KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 26 nr 2 Arciwum Tecnologii Maszyn i Automatyzacji 2006 PIOTR FRĄCKOWIAK * ZALEŻNOŚCI GEOMETRYCZNE OPISUJĄCE UZĘBIENIA NIEJEDNORODNE KSZTAŁTOWANE NA FREZARKACH CNC W artykule omówiono problemy związane z projektowaniem niejednorodnyc uzębień czołowyc. Przedstawiono zależności geometryczne opisujące uzębienia niejednorodne o modyfikowanej prostej i ewolwentowej linii zębów. Określono kryteria zazębienia się połączenia niejednorodnego tylko w zaprojektowanej pozycji kątowej. Zależności w uzębieniac zostały określone na podstawie modeli geometrycznyc o prostej i ewolwentowej linii zębów, które przedstawiono w artykule. Założenia teoretyczne zostały zweryfikowane badaniami eksperymentalnymi. Słowa kluczowe: niejednorodne uzębienie czołowe 1. WPROWADZENIE Cecą uzębień niejednorodnyc jest możliwość zazębiania się dwóc połówek połączenia (stanowiącyc zwierciadlane odbicie) tylko w ściśle określonyc położeniac kątowyc niezależnie od liczby zębów [1, 2, 3]. Takie uzębienia można kształtować metodą podziału ciągłego na frezarkac sterowanyc numerycznie z użyciem narzędzia jednoostrzowego. Sterownie obrabiarką, na której nacina się uzębienia, odbywa się za pomocą sparametryzowanyc programów, któryc zadaniem jest syncronizacja przemieszczeń zespołów roboczyc obrabiarki. Algorytmy sterujące frezarką podczas kształtowania uzębień niejednorodnyc o prostej i ewolwentowej linii zębów przedstawiono w pracac [1, 2, 3]. Podczas projektowania połączenia z uzębieniami niejednorodnymi, mającymi zazębić się tylko w określonyc położeniac kątowyc, należy odpowiednio dobrać różnicę głębokości wrębów i odpowiadające im kąty środkowe uzębień i wrębów. Niewłaściwe zaprojektowanie może spowodować częściowe zazębienie w przy-padkowyc położeniac kątowyc. * Dr inż. Instytut Tecnologii Mecanicznej Politecniki Poznańskiej.
140 P. Frąckowiak 2. ZALEŻNOŚCI GEOMETRYCZNE OPISUJĄCE UZĘBIENIA NIEJEDNORODNE O PROSTEJ LINII ZĘBÓW Wartościami odniesienia do projektowania uzębień niejednorodnyc o prostej linii zębów są wartości wyznaczone dla uzębień jednorodnyc. Wysokość zębów i podziałka uzębień jednorodnyc są wartościami średnimi uzębień niejednorodnyc. Kształtowanie uzębień niejednorodnyc polega na kształtowaniu wrębów o różnej głębokości, które powodują zmianę kątów środkowyc uzębienia opisywanyc krawędziami ostrza skrawającego. Zależności zmiany kątów opisującyc wrąb (ząb) w płaszczyźnie czołowej wierzcołków uzębienia niejednorodnego zazębiającego się w jednym położeniu kątowym przedstawiono na rys. 1. Rys. 1. Model geometryczny do określania zmian kątów w uzębieniu niejednorodnym Fig. 1. Geometric model to determine te variable angles in non-omogenous gear tooting Rysunek 1 obrazuje teoretyczne kąty wrębów, które można wykonać narzędziem w postaci trójkątnej płytki o promieniu nominalnym (bez uwzględniania promieni naroży płytki). Kąt ψ jest wartością średnią, jaką mają teoretyczne wręby uzębienia jednorodnego (kształtowane narzędziem o promieniu nominalnym) u wierzcołka zębów. Sąsiednie kąty środkowe wrębów (wrębu o kącie ψ) zmieniają się (zwiększają lub zmniejszają) o stałą wartość (rys. 1). Następujące po sobie wręby różnią się od poprzednic o kąt. Maksymalny lub minimalny kąt środkowy wrębu na okręgu obliczeniowym o promieniu R 0 oblicza się ze wzoru: z ψ max/ min = ψ ± (1) 2 k s gdzie: różnica kątowa między dwoma sąsiednimi wrębami, z liczba zębów uzębienia czołowego,
k s Zależności geometryczne opisujące uzębienia niejednorodne... 141 liczba sąsiednic wrębów o tej samej głębokości, liczba położeń kątowyc, w jakic może zazębić się połączenie wieloząbkowe. Po osiągnięciu wartości maksymalnej (minimalnej) kąty wrębów zaczynają się zmniejszać (lub zwiększać) aż do osiągnięcia wartości średniej odpowiadającej uzębieniu jednorodnemu. Od wartości kąta środkowego wrębu uzależniona jest wysokość zębów uzębienia niejednorodnego. Nominalną głębokość wrębu w punkcie obliczeniowym uzębienia (dla promienia R 0 rys. 2), która odpowiada początkowemu położeniu narzędzia w procesie kształtowania uzębienia [1, 2], dla kąta wrębu ψ obl można obliczyć według wzoru: ( 0,5 ψ ) 0 sin obl 0 = R (2) tgα a różnice głębokości między dwoma sąsiednimi wrębami ze wzoru: R0 Δ 0 = ( sinψ max sin( ψ max )) (3) 2 tgα gdzie: 0 wysokość nominalna zęba, ψ obl kąt środkowy wrębu (ψ max lub ψ min ), ψ max kąt środkowy najszerszego wrębu, α kąt zarysu wrębu. Wysokość zęba k i o symetrycznym zarysie na okręgu obliczeniowym, po uwzględnieniu promienia naroża płytki i współczynnika luzu w uzębieniu, przyjmuje postać: = ρ k + k k (4) i 0 f j i Δ 0 gdzie: ρ f promień naroża płytki, k j współczynnik luzu. W celu uniknięcia niekorzystnego styku krawędziowego linii zębów modyfikuje się linię zęba. Beczkowanie linii zębów polega na kształtowaniu parabolicznej linii dna wrębów uzębienia, co przedstawiono na rys. 2. Taki tor rucu umożliwia wybranie większej ilości materiału na zewnętrznej i wewnętrznej średnicy kształtowanego pierścienia. W przekroju płaszczyzną prostopadłą do powierzcni czołowej uzębienia wzdłuż dna wrębu ostrze narzędzia kształtującego uzębienie zakreśla okrąg (jeśli oś narzędzia jest prostopadła do osi uzębienia) lub elipsę (jeśli oś narzędzia jest pocylona do osi uzębienia). W przypadku zarysu eliptycznego do obliczeń w procesie kształtowania przyjmuje się za promień obliczeniowy narzędzia największy promień krzywizny koła ściśle stycznego do elipsy.
142 P. Frąckowiak Rys. 2. Model geometryczny kształtowania zarysu dna wrębu uzębienia o prostej linii zębów Fig. 2. Geometric model of forming te bottom notc profile of gear wit straigt line flank pitc Wysokość zęba wzdłuż jego linii (z uwzględnieniem modyfikacji) można opisać równaniem: i = 2 y p 0 ρ f k j + ki k Δ0 + (5) 2 ρ p Jedną z trudności związanyc z uzębieniami niejednorodnymi jest uniknięcie częściowego zazębienia w innej niż założona pozycji kątowej. Spełnienie tego warunku wymaga, aby w dowolnym położeniu kątowym (oprócz pozycji współpracy założonej pozycji zazębienia) występowała kolizja między wierzcołkami zębów uzębień połączenia, uniemożliwiająca częściowe zazębienie. Na podstawie badań doświadczalnyc stwierdzono, że jeżeli częściowe zazębienie połączenia nie nastąpi po obrocie jednego uzębienia o kąt środkowy opisujący najmniejszy wrąb (ψ min ), to w innyc położeniac kątowyc (oprócz założonego) również nie dojdzie do częściowego zazębiania. Warunkiem zazębienia tylko w założonym położeniu kątowym jest wystąpienie kolizji wierzcołków zębów uzębień na obwodzie o kącie co najmniej 180. Dla zębów wykonanyc narzędziem o promieniu nominalnym warunek ten można opisać równaniem: gdzie: ψ średni kąt wrębu zęba, ψ min minimalny kąt wrębu zęba. ψ < 2 ψ min (6)
Zależności geometryczne opisujące uzębienia niejednorodne... 143 Po uwzględnieniu wzoru (1) warunek ten przyjmuje postać: z ψ > Δ ψ (7) k s a po uwzględnieniu promienia naroża płytki, którym będzie kształtowane uzębienie, i współczynnika luzu ( + k ) z ρ f j tgα ψ > arcsin (8) 2 k s R Warunek uniknięcia częściowego zazębienia opisanego równaniem (8) zilustrowano na rys. 3. Położenie kątowe przedstawione na rys. 3a umożliwia zazębienie połączenia niejednorodnego. Po obrocie jednego uzębienia o minimalny kąt ψ min, który umożliwia wejście zęba w kolejny wrąb (rys. 3b, punkt P 1 ), w innym położeniu kątowym następuje podparcie (kolizja) powierzcni czołowyc zębów, co uniemożliwia zazębienie (rys. 3b, punkt P 2 ). 0 Rys. 3. Scemat przekroju połączenia z niejednorodnymi uzębieniami czołowymi: a) położenie zazębienia, b) położenie kolizyjne Fig. 3. Sceme of no-omogeneous face tooting, view cross-section alf-coupling: a) position of cooperation, b) position of conflict Istotne znaczenie w procesie projektowania uzębień niejednorodnyc ma określenie różnicy wysokości między dwoma sąsiednimi zębami Δ 0 (wzór 3). Największa i najmniejsza wysokość zęba zależą od kąta środkowego uzębienia danego wrębu. Wysokości te oblicza się (wzdłuż linii zęba) w odniesieniu do wysokości uzębienia jednorodnego ze wzoru: ( 0.5 ψ ) 2 R y 0 sin R0 sin z p max/ min = ± k ψ + ρ f k j (9) tgα 2 tgα 2 k s 2 ρ p
144 P. Frąckowiak 3. ZALEŻNOŚCI GEOMETRYCZNE OPISUJĄCE UZĘBIENIA NIEJEDNORODNE O EWOLWENTOWEJ LINII ZĘBÓW Rys. 4. Model geometryczny uzębienia czołowego o ewolwentowej linii zębów, przekrój płaszczyzną podziałową Fig. 4. Geometric model of face tooting wit involute line flank pitc, view cross-section of partition surface Uzębienia niejednorodne o ewolwentowej linii zębów carakteryzują się podobnymi zależnościami co uzębienia o linii prostej. Linią zębów uzębienia czołowego, możliwą do uzyskania w procesie kształtowania narzędziem jednoostrzowym na frezarce sterowanej numerycznie, może być ewolwenta zwykła, wydłużona lub skrócona. Do rozważań teoretycznyc pozwalającyc określić zależności geometryczne w uzębieniac niejednorodnyc za krzywą odniesienia przyjęto ewolwentę zwykłą. Zależności opisujące uzębienie o takiej linii zębów przedstawiano na rys. 4. Na podstawie modelu teoretycznej zębatki koronowej, przedstawionej na rys. 4 w przekroju płaszczyzną podziałową, można określić zależności rodziny ewolwent zwykłyc. Wszystkie wręby i zęby mają ten sam kąt środkowy ψ odniesiony do okręgu zasadniczego R wb. Odległość między dwoma dowolnymi ewolwentami wzdłuż stycznej do okręgu tocznego jest taka sama (rys. 4). Zazębienie dwóc zębatek koronowyc stanowiącyc zwierciadlane odbicie będzie możliwe, gdy uwzględni się te zależności. Ze względu na możliwość wystąpienia niekorzystnego styku krawędziowego w procesie kształtowania należy dokonać modyfikacji linii zębów [4]. W uzębieniac niejednorodnyc o ewolwentowej linii zębów kąty środkowe sąsiednic wrębów odnoszone są do okręgu zasadniczego, co przedstawiono na rys. 5. Rys. 5. Model uzębienia niejednorodnego o ewolwentowej linii zębów Fig. 5. Geometric design of no-omogeneous face tooting wit involute line flank pitc
Zależności geometryczne opisujące uzębienia niejednorodne... 145 Przy założeniu, że poszczególne linie zębów są odtaczane z tego samego okręgu (stanowią rodzinę krzywyc), zmiana kąta środkowego ψ o wartość powoduje zmianę szerokości wrębu o Δt na stycznej do okręgu zasadniczego, co wiąże się ze zmianą głębokości wrębu o Δ 0. Wartość średnią kąta środkowego zarysu wrębu (odpowiadającemu uzębieniu jednorodnemu) kształtowanego narzędziem o promieniu nominalnym w płaszczyźnie wierzcołków zębów wyraża wzór: 360 ψ = (10) z a odpowiadająca mu szerokość wrębu, mierzona na stycznej do okręgu zasadniczego, wynikająca z zasady tworzenia ewolwenty 2 π R t = z Stąd można obliczyć nominalną wysokość zęba: 0 w (11) π Rw = (12) z tgα Zależność na maksymalny i minimalny kąt środkowy uzębienia niejednorodnego, w którym szerokości sąsiednic wrębów różnią się o stałą wartość (rys. 5), po uwzględnieniu wzoru (1) można zapisać w postaci: 360 z ψ max/ min = ± (13) z 2 k s Odpowiadające maksymalnemu i minimalnemu kątowi środkowemu szerokości wrębów, mierzone wzdłuż stycznej do okręgu zasadniczego, przyjmują postać: t max/ min 2 π R = z w π z R ± 360 k s a minimalna i maksymalna wysokość zębów (nominalna) max/ min w (14) π Rw π z Rw = ± (15) z tgα 720 k s tgα Różnicę wysokości między dwoma sąsiednimi wrębami, wynikającą z różnicy kątowej, można zapisać w postaci zależności: π Rw π Rw π Rw Δ 0 = (16) z tgα z tgα 360 tgα
146 P. Frąckowiak Po uwzględnieniu promienia naroża płytki i współczynnika luzu połączenia zależność na wysokość dowolnego zęba o symetrycznym zarysie na okręgu obliczeniowym R 0 (rys. 5) odniesionym do okręgu zasadniczego przyjmuje postać: = ρ k + k k Δ (17) i 0 f j i 0 Jedną z metod modyfikacji linii ewolwentowej jest przesunięcie toru narzędzia [4] lub przemieszczanie narzędzia po krzywej wzdłuż linii zęba. W celu nadania zębom linii modyfikowanej przyjęto [2], że narzędzie będzie się poruszać wzdłuż rozwinięcia linii zęba po okręgu. Po uwzględnieniu modyfikacji linii zęba wzór na wysokość zęba w dowolnej odległości od osi uzębienia przyjmuje postać: i 2 2 0 f k j + ki k Δ0 + ρo o lr0 = ρ ρ (18) Maksymalną i minimalną wysokość zębów, po uwzględnieniu promienia naroża ostrza i współczynnika luzu (z uwzględnieniem modyfikacji), można opisać zależnością: min/ min π Rw π z Rw = ± k ρ f k j + ρo ρ z tgα 720 k s tgα 2 o l 2 R0. (19) Aby nie wystąpiło częściowe zazębienie połączenia w przypadkowym położeniu kątowym (innym niż zaprojektowane), musi być spełniony warunek opisany wzorem (6). W przypadku uzębień o ewolwentowej linii zębów warunek ten odniesiony jest do okręgu zasadniczego i po uwzględnieniu wzoru (7), promienia naroża płytki oraz współczynnika luzu przyjmuje postać: ( ρ + k ) z 180 f j tgα ψ >. (20) k s π R w 4. PODSUMOWANIE Spełnienie zależności opisanyc wzorami (8) i (20) pozwala na uniknięcie zazębienia połączeń w przypadkowym położeniu kątowym. Zbyt duża różnica wysokości zębów może spowodować niewielką (dążącą do zera) głębokość przenikania zębów o najmniejszej wysokości oraz głębokic wrębów w przypadku zębów o największej wysokości. Przyjęcie zbyt małej różnicy wysokości sąsiednic wrębów może spowodować zazębienie połączenia w przypadkowyc położeniac kątowyc (niespełnienie warunku opisanego równaniami (8) i (20)).
Zależności geometryczne opisujące uzębienia niejednorodne... 147 Różnica kątowa () między sąsiednimi wrębami w uzębieniac średniej wielkości [1, 2, 3] przyjmuje wartości od 0,05 do 0,03, a różnica wysokości dwóc sąsiednic wrębów Δ nie przekracza 0,01 mm. LITERATURA [1] Frąckowiak P., Kształtowanie niejednorodnyc uzębień czołowyc na frezarce CNC metodą podziału ciągłego, Arciwum Tecnologii Maszyn i Automatyzacji, 2005, vol. 25 nr 2, s. 97 104. [2] Frąckowiak P., Kształtowanie niejednorodnyc uzębień czołowyc o modyfikowanej linii ewolwentowej, in: Te 5 t International Scientific Conference DEVELOPMENT OF METAL CUTTING DMC 2005, Košice 2005, s. PL9 PL12. [3] Frąckowiak P., Kształtowanie niejednorodnyc uzębień czołowyc o prostej linii zębów metodą podziału ciągłego, Zeszyty Naukowe Politecniki Rzeszowskiej, 2004, Mecanika, z. 64, s. 31 39. [4] Grajdek R., Uzębienia czołowe. Podstawy teoretyczne kształtowania i nowe zastosowania, Poznań, Wyd. Politecniki Poznańskiej 2000. Praca wpłynęła do Redakcji 31.03.2006 Recenzent: dr ab. inż. Tadeusz Marciniak GEOMETRICAL DEPENDENCES IN A NON-HOMOGENEOUS FACE-GEAR SHAPED ON CNC MILLING-MACHINE S u m m a r y Te article presents te problems connected wit projecting of no-omogenous face-gear. Geometrical dependents of no-omogenous face-gear wit straigt and involute line flank pitc witc along modification ave been sown in tis paper. Te criteria of mesing te coupling of non-omogenous face-gear only in proper angle position ave been presented in te paper, too. Te dependents in face-gear one qualified on te base geometrically designs of no-omogenous face-gear wit straigt and involute line ave been presented too. Te teoretical assumptions tat ave been presented in tis paper, ave been also confirmed by experimental investigations. Key words: non-omogeneous face-gear