Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I 1
Kodeks cywilny Tytu l XXVII, Umowa ubezpieczenia Dzia l I. Przepisy ogólne Dzia l II. Ubezpieczenia majatkowe Dzia l III. Ubezpieczenia osobowe 2
Art. 805 1. Przez umowe ubezpieczenia zak lad ubezpieczeń zobowiazuje sie spe lnić określone świadczenie w razie zajścia przewidzianego w umowie wypadku, a ubezpieczajacy zobowiazuje sie zap lacić sk ladke. 2 Świadczenie zak ladu ubezpieczeń polega w szczególności na zap lacie: 1) przy ubezpieczeniu majatkowym - określonego odszkodowania za szkode powsta l a wskutek przewidzianego w umowie wypadku; 2) przy ubezpieczeniu osobowym - umówionej sumy pienieżnej, renty lub innego świadczenia w razie zajścia przewidzianego w umowie wypadku w życiu osoby ubezpieczonej. 3
Art. 812. 1. Przed zawarciem umowy ubezpieczenia zak lad ubezpieczeń ma obowiazek doreczyć ubezpieczajacemu tekst ogólnych warunków ubezpieczenia. 2. Ogólne warunki ubezpieczenia określaja w szczególności 1) przedmiot i zakres ubezpieczenia, 2) sposób zawierania umowy ubezpieczenia, 3) zakres i czas trwania odpowiedzialności zak ladu ubezpieczeń, 4) prawa i obowiazki stron umowy, 6) sposób ustalania i op lacania sk ladki ubezpieczeniowej lub op lat pobieranych przez zak lad ubezpieczeń oraz 4
metod ich indeksacji, a także ich wysokość, 8) tryb, warunki oraz sposób dokonywania zmiany umowy ubezpieczenia zawartej na czas nieokreślony, 9) sposób ustalania wysokości szkody oraz wyp laty odszkodowania lub innego świadczenia 12) sum e ubezpieczenia i warunki jej zmiany...
Art 815. 1. Ubezpieczajacy obowiazany jest podać do wiadomości zak ladu ubezpieczeń wszystkie znane sobie okoliczności, o które zak lad ubezpieczeń zapytywa l w formularzu oferty albo przed zawarciem umowy w innych pismach. 5
Art. 813. 1. Sk ladke oblicza sie za czas trwania odpowiedzialności zak ladu ubezpieczeń. 2. Jeżeli nie umówiono sie inaczej, sk ladka powinna być zap lacona jednocześnie z zawarciem umowy ubezpieczenia, a jeżeli umowa dosz la do skutku przed doreczeniem dokumentu ubezpieczenia - w ciagu czternastu dni od jego doreczenia. 7
Art. 817. 1. Jeżeli nie umówiono sie inaczej, zak lad ubezpieczeń obowiazany jest spe lnić świadczenie w terminie dni trzydziestu, liczac od daty otrzymania zawiadomienia o wypadku. 8
Art. 819. 1. Roszczenia z umowy ubezpieczenia przedawniaja sie z up lywem lat trzech. 9
Art. 829. 1. Ubezpieczenie osobowe może w szczególności dotyczyć: 1) przy ubezpieczeniu na życie - śmierci osoby ubezpieczonej lub dożycia przez nia oznaczonego wieku; 2) przy ubezpieczeniu nast epstw nieszcz eśliwych wypadków - uszkodzenia cia la, rozstroju zdrowia lub śmierci wskutek nieszcz eśliwego wypadku. 10
Art. 831 1. Ubezpieczony może wskazać jedna lub wiecej osób uprawnionych do otrzymania sumy ubezpieczenia na wypadek jego śmierci; może również zawrzeć umowe ubezpieczenia na okaziciela. 11
Ze wzgl edu na czas obj ety ubezpieczeniem wyróżnia si e najcz eściej: na ca le życie terminowe odroczone 12
Ze wzgl edu na moment wyp laty sumy ubezpieczenia: chwila śmierci koniec roku śmierci koniec miesiaca,..., w którym nastapi la śmierć ubezpieczonego koniec okresu obj etego ubezpieczeniem, w przypadku gdy ubezpieczony żyje (ubezpieczenie na dożycie). 13
Sk ladka netto to kwota, która przeci etnie powinna wytarczyć na wyp laty z tytu lu ubezpieczenia. Sk ladka brutto, czyli kwota faktycznie pobierana od ubezpieczonego z tytu lu ubezpieczenia, powinna pokryć także koszt prowadzenia dzia lalności przez zak lad ubezpieczeń, może także zawierać narzut na ryzyko. 14
Niech b(t) bedzie suma ubezpieczenia, która za lad ubezpieczeniowy zobowiazuje sie wyp lacić z tytu lu umowy ubezpieczenia, jeżeli p latność nastapi w momencie t. Na przyk lad, jeżeli umowa przewiduje wyp late, jeżeli śmierć osoby ubezpieczonej nastapi w ciagu roku od momentu zawarcia umowy, to b(t) = 1, t < 1, 0, t 1. Funkcje b(t) nazywa sie funkcja korzyści. 15
Wartość obecna wyp laty z(t) = b(t)v t gdzie v = 1 1 + i = e δ v czynnik dyskonta odpowiadajacy technicznej stopie procentowej i δ nat eżenie oprocentowania. 16
Za lóżmy, że dany jest portfel n takich samych ubezpieczeń osób o takim samym statusie. Niech Z k bedzie zmienna losowa, której wartościa jest wartość obecna wyp laty z tytu lu ubezpieczenia. Twierdzenie 1 (Ko lmogorow) Niech X n : Ω R bedzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozk ladzie i takim, że E X 1 <. Wówczas P { ω : 1 lim n n n k=1 } X k = EX 1 = 1. 17
Zatem 1 n jeżeli n. n k=1 Z k 1 E(Z 1 ), Wniosek Średnia wyp lata wynosi EZ Sk ladka netto = wartość oczekiwana obecnej wartości wyp laty z tytu lu ubezpieczenia. 18
Ubezpieczenie x-latka na ca le życie p latne w momencie śmierci. Jednorazowa sk ladka netto Ā x = E [ v T ] x = Uwaga 0 vt f x (t)dt f x (t) = t p x µ [x]+t. 19
Ubezpieczenie terminowe x-latka z okresem ubezpieczenia n-lat p latne w momencie śmierci Funkcja korzyści b(t) = 1, t n 0, t > n. Jednorazowa sk ladka netto Ā 1x: n = n 0 vt tp x µ [x]+t dt = n 0 vt f x (t)dt. 20
Czyste ubezpieczenie na dożycie x-latka Funkcja korzyści b(t) = 1, t n, 0, t < n. Obecna wartość wyp laty Z = v n χ Tx n Jednorazowa sk ladka netto Ā x: 1 n = v n np x. 21
Odroczone ubezpieczenie na ca le życie x-latka z okresem odroczenia m-lat p latne w momencie śmierci Funkcja korzyści b(t) = 0, t m, 1, t > m. Jednorazowa sk ladka netto m Āx = m vt f x (t)dt = Ā x Ā 1x: m. 22
Ubezpieczenie bezterminowe z rosnac a suma ubezpieczenia p latne w momencie śmierci Funkcja korzyści b(t) = t (ĪĀ) x = 0 tvt f x (t)dt 23
Ubezpieczenie terminowe malejace skokowo Funkcja korzyści b(t) = n t, t n, 0, t > n. Jednorazowa sk ladka netto (DĀ) 1x: n = n 0 vt (n t ) t p x µ [x]+t dt. 24
Ubezpieczenie x-latka na ca le życie p latne na koniec roku śmierci ubezpieczonego Wartość obecna wyp laty Z = v Kx+1. Jednorazowa sk ladka netto A x = E [ v K x+1 ] = = = k=0 k=0 k=0 v k+1 P (K x = k) v k+1 P (k T x < k + 1) v k+1 kp x q [x]+k. 25
Ubezpieczenie terminowe x-latka m-letnie p latne na koniec roku śmierci Jednorazowa sk ladka netto A 1x: m = m 1 k=0 v k+1 P (K x = k) Odroczone ubezpieczenie na ca le życie x-latka z odroczeniem m-lat p latne na koniec roku śmierci Jednorazowa sk ladka netto m A x = A x A 1x: m = k=m v k+1 P (K x = k) 26
Ubezpieczenie o rosnacej sumie ubezpieczenia Wartość obecna wyp laty Z = (K + 1)v K+1 Jednorazowa sk ladka netto (IA) x = k=0 (k + 1)v k+1 kp x q [x]+k. 27
Przypadek ubezpieczenia p latnego na koniec m-tej cz eści roku Przypomnijmy S x (m) = ms x + 1, m gdzie S x = T x K x = T x T x. A (m) x JSN w ubezpieczeniu na ca le życie x- latka o sta lej sumie ubezpieczenia i p latności na koniec m-tego okresu roku śmierci. 28
Obserwacja 1 Przy za lożeniu HU zachodzi zwiazek A (m) x = i i (m)a x gdzie i (m) jest nominalna stopa procentowa, która przy kapitalizacji m razy w roku daje efektywna stope i. Dowód: A (m) x = E [ v K x+s x (m) ] [ = E v K x +1 v S(m) x 1 ] Przypomnijmy, że K x oraz S (m) x sa niezależnymi zmiennymi losowymi, jeżeli zachodzi HU. Z tego wynika, że v Kx+1, v S(m) x 1 sa niezależnymi zmiennymi losowymi. Zatem A (m) x = E [ v K x+1 ] E [ v S(m) x 1 ] = A x E [ v S(m) x 1 ]. 29
Pozostaje wi ec wyznaczyć Zauważmy, że E [ v S(m) x 1 ] = E [ v S(m) x 1 ]. = 1 m = 1 m m k=1 m v k m 1 P (S (m) x = k m ) k=1 m 1 k=0 (1 + i) 1 k m (1 + i) k m = 1 (1 + i) 1 m(1 + i) m 1 1 = i i (m). 30
Pytanie 1 Jak doskonale wiemy parametry rozk ladu zmiennej T x, a wi ec również K x możemy odczytać z TTŻ. Skad bierze sie wartość v? 31
Pytanie 2 Jakie jest prawdopodobieństwo, że zebrane sk ladki nie wystarcza na wyp laty? Powiedzmy, że interesuje nas A 1 30: x = 1 1, 05 q 30 = 0, 001752. wtedy, gdy i = 0, 05 i suma ubezpieczenia wynosi 100.000PLN. Wówczas sk ladka wyniesie 175,20PLN. W sytuacji jednego ubezpieczonego odpowiednie prawdopodobieństwo wynosi q 30. W sytuacji 100 takich samych ubezpieczeń prawdopodobieństwo bankructwa 100q 30. 32