OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Wyznaczanie lokalizacji magazynów dystrybucyjnych i miejsc produkcji dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 1 Wybór miejsca produkcji jest decyzją o znaczeniu strategicznym, której konsekwencje muszą być rozpatrywane w horyzoncie wieloletnim, ponieważ wiąże się praktycznie zawsze z inwestycją. Magazyn może być wynajmowany lub własny. W przypadku wynajmowania powierzchni magazynowych roczne koszty stałe wynikają z umowy wynajmu, gdy decydujemy się na utworzenie własnego magazynu, stałe koszty roczne muszą obejmować standardowe koszty stałe funkcjonowania powiększone o wielkość nakładów inwestycyjnych rozliczone metodą annuitetową na okres amortyzacji. Żródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 2 Metoda annuitetowa. Annuities - równe płatności okresowe. Annuity zwane rentą to szczególny przypadek strumienia płatności. Charakteryzuje się on równymi płatnościami, występującymi w równych odstępach czasu i przy stałej stopie procentowej. Płatności cykliczne, czyli annuity mogą być realizowane w 2 wariantach: jeżeli pierwsza płatność występuje na końcu pierwszego okresu to są to płatności bez wyprzedzenia "z dołu" jeżeli pierwsza płatność ma miejsce na początku okresu obliczeniowego to płatności takie nazywa się płatnościami z wyprzedzeniem "z góry". Raty annuitetowe są równe w ciągu całego okresu rozliczeniowego. Zmieniają się proporcje udziału części kapitałowej i odsetkowej raty. Niestety ma to także wpływ na efektywną stopę oprocentowania kredytu, która jest wyższa niż w metodzie rat malejących, kapitał kredytu maleje wolniej.

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 3 R 1 KS 1 S n gdzie: R - rata spłaty (zł), Kα - zadłużenie początkowe (zł), S - stała, n - ilość rat,

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 4 S sp* D d 100% gdzie: sp - stopa procentowa w stosunku rocznym (%), d - okres pomiędzy spłatami rat (zwykle miesiąc) (dni), D - faktyczna ilość dni w danym roku (365 lub 366). Część raty zmiejszająca zadłużenie (część kapitałowa) jest równa całej naliczonej racie pomniejszonej o należne bankowi odsetki.

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 5 Model 1 Zakładamy, że zawsze będziemy mogli dysponować odpowiednią powierzchnią magazynową i w zadaniu nie musimy uwzględniać ograniczeń pojemności magazynów. Założenia: 1. Znana jest lokalizacja n klientów B 1,, B n i ich roczne zapotrzebowanie b 1,, b n ; 2. Wytypowano p potencjalnych miejsc lokalizacji magazynów L 1,, L p ; 3. Dla każdej lokalizacji L i i = 1,, p, oszacowano roczne koszty stałe utrzymania magazynu k i s, koszty obsługi klienta B j, j = 1,, n, z magazynu L i, i = 1,, p, które będą wynosić k ij w przypadku dostawy równej b j lub będą proporcjonalnie mniejsze przy dostawie częściowej. Źródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 6 Schemat przepływów w problemie wyboru lokalizacji wielu magazynów: k 11 k s 1 L 1 B 1 b 1 k s 2 L i k ij B j b j k s p L p k pn B n b n Żródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 7 Rozwiązanie problemu ma dać odpowiedzi na następujące pytania : 1. Ile magazynów powinniśmy utworzyć? 2. W których z potencjalnych miejsc lokalizacji? 3. Jakie ilości produktów powinny się w nich znajdować, aby wszyscy klienci mogli być obsłużeni? Aby operować jednorodnymi jednostkami, dostawy będą określone wartościowo. Źródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 8 Wprowadzamy zmienne pomocnicze : W celu uwzględnienia częściowej dostawy z magazynu użyjemy zmiennych rzeczywistych q ij spełniających warunki: 0 q ij 1 q ij 1, gdy B j dostaje wszystkoz magazynu L 0, gdy z Li nie ma żadnejdostawy do B j i W celu umożliwienia zapisu, że wybór L i jako magazynu warunkuje dostawy z niego wprowadzimy zmienne binarne y i y 1, w L jest magazyn i i 0, w Li nie ma magazynu Źródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 9 Sformułowanie zadania: Funkcja celu wyraża łączne koszty obsługi wszystkich odbiorców powiększone o koszty stałe utrzymania wybranych magazynów : z Warunki ograniczające: p n k * q ij ij i1 j1 i1 min Suma wszystkich dostaw częściowych do odbiorcy B j daje pełną dostawę: p k s i * y i p q 1, j 1,..., n ij ; i1 Żródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 10 Dostawa z magazynu L i do odbiorcy B j jest możliwa jeżeli zaakceptujemy lokalizację L i : q y, i 1,..., p, ij i Dostawa z magazynu L i do odbiorcy B j jest częściowa, całkowita Decyzja o lokalizacji musi być jednoznaczna: Wartość s i określa pożądany stan magazynu L i, który pozwoli zrealizować dostawy do wszystkich odbiorców : j1,..., lub jej nie ma : 0 qij 1, i 1,..., p, j1,..., n ; y i 0,1, i 1,..., p. n ; s i n j1 q ij * b j Żródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 11 Przykład Znamy lokalizację 4 odbiorców oraz ich zapotrzebowanie w wysokości odpowiednio 500, 400, 900 i 200 jednostek produktu. Znamy 3 potencjalne lokalizacje magazynów, dla których oszacowano następujące parametry : 1. Stały roczny koszt utrzymania: L 1-20000 zł L 2-28000 zł L 3-18000 zł Źródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 12 2. Jednostkowe koszty przewozu z magazynu do odbiorców : B 1 B 2 B 3 B 4 L 1 10 8 12 14 L 2 11 11 9 8 L 3 14 12 6 5 popyt 500 400 900 1200 Żródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 13 Funkcja celu: Z = 5000q 11 + 3200q 12 + 10800q 13 + 16800q 14 + 5500q 21 + 4400q 22 + 8100q 23 + 9600q 24 + 7000q 31 + 4800q 32 + 5400q 33 + 6000q 34 + 20000y 1 + 28000y 2 + 18000y 3 min Ograniczenia: q 11 + q 21 + q 31 = 1 q 12 + q 22 + q 32 = 1 q 13 + q 23 + q 33 = 1 q 14 + q 24 + q 34 = 1 q 11 y 1, q 12 y 1, q 13 y 1, q 14 y 1 q 21 y 2, q 22 y 2, q 23 y 2, q 24 y 2 q 31 y 3, q 32 y 3, q 33 y 3, q 34 y 3 q ij 0,1 i 1, 2, 3. j1, 2, 3, 4. y i 0,1 i 1, 2, 3. Żródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 14 DETAILED LP REPORT FOR OPTIMAL SOLUTION The following variables are fixed Y1 0 Y2 0 Y3 1 OPTIMAL SOLUTION - DETAILED REPORT Variable Value Cost Variable Value Cost 1 Q11 0.0000 5000.0000 8 Q24 0.0000 9600.0000 2 Q12 0.0000 3200.0000 9 Q31 1.0000 7000.0000 3 Q13 0.0000 10800.0000 10 Q32 1.0000 4800.0000 4 Q14 0.0000 16800.0000 11 Q33 1.0000 5400.0000 5 Q21 0.0000 5500.0000 12 Q34 1.0000 6000.0000 6 Q22 0.0000 4400.0000 13 Y1 0.0000 20000.0000 7 Q23 0.0000 8100.0000 14 Y2 0.0000 28000.0000 15 Y3 1.0000 18000.0000 Objective Function Value = 41200

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 15 Model 2 Wprowadzamy ograniczenia dotyczące przewidywanych maksymalnych pojemności magazynów, których suma powinna wystarczać do zaspokojenia zapotrzebowania odbiorców. W ten sposób przechodzimy z ujęcia udziałowego na ilościowe. Ponieważ nadal chcemy uwzględniać koszty stałe utrzymania magazynów, koszty obsługi odbiorców muszą odzwierciedlać koszt zmienny dostawy zależny od dostarczanej ilości produktów. Wprowadzamy nowe zmienne: d i - pojemność magazynu L i, x ij - wielkość dostawy z magazynu L i do odbiorcy B j, C ij jednostkowy koszt dostawy z magazynu L i do odbiorcy B j. Żródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 16 Sformułowanie zadania: Funkcja celu wyraża łączne koszty obsługi wszystkich odbiorców powiększone o koszty stałe utrzymania wybranych magazynów : z Warunki ograniczające: p n c * x ij ij i1 j1 i1 p k s i * y i min n x ij d i * yi, i 1,..., p ; j1 p x ij b j, j 1,..., n; i1 x ij b j * yi, i 1,..., p, j 1,..., y 0,1, i 1,..., p; x i ij 0 i 1,..., p, j 1,..., n. n; Żródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 17 Przykład Znamy lokalizację 4 odbiorców oraz ich zapotrzebowanie w wysokości odpowiednio 500, 400, 900 i 1200 jednostek produktu. Znamy 3 potencjalne lokalizacje magazynów o pojemnościach wynoszących odpowiednio 1300, 1700 i 1000 jednostek, dla których oszacowano następujące parametry : 1. Stały roczny koszt utrzymania: L 1-20000 zł L 2-28000 zł L 3-18000 zł Żródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 18 2. Jednostkowe koszty przewozu z magazynu do odbiorców : B 1 B 2 B 3 B 4 L 1 10 8 12 14 L 2 11 11 9 8 L 3 14 12 6 5 popyt 500 400 900 1200 Żródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 19 Funkcja celu: Z = 10x 11 + 8x 12 + 12x 13 + 14x 14 + 11x 21 + 11x 22 + 9x 23 + 8x 24 + 14q 31 + 12x 32 + 6x 33 + 5x 34 + 20000y 1 + 28000y 2 + 18000y 3 min Ograniczenia: x 11 + x 21 + x 31 = 500 x 12 + x 22 + x 32 = 400 x 13 + x 23 + x 33 = 900 x 14 + x 24 + x 34 = 1200 x 11-500y 1 0, x 12-400y 1 0, x 13-900 y 1 0, x 14-1200y 1 0 x 21-500y 2 0, x 22-400y 2 0, x 23-900y 2 0, x 24-1200y 2 0 x 31-500y 3 0, x 32-400y 3 0, x 33-900y 3 0, x 34-1200y 3 0 x 11 + x 12 + x 13 + x 14 1300y 1 0 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 1700y 1 0 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 1000y 1 0 0,1, i 1, 2, 3. y i Żródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa

Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 20 OPTIMAL SOLUTION - SUMMARY REPORT Variable Value Cost X11 500.0000 10.0000 X12 400.0000 8.0000 X13 400.0000 12.0000 X14 0.0000 14.0000 X21 0.0000 11.0000 X22 0.0000 11.0000 X23 500.0000 9.0000 X24 1200.0000 8.0000 X31 0.0000 14.0000 X32 0.0000 12.0000 X33 0.0000 6.0000 X34 0.0000 5.0000 Y1 1 20000. 0 Y2 1 28000. 0 Y3 0 18000. 0 Objective Function Value = 75100

Tworzenie sieci dystrybucji 1 Zadanie lokalizacji magazynów łączy się z tworzeniem sieci dystrybucji. W tym celu obszar analizowanego terytorium, dzieli się na strefy dystrybucji i w każdym z nich tworzy się centrum dystrybucji. Często zdarza się jednak, że strefa dystrybucji niezbędna ze względów marketingowych nie musi posiadać własnego centrum dystrybucji, za czym przemawiają względy ekonomiczne. Załóżmy, że naszym celem jest stworzenie sieci dystrybucji składającej się z jak najmniejszej liczby magazynów, ale zapewniającej sprawną obsługę wszystkich stref dystrybucji. W tym celu można przyjąć założenie, że magazyn zlokalizowany w jednej strefie może obsługiwać także wszystkie strefy przyległe, jednakże każda z wyszczególnionych stref nie musi być obsługiwana tylko przez jeden magazyn. Żródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Tworzenie sieci dystrybucji 2 Przykład Załóżmy, że obszar analizowanego terytorium podzielono na pięć stref dystrybucji. B 1 B 3 B 2 B 4 B 5 Opracowanie własne na podstawie:żródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Tworzenie sieci dystrybucji 3 Przykład W celu sformułowania modelu wprowadzamy zmienne binarne x i, i=1,,5 : 0, gdy lokalizacja w strefie B i nie występuje x i = 1, gdy lokalizacja w strefie B i występuje. Strefa Strefy przyległe B 1 B 2, B 3 B 2 B 1, B 3, B 5 B 3 B 1,B 2, B 4 B 4 B 3, B 5 B 5 B 2, B 4 Opracowanie własne na podstawie:żródło: Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

Tworzenie sieci dystrybucji 4 Przykład Postać modelu: F(x)= x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 min x 1 + x 2 + x 3 1 x 1 + x 2 + x 3 + x 5 1 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 1 x 3 + x 4 + x 5 1 X 2 + x 4 + x 5 1 X i ϵ { 0,1} OPTIMAL SOLUTION - SUMMARY REPORT Variable Value Cost X1 0 1.0000 X2 1 1.0000 X3 1 1.0000 X4 0 1.0000 X5 0 1.0000 Objective Function Value = 2

Tworzenie sieci dystrybucji 5 Przykład Wprowadźmy teraz do modelu nowe ograniczenia dotyczące maksymalnych pojemności magazynów oraz zapotrzebowania poszczególnych stref dystrybucji: Strefa Zapotrzebowanie Pojemność magazynu (max) B 1 800 1000 B 2 800 1500 B 3 1000 2000 B 4 600 1800 B 5 700 1000

Postać modelu: F(x)= x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 min x 1 + x 2 + x 3 1 x 1 + x 2 + x 3 + x 5 1 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 1 x 3 + x 4 + x 5 1 X 2 + x 4 + x 5 1 1000q 11 +1500q 21 +2000q 31 = 800 1000q 12 +1500q 22 +2000q 32 +1000q 52 = 800 1000q 13 +1500q 23 +2000q 33 +1800q 43 = 1000 2000q 34 +1800q 44 +1000q 54 = 600 1500q 25 +1800q 45 +1000q 55 = 700 q 11 x 1, q 12 x 1, q 13 x 1, q 21 x 2, q 22 x 2, q 23 x 2, q 25 x 2, q 31 x 3, q 32 x 3, q 33 x 3, q 34 x 3, q 43 x 4, q 44 x 4, q 45 x 4, q 52 x 5, q 54 x 5, q 55 x 5 1000q 11 +1000q 12 +1000q 13 1000 1500q 21 +1500q 22 +1500q 23 +1500q 25 1500 2000q 31 +2000q 32 +2000q 33 +2000q 34 2000 1800q 43 +1800q 44 +1800q 45 1800 1000q 52 +1000q 54 +1000q 55 1000 X i ϵ {0,1} i=1,,5, q ij ϵ < 0,1> i=1,,5 ; j=1,,5 Tworzenie sieci dystrybucji 6 Przykład

Tworzenie sieci dystrybucji 7 Przykład OPTIMAL SOLUTION - SUMMARY REPORT Variable Value Cost X1 0 1.0000 X2 1 1.0000 X3 1 1.0000 X4 1 1.0000 X5 0 1.0000 Q21 0.5000 0.0000 Q22 0.5000 0.0000 Q31 0.0250 0.0000 Q32 0.0250 0.0000 Q33 0.2500 0.0000 Q43 0.2778 0.0000 Q44 0.3333 0.0000 Q45 0.3889 0.0000 Objective Function Value = 3

Tworzenie sieci dystrybucji 8 Przykład Untitled1 OPTIMAL SOLUTION - SUMMARY REPORT Constraint Type RHS Slack Constraint Type RHS Slack CONSTR 1 >= 1.0000 1.0000 CONSTR 18 <= 0.0000 0.9750 CONSTR 2 >= 1.0000 1.0000 CONSTR 19 <= 0.0000 0.9750 CONSTR 3 >= 1.0000 2.0000 CONSTR 20 <= 0.0000 0.7500 CONSTR 4 >= 1.0000 1.0000 CONSTR 21 <= 0.0000 1.0000 CONSTR 5 >= 1.0000 1.0000 CONSTR 22 <= 0.0000 0.7222 CONSTR 6 = 800.0000 0.0000 CONSTR 23 <= 0.0000 0.6667 CONSTR 7 = 800.0000 0.0000 CONSTR 24 <= 0.0000 0.6111 CONSTR 8 = 1000.0000 0.0000 CONSTR 28 <= 1000.0000 1000.0000 CONSTR 9 = 600.0000 0.0000 CONSTR 29 <= 1500.0000 0.0000 CONSTR 10 = 700.0000 0.0000 CONSTR 30 <= 2000.0000 1400.0000 CONSTR 15 <= 0.0000 0.5000 CONSTR 31 <= 1800.0000 0.0000 CONSTR 16 <= 0.0000 1.0000 CONSTR 32 <= 1000.0000 1000.0000 CONSTR 17 <= 0.0000 1.0000