Zastosowanie odwzorowania POLSKIE TOWARZYSTWO Cassiniego-Soldnera IFORMACJI do przedstawienia PRZESTRZEEJ Polski w w¹skich... ROCZIKI GEOMATYKI 07 m TOM V m ZESZYT 3 147 ZASTOSOWAIE ODWZOROWAIA CASSIIEGO-SOLDERA DO PRZEDSTAWIEIA OBSZAR POLSKI W W SKIC LB SZEROKIC PASAC PO DIKOWYC TILIZATIO OF CASSII-SOLDER PROJECTIOS TO PRESETATIO OF TE AREA OF POLAD I ARROW OR WIDE MERIDIAAL ZOES Pawe³ Pêdzich Instytut Fotogrametrii i Kartografii, Politechnika Warszawska S³owa kluczowe: kartografia matematyczna, odwzorowania kartograficzne, odwzorowanie Cassiniego-Soldnera, ca³ki eliptyczne, funkcje eliptyczne Jacobiego Keywords: mathematical cartography, map projections, Cassini-Soldner projection, elliptic integrals, Jacoby elliptic functions Wstêp W artykule przedstawiono w³asnoœci odwzorowania Cassiniego-Soldnera obszaru Polski w w¹skich i szerokich strefach odwzorowawczych. Opisano dwie metody konstruowania tego odwzorowania. Pierwsza z nich wykorzystuje szeregi potêgowe i daje mo liwoœæ wyznaczania wspó³rzêdnych prostok¹tnych p³askich i zniekszta³ceñ odwzorowawczych w w¹skich, 3 4 strefach odwzorowawczych. Podstaw¹ drugiej metody s¹ ca³ki i funkcje eliptyczne Jacobiego, których zastosowanie daje mo liwoœæ odwzorowania nawet ca³ej elipsoidy. W artykule zaprezentowano wyniki obliczeñ zniekszta³ceñ odwzorowawczych d³ugoœci, pól i k¹tów w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera. Przedstawiono analizy rozk³adu zniekszta³ceñ z zastosowaniem metody izolinii. Porównano to odwzorowanie z odwzorowaniem Gaussa-Krûgera powszechnie stosowanym w pracach geodezyjnych w Polsce.
148 Pawe³ Pêdzich Pojêcie wspó³rzêdnych Soldnera oraz odwzorowania Cassiniego-Soldnera Wspó³rzêdne Soldnera h i x powierzchni elipsoidy ª D FRV % FRV / D FRV % VLQ / D VLQ % º % / «VLQ % VLQ % VLQ %» ¼ S S ½ ¾ ¹ %/ Z %/ % / SS s¹ zdefiniowane (rys. 1) jako: h d³ugoœæ ³uku po³udnika L=L 0 ³¹cz¹cego punkty (B=0,L=L 0 ) i P 0 (B=B 0,L=L 0 ), x d³ugoœæ ³uku linii geodezyjnej ortogonalnej do po³udnika œrodkowego L=L 0 ³¹cz¹cego punkty P 0 (B 0 ) i P(B,L), gdzie P 0 jest jej punktem zwrotu na po³udniku L=L 0. Wyznaczenie tak okreœlonych wspó³rzêdnych (h,x) Soldnera sprowadza siê zatem do rozwi¹zania trzech zadañ: wyznaczenia punktu zwrotu linii geodezyjnej P 0 (B 0 ) oraz d³ugoœci ³uku po³udnika liczonej od równika do punktu zwrotu P 0 (B 0 ) i d³ugoœci linii geodezyjnej liczonej od punktu zwrotu P 0 (B 0 ) do punktu P(B,L). Wspó³rzêdne prostok¹tne p³askie x,y w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera definiuje siê wówczas jako ª [. K % / \ [ % / º (2) ¼ Rys.1. Wspó³rzêdne Soldnera na elipsoidzie obrotowej sp³aszczonej Podstawowe w³asnoœci metryczne odwzorowania Cassiniego-Soldnera Ogólne w³asnoœci metryczne odwzorowania Cassiniego-Soldnera s¹ powszechnie znane i by³y szeroko opisywane w literaturze. Dla pe³nego przedstawienia w³asnoœci tego odwzorowania poni ej zamieszczono krótk¹ ich charakterystykê. Po³udnik osiowy w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera odwzorowuje siê izometrycznie bez zniekszta³ceñ. Odwzorowanie to jest odwzorowaniem równoodleg³oœciowym w kierunku linii geodezyjnych prostopadle wychodz¹cych z po³udnika osiowego. Elementarna skala d³ugoœci w kierunku tych linii jest równa jednoœci. Ogólnie rzecz bior¹c lokalne zniekszta³cenia w miarê oddalania siê od obrazu po³udnika osiowego maj¹ tendencjê wzrastania. (1)
Zastosowanie odwzorowania Cassiniego-Soldnera do przedstawienia Polski w w¹skich... 1 Linie geodezyjne prostopadle wychodz¹ce z po³udnika osiowego przecinaj¹ siê na elipsoidzie z po³udnikami Soldnera pod k¹tem prostym. Ich obrazy w odwzorowaniu tak e s¹ wzajemnie prostopad³e. a podstawie I. i II. twierdzenia Tissota wiemy, e krzywe te s¹ krzywymi g³ównymi odwzorowania i wyznaczaj¹ kierunki ekstremalnych zniekszta³ceñ d³ugoœci. Z tego wywodu wynika, e kierunek po³udnika Soldnera bêdzie kierunkiem maksymalnych zniekszta³ceñ liniowych. K¹t ekstremalnych zniekszta³ceñ d³ugoœci w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera jest równy obrazowi k¹ta soldnerowskiej zbie noœci po³udników. Odwzorowanie Cassiniego-Soldnera elipsoidy obrotowej sp³aszczonej w p³aszczyznê w postaci rozwiniêcia na szeregi potêgowe Do wyznaczenia odwzorowania Cassiniego-Soldnera dotychczas stosowano wzory przybli one w postaci szeregów potêgowych. Maj¹ one zastosowanie w w¹skich, 3 4 strefach po³udnikowych. Zale noœci korzystaj¹ce z kilku pierwszych wyrazów rozwiniêcia w szeregi potêgowe odwzorowania Cassiniego-Soldnera (Snyder, 87) maj¹ nastêpuj¹c¹ postaæ: \ $ 7$ 7 7$ 1 ª (4) «º» ¼ P \ FRV $ VLQ % ] D (5) gdzie x,y oznaczaj¹ wspó³rzêdne prostok¹tne w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera, m elementarn¹ skalê d³ugoœci w funkcji k¹ta kierunkowego A z liczonego na p³aszczyÿnie obrazu od osi x uk³adu wspó³rzêdnych prostok¹tnych p³askich, oraz gdzie: 7 $ $ [ 6 6 1 WDQ % ª º 3 ¼ 1 D % f VLQ 6 $ % $ VLQ % $ $ D D 7 WDQ % $ / / FRV % f ¹ ¹ ¹ f ¹ ¹ ¹ FRV % (3) (6) (7)
150 Pawe³ Pêdzich parametr S wyra a d³ugoœæ ³uku po³udnika œrodkowego liczon¹ od równika do równole nika o szerokoœci geodezyjnej B; S P jest natomiast wartoœci¹ d³ugoœci ³uku po³udnika œrodkowego liczon¹ od równika do punktu przeciêcia z równole nikiem o szerokoœci geodezyjnej B P stanowi¹cym pocz¹tek uk³adu wspó³rzêdnych xoy. Z wzoru (5) widaæ, e dla A z = 0 skala zniekszta³ceñ d³ugoœci osi¹ga maksimum \ VLQ % P$ PD[ P (8) ] D natomiast dla A z =90 osi¹ga minimum m(a z =90 )=min=n=1. (9) Skala pól wyra a siê jako p = mn, (10) a poniewa w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera wartoœæ minimalnych skal d³ugoœci n=1 to p = m (11) Ekstremalne zniekszta³cenie kierunku P Q WDQZ E P PQ lecz ze wzglêdu na n=1 mamy P WDQZ E P P Zniekszta³cenie dowolnego k¹ta g mo na oszacowaæ na podstawie zale noœci Z d Z J E P Wzory te mo na stosowaæ w 3 4 strefach po³udnikowych. W tabeli 1 zaprezentowano wyniki obliczeñ wspó³rzêdnych prostok¹tnych p³askich x,y, maksymalnych skal d³ugoœci m=m(a z =0), zniekszta³ceñ wzglêdnych z m, ekstremalnych zniekszta³ceñ kierunku w oraz skali pól w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera z wykorzystaniem wzorów 3 13. Obliczenia przeprowadzono dla 4 stopniowej strefy z po³udnikiem osiowym o d³ugoœci geodezyjnej. Z analizy otrzymanych wartoœci widaæ, e maksymalne zniekszta³cenia liniowe na krañcach strefy wynosz¹ ok. +26 cm/km, ekstremalne zniekszta³cenia kierunku ok. 1. Mo emy równie konstruowaæ strefy o podobnej wielkoœci dla innych wartoœci d³ugoœci geodezyjnej po³udników osiowych. W³asnoœci metryczne tych stref pozostaj¹ niezmienione. St¹d dla obszaru Polski przebadano odwzorowanie Cassiniego-Soldnera tylko w jednej strefie czterostopniowej. (12) (13) (14)
Zastosowanie odwzorowania Cassiniego-Soldnera do przedstawienia Polski w w¹skich... 1 Tabela 1. Wspó³rzêdne prostok¹tne p³askie i skala maksymalnych zniekszta³ceñ d³ugoœci w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera w 4 strefie odwzorowawczej B L x y m z m w p [ ] [ ] [ m] [ m] [ cm/km] ['] 54315.606-146326.656 1.000263 2 3 0,903936 1,000263 56990.278-140378.133 1.000242 24, 2 0,83154 1,000242 58762.227-134257.058 1.0002 22, 1 0,76026 1,0002 6099060.330-127970.816 1.0001, 1 0,69042 1,0001 5430109.567-73169.677 1.000066 6 0,226008 1,000066 5652561.811-705.525 1.000060 1 0,7912 1,000061 5875088.297-67135.052 1.0000 5 0,0092 1,0000 6097687.783-63991.9 1.000050 0 0,2632 1,00005 5429627.632 0.000 1.000000 0 0 1 56585.722 0.000 1.000000 0 0 1 58746.376 0.000 1.000000 0 0 1 6097230.313 0.000 1.000000 0 0 1 5430109.567 73169.677 1.000066 6 0,226008 1,000066 5652561.811 705.525 1.000060 1 0,7912 1,000061 5875088.297 67135.052 1.0000 5 0,0092 1,0000 6097687.783 63991.9 1.000050 0 0,2632 1,00005 54315.606 146326.656 1.000263 2 3 0,903936 1,000263 56990.278 140378.133 1.000242 24, 2 0,83154 1,000242 58762.227 134257.058 1.0002 22, 1 0,76026 1,0002 6099060.330 127970.816 1.0001, 1 0,69042 1,0001 Odwzorowanie Cassiniego-Soldnera w szerokiej strefie odwzorowawczej z zastosowaniem ca³ek i funkcji eliptycznych Jacobiego Znane dotychczas metody konstruowania odwzorowania Casiniego-Soldnera maj¹ ograniczony zakres stosowalnoœci. Odnosz¹ siê albo do powierzchni sfery jako powierzchni orygina³u w tym odwzorowaniu albo do w¹skich stref odwzorowawczych powierzchni elipsoidy. W celu poszerzenia zakresu stosowalnoœci odwzorowania Cassiniego-Soldnera proponuje siê u ycie do jego konstrukcji funkcji i ca³ek eliptycznych Jacobiego. Problem konstrukcji odwzorowania Cassiniego-Soldnera sprowadza siê wówczas do wyra enia poprzez ca³ki i funkcje eliptyczne Jacobiego d³ugoœci ³uku po³udnika osiowego odwzorowania oraz d³ugoœci linii geodezyjnej, przechodz¹cej przez dany punkt P(B,L) oraz przez jej punkt zwrotu P 0 (B 0 ) po³o ony na po³udniku osiowym, czyli do okreœlenia tzw. wspó³rzêdnych Soldnera. iezbêdne jest wiêc wyznaczenie wspó³rzêdnych geodezyjnych, po³o onego na po³udniku osiowym odwzorowania, punktu zwrotu analizowanej linii geodezyjnej przechodz¹cej przez zadany punkt P.
152 Pawe³ Pêdzich Wyznaczenie wspó³rzêdnych prostok¹tnych p³askich w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera z zastosowaniem ca³ek i funkcji eliptycznych Jacobiego Równanie elipsoidy obrotowej sp³aszczonej we wspó³rzêdnych zredukowanych ma postaæ (15) > [ DFRVX FRV / \ DFRVX VLQ / ] EVLQ X@ gdzie WDQ WDQ X % Wspó³rzêdne prostok¹tne p³askie w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera maj¹ postaæ ª [ K X / \ [ X / º ¼ () gdzie h d³ugoœæ ³uku po³udnika L=L 0 ³¹cz¹cego punkty (B=0,L=L 0 ) i P 0 (B=B 0,L=L 0 ), x d³ugoœæ ³uku linii geodezyjnej ortogonalnej do po³udnika osiowego, L=L 0 ³¹cz¹cej punkty P 0 (B 0 ) i P(B,L), P 0 jest punktem zwrotu tej linii po³o onym na po³udniku osiowym L=L 0,. (16) Wielkoœci h, x mo na przedstawiæ za pomoc¹ zale noœci (Panasiuk i inni, 95) D ª ( S ( S K X º ¹ ¹ ¼ [ D VLQ X ( ª DP Z º ¼ () () gdzie symbolem E oznaczono ca³kê eliptyczn¹ drugiego rodzaju Legendre a w postaci normalnej, w której VLQ X VLQ X FQ Z () VLQ X VLQ X cn(w,k) oznacza cosinus eliptyczny Jacobiego zmiennej w z parametrem k, natomiast am(w,k) oznacza amplitudê zmiennej w z parametrem k. Wyznaczenie punktu P 0 (u 0 ) zwrotu linii geodezyjnej, gdy dany jest punkt P(u,L) le ¹cy na rozwa anej linii geodezyjnej oraz znana jest wartoœæ ró nicy d³ugoœci geodezyjnych DL=L L 0 do punktu P 0 zwrotu tej linii, zasadza siê na okreœleniu równania linii geodezyjnej uzale nionego od jej punktu zwrotu P 0 (u 0 ). Równanie linii geodezyjnej we wspó³rzêdnych zredukowanych u,l na powierzchni elipsoidy okreœlonej równaniem (15) mo na zapisaæ w postaci (Panasiuk i inni, 95) f / / Y - ¹ ()
Zastosowanie odwzorowania Cassiniego-Soldnera do przedstawienia Polski w w¹skich... 1 - WDQ X - ¹ Z - - S Z S S gdzie FRV Y FRW X WDQ X Z WDQ Y S FRVX (22) (23) Wyraz J r w (23) dla r=1 przyjmuje pocz¹tkow¹ postaæ - FRVX DFWDQ ZFRVX Wyznaczenie szerokoœci geodezyjnej zredukowanej punktu zwrotu linii geodezyjnej przechodz¹cej przez punkt P(u,L), mo na przeprowadziæ metod¹ iteracyjn¹ na postawie zale noœci (), (22), (23) i (24). Za pocz¹tkowe przybli enie wartoœci u 0 mo na przyj¹æ X DF FRW FRV / / FRW X Szerokoœæ zredukowan¹ u 0 punktu zwrotu mo na równie wyznaczyæ metod¹ iteracyjn¹ w oparciu o nastêpuj¹ce równanie linii geodezyjnej (Panasiuk, Rychlik, 81) (24) (25) S / / S TQ 3 3TQE ¹ ¹ gdzie W W S ¹ T W W Q D W W FRV X S E VLQD W W VLQY VLQ Y (26) VLQX oraz 3 TQ E E ³ G E T VLQ E Q VLQ E jest ca³k¹ eliptyczn¹ trzeciego rodzaju. Zniekszta³cenia odwzorowawcze w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera obszaru Polski w szerokiej strefie odwzorowawczej Elementarna skala d³ugoœci w odwzorowaniu elipsoidy w p³aszczyznê ma postaæ P P FRV $ P VLQ $ % / (27)
154 Pawe³ Pêdzich gdzie % P P % 0 [ \ / / 1 FRV % [ \ > @ / > % %@ % % % (28) $ K¹t A e, S S $ ekstremalnych zniekszta³ceñ mo na wyznaczyæ ze wzoru ¹ WDQ $ 4 35 (29) gdzie 3 ( ) * 4 5 ( ) * 0 01 FRV % 1 FRV % % / / % Ekstremalne skale d³ugoœci maj¹ postaæ: P P FRV $ P VLQ % / Q P VLQ $ P FRV (30) $ % / Modu³ P wyznacza maksymalne zniekszta³cenia d³ugoœci w kierunku A e tj. po³udnika Soldnera, a Q minimalne w kierunku stosownych linii geodezyjnych. Skala pól oraz ekstremalne zniekszta³cenie kierunku przedstawiaj¹ wzory (11), (13). Podstaw¹ wyznaczania zniekszta³ceñ odwzorowawczych jest okreœlenie pochodnych cz¹stkowych funkcji () tj. [ \ [ \ (31) > @ / > / /@ % % % Pochodne cz¹stkowe w (31) mo emy na ogó³ wyznaczaæ w sposób œcis³y (Pêdzich, 05), lecz w przypadku skomplikowanych funkcji odwzorowawczych mo na je wyznaczyæ tak e numerycznie. Stosuj¹c wzory (15) (31) wyznaczono odwzorowanie Cassiniego-Soldnera dla obszaru Polski. Dla strefy 11-stopniowej ograniczonej po³udnikami 14 i 25 obejmuj¹cej obszar Polski wyznaczono zniekszta³cenia odwzorowawcze. Obliczono wartoœci maksymalnych skal d³ugoœci oraz ekstremalnych zniekszta³ceñ k¹tów (tab. 2). Minimalne skale d³ugoœci s¹ równe jednoœci w ka dym punkcie odwzorowania. Wartoœci skal pól s¹ równe wartoœciom maksymalnych skal d³ugoœci. a rysunku 2 zaprezentowano izolinie zniekszta³ceñ d³ugoœci w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera Polski w szerokiej strefie. a po³udniku osiowym L 0 = skala d³ugoœci jest równa 1 (brak zniekszta³ceñ), w miarê oddalania od po³udnika osiowego skala roœnie i osi¹ga wartoœæ maksymaln¹ 1,0016 (1,6 m/km) na wschodniej granicy Polski. ajwiêksze zmiany gradientu skali zniekszta³ceñ d³ugoœci wystêpuj¹ na po³udniowych krañcach obszaru Polski.
Zastosowanie odwzorowania Cassiniego-Soldnera do przedstawienia Polski w w¹skich... 1 Tabela 2. Zniekszta³cenia odwzorowawcze w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera B L X Y m z m w p [ ] [ ] [ m] [ m] [ cm/km] ['] 14 5441687,663-3694,2 1,001644 164, 4 645232 1,001644 14 5663997,952-3507,069 1,0012 1, 2 2568 1,0012 14 588632778-335414,145 1,001382 138, 2 4,746912 1,001382 14 6108673,868-3697,932 1,0012 12 5 4,310376 1,0012 15 5437343,2-292657 1,001052 10 2 3,614148 1,001052 15 5659707,148-280652,868 1,000968 9 8 3,324504 1,000968 15 58810,463-268409,692 1,000885 88, 5 3,039312 1,000885 15 61042,8-283925 1,000803 80, 3 2,75994 1,000803 16 543396446-2458,227 1,000592 59, 2 2,033484 1,000592 16 5656371,723-04,897 1,000544 54, 4 1,870584 1,000544 16 5878832,67-1352,963 1,0008, 8 1,710 1,0008 16 6101348,362-23, 1,000452 4 2 1,304 1,000452 5431605-14632656 1,000263 2 3 0,903936 1,000263 56990,278-140378,133 1,000242 24, 2 0,83154 1,000242 58762,227-134257,058 1,0002 22, 1 0,76026 1,0002 6099060,33-127970,816 1,0001, 1 0,69042 1,0001 5430109,567-73169,6773 1,000066 6 0,226008 1,000066 5652561,811-7052 1,000061 1 0,7912 1,000061 5875088,297-67130524 1,0000 5 0,0092 1,0000 6097687,783-63991,91 1,00005 0 0,2632 1,00005 5429627,632 0 1 0 0 1 5658722 0 1 0 0 1 58746,376 0 1 0 0 1 6097230,313 0 1 0 0 1 5430109,567 73169,6773 1,000066 6 0,226008 1,000066 5652561,811 7052 1,000061 1 0,7912 1,000061 5875088,297 67130524 1,0000 5 0,0092 1,0000 6097687,783 63991,91 1,00005 0 0,2632 1,00005 5431605 14632656 1,000263 2 3 0,903936 1,000263 56990,278 140378,133 1,000242 24, 2 0,83154 1,000242 58762,227 134257,058 1,0002 22, 1 0,76026 1,0002 6099060,33 127970,816 1,0001, 1 0,69042 1,0001 22 543396446 2458,227 1,000592 59, 2 2,033484 1,000592 22 5656371,723 04,897 1,000544 54, 4 1,870584 1,000544 22 5878832,67 1352,963 1,0008, 8 1,710 1,0008 22 6101348,362 23, 1,000452 4 2 1,304 1,000452 23 5437343,2 292657 1,001052 10 2 3,614148 1,001052 23 5659707,148 280652,868 1,000968 9 8 3,324504 1,000968 23 58810,463 268409,692 1,000885 88, 5 3,039312 1,000885 23 61042,8 283925 1,000803 80, 3 2,75994 1,000803 24 5441687,663 3694,2 1,001644 164, 4 645232 1,001644 24 5663997,952 3507,069 1,0012 1, 2 2568 1,0012 24 588632778 335414,145 1,001382 138, 2 4,746912 1,001382 24 6108673,868 3697,932 1,0012 12 5 4,310376 1,0012
156 Pawe³ Pêdzich Rys. 2. Izoskale maksymalnych zniekszta³ceñ d³ugoœci w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera na obszarze Polski Rys. 3. Izoskale maksymalnych zniekszta³ceñ d³ugoœci w zmodyfikowanym odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera na obszarze Polski
Zastosowanie odwzorowania Cassiniego-Soldnera do przedstawienia Polski w w¹skich... 157 Z analizy rysunku 2 oraz tabeli 2 widaæ, e w strefach 4-stopniowych otrzymano maksymalne zniekszta³cenia rzêdu cm/km. Zwiêkszenie strefy do 6 stopni powoduje zwiêkszenie maksymalnych zniekszta³ceñ d³ugoœci do 60 cm/km. W otrzymanym odwzorowaniu mo emy wzglêdnie zmniejszyæ wartoœci zniekszta³ceñ d³ugoœci o ok. po³owê poprzez pomno enie wspó³rzêdnej x przez wspó³czynnik równy 0.9993. Otrzymamy wówczas zmodyfikowane odwzorowanie Cassiniego-Soldnera. Rozk³ad maksymalnych zniekszta³ceñ d³ugoœci pokazano na rysunku 3. Widzimy, e jest on bardzo zbli ony do rozk³adu zniekszta³ceñ d³ugoœci w odwzorowaniu jednostrefowym Gaussa-Krügera zastosowanym w uk³adzie 92. W w¹skich strefach odwzorowawczych 3 4-stopniowych mo na stosowaæ wzory uproszczone (3) (7). W tabeli 1 przedstawiono wyniki obliczeñ wspó³rzêdnych prostok¹tnych p³askich oraz zniekszta³ceñ odwzorowawczych dla strefy czterostopniowej z po³udnikiem osiowym L 0 =. Z porównania uzyskanych wyników zawartych w tabelach 1 i 2 stwierdzamy niewielkie ró nice, rzêdu 1mm, pomiêdzy wartoœciami obliczonych wspó³rzêdnych w strefie czterostopniowej oraz niewielkie ró nice pomiêdzy zniekszta³ceniami. Odwzorowanie Cassiniego-Soldnera jest odwzorowaniem równoodleg³oœciowym. W odwzorowaniu tym wystêpuj¹ zniekszta³cenia d³ugoœci, k¹tów i pól. Porównuj¹c odwzorowanie Cassiniego-Soldnera z odwzorowaniem Gaussa-Krügera w szerokiej 10 strefie, mo- emy stwierdziæ, e posiadaj¹ one zbli one wartoœci maksymalnych zniekszta³ceñ d³ugoœci. Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest odwzorowaniem konforemnym, nie wystêpuj¹ zniekszta³cenia k¹towe. atomiast w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera maksymalne zniekszta³cenia k¹tów w szerokiej strefie odwzorowawczej (jedenastostopniowej), obejmuj¹cej obszar Polski, osi¹gaj¹ prawie 6 a w strefach czterostopniowych oko³o 1. Odwzorowanie Gaussa-Krügera cechuje siê wiêkszymi zniekszta³ceniami pól w stosunku do odwzorowania Cassiniego-Soldnera. Zale noœæ pomiêdzy skalami zniekszta³ceñ pól w odwzorowaniu Gaussa-Krügera i Cassiniego-Soldnera dla obszaru Polski w przybli eniu wyra a siê zale noœci¹ S S 6 *.. Wynika to st¹d, e skala zniekszta³ceñ pól w odwzorowaniu Gaussa-Krügera p G-K = m 2, a w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera p C-S = mn = m 1 = m oraz, jak na to wskazuj¹ wyniki obliczeñ, wartoœci skal maksymalnych zniekszta³ceñ d³ugoœci na obszarze Polski s¹ w obydwu odwzorowaniach bardzo zbli one. Podsumowanie W artykule przedstawiono w³asnoœci odwzorowania Cassiniego-Soldnera obszaru Polski w szerokich i w¹skich strefach odwzorowawczych. Przedstawiono dwie metody wyznaczania wspó³rzêdnych prostok¹tnych p³askich w tym odwzorowaniu: jedna w postaci rozwiniêcia w szeregi potêgowe i druga w postaci ca³ek eliptycznych. Przedstawiono wyniki obliczeñ zniekszta³ceñ odzorowawczych d³ugoœci, k¹tów i pól w tym odwzorowaniu. Dokonano analizy zmian wartoœci zniekszta³ceñ odwzorowawczych wraz ze wzrostem szerokoœci strefy odwzorowawczej. Porównano uzyskane w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera zniekszta³cenia odwzorowawcze z wartoœciami zniekszta³ceñ wystêpuj¹cych w odwzorowaniu Gaussa-Krügera. Pokazano, e wartoœci maksymalnych zniekszta³ceñ d³ugoœci s¹ zbli one do wartoœci zniekszta³ceñ d³ugoœci otrzymanych w od-
158 Pawe³ Pêdzich wzorowaniu Gaussa-Krügera. Ponadto wykazano, e zniekszta³cenia pól w odwzorowaniu Gaussa-Krügera s¹ w przybli eniu równe kwadratowi wartoœci zniekszta³ceñ pól w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera. atomiast w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera wystêpuj¹ doœæ du e zniekszta³cenia k¹tów. Odwzorowanie Cassiniego-Soldnera stanowi³o przez wiele lat podstawê tworzenia map wielkoskalowych i topograficznych w wielu pañstwach œwiata, w tym równie na ziemiach polskich. Aktualnie odwzorowanie o nazwie Cassiniego-Soldnera stosowane jest do tworzenia wielkoskalowych map ograniczonych obszarów w takich krajach jak Cypr, Czechy, Dania, iemcy, S³owacja, Malezja (Snyder, 87) i dlatego ze wzglêdu na poznawczy aspekt warte jest bli szego analitycznego badania. Ze wzglêdu na wartoœæ zniekszta³ceñ k¹towych odwzorowanie to nie zachowuje lokalnego podobieñstwa odwzorowywanych figur. Kartometryczne wykorzystywanie tego odwzorowania wymaga stosowania specjalizowanych algorytmów uwzglêdniaj¹cych redukcje odwzorowawcze; mo e mieæ zastosowanie w zaawansowanych informatycznie aplikacjach ca³oœciowo rozwi¹zuj¹cych problemy geodezyjne i kartograficzne. Ze wzglêdu na obserwowany rozwój informatyki tworzenie takich aplikacji jest obecnie mo liwe. Literatura Panasiuk J., Balcerzak J., Pokrowska., 95: Wybrane zagadnienia z podstaw teorii odwzorowañ kartograficznych, Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa. Pêdzich P., 05: The Soldner projection of the whole ellipsoid, XXII International Cartographic Conference, La Coruna. Panasiuk J., Rychlik M., 81: k³ad wspó³rzêdnych pó³geodezyjnych w po³o eniu poprzecznym na powierzchni elipsoidy obrotowej sp³aszczonej, Geodezja i Kartografia, Tom XXX, zeszyt 2, PW. Snyder J.P., 87: Map projections a working manual, nited States Government Printing Office, Washington. Summary In the paper, properties of the Cassini-Soldner projection of the area of Poland in narrow and wide zones are presented. Two methods of coordinates calculation in that projection are described: the first one is based on power series and it enables to determine flat rectangular coordinates and projection distortions in narrow 3 4 0 projection zones and the second method uses elliptic integrals, which enables to project the area of Poland in one wide zone and even the whole ellipsoid. Moreover, results of calculation of linear, angular and area distortions in the Cassini-Soldner projection are presented. A comparison between Cassini-Soldner and generally used in Poland in geodetic works Gauss- Krüger projection are made. In the area of Poland linear distortions are similar in these two projections; area distortions in Cassini-Soldner projection are much smaller than in Gauss-Krüger projection but there are considerable angular distortions. dr in. Pawe³ Pêdzich p.pedzich@gik.pw.edu.pl tel. (022) 660 90