ i, i H B kwantowego

55 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Częściowy ślad Załóżmy, że mamy układ dwóch cząstek ρ na przestrzeni H A H B. Operacja częściowego śladu polega na odrzuceniu drugiego układu (interesuje nas tylko opis stanu pierwszego układu): Tr B ρ = i i ρ i, i H B Np. ρ = ρ A E, E - nieznany stan otoczenia (laboratorium, reszty Wszechświata...) kwantowego

56 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Częściowy ślad Załóżmy, że mamy układ dwóch cząstek ρ na przestrzeni H A H B. Operacja częściowego śladu polega na odrzuceniu drugiego układu (interesuje nas tylko opis stanu pierwszego układu): Tr B ρ = i i ρ i, i H B Np. ρ = ρ A E, E - nieznany stan otoczenia (laboratorium, reszty Wszechświata...) Interesuje nas tylko stan ρ A, więc uśredniamy po możliwych stanach otoczenia. kwantowego

57 Stany EPR Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Dla separowalnego stanu ψ = 00 mamy: Tr B ψ ψ = 0 0 stan czysty (pełna informacja o stanie) kwantowego

58 Stany EPR Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Dla separowalnego stanu ψ = 00 mamy: Tr B ψ ψ = 0 0 stan czysty (pełna informacja o stanie) Dla stanu EPR ψ = 1 2 ( ) Tr B ψ ψ = stan całkowicie mieszany (pełna losowość, brak informacji o stanie) kwantowego

59 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Stany EPR Dla separowalnego stanu ψ = 00 mamy: Tr B ψ ψ = 0 0 stan czysty (pełna informacja o stanie) Dla stanu EPR ψ = 1 2 ( ) Tr B ψ ψ = stan całkowicie mieszany (pełna losowość, brak informacji o stanie) Z punktu widzenia Alicji stan jej cząstki jest całkowicie losowy. kwantowego

60 Entropia Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Best possible knowledge of a whole does not include best possible knowledge of its parts and this is what keeps coming back to haunt us (Erwin Schrödinger, 1935). kwantowego

61 Entropia Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Best possible knowledge of a whole does not include best possible knowledge of its parts and this is what keeps coming back to haunt us (Erwin Schrödinger, 1935). Miarą losowości jest entropia kwantowego

62 Entropia von Neumanna Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Dla dowolnego stanu ρ określamy jego entropię S(ρ) = Tr(ρ log ρ) kwantowego

63 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Dla dowolnego stanu ρ określamy jego entropię S(ρ) = Tr(ρ log ρ) Dla stanu ψ H A H B określamy entropię von Neumanna: S(ψ) = S (Tr B ψ ψ ) kwantowego

64 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Dla dowolnego stanu ρ określamy jego entropię S(ρ) = Tr(ρ log ρ) Dla stanu ψ H A H B określamy entropię von Neumanna: S(ψ) = S (Tr B ψ ψ ) Mamy: S(ψ) = i λ i 2 log λ i 2 λ i - liczby Schmidta kwantowego

65 Entropia von Neumanna Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Nieujemna kwantowego

66 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Nieujemna Znika dla stanów separowalnych kwantowego

67 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Nieujemna Znika dla stanów separowalnych Maksymalna dla stanów typu EPR kwantowego

68 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Nieujemna Znika dla stanów separowalnych Maksymalna dla stanów typu EPR Jest LOCC-monotoniczna kwantowego

69 Destylowalność Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna ma wyraźny sens operacyjny kwantowego

70 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Destylowalność Entropia von Neumanna ma wyraźny sens operacyjny Wyobraźmy sobie, że mamy m kopii dowolnego stanu ψ, ψ... ψ kwantowego

71 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Destylowalność Entropia von Neumanna ma wyraźny sens operacyjny Wyobraźmy sobie, że mamy m kopii dowolnego stanu ψ, ψ... ψ Chcemy za pomocą jakiegoś LOCC-protokołu otrzymać możliwie dużo n stanów EPR (destylacja splątania) ψ m LOCC EPR n kwantowego

72 Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Destylowalność Entropia von Neumanna ma wyraźny sens operacyjny Wyobraźmy sobie, że mamy m kopii dowolnego stanu ψ, ψ... ψ Chcemy za pomocą jakiegoś LOCC-protokołu otrzymać możliwie dużo n stanów EPR (destylacja splątania) ψ m LOCC EPR n Okazuje się, że n lim m m = S(ψ)! kwantowego

73 Destylowalność Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna ma wyraźny sens operacyjny Wyobraźmy sobie, że mamy m kopii dowolnego stanu ψ, ψ... ψ Chcemy za pomocą jakiegoś LOCC-protokołu otrzymać możliwie dużo n stanów EPR (destylacja splątania) ψ m LOCC EPR n n Okazuje się, że lim m m = S(ψ)! Stan EPR służy tu jako jednostka zasobu, jakim jest splątanie kwantowego

74 Ułlady wielu cząstek Co z układami więcej niż dwóch cząstek (np. H 1 H 2 H 3 )? kwantowego

75 Ułlady wielu cząstek Co z układami więcej niż dwóch cząstek (np. H 1 H 2 H 3 )? W przeciwieństwie do układów dwóch cząstek nie ma kanonicznego stanu splątanego: GHZ = 1 2 ( ) W = 1 3 ( ) kwantowego

76 Stany GHZ i W Po odrzuceniu którejkolwiek z cząstek (częściowy ślad) stan GHZ staje się separowalny... kwantowego

77 Stany GHZ i W Po odrzuceniu którejkolwiek z cząstek (częściowy ślad) stan GHZ staje się separowalny a stan W pozostaje splątany! kwantowego

78 Stany GHZ i W Po odrzuceniu którejkolwiek z cząstek (częściowy ślad) stan GHZ staje się separowalny a stan W pozostaje splątany! W stanie GHZ cząstki są splątane tylko wszystkie naraz, a w stanie W są splątane parami kwantowego

79 Stany GHZ i W Po odrzuceniu którejkolwiek z cząstek (częściowy ślad) stan GHZ staje się separowalny a stan W pozostaje splątany! W stanie GHZ cząstki są splątane tylko wszystkie naraz, a w stanie W są splątane parami Co z innymi możliwościami? EPR EPR GHZ W + W GHZ... kwantowego

80 Desery Bibliografia Desery Splątanie stanów mieszanych Teoria odwzorowań dodatnich, kryterium Horodeckich Niezmienniki wielomianowe Uogólnione stany koherentne i wiele innych tematów. kwantowego

81 Desery Bibliografia Bibliografia K.Horodecki, M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki Quantum entanglement (arxiv: quant-ph/ ) I. Chuang, M. Nielsen Quantum Computation and Quantum Information kwantowego

82 Desery Bibliografia Bibliografia K.Horodecki, M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki Quantum entanglement (arxiv: quant-ph/ ) I. Chuang, M. Nielsen Quantum Computation and Quantum Information Na deser (niezwiązany z nauką): kwantowego

83 Desery Bibliografia Bibliografia K.Horodecki, M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki Quantum entanglement (arxiv: quant-ph/ ) I. Chuang, M. Nielsen Quantum Computation and Quantum Information Na deser (niezwiązany z nauką): students.mimuw.edu.pl/~mk249019/konkurs-bosch.html kwantowego

O spl ataniu kwantowym s lów kilka

O spl ataniu kwantowym s lów kilka O spl ataniu kwantowym s lów kilka Krzysztof Byczuk Instytut Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Warszawski http://www.physik.uni-augsburg.de/theo3/kbyczuk/index.html 30 styczeń 2006 Rozważania Einsteina,

Bardziej szczegółowo

interpretacje mechaniki kwantowej fotony i splątanie

interpretacje mechaniki kwantowej fotony i splątanie mechaniki kwantowej fotony i splątanie Jacek Matulewski Karolina Słowik Jarosław Zaremba Jacek Jurkowski MECHANIKA KWANTOWA DLA NIEFIZYKÓW Twierdzenie o nieklonowaniu Jak sklonować stan kwantowy? klonowanie

Bardziej szczegółowo

Informatyka kwantowa. Zaproszenie do fizyki. Zakład Optyki Nieliniowej. wykład z cyklu. Ryszard Tanaś. mailto:tanas@kielich.amu.edu.

Informatyka kwantowa. Zaproszenie do fizyki. Zakład Optyki Nieliniowej. wykład z cyklu. Ryszard Tanaś. mailto:tanas@kielich.amu.edu. Zakład Optyki Nieliniowej http://zon8.physd.amu.edu.pl 1/35 Informatyka kwantowa wykład z cyklu Zaproszenie do fizyki Ryszard Tanaś Umultowska 85, 61-614 Poznań mailto:tanas@kielich.amu.edu.pl Spis treści

Bardziej szczegółowo

Protokół teleportacji kwantowej

Protokół teleportacji kwantowej Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka Sekcja Informatyki Kwantowej, 9 stycznia 008 Teleportacja kwantowa 1993 Propozycja teoretyczna protokołu teleportacji

Bardziej szczegółowo

UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI. Entropie złożonych operacji kwantowych

UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI. Entropie złożonych operacji kwantowych UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Zakład Optyki Atomowej Entropie złożonych operacji kwantowych Wojciech Roga Praca magisterska pod kierunkiem prof. dr hab. Karola Życzkowskiego.

Bardziej szczegółowo

Splątanie a przesyłanie informacji

Splątanie a przesyłanie informacji Splątanie a przesyłanie informacji Jarosław A. Miszczak 21 marca 2003 roku Plan referatu Stany splątane Co to jest splątanie? Gęste kodowanie Teleportacja Przeprowadzone eksperymenty Możliwości wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Kwantowe stany splątane. Karol Życzkowski Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński 25 kwietnia 2017

Kwantowe stany splątane. Karol Życzkowski Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński 25 kwietnia 2017 B l i ż e j N a u k i Kwantowe stany splątane Karol Życzkowski Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński 25 kwietnia 2017 Co to jest fizyka? Kopnij piłkę! Co to jest fizyka? Kopnij piłkę! Kup lody i poczekaj

Bardziej szczegółowo

VIII. TELEPORTACJA KWANTOWA Janusz Adamowski

VIII. TELEPORTACJA KWANTOWA Janusz Adamowski VIII. TELEPORTACJA KWANTOWA Janusz Adamowski 1 1 Wprowadzenie Teleportacja kwantowa polega na przesyłaniu stanów cząstek kwantowych na odległość od nadawcy do odbiorcy. Przesyłane stany nie są znane nadawcy

Bardziej szczegółowo

Strategie kwantowe w teorii gier

Strategie kwantowe w teorii gier Uniwersytet Jagielloński adam.wyrzykowski@uj.edu.pl 18 stycznia 2015 Plan prezentacji 1 Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) 2 Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci 3 Kwantowanie

Bardziej szczegółowo

bity kwantowe zastosowania stanów splątanych

bity kwantowe zastosowania stanów splątanych bity kwantowe zastosowania stanów splątanych Jacek Matulewski Karolina Słowik Jarosław Zaremba Jacek Jurkowski MECHANIKA KWANTOWA DLA NIEFIZYKÓW Bit kwantowy zawiera więcej informacji niż bit klasyczny

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

Internet kwantowy. (z krótkim wstępem do informatyki kwantowej) Jarosław Miszczak. Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN

Internet kwantowy. (z krótkim wstępem do informatyki kwantowej) Jarosław Miszczak. Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN Internet kwantowy (z krótkim wstępem do informatyki kwantowej) Jarosław Miszczak Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN 16. stycznia 2012 Plan wystąpienia 1 Skąd się biorą stany kwantowe? Jak

Bardziej szczegółowo

VI. KORELACJE KWANTOWE Janusz Adamowski

VI. KORELACJE KWANTOWE Janusz Adamowski VI. KORELACJE KWANTOWE Janusz Adamowski 1 1 Korelacje klasyczne i kwantowe Zgodnie z teorią statystyki matematycznej współczynnik korelacji definiujemy jako cov(x, y) corr(x, y) =, (1) σ x σ y gdzie x

Bardziej szczegółowo

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową

Bardziej szczegółowo

Różne oblicza splątania kwantowego

Różne oblicza splątania kwantowego Różne oblicza splątania kwantowego Ryszard Horodecki Krajowe Centrum Informatyki Kwantowej, Zakład Optyki i Informacji Kwantowej Instytut Fizyki Teoretycznej i Astrofizyki, Uniwersytet Gdański Various

Bardziej szczegółowo

Komputery Kwantowe. Sprawy organizacyjne Literatura Plan. Komputery Kwantowe. Ravindra W. Chhajlany. 27 listopada 2006

Komputery Kwantowe. Sprawy organizacyjne Literatura Plan. Komputery Kwantowe. Ravindra W. Chhajlany. 27 listopada 2006 Sprawy organizacyjne Literatura Plan Ravindra W. Chhajlany 27 listopada 2006 Ogólne Sprawy organizacyjne Literatura Plan Współrzędne: Pokój 207, Zakład Elektroniki Kwantowej. Telefon: (0-61)-8295005 Email:

Bardziej szczegółowo

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię

Bardziej szczegółowo

Informatyka kwantowa. Karol Bartkiewicz

Informatyka kwantowa. Karol Bartkiewicz Informatyka kwantowa Karol Bartkiewicz Informacja = Wielkość fizyczna Jednostka informacji: Zasada Landauera: I A =log 2 k B T ln 2 1 P A R. Landauer, Fundamental Physical Limitations of the Computational

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych

Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych mgr inż. Olga Siedlecka olga@icis.pcz.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.1/35 Plan seminarium

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp 2 Wkład własny do teorii splątania zawarty w pracy... 5

Spis treści. Wstęp 2 Wkład własny do teorii splątania zawarty w pracy... 5 Spis treści Wstęp 2 Wkład własny do teorii splątania zawarty w pracy................. 5 1 Wprowadzenie do teorii kwantowych układów złożonych 7 1.1 Kwantowy rachunek prawdopodobieństwa..................

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI Zał. nr 4 do ZW 33/01 WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI, Instytut Fizyki (wykład w j. angielskim) KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Klasyczna i kwantowa kryptografia Nazwa w języku angielskim

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Modelu Standardowego

Wstęp do Modelu Standardowego Wstęp do Modelu Standardowego Plan Wstęp do QFT (tym razem trochę równań ) Funkcje falowe a pola Lagranżjan revisited Kilka przykładów Podsumowanie Tomasz Szumlak AGH-UST Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej

Bardziej szczegółowo

O symetrycznej rozszerzalności stanów kwantowych i jej zastosowaniach

O symetrycznej rozszerzalności stanów kwantowych i jej zastosowaniach Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Kwantowej Streszczenie rozprawy doktorskiej O symetrycznej rozszerzalności stanów kwantowych

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny , granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

Wstęp do algorytmiki kwantowej

Wstęp do algorytmiki kwantowej Koło naukowe fizyków Migacz, Uniwersytet Wrocławski Komputer kwantowy - co to właściwie jest? Komputer kwantowy Komputer, którego zasada działania nie może zostać wyjaśniona bez użycia formalizmu mechaniki

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inspirowane Naturą

Obliczenia inspirowane Naturą Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 11 - Podstawy obliczeń kwantowych Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 12/05/2016 1 / 30 Na poprzednim wykładzie 1 Zasada działania mrówek stygmergia. 2 Algorytm S-ACO.

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inspirowane Naturą

Obliczenia inspirowane Naturą Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 07 - Podstawy obliczeń kwantowych Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 27/10/2016 1 / 29 1 Wprowadzenie Obliczanie Motywacja fizyczna Motywacja kryptograficzna 2 2 /

Bardziej szczegółowo

Wstęp do komputerów kwantowych

Wstęp do komputerów kwantowych Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność

Bardziej szczegółowo

Modelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo?

Modelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Modelowanie Preferencji a Ryzyko Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Marek Szopa U n iwe r s y t e t Ś l ą s k i INSTYTUT FIZYKI im. Augusta Chełkowskiego Zakład Fizyki Teoretycznej Klasyczny

Bardziej szczegółowo

Rozdział. Symulacyjne badanie splątania w protokołach kryptograficznych Motywacja

Rozdział. Symulacyjne badanie splątania w protokołach kryptograficznych Motywacja Rozdział Symulacyjne badanie splątania w protokołach kryptograficznych 1 Piotr GAWRON Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN gawron@iitis.gliwice.pl Jarosław MISZCZAK Instytut Informatyki Teoretycznej

Bardziej szczegółowo

Modelling of quantum informatics systems with the use of quantum programming languages and symbolic computation

Modelling of quantum informatics systems with the use of quantum programming languages and symbolic computation Modelling of quantum informatics systems with the use of quantum programming languages and symbolic computation Jarosław Miszczak Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Polskiej Akademii Nauk Wojskowa

Bardziej szczegółowo

1 Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek

1 Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek. Grupa SU(N) Unitarne (zespolone) macierze N N można sparametryzować pzez N rzeczywistych parametrów. Ale detu =, unitarność: U U = narzucają dodatkowe warunki. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Modelu Standardowego

Wstęp do Modelu Standardowego Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory

Bardziej szczegółowo

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga . Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki XXXI Sesja KNM UŚ Motywacje, intuicje, konstrukcje Szczyrk 10 13 listopada 2011 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Instytut Fizyki Teoretycznej i Astrofizyki Uniwersytet Gdański Gdańsk, Sprawozdanie z pracy naukowej w roku 2005

Instytut Fizyki Teoretycznej i Astrofizyki Uniwersytet Gdański Gdańsk, Sprawozdanie z pracy naukowej w roku 2005 Instytut Fizyki Teoretycznej i Astrofizyki Uniwersytet Gdański Gdańsk, 2006-01-10 Sprawozdanie z pracy naukowej w roku 2005 1. SYNTETYCZNE PODSUMOWANIE DZIAŁALNOŚCI NAUKOWO-BADAWCZEJ Źródła finansowania

Bardziej szczegółowo

Gry kwantowe na łańcuchach spinowych

Gry kwantowe na łańcuchach spinowych Gry kwantowe na łańcuchach spinowych Jarosław Miszczak we współpracy z Piotrem Gawronem i Zbigniewem Puchałą Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN w Gliwicach J.A.M., Z. Puchała, P. Gawron

Bardziej szczegółowo

Wykład 13 Mechanika Kwantowa

Wykład 13 Mechanika Kwantowa Wykład 13 Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński mrow@if.pw.edu.pl Wydział Fizyki Politechnika Warszawska 25 maja 2016 Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 13 25 maja 2016 1 / 21 Wprowadzenie Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

W5. Komputer kwantowy

W5. Komputer kwantowy W5. Komputer kwantowy Komputer klasyczny: Informacja zapisana w postaci bitów (binary digit) (sygnał jest albo go nie ma) W klasycznych komputerach wartość bitu jest określona przez stan pewnego elementu

Bardziej szczegółowo

Wstęp do komputerów kwantowych

Wstęp do komputerów kwantowych Obwody kwantowe Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Obwody kwantowe Bramki kwantowe 1 Algorytmy kwantowe 2 3 4 Algorytmy kwantowe W chwili obecnej znamy dwie obszerne

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Wykłady z Mechaniki Kwantowej Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (017) Wykład 6 Długoletnie błądzenie w ciemnościach w poszukiwaniu prawdy odczuwanej, lecz nieuchwytnej,

Bardziej szczegółowo

Język programowania komputerów kwantowych oparty o model macierzy gęstości

Język programowania komputerów kwantowych oparty o model macierzy gęstości oparty o model macierzy gęstości (Promotorski) Piotr Gawron Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN 13 grudnia 2008 Plan wystąpienia Wstęp Motywacja Teza pracy Model obliczeń kwantowych Operacje

Bardziej szczegółowo

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Część Pierwsza

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Część Pierwsza 1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Część Pierwsza Notatki Piotra Szańkowskiego SŁOWO WSTĘPNE Mechanika kwantowa, w przeciwieństwie do klasycznych teorii fizycznych, wydaję się być zagmatwana, nieintuicyjna

Bardziej szczegółowo

Radosław Chrapkiewicz, Piotr Migdał (SKFiz UW) Optyczny wzmacniacz parametryczny jako źródło splątanych par fotonów

Radosław Chrapkiewicz, Piotr Migdał (SKFiz UW) Optyczny wzmacniacz parametryczny jako źródło splątanych par fotonów Optyczny wzmacniacz parametryczny jako źródło splątanych par fotonów Radosław Chrapkiewicz, Piotr Migdał (SKFiz UW) VII OSKNF 8 XI 2008 Plan Po co nam optyka kwantowa? Czerwony + Czerwony = Niebieski?

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Niezwykłe cechy informacji kwantowej

Niezwykłe cechy informacji kwantowej Niezwykłe cechy informacji kwantowej Michał Horodecki Instytut Fizyki Teoretycznej i Astrofizyki, Uniwersytet Gdański 1. Wstęp Koncepcja informacji kwantowej zrodziła się na pograniczu dwóch dziedzin:

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy

Bardziej szczegółowo

Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych

Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

TEORIE KWANTOWE JAKO PODSTAWA NOWOCZESNEJ KRYPTOGRAFII QUANTUM TEORIIES AS MODERN CRYPTOGRAPHY BASIS

TEORIE KWANTOWE JAKO PODSTAWA NOWOCZESNEJ KRYPTOGRAFII QUANTUM TEORIIES AS MODERN CRYPTOGRAPHY BASIS ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE z. XX XXXX Nr kol. XXXX Marcin SOBOTA Politechnika Śląska Wydział Organizacji i Zarządzania Instytut Ekonometrii i Informatyki TEORIE

Bardziej szczegółowo

TELEPORTACJA NIEZNANEGO STANU KWANTOWEGO

TELEPORTACJA NIEZNANEGO STANU KWANTOWEGO ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 04 Seria: ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE z. 68 Nr kol. 905 Marcin SOBOTA Politechnika Śląska Wydział Organizacji i Zarządzania TELEPORTACJA NIEZNANEGO STANU KWANTOWEGO

Bardziej szczegółowo

Redukcja wariancji w metodach Monte-Carlo

Redukcja wariancji w metodach Monte-Carlo 14.02.2006 Seminarium szkoleniowe 14 lutego 2006 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda

Bardziej szczegółowo

Projekt matematyczny

Projekt matematyczny Projekt matematyczny Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki Katowice VI Święto Liczby π 15 marca 2012 r. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 1 / 32 Wielkie twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Podstawy mechaniki kwantowej / Stanisław Szpikowski. - wyd. 2. Lublin, Spis treści

Podstawy mechaniki kwantowej / Stanisław Szpikowski. - wyd. 2. Lublin, Spis treści Podstawy mechaniki kwantowej / Stanisław Szpikowski. - wyd. 2. Lublin, 2011 Spis treści Przedmowa 15 Przedmowa do wydania drugiego 19 I. PODSTAWY I POSTULATY 1. Doświadczalne podłoŝe mechaniki kwantowej

Bardziej szczegółowo

[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3)

[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3) . WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1.. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI.1. Tensory macierzy Niech macierz [D] będzie macierzą cosinusów kierunkowych [ D ]=[ i ' j ] (.1) Macierz transformowana jest równa macierzy

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30 Zał. nr do ZW 33/01 WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Podstawy fizyki kwantowej Nazwa w języku angielskim Fundamental of Quantum Physics Kierunek studiów (jeśli

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Notacja Diraca. Rozdział Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu

Notacja Diraca. Rozdział Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu 3.10.2004 7. Notacja Diraca 84 Rozdział 7 Notacja Diraca 7.1 Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu Do tej pory posługiwaliśmy się postulatem, że stan układu fizycznego jest w mechanice kwantowej w pełni

Bardziej szczegółowo

L.O. św. Marii Magdaleny w Poznaniu, O POŻYTKACH PŁYN ACYCH Z RZUCANIA MONETA. Tomasz Łuczak

L.O. św. Marii Magdaleny w Poznaniu, O POŻYTKACH PŁYN ACYCH Z RZUCANIA MONETA. Tomasz Łuczak L.O. św. Marii Magdaleny w Poznaniu, 27.11.2015 O POŻYTKACH PŁYN ACYCH Z RZUCANIA MONETA Tomasz Łuczak NA POCZATEK DOBRA WIADOMOŚĆ! Dzięki naszym o hojnym sponsorom: Poznańskiej Fundacji Matematycznej

Bardziej szczegółowo

MOŻLIWOŚCI PRZESYŁANIA INFORMACJI W SIECIACH Z WYKORZYSTANIEM EFEKTÓW KWANTOWYCH 1

MOŻLIWOŚCI PRZESYŁANIA INFORMACJI W SIECIACH Z WYKORZYSTANIEM EFEKTÓW KWANTOWYCH 1 STUDIA INFORMATICA 003 Volume 4 Number A (53) Jarosław A. MISZCZAK Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN MOŻLIWOŚCI PRZESYŁANIA INFORMACJI W SIECIACH Z WYKORZYSTANIEM EFEKTÓW KWANTOWYCH 1

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do kryptografii kwantowej

Wprowadzenie do kryptografii kwantowej Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego 31 maja 2007 Kilka słów o kryptografii klasycznej Podstawowe pojęcia Przykład LOCC destylacja splątania quantum error-correction Wzmacnianie prywatności

Bardziej szczegółowo

Praca Doktorska. Destylacja splątania ze stanów mieszanych o niepełnym rzędzie macierzy gęstości. Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

Praca Doktorska. Destylacja splątania ze stanów mieszanych o niepełnym rzędzie macierzy gęstości. Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wydział Fizyki Praca Doktorska Destylacja splątania ze stanów mieszanych o niepełnym rzędzie macierzy gęstości Mikołaj Czechlewski Promotor pracy Prof. UAM

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Kurs w skrócie

Wstęp. Kurs w skrócie Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Paradoksy mechaniki kwantowej

Paradoksy mechaniki kwantowej Wykład XX Paradoksy mechaniki kwantowej Chociaż przewidywania mechaniki kwantowej są w doskonałej zgodności z eksperymentem, interpretacyjna strona teorii budzi poważne spory. Przebieg zjawisk w świecie

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

Układy liniowo niezależne

Układy liniowo niezależne Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using

Fizyka statystyczna.  This Book Is Generated By Wb2PDF. using http://pl.wikibooks.org/wiki/fizyka_statystyczna This Book Is Generated By Wb2PDF using RenderX XEP, XML to PDF XSL-FO Formatter 18-05-2014 Table of Contents 1. Fizyka statystyczna...4 Spis treści..........................................................................?

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

MIARY NIERÓWNOŚCI. 6. Miary oparte na kwantylach rozkładu dochodu

MIARY NIERÓWNOŚCI. 6. Miary oparte na kwantylach rozkładu dochodu MIARY NIERÓWNOŚCI Charakterystyka miar nierówności 2 Własności miar nierówności 3 Miary nierówności oparte o funkcję Lorenza 3 Współczynnik Giniego 32 Współczynnik Schutza 4 Miary nierówności wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

V. KWANTOWE BRAMKI LOGICZNE Janusz Adamowski

V. KWANTOWE BRAMKI LOGICZNE Janusz Adamowski V. KWANTOWE BRAMKI LOGICZNE Janusz Adamowski 1 1 Wprowadzenie Wykład ten poświęcony jest dokładniejszemu omówieniu własności kwantowych bramek logicznych (kwantowych operacji logicznych). Podstawowymi

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

h 2 h p Mechanika falowa podstawy pˆ 2

h 2 h p Mechanika falowa podstawy pˆ 2 Mechanika falowa podstawy Hipoteza de Broglie a Zarówno promieniowanie jak i cząstki materialne posiadają naturę dwoistą korpuskularno-falową. Z każdą mikrocząstką można związać pewien proces falowy pierwotnie

Bardziej szczegółowo

Streszczenie rozprawy doktorskiej: Charakteryzacja i detekcja wielocząstkowego splątania

Streszczenie rozprawy doktorskiej: Charakteryzacja i detekcja wielocząstkowego splątania Mgr Marcin Markiewicz Instytut Fizyki Teoretycznej i Astrofizyki Uniwersytetu Gdańskiego Wita Stwosza 57, 80-952 Gdańsk Gdańsk, 10.03.2014 Streszczenie rozprawy doktorskiej: Charakteryzacja i detekcja

Bardziej szczegółowo

Układy stochastyczne

Układy stochastyczne Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.

Bardziej szczegółowo

W przypadku układów złożonych z dwóch lub więcej podukładów wyróżnia się klasę stanów separowalnych

W przypadku układów złożonych z dwóch lub więcej podukładów wyróżnia się klasę stanów separowalnych Stany splątane Kryterium częściowej transpozycji W przypadku układów złożonych z dwóch lub więcej podukładów wyróżnia się klasę stanów separowalnych Stany czyste Projektor na wektor produktowy jest stanem

Bardziej szczegółowo

Symetrie w matematyce i fizyce

Symetrie w matematyce i fizyce w matematyce i fizyce Katedra Metod Matematycznych Fizyki Wydział Fizyki, Uniwersytet Warszawski Konwersatorium Wydziału Matematyki Warszawa, 27.02.2009 w matematyce to automorfizmy struktury Zbiór

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Teoria Informacji - wykład. Kodowanie wiadomości

Teoria Informacji - wykład. Kodowanie wiadomości Teoria Informacji - wykład Kodowanie wiadomości Definicja kodu Niech S={s 1, s 2,..., s q } oznacza dany zbiór elementów. Kodem nazywamy wówczas odwzorowanie zbioru wszystkich możliwych ciągów utworzonych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Geometria stanów kwantowych

Geometria stanów kwantowych Załącznik nr 1 do komunikatu dziekana WFAIS UJ nr 1/2014 Uniwersytet Jagielloński w Krakowie Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Konrad Szymański Nr albumu: 1089690 Geometria stanów kwantowych

Bardziej szczegółowo

Odkrywanie algorytmów kwantowych za pomocą programowania genetycznego

Odkrywanie algorytmów kwantowych za pomocą programowania genetycznego Odkrywanie algorytmów kwantowych za pomocą programowania genetycznego Piotr Rybak Koło naukowe fizyków Migacz, Uniwersytet Wrocławski Piotr Rybak (Migacz UWr) Odkrywanie algorytmów kwantowych 1 / 17 Spis

Bardziej szczegółowo