Friedrich Hirzebruch: garść reminiscencji

Friedrich Hirzebruch: garść reminiscencji Piotr Pragacz Plan napisania dla Wiadomości Matematycznych artykułu o Friedrichu Hirzebruchu zrodził się kilka lat temu. Od tego czasu wiele się zmieniło. Przede wszystkim Profesor Hirzebruch odszedł 27 maja 2012 roku. Po jego śmierci poświęcono mu szereg konferencji, wykładów, a także szereg artykułów: [A1], [AZ], [EMS], [Z]. Jeszcze za życia Profesora powstały artykuły: [A], [Bo], [Br], wideo-wywiad [K]. W przygotowaniu jest książka W. Scharlaua. Publikacje te dokładnie opisują życie i dzieło Profesora Friedricha Hirzebrucha z punktu widzenia jego bliskich współpracowników. W związku z tym mimo iż początkowo zamierzałem napisać o Profesorze artykuł podobny do Życie i dzieło Alexandra Grothendiecka (Wiad. Mat. XL) i analogicznego artykułu o Józefie Marii Hoene-Wrońskim (Wiad. Mat. XLIII), to odstąpiłem od tego zamierzenia i ten artykuł będzie inny w swoim charakterze. Pragnę zawrzeć w nim szereg reminiscencji o Profesorze z punktu widzenia kogoś, dla kogo był on mentorem w latach 1993 ~2006. Także, chcę napisać o związkach Profesora z IMPANGĄ. Profesor Friedrich Hirzebruch w czasie Leonhard Euler Congress w Sankt Petersburgu w roku 2007 Profesora Hirzebrucha spotkałem po raz pierwszy w roku 1988 w czasie algebraicznego semestru w Centrum Banacha, w pałacyku przy ulicy Mokotowskiej. Profesor przyjechał na konferencję z geometrii algebraicznej, zorganizowaną w ramach tego semestru. Głównym organizatorem konferencji był Wolfgang Vogel. Ja mu pomagałem w organizacji. Wykład Profesora Hirzebrucha był dla nas, młodych 1

uczestników wielkim przeżyciem. Profesor mówił o związkach geometrii algebraicznej i fizyki. To był wykład Mistrza. Na tej konferencji także i ja miałem wykład. Mówiłem o wielomianach od klas Cherna posiadających nośniki w rozmaitościach wyznacznikowych. Profesor był na moim wykładzie, zadał kilka pytań i miałem wrażenie, że spodobało mu się to co robię. W roku 1992, Adam Parusiński namówił mnie, by jego śladem zaaplikować o stypendium Fundacji Humboldta. W związku z tym odbyłem dwutygodniową wizytę w Instytutucie Maxa Planck a w Bonn. Głównym punktem tej wizyty był wykład na Oberseminar, gdzie zaprezentowałem rozwinięcie mojej teorii wielomianów o nośnikach w miejscach degeneracji. Pamiętam, że na sali oprócz Profesora Hirzebrucha byli Don Zagier, Robert MacPherson, Christian Okonek i inni. Miałem wrażenie, że mój wykład spotkał się z zainteresowaniem. Niedługo potem otrzymałem Stypendium Humboldta, które odbyłem w latach 1993-1995 w Instytucie Maxa Plancka w Bonn, a moim profesorem gospodarzem (host-professor) był Profesor Hirzebruch. W czasie tego pobytu i w latach następnych Profesor był moim mentorem. Byłem już wprawdzie po habilitacji, ale właśnie to Profesor Hirzebruch pomógł mi znaleźć swoje miejsce w matematyce. Ale bądźmy bardziej systematyczni. Zacznijmy od krótkiego biogramu. Friedrich Hirzebruch urodził się 17 października 1927 r. w Hamm w Nadrenii Północnej- Westfalii. Jego ojciec był nauczycielem matematyki i dyrektorem gimnazjum. Był on także nauczycielem znanego matematyka Karla Steina. W latach 1945-48 Friedrich Hirzebruch odbył studia matematyczne na oddalonym o 30 km od Hamm uniwersytecie w Münster (ogromnie poturbowanym przez wojnę). Tu studiował głównie analizę zespoloną pod kierunkiem Heinricha Behnke. Ze szkoły w Münster wyszli Hans Grauert i Reinholdt Remmert. Szkoła ta miała powiązania z Henri Cartanem w Paryżu. W latach 1949-50 Friedrich Hirzebruch studiował topologię u Heinza Hopfa w Zurichu. Tamże przygotował rozprawę doktorską o rozwiązaniu osobliwości 2-wymiarowych przestrzeni zespolonych. W Zurichu zetknął się po raz pierwszy z klasami Stiefela- Whitney a i Cherna w topologii, pracując z Heinzem Hopfem i Bene Eckmanem. Klasy Cherna towarzyszyły mu w pracy przez całe życie, patrz [H3]. Studiując w Zurichu, Hirzebruch zrozumiał, że rezultaty topologii algebraicznej i geometrii algebraicznej pozwolą uzyskać postęp w analizie zespolonej. Pobyt w Zurichu zaowocował też kontaktami międzynarodowymi. Pracę doktorską (z promotorami: Heinrichem Behnke i Heinzem Hopfem) obronił on w Münster w 1950 roku. Lata 1950 1952 spędził na uniwersytecie w Erlangen. W latach 1952-1954 przebywał w IAS (Instytut Badań Zaawansowanych) w Princeton i ten pobyt wywarł ogromny wpływ na jego badania i mistrzostwo matematyczne. Tuż po 2

przyjeździe nawiązał współpracę z Kunihiko Kodairą i Donaldem C. Spencerem, a także Armandem Borelem. Korespondencyjnie współpracował z Jean-Pierre Serrem i René Thomem. Studiował geometrię algebraiczną: snopy, wiązki, kohomologie snopów, klasy Cherna, klasy charakterystyczne, także teorię kobordyzmów. To w Princeton dokonał przełomu w badaniach nad twierdzeniem o sygnaturze, a następnie odkrył i udowodnił twierdzenie Riemanna-Rocha dla rozmaitości dowolnego wymiaru (w grudniu 1953r.). IAS w Princeton zauroczył Hirzebrucha. Zapragnął stworzyć coś podobnego w rodzinnym kraju. Udało to mu się w roku 1980, kiedy to powstał w Bonn Instytut Maxa-Plancka dla Matematyki (MPI). (Naturalnie Hirzebruch został pierwszym dyrektorem tego instytutu). Po powrocie do Niemiec w 1954r. napisał w Münster książkę Neue Topologische Methoden in der algebraischen Geometrie, która zawierała kompletny dowód twierdzenia Riemanna-Rocha i stanowiła jego rozprawę habilitacyjną (patrz [H1]). Na lata 1955/56 przypada ponowny wyjazd do Princeton, tym razem na uniwersytet. W czasie tego wyjazdu Hirzebruch spotyka Cherna, Langa, Atiyaha, Serre a, Botta. Prowadzi wykład o swojej habilitacji. W roku 1956 otrzymuje profesurę na uniwersytecie w pięknym mieście Bonn. ( Bonn widziane z Venusberg ; rycina otrzymana w darze od księgarni Bouvier w Bonn) 3

Na uniwersytecie w Bonn, Hirzebruch pracował do 1993 roku. Choć sporo podróżował po całym świecie, dłuższy okres absencji był tylko jeden: urlop naukowy (sabatical) w Princeton 1959/60. Ulubione obiekty matematyczne Hirzebrucha to: rozmaitości, powierzchnie, osobliwości, klasy charakterystyczne. Rozmaitości: topologiczne, algebraiczne, zespolone (ale jego ostatni wykład dotyczył krzywych rzeczywistych). Powierzchnie: dysertacja dotyczyła rozwiązania osobliwości 2-wymiarowych przestrzeni zespolonych przy pomocy σσ-procesów Hopfa; powierzchnie modularne Hilberta badane z Zagierem, Van de Venem i van der Geerem. Osobliwości: struktury egzotyczne na rozmaitościach pochodzące od osobliwości badane z Brieskornem (patrz [Br]). Klasy charakterystyczne: klasy Stiefela-Whitneya, klasy Cherna (Chern był bliskim przyjacielem Hirzebrucha, patrz [H3]), klasy Pontrjagina (ważne w twierdzeniu o sygnaturze), genus Todda (Todd obliczył ten genus w wymiarze 6; w całej ogólności zrobił to Hirzebruch). Hirzebruch napisał z Borelem 3 prace o klasach charakterystycznych przestrzeni jednorodnych. Jedną z fascynacji Hirzebrucha była podzielność klas Cherna i wielomianów od klas Cherna. Na początku studiów nad klasami Cherna, Hirzebrucha zaintrygował fakt, że na gładkiej powierzchni algebraicznej cc 2 1 + cc 2 jest zawsze podzielne przez 12. Także: cc nn (EE), gdzie EE jest wiązką nad 2nn-wymiarową sferą, jest podzielne przez (nn 1)!. Na Arbeitstagung w 1958r., zatytułował on swój wykład cc nn divisible by (nn 1)! over the 2nn-sphere (patrz [Bo]). W roku 1953, w Princeton, F. Hirzebruch odkrył i dowiódł dwa fundamentalne twierdzenia: o sygnaturze i twierdzenie Riemanna-Rocha w dowolnym wymiarze. Niech EE będzie wiązką wektorową rangi rr nad gładką rozmaitością. Załóżmy, że xx 1,, xx rr są pierwiastkami Cherna EE. Szereg rr xx ii tttttth xx ii ii=1 jest symetryczny od xx 1,, xx rr, zatem jest szeregiem LL od klas Cherna cc 1 (EE),, cc rr (EE). Ten szereg LL(EE) = LL( cc 1 (EE),, cc rr (EE) ) nosi nazwę LL-klasy Hirzebrucha EE. Jeśli EE jest rzeczywistą wiązką wektorową na rozmaitości różniczkowej, to definiujemy klasy Pontrjagina pp ii (EE) = ( 1) ii cc 2ii (EE C) HH 4ii (, Z), dla ii = 1, 2,. Jeżeli jest domkniętą zorientowaną rozmaitością parzystego wymiaru nn, to forma przecięcia na HH nn/2 () jest niezdegenerowana dzięki dualności Poincaré i jest 4

symetryczna, gdy nn jest podzielne przez 4. Definiujemy wówczas ττ (ssssssssssssssssę ) jako sygnaturę tej formy, czyli liczbę pp qq jeśli ta forma może być zapisana jako xx 2 2 2 2 1 + + xx pp xx pp+1 xx pp+qq dla pewnej bazy xx 1,, xx pp+qq w HH nn/2 (, R). Twierdzenie Hirzebrucha o sygnaturze mówi, że dla zwartej, zorientowanej, gładkiej rozmaitości wymiaru 4nn, zachodzi ττ = LL pp 1 (),, pp nn () gdzie dla wiązki stycznej TTTT do, pp ii () = pp ii (TTTT) są klasami Pontrjagina. Na przykład, ττ = 1 3 pp 1 (), gdy dim = 4 ττ = 1 45 pp 2 () 7pp 1 () 2, gggggg dim = 8 ττ = 1 945 62pp 3 () 13pp 2 ()pp 1 () + 2pp 1 () 3, gdy dim = 12. W dowodzie tego twierdzenia ważną rolę odegrał opis Thoma pierścienia kobordyzmów. Opowiada o tym, a także o historii odkrycia twierdzenia Riemanna- Rocha w wyższych wymiarach rekreacyjny artykuł [H2]. Załóżmy teraz, że jest zespoloną rzutową gładką rozmaitością algebraiczną wymiaru nn, a EE wiązką wektorową rangi rr. Serre w liście do Kodairy i Spencera wysunął hipotezę, że liczba Eulera χχ(, EE) = ( 1) ii dim HH ii (, EE) ii wyraża się poprzez klasy Cherna i EE. Było to znane dla krzywych. Mianowicie A.Weil pokazał, że dla gładkiej krzywej genusu gg, χχ(, EE) = cc 1 (EE) + rr(1 gg) W szczególności, gdy EE = OO(DD) jest wiązką liniową stowarzyszoną z dywizorem DD, to χχ, OO(DD) = dddddd(dd) + 1 gg. Jest klasycznym wzorem Riemanna-Rocha dla systemów liniowych na krzywych. 5,.

Wielu matematyków próbowało uogólnić te wzory na rozmaitości wyższego wymiaru. Noether, Castelnuovo, Severi, Zariski uzyskali pewne rezultaty dla powierzchni. Zeuthen i Segre uogólnili pojęcie genusu. Decydujący krok uczynił Hirzebruch. Dysponował on pewnymi pomysłowymi rachunkami Todda, wybitnego angielskiego geometry algebraicznego. Ale te rachunki dotyczyły wymiarów 6. Hirzebruch zrozumiał jak należy te rachunki uogólnić i zdefiniował genus Todda: rr xx ii 1 ee xx = tttt cc ii 1 (EE),, cc rr (EE) = tttt(ee). ii=1 I to ten genus Todda okazał się kluczem do rozwiązania hipotezy Serre a. W [H1,2] Hirzebruch zwraca uwagę, że: jedynym szeregiem potęgowym ff(xx) z wyrazem stałym 1 spełniającym: jest: współczynnik przy xx mm w ff(xx) mm+1 ff(xx) = xx 1 ee xx = 1 + xx 2 + BB 2kk jest równy 1 dla każdego mm kk=1 xx 2kk (2kk)! gdzie BB 2kk są liczbami Bernoulli ego: BB 2 = 1 6, BB 4 = 1 30, BB 6 = 1 42,. (W [H1,2], używa się innej wersji liczb Bernoulli ego: BB 1 = 1 6, BB 2 = 1 30, BB 3 = 1 42, ). Ta charakteryzacja była mu pomocna w określeniu genusu Todda. Mamy cc ii = cc ii (EE) : tttt(ee) = 1 + 1 2 cc 1 + 1 12 (cc 1 2 + cc 2 ) + 1 24 cc 1cc 2 +. Twierdzenie Hirzebrucha-Riemanna-Rocha (HRR) mówi: gdzie cch(ee) = ee xx ii rr ii=1 χχ(, EE) = cch(ee) tttt(),, ( ) oraz tttt() = tttt(tttt) oznacza genus Todda. Mamy: cch(ee) = rr + cc 1 + 1 2 (cc 1 2 2cc 2 ) + 1 6 (cc 1 3 3cc 1 cc 2 + 3cc 3 ) +. Lewa strona ( ) ma charakter analityczny, a prawa strona topologiczny. Podamy szkic dowodu z książki Hirzebrucha [H1]. Wprowadźmy oznaczenie TT(, EE) = cch(ee) tttt(). 6

Rozważmy wiązkę zupełnych flag ππ: FF(EE) stowarzyszoną z EE. Badanie własności FF(EE) gra zasadniczą rolę w dowodzie Hirzebrucha. Mamy ([H1, Tw. 14.3.1]): TT(, EE) = TT(FF(EE), ππ EE). Niech χχ() = χχ(, OO ) oznacza genus arytmetyczny. Wiadomo, że dla rozmaitości FF(rr) zupełnych flag długości r, χχ FF(rr) = 1. Mamy ([H1, App.II, Tw. 8.1]): χχ(, EE) = χχ(ff(ee), ππ EE) χχ FF(rr) = χχ(ff(ee), ππ EE). Na FF(EE) wiązka ππ EE się rozszczepia: na sumę wiązek liniowych LL ii. Mamy ([H1, 12.1(5)]): ππ EE = LL 1 LL rr oraz ([H1, Tw. 16.1.2]): TT(FF(EE), ππ EE) = TT(FF(EE), LL ii ) rr ii=1 χχ(ff(ee), ππ EE) = χχ (FF(EE), LL ii ). rr ii=1 Zatem jeśli wiemy, że HRR zachodzi dla wiązek liniowych: χχ(ff(ee), LL ii ) = TT(FF(EE), LL ii ) 1 ii rr, to χχ(, EE) = TT(, EE). Mamy ([H1, Tw. 20.2.2]): χχ() = tttt(). Jest to konsekwencją trzech faktów: χχ FF(EE) = χχ() [H1, Tw. 20.2.1], skąd χχ FF(TTTT) = χχ() ; tttt FF(EE) = tttt() [H1, Tw. 14.3.1], skąd tttt FF(TTTT) = tttt() ; χχ FF(TTTT) = tttt FF(TTTT) [H1, Tw. 20.1.1]. Definiujemy dla wiązki liniowej LL nad χχ(ll) = χχ() χχ(, LL ), TT(LL) = tttt() TT(, LL ) wirtualną charakterystykę i wirtualny genus. Dowodzi się ([H1, Tw. 20.3.1]), że χχ(ll) = TT(LL). W dowodzie używa się pewnego równania funkcyjnego, które występuje w kilku miejscach [H1]: Tw. 11.3.1, Tw. 12.3.2, Tw. 17.3.1, Tw. 19.3.1, Tw. 19.3.2. (Do Tw. 11.3.1 powrócimy jeszcze w identyczności ( ) ). Zastępując LL przez LL, otrzymujemy TT(, LL) = χχ(, LL), co kończy szkic dowodu. Twierdzenie Hirzebrucha-Riemanna-Rocha było punktem wyjścia dla szeregu dalszych dokonań: 7

Uogólnienie HRR przez Grothendiecka dla właściwego morfizmu między rozmaitościami algebraicznymi. To uogólnienie jest wyrażone za pomocą przemienności pewnego diagramu grup homologii i KK-grup w geometrii algebraicznej. To doprowadziło do rozwinięcia topologicznej KK-teorii (Atiyah, Hirzebruch), która była ważnym narzędziem dla Twierdzenia o indeksie dla operatorów eliptycznych (Atiyah, Singer). Hirzebruch rozważał uogólnienia χχ(, EE). Wprowadzając zmienną yy, zdefiniował on następującą χχ yy -charakterystykę nn nn χχ yy (, EE) = ( 1) qq h pp,qq (, EE) yy pp. pp=0 qq=0 W podobny sposób uogólnione zostały: genus Todda, wirtualne charakterystyki i inne pojęcia. Lascoux w artykule [L] w tomie Hirzebruch 70, pokazał, że χχ yy -charakterystyka, zastosowana do rozmaitości flag, jest adekwatnym narzędziem do studiowania algebry i kombinatoryki wielomianów Macdonalda. Twierdzenie Hirzebrucha-Riemanna-Rocha znalazło wiele zastosowań. Gdy pracowaliśmy z Pati i Srinivasem nad własnością przekątniową, która mówi, że nad istnieje wiązka rangi dim oraz jej przekrój znikający wzdłuż przekątnej, okazało się ono bardzo pomocne w badaniu 3-wymiarowej kwadryki = QQ 3. Niech [QQ 2 ], [LL] i [PP] (2-wymiarowa kwadryka, prosta, punkt) będą generatorami grup Chow AA 1 (QQ 3 ), AA 2 (QQ 3 ) i AA 3 (QQ 3 ). Totalna klasa Cherna wiązki wektorowej EE na QQ 3 ma postać 1 + dd 1 (EE)[QQ 2 ] + dd 2 (EE)[LL] + dd 3 (EE)[PP], gdzie dd ii (EE) Z. Okazuje się (patrz [PSP]), że aby pokazać brak własności przekątniowej dla QQ 3, wystarczy dowieść, że nie istnieje nad QQ 3 wiązka EE rangi 3 taka, że dd 3 (EE) = 1 = dd 1 (EE). A to wynika stąd, że gdy do HRR: χχ(qq 3, EE) = 1 6 (2dd 1 3 3dd 1 dd 2 + 3dd 2 ) + 3 2 (dd 1 2 dd 2 ) + 13 6 dd 1 + 3, gdzie dd ii = dd ii (EE), podstawimy obecne liczby, to dostaniemy co stanowi sprzeczność. χχ(qq 3, EE) = 15 2 2dd 2, Gdy zajmowaliśmy się z A. Parusińskim charakterystyką Eulera osobliwych hiperpowierzchni (patrz [PP]), pomocna okazała się pewna identyczność z książki Hirzebrucha. Mianowicie udowodniliśmy początkowo wzór na charakterystykę Eulera miejsca zer przekroju liniowej wiązki bardzo szerokiej. Aby uogólnić ten wzór na 8

przypadek dowolnej wiązki liniowej LL, rozważyliśmy wiązkę bardzo szeroką MM taką, że LL MM jest też bardzo szeroka. Dla wiązki wektorowej EE rangi rr nad gładką rozmaitością zespoloną definiujemy χχ( EE) = cc(ee) 1 cc rr (EE)cc(). Dowiedliśmy nasz wzór dzięki tożsamości 2χχ( LL MM) + χχ( LL MM) = χχ( LL) + χχ( MM) + χχ( LL MM LL MM), którą znaleźliśmy w [H1, Tw. 11.3.1, yy = 1]. ( ) Friedrich Hirzebruch, Adam Parusiński i autor w czasie Hirzebruch 70 Pisząc o twierdzeniu Hirzebrucha-Riemanna-Rocha, korzystam z egzemplarza książki Topological methods in algebraic geometry jaki Profesor podarował mi oraz współorganizatorom: Michałowi Szurkowi i Jarosławowi Wiśniewskiemu, dziękując za organizację konferencji Hirzebruch 70 jaka odbyła się w Warszawie w 1998 r. 9

Miejscem konferencji był pałacyk Centrum Banacha na Mokotowskiej. Na konferencję przyjechało wiele znakomitości geometrii algebraicznej. Oto zdjęcie uczestników konferencji: Wprawdzie Michael Atiyah nie widnieje na tym zdjęciu, ale uczestniczył on w konferencji i wygłosił wykład o związkach fizyki i geometrii w latach 80-tych i 90-tych, a także o roli Profesora Hirzebrucha i jego Arbeitstagung w rozwijaniu tych związków. Materiały z konferencji ukazały się w tomiku Contemporary Mathematics A.M.S. 10

Od roku 2000 prowadzę w Instytucie Matematycznym PAN seminarium IMPANGA z geometrii algebraicznej (patrz [P]). Pierwszym zagranicznym wykładowcą na tym seminarium był Profesor Hirzebruch. Wygłosił on 7.05.2001 wykład Old and new applications of characteristic classes. Wykład ten odbył się w ulubionym przez Profesora pałacyku Centrum Banacha na Mokotowskiej. Profesor otrzymał w podzięce Kubek Impangi. Powiesiliśmy w instytucie sporo ogłoszeń; jedno w windzie. Gdy wieczorem byłem z Profesorem i jego żoną Inge w Teatrze Wielkim, i znaleźliśmy się tamże w windzie, Profesor z uśmiechem stwierdził: W co drugiej windzie w Warszawie jest ogłoszenie mego wykładu. Gdy w roku 2010 organizowałem z koleżankami i kolegami konferencję-szkołę IMPANGA 10, Profesor Hirzebruch zgodził się być Honorowym Przewodniczącym Komitetu Naukowego. Niestety ze względu na stan zdrowia, nie mógł przybyć osobiście do Centrum Banacha w Będlewie na tę konferencję, ale aktywnie współuczestniczył w wyborze wykładowców. To wsparcie Profesora było bardzo ważne dla młodego środowiska IMPANGI. Masza Vlasenko, która była wykładowcą na IMPANGA 10, zawiozła Profesorowi w podzięce kubek konferencji i w ten sposób w jego gabinecie były teraz dwa kubki związane z IMPANGĄ. Wcześniej IMPANGA aktywnie włączyła się w konferencję Manifolds in mathematics and in other fields (IM PAN 2002), zorganizowaną przez F. Hirzebrucha i S. Janeczkę. Spora grupa polskich geometrów algebraicznych skorzystała z gościny Profesora Hirzebrucha w Instytucie Maxa Plancka w Bonn: G.Banaszak, A.Dąbrowski, W.Gajda, P.Krasoń, A.Langer, A.Parusiński, J.Wiśniewski i autor. Kilka lat spędzonych w MPI było najbardziej płodnym matematycznie okresem mojego życia. Wspaniała atmosfera w instytucie kierowanym przez Profesora rzutowała pozytywnie na postępy w pracy. Po roku mojego pobytu w MPI, Profesor Hirzebruch wręczył mi, ze stosowną dedykacją, swoje: Dzieła Zebrane. Przy tym dodał żartobliwie: 11

- Ale proszę, oprócz lektury, cytować moje Dzieła Zebrane ; wtedy więcej matematyków się nimi zainteresuje i będą się lepiej sprzedawać. Bibliografia do [PR] pokazuje, że wziąłem sobie tę radę do serca. Jednym z tematów, nad którym pracowałem w Bonn z moim doktorantem J.Ratajskim były lagranżowskie, symplektyczne i ortogonalne miejsca degeneracji. Jest to piękny rozdział rachunku Schuberta, gdzie geometria przeplata się z algebrą. Uzyskaliśmy pewną intrygującą identyczność na funkcje Schura ss λλ : ss λλ (xx 1 2,, xx nn 2 ) ss ρρ (xx 1,, xx nn ) = ss ρρ+2λλ (xx 1,, xx nn ), ( ) gdzie ρρ = (nn, nn 1,, 1) oraz (ρρ + 2λλ) ii = ρρ ii + 2λλ ii. Ten wzór pozwolił nam dowieść nowy wzór Gysina w lagranżowskiej wiązce Grassmanna, ale czuliśmy, że nie rozumiemy go dostatecznie głęboko. Zwierzyłem się z tego Profesorowi, a on zasugerował nam, by przyjrzeć się ( ) z punktu widzenia rozmaitości kwaternionowych, wskazując na kilka swoich prac i pewien artykuł Slodowego. I rzeczywiście, używając kwaternionowych rozmaitości flag, tożsamość ( ) jest naturalna (patrz [PR, (10.7)]). Jak już napisałem, HRR był bardzo pomocny w ustaleniu, że 3-wymiarowa kwadryka nie ma własności przekątniowej. Zapytany, Profesor udzielił nam kilku rad jak efektywnie liczyć prawą stronę HRR dla zupełnych przecięć. Oto fragment jego listu w tej sprawie 12

Profesor bardzo dbał, by goszczący w Instytucie Maxa Plancka matematycy czuli się dobrze. Byli oni zapraszani przez Profesora na obiad. Gdy instytut mieścił się w Beul, Profesor zapraszał do włoskiej restauracji Tivoli. Gdy instytut przeniósł się do centrum Bonn, Profesor zapraszał do małej restauracyjki na piętrze nad cukiernią Fassbender, która znajdowała się blisko nowej siedziby instytutu. Tłusty czwartek jest kulminacją karnawału w MPI. Ta tradycja jest przeniesiona z poprzedniej siedziby, bowiem w Beul właśnie wtedy odbywa się korowód karnawału. Ku swemu zdumieniu, gdy byłem w okresie karnawału w 2001 r. w MPI, w środę przed tłustym czwartkiem znalazłem w swojej skrytce pocztowej krawat. Wytłumaczono mi, że jest zwyczaj, że w czasie czwartkowej zabawy, ucina się krawaty. A potem dowiedziałem się, że to Profesor włożył mi ten krawat do skrytki. Następnego dnia, krawat został ucięty ale to nie był TEN krawat! Krawat od Profesora stanowi dla mnie drogocenną pamiątkę i służy mi do dziś. Matematyczne Bonn było bardzo atrakcyjnym ośrodkiem. Uczęszczałem na uniwersytecie na wykłady Profesora Brieskorna. Były to piękne wykłady (po niemiecku) pokazujące związki osobliwości ze sztuką. W 2006 r. miałem możliwość wygłoszenia dwóch 90-minutowych wykładów na Seminarium Profesora Brieskorna. Zacząłem od podziękowania, że mogę wygłosić wykład na tutejszym seminarium z teorii osobliwości. Profesor Brieskorn odparł: Proszę Pana, nie ma teorii osobliwości, są tylko osobliwości. Komentarze Profesora Brieskorna dały mi bardzo wiele. Co piątek o godzinie 17:15, na uniwersytecie odbywało się Kolokwium, z bardzo ciekawymi wykładami. Profesor Brieskorn opowiedział mi, że dla zachęcenia do udziału w Kolokwium (w jego początkowej fazie) Profesor Hirzebruch mawiał: Tak jak katolicy uczestniczą co tydzień we mszy, matematycy powinni uczestniczyć co tydzień w Kolokwium. Opowiadając o swoim ojcu, Profesor Hirzebruch wspomniał, że cieszył się on dużym autorytetem wśród uczniów. Wystarczyło, że po wejściu do klasy powiedział: Junge ( Chłopcy), i w klasie robiło się zupełnie cicho. Profesor miał też dar do pracy z ludźmi. Gdy powstawał jakiś problem, umiał tak pokierować sprawą, że wszelkie sytuacje konfliktowe nie były możliwe. Gdy o czymś mówił to koncentrował się na pozytywach (mimo, że wiedzieliśmy, że też są negatywy). Miał wspaniałe poczucie humoru. W instytucie dała się zauważyć następująca prawidłowość. Tylko jeden z pracowników przychodził do instytutu w garniturze i krawacie, wszyscy inni bardziej na luzie: sweterki,. Gdy ktoś raz zapytał tego pracownika w garniturze i krawacie a był nim Profesor Hirzebruch dlaczego tak się katuje, tenże odparł: Jeśli ktoś z zewnątrz odwiedza nasz instytut, to nie pytając nikogo zaraz zauważy, kto jest jego dyrektorem! 13

W MPI czuliśmy się bezpiecznie pod skrzydłami Profesora. Znaleźliśmy ogromne wsparcie pod względem intelektualnym, duchowym i także materialnym. Profesor doradzał, podtrzymywał na duchu, pomagał. Profesor Hirzebruch był fantastycznym matematykiem. Rozwiązał problem Riemanna-Rocha we wszystkich wymiarach. Był on też wspaniałym organizatorem. Uczynił Bonn niezwykle atrakcyjnym centrum matematyki. Korzysta z niego wielu polskich matematyków, w tym sporo uczestników IMPANGI. Był otwarty na ludzi, którym pomagał, jak potrafił. W jednym z tekstów Dona Zagiera o Friedrichu Hirzebruchu, znalazłem te słowa, którymi chciałbym zakończyć mój artykuł: Przy pomocy wielu prawie niewidzialnych działań, spowodował, że ludzie wokół niego stali się trochę lepsi, a świat wokół niego stał się trochę lepszym światem. Podziękowania: Dziękuję Andrei Kohlhuber i Renacie Podgórskiej za pomoc w przygotowaniu tego artykułu. Dziękuję także Grzegorzowi Banaszakowi i Maszy Vlasenko za lekturę wstępnej wersji tekstu i szereg uwag, które przyczyniły się do jego ulepszenia. BIBLIOGRAFIA [A] M. Atiyah, Friedrich Hirzebruch - an appreciation, Israel Mathematical Conference Proceedings Vol. 9 (1996), 1 5. [A1] M. Atiyah, Friedrich Ernst Peter Hirzebruch, 17 October 1927 27 May 2012, Biogr. Mem. Fellows R. Soc. 60, 229 247 (2014). [AZ] M. Atiyah, D. Zagier (Coordinating editors): Friedrich Hirzebruch (1927 2012) Notices Amer. Math. Soc. 61, 2 23 (2014). [Bo] J-P. Bourguignon, Questions au Professeur Hirzebruch, Gazette de Mathematiciens, juin 1992/no. 53, SMF, 11 19. [Br] E. Brieskorn, Singularities in the work of Friedrich Hirzebruch, Surv. Differ. Geom. 7 (2007), 17 60. [EMS] EMS Newsletter September 2012. 14

[H1] F. Hirzebruch, Topological methods in algebraic geometry, 3rd edition, Springer 1966. [H2] F. Hirzebruch, The signature theorem: reminiscences and recreation, in Prospects in Mathematics, Ann. Math. Stud., vol. 70, pp. 3 31 (1971). [H3] F. Hirzebruch, Why do I like Chern, and why do I like Chern classes?, Notices Amer. Math. Soc. 58, 1231-1234 (2011). [K] M. Kreck, Video interview with Friedrich Hirzebruch, Simons Foundation website (2011). [L] A. Lascoux, About the y in the χχ yy -characteristic of Hirzebruch, in Algebraic Geometry Hirzebruch 70, Contemp. Math. A.M.S vol. 241 (1999), 285 296. [PP] A. Parusiński, P. Pragacz, A formula for the Euler characteristic of singular hypersurfaces, Journal of Algebraic Geometry, 4 (1995), 337 351. [P] P. Pragacz, Dziesięć lat Impangi, Wiad. Mat. 47 no. 1 (2011), 45 54. [PR] P. Pragacz, J. Ratajski, Formulas for Lagrangian and orthogonal degeneracy loci; QQ -polynomial approach, Compositio Math. 107 (1997), 11 87. [PSP] P.Pragacz, V. Srinivas, V. Pati, Diagonal subschemes and vector bundles, Pure and Applied Mathematics Quaterly vol.4, no.4, part 1 of 2, Special Issue in honor of Jean-Pierre Serre (2008), 1233 1278. [Z] D. Zagier, Life and work of Friedrich Hirzebruch, Jahresber. Dtsch Math-Ver (2015) 117:93 132. 15