STEREOMETRIA Poziom podstawowy Zadanie ( 8 pkt ) W stożku tworząca o długości jest nachylona do powierzchni podstawy pod kątem, którego tangens jest równy Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy tego stożka Zadanie ( pkt ) Prostokątny arkusz blachy o wymiarach 0 cm na 0 cm jest rozwinięciem powierzchni bocznej walca Oblicz objętość walca, którego wysokość jest równa krótszemu bokowi prostokąta Zadanie ( 7 pkt ) Objętość prostopadłościanu, którego wysokość ma długość 0 cm, równa się 80 cm Stosunek długości krawędzi podstawy wynosi : Wyznacz miarę kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy Sporządź rysunek prostopadłościanu i zaznacz szukany kąt Zadanie ( pkt ) Asia chce rozlać 8 l soku malinowego do słoiczków w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, których wysokość jest równa dłuższej przekątnej podstawy Wykonaj odpowiednie obliczenia i odpowiedz, czy wystarczy jej słoiczków, jeśli wysokość każdego z nich jest równa 0,8 dm? Zadanie ( pkt ) Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość cm Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe 08 cm Wyznacz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz szukany kąt Zadanie ( pkt ) Dach pewnej budowli ma kształt ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość b, a miara kąta nachylenia tej krawędzi do płaszczyzny podstawy wynosi α Wyznacz objętość tego ostrosłupa i tangens kąta dwuściennego między ścianą boczną a płaszczyzną podstawy Zadanie 7 ( pkt ) Agnieszka, planując wycieczkę za miasto, postanowiła kupić termos W sklepie były dwa rodzaje termosów: białe i czerwone Biały termos miał średnicę dwa razy większą niż czerwony, ale za to był dwa razy niższy a) Który z termosów ma większą pojemność? Odpowiedź uzasadnij b) Pojemność czerwonego termosu jest równa 0,7 litra Jaka jest pojemność białego termosu?
Zadanie 8 ( pkt ) Oblicz objętość bryły pokazanej na rysunku Wymiary podane są w milimetrach Poziom rozszerzony Zadanie ( 8 pkt ) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym, którego krawędzie mają długość a, poprowadzono płaszczyznę przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej Płaszczyzna przekroju nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem α a) Wykaż, że cos α = b) Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz kąt α Zadanie ( pkt ) Ostrosłup ścięty to część ostrosłupa zawarta między jego podstawą i przekrojem płaszczyzną równoległa do podstawy Ściany boczne ostrosłupa ściętego są trapezami, a podstawy wielokątami podobnymi Ostrosłup prawidłowy o objętości V = cm przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy, dzielącą wysokość tego ostrosłupa w stosunku, licząc od jego wierzchołka Oblicz objętość ostrosłupa ściętego Zadanie ( pkt ) Dany jest trójkąt ABC, w którym BCA = α, BAC = β, zaś ABC o > 90 Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość R Trójkąt obracamy wokół boku BC Oblicz objętość otrzymanej bryły obrotowej Zadanie ( pkt ) Jaką figurą jest przekrój sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi i środek symetrii sześcianu? Oblicz pole tego przekroju, przyjmując, że krawędź sześcianu ma długość a Wykonaj rysunek Zadanie ( pkt ) Przekątna przekroju osiowego walca ma długość d i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α W walec wpisano graniastosłup prawidłowy sześciokątny Oblicz pole powierzchni tego graniastosłupa i długość jego krótszej przekątnej
Zadanie ( 0 pkt ) W prostopadłościanie przekątne ścian bocznych poprowadzone z tego samego wierzchołka mają długości równe i Kąt, którego ramiona zawierają te przekątne, ma miarę 0 0 Oblicz sinus kąta nachylenia przekroju prostopadłościanu wyznaczonego przez te przekątne do podstawy tego prostopadłościanu
SCHEMAT PUNKTOWANIA STEREOMETRIA Poziom podstawowy Etapy rozwiązania Wykonanie rysunku lub przyjęcie oznaczeń, np h- długość wysokości stożka, r- długość promienia podstawy Zapisanie układu równań pozwalającego wyznaczyć wysokość stożka h = i promień jego podstawy: r h + r = 8 Rozwiązanie zapisanego układu równań: h =, r = ( w wypadku jednego błędu rachunkowego pkt ) 0 Obliczenie pola powierzchni bocznej stożka: P b = π 09 Obliczenie pola podstawy stożka: P = π Obliczenie stosunku pola powierzchni bocznej do pola podstawy tego Pb stożka: = P p Sporządzenie rysunku wraz z oznaczeniami lub wprowadzenie opisowych oznaczeń 0 Obliczenie długości promienia r podstawy walca: r = cm π 000 Obliczenie objętości walca V = cm π Sporządzenie rysunku prostopadłościanu i zaznaczenie na nim szukanego kąta 0ab= 80 Zapisanie układu równań: a, gdzie a, b to długości krawędzi = b podstawy Obliczenie długości krawędzi podstawy: cm, 8 cm Obliczenie długości przekątnej podstawy: d = 0 cm Zauważenie, że α = 0 Sporządzenie rysunku i przyjęcie oznaczeń, np h- wysokość graniastosłupa, d = h- długość dłuższej przekątnej podstawy, a- długość krawędzi podstawy Wykorzystanie własności sześciokąta foremnego i zauważenie, że długość krawędzi podstawy jest równa połowie długości dłuższej przekątnej: a = d = h= 0, dm
8 7 Etapy rozwiązania a Obliczenie pola podstawy graniastosłupa: P = = 0, dm Obliczenie objętości słoiczka: V = 0,9 l Obliczenie, ile soku zmieści się w słoiczkach:,99 l Oszacowanie łącznej pojemności słoiczków: ok 8, l Podanie odpowiedzi Sporządzenie rysunku ostrosłupa i zaznaczenie szukanego kąta α Zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa: + 0, h = 08, gdzie h- długość wysokości ściany bocznej Obliczenie długości wysokości ściany bocznej: h = cm Obliczenie cosinusa szukanego kąta: cos α = = Podanie miary kąta: α = 0 0 Sporządzenie rysunku wraz z oznaczeniami i poprawnym zaznaczeniem kątów np h- wysokość ostrosłupa, a- długość krawędzi podstawy, β - miara kąta dwuściennego przy podstawie, P p - pole podstawy, V- objętość Obliczenie długości wysokości Obliczenie długości krawędzi podstawy Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: = Obliczenie objętości: h = b sinα V = P cos p h= b α sinα a = b cosα P cos = b α Wyznaczenie tg β = tgα i sformułowanie odpowiedzi Obliczenie promienia podstawy walca i stożka: r = 0 mm r Zapisanie proporcji: = tg 0 0 h s Zastosowanie wzoru na objętość walca i obliczenie objętości: V w = 000 π mm Zastosowanie wzoru na objętość stożka i obliczenie objętości: V s = 7 000 π mm Obliczenie objętości bryły: V = 7 000 π ( + ) mm Wprowadzenie oznaczeń, np r, h - wymiary białego termosu, 0,r, h wymiary czerwonego termosu Wyznaczenie wzorów na objętość termosów: V b = π r h, V c = 0,π r h Obliczenie stosunku objętości termosów V b V c = i uzasadnienie, że Agnieszka powinna kupić biały termos Obliczenie objętości białego termosu: V b =, l
Poziom rozszerzony Etapy rozwiązania Sporządzenie rysunku ostrosłupa i zaznaczenie przekroju Zaznaczenie kąta α Zauważenie, że przekrój płaszczyzną jest trójkątem równoramiennym o a a bokach długości: a,, Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia wysokości h trójkąta równoramiennego: a a h + = a Obliczenie długości wysokości h trójkąta równoramiennego: h= Zauważenie, że długości boków trójkąta ABE, w którym kąt α jest kątem a a a wewnętrznym, są równe:,, Uzasadnienie, że trójkąt ABE jest trójkątem prostokątnym, albo zastosowanie twierdzenia cosinusów w trójkącie ABE Obliczenie cos α = Sporządzenie rysunku i analiza Obliczenie skali podobieństwa ostrosłupów podobnych: k = Wykorzystanie twierdzenia o stosunku objętości figur podobnych i obliczenie objętości ostrosłupa podobnego do ostrosłupa o objętości V = cm V = ( ) = 8 cm Obliczenie objętości ostrosłupa ściętego: cm 8 cm = 08 cm Wykonanie rysunku wraz z oznaczeniami, stwierdzenie, że szukana bryła jest różnicą dwóch stożków o wspólnej podstawie AO = r długość promienia podstawy stożków; V objętość bryły Wyznaczenie wzoru na objętość bryły: V = π r OC πr OB = πr BC Wyznaczenie długości boków AC i BC z twierdzenia sinusów: AC = Rsin( α + β ), BC = Rsinβ r Obliczenie promienia: = sin( α + β ) AB, to = Rsinα sin( α+ β) r 8π R sin α sin ( α+ β )sinβ Obliczenie objętości: V = i podanie odpowiedzi
Etapy rozwiązania Wykonanie rysunku, zaznaczenie przekroju i zauważenie, że jest on sześciokątem foremnym a Obliczenie długości boku sześciokąta foremnego: b= a Obliczenie pola przekroju: P = Sporządzenie rysunku walca i zaznaczenie danych d cosα Obliczenie długości promienia podstawy walca: r = Obliczenie wysokości walca i jednocześnie wysokości graniastosłupa: h = d sinα Obliczenie pola powierzchni graniastosłupa: P = d sinα cosα+ cos α Wyznaczenie z twierdzenia cosinusów długości krótszej przekątnej podstawy graniastosłupa: x= d cosα Wyznaczenie z twierdzenia Pitagorasa długości krótszej przekątnej graniastosłupa: p = d sin α+ cos α Wykonanie rysunku lub przyjęcie dokładnie opisanych oznaczeń, np a, b długości krawędzi podstawy, d długość przekątnej podstawy, c długość krawędzi bocznej, h długość wysokości przekroju, α - miara kąta nachylenia przekroju prostopadłościanu wyznaczonego przez przekątne ścian bocznych do podstawy tego prostopadłościanu Wyznaczenie, z twierdzenia cosinusów, kwadratu długości przekątnej podstawy: d = + = Zapisanie układu warunków wynikającego z faktu, że graniastosłup jest a + c = a = prostopadłościanem: b + c = i jego rozwiązanie b = + a + b = c= 0 Obliczenie pola przekroju: P = sin 0 Wyznaczenie długości wysokości przekroju: 0 7 h = 7 Obliczenie sinusa kąta nachylenia przekroju prostopadłościanu do 70 podstawy tego prostopadłościanu: sin α = 0