BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU STÓP ZWROTU NA GPW W WARSZAWIE Z ROZKŁADAMI GAUSSA I CAUCHY EGO

AKADEMIA EKONOMICZNA W POZNANIU Krzysztof Cichy BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU STÓP ZWROTU NA GPW W WARSZAWIE Z ROZKŁADAMI GAUSSA I CAUCHY EGO PRACA MAGISTERSKA Wydział Zarządzania Kierunek: Zarządzanie i Marketing Specjalność: Inwestycje Kapitałowe i Strategie Finansowe Przedsiębiorstwa Katedra Inwestycji i Rynków Kapitałowych Promotor: prof. zw. dr hab. Waldemar Frąckowiak POZNAŃ 24

Streszczenie Stopa zwrotu jest jednym z najważniejszych pojęć w teorii i praktyce finansów. W pracy tej podjęto próbę zbadania rozkładu dziennych, tygodniowych i miesięcznych stóp zwrotu dla 36 spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie. Opisane zostały modele wykorzystujące pojęcie stopy zwrotu i opierające się na założeniu o normalności rozkładu stóp zwrotu. Następnie, omówiono rozkłady teoretyczne, z którymi zgodność jest badana rozkład Gaussa i Cauchy ego i prace dotyczące badań zgodności rozkładów empirycznych na giełdach światowych (w szczególności na giełdzie amerykańskiej) z rozkładami teoretycznymi początkowo głównie rozkładem normalnym, a później również z wieloma rodzinami rozkładów, takimi jak α- stabilne rozkłady Pareto-Levy ego. W dalszej części pracy omówiono metodykę badania i wyniki badań. Sugerują one, że rozkład dziennych i tygodniowych stóp zwrotu nie jest normalny, a część centralna rozkładów dziennych stóp zwrotu może być modelowana za pomocą rozkładu Cauchy ego. Rozkład miesięcznych stóp zwrotu jest normalny dla niespełna połowy badanych spółek. Na tej podstawie wysunięto wnioski dotyczące przyczyny takiego stanu rzeczy i wskazano kierunki dalszych badań. 2

Spis treści STRESZCZENIE 2 SPIS TREŚCI 3 WSTĘP 5 1. POJĘCIE STOPY ZWROTU I JEJ WYKORZYSTANIE W MODELACH RYNKU KAPITAŁOWEGO 8 1.1. Definicja stopy zwrotu 8 1.2. Horyzont czasowy stopy zwrotu 9 1.2.1. Fluktuacje stopy zwrotu 9 1.2.2. Stopa zwrotu w średnim okresie 9 1.2.3. Stopy zwrotu w długim okresie 1 1.3. Składniki stopy zwrotu 11 1.4. Modele rynku kapitałowego wykorzystujące pojęcie stopy zwrotu 12 1.4.1. Teoria portfela 12 1.4.2. Model jednowskaźnikowy Sharpe a 27 1.4.3. Model wyceny aktywów kapitałowych CAPM 31 1.4.4. Model Blacka-Scholesa 36 1.5. Podsumowanie 38 2. ROZKŁADY W STATYSTYCE I NA GIEŁDACH ŚWIATOWYCH 39 2.1. Rozkład normalny 39 2.1.1. Rozkład dwumianowy 4 2.1.2. Wyprowadzenie rozkładu normalnego 4 2.1.3. Związek modelu Laplace a błędów pomiarowych z zachowaniem stóp zwrotu na giełdzie papierów wartościowych 42 2.1.4. Rozkład normalny standaryzowany 44 2.2. Rozkład Cauchy ego 45 2.2.1. Rozkład Studenta 45 2.2.2. Przejście do rozkładu Cauchy ego 45 2.2.3. Uwagi o rozkładzie Cauchy ego 46 2.3. Stabilne rozkłady Pareto-Levy ego 47 2.3.1. Pojęcie funkcji charakterystycznej 47 2.3.2. Definicja 48 2.3.3. Parametry rozkładu 48 2.3.4. Interesująca własność rozkładów stabilnych 49 2.4. Rozkłady na giełdach światowych 5 2.4.1. Początki badań 5 2.4.2. Klasyczne prace 51 2.4.3. Ostatnie badania 6 2.4.4. Podsumowanie 63 2.5. Badania polskich autorów 65 3

3. METODYKA BADAŃ EMPIRYCZNYCH 67 3.1. Definicja stopy zwrotu 67 3.2. Testy zgodności rozkładów 69 3.2.1. Test zgodności chi-kwadrat Pearsona 69 3.2.2.Test Kołmogorowa-Lillieforsa 71 3.2.3. Test normalności Shapiro-Wilka 72 3.2.4. Uwagi na temat zastosowania testów 72 3.2.5. Test graficzny 73 3.3. Estymacja parametrów rozkładu Cauchy ego 74 3.4. Dane do badań 75 4. WYNIKI BADAŃ 77 4.1. Dzienne stopy zwrotu zgodność z rozkładem normalnym i rozkładem Cauchy ego 77 4.1.1. Zestawienie zbiorcze 77 4.1.2. Grupa A 8 4.1.3. Grupa B 82 4.1.4. Grupa C 84 4.1.5. Grupa D 86 4.1.6. Grupa E 88 4.1.7. Grupa F 9 4.1.8. Grupa G 92 4.1.9. Podsumowanie 94 4.2. Tygodniowe stopy zwrotu zgodność z rozkładem normalnym 95 4.3. Miesięczne stopy zwrotu zgodność z rozkładem normalnym 97 4.3.1. Zestawienie zbiorcze 97 4.3.2. Grupa A 99 4.3.3. Grupa B 1 4.3.4. Grupa C 11 4.3.5. Grupa D 12 4.1.6. Grupa E 14 4.3.7. Grupa F 15 4.1.8. Grupa G 16 4.3.9. Podsumowanie 17 4.4. Podsumowanie 18 ZAKOŃCZENIE 11 SPIS LITERATURY 115 SPIS TABEL 12 SPIS WYKRESÓW 121 ANEKS 122 4

Wstęp Ekonomia jest nauką o efektywności gospodarowania. Miernikiem tej efektywności, a więc jednym z najważniejszych i najczęściej wykorzystywanych pojęć w ekonomii, jest stopa zwrotu. Szczególnym rodzajem stopy zwrotu jest stopa zwrotu z papieru wartościowego, mierząca ile bogactwa przysporzyło właścicielowi papieru jego posiadanie. Stopy zwrotu z akcji charakteryzują się pewnym rozkładem, który można przybliżyć za pomocą rozkładu normalnego. Nasuwa się w związku z tym pytanie, na ile to przybliżenie jest ścisłe i bliskie prawdzie. Czy istnieją inne rozkłady, które lepiej niż przybliżają empiryczny rozkład stóp zwrotu z akcji? W pracy tej podjęto próbę odpowiedzi na to pytanie. Badania empiryczne przeprowadzone na giełdach światowych jednoznacznie pokazały, że nie może być użyty do opisu dziennych stóp zwrotu, ale może nadawać się do opisu stóp o dłuższym horyzoncie czasowym, w szczególności miesięcznych. Niestety, w Polsce nie przeprowadzono wielu badań tego typu, a zagadnienie to jest istotne z wielu punktów widzenia, m.in. dlatego, że duża część modeli rynku kapitałowego opiera się na założeniu normalności rozkładu stóp zwrotu. Niespełnienie tego założenia prowadzi więc do pytań o możliwość stosowania takich modeli, jak model CAPM czy model Blacka-Scholesa. Odstępstwa od rozkładu normalnego mogą być małe i nie powodować problemów ze stosowaniem modeli - za cenę przyjęcia upraszczających założeń otrzymujemy bowiem relatywnie prosty i łatwy do wykorzystania w praktyce model. Odstępstwa te mogą być jednak na tyle duże, że modele przyjmujące założenie o normalności okażą się zbyt grubym przybliżeniem. Celem tej pracy jest więc sprawdzenie założenia o normalności rozkładu stóp zwrotu na rynku polskim. Jako lepsze przybliżenie rozkładu empirycznego zaproponowany zostaje inny rozkład teoretyczny zwany rozkładem Cauchy ego. Ze względu na to, że rozkład ten charakteryzuje się większą wysmukłością i grubszymi ogonami, które to cechy rozkładów empirycznych zaobserwować 5

można na pierwszy rzut oka, można przypuszczać, że lepiej opisuje rozkłady empiryczne. Nie należy się jednak spodziewać idealnej zgodności z tym rozkładem, gdyż jest on w pewnym sensie przypadkiem skrajnym. Zbliżanie się do rozkładu Cauchy ego potwierdza jednak wyniki badań na giełdach światowych, że bardzo dobrze do opisu rozkładów empirycznych należy pewna klasa rozkładów, zwanych α-stabilnymi rozkładami Pareto-Levy ego. W pracy tej hipoteza ta może zostać w sposób pośredni potwierdzona. Zbadane zostały rozkłady dziennych, tygodniowych i miesięcznych stóp zwrotu dla 36 spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie w okresie od momentu wprowadzenia każdej spółki do 1 sierpnia 23 roku. Stopa zwrotu została zdefiniowana na dwa sposoby, a dalej zbadano, czy wybór którejś definicji ma istotne znaczenie dla wyników. Dodatkowo, zbadano rozkłady logarytmu ceny akcji. W pracy zastosowano metody statystyczne badań zgodności rozkładów. Wybrano testy chi-kwadrat, Kołmogorowa-Lillieforsa i Shapiro-Wilka ze względu na to, że są one uważane za najlepsze testy zgodności. Pierwsze dwa z tych testów użyto do badania zarówno zgodności z rozkładem normalnym, jak i rozkładem Cauchy ego. Test Shapiro-Wilka przeznaczony jest wyłącznie do badań normalności i uważany jest za test o największej mocy, ale można go zastosować tylko do małych prób (miesięcznych stóp zwrotu). Wnioski wynikające z tych testów zostały zweryfikowane dodatkowo testem graficznym, polegającym na ocenie podobieństwa kształtu funkcji gęstości. Praca składa się z czterech rozdziałów, wstępu, zakończenia i aneksu. W pierwszym rozdziale zanalizowano pojęcie stopy zwrotu i omówiono modele wykorzystujące to pojęcie, ze szczególnym uwzględnieniem modeli zakładających normalność stóp zwrotu teorii portfela, modelu wyceny aktywów kapitałowych CAPM i modelu wyceny opcji Blacka-Scholesa. Zwrócona została uwaga na znaczenie założenia o normalności stopy zwrotu dla modeli. Rozdział ten opracowano w oparciu o polskojęzyczną literaturę dotyczącą rynku kapitałowego. 6

W drugim rozdziale omówiono rozkłady teoretyczne rozkład Gaussa (wraz z wyprowadzeniem) oraz rozkład Cauchy ego i całą klasę α-stabilnych rozkładów Pareto-Levy ego, których przypadkami szczególnymi są wspomniane dwa rozkłady. Rozdział ten zawiera także chronologiczny przegląd badań dotyczących rozkładów stóp zwrotu na giełdach światowych i wniosków z nich wypływających. Opracowany został w oparciu o polsko- i angielskojęzyczne książki dotyczące statystyki oraz artykuły opisujące wspomniane badania. W trzecim rozdziale omówiono metodykę badania empirycznego, a w szczególności konstrukcję wykorzystanych testów zgodności z rozkładami teoretycznymi oraz samą definicję stopy zwrotu. Podstawą opracowania rozdziału były książki na temat statystyki i oryginalne prace wyprowadzające testy zgodności. Czwarty rozdział prezentuje wyniki badań empirycznych. Dokonany zostaje podział spółek na grupy według długości okresu notowań na giełdzie. Dla każdej spółki przedstawione zostają wykresy funkcji gęstości rozkładu empirycznego i rozkładów teoretycznych rozkładu normalnego (dla dziennych i miesięcznych stóp zwrotu) i rozkładu Cauchy ego (tylko dla dziennych stóp zwrotu). Dane do badań zaczerpnięte zostały ze źródeł internetowych. Ostateczne wnioski wypływające z pracy zawarte są w zakończeniu. 7

1. Pojęcie stopy zwrotu i jej wykorzystanie w modelach rynku kapitałowego Podstawą praktycznie każdego modelu rynku kapitałowego jest, bezpośrednio lub pośrednio, pojęcie stopy zwrotu. Wraz z ryzykiem, stopa zwrotu determinuje zachowanie inwestora na rynku. Jednym z aksjomatów, na których opierają się te modele, jest założenie, że inwestorzy cenią wysoką stopę zwrotu i są niechętni ryzyku 1. W rozdziale tym pojęcie stopy zwrotu zostanie zanalizowane z ekonomicznego punktu widzenia. 1.1. Definicja stopy zwrotu Stopą zwrotu nazywamy stosunek korzyści uzyskanych z inwestycji do wartości zainwestowanego kapitału. Na przykład, w przypadku inwestycji w papiery wartościowe, stopą zwrotu będzie stosunkiem sumy różnicy ceny w danym okresie i okresie, w którym papier wartościowy został nabyty, i innych korzyści uzyskanych z tytułu posiadania papieru (np. dywidendy) do ceny, po której papier wartościowy został nabyty, tj.: P P P D + t t 1 t R t = (1.1) t 1 gdzie: R t stopa zwrotu w okresie t, P t cena papieru wartościowego w okresie t, D t inne korzyści z posiadania papieru wartościowego (dywidenda). W praktyce, formuły definiujące stopę zwrotu mogą być różne. Formuła wykorzystana w badaniach przeprowadzonych w tej pracy zostanie przedstawiona i omówiona w rozdziale 3. Jej ekonomiczny sens jest jednak taki sam mierzy jak bardzo inwestor bogaci się inwestując i spełnia podstawowy aksjomat, że wyższemu jej poziomowi odpowiada większe zadowolenie (użyteczność) inwestora (przy danym poziomie ryzyka). 1 E. Elton, M. Gruber Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych, WIG Press, Warszawa 1998, s.24. 8

W dalszych rozważaniach pod pojęciem stopy zwrotu będziemy rozumieć stopę zwrotu z akcji. Rozważać będziemy tylko akcje notowane na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie. 1.2. Horyzont czasowy stopy zwrotu W zależności od długości od długości odcinka czasu (t-1; t) możemy wyróżnić różne rodzaje stóp zwrotu. Czynniki, od których zależą wartości poszczególnych rodzajów stóp zwrotu, są różne. Jeżeli długość odcinka czasu jest niewielka (np. kilka godzin), dominują czynniki losowe tj. niezależne od rzeczywistej kondycji spółki. Jeżeli długość tego odcinka jest duża (np. kilkanaście miesięcy), można przyjąć, że stopa zwrotu zależy od rzeczywistej wartości spółki. 1.2.1. Fluktuacje stopy zwrotu Krótkookresowe stopy zwrotu nie zawsze mają interpretację ekonomiczną. Im krótszy okres, tym większy wpływ na kształtowanie się kursu akcji mają czynniki losowe. Przykładem takich czynników są działania spekulantów, którzy mogą istotnie wpłynąć na kurs akcji w danym momencie. Ich długookresowy wpływ jest jednak niewielki, gdyż spekulacyjny poziom kursu zostaje szybko sprowadzony przez rynek do jego uzasadnionej wartości. Gdyby to bowiem nie nastąpiło, istniałaby możliwość zarobku bez ryzyka (arbitrażu) wiedząc, że np. kurs jest znacznie zawyżony, inwestorzy mogliby zagrać na jego zniżkę. Rynek kapitałowy jest jednak efektywny dla stóp zwrotu ma to takie znaczenie, że krótkookresowe fluktuacje istnieją, ale nie mają wielkiego znaczenia ekonomicznego muszą bowiem szybko znikać, aby kurs akcji odpowiadał kursowi uzasadnionemu aktualnym stanem wiedzy inwestorów na temat spółki oraz jej działalności i wyników. 1.2.2. Stopa zwrotu w średnim okresie W pracy zostanie zbadane przede wszystkim zachowanie stóp zwrotu w średnim okresie tj. takim, w którym istotny wpływ mają zarówno czynniki 9

losowe, jak i inne czynniki związane z działalnością spółki i z otoczeniem mikro- i makroekonomicznym, w którym funkcjonuje. Wśród czynników tych należy wymienić: sytuację rynkową spółki, wyniki finansowe spółki, inne informacje na temat spółki, dostępne publicznie, informacje na temat branży, w której spółka funkcjonuje, czynniki makroekonomiczne, wpływające na daną spółkę, inne. Wpływu wszystkich tych czynników na stopę zwrotu nie da się przewidzieć a priori stopa zwrotu jest więc zmienną losową jej wysokość zależy od stanu wielu różnych czynników w przyszłości.. Stopa zwrotu w średnim okresie ma już znacznie bardziej wyraźną interpretację ekonomiczną. Można przyjąć, że im wyższa stopa zwrotu, tym lepsza spółka i jej wyniki w danym okresie. Oznacza to, że jeżeli wiemy, że na akcjach spółki A stopa zwrotu wynosi np. 1% w ciągu roku, a spółki B 1% w tym samym okresie, to z dużym prawdopodobieństwem różnica ta wynika z tego, że spółka A jest lepsza od spółki B tj. np. osiągnęła wyższy zysk z jednostki kapitałów własnych. Jeżeli podane stopy zwrotu odnosiłyby się do kilku godzin lub jednego dnia, różnica ta mogłaby wynikać tylko i wyłącznie z czynników losowych, działań spekulacyjnych itp., tj. nie można by stwierdzić na tej podstawie, która spółka jest lepsza. W pracy tej zbadane zostanie zachowanie stóp zwrotu: dziennych, tygodniowych i miesięcznych. 1.2.3. Stopy zwrotu w długim okresie W długim okresie wpływ czynników losowych jest niewielki, a stopy zwrotu zależą niemal wyłącznie od zmiennych związanych z działalnością spółki. W pracy tej stopy takie nie będą badane ze względu na stosunkowo krótki czas 1

funkcjonowania Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie od 1991 roku. Materiał statystyczny jest więc niewystarczający dla przeprowadzenia tego typu analizy. 1.3. Składniki stopy zwrotu Każda inwestycja może być traktowana jako bieżące wyrzeczenie (rezygnacja z bieżącej konsumpcji) dla niepewnych przyszłych korzyści. Inwestor oczekuje za to wyrzeczenie nagrody. Nagrodą tą jest właśnie stopa zwrotu. Podstawowe składniki tej nagrody to: cena czasu i cena ryzyka. Cenę czasu nazywamy składnikiem wolnym od ryzyka jest to bowiem całkowita stopa zwrotu w przypadku inwestycji wolnych od ryzyka (żadna inwestycja nie jest w pełni wolna od ryzyka, ale jeżeli ryzyko jest bardzo niewielkie, jak np. ryzyko niewypłacalności rządu Polski, to mówimy, że ryzyka nie ma). Gdy inwestor dodatkowo ponosi ryzyko w inwestowaniu, powinien otrzymać dodatkową premię, którą jest cena ryzyka. W przypadku krótko- i średniookresowych stóp zwrotu dochodzi jeszcze jeden składnik stopy zwrotu składnik losowy. Znaczenie tego składnika maleje wraz ze wzrostem horyzontu czasowego dominuje on w przypadku analizy np. jednodniowych stóp zwrotu (różnią się one najczęściej dla spółek, które charakteryzują się podobnym poziomem ryzyka właśnie ze względu na występowanie składnika losowego), ale staje się niezauważalny dla stóp zwrotu w długim okresie. Całkowitą stopę zwrotu możemy więc wyrazić jako: R = r f + r rp + ε, (1.2) gdzie: R całkowita stopa zwrotu z inwestycji, r f składnik wolny od ryzyka (cena czasu), r rp premia za ryzyko (cena ryzyka), 11

ε składnik losowy. 1.4. Modele rynku kapitałowego wykorzystujące pojęcie stopy zwrotu Stopa zwrotu jest podstawą bardzo wielu modeli rynku kapitałowego. Na tym właśnie rynku inwestorzy inwestują bowiem swój kapitał w celu pomnożenia go, czyli osiągnięcia jak najwyższej stopy zwrotu, przy możliwie niskim ryzyku. W podrozdziale tym omówiona zostanie rola pojęcia stopy zwrotu w kilku najważniejszych modelach. 1.4.1. Teoria portfela 1.4.1.1. Portfel składający się z 1 akcji Jako szczególny, najprostszy przypadek, rozważymy teorię portfela składającego się z tylko jednej akcji. W teorii portfela podstawowymi charakterystykami są stopa zwrotu z portfela i odchylenie standardowe stóp zwrotu, będące miarą ryzyka. W przypadku portfela jednoelementowego stopa zwrotu z inwestycji zdefiniowana jest wzorem: P + t Pt 1 Dt R t = (1.1) Pt 1 Opis występujących symboli zawarty jest w rozdziale 1.1. Tak zdefiniowana stopa zwrotu określa dochód przypadający na jednostkę zainwestowanego kapitału 2. Drugim możliwym sposobem inwestowania na rynku akcji w teorii portfelowej jest tzw. krótka sprzedaż, która polega na pożyczeniu akcji, sprzedaniu ich, a następnie odkupieniu po pewnym czasie w celu ich oddania pożyczającemu. Taki sposób inwestowania stosowany jest w przypadku, gdy inwestor oczekuje spadku cen akcji, w przeciwieństwie do zakupu akcji, stosowanego oczywiście tylko jeśli inwestor spodziewa się wzrostu ich cen. Dla krótkiej sprzedaży stopa zwrotu określona jest następująco 3 : 2 K.Jajuga, T. Jajuga Inwestycje. Instrumenty finansowe, ryzyko finansowe, inżynieria finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998, s. 94-95. 3 Tamże, s. 95 12

P P D t 1 t t R t = (1.3) MPt 1 gdzie: M liczba określająca procentowy depozyt od ceny akcji, wpłacany przez dokonującego krótkiej sprzedaży. Stopy zwrotu zdefiniowane wzorami (1.1) i (1.3) są w chwili podejmowania przez inwestora decyzji inwestycyjnej zmiennymi losowymi, ponieważ tylko P t-1 i M są wartościami znanymi, a P t i D t są zmiennymi losowymi 4. Oznacza to, że stopa zwrotu jest rozumiana jako zbiór możliwych do osiągnięcia wartości wraz z przypisanymi im prawdopodobieństwami realizacji, czyli ma pewien rozkład prawdopodobieństwa. Przykładowy rozkład przedstawia tabela 1: Tabela 1. Przykładowy rozkład prawdopodobieństwa dla stopy zwrotu Wartość stopy zwrotu [%] -4-3 -2-1 1 2 3 4 Prawdopodobieństwo [%] 5 7 1 15 26 15 1 7 5 Źródło: opracowanie własne Rozkład ten możemy również przedstawić graficznie, co przedstawia wykres: Wykres 1. Przykładowy rozkład prawdopodobieństwa dla stopy zwrotu Przykładowy rozkład prawdopodobieństwa dla stopy zwrotu prawdopodobieństwo [%] 3 25 2 15 1 5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 wartość stopy zwrotu [%] Źródło: opracowanie własne 4 Na podstawie: W. Jurek Konstrukcja i analiza portfela papierów wartościowych o zmiennym dochodzie, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań 21, s. 26. 13

Na podstawie znajomości rozkładu prawdopodobieństwa dla stopy zwrotu można wyznaczyć oczekiwaną stopę zwrotu, równą 5 : n E R ) = i= 1 ( r p i i (1.4) gdzie: E(R) oczekiwana stopa zwrotu, r i i-ty wariant stopy zwrotu, p i prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa R przyjmie wartość r i. Dla przykładowego rozkładu prawdopodobieństwa oczekiwana stopa zwrotu wynosi więc, zgodnie ze wzorem (1.4): E(R) = (-4%)*5% + (-3%)*7% + (-2%)*1% + (-1%)*15% + %*26% + 1%*15% + 2%*1% + 3%*7% + 4%*5% = %. Należy więc oczekiwać, że stopa zwrotu za badany okres wyniesie tj. suma ceny i dywidendy w okresie t będzie równa cenie akcji w okresie t-1 (wg wzoru (1.1)). W praktyce rzadko oczekiwana stopa zwrotu wyznaczana jest w oparciu o rozkład prawdopodobieństwa, ponieważ nie jest on znany. Do jej oszacowania wykorzystuje się najczęściej historyczne dane statystyczne oczekiwana stopa zwrotu jest średnią arytmetyczną tych danych 6. Wyznacza się ją według następującego wzoru: 1 r = n n r i i= 1 (1.5) gdzie: r średnia arytmetyczna historycznych stóp zwrotu, r i stopa zwrotu w okresie i-tym, n ilość okresów, z których bierzemy historyczne stopy zwrotu. Ważnym problemem w szacowaniu oczekiwanej stopy zwrotu jest zagadnienie określenia liczby okresów, z których należy wziąć informacje 7. 5 Tamże, s. 28. 6 Tamże, s. 29. 7 Według: K. Jajuga, T. Jajuga Inwestycje... j.w., s. 97. 14

Liczba okresów nie może być zbyt mała, gdyż otrzymamy wtedy mało wiarygodną wielkość średniej arytmetycznej. Z drugiej strony, liczba okresów nie może być zbyt duża, gdyż na kształtowanie się stóp zwrotu w przyszłości największy wpływ mają wartości tych stóp w okresach bezpośrednio poprzedzających. Jeżeli wartości historyczne stóp zwrotu są niestabilne tj. charakteryzują się bardzo dużym rozproszeniem i często występują wartości skrajne, można zamiast średniej arytmetycznej wykorzystać medianę stóp zwrotu tj. taką wartość historycznej stopy zwrotu, że liczba wartości od niej większych jest równa liczbie wartości od niej mniejszych 8. Drugą podstawową charakterystyką portfela jest jego ryzyko. Inwestor pragnie bowiem wiedzieć nie tylko jakiej stopy zwrotu może się spodziewać, ale także jakim ryzykiem jest obarczona jego inwestycja 9. Stopa zwrotu jest zmienną losową, a zatem inwestor nie jest pewien jaką wartość będzie miała jego inwestycja w przyszłości. Miarą tego ryzyka jest wariancja stopy zwrotu. Jeżeli mamy dany rozkład prawdopodobieństwa dla stopy zwrotu, możemy wyliczyć wariancję stopy zwrotu ze wzoru 1 : D gdzie: n 2 2 ( R) = ( ri E( R)) p i (1.6) i= 1 D 2 (R) wariancja stopy zwrotu R. Inną często stosowaną miarą ryzyka jest odchylenie standardowe stopy zwrotu, mówiące o ile średnio odchylają się rzeczywiste stopy zwrotu od oczekiwanej stopy zwrotu. Odchylenie standardowe zdefiniowane jest jako pierwiastek z wariancji: D ( R) = D 2 ( R) (1.7) gdzie: D(R) odchylenie standardowe stopy zwrotu. 8 Na podstawie: K. Jajuga, T. Jajuga Inwestycje... j.w., s. 98 9 Na podstawie: W. Tarczyński Rynki kapitałowe. Metody ilościowe Vol. II, Agencja Wydawnicza Placet, Warszawa 1997, s. 35. 1 W. Jurek Konstrukcja... j.w., s. 32. 15

Dla przykładowego rozkładu prawdopodobieństwa (tabela 1 i wykres 1) wariancja i odchylenie standardowe wynoszą, zgodnie z wzorami (1.6) i (1.7): D 2 (R) = 16% 2 *5% + 9% 2 *7% + 4% 2 *1% + 1% 2 *15% + % 2 *26% + 1% 2 *15% + 4% 2 *1% + 9% 2 *7% + 16% 2 *5% = 3,96% 2. D(R) = (3,96% 2 ) 1/2 = 1,99%. Średni kwadrat odchylenia stopy zwrotu od wartości oczekiwanej wynosi więc 3,96% 2, a średnie odchylenie stopy zwrotu od oczekiwanej stopy zwrotu wynosi 1,99%. Podobnie jak w przypadku oczekiwanej stopy zwrotu, do szacowania wariancji i odchylenia standardowego rzadko stosuje się wzór (1.6). Zwykle wielkości te wyznaczamy w oparciu o historyczne dane statystyczne. Wariancję obliczamy wtedy według wzoru 11 : S 1 R) = n 1 n 2 2 ( ( r i r) (1.8) i= 1 gdzie: S 2 (R) wariancja stopy zwrotu, r średnia arytmetyczna historycznych stóp zwrotu (wyznaczona ze wzoru (1.5)) Niekiedy stosuje się inny wzór 12 : S 2 n 1 2 ( R) = ( r i r) (1.9) n i= 1 Wzór ten można stosować gdy liczebność próby jest duża. Wtedy jest on równoważny ze wzorem (1.8). Jeżeli liczebność próby jest mała, S 2 (R) zdefiniowane wzorem (1.9) jest obciążonym estymatorem wariancji populacji 13, a estymatorem nieobciążonym jest zawsze S 2 (R) zdefiniowane jako (1.8). Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji: S ( R) = S 2 ( R) (1.1) 11 W. Tarczyński Rynki kapitałowe... j.w., s. 41 12 W. Jurek Konstrukcja... j.w., s. 34. 13 Na podstawie: A. Aczel Statystyka w zarządzaniu. Pełny wykład, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2, s. 21-211. 16

gdzie: S(R) odchylenie standardowe stopy zwrotu. Racjonalny inwestor będzie dążył do wyboru takich akcji, dla których oczekiwana stopa zwrotu jest jak najwyższa, a ryzyko (wariancja stopy zwrotu) jak najniższe. Najczęściej jednak wyższa stopa zwrotu wiąże się z wyższym ryzykiem wtedy inwestor wybierze taką akcję, która maksymalizuje jego użyteczność, wielkość zdefiniowaną poniżej. 1.4.1.2. Teoria użyteczności Pojęcie funkcji użyteczności jest jednym z podstawowych pojęć ekonomii matematycznej 14. Funkcja użyteczności opisuje liczbowo zadowolenie konsumenta z konsumpcji. W teorii portfela konsumentami są inwestorzy, a konsumpcją jest oczekiwana stopa zwrotu z inwestycji na rynku kapitałowym. Funkcja użyteczności będzie więc opisywać zadowolenie inwestora z różnych poziomów oczekiwanej stopy zwrotu, możliwych do osiągnięcia na rynku poprzez inwestycje w różne akcje. Każda funkcja użyteczności jest rosnąca 15, tj. wyższym oczekiwanym stopom zwrotu odpowiada większa wartość funkcji użyteczności, czyli inwestorzy preferują wyższą stopę zwrotu od niższej. Przyjmuje się też założenie, że spełnione jest prawo malejącej krańcowej użyteczności, tzn. przyrosty wartości funkcji użyteczności są coraz mniejsze w miarę wzrostu oczekiwanej stopy zwrotu, czyli funkcja użyteczności jest wklęsła (jej druga pochodna w każdym punkcie jest ujemna) 16. Założenie to wynika z założenia, że funkcja użyteczności pieniądza jest wklęsła funkcje użyteczności pieniądza i oczekiwanej stopy zwrotu są bowiem równoważne 17. Przykładową funkcję użyteczności spełniającą te założenia przedstawia poniższy wykres: 14 Na podstawie: E. Panek Ekonomia matematyczna, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań 2, s. 36. 15 Tamże, s. 41. 16 Tamże, s. 43. 17 Na podstawie: K. Jajuga, T. Jajuga Inwestycje... j.w., s. 112. 17

Wykres 2. Funkcja użyteczności inwestora 3,5 3 użyteczność 2,5 2 1,5 1,5 2 4 6 8 1 12 oczekiwana Źródło: opracowanie własne Konsekwencją przyjęcia takich założeń o funkcji użyteczności jest fakt, że inwestor preferuje, przy danej oczekiwanej stopie zwrotu, inwestycję o niższym ryzyku (odchyleniu standardowym). Większe odchylenie standardowe oznacza bowiem możliwość większych zysków, ale także większych strat, a wklęsłość funkcji użyteczności sprawia, że przyrost użyteczności związany z wyższą oczekiwaną stopą zwrotu jest mniejszy od spadku użyteczności wywoływanego niższą oczekiwaną stopą zwrotu. Wklęsłość funkcji użyteczności prowadzi do rosnących krzywych obojętności (krzywymi użyteczności są krzywe dochódryzyko odpowiadające poszczególnym poziomom użyteczności inwestora) 18, tj. takich, że użyteczność inwestora się nie zmieni przy rosnącym ryzyku tylko jeżeli odpowiednio wzrośnie oczekiwana stopa zwrotu. Inwestor taki charakteryzuje się więc awersją do ryzyka. Stopień nachylenia krzywych obojętności mówi o stopniu awersji do ryzyka im mniejsze nachylenie, tym awersja do ryzyka mniejsza mniejsze nachylenie odpowiada bowiem sytuacji, gdy inwestor godzi się na większy wzrost ryzyka za mniejszy wzrost oczekiwanej stopy zwrotu. Przykładowe krzywe użyteczności trzech inwestorów o różnej awersji do ryzyka przedstawia poniższy wykres: 18 Na podstawie: K. Jajuga, T. Jajuga Inwestycje... j.w., s. 117-118. 18

Wykres 3. Przykładowe krzywe obojętności 3 inwestorów o różnych skłonnościach do ryzyka oczekiwana 4 35 Inwestor C 3 25 Inwestor B 2 15 Inwestor A 1 5 2 4 6 8 1 12 ryzyko (odchylenie standardowe [%]) Źródło: opracowanie własne na podstawie: K. Jajuga, T. Jajuga Inwestycje... j.w., s. 119 Największą awersję do ryzyka ma inwestor C, a najmniejszą inwestor A. Inwestor C wymaga, aby nawet niewielki wzrost ryzyka powodował relatywnie duży wzrost oczekiwanej stopy zwrotu by pozostać na tej samej krzywej obojętności. Inwestor A, z kolei, godzi się na dość duży wzrost ryzyka przy stosunkowo mało rosnącej oczekiwanej stopie zwrotu. Wykres 4 przedstawia natomiast przykładowe krzywe obojętności inwestorów neutralnych względem ryzyka (krzywa stała inwestor D), których funkcja użyteczności jest liniowo rosnąca, i inwestorów skłonnych do ryzyka (krzywa opadająca inwestor E), których funkcja użyteczności jest rosnąca i wypukła (druga pochodna jest dodatnia w każdym punkcie). Inwestor D podejmuje swe decyzje tylko w oparciu o oczekiwaną stopę zwrotu nie zwraca uwagi na ryzyko towarzyszące inwestycjom. Inwestor E, z kolei, ma skłonność do ryzyka tj. woli gdy inwestycja jest bardziej ryzykowna im mniejsze ryzyko tym większa wymagana przez niego oczekiwana stopa zwrotu dla osiągnięcia tej samej użyteczności. Podsumowując, znając funkcje użyteczności inwestorów, które są zazwyczaj rosnące i wklęsłe (inwestorzy mają awersję do ryzyka), oraz znając oczekiwane 19

stopy zwrotu i ich odchylenia standardowe, możemy wybrać dla inwestora taką inwestycję, która najbardziej go zadowoli. Wykres 4. Przykładowe krzywe obojętności inwestora neutralnego względem ryzyka i inwestora skłonnego do ryzyka oczekiwana 6 5 4 3 2 1 Inwestor D Inwestor E 1 2 3 4 ryzyko (odchylenie standardowe [%] Źródło: opracowanie własne na podstawie: K. Jajuga, T. Jajuga Inwestycje... j.w., s. 12. 1.4.1.3. Portfel wielu spółek Rzadko zdarzają się inwestorzy, którzy inwestują w akcje tylko jednej spółki. Zazwyczaj portfel inwestora składa się z wielu spółek. W tym podrozdziale omówimy teorię takiego właśnie portfela. Na początku wprowadzimy pojęcie kowariancji i korelacji stóp zwrotu. Kowariancję stóp zwrotu definiujemy, w przypadku gdy znany jest rozkład prawdopodobieństwa dla stopy zwrotu, jako 19 : n cov ab = pi ( rai ra )( rbi rb ) (1.11) gdzie: i= 1 cov ab kowariancja stóp zwrotu z akcji społek a i b, r a, r b oczekiwana stopa zwrotu z akcji spółki a, b, r ai, r bi stopa zwrotu z akcji spółki a,b w i-tym okresie, p i prawdopodobieństwo i-tego wariantu. 19 K. Jajuga, T. Jajuga Inwestycje... j.w., s. 123. 2

Najczęściej jednak, analogicznie jak w przypadku obliczania charakterystyk portfela złożonego z akcji jednej spółki, korzystamy z historycznych danych statystycznych, stosując wzór 2 : n 1 = ( rai ra )( rbi rb ) n 1 cov ab (1.12) i= Korelacja stóp zwrotu zdefiniowana jest jako: cov ab ρ ab = (1.13) sasb gdzie: ρ ab korelacja stóp zwrotu z akcji spółek a i b, s a, s b odchylenie standardowe stopy zwrotu z akcji spółki a, b. Kowariancja stóp zwrotu mówi o kierunku powiązania stóp zwrotu z akcji. Jeżeli jest ona dodatnia, oznacza to, że wzrostowi (spadkowi) stopy zwrotu jednej akcji towarzyszy wzrost (spadek) stopy zwrotu drugiej akcji 21. Jeżeli jest ujemna, oznacza to, że przy wzroście (spadku) stopy zwrotu jednej akcji możemy się spodziewać spadku (wzrostu) stopy zwrotu drugiej akcji. Korelacja stóp zwrotu mówi dodatkowo o sile tego powiązania, ponieważ jest to współczynnik unormowany, mogący przyjmować wartości z zakresu [-1, 1]. Im wyższa wartość bezwzględna tego współczynnika, tym siła powiązania większa. Najczęściej powiązane dodatnio są spółki tej samej branży teoretycznie tym silniej, im więcej jest wspólnych czynników w otoczeniu, oddziałujących na te spółki. Powiązane ujemnie są, z kolei, takie spółki, dla których zestaw oddziałujących czynników jest przynajmniej częściowo wspólny, ale czynniki te oddziałują przeciwstawnie na te spółki. Brak powiązania powinniśmy obserwować w przypadku spółek, dla których czynniki wpływające na nie zupełnie się nie pokrywają. W praktyce nie ma takich spółek, gdyż na każdą spółkę oddziałują np. czynniki makroekonomiczne, które są dane i identyczne dla każdej spółki. Korelacja stóp zwrotu rzadko przyjmuje więc wartość zerową. 2 W. Jurek konstrukcja... j.w., s. 54. 21 Na podstawie: K. Jajuga, T. Jajuga Inwestycje... j.w., s. 121-123. 21