Algorytmy parametryzowane ćwiczenia 1

Algorytmy parametryzowane ćwiczenia 1 branchingi Zadania oznaczone prawie na pewno nie będą rozwiązywane na ćwiczeniach, są do przemyślenia dla chętnych w domu. Zadanie 1. W problemie Triangle Hitting, mając dany n-wierzchołkowy graf G i liczbę k, pytamy, czy z grafu G można usunąć k wierzchołków tak, by nie miał trójkątów. (a) Pokaż algorytm o złożoności O (3 k ) dla tego problemu. (b) Pokaż algorytm o złożoności O(c n ) dla tego problemu dla pewnej stałej c < 2. Zadanie 2. Pokaż, że można w czasie O (2 k ) wypisać wszystkie minimalne ze względu na zawieranie pokrycia wierzchołkowe wielkości co najwyżej k. Zadanie 3. Dana jest ustalona, skończona rodzina grafów F. Graf G nazwiemy F-wolnym, jeśli nie posiada on żadnego grafu z F jako indukowanego podgrafu. W problemie F-Free Vertex Deletion, dany jest graf G i liczba k, i pytamy się, czy da się usunąć co najwyżej k wierzchołków z G tak, by stał się on F-wolny. Analogicznie definiujemy problemy F-Free Edge Deletion/Completion/Editing, gdzie można dodawać/usuwać/dodawać oraz usuwać krawędzie. Wykaż, że każdy z tych problemów można rozwiązać w czasie O (c k ), dla pewnej stałej c zależnej tylko od F. Zadanie 4. Turniej to graf skierowany, gdzie między każdymi dwoma wierzchołkami jest dokładnie jedna krawędź. Pokaż, że problem usuwania z danego turnieju co najwyżej k krawędzi, by dostać graf acykliczny, można rozwiązać w czasie O (3 k ). Zadanie 5. Pokaż, że problem sprawdzania, czy dana formuła p-cnf-sat ma rozwiązanie o co najwyżej k jedynkach można rozwiązać w czasie O (p k ). Zadanie 6. Mając daną formułę CNF φ pytamy, czy istnieje wartościowanie φ spełniające co najwyżej k klauzul. Pokaż, że można to rozstrzygnąć w czasie O (2 k ). Zadanie 7. Rozważmy problem znajdowania maksymalnego zbioru X V w grafie G takiego, że G[X] jest 7-regularny. Pokaż, że ten problem można rozwiązać w czasie O(c n ) dla pewnej stałej c < 2. Zadanie 8. W problemie Independent Set dany jest graf G oraz liczba k, i w G szukamy zbioru wielkości k składającego się z parami niesąsiadujących wierzchołków. Opracuj algorytm rozwiązujący ten problem w czasie O (c k ) dla pewnej stałej c < 3 w grafach o maksymalnym stopniu co najwyżej 4. Zadanie 9. W problemie Set Cover dane jest uniwersum U oraz rodzina jego podzbiorów F 2 U. Celem jest wybranie jak najmniejszej podrodziny G F takiej, że U = G. (a) Opracuj algorytm rozwiązujący ten problem w czasie O (2 U ). (b) Opracuj algorytm rozwiązujący ten problem w czasie O (c U + F ) dla pewnej stałej c < 2. 1

Zadanie 10. Graf G nazywamy cięciwowym (chordal) jeśli nie posiada on indukowanego cyklu długości co najmniej 4. (a) Wykaż, że każdy graf cięciwowy ma co najmniej jeden wierzchołek, którego sąsiedztwo jest kliką (tzw. wierzchołek symplicjalny). (b) Wykaż, że jeśli v jest symplicjalny w G, to G jest cięciwowy wtedy i tylko wtedy gdy G v jest cięciwowy. (c) Na podstawie poprzednich dwóch punktów opracuj wielomianowy algorytm, który albo stwierdza, że dany graf jest cięciwowy, albo zwraca indukowany cykl długości co najmniej 4. (d) Opracuj algorytm FPT dla następującego problemu Fill-in: mając dany graf G oraz liczbę k, czy da się dodać co najwyżej k krawędzi do grafu G tak, by stał się on cięciwowy. (e) Popraw ten algorytm tak, by działał w czasie O (c k ) dla pewnej stałej c. Zadanie 11 ( ). W grafie nieskierowanym G, zbiór X V (G) nazwiemy dominującą kliką, jeśli (a) każde dwa wierzchołki X są połączone krawędzią (b) każdy wierzchołek V (G) \ X ma sąsiada w zbiorze X. Opracuj algorytm sprawdzający, czy dany graf G ma dominującą klikę, w czasie O(c n ) dla pewnej stałej c < 2. 2

Algorytmy parametryzowane ćwiczenia 2 kernelizacja na palcach, jądro dla pokrycia wierzchołkowego Zadania oznaczone prawie na pewno nie będą rozwiązywane na ćwiczeniach, są do przemyślenia dla chętnych w domu. Zadanie 12. Rozważmy następujący problem: mając dany zbiór punktów na płaszczyźnie A oraz liczbę k stwierdź, czy istnieje na płaszczyźnie zbiór k prostych takich, że każdy punkt z A należy do co najmniej jednej z wybranych prostych. Pokaż, że można w czasie wielomianowym zredukować daną instancję tego problemu do instancji (A, k ), gdzie k k i A k 2. Zadanie 13. W problemie Set Splitting, mając dane uniwersum U, liczbę k oraz rodzinę F podzbiorów U, chcemy znaleźć takie kolorowanie U na dwa kolory, że co najmniej k zbiorów z F nie jest jednokolorowych. Pokaż, że ten problem ma jądro z co najwyżej 2k zbiorami i U = O(k 2 ). Zadanie 14. W problemie Max-SAT, mając daną formułę CNF-SAT i liczbę k pytamy, czy istnieje wartościowanie tej formuły spełniające co najmniej k klauzul. Pokaż, że ten problem ma jądro: 1. o co najwyżej 2k klauzulach; 2. o O(k 2 ) zmiennych. Zadanie 15. W problemie Feedback Arc Set in Tournaments mamy dany turniej (skierowaną klikę) i liczbę k, a pytamy, czy można odwrócić co najwyżej k krawędzi by dostać graf acykliczny. Pokaż, że problem ten ma jądro z O(k 2 ) wierzchołkami. Zadanie 16. W problemie Cluster Editing, mając dany graf G i liczbę k, pytamy, czy w G można zmienić (dodać lub usunąć) co najwyżej k krawędzi by dostać graf, którego każda spójna składowa jest kliką. Pokaż, że ten problem ma jądro o O(k 2 ) wierzchołkach. Zadanie 17 ( ). Pokaż, że problem sprawdzania, czy dany graf ma maksymalne (ze względu na zawieranie) skojarzenie wielkości co najwyżej k ma wielomianowe jądro. Zadanie 18 ( ). Rozważmy następujący problem: mając dany graf G i liczbę k stwierdź, czy istnieje podgraf H grafu G taki, który ma dokładnie k krawędzi i każdy wierzchołek H ma nieparzysty stopień w H. Pokaż, że można w czasie wielomianowym zredukować daną instancję tego problemu do instancji (G, k ), gdzie k k i V (G ) = O(k 2 ). Zadanie 19. W problemie d-set Packing mamy daną liczbę k, uniwersum U i rodzinę F 2 U taką, że każdy element F jest wielkości co najwyżej d. Celem jest stwierdzenie, czy istnieje w F k parami rozłącznych zbiorów. Pokaż, że ten problem ma jądro z co najwyżej d!(dk) d zbiorami. Zadanie 20. Bykiem nazwiemy następujący pięciowierzchołkowy graf H: V (H) = {a, b, c, d, e}, E(H) = {ab, bc, ac, bd, ce}. k-stado byków to graf o k spójnych składowych, z których każda jest bykiem. Rozważmy następujące problemy: mając dany graf G oraz liczbę k pytamy, czy z grafu G można usunąć co najwyżej k wierzchołków tak, by pozostały graf nie miał byka jako indukowanego podgrafu; 3

mając dany graf G oraz liczbę k pytamy, czy istnieje podgraf G (niekoniecznie indukowany) izomorficzny z k-stadem byków. Pokaż, że dla obu problemów można w czasie wielomianowym zredukować daną instancję tego problemu do instancji (G, k ), gdzie k k i V (G ) = O(k 5 ). Zadanie 21. W problemie zbioru dominującego mamy dany graf G i liczbę k i pytamy, czy istnieje zbiór k wierzchołków który dominuje całe V (G), tj. każdy wierzchołek G jest w wybranym zbiorze lub ma sąsiada w wybranym zbiorze. W problemie Big-Girth Dominating Set dodatkowo zakładamy, że długość najkrótszego cyklu w G jest co najmniej 5. Pokaż, że ten problem ma jądro z O(k 3 ) wierzchołkami. Zadanie 22. W problemie Connected Vertex Cover pytamy o pokrycie wierzchołkowe, które w dodatku indukuje spójny podgraf. 1. Przeanalizuj jądro O(k 2 ) dla pokrycia wierzchołkowego i pokaż, dlaczego ono nie działa. 2. Pokaż jądro o co najwyżej 2 k + O(k 2 ) wierzchołkach. 3. Pokaż jądro o O(k 2 ) wierzchołkach przy dodatkowym założeniu, że graf wejściowy nie ma cykli długości 4 jako podgrafów. Zadanie 23. W problemie Feedback Vertex Set, mając dany graf G i liczbę k, pytamy o zbiór X co najwyżej k wierzchołków, taki, że G X jest lasem. 1. Zaprojektuj reguły redukcyjne, redukujące wierzchołki stopnia co najwyżej 2. 2. Pokaż, że Twoje reguły nie są wystarczające by dostać jądro. 3. Pokaż, że jeśli X jest rozwiązaniem w grafie G i minimalny stopień w grafie G wynosi co najwyżej 3, to co najwyżej połowa krawędzi G przeżywa w G X. 4. Użyj poprzedniego punktu by opracować randomizowany algorytm dla problemu Feedback Vertex Set działający w czasie O (4 k ). Zadanie 24 ( ). W problemie Max-SAT-Above-Average, mając daną formułę CNF-SAT o m zmiennych i liczbę k pytamy, czy istnieje wartościowanie tej formuły spełniające co najmniej m/2 + k klauzul. Pokaż, że ten problem ma jądro o O(k) klauzulach. Zadanie 25 ( ). W problemie Max-SAT, mając daną formułę CNF-SAT i liczbę k pytamy, czy istnieje wartościowanie tej formuły spełniające co najmniej k klauzul. Pokaż, że ten problem ma jądro o co najwyżej 2k klauzulach oraz co najwyżej k zmiennych. Zadanie 26 ( ). Rozważmy następującą parametryzację problemu kolorowania grafu: mamy dany graf G oraz liczbę k i chcemy sprawdzić, czy można wierzchołki grafu G pokolorować przy pomocy ( V (G) k) kolorów tak, by każde dwa wierzchołki połączone krawędzią były pokolorowane na różne kolory. Pokaż, że ten problem ma jądro o co najwyżej 3k wierzchołkach. Zadanie 27 ( ). W problemie Min-Ones-2-SAT mamy daną formułę φ w postacie 2-CNF oraz liczbę k i chcemy sprawdzić, czy istnieje wartościowanie spełniające φ, nadające true co najwyżej k zmiennym. Pokaż, że ten problem ma jądro z co najwyżej 2k literałami. 4

Wskazówka do zadania 21: Rozważ wersje problemu, gdzie niektóre wierzchołki muszą być w wybranym zbiorze dominującym, a ich sąsiedzi są już zdominowani. Wskazówka do zadania 24: Jedyną redukcją, jakiej potrzebujesz, to jeśli jest klazula x i klauzula x, usuń obie. Wskazówka do zadania 27: Znajdź wszystkie klauzule z oboma literałami prawdziwymi, których dodanie nie zmienia spełnialności φ. Użyć jądra dla pokrycia wierzchołkowego. 5

Algorytmy parametryzowane ćwiczenia 3 Programowanie dynamiczne po podzbiorach, iterowana kompresja, minory Zadania oznaczone prawie na pewno nie będą rozwiązywane na ćwiczeniach, są do przemyślenia dla chętnych w domu. Zadanie 28. Dane jest uniwersum U i rodzina jego podzbiorów F. Wykaż, że następujące problemy można rozwiązać w czasie O (2 U ). Set Packing: Znaleźć największą możliwą podrodzinę F składającą się z parami rozłącznych zbiorów. Partitioning: Rozstrzygnąć, czy uniwersum można przedstawić jako suma rozłączna pewnej podrodziny F. Zadanie 29. W problemie Subset TSP dany jest ważony graf G oraz podzbiór terminali T. Szukamy najkrótszej zamkniętej marszruty przechodzącej przez każdy terminal (terminale mogą być odwiedzane w dowolnej kolejności). Wykaż, że problem ten da się rozwiązać w czasie O (2 T ). Zadanie 30 ( ). Przedstaw algorytm dla ważonego problemu Steiner Tree działający w czasie 3 T poly( T ) f(g), gdzie f(g) to czas działania algorytmu Dijkstry w danym grafie G. Zadanie 31. W problemie Feedback Vertex Set in Tournaments dany jest turniej T i liczba k, i pytamy się o istnienie zbioru X o co najwyżej k wierzchołkach, że T X jest acykliczny. Wykaż, że problem ten da się rozwiązać w czasie O (2 k ). Zadanie 32. W problemie Odd Cycle Transversal dany jest graf G i liczba k, i pytamy się o istnienie zbioru X o co najwyżej k wierzchołkach, że G X jest dwudzielny. Wykaż, że problem ten da się rozwiązać w czasie O (3 k ). Zadanie 33. W problemie Cluster Vertex Deletion dany jest graf G i liczba k, i pytamy się o istnienie zbioru X o co najwyżej k wierzchołkach, że G X jest sumą rozłączną klik. Wykaż, że problem ten da się rozwiązać w czasie O (2 k ). Zadanie 34. Udowodnij, że następujące definicje dobrego quasi-porządku (WQO) (X, ) są równoważne: Jeśli x 1, x 2, x 3,... jest dowolnym ciągiem elementów z X, to istnieją indeksy i < j, że x i x j. Częściowy porządek (X, ) nie ma nieskończonych antyłańcuchów ani nieskończonych łańcuchów zstępujących. Dla każdego podzbioru A X zamkniętego w dół, istnieje skończony zbiór F, że A = {x X : f F f x}. Zadanie 35. Załóżmy, że (X, ) jest WQO. Rozważmy słowa nad X długości d, z porządkiem po współrzędnych: a 1 a 2... a n b 1 b 2... b n wtw. a i b i dla każdego i. Wykazać, że X d z takim porządkiem jest również są WQO, dla dowolnej stałej d. 6

Zadanie 36 (, lemat Higmana). Załóżmy, że (X, ) jest WQO. Na słowach nad X określmy następującą relację: mamy x 1 x 2... x n y 1 y 2... y m jeśli istnieją indeksy i 1 < i 2 <... < i n, że x j y ij, dla wszystkich j = 1, 2,..., n. Wykazać, że X z takim porządkiem jest również WQO. Zadanie 37. Powiemy, że H jest topologicznym minorem G jeśli istnieje zanurzenie η, które mapuje wierzchołki H w parami różne wierzchołki G, oraz krawędzie H w parami rozłączne (poza końcami) ścieżki w G łączące obrazy końców odpowiedniej krawędzi. Wykaż, że grafy z porządkiem bycia topologicznym minorem nie są WQO. Zadanie 38. Wykaż, że następujące problemy mają algorytmy non-uniform FPT: H-Minor Hitting/k: Dany graf G oraz liczba k. Czy da się usunąć k wierzchołków z G, żeby zabić wszystkie minor-modele H? H-Minor Packing/k: Dany graf G oraz liczba k. Czy da się znaleźć w G co najmniej k rozłącznych minor-modeli grafu H? Face Coverage/k: Dany graf planarny G oraz liczba k. Czy da się tak narysować G na płaszczyźnie i wybrać k ściań w tym zanurzeniu, żeby każdy wierzchołek G był na co najmniej jednej z wybranych ścian? Diameter Augmentation/k: Dany graf planarny G oraz liczba k. Czy da się znaleźć taki nadgraf G G, żeby G był nadal planarny ale miał średnicę co najwyżej k? 7

Algorytmy parametryzowane ćwiczenia 4 techniki randomizowane Zadanie 39. Pokaż, że problem Disjoint Triangles, w którym pytamy, czy w grafie G istnieje k parami rozłącznych trójkątów, można rozwiązać w czasie O (c k ) dla pewnej stałej c. Zadanie 40. W problemie Tree Subgraph Isomorphism mamy dane drzewo H o k wierzchołkach i graf G, a pytamy, czy G ma podgraf izomorficzny do H. Pokaż, że problem ten można rozwiązać w czasie O (c k ) dla pewnej stałej c. Zadanie 41. Rozwiąż poprzednie zadanie, ale w wariancie, gdy w grafie G nie szukamy drzewa H, ale grafu H który powstaje z H przez zastąpienie każdego wierzchołka przez klikę na 7 wierzchołkach, i doczepieniu do powstałego grafu piętnastu wierzchołków, które sąsiadują z wszystkimi innymi wierzchołkami grafu. Jaki będzie teraz czynnik wielomianowy w powstałym algorytmie? Zadanie 42. Dla liczb naturalnych a, b zdefiniujmy a-stos b-cebul jako graf z wierzchołkami {v i : 0 i a} oraz {x i,j : 1 i a, 1 j b}, gdzie każdy wierzchołek x i,j jest stopnia dwa i jest połączony z wierzchołkami v i 1 oraz v i. Przez k oznaczmy liczbę wierzchołków a-stosu b-cebul, czyli k = a + 1 + ab. Pokaż, jak sprawdzić czy w grafie występuje jako podgraf a-stos b-cebul w czasie O (c k ) dla pewnej stałej c. Zadanie 43. W problemie Partial Vertex Cover, mając dany graf G oraz liczby k i t, szukamy zbioru X V (G) mocy co najwyżej k takiego, że co najmniej t krawędzi ma co najmniej jeden koniec w X. Pokaż, że ten problem można rozwiązać w czasie O (c t ) dla pewnej stałej c. Zadanie 44. Powiemy, że zbiór X V (G) dominuje wierzchołek v w grafie G jeśli v X lub v jest sąsiadem co najmniej jednego wierzchołka z X. Rozważmy następujący problem: dany jest graf G oraz liczby k i r i pytamy czy istnieje zbiór X V (G), który ma co najwyżej r wierzchołków i dominuje co najmniej k wierzchołków. Pokaż, że można ten problem rozwiązać w czasie O (c k ) dla pewnej stałej c. Zadanie 45. Pokaż, że czynnik log n w wielkości splittera jest potrzebny. Tj., pokaż, że (n, 2, 2) splitter musi mieć Ω(log n) elementów. Zadanie 46. Dla danego spójnego grafu G oraz liczb q i k, (q, k)-dobre cięcie to taki podział V (G) = A B, że G[A] i G[B] są spójne, A, B > q oraz co najwyżej k krawędzi łączy A z B. Pokaż, że można sprawdzić, czy w danym grafie istnieje (q, k)-dobre cięcie, w czasie: 1. randomizowanym 2 O(q+k) n O(1) ; 2. randomizowanym 2 O(k log q) n O(1) ; 3. deterministycznym 2 O(q+k) n O(1) ; 4. deterministicznym 2 O(k log q) n O(1). 8

Algorytmy parametryzowane ćwiczenia 5 szerokość drzewiasta Zadanie 47. Udowodnij, że szerokość drzewiasta jest zamknięta na minory: jeśli H jest minorem G, to szerokość drzewiasta H jest nie większa od szerokości drzewiastej G. Zadanie 48. Udowodnij, że jeśli X jest kliką w grafie G, to w każdej dekompozycji drzewiastej G istnieje worek zawierający wszystkie wierzchołki X. Zadanie 49. Graf G jest d-zdegenerowany jeśli każdy podgraf G zawiera wierzchołek stopnia co najwyżej d. Wykaż, że każdy graf o szerokości drzewiastej k jest k-zdegenerowany. Zadanie 50. Dany jest graf G o szerokości drzewiastej t, oraz nieujemna funkcja wagowa ω : V (G) R 0. Wykaż, że istnieje taki zbiór wierzchołków X V (G) wielkości co najwyżej t + 1, że dla każdej spójnej składowej C grafu G X sumaryczna waga wierzchołków z C nie przekracza połowy sumarycznej wagi wierzchołków z G. Zadanie 51. Dany jest graf G oraz podzbiór wierzchołków S wielkości co najwyżej 3k + 4. Wykaż, że da się w czasie O(3 3k k O(1) n) otrzymać jedną z następujących konkluzji: Stwierdzenie, że szerokość drzewiasta G jest większa niż k. Znalezienie takiego zbioru X wielkości co najwyżej k + 1, że sąsiedztwo każdej spójnej składowej zbioru G (S X) jest wielkości co najwyżej 3k + 4. Zadanie 52. Na podstawie dwóch poprzednich zadań zaprojektuj algorytm, który mając dany graf G oraz liczbę k, w czasie O(3 3k k O(1) n) albo stwierdzi, że szerokość drzewiasta G jest większa niż k, albo znajdzie dekompozycję drzewiastą G o szerokości co najwyżej 4k + 4. Zadanie 53. Zaprojektuj algorytmy FPT parametryzowane szerokością danej dekompozycji drzewiastej dla następujących problemów (wystarczy podać stan w programowaniu dynamicznym): Odd Cycle Transversal; Dominating Set; Feedback Vertex Set; H-Minor Testing, dla ustalonego H; H-Minor Hitting, dla ustalonego H. Jaka jest złożoność czasowa Twoich algorytmów? Czy dla tych problemów da się otrzymać istnienie algorytmów FPT parametryzowanych szerokością drzewiastą przy pomocy twierdzenia Courcelle a, bądź jego wariantów? Zadanie 54. Rozważ następujący problem: dany jest graf G z funkcją wagową ω : E(G) {1, 2,..., W }, dla pewnej liczby całkowitej W. Dla danej docelowej wagi w 0, należy obliczyć liczbę różnych dwukolorowych pokryć cyklowych grafu G o sumarycznej wadze w 0, czyli podzbiorów krawędzi tworzących zbiory rozłącznych cykli przechodzących przez każdy wierzchołek grafu, przy czym każdy cykl pokolorowany jest na niebiesko lub na czerwono. Wykaż, że problem ten da się rozwiązać w czasie O (16 t ) mając daną dekompozycję drzewiastą grafu G o szerokości t. 9

Zadanie 55 ( ). Udowodnij następujący lemat o izolacji. Dane jest uniwersum U oraz dowolna niepusta rodzina jego podzbiorów F. Losujemy funkcję wagową ω : U {1, 2,..., W } dla pewnej liczby całkowitej W (każdy element jednostajnie i niezależnie dostaje wagę). Wówczas prawdopodobieństwo, że istnieje dokładnie jeden element F o minimalnej sumarycznej wadze spośród elementów F, wynosi co najmniej 1 U W. Zadanie 56. Na podstawie dwóch poprzednich zadań udowodnij, że problem cyklu Hamiltona da sie rozwiązać w randomizowanym czasie O (16 t ) mając daną dekompozycję drzewiastą grafu o szerokości t. Zadanie 57. Przy pomocy bidimensionality, wykaż, że następujące problemy da się rozwiązać w czasie O (2 O( k) ) lub O (2 O( k log k) ) na grafach planarnych: Vertex Cover; Feedback Vertex Set; Independent Set; Dominating Set. Zadanie 58. Na wejściu dane są: planarny graf H oraz dowolny graph G, o n wierzchołkach. Wykaż, że istnieje algorytm sprawdzający, czy H jest minorem G, w czasie f( H ) n dla pewnej funkcji f. 10

Algorytmy parametryzowane ćwiczenia 6 inclusion exclusion, fast subset convolution Zadanie 59. W problemie Set Cover dana jest rodzina zbiorów F 2 U (n = U oraz m = F ) i należy sprawdzić, czy da się wybrać k zbiorów z rodziny F tak aby ich suma była równa U. Pokaż, jak rozwiązać ten problem w czasie 2 n poly(n, m) przez: (a) programowanie dynamiczne po podzbiorach, (b) przez FSC oraz (c) przez zasadę wł-wył (w pamięci wielomianowej). Zadanie 60. Pokaż, jak policzyć liczbę pokryć cyklowych grafu (2-cykle nie są dozwolone) w czasie 2 n poly(n). A jak to zrobić w takim samym czasie ale z pamięcią wielomianową? Zadanie 61. W problemie TSP, mając daną macierz odległości w : V 2 {0, 1,..., W } dla pewnej liczby całkowitej W, mamy policzyć najtańszy cykl Hamiltona. Pokaż, że można to zrobić w czasie 2 n n O(1) W i pamięci W n O(1). Zadanie 62. Packing product funkcji f, g : 2 V Z oznaczamy przez (f p g) : 2 V Z i dla Y V definiujemy jako: (f p g)(y ) = f(a)g(b). A,B Y A B= Pokaż, że wszystkie 2 V wartości f p g można obliczyć w czasie 2 n n O(1) dla n = V. Zadanie 63. Mając dany graf G o n wierzchołkach i jego dekompozycję drzewiastą szerokości t, pokaż algorytm szukający najmniejszego zbioru dominującego w G w czasie 3 t n O(1) ; Zadanie 64. Podać algorytm znajdujący liczbę skojarzeń w grafie dwudzielnym w czasie 2 n/2 poly(n). Zadanie 65. Podać algorytm znajdujący liczbę skojarzeń w grafie dowolnym w czasie 2 n/2 poly(n). Zadanie 66 ( ). Uogólnienie FSC na krotki z operacją max i suma. Dla dwóch funkcji f, g : {0,..., c 1} n Z zdefiniujmy oraz h(x 1,..., x n ) = h (x 1,..., x n ) = a 1 +b 1 =x 1,a 2 +b 2 =x 2,... max(a 1,b 1 )=x 1,max(a 2,b 2 )=x 2,... f(a 1,..., a n ) g(b 1,..., b n ) f(a 1,..., a n ) g(b 1,..., b n ). Pokaż, jak znając wszystkie wartości funkcji f i g obliczyć wszystkie wartości funkcji h oraz h w czasie c n poly(n). Wskazówka do zadania 65: Zauważmy, że dowolne doskonałe skojarzenie po zsumowaniu ze skojarzeniem złożonym z krawędzi v 1 v 2, v 3 v 4, v 5 v 6,... będzie tworzyło pokrycie cyklowe (tym razem 2-cykle są dozwolone). Zaproponuj algorytm, który znajduje liczbę takich pokryć cyklowych w czasie 2 n/2 poly(n). 11

Algorytmy parametryzowane ćwiczenia 7 narzędzia algebraiczne Zadanie 67. Pokaż, że problem Disjoint Triangles, w którym pytamy, czy w grafie G istnieje k parami rozłącznych trójkątów, można rozwiązać w czasie O (8 k ). Dodatkowo: pokaż że można zachować złożoność obliczeniową nawet przy jedynie wielomianowej złożoności pamięciowej. Zadanie 68. Pokaż, że mając rodzinę zbiorów F 2 U oraz liczby k, x, można sprawdzić w czasie O (2 x ), czy da się wybrać k zbiorów z rodziny F tak by były parami rozłączne, a ich suma miała dokładnie x elementów. Dodatkowo: pokaż że można zachować złożoność obliczeniową nawet przy jedynie wielomianowej złożoności pamięciowej. Zadanie 69. W problemie Colorful Graph Motif mamy dany graf G z wierzchołkami pokolorowanymi na k kolorów (czyli funkcję c : V (G) {1, 2,..., k}). Pytamy o taki zbiór X wielkości k, że c X jest bijekcją, a G[X] jest spójny. Pokaż, jak rozwiązać ten problem w czasie O (2 k ). Zadanie 70. Dla liczb naturalnych a, b zdefiniujmy a-stos b-cebul jako graf z wierzchołkami {v i : 0 i a} oraz {x i,j : 1 i a, 1 j b}, gdzie każdy wierzchołek x i,j jest stopnia dwa i jest połączony z wierzchołkami v i 1 oraz v i. Przez k oznaczmy liczbę wierzchołków a-stosu b-cebul, czyli k = a + 1 + ab. Pokaż, jak sprawdzić czy w grafie występuje jako podgraf a-stos b-cebul w czasie O (2 k ). 12

Algorytmy parametryzowane ćwiczenia 8 Matroidy Zadanie 71. Niech M = (U, F) będzie matroidem. Rozważmy matroid dualny M zdefiniowany następująco: M ma to samo uniwersum U, zaś zbiór X U jest niezależny w M wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza M rozłączna z X. Wykaż, że matroid dualny jest również matroidem. Zadanie 72. Dla danego spójnego grafu G, matroidem kograficznym G nazywamy rodzinę takich podzbiorów krawędzi F E(G), że G F jest spójny. Wykaż, że matroid kograficzny jest matroidem. Zadanie 73. Rozważamy następujący problem: dla danego grafu G, wyrzucić jak najmniej krawędzi z G tak, by każdy wierzchołek miał parzysty stopień. Zaproponuj wielomianowy algorytm dla tego problemu. Zadanie 74. Rozważamy następujący problem: dla danego spójnego grafu G, wyrzucić co najwyżej k krawędzi z G tak, by uzyskany graf był Eulerowski. Zaproponuj algorytm dla tego problemu działający w czasie O (2 O(k) ). Zadanie 75. Dla dwudzielnego grafu G = (A B, E), matroidem transwersalnym nazywamy rodzinę wszystkich podzbiorów X A dla których istnieje skojarzenie w G wysycające X. Wykaż, że matroid transwersalny jest matroidem. Zadanie 76. Niech G = (A B, E) będzie grafem dwudzielnym i niech α będzie dodatnią liczbą całkowitą. Rozważ następującą macierz M wymiaru A B. Kolumny M są indeksowane elementami A, wiersze M są indeksowane elementami B. Jeśli uv / E, to na przecięciu odpowiednich kolumn wstawiamy 0, zaś w przeciwnym razie wstawiamy tam losowo wybraną liczbę całkowitą ze zbioru {1, 2,..., α n 2 n }, gdzie n = A + B. Wykaż, że M reprezentuje matroid transwersalny G z prawdopodobieństwem co najmniej 1 1/α. Zadanie 77. Dany jest graf skierowany D oraz podzbiór wierzchołków S V (D). Podzbiór T V (G) nazwiemy podłączonym jeśli istnieje wierzchołkowy przepływ z S to T wysycający T. Wykaż, że V (G) wraz z rodziną podzbiorów podłączonych jest matroidem nazywamy go gammoidem. Wykaż również, że gammoid jest reprezentowalny nad Q i że reprezentację da się otrzymać w randomizowanym czasie wielomianowym. W problemie Digraph Pair Cut dany jest graf skierowany D, źródło s V (D), liczba k, oraz zbiór par terminali P ( V (D)) 2. Pytamy się czy da się usunąć co najwyżej k wierzchołków z D, różnych od s, tak, by w każdej parze terminali co najmniej jeden terminal nie był osiągalny z s. Zadanie 78 ( ). Udowodnij, że Digraph Pair Cut da się rozwiązać w czasie O (2 k ). Zadanie 79. Pokaż wielomianowy algorytm, który w problemie Digraph Pair Cut redukuje rodzinę P do rozmiaru O(k 2 ) zachowując odpowiedź. Zadanie 80. Zaproponuj randomizowaną, wielomianową kompresję dla problemu Digraph Pair Cut, czyli wielomianowy algorytm randomizowany, który daną instancję (D, s, k, P) przekształca w instancję ustalonego problemu L o wielkości poly(k), zachowując odpowiedź z dużym prawdopodobieństwem. 13

Algorytmy parametryzowane ćwiczenia 9 Problemy cięciowe Zadanie 81. Wykaż, że jeśli S to rodzina wszystkich ważnych (X, Y )-cięć, oraz µ(x, Y ) = λ, to 4 S 2 λ. S S Zadanie 82. Znajdź przykład pokazujący, że ograniczenie 4 k na liczbę ważnych (X, Y )-cięć jest optymalne, z dokładnością do czynników zależnych wielomianowo od k. Zadanie 83. Znajdź przykład pokazujący, że w problemie Directed (Edge) Multiway Cut nie zachodzi lemat o spychaniu. Zadanie 84. W problemie Multicut dany jest graf G, pary terminali (s 1, t 1 ), (s 2, t 2 ),..., (s l, t l ), oraz liczba k. Pytamy się, czy z G można usunąć co najwyżej k krawędzi tak, aby dla każdego i = 1, 2,..., l nie istniała ścieżka z s i do t i. Wykaż, że ten problem jest FPT przy parametryzacji przez k + l. Zadanie 85. W problemie Digraph Pair Cut dany jest graf skierowany D, źródło s V (D), liczba k, oraz zbiór par terminali P ( V (D)) 2. Pytamy się czy da się usunąć co najwyżej k wierzchołków z D, różnych od s, tak, by w każdej parze terminali co najmniej jeden terminal nie był osiągalny z s. Udowodnij, że Digraph Pair Cut da się rozwiązać w czasie O (2 k ). W problemie Almost 2SAT dana jest formuła ϕ w postaci 2CNF oraz liczba k. Pytamy się, czy można usunąć co najwyżej k zmiennych ϕ (tzn. usunąć wszystkie klauzule zawierające je) tak, aby uzyskana formuła była spełnialna. Zadanie 86. Rozważmy problem Annotated Almost 2SAT: Dana jest spełnialna formuła ϕ, liczba k, oraz rozłączne podzbiory zmiennych V, V. Pytamy się, czy z ϕ da się usunąć zbiór k zmiennych X tak, by uzyskana formuła miała poprawne wartościowanie, w którym dodatkowo V \ X jest mapowane na prawdę, a V \ X na fałsz. Wykaż, że jeśli Annotated Almost 2SAT da się rozwiązać w czasie O (c k ), to Annotated Almost 2SAT da się rozwiązać w czasie O ((1 + 2c) k ). Zadanie 87. Pokaż wielomianową redukcję, która daną instancję Annotated Almost 2SAT zamienia w taką instancję, gdzie wartościowanie mapujące wszystko na fałsz jest poprawne. Redukcja powinna nie zwiększać parametru. Zadanie 88. Pokaż wielomianową redukcję, która przekształca instancje Annotated Almost 2SAT uzyskane w poprzednim zadaniu w równoważne instancje Digraph Pair Cut. Redukcja powinna nie zwiększać parametru. Zadanie 89. Skonkluduj, że Almost 2SAT da się rozwiązać w czasie O (5 k ). Skonkluduj również, że wersję problemu, gdzie należy wyrzucić co najwyżej k klauzul (a nie zmiennych) aby uzyskać spełnialną formułę, też da się rozwiązać w takim samym czasie. Zadanie 90. Znajdź algorytmy preprocessingowe, które redukują: Instancję problemu Edge Multiway Cut do instancji w której T k + 1. Instancję problemu Node Multiway Cut do instancji w której T O(k 2 ). 14

Algorytmy parametryzowane ćwiczenia 10 Algorytmy na grafach planarnych W problemie Partial Vertex Cover dany jest graf G oraz liczby k i s. Pytamy się o istnienie takiego zbioru X V (G) mocy co najwyżej k, że co najmniej s krawędzi ma co najmniej jeden koniec w X. Zadanie 91. Wykaż, że Partial Vertex Cover jest FPT na grafach ogólnych przy parametryzacji przez k + s. Zadanie 92. Wykaż, że Partial Vertex Cover jest FPT na grafach planarnych przy parametryzacji wyłącznie przez k. Zadanie 93. Niech (G, k, s) to instancja Partial Vertex Cover, gdzie G jest planarne. Niech (v 1, v 2,..., v n ) będzie posortowaniem wierzchołków G niemalejąco względem stopni. Wykaż, że istnieje takie r, 1 r n, że istnieje optymalne rozwiązanie X instancji (G, k, s) dla którego mamy X {v 1, v 2,..., v r }, oraz X jest zbiorem dominującym w G[{v 1, v 2,..., v r }]. Zadanie 94. Wykaż, że Partial Vertex Cover da się rozwiązać w czasie O (2 O( k) ) na grafach planarnych. Zadanie 95. W problemie Minimum Bisection mamy dany graf G o 2n wierzchołkach, i chcemy podzielić V (G) na dwa równoliczne zbiory A i B tak, by co najwyżej k krawędzi miało jeden koniec w A a drugi w B. Wykaż, że ten problem jest FPT przy parametryzacji k na grafach planarnych. Zadanie 96. Wykaż, że prosty graf planarny o n 3 wierzchołkach ma co najwyżej 3n 6 krawędzi. Zadanie 97. W problemie Edge Dominating Set mamy dany graf G i liczbę k, i pytamy się o istnienie zbioru co najwyżej k krawędzi, których końce tworzą pokrycie wierzchołkowe G. Udowodnij, że problem ten ma liniowe jądro w grafach planarnych. W problemie Planarization dany jest graf G i liczba k. Pytamy się, czy z G da się usunąć k wierzchołków tak, by uzyskać graf planarny. Zadanie 98. Problem Disjoint Planarization to wersja Planarization w którym mamy dane dodatkowo rozwiązanie Z wielkości k + 1, i pytamy się o istnienie rozwiązania rozłącznego z Z wielkości co najwyżej k. Wykaż, że jeśli Disjoint Planarization jest FPT, to Planarization również jest FPT. Zadanie 99. Dany jest graf G i cykl prosty C w G. Każda spójna składowa A grafu G C jest nazywana C-mostem, a sąsiedzi A na C to punkty podpięcia C. Powiemy, że dwa C-mosty A i B na siebie nachodzą, jeśli mają co najmniej 3 wspólne punkty podpięcia, lub też na C są cztery różne wierzchołki a, b, c, d, leżące w tej kolejności na C, takie że a i c są punktami podpięcia A, zaś b i d są punktami podpięcia G. Wykaż, że G jest planarny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzą następujące dwa warunki: (i) Dla każdego C-mostu A, graf G[C A] jest planarny, oraz (ii) Graf nachodzenia na siebie C-mostów jest dwudzielny. 15

Zadanie 100. Niech (G, Z, k) to instancja Disjoint Planarization. Załóżmy, że w grafie G Z znaleźliśmy minor f(k) f(k) kraty dla f(k) = 1000k 2. Udowodnij, że jeśli (G, Z, k) ma rozwiązanie, to w tym minorze da się znaleźć podkratę wielkości g(k) g(k) dla g(k) = 100k taką, że żaden z branch-setów tej podkraty nie zawiera żadnego sąsiada Z. Zadanie 101. Niech (G, Z, k) to instancja Disjoint Planarization. Załóżmy, że w grafie G Z znaleźliśmy minor g(k) g(k) kraty taki, jak skonstruowany w poprzednim zadaniu. Wykaż, że jeśli v to dowolny wierzchołek jednego ze środkowych branch-setów tej kraty, to (G v, Z, k) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy (G, Z, k) ma rozwiązanie. Zadanie 102. Wyciągnij wniosek, że problem Planarization jest uniformly FPT. 16

Algorytmy parametryzowane ćwiczenia 11 trudność w świecie parametryzowanym Zadanie 103. W problemie Dominating Clique, mając dany graf G i liczbę k, pytamy o zbiór X V (G), że X = k, G[X] jest kliką i N[X] = V (G). Pokaż, że ten problem jest W [2]-trudny przy parametryzacji przez k. Zadanie 104. W problemie Independent Dominating Set, mając dany graf G i liczbę k, pytamy o zbiór X V (G), że X = k, G[X] jest zbiorem niezależnym i N[X] = V (G). Pokaż, że ten problem jest W [2]-trudny przy parametryzacji przez k. Zadanie 105. Dla ustalonego grafu H, graf G jest H-free, jeśli nie ma żadnego podgrafu indukowanego izomorficznego z H. Pokaż, że problem Dominating Set, ograniczony do grafów K 1,4 -free, pozostaje W [2]-trudny przy parametryzacji przez wielkość rozwiązania. Zadanie 106. W problemie Red-Blue Dominating Set mamy dany graf dwudzielny o stronach R i B oraz liczbę k. Pytamy o zbiór X R mocy k taki, że B N[X]. Pokaż, że ten problem jest W [2]-trudny przy parametryzacji przez k. Zadanie 107. W problemie Set Cover, mając dane uniwersum U, liczbę k i rodzinę F podzbiorów U, pytamy, czy da się wybrać podrodzinę F F mocy k taką, że F = U. Pokaż, że problem ten jest W [2]-trudny przy parametryzacji przez k. Zadanie 108. W problemie Hitting Set, mając dane uniwersum U, liczbę k i rodzinę F podzbiorów U, pytamy czy istnieje zbiór X U mocy k taki, że dla każdego A F mamy A X. Pokaż, że problem ten jest W [2]-trudny przy parametryzacji przez k. Zadanie 109. W problemie Steiner Tree, mając dany graf G, zbiór terminali T V (G) i liczbę k pytamy, czy istnieje zbiór X V (G) \ T mocy co najwyżej k tak, by G[T X] było spójne. Pokaż, że problem ten jest W [2]-trudny przy parametryzacji przez k. Zadanie 110. W problemie Set Packing, mając daną rodzinę zbiorów F i liczbę k pytamy, czy da się wybrać z tej rodziny k parami rozłącznych zbiorów. Pokaż, że problem ten jest W [1]-trudny przy parametryzacji przez k. Zadanie 111. W problemie Grid Tiling mamy dany alfabet Σ, liczbę k oraz k 2 zbiorów A i,j Σ Σ dla 1 i, j k. Pytamy o wybór x i Σ i y j Σ tak, by dla każdego 1 i, j k było (x i, y j ) A i,j. Pokaż, że problem ten jest W [1]-trudny przy parametryzacji przez k. Zadanie 112. Mając dane liczby n i k, zbiór permutacji A S n i permutację p S n, pytamy, czy p jest złożeniem jakiś dokładnie k permutacji ze zbioru A. Pokaż, że problem ten jest W [1]-trudny przy parametryzacji przez k. Zadanie 113. Mając daną rodzinę F podzbiorów uniwersum U oraz liczbę k pytamy, czy da się wybrać zbiór X U mocy dokładnie k taki, by dla każdego zbioru A F moc zbioru X U była parzysta. Pokaż, że problem ten jest W [1]-trudny przy parametryzacji przez k. 17

Zadanie 114. Pokaż, że problem Perfect Code (znajdź w grafie dokładnie k wierzchołków tak, by każdy wierzchołek w swoim domkniętym sąsiedztwie miał dokładnie jednego wybranego wierzchołka) jest W [1]-trudny przy parametryzacji przez k. Zadanie 115. Mając daną formułę CNF-SAT i liczbę k pytamy, czy da się znaleźć wartościowanie o dokładnie k jedynkach tak, by w każdej klauzuli dokładnie jeden literał był spełniony. Pokaż, że problem ten jest W [1]-trudny przy parametryzacji przez k. Zadanie 116. W problemie Colourful Biclique mamy dany graf dwudzielny G, w którym po każdej stronie wierzchołki pomalowane są na k kolorów (czyli w sumie jest 2k kolorów). Pokaż, że problem znajdowania w tym grafie podgrafu K k,k, którego każdy wierzchołek ma inny kolor, jest W [1]-trudne przy parametryzacji przez k. Zadanie 117. Rozważmy następujący wariant problemu Subset Sum: mamy dane liczby a 1, a 2,..., a n, liczbę S (zapisane binarnie) oraz liczbę 0 k n. Pytamy, czy można wybrać dokładnie k liczb a i tak, by się sumowały do S. Pokaż, że ten problem jest W [1]-trudny przy parametryzacji przez k. Zadanie 118. Pokaż, że problem Clique (czy w grafie istnieje klika wielkości k, parametryzowany przez k) należy do klasy W [1]. Zadanie 119. Pokaż, że problem Dominating Set należy do klasy W [2]. Zadanie 120. Pokaż, że problem Perfect Code należy do klasy W [2]. Zadanie 121. Pokaż, że jeśli w obwodzie O O(h, w, 1) nie ma negacji, to można rozwiązać problem, czy da się spełnić obwód przy pomocy dokładnie k wejść, w czasie F P T (k) (zakładamy, że h i w to stałe, czyli mogą być w wykładniku przy n). Wskazówka do zadania 114. Pokaż, że jeśli wierzchołek v ma dwóch sąsiadów o stopniu 1, to v należy do każdego rozwiązania. Przy pomocy poprzedniego punktu, skonstruuj gadżet, którego interfejsem jest klika i dokładnie jeden wierzchołek należy do dowolnego rozwiązania. Skonstruuj ( k 2) + k takich gadżetów. k z nich będzie odpowiadać wyborowi wierzchołka kliki, a ( k 2) krawędzi. Zaprojektuj gadżet wymuszający spójność wyborów. Wskazówka do zadania 117. Zacznij redukcję od problemu Perfect Code. 18

Algorytmy parametryzowane ćwiczenia 12 ETH Zadanie 122. Pokaż, że problem znajdowania najliczniejszej kliki można rozwiązać w czasie O (c m ). Zadanie 123. Wywnioskuj, że na podstawie znanej redukcji z kliki do zbioru niezależnego przy założeniu ETH nie istnieje algorytm o złożoności f(k)n o(k) dla problemu zbioru dominującego. Zadanie 124. W problemie List Coloring dla każdego wierzchołka grafu nieskierowanego G = (V, E) mamy listę dostępnych kolorów L(v) i chcemy sprawdzić, czy istnieje poprawne kolorowanie, które przydziela każdemu wierzchołkowi kolor z jego listy. Pokaż, że nie istnieje algorytm o złożoności f(t)n o(t) dla problemu List Coloring, gdzie t jest szerokością drzewiastą danego grafu. Zadanie 125. W problemie k k-clique mamy dany zbiór wierzchołków V = {v i,j : 1 i, j k} oraz zbiór krawędzi E i pytamy czy istnieje klika, która zawiera dokładnie jeden wierzchołek z każdego wiersza (gdzie i-ty wiersz to zbiór {v i,j : 1 j k}. Pokaż, że przy założeniu ETH dla problemu k k-clique nie istnieje algorytm o złożoności k o(k). Zadanie 126. Pokaż, że można sprawdzić, czy w grafie istnieje klika wielkości k w czasie O(n δk ), dla pewnego 0 < δ < 1. 19