www.zadania.info NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI MTUR PRÓN POSTWOW GEOMETRI Z TRYGONOMETRI ZNIE 1 (1 PKT) W trójkacie prostokatnym naprzeciw kata ostrego α leży przyprostokatna długości 3 cm. ruga przyprostokatna ma długość 6 cm. Zatem ) sin α = ) tg α 5 = ) cos α = 1 ) cos α 5 = 5 5 ZNIE (1 PKT) Kat wpisany w okrag o promieniu 6, który jest oparty na łuku długości 3π ma miarę ) 45 ) 90 ) 30 ) 60 ZNIE 3 (1 PKT) Liczba przekatnych jest równa liczbie boków w ) prostokacie ) siedmiokacie ) sześciokacie ) pięciokacie ZNIE 4 (1 PKT) Miara kata α wynosi α 40 o ) 40 ) 30 ) 60 ) 50 ZNIE 5 (1 PKT) W kwadracie o boku długości 0 połaczono punkty E i F na bokach i w ten sposób, że odcinek EF jest równoległy do przekatnej i jest od niej 5 razy krótszy. F E 1
www.zadania.info NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI ługość odcinka E jest równa ) 14 ) 1 ) 16 ) 15 ZNIE 6 (1 PKT) Z przeciwległych wierzchołków kwadratu o boku 1 zatoczono koła o promieniu 1. Pole części wspólnej tych kół jest równe ) 1π ) 1 4 π ) 1 4 (π ) ) 1 (π ) ZNIE 7 (1 PKT) Suma miar katów wewnętrznych wielokata wypukłego jest równa 1800. Wynika stad, że liczba boków tego wielokata jest równa ) 7 ) 10 ) 5 ) 1 ZNIE 8 (1 PKT) Środkiem okręgu opisanego na trójkacie jest punkt przecięcia się ) środkowych trójkata ) wysokości trójkata ) dwusiecznych katów trójkata ) symetralnych boków trójkata ZNIE 9 (1 PKT) Punkty i E dziela bok trójkata na trzy równe części (zobacz rysunek). Stosunek pól trójkatów i jest równy E ) 3 ) 3 ) 9 4 ) 4 9 ZNIE 10 (1 PKT) any jest równoramienny trójkat o kacie przy podstawie równym 40. Punkt O jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkat. Przez punkty i O poprowadzono prosta, która przecięła bok w punkcie. Jeśli miara kata jest równa α, to ) α = 30 ) α = 60 ) α = 40 ) α = 0
www.zadania.info NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI ZNIE 11 (1 PKT) Odcinek jest dwusieczna w trójkacie równoramiennym poprowadzona do ramienia. 75 o Jeżeli = 75 to miara kata przy wierzchołku jest równa ) 40 ) 45 ) 30 ) 50 ZNIE 1 (1 PKT) Punkty, i leża na okręgu o środku S (zobacz rysunek). S 30 o Miara zaznaczonego kata wpisanego jest równa ) 65 ) 115 ) 130 ) 100 ZNIE 13 (1 PKT) Jeśli przyprostokatne trójkata prostokatnego sa równe 6 i 3, a najmniejszy kat ma miarę α, to wyrażenie W = sin α cos α ma wartość ) 5 5 ) 5 ) 5 ) 4 5 5 ZNIE 14 (1 PKT) Która z liczb nie może być równa polu rombu o obwodzie 1? ) π ) 9 5 ) 9 3 1 ) 100 3
www.zadania.info NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI ZNIE 15 (1 PKT) Miara kata α zaznaczonego na rysunku jest równa S 65 o α ) 50 ) 3, 5 ) 40 ) 30 ZNIE 16 (1 PKT) Znajdź skalę podobieństwa trójkata do trójkata : ' Pole =7 ' ' Pole '''=3 ) 1 3 ) 9 ) 1 9 ) 3 ZNIE 17 (1 PKT) Wierzchołki trójkata leża na okręgu i środek O okręgu leży wewnatrz trójkata. Jeśli kat O ma miarę 0, to kat ma miarę ) 0 ) 10 ) 40 ) 70 ZNIE 18 (1 PKT) W trapezie równoramiennym podstawy maja długości 10 i 16, a kat rozwarty ma miarę 10. Obwód trapezu jest równy ) 6 ) 6 + 6 3 ) 3 ) 38 ZNIE 19 (1 PKT) Wiadomo, że tangens kata ostrego α jest równy 3. Wobec tego: ) α (30, 45 ) ) α (60, 90 ) ) α (0, 30 ) ) α (45, 60 ) 4
www.zadania.info NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI ZNIE 0 (1 PKT) la kata ostrego α spełniony jest warunek tg α = 7. Wówczas wartość wyrażenia jest równa ) 3 ) 3 ) 3 4 ) 4 3 sin α+cos α sin α cos α ZNIE 1 (1 PKT) Nieprawda jest, że ) sin 3 < sin 44 ) tg 1 < tg 54 ) cos 3 > cos 44 ) cos 5 < cos 34 ZNIE (1 PKT) Kat α jest katem ostrym. Zatem liczba w = sin α 1 spełnia warunek ) 1 < w < ) 1 < w < 0 ) < w < 1 ) 0 < w < 1 ZNIE 3 (1 PKT) Jeżeli sin α = 0, 1 + cos α to liczba sin α cos α jest równa ) 0,5 ) 0,495 ) 0,45 ) 0,99 ZNIE 4 (1 PKT) Nie istnieje kat α, taki, że ) sin α = 9 5 ) sin α = 9 5 ) tg α = 7 9 ) tg α = 9 5 ZNIE 5 (1 PKT) cos 40 Wartość wyrażenia cos 50 tg 40 wynosi ) 1 ) cos 50 ) tg 50 ) 1 ZNIE 6 (1 PKT) Jeśli α jest k ) 5 ) atem ostrym i sin α = 3 5 6, to cos α jest równy 80 36 5 ) 36 ) 36 5 80 ZNIE 7 (1 PKT) Wartość wyrażenia sin 5 α + sin 3 α cos α + sin α cos 4 α jest równa ) cos α ) cos α ) sin α ) sin α ZNIE 8 (5 PKT) Uzasadnij, że nie istnieje trójkat prostokatny, w którym przeciwprostokatna ma długość 4, a katy ostre α i β sa takie, że cos α = 3 4 i tg β = 3 4. 5
www.zadania.info NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI ZNIE 9 (5 PKT) ługość przeciwprostokatnej trójkata prostokatnego o obwodzie 90 jest liczba całkowita i jest o 1 większa od długości jednej z przyprostokatnych. Oblicz pole tego trójkata. ZNIE 30 (5 PKT) Korzystajac z własności trójkata prostokatnego o kacie ostrym 45 oblicz tg, 5. ZNIE 31 (5 PKT) Miara jednego z katów ostrych w trójkacie prostokatnym jest równa α. a) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność sin α tg α < 0. b) la sin α = 3 oblicz wartość wyrażenia cos 3 α + cos α sin α. ZNIE 3 (5 PKT) ługości a i b przyprostokatnych trójkata prostokatnego spełniaja równość a 6ab 7b = 0. a) Oblicz tangensy katów ostrych tego trójkata. b) Uzasadnij, że pole tego trójkata jest równe 14 1 a. ZNIE 33 (5 PKT) W trójkacie prostokatnym, w którym przyprostokatne maja długości i 4, jeden z katów ostrych ma miarę α. Oblicz sin α cos α. ZNIE 34 (5 PKT) Liczby 6, 10, c sa długościami boków trójkata prostokatnego. Oblicz c. ZNIE 35 (5 PKT) Wyznacz długość przeciwprostokatnej oraz miary katów trójkata prostokatnego, którego przyprostokatne maja długości a = 6 +, b = 6. 6
www.zadania.info NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI ZNIE 36 (5 PKT) Trójkaty równoboczne i E sa położone tak, jak na poniższym rysunku. Wykaż, że = E. E ZNIE 37 (5 PKT) W trójkacie równoramiennym podstawa ma długość 0 3. Pole trójkata jest równe 100 3. Oblicz obwód tego trójkata i miarę kata przy podstawie. ZNIE 38 (5 PKT) Wiedzac, że punkt O jest środkiem okręgu, oblicz miarę kata α. α O 40 o 10 o ZNIE 39 (5 PKT) Różnica między polem koła opisanego na kwadracie a polem koła wpisanego w kwadrat jest równa 4π. Oblicz pole kwadratu. ZNIE 40 (5 PKT) Pola dwóch kwadratów różnia się o 39 cm. Przekatna jednego z nich jest dłuższa o 3 cm od przekatnej drugiego. Oblicz długość boku każdego kwadratu. 7