opracowała Jowita Malecka

opracowała Jowita Malecka

JeŜeli chcecie nauczyć się pływać, to trzeba, Ŝebyście weszli do wody. JeŜeli zamierzacie nauczyć się rozwiązywać zadania, to trzeba, Ŝebyście je rozwiązywali. George Polya W zadaniach z problematyką wieku często występują pewne zaleŝności, które wiąŝą ze sobą wiek bohaterów zadań w przeszłości z wiekiem teraźniejszym, przyszłym lub innym okresem w czasie przeszłym. Czasami sformułowania są bardzo pomysłowe, ale równieŝ złoŝone, tak Ŝe ich zrozumienie i przetworzenie sprawia uczniom problemy. Dlatego teŝ niejednokrotnie warto zamiast tradycyjnej analizy zastosować metody graficzne czy teŝ zapisać wprowadzone niewiadome w tabeli. Pozwoli to na lepsze zrozumienie podanych zaleŝności, na prawidłowy zapis wieku w poszczególnych okresach czasu, na utworzenie właściwego układu równań, a często takŝe na szybkie i proste rozwiązanie zadania. Warto zwrócić uwagę na dwa oczywiste fakty: RóŜnica wieku między poszczególnymi osobami jest niezmienna w czasie. Mimo naszych subiektywnych odczuć czas płynie jednakowo dla kaŝdego z nas. Często te proste stwierdzenia są podstawą do wykorzystania w zadaniach, takŝe w tych o pogmatwanej treści. A zatem zapraszam do pływania róŝnymi stylami.

ZADANIE 1 Agata ma teraz 13 lat, Ania 4 lata. Ile lat będzie miała Ania, gdy Agata będzie od niej 2 razy starsza? Przykładowe sposoby rozwiązania -wiek Ani w pewnej chwili w przyszłości ( w latach) 2 - wiek Agaty w tej samej chwili w przyszłości (w latach) obecnie Ania ma 4 lata, a Agata 13 Sposób I Porównujemy, ile lat upłynie od chwili obecnej do pewnej chwili w przyszłości. Na tej podstawie układamy równanie: 2-13 = - 4 Sposób II Porównujemy róŝnicę wieku między dziewczynkami i od razu otrzymujemy rozwiązanie: Sposób III Na zdrowy rozsądek: 9 = Skoro róŝnica lat między dziewczynkami wynosi 9 lat, to Ŝeby Agata miała dwa razy więcej lat, to Ania musi mieć 9 lat. Odpowiedź: Ania będzie miała 9 lat.

ZADANIE 2 Marcin, Basia i Jagoda są rodzeństwem. Cztery lata temu mieli razem 12 lat. Pięć lat temu Marcin miał tyle lat, ile Basia będzie miała za dwa lata. Trzy lata temu Jagoda była dwa razy starsza od Basi. Ile lat ma kaŝde dziecko? Przykładowy sposób rozwiązania Stworzymy tabelkę, która ułatwi zapisanie zaleŝności występujących w zadaniu. Wygodnie jest rozpocząć od zapisania ostatniej z podanych informacji, co pozwoli zredukować ilość niewiadomych. Jagoda Basia Marcin za 2 lata 2+5 +5 y+5 obecnie 2+3 +3 y+3 3 lata temu 2 y 4 lata temu 2-1 -1 y-1 5 lata temu 2-2 -2 y-2 Łatwo ułoŝyć układ równań: Rozwiązaniem układu jest para liczb: + 5 = y 2 ( 2 1) + ( 1) + ( y 1) Odpowiedź: Jagoda ma 7 lat, Basia 5,a Marcin 12. y = = 2 9 = 12

ZADANIE 3 Na pytanie siostrzeńca o swój wiek wujek powiedział: JeŜeli do połowy mojego wieku dodasz 7, to poznasz mój wiek sprzed 13 lat. Ile lat ma wujek? Przykładowy sposób rozwiązania AB Wiek wujka zinterpretujemy jako długość odcinka. Punkt S jest środkiem tego odcinka. Z treści zadania od punktu S odkładamy 7 jednostek ( SD = 7 ), a wówczas do punktu B brakuje 13 jednostek ( DB = 13 ). Zatem AB = 2 20 = 40 Odpowiedź: Wujek ma 40 lat.

ZADANIE 4 Arkadiusz i Stanisław mają łącznie 110 lat. Stanisław urodził się, gdy Arkadiusz miał tyle lat, ile miał Stanisław, kiedy Arkadiusz miał 28 lat. W jakim wieku jest kaŝdy z panów? Przykładowe sposoby rozwiązania Sposób I W celu zilustrowania podanych w treści zadania informacji i zaleŝności między nimi wykorzystamy graf. Będą w nim występować 3 chwile z Ŝycia obu panów: urodzenie się Stanisława, pewna data w przeszłości oraz dzień dzisiejszy. Lewa kolumna zawiera informacje dotyczące Arkadiusza, natomiast prawa dotyczące Stanisława. ZaleŜności między nimi są przedstawione graficznie w postaci strzałki, zaś strzałki pionowe symbolizują upływ czasu. Po uzupełnieniu grafu moŝna stworzyć układ równań: 2 = 28 ( 28 + y) + ( + y) = 110 Rozwiązaniem tego układu jest para liczb: wiek Arkadiusza obecnie 28+y wiek Arkadiusza kiedyś 28 +y + suma lat obu panów 110 = wiek Stanisława obecnie + y wiek Stanisława kiedyś +y + = 14 y = 34 Czyli 2 +y = 62 oraz + y = 48. wiek Arkadiusza w chwili urodzin Stanisława urodził się Stanisław Odpowiedź: Obecnie Pan Stanisław ma 48 lat, a pan Arkadiusz 62.

Sposób II Wykorzystamy oś czasu dla zilustrowania wieku obu panów teraz Oś wieku Arkadiusza 28 t (w latach) Oś wieku Stanisława y t (w latach) Urodził się Stanisław Tak jak poprzednio moŝemy napisać układ równań, na przykład taki : lub 2 = 28 = 14 ( 2 + y) + ( + y) = 110 y = od razu stwierdzić, Ŝe róŝnica wieku wynosi 14 lat, a wówczas 2s + 14 = 110, gdzie s oznacza wiek Stanisława. Rozwiązaniem równania jest s = 48. 34 Sposób III Oznaczmy: r róŝnica wieku między panami; wiek Arkadiusza (obecnie); r wiek Stanisława (obecnie). Stanisław urodził się, gdy Arkadiusz miał r lat, czyli tyle miał Stanisław, gdy Arkadiusz miał 28 lat. Zatem moŝemy zapisać układ równań: + ( r ) = 110 r = 28 r Stąd: r = 14 = 62 Odpowiedź: Obecnie Pan Stanisław ma 48 lat, a pan Arkadiusz 62.

ZADANIE 5 Dziadek Ignacy ma dwoje wnucząt Jasia i Małgosię. Suma lat całej trójki wynosi 85. Małgosia jest o 5 lat młodsza od Jasia. Dziadek natomiast ma 6 razy więcej lat niŝ miał Jasiu wtedy, kiedy dziadek miał tyle, ile Jasiu będzie mieć za 40 lat. Oblicz w jakim wieku jest kaŝdy z nich? suma lat 85 wiek Małgosi obecnie -5 Rozpoczniemy od wprowadzenia oznaczeń wieku Jasia w chwili obecnej () i w przeszłości (y), a następnie na dorysowaniu strzałek i określeniu związków wynikających z treści zadania. Następnie moŝemy uzupełnić graf uŝywając wprowadzonych juŝ niewiadomych. MoŜemy porównać upływ czasu od chwili w przeszłości do teraźniejszości. Zatem mamy układ równań: Rozwiązaniem jest para liczb: ( 5) + + 6y = 85 y = 6y = 15 y = 10 ( + 40) wiek Jasia obecnie wiek Jasia kiedyś y Wiek Jasia za 40 lat +40 6 = wiek dziadka obecnie 6y wiek dziadka kiedyś +40 Odpowiedź: Dziadek Ignacy ma 60 lat, a jego wnuczęta: Jasiu 15, a Małgosia 10.

Zadania dodatkowe 1. Ojciec Jakuba miał 40 lat, kiedy Jakub miał 12 lat, a 2 lata temu był od Jakuba 2 razy starszy. Ile lat ma teraz Jakub? 2. Za pięć lat córka będzie 4 razy młodsza od mamy, a za dziesięć lat mama będzie 3 razy starsza od córki. Ile lat ma teraz kaŝda z nich? 3. Paweł mówi do Piotra: Mam trzy razy więcej lat niŝ ty miałeś wtedy, kiedy ja miałem tyle lat, ile ty masz teraz. Kiedy osiągniesz mój wiek, będziemy mieć łącznie 112 lat. Ile lat ma Piotr? 4. Dziadek i babcia mają razem 147 lat. Dziadek ma dwa razy tyle, ile babcia miała wtedy, kiedy on miał tyle, ile ona ma teraz. Po ile lat mają? 5. Stefan i Marian mają razem 82 lata. Urodziny Mariana były wtedy, gdy Stefan miał tyle lat, ile Marian miał lat, kiedy Stefan miał liczbę lat równą pewnej parzystej liczbie pierwszej podniesionej do kwadratu i pomnoŝonej przez 10. Ile lat ma Stefan, a ile Marian?

Literatura 1. Białach W., Dziadek i babcia, Matematyka 8/2008; 2. Bobiński Z., Nodzyński P., Uscki M., Koło matematyczne w szkole podstawowej, Wydawnictwo Aksjomat, Toruń 2008; 3. Zadania z turniejów matematycznych o puchar Dyrektora I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie; Fermat F.U., Koszalin 2001; 4. śurek A., Jędrzejewicz P., Zbiór zadań dla kółek matematycznych w szkole podstawowej, GWO, Gdańsk 2005.